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Wiederholungen aus
MMSM 1 (Statik)
Dr.-Ing. Ulrich Simon
Ulmer Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen (UZWR)
www.uni-ulm.de/uzwr
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Inhalt
• Größen, Dimensionen, Einheiten
• Kraft, Moment, Freikörperbild
• Statisches Gleichgewicht
• Spannung, Dehnung, Werkstoffgesetze
• Einfache Lastfälle
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Größen, Dimensionen, Einheiten
Standard: ISO 31, DIN 1313
Größe = Zahlenwert Einheit
Länge L = 2 m = 2 m
{Größe} = Zahlenwert
[Größe] = Einheit
SI-Basiseinheiten (Mechanik):
m (Meter), kg (Kilogramm), s (Sekunde), K (Kelvin)
falsch: Länge L [m] richtig: Länge L / m
oder Länge L in m
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Kraft, Moment, Freikörperbild
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Zum Merken:
Die Kraft ist die Ursache für eine Beschleunigung
(Bewegungsänderung) oder eine Verformung
Dehnung) eines Körpers.
Die Kraft [Force]
Zweites Newtonsches Axiom:
Kraft = Masse Beschleunigung oder F = m a
• Kräfte aus Erfahrung bekannt: Muskelkraft, ...
• Der Begriff „Kraft“ ist axiomatisch, d.h. ohne Definition.
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Einheit der Kraft
Newton
N = kgm/s2
1 N
Zum Merken:
Gewichtskraft einer Tafel Schokolade 1 Newton
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Schnittprinzip (Euler) und Freikörperbild
1 kg
Zum Merken:
Erst schneiden dann Kräfte und Momente eintragen.
Freikörperbild = völlig freigeschnittenes Teilsystem
F
F
Freikörperbild
10 N
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Darstellen von Kräften
Kräfte sind
vektorielle Größen
mit Betrag und Richtung.
5 N
Wirkungslinie
Schraube
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Das Moment [Moment]
Zum Merken:
Ein Moment ist die Ursache für eine Dreh-Beschleunigung (Bewegungsänderung) oder eine (Dreh-) Verformung (Torsion, Biegung) eines Körpers.
Zum Denken:
Moment gleich “Drehkraft”
F
F a
Schraube
F
F
Klinge M = Fa
Kräftepaar (F, a) Moment M
Schlitzschraube mit
Schraubenzieher-
Klinge (belastet)
weggeschnitten
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Einheit des Moments
Newton-Meter
Nm = kgm2/s2
Darstellung von Momenten
... mit Drehpfeilen oder Doppelpfeilen
Momente sind vektorielle Größen
Betrag
Richtung
Richtungssinn
Rechte-Hand-Regel:
5 Nm
Achse
Drehpfeil
5 Nm
Doppelpfeil
oder
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Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes P
Zum Merken:
Moment = Kraft mal Hebelarm
(Hebelarm senkrecht zur Wirkungslinie)
F
P
P M = Fh
F
F
h P
P M
Faxial
Fquer
F
F
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Verschiedene Schnittkräfte und -momente
Schnitt durch … a) Seil
b) Balken 2D
c) Balken 3D
d) (Scharnier-)Gelenk in 2D
e) Allg. Punktkontakt
f) Allg. Schnitt durch 3D Körper
(Kartoffel)
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Freiheitsgrade, Bindungen
Freiheitsgrade [Degrees of Freedom, DOF]:
Objekt Freiheitsgrade f Bewegungsarten
Punktmasse in 2D
Punktmasse in 3D
Starrer Körper in 2D
Starrer Körper in 3D
n starre Körper in 3D
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Freiheitsgrade, Bindungen
Freiheitsgrade [degrees of Freedom, DOF]:
Objekt Freiheitsgrade f Bewegungsarten
Punktmasse in 2D 2 2 Translationen
Punktmasse in 3D 3 3 Translationen
Starrer Körper in 2D 3 2 Transl., 1 Rotation
Starrer Körper in 3D 6 3 Transl., 3 Rotation
n starre Körper in 3D n x 6 …
Systeme von n starren Körpern mit Bindungen b [constraints]:
f = 3n – b (in 2D)
f = 6n – b (in 3D)
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Statische Bestimmtheit
System ist statisch …
unbestimmt bestimmt überbestimmt
Freiheitsgrade f = 6n - b
> 0 = 0 < 0
Gleichungs-system
Dynamik
bestimmt Sechs Gleichungen für sechs unbekannte Auflagerkräfte /-momente
unterbestimmt Redundante Bindungen führen zu nichteindeutigen Lösungen
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Statisches Gleichgewicht
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Statisches Gleichgewicht
Wichtig:
Gleichgewicht nur an “Freikörperbildern”
F
F
10 N
Freikörperbild inner-
halb der Hüllfläche
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.0......:Pbezüglich Momentealler Summe
,0...:Richtung-yin Kräftealler Summe
,0...:Richtung-in x Kräftealler Summe
!
Hebelarm malKraft aus Momente
2,21,1
Momente gegeb.Explizit
,2,1
!
,2,1
!
,2,1
hFhFMM
FF
FF
xx
P
z
P
z
yy
xx
Kräfte-GG können durch Momenten-GG ersetzt werden, aber …
die 3 Bezugspunkte dieser Momenten-GGs dürfen nicht auf einer Geraden liegen.
Kräfte-GG sind wie Momenten-GG mit Bezugspunkt im Unendlichen
3 Gleichgewichtsbedingungen für FKB in 2D:
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.0 :RPunkt bezüglich Achse-z um Momentealler Summe
.0 :QPunkt bezüglich Achse-y um Momentealler Summe
.0 :PPunkt bezüglich Achse- xum Momentealler Summe
,0 :Richtung-zin Kräftealler Summe
,0 :Richtung-yin Kräftealler Summe
,0 :Richtung-in x Kräftealler Summe
!
!
!
!
!
!
i
R
iz
i
Q
iy
i
P
ix
i
iz
i
iy
i
ix
M
M
M
F
F
F
6 Gleichgewichtsbedingungen für FKB in 3D:
Kräfte-GGs können durch Momenten-GGs ersetzt werden, aber …
max. 2 Momenten-GGs um parallele Achsen
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Lösungsrezept
Schritt 1: Modellbildung. Generieren eines Ersatzmodells (Skizze mit
Geometrie, Lasten, Einspannungen). Weglassen unwichtiger Dinge. Das “reale
System” muss abstrahiert werden.
Schritt 2: Koordinaten (Wege, Winkel) einführen. Ausgelenktes System
hinzeichnen und Auslenkungen gegenüber Referenzlage beschreiben.
Schritt 3: Schneiden, FKB: System aufschneiden, Schnittkräfte/-momente,
Freikörperbild (FKB).
Schritt 4: Gleichgewichte: Kräfte-/Momentengleichgewichte für Freikörper
anschreiben Gleichungen.
Schritt 5: Gleichungen lösen.
Schritt 6: Auswerten: Ergebnisse prüfen, deuten, darstellen.
Verifizieren: Mathematisch korrekt? Plausibilität, Konvergenz, … prüfen.
Validieren: Annahmen gültig? Mit Experimenten vergleichen.
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Spannungen, Dehnungen,
Werkstoffgesetze
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Die Spannung [Stress]
500 N
Fotos: Lutz Dürselen
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Definition der Spannung
A
F
A 0lim:
Zum Merken:
• Spannung = „verschmierte“ Schnittkraft
• Analogie: Nutella-Brot
• Spannung = Kraft pro Fläche oder = F/A
Einheit der Spannung
Pascal: 1 Pa = 1 N/m2
Mega-Pascal: 1 MPa = 1 N/mm2
Bar: 1 bar = 105 Pa = 0,1 MPa
Pound per Square-Inch: 30 PSI ≈ 2 bar
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Normal- und Schubspannungen
F
1
2
Zugstab
P
P
1
Schnitt 1:
mit Normalspannung 1
P
2 2
mit Normalspannung 2
und Schubspannung 2
P
Schnitt 2:
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Allgemeiner (3D) Spannungszustand ...
... in einem Punkt des Körpers:
3 Spannungskomponenten pro Schnitt (Normalsp., 2x Schubsp.)
*
3 Schnitte (lin. unabh.)
=
9 Spannungskomponenten Spannungstensor
aber nur
6 Komponenten davon sind unabhängig („Gleichheit der zugeord. Schubsp.“)
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
Der „Spannungstensor“
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
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Allgemeiner Spannungszustand ...
Sechs Komponenten
Der „Spannungstensor“
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Problem: Will man bunte Bilder machen, muss man sich (pro Bild) für eine Komponente entscheiden.
Für die gesamte Information sind eigentlich alle 6 Bilder notwendig!
Was tun, wenn man nur ein Bild zeigen will?
Man kann eine „Mischung“ der Komponenten verwenden.
So genannte „Invariante“ sind besonders „schlaue“ Mischungen, da ihr Werte unabhängig vom willkürlich gewählten KOS bleibt.
Mises xx2 yy
2 zz2 xx yy xx zz yy zz 3 xy
2 3 xz2 3 yz
2
Darstellung von Spannungskomponenten
Invarianten
6 kartesische Komponenten
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Dehnungen [Strain]
Zum Merken:
Dehnung = relative Längenänderung (oder Winkeländerung)
Beispiel: Kletterseil • Durchmesser: 10.5 mm • Imprägnierung: ohne • Gewicht: 72 g pro Meter • Fangstoß: 9.6 kN • Anz. Stürze: 10 • Mantelverschiebung: 0 mm • Dehnung statisch: 7.7 % • Dehnung dynamisch: 32 % • Knotbarkeit: 0.7 • Farbe: mix
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Einheit der Dehnung
Ohne Einheit, also z.B.:
• m/m
• 1
• 1/100 = %
• 1/1.000.000 = με (micro strain)
0
Länge-Ursprungs
Änderung-LängenDehnung
L
L
Einfache technische Definition der uniaxialen Dehnung
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Definition des lokalen 3D Dehnungszustands
unverformt (spannungsfrei)
y0
x0
z0
0 0
0 ΔαεΔβ,εΔγ,ε
z
Δzε,
x
Δxε,
y
Δyε
yzxzxy
yzz
xxx
yyy
2
1
2
1
2
1
limlimlim0
00
00
0 000
y0+y
0+
x0+x
z0+z
0+
0+
verformt
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
},,{,,2
1,, zyxjiuu ijjiij
6 Komponenten:
oder:
Dehnungstensor:
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Werkstoffgesetze [Material laws]
• Auch: „Konstitutive Gleichungen“
• Verknüpfen Spannungen und Dehnungen
Stress σ
Strain ε
linear
E
Lineares Werkstoffgesetz
E
klijklij E
E
1D, uni-axial, Hooke’sches Gesetz
3D mit Werkstoff-Tensor 4. Stufe
… in Indexschreibweise
3D mit Werkstoff-Tensor 2. Stufe
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E - Elastizitätsmodul, E-Modul [Young‘s modulus]
- Querkontraktionszahl [Poisson‘s ratio] (0 ... 0.3 ... 0.5)
zx
yz
xy
zz
yy
xx
zx
yz
xy
zz
yy
xx
v
v
v
v
vv
vvv
vv
E
2
)21(sym
02
)21(
002
)21(
000)1(
000)1(
000)1(
)21()1(
Linear Elastic Law Zustand/Symmetrieannahme Anzahl der Werkstoffparameter
• Voll besetzter Tensor 4. Stufe für drei Dimensionen 81
• Gleichheit zugeord. Schubspannungen (Boltzmann Kontinua) und Scherdehnungen 36
• Maxwellscher Reziprozitätssatz sogenannte „Volle Anisotropie“ 21
• Orthotropie 9
• Transverse Isotropie 5
• Isotropie 2
Isotropie:
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Kompliziertere Werkstoffgesetze:
• Nicht-linear
• Nicht-elastisch (= plastisch)
• Viskoelastisch, Typ: innere Dämpfung
Typ: Gedächtniseffekt
Spannung σ
Dehnung ε
.
. .
Spannung σ
Dehnung ε
Entlastung
Belastung
Belastung
Spannung σ
Dehnung ε
Entlastung
k b k0
b1
k1
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4 einfache Lastfälle
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1 Zug und Druck
Zugstab (Dehnsteifigkeit EA)
L0 d0 d0-d
F
L
A
unbelastet belastet Schnitt
00
,L
EAkL
L
EAF
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2 Scherung
Scherstift (Schersteifigkeit GA)
L
A
F
wτ
unbelastet belastet Schnitt
L
GAkw
L
GAF ,
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3 Biegung (Kragbalken [Cantilever beam])
M
F w
Zugsp.
Drucksp.
Neutrale
Faser
x z
Schubsp.
Drucksp.
Kragbalken (Biegesteifigkeit EIa, Länge L) Schnitt
.2
,23
2
23
MEI
LF
EI
L
MEI
LF
EI
Lw
aa
aa
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4 Torsion
Torsionsstab (Torsionssteifigkeit GIT)
M
0L
Rτ
Länge L, Radius r Schnitt
L
GIc
L
GIM TT ,
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h
b
D
D d
12
3hbIa
4
64DIa
)(
64
44 dDIa
Rechteck Vollkreis Rohr
Flächenmomente zweiten Grades [Second moment of area]
(alt: Flächenträgheitsmoment [Moment of inertia])
4
32DII PT
)(
32
44 dDII pT
Axiales Flächenmoment zweiten Grades (für Biegung):
Polares Flächenmoment zweiten Grades (für Torsion):
Zum Merken:
• Rechteckquerschnitt hochkant biegen höhere Steifigkeit
• Röhre bei gleicher Masse vgl. mit Vollstange höhere Steifigkeit
─