william j. stevenson

6s-1 LP Metode Simpleks

William J. Stevenson

Operations Management

8th edition

OPERATIONSRESEARCH

Enos


ELIMINASI GAUSSKamis, 20 April 2006Kamis, 20 April 2006


Solusi Numerik untuk persamaan-persamaan linier:

a. Metode Langsung1. Eliminasi Gauss2. Eliminasi Gauss-Jordan3. Dekomposisi4. Sistim Tridiagonal

Solusi Numerik untuk persamaan-persamaan linier:

a. Metode Langsung1. Eliminasi Gauss2. Eliminasi Gauss-Jordan3. Dekomposisi4. Sistim Tridiagonal


b. Metode Tak Langsung (Iterasi)1. Metode Jacobi2. Metode Gauss-Seidel3. Metode Newton-Raphson4. Successive over Relaxation

Metode tak langsung biasanya memerlukan waktu yang sangat lama.

b. Metode Tak Langsung (Iterasi)1. Metode Jacobi2. Metode Gauss-Seidel3. Metode Newton-Raphson4. Successive over Relaxation

Metode tak langsung biasanya memerlukan waktu yang sangat lama.


3333232131

2323222121

1312212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

A.x = bA.x = b

MatriksMatriks

VektorVektor


Solusi sistem persamaan aljabar linier dapat ditentukan jika memenuhi syarat-syarat:

A.x = b mempunyai jawab unik x V untuk setiap b V

A.x =b hanya mempunyai satu solusi x V untuk setiap b V

Jika A.x = 0, berarti x = 0A-1 atau inversi matriks A ada,Determinan A 0Rank (A) = n, (matriks A berorde n)

Solusi sistem persamaan aljabar linier dapat ditentukan jika memenuhi syarat-syarat:

A.x = b mempunyai jawab unik x V untuk setiap b V

A.x =b hanya mempunyai satu solusi x V untuk setiap b V

Jika A.x = 0, berarti x = 0A-1 atau inversi matriks A ada,Determinan A 0Rank (A) = n, (matriks A berorde n)


Algoritma Eliminasi Gauss Menyatakan persamaan linier

sebagai n buah persamaan simultan

Tentukan faktor pengali

Algoritma Eliminasi Gauss Menyatakan persamaan linier

sebagai n buah persamaan simultan

Tentukan faktor pengali

3333232131

2323222121

1312212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

11

212 a

am

(1)

(2)

(3)


Persamaan (1) dikali m2:

m2 a11x1 + m2a12x2 + m2a13x3 =m2b1

Hasil perkalian diperkurangkan dari persamaan (2)

Persamaan (1) dikali m2:

m2 a11x1 + m2a12x2 + m2a13x3 =m2b1

Hasil perkalian diperkurangkan dari persamaan (2)

0,aaa

a

baa

bxaaa

axaaa

axaaa

a

atau

bmbxamaxamaxama

1111

2121

111

212313

11

2123212

11

2122111

11

2121

122312223212222111221

(4)


a’22 = a22 – m2a12

a’23 = a23 – m2a13

b’2 = b2 – m2b1

maka:a’22x2 + a’23x3 = b’2 ……………(5)

Persamaan (2) disubtitusi dgn persamaan (5).

a’22 = a22 – m2a12

a’23 = a23 – m2a13

b’2 = b2 – m2b1

maka:a’22x2 + a’23x3 = b’2 ……………(5)

Persamaan (2) disubtitusi dgn persamaan (5).


· Tentukan faktor pengali untuk persamaan ketiga:

Persamaan pertama dikali dengan m3, persamaan ketiga dikurangi persamaan pertama.a’32x2 + a’33x3 = b’3…………………………(6)

dimanaa’32 = a32 – m3a12

a’33 = a33 – m3a13

b’3 = b3 – m3b1

· Tentukan faktor pengali untuk persamaan ketiga:

Persamaan pertama dikali dengan m3, persamaan ketiga dikurangi persamaan pertama.a’32x2 + a’33x3 = b’3…………………………(6)

dimanaa’32 = a32 – m3a12

a’33 = a33 – m3a13

b’3 = b3 – m3b1

11

313 a

am


Persamaan (3) disubtitusi dgn persamaan (6):a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……….(1)

a’22x2 + a’23x3 = b’2 ………(5)

a’32x2 + a’33x3 = b’3……….(6)

Faktor pengali m’3 = a’32/a’22

a’32 – m’3a’22 = 0

a’’33 = a’33 – m’3a’23

b’’3 = b’3 – m’3b’2

Persamaan (3) disubtitusi dgn persamaan (6):a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……….(1)

a’22x2 + a’23x3 = b’2 ………(5)

a’32x2 + a’33x3 = b’3……….(6)

Faktor pengali m’3 = a’32/a’22

a’32 – m’3a’22 = 0

a’’33 = a’33 – m’3a’23

b’’3 = b’3 – m’3b’2


a’33x3 = b’3 ………….. (7)Jika persamaan (7) disubtitusi ke persamaan (6),a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……..(1)

a’22x2 + a’23x3 = b’2……..(5) a’’33x3 = b’3 …….(7)

a’33x3 = b’3 ………….. (7)Jika persamaan (7) disubtitusi ke persamaan (6),a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ……..(1)

a’22x2 + a’23x3 = b’2……..(5) a’’33x3 = b’3 …….(7)


11

31321211 a

xaxabx

22

3'23

'2

2 a'xab

x

"33

''3

3 ab

x


Contoh 1:

Diberikan sistim persamaan linier:2x1 + x2 + 3x3 = 11………….(1)

4x1 + 3x2 + 10x3 = 28………….(2)

2x1 + 4x2 + 17x3 = 31………….(3)

Tentukan nilai-nilai x1, x2, dan x3:

Penyelesaian:Faktor pengali m2 = 4/2 = 2Eliminasi x1 dari persamaan kedua dan

ketiga.

Contoh 1:

Diberikan sistim persamaan linier:2x1 + x2 + 3x3 = 11………….(1)

4x1 + 3x2 + 10x3 = 28………….(2)

2x1 + 4x2 + 17x3 = 31………….(3)

Tentukan nilai-nilai x1, x2, dan x3:

Penyelesaian:Faktor pengali m2 = 4/2 = 2Eliminasi x1 dari persamaan kedua dan

ketiga.


Persamaan pertama dikali 2 untuk mengeliminasi x1 pada persamaan kedua, persamaan pertama dikali 2 untuk mengeliminasi x1 pada persamaan ketiga2x1 + x2 + 3x3 = 11

x2 + 4x3 = 6

3x2 + 14x3 = 20

Eliminasi x2 dari persamaan ketiga (persamaan kedua menjadi persamaan pivot sedangkan koefisien x2 menjadi elemen pivot.

Persamaan pertama dikali 2 untuk mengeliminasi x1 pada persamaan kedua, persamaan pertama dikali 2 untuk mengeliminasi x1 pada persamaan ketiga2x1 + x2 + 3x3 = 11

x2 + 4x3 = 6

3x2 + 14x3 = 20

Eliminasi x2 dari persamaan ketiga (persamaan kedua menjadi persamaan pivot sedangkan koefisien x2 menjadi elemen pivot.


Persamaan kedua dikali 3 untuk mengeliminasi x2 pada persamaan kedua:

2x1 + x2 + 3x3 = 11

x2 + 4x3 = 6

2x3 = 2

Langkah II: subtitusi balik.x3 = 2/2 = 1

x2 + 4.1 = 6 x2 = 2

2x1 + 2 + 3.1 = 11 x1 = 3

Persamaan kedua dikali 3 untuk mengeliminasi x2 pada persamaan kedua:

2x1 + x2 + 3x3 = 11

x2 + 4x3 = 6

2x3 = 2

Langkah II: subtitusi balik.x3 = 2/2 = 1

x2 + 4.1 = 6 x2 = 2

2x1 + 2 + 3.1 = 11 x1 = 3


Contoh 2:

w + x + y + z = 102w + 3x + y + 5z = 31-w + x - 5y + 3z = -23w + x + 7y - 2z = 18

Contoh 2:

w + x + y + z = 102w + 3x + y + 5z = 31-w + x - 5y + 3z = -23w + x + 7y - 2z = 18

Matriks augmentedMatriks augmented

182713

23511

315132

101111


3(10)183(1)23(1)73(1)13(1)3

1(10)21(1)31(1)51(1)11(1)1

2(10)312(1)52(1)12(1)32(1)2

101111II – 2(I)

III + 1(I)

IV -3(I)

II – 2(I)

III + 1(I)

IV -3(I)

125420

84420

113110

101111


2(11)122(3)51)2(42(1)20

2(11)82(3)41)2(42(1)20

113110

101111

III-2(II)

IV+2(II)

III-2(II)

IV+2(II)

101200

142200

113110

101111

x - ½ x - ½


2(7)102(1)12(1)200

71100

113110

101111

IV – 2(III)IV – 2(III)

101200

71100

113110

101111


41000

71100

113110

101111

x4 = 4

x3 + x4 = 7; x3 + 4 = 7; x3 = 3

x2 – x3 + 3x4 = 11; x2 – 3 + 12 = 11; x2 = 2

x1 + x2 + x3 + x4 = 10; x1 + 2 +3 + 4 = 10; x1 = 1

x4 = 4

x3 + x4 = 7; x3 + 4 = 7; x3 = 3

x2 – x3 + 3x4 = 11; x2 – 3 + 12 = 11; x2 = 2

x1 + x2 + x3 + x4 = 10; x1 + 2 +3 + 4 = 10; x1 = 1

william j. stevenson

Documents