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Redes - PERT y CPM 1

Universidad Nacional de La PampaFacultad de Ciencias Económicas y Jurídicas18 - Métodos Cuantitativos para la Administración

REDES - CPM - PERT 02

BibliografíaAnderson, Sweeney y Williams; Introducción a los

modelos cuantitativos para Administración. GrupoEditorial Iberoamérica. (*)

HILLIER, F. y LIEBERMAN, G.; Introducción a la Investigaciónde Operaciones; McGraw Hill (**)

WINSTON, Wayne; Investigación de Operaciones; Grupo Edit.Iberoamérica. (**)

Mathur y Solow; Investigación de Operaciones - Elarte de la toma de decisiones. Ed. Prentice Hall (***)

(*) Cubre todo el capítulo. Accesible.

(**) Alternativas para todo el capítulo. Enfoques más complejos.

(***) Sólo PERT y CPM


Glosario

Nodo (o vértice): puntos dentro de la red.

Arco (ligadura, arista o rama): línea que une nodos.

Arco dirigido: el flujo a través de él se admite en una sola dirección(se cita mencionando “nodo desde-nodo hasta”)

Arco no dirigido: permite el flujo en ambas direcciones.

Red dirigida: la que sólo tiene arcos dirigidos.

Red no dirigida: todos sus arcos son no dirigidos.

Trayectoria (ruta o camino) entre dos nodos: sucesión de arcosdistintos que los conectan.

Trayectoria dirigida de i a j: sucesión de arcos en que es factible elflujo entre i y j.

Trayectoria no dirigida entre dos nodos: sucesión de arcos en que elflujo es factible en cualquiera de los sentidos.

Ciclo: trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo.

Nodos conectados: existe al menos una trayectoria no dirigida entreellos.

Árbol: red conexa sin ciclos

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Organización

Normativos

ModelosMatemáticos

Ciertos Aleatorios

Teoría deredes


Ruta más corta

El algoritmo que se desarrolla acá sólo sirve para valores nonegativos en los arcos.

Se rotulan los nodos según lo especificado por el Algoritmo deDijkstra:

[Distancia Acum,Nodo Precedente]

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Ruta más corta

T

I

C

B

D

5

9

4

7

E

31

5

4

A

2

7

1

2

[2,I]

[0,I]

[9,I]

[4,A]

[7,B]

[8,B]

[13,D]


Ruta más corta

T

I

C

B

D

5

9

4

7

E

31

5

4

A

2

7

1

2

[2,I]

[0,I]

[9,I]

[4,A]

[7,B]

[8,B]

[13,D]

Mínimo Recorrido Total:

Mínimo recorrido hasta E:

T - D - B - A - I = 13 Km

E - B - A - I = 7 Km

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Árbol de extensión mínima

Es un algoritmo de los denominados codiciosos, ambiciosos ogolosos.

Principalmente es útil para diseño de redes, más que paraanálisis.


T

I

C

B

D

5

4

4

7

E

31

5

4

A

2

7

1

2

1

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T

I

C

B

D

5

4

4

7

E

31

5

4

A

2

7

1

22

2

13

15

Longitud total: 2 + 2 + 1 + 3 + 1 + 5 = 14 Km


Problema de flujo máximo

Se trata de pasar de I a T con la máxima cantidad posible deelementos (vehículos, mensajes, líquidos, carga, etc.).

La capacidad máxima de una ruta está dada por la mínimaentre todas las ramas. (Símil cadena)

ixji

jxij

Capacidad residual para elflujo inverso desde j a i

Capacidad residualpara el flujo desde i a j

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T

I

C

B

D

7

4

4

3

E

52

94

A

8

61

2 0

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Problema de flujo máximo


T

I

C

B

D

7

4

4

3

E

52

94

A

8

61

2 0

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Problema de flujo máximo1

Sobre I - B - E - T, la trayectoria tiene una capacidad máximade aumento de Pj =

Se resta 5 de todas las capacidades xij de la ruta y se suma 5 atodas las xji

5

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T

I

C

B

D

2

4

4

3

E

02

94

A

8

11

2 0

00

0

5

0

0

5

0

0

0

5


Sobre I - B - D - T, la trayectoria tiene una capacidad máximade aumento de Pj = 2 Min {2, 4, 9} = 2


5

5


T

I

C

B

D

0

4

4

3

E

02

72

A

8

11

2 0

00

0

7

0

0

5

2

0

2

5


Sobre I - C - E - D - T, la trayectoria tiene una capacidadmáxima de aumento de Pj = 1 Min {4, 4, 1, 7} = 1


7

7

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T

I

C

B

D

0

3

3

3

E

02

62

A

8

10

2 0

00

1

7

0

1

5

2

1

3

5


Sobre I - A - B - C - E - T, la trayectoria tiene una capacidadmáxima de aumento de Pj = 1 Min {8, 2, 2, 3, 1} = 1


8

8


T

I

C

B

D

0

3

2

3

E

01

62

A

7

00

1 0

11

1

7

1

2

5

2

1

3

6


Sobre I - A - D - T, la trayectoria tiene una capacidad máximade aumento de Pj = 3 Min {7, 3, 6} = 3


9

9

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T

I

C

B

D

0

3

2

0

E

01

32

A

4

00

1 3

14

1

7

1

2

5

2

1

6

6


Sobre I - A - B - D - T, la trayectoria tiene una capacidadmáxima de aumento de Pj = 1 Min {4, 1, 2, 3} = 1


12

12


Sobre I-C-B-D-T, latrayectoria tieneuna capacidadmáxima deaumento de Pj=1.

Min {3, 1, 1, 2} = 1

T

I

C

B

D

0

3

2

0

E

01

21

A

3

00

0 3

25

1

7

1

2

5

3

1

7

6


Se resta 1 de todas las capacidades xij

de la ruta y se suma 1 a todas las xji

13

13

1

(FLUJO FICTICIO)

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T

I

C

B

D

0

2

2

0

E

02

10

A

3

00

0 3

25

2

7

0

2

5

4

1

8

6


Máxima capacidad del sistema es la sumatoria de las sucesivasPj = 5 + 2 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 = 14

14

14


Administración de Proyectos

PROYECTO:Emprendimiento temporal con la finalidad de obtener un

producto o servicio único.

(Definición Project Management Institute - PMI)

ELEMENTOS DE UN PROYECTO:* Actividades.* Recursos.* Limitaciones.

Las actividades exigen coordinación a la vez que determinanplazos parciales para la ejecución individual y plazos totalespara la efectivización de un proyecto en conjunto.

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GESTION (Administración) DE PROYECTOS

(Definición Project Management Institute - PMI)

Aplicación de conocimientos, habilidades, herramientas ytécnicas a proyectos para satisfacer requerimientos yexpectativas de los distintos interesados y afectados(stakeholders).

Implica balancear demandas de tiempo, costos y calidad (la“Triple Limitación”).

Objetivo:

Facilitar el cumplimiento en término de los proyectos,respetando en la medida de lo posible los costospresupuestados, mediante el uso eficiente de los recursoshumanos y materiales involucrados, y satisfaciendolimitaciones internas (calidad y cantidad de recursosdisponibles) y externas (inspecciones, aprobaciones, fechas deentrega, demoras en entrega de materias primas, etc.)


Procesos en una Fasedel Proyecto

Fuente: PMBOK

Inicio Planificación

Control Ejecución

Cierre

PLANIFICACIÓN

* Definición de Actividades

* Secuencia de Actividades

* Estimación Duración de Actividades

Inicio

Planificación

Control

Cierre

Ejecución

Nivel deactividad

tiempo

* Planeamiento de Recursos

* Desarrollo del Programa (Fechas)

* Costos: Estimación y presupuesto

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OBJETIVOS ESPECIFICOS

Administración de Proyectos

1. Minimizar el tiempo total de duración del proyecto.

2. Definición de políticas en cuanto a su duración total y a la de

sus etapas intermedias.

3. Minimizar el costo total del proyecto.

4. Conocer requerimientos financieros y de todo tipo de

recursos. Definir políticas de utilización de recursos.

5. Seguridad de la efectiva realización del proyecto en tiempo

prefijado.

6. Disminuir tiempos muertos en equipo y capacidad ociosa del

personal.

7. Coordinar grupos de subcontratistas.

8. Coordinar departamentos.


MétodosCPM: Critical Path MethodPERT: Program Evaluation and Review TechniqueROY (o de precedencia). De origen francés, similar al CPM.

Difiere en representación de actividades yacontecimientos.

PEP: desarrollado por la Fuerza Aérea de EEUULEES: creado por IBMRAMPS: Método de distribución de recursos y programación de

proyectos múltiples.PERT-LOB: Combina planeamiento y programación por teoría

de redes c/control por línea de balance p/producciónen serie o avance de obra.

MAP: Método de asignación de mano de obra. Uso simultáneocon PERT y CPM.

ALGORITMO DE BURGUESS: Se usa para nivelar recursosconjuntamente con PERT y CPM.

ALGORITMO DE BROOKS: ídem anterior. Casos de recursoslimitados.

ALGORITMO DE FORD-FULKERSON: Se usa para PERT-Costo.

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A diferencia de métodos tradicionales como Gantt, permitenvisualizar gráficamente las relaciones existentes entre lasactividades del proyecto.

Actuación por excepción.

Facilitan la coordinación entre los grupos de trabajoinvolucrados.

Durante seguimiento y control, permiten conocer grados deavance real con respecto a lo planeado y evolución de costosreales contra planeados.

Ante retrasos durante la ejecución permiten identificarclaramente actividades a reprogramar y visualizar efectos deésta sobre los costos, tiempos y/o calidad del producto.

Si se consideran aspectos probabilísticos (PERT TIEMPO)permiten estimar probabilidades sobre la duración delproyecto hasta su concreción.

NUEVAS TECNICASVentajas


Suministran a la dirección información valiosa sin decidir ni dirigir porsí mismas, a saber:

* Fecha estimada de fin de proyecto. Detalle de actividadescondicionantes

* Primeras y últimas fechas de comienzo y fin de actividades delproyecto.

* Márgenes de holgura de las actividades no críticas.* Diagramas de carga y asignación de recursos.* Costos asociados a cada actividad (directos) y al proyecto

(indirectos).

Conocer esta información permite a la dirección:* Concentrar atención en tareas que lo exigen sin descuidar las

restantes.* Facilitar seguimiento y control por sector responsable.* Verificar asignación de recursos humanos y materiales al proyecto.

Con ayuda de otras técnicas específicas (MAP, RAMPS) mejorar laasignación

* Efectuar las previsiones correspondientes para el suministro demateriales y planificar el flujo financiero del proyecto.

* Analizar diferentes alternativas duración-costo del proyecto.

NUEVAS TECNICAS - Ventajas

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Programación 1) Primaria: momento de ejecución de tareas(calendario) y asignación de recursos.

2) Definitiva: tiende a la asignación óptima,eliminando simultaneidad de empleo de unmismo recurso.

Etapas en el desarrollo de un proyecto

Planificación: duración y secuencia de trabajos

EjecuciónControlReprogramación


Reglas Básicas :

• Cada actividad sólo un arco - Entre dos nodos sólo un arco.

• Conocer y dibujar cada actividad que llega y sale de un nodo

• Un único acontecimiento inicial

• Un único acontecimiento final• Preguntarse: Actividades predecesoras inmediatas.

Actividades sucesoras inmediatas.Actividades simultáneas.

Reglas Suplementarias:

• Enumeración de los sucesos i < j (conveniente)

• Procurar avanzar de izquierda a derecha

• Describir la actividad sobre el arco que la representa

• Evitar actividades ficticias innecesarias

• Agrupar tareas que forman subredes

Para construir diagrama de flechas

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Aspectos a tener en cuenta en la confección de la red

•Tareas ficticias (dummy)

1) Ambigüedades en la red

6

1L

PF2

32 F1

B

A

4

Un solonodo final

de proyecto

5K

C

B y P mismosnodos de

inicio y finde tarea


Aspectos a tener en cuenta en la confección de la red

•Tareas ficticias

2) Correcta representaciónde precedencias

6

1

LH

2 B

A4 5K

C

A requiere finalizar K y BC requiere finalizar

únicamente BCORRECTO

3

F1

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6

1

G

2

E3

5B

2 3

D

4

53A

C F

1

3

F10

4

Determinación del camino crítico: (método del mayor recorrido)Desde 1 a 6, se puede hacer:

Fechasendías

A, F1, D, F: 10 días

A, F1, E, G,: 7 días

B, E, G: 8 días

B, D, F: 11 días

A, C, F: 8 días

Otras formas de cálculo:

Fechas tempranas y tardías


FECHA TEMPRANA DE SUCESOS (t):

t (1) = 0 (por convención)

t (2) = t (1) + D1-2 = 0 + 1 = 1

CAMINO CRITICO - Ejemplo de aplicación

t (4) = MAX DE: t (2) + D2-4 = 1 + 3 = 4

t (3) + D3-4 = 2 + 5 = 7 ----- Se toma 7

t (5) = t (3) + D3-5 = 2 + 3 = 5

t (6) = MAX DE: t (5) + D5-6 = 5 + 3 = 8

t (4) + D4-6 = 7 + 4 = 11 ----- Se toma 11

Duración programada del proyecto: 11 días

t (3) = MAX DE: t (2) + D2-3 = 1 + 0 = 1

t (1) + D1-3 = 0 + 2 = 2 ----- Se toma 2

A G

C

E5

B

F

2

1

3

3

D5F1

03

46

31

2 4

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t’(5) = t’(6) - D5-6 = 11 - 3 = 8

t’(4) = t’(6) - D4-6 = 11 - 4 = 7

CAMINO CRITICO - Ejemplo de aplicación (cont.)

A G

C

E5

B

F

2

1

3

3

D5F1

03

46

31

2 4

FECHA TARDIA DE SUCESOS (t’):

t’(6) = t(6) = 11 (convención t(n) = t’(n))

t’(3) = MIN DE: t’(5) - D3-5 = 8 - 3 = 5

t’(4) - D3-4 = 7 - 5 = 2 ----- Se toma 2

t’(2) = MIN DE: t’(4) - D2-4 = 7 - 3 = 4

t’(3) - D2-3 = 2 - 0 = 2 ----- Se toma 2

t’(1) = MIN DE: t’(2) - D1-2 = 2 - 1 = 1

t’(3) - D1-3 = 2 - 2 = 0 ----- Se toma 0

Duración Mínima: 11 Días


SIMBOLOGIA

NodoNro

t

t’

t

t’

NodoNro

NodoNro

t’t

t’t

NodoNro

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PRIMERAS Y ULTIMAS FECHAS DE INICIO Y FINALIZACION

t’t

i

t’t

jPFC PFF

Dij

UFC UFF

Más temprana de suceso “i”: Un suceso se verifica cuandofinalizan todas las actividades concurrentes a él.

PFC = t(i)

UFC = UFF - Dij

Más tardía de un suceso “j” es la última en la cual puedeverificarse el mismo sin atrasar el proyecto.

UFF = t’(j)

PFF = PFC + Dij


MARGENES

MARGENES DE SUCESO t’(s) - t(s) = H(s)

MARGENES DE ACTIVIDAD:

Margen Total: MTij = t’(j) - t(i) - Dij (Holgura de Actividad)

Margen Libre: MLij = t(j) - t(i) - Dij

Margen Independiente: MIij = t(j) - t’(i) - Dij Dij

Margen Dependiente: MDi = t’(j) - t’(i) - Dij

t(i) t’(i) t(j) t’(j)

MTij

MLij

MIij

MDi

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TAREA RECURSO1-2 2 op/día1-3 3 op/día3-4 4 op/día3-5 2 op/día2-4 3 op/día4-6 2 op/día5-6 6 op/día

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tiempo

Actividades

DIAGRAMA CALENDARIO

2- 4

5-63-5 5

4 6

3-4 4-61-331

1-2

2

2-3


1-2 2

2-4 3 3 31-3 3 33-4 4 4 4 4 44-6 2 2 2 23-5 2 2 25-6 6 6 6

TOTAL 5 6 9 9 6 10 10 8 2 2 2

DIAGRAMA DE CARGA DE RECURSOS EN FECHA TEMPRANA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tiempo

Actividades2- 4

5-63-55

4 63-4 4-61-3

31

1-22

2-3

Diagrama Tabular

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10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1-2 2

2-4 3 3 31-3 3 33-4 4 4 4 4 44-6 2 2 2 23-5 2 2 25-6 6 6 6

TOTAL 5 6 9 9 6 10 10 8 2 2 2

Diagrama Gráfico de Barras

Area de trabajo efectivo

III

IIIIV

DIAGRAMA DE CARGA DE RECURSOS EN FECHA TEMPRANA


PROGRAMACION DEFINITIVA

Se hace en base a la programación primaria y a ladisponibilidad de recursos, tendiendo a asignaciones óptimaso, por lo menos, adecuadas de los mismos.

CONCLUIDA LA PROGRAMACION PRIMARIA:

* Verificar que no se hayan incluido márgenes de seguridad enla estimación de las duraciones de las tareas.

* Fijar margen de seguridad para el proyecto en conjunto.

* Verificar si las duraciones estimadas para tareas críticas o lasde margen pequeño son correctas.

* Verificar que realmente no es posible concluir la totalidad deuna tarea crítica previo al inicio de la siguiente actividadcrítica.

* Observar si es factible acelerar operaciones, eliminarrestricciones innecesarias, etc. Si es necesario deberárevisarse la lógica de la red.

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Durante la planificación y la programación primaria no seconsideró la existencia de recursos limitados.

La programación definitiva consiste en aplicar alguno de losmétodos de asignación y programación de recursos de modoque:

* Se respete la lógica para la realización de las tareas y losmétodos de trabajo adoptados.

* No se sobrepasen los recursos disponibles.

* No se prolongue la duración del proyecto a menos que seaimposible su verificación con el nivel de recursos disponible.



Los métodos de asignación y programación de recursos fueroncreados para obtener programas nivelados a costo mínimo.

La nivelación puede ser:

* VARIABLE: Cuando los requerimientos de un determinadorecurso varían a grandes saltos de unidad en unidad.

Desventajas. Puede resultar excesivamente costosoingresar y expulsar permanentemente a trabajadores delproyecto. Genera conflictos sociales.

* FIJA: cuando se establece una cantidad fija mínima de formaque el tiempo improductivo sea también mínimo.

Desventajas. De fijarse una cantidad inadecuada puedeque se requieran excesivas horas extras o que se tengacapacidad ociosa paga.

* COMBINADA: cuando se aplican ambos criterios anteriores.

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1-2 2

2-4 3 3 31-3 3 33-4 4 4 4 4 44-6 2 2 2 2

3-5 2 2 2

5-6 6 6 6

TOTAL 5 6 7 7 6 6 6 8 8 8 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tiempo

Actividades2- 4

5-6

4 63-4 4-61-3

31

1-22

2-3

3-55

CARGA DE RECURSOS - Mejora de aprovechamiento de recursos

Desplaza fecha inicioy aprovecha 2 u. de holgura


1-2 2

2-4 3 3 31-3 3 33-4 4 4 4 4 44-6 2 2 2 2

3-5 2 2 2

5-6 6 6 6

TOTAL 5 6 7 7 6 6 6 8 8 8 2

9

876543210

IIIII

IArea de trabajo efectivo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

CARGA DE RECURSOS - Mejora de aprovechamiento de recursos

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PERT - COSTO

Problema Típico: cumplimiento estricto de una fecha definalización del proyecto.

Ejemplo: incorporar producto al mercadoen determinada temporada.

Si del cálculo del camino crítico surge que el proyecto seterminará después de la fecha esperada, se puede decidir:

* Postergar el proyecto hasta el año próximo.

* Cancelarlo.

* Acelerar todas las tareas que sea necesario, para cumplir lafecha y determinar si el costo incremental es menor que losbeneficios esperados por entrar en fecha con el producto.

Si a pesar de la aceleración no se pudiera entrar en fecha, sedebe abandonar el proyecto.


PERT - COSTO

Permite obtener diferentes alternativas duración-costo.

Rectade aproxim

ación

AB: segmento de ajuste lineal;forma práctica de calcular elincremento unitario (pendiente).

Ct

d(i,j)

AA: Todo acelerado; duración mínima

B: Costo normal; duración normal

D(i,j)

BCn

Costos asociados al proyecto:

DIRECTOS: directamente relacionados con la realización de latarea.

Costo de una tarea

Duración tarea

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PERT - COSTO

INDIRECTOS: gastos generales, interés del capitalinvertido, lucro cesante, multas, etc.

Costoindirecto

Duración del proyecto

D2D1

Otros Gastos Generales,Multas, Primas

Gastos Generales,Alquileres

Lucrocesante

CostoIn

directo

Total


PERT - COSTO

COSTO TOTAL DEL PROYECTO:

T2T1

CostosTotales

Duración del proyecto

Costo Total

CostoDirecto

CostoIndirecto

A: Programaciónóptima costo-tiempo.

A

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PERT - COSTO

* Acelerar las tareas críticas que se pueda; y de éstas, las quetengan menor costo incremental.

* Determinar cuánto y cómo reducirán su duración, según:

ALTERNATIVAS COSTO-TIEMPO

Intuitivamente se observa que para las distintas alternativas ypara disminuir la duración total del proyecto se requiere:

1) Obtener combinaciones intermedias reduciendo de a unaunidad de tiempo hasta llegar a la duración mínima.

2) Reducir la duración todo el tiempo que sea posible o hastaque otro camino se convierta en crítico.

* Reiterar el procedimiento con otra/s tarea/s para llegar a lamínima duración del proyecto.

METODOS PARA ENCONTRAR COMBINACION OPTIMA COSTO-TIEMPO:

Rutina de Baltar; Método Simplex-Simétrico; Método Simplex-Paramétrico; Algoritmo de Ford-Fulkerson.


PERT (Probabilístico)

PARA PERT, EMPIRICAMENTE, SE ADOPTO UN MODELOTIPO 1), aplicando BETA de EULER.

* Resulta conveniente en proyectos de primera ejecución.

* Existe natural incertidumbre en la estimación de lasduraciones.

* Por lo tanto, naturaleza aleatoria de tales duraciones.

* Para describir las duraciones aleatorias, se emplean modeloscomo:

1) Ley de distribución de probabilidades de duración de unatarea.

2) Medidas de variación: valor medio, desvío típico, rango,etc.

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* Frecuentemente resulta conveniente expresar la “ley dedistribución probabilística” mediante estadísticos que larepresenten.

* En GAUSS y POISSON su valor medio y desvío típicopermiten representarla totalmente.

En BETA de EULER tales valores no conducen a unaúnica distribución. Dependen de ciertos parámetros,que en PERT toman valores arbitrarios.

* De cualquier manera, la ley BETA cumple con losrequisitos de una ley de distribución de probabilidadesde duración:

Es UNIMODAL, CONTINUA y POSITIVA.


ESTIMACION DE TIEMPOS EN PERT

PERT. Incierta duración de actividades

Distribuciones aplicables:a) al proyecto ............. Normalb) a las tareas ............. BETA de EULER (aproximación

más razonable para la distribución de probabilidad deduraciones de tareas). Criterio empírico.

Ejemplo de función Beta asimétrica a la izquierda

a m b

f(t)

t

t o t m t p

UNLP

am - F

ac. Cs

. Ec

on. y

Jur.




Tiempo esperado: divide a laprobabilidad de realización en un 50%

6

tt4tE

pmo)t(

Permite:

Estimar probabilidades de cumplimiento de la duracióntotal del proyecto.

Posibilidad de aplicar simulación Monte Carlo.

ESTIMACION DE TIEMPOS EN PERT

2 p o

( )t

t t

6

2

Varianza de t(e)



ERRORES DERIVADOS DE LAS HIPOTESIS DEL METODO PERT

1) Cuál es el error cometido por suponer que la duración deuna actividad sigue una distribución BETA?

2) Suponiendo que realmente siga a BETA, cuál es el errorcometido por utilizar media y varianza calculadas con lasexpresiones aproximadas vistas antes siendo correctos lostres tiempos?

3) Suponiendo que realmente siga a BETA y que los valoresmedia y varianza son correctos, cuál es el error cometidopor aplicar valores de tiempos incorrectos?

EMPIRICAMENTE SE HA COMPROBADO que:

EN EL PEOR DE LOS CASOS los errores son tales que :

Te del proyecto no excede del 15%, y

Desvío de Te (del proyecto) oscila en un 6%.

UNLP

am - F

ac. Cs

. Ec

on. y

Jur.





UNA VEZ CALCULADOS t(e) y CAMINO CRITICO ...

Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto en el plazo T(e)?

Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto una cantidad detiempo antes de T(e)?

Qué duración corresponde asignar al proyecto para tenerprobabilidad x% de cumplirla?

PARA RESPONDERLAS, SE DEBE RECURRIR AL TEOREMACENTRAL DEL LIMITE, ya que los tiempos de ejecución de lastareas son variables aleatorias, y en consecuencia también loes la duración total del proyecto.


2

n

2

3

2

2

2

1

2

i

n321i

n321i

...,,,

m,...m,m,mm

x,...x,x,xx


TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE - Enunciado

La variable X, suma de las aleatorias xi sigue, en el límite,

cuando n tiende a infinito, una Ley Normal (GAUSS)

reducida, de la forma:

X

)X(

MXN

donde 2

iXii m=MxX

Dado un conjunto de variables aleatorias independientes xi

con media mi y varianza 2

i

UNLP

am - F

ac. Cs

. Ec

on. y

Jur.




PERT (Probabilístico)TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE - Aplicación

Valor medio y dispersión: de la ley Beta surgen te y .

Asimilando TCL y variables PERT se tiene: mi = tei y

i

i ei

Suma de las variables: la duración del proyecto será la

suma de las duraciones de las tareas críticas: Tit

Lo enunciado es válido cualquiera sea la distribución de

origen de las xi .

Variables independientes: son las duraciones reales de las

tareas (xi ).

Varianza: la varianza de la duración del proyecto será lasuma de las varianzas de las duraciones de las tareascríticas.



Tamaño mínimo de n: Se emplean dos criterios: n >= 50 o

n >= 30, siendo n el número de actividades que componen

el camino crítico.

2eieeieee tTTNT donde),(

Cuando el número de tareas del camino crítico essuficientemente grande, la duración del proyecto seguiráuna distribución aproximadamente Normal:

UNLP

am - F

ac. Cs

. Ec

on. y

Jur.




b) Teorema de Tchebycheff: “Dada una variable aleatoria

X de la que se conocen su valor esperado Te y su

desvío , la probabilidad de que un valor particular

de la variable presente un desvío absoluto respecto a

la media que exceda K veces el desvío es igual a

una constante igual a la inversa de K2”2

)e.K>TeTi( K1<P

e

e

Cuando esto no se cumple hay dos alternativas:

a) T de Student en lugar de Normal de Gauss paraprobabilidades relacionadas con duración total delproyecto.



PERT * APLICACIÓN DE SIMULACION

Método de Montecarlo: muestreo artificial o simulado

Conocer distribución teórica o frecuencias relativas aplicablesa la variable analizada (tiempo de la tarea).

Obtener la distribución de probabilidades acumuladas.

Procedimiento resumido:

1. Elegir número aleatorio equiprobable (por ej., de 2 o 3dígitos).

2. Representarlo en el eje de la acumulativa (valor entre 0 y 1)

3. Obtener el valor de abscisa correspondiente, para lavariable estudiada.

4. Repetir el proceso según el tamaño de muestra establecido.

UNLP

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ac. Cs

. Ec

on. y

Jur.




Síntesis del proceso de simulación aplicado a una red.

a) Investigar distribución aplicable a cada tarea y obtener laacumulativa

b) Extraer números equiprobables para cada tarea y aplicar fórmulas

c) Obtener la duración del proyecto que corresponda al ensayo.Definir su camino crítico.

d) Repetir el proceso según el tamaño de muestra determinado(grado de confianza)

e) Finalizadas las muestras:

1. Probabilidad de que cada camino sea crítico.

2. Distribución que sigue la duración del proyecto.

3. Analizar probabilidad de cumplimiento del proyecto antes de unafecha

4. Grado de criticidad de cada tarea. (% de veces crítica)

5. Distribución seguida por la fecha de cada nodo (tempr. o tardía)

PERT * APLICACIÓN DE SIMULACION

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