wintersemester 2013/14 teil 4 -...
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Vorkurs: Mathematik für Informatiker
Wintersemester 2013/14Teil 4
2 © 2013 Steven Köhler
Steven Kö[email protected]
Jennifer [email protected]
Marcel [email protected]
Inhaltsverzeichnis
5
Teil 1 Teil 2 Teil 3 Teil 4 Vektoren Geraden Ebenen Wiederholungen
© 2013 Steven Köhler
Kapitel XVI
Vektoren
© 2013 Steven Köhler 6
Kapitel XVI: Vektoren
Definition I
© 2013 Steven Köhler 7
Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra untereinem Vektor ein Element eines Vektorraums, d.h. ein Objekt, daszu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die Skalare genanntwerden, multipliziert werden kann. (Quelle: Wikipedia)
Kapitel XVI: Vektoren
Definition II
© 2013 Steven Köhler 8
In der analytischen Geometrie kann man einen Vektor als einObjekt au®assen, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oderim Raum beschreibt.
Ein Vektor kann als Pfeil aufgefasst werden, der einen Ur-bildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet.
Kapitel XVI: Vektoren
Definition III
© 2013 Steven Köhler 9
Jedem Punkt (x; y) 2 R2 bzw. (x; y; z) 2 R3 kann ein Vektorzugeordnet werden.
Analoges gilt auch fÄur alle Punkte (x1; x2; : : : ; xn) 2 Rn.
Kapitel XVI: Vektoren
Schreibweise I
© 2013 Steven Köhler 10
Ein Vektor kann wie folgt dargestellt werden:
v =
0@xyz
1A :
Anstatt die einzelnen EintrÄage mit x, y oder z zu bezeichnen, istauch die folgende Notation sehr gebrÄauchlich:
v =
0@v1
v2
v3
1A :
Kapitel XVI: Vektoren
Schreibweise II
© 2013 Steven Köhler 11
Bisher haben wir Vektoren immer als Spaltenvektoren betrachtet:
v =
0@v1
v2
v3
1A :
Alternativ kann man Vektoren aber auch als Zeilenvektoren be-trachten:
v =¡v1 v2 v3
¢:
Zur besseren ÄUbersicht dÄurfen zwischen den einzelnen EintrÄagenauch Trennzeichen { beispielsweise Kommas oder Semikolons {gesetzt werden:
v =¡v1; v2; v3
¢:
Kapitel XVI: Vektoren
Nullvektor
© 2013 Steven Köhler 12
Als Nullvektor wird der folgende spezielle Vektor bezeichnet,dessen EintrÄage alle Null sind:
v =
1CA :
Oft wird der Nullvektor mit 0 oder o bezeichnet.
Kapitel XVI: Vektoren
Transponieren von Vektoren
© 2013 Steven Köhler 13
Vektoren kÄonnen transponiert werden. Das bedeutet nichts an-deres als einen Zeilenvektor als einen Spaltenvektor aufzuschreiben{ und andersherum:
v =
0@v1
v2
v3
1A wird zu vT = (v1; v2; v3);
u = (u1; u2; u3) wird zu uT =
0@u1
u2
u3
1A :
Kapitel XVI: Vektoren
Länge eines Vektors
© 2013 Steven Köhler 14
Die LÄange eines Vektors lÄasst sich leicht mithilfe des Skalarpro-dukts oder geometrisch Äuber den Satz des Pythagoras bestimmen.Es gilt ¯̄
v¯̄=
qv21 + v2
2 + v23:
Allgemein gilt ¯̄v¯̄=
qv21 + : : : + v2
n:
Kapitel XVI: Vektoren
Normieren von Vektoren
© 2013 Steven Köhler 15
Unter einem normierten Vektor v0 zu einem Vektor v versteht maneinen Vektor der LÄange 1, der dieselbe Richtung wie v besitzt.Man erhÄalt den normierten Vektor v0 zu einem beliebigen Vektorv, indem man v mit dem Reziproken seiner LÄange multipliziert.
v0 =1
jvj ¢ v
Kapitel XVI: Vektoren
Addition von Vektoren
© 2013 Steven Köhler 16
Die Addition von Vektoren erfolgt komponentenweise:
a + b =
0@ a1
a2
a3
1A +
0@ b1
b2
b3
1A =
0@ a1 + b1
a2 + b2
a3 + b3
1A :
Gra¯sch kann man die Vektoraddition als HintereinanderhÄangender Vektoren betrachten.
a
ab
b
a+b
Kapitel XVI: Vektoren
Subtraktion von Vektoren
© 2013 Steven Köhler 17
Die Subtraktion von Vektoren erfolgt ebenfalls komponentenweise:
a¡ b =
0@ a1
a2
a3
1A¡
0@ b1
b2
b3
1A =
0@ a1 ¡ b1
a2 ¡ b2
a3 ¡ b3
1A :
Man kann die Subtraktion auch als Addition des Vektors ¡b zumVektor a betrachten.Betrachtet man a und b als Ortsvektoren der Punkte A und B, sostellt der Vektor a¡ b den Vektor dar, der den Punkt B auf denPunkt A abbildet. Gra¯sch sieht dies wie folgt aus:
ab
a-b
Kapitel XVI: Vektoren
Skalare Multiplikation
© 2013 Steven Köhler 18
Ein Vektor kann mit einem konstanten Faktor ¸ 2 R multipliziertwerden. Den Wert ¸ nennt man Skalar.
¸a = ¸ ¢
0@ a1
a2
a3
1A =
0@ ¸ ¢ a1
¸ ¢ a2
¸ ¢ a3
1AMan kann die skalare Multiplikation als Strecken oder Stauchendes Vektors interpretieren.
a
2a½ a
-a
Kapitel XVI: Vektoren
Aufgaben
© 2013 Steven Köhler 19
Aufgabe XVI-1
a) Berechne die Summe und die Di®erenzen der beiden Vektorena = (5; 0; 23) und b = (4; 2;¡7).
b) Berechne die Summe und die Di®erenzen der beiden Vektorena = (47;¡8; 0) und b = (3; 42).
Aufgabe XVI-2
Gegeben seien die Vektoren v1 = (1; 2; 3), v2 = (7; 5;¡3) undv3 = (0; 2; 1). Berechne die LÄange des Vektors v = v1 ¡ v2 + 3v3.
Kapitel XVI: Vektoren
Aufgaben
© 2013 Steven Köhler 20
Aufgabe XVI-3
Kannst du entscheiden, ob die Vektoren v1 = (4;¡2; 5) undv2 = (¡2; 4; 0) orthogonal sind?
Kapitel XVI: Vektoren
Skalarprodukt I
© 2013 Steven Köhler 21
Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) isteine weitere Art der Vektormultiplikation. Dabei werden die Vek-toren komponentenweise multipliziert und diese Produkte aufsum-miert:
a ¢ b =
0@ a1
a2
a3
1A ¢
0@ b1b2
b3
1A = a1b1 + a2b2 + a3b3:
Man nennt dies auch die Koordinatenform des Skalarprodukts.
Kapitel XVI: Vektoren
Skalarprodukt II
© 2013 Steven Köhler 22
Anhand des Skalarprodukts zweier Vektoren a und b kann manRÄuckschlÄusse auf den Winkel zwischen diesen beiden Vektorenziehen.
Es gilta ¢ b = 0 () a?b:
In Worten: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann 0,wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander (orthogonal) sind.
Kapitel XVI: Vektoren
Skalarprodukt III
© 2013 Steven Köhler 23
Eine andere Art, das Skalarprodukt zu de¯nieren, ist die folgende:
a ¢ b = jaj ¢ jbj ¢ cos®:
² jaj und jbj sind die LÄangen der Vektoren a und b;
² ® ist der zwischen den beiden Vektoren eingeschlosseneWinkel.
Kapitel XVI: Vektoren
Skalarprodukt IV
© 2013 Steven Köhler 24
Aus der Formela ¢ b = jaj ¢ jbj ¢ cos®
kann man RÄuckschlÄusse auf den Winkel zwischen den beiden Vek-toren a und b ziehen:
cos® =a ¢ bjaj ¢ jbj :
Hieraus folgt
® = arccos
μa ¢ bjaj ¢ jbj
¶:
Kapitel XVI: Vektoren
Skalarprodukt V
© 2013 Steven Köhler 25
Abschlie¼end sehen wir uns an, wie die bereits erwÄahnte Koordi-natenform des Skalarprodukts hergeleitet werden kann.
Gegeben seien die beiden Vektoren u = (u1; u2; u3) undv = (v1; v2; v3). ' sei der zwischen u und v eingeschlosseneWinkel.
Nach dem Kosinussatz gilt
jv ¡ uj2 = jvj2 + juj2 ¡ 2jujjvj cos':
Umformen ergibt
jujjvj cos' =1
2
³jvj2 + juj2 ¡ jv ¡ uj2
´:
Kapitel XVI: Vektoren
Skalarprodukt VI
© 2013 Steven Köhler 26
Einsetzen der De¯nition des Skalarprodukts ergibt
u ¢ v =1
2
³jvj2 + juj2 ¡ jv ¡ uj2
´:
Mit der bekannten Formel fÄur den Betrag eines Vektors erhaltenwir:
u ¢ v =1
2
³u2
1 + u22 + u2
3 + v21 + v2
2 + v23
¡ (v1 ¡ u1)2 ¡ (v2 ¡ u2)
2 ¡ (v3 ¡ u3)2´
=1
2
³2u1v1 + 2u2v2 + 2u3v3
´= u1v1 + u2v2 + u3v3:
Kapitel XVI: Vektoren
Kreuzprodukt
© 2013 Steven Köhler 27
Das Kreuzprodukt (auch Äau¼eres Produkt, vektorielles Produktoder Vektorprodukt) ist ebenfalls eine Art, zwei Vektoren a und bzu multiplizieren. Das Resultat ist ein neuer Vektor c, der sowohlsenkrecht zu a (d.h. a?c) als auch senkrecht zu b (d.h. b?c) steht:
c = a£ b =
0@ a1
a2
a3
1A£
0@ b1
b2b3
1A =
0@a2b3 ¡ a3b2a3b1 ¡ a1b3a1b2 ¡ a2b1
1A :
Wichtig: Das Kreuzprodukt ist nur im R3 de¯niert!
Kapitel XVI: Vektoren
Aufgaben
© 2013 Steven Köhler 28
Aufgabe XVI-4
Gegeben sind die folgenden Vektoren a, b und c:
a =
0@ 31¡1
1A ; b =
0@¡152
1A und c =
0@¡6¡22
1Aa) Bestimme a ¢ b, a ¢ c sowie b ¢ c. Welche der Vektoren a, b und
c sind senkrecht zueinander?
b) Bestimme einen Vektor, der sowohl senkrecht zu a als auchsenkrecht zu b ist. Gib diesen als normierten Vektor an.
Kapitel XVII
Geraden
© 2013 Steven Köhler 29
Kapitel XVII: Geraden
Definition I
© 2013 Steven Köhler 30
Eine Gerade oder gerade Linie ist ein Element der Geometrie.Anschaulich kann man sich darunter eine unendlich lange, dÄunneLinie vorstellen.
Eine durch 2 Punkte begrenzte Gerade nennt man Strecke.
Kapitel XVII: Geraden
Definition II
© 2013 Steven Köhler 31
Beispiel einer Geraden, die durch die Punkte A = (0; 3) und B =(6; 0) verlÄauft:
Durch die Punkte A und B wird zudem die Strecke AB begrenzt.
Kapitel XVII: Geraden
Darstellungsformen
© 2013 Steven Köhler 32
Eine Gerade kann auf mehrere Arten dargestellt werden:
² die Koordinatenform;
² die Parameterform;
² die Normalenform.
Kapitel XVII: Geraden
Koordinatenform I
© 2013 Steven Köhler 33
De¯nition
Jede Gerade in der x1; x2-Ebene lÄasst sich durch eine Koor-dinatengleichung
ax1 + bx2 + c = 0
beschreiben, bei der mindestens einer der beiden Koe±zienten aund b ungleich Null ist.
Kapitel XVII: Geraden
Koordinatenform II
© 2013 Steven Köhler 34
Aufgabe
PrÄufe, ob der Punkt A = (5; 3) auf der Geraden liegt, diedurch die Gleichung
¡x1 + 3x2 ¡ 4 = 0
beschrieben wird.
Kapitel XVII: Geraden
Koordinatenform III
© 2013 Steven Köhler 35
LÄosung
Der Punkt A hat die Koordinaten (5; 3). Setzt man nunfÄur x1 = 5 und fÄur x2 = 3 ein, so ergibt sich
¡5 + 3 ¢ 3¡ 4 = 0:
Folglich liegt der Punkt A auf der Geraden.
Dieses Verfahren nennt man Punktprobe, da man fÄur einenPunkt testet, ob er auf der Geraden liegt.
Kapitel XVII: Geraden
Koordinatenform IV
© 2013 Steven Köhler 36
Frage
Wie ¯ndet man die Koordinatenform, wenn lediglich zweiPunkte der Geraden bekannt sind?
Kapitel XVII: Geraden
Koordinatenform V
© 2013 Steven Köhler 37
Antwort
Man kann es berechnen. Dies geht beispielsweise
² durch Aufstellen der Geradengleichung;
² mit dem Gau¼-(Jordan-)Verfahren;
² Äuber die Parameter- oder Normalenform.
Im Folgenden beschÄaftigen wir uns zunÄachst damit, die Geraden-gleichung aufzustellen.
Kapitel XVII: Geraden
Geradengleichung I
© 2013 Steven Köhler 38
Jede Gerade kann in der folgenden Form dargestellt werden:
x2 = ax1 + b:
Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt:
² x1 und x2 sind die Koordinaten;
² a ist der Anstieg der Geraden;
² b ist die Verschiebung in x2-Richtung.
Kapitel XVII: Geraden
Geradengleichung II
© 2013 Steven Köhler 39
Wir fÄuhren das Verfahren exemplarisch an dem zuvor verwendetenBeispiel einer Geraden vor.
Kapitel XVII: Geraden
Geradengleichung III
© 2013 Steven Köhler 40
Den Anstieg der Geraden berechnen wir leicht mit einem Stei-gungsdreieck. Es gilt
a =¢x2
¢x1=
b2 ¡ a2
b1 ¡ a1:
In unserem Beispiel ist dies
a =0¡ 3
6¡ 0= ¡1
2:
Wir kÄonnen die gesuchte Geradengleichung also bereits wie folgtdarstellen:
x2 = ¡1
2x1 + b:
Kapitel XVII: Geraden
Geradengleichung IV
© 2013 Steven Köhler 41
Es verbleibt nur noch die einfache Aufgabe, b zu bestimmen.
Dazu stellen wir die Gleichung nach b um und setzen einender Punkte A oder B in die Gleichung ein { sie mÄussen ja beidein jedem Fall auf der Geraden liegen.
b =1
2x1 + x2:
Setzt man A ein, ergibt sich
b =1
2¢ 0 + 3 = 3:
Kapitel XVII: Geraden
Geradengleichung V
© 2013 Steven Köhler 42
Die gesuchte Geradengleichung lautet also
x2 = ¡1
2x1 + 3:
Umstellen ergibt die gesuchte Koordinatenform:
1
2¢ x1 + x2 ¡ 3 = 0:
Alternativ kann diese auch so dargestellt werden:
x1 + 2x2 ¡ 6 = 0:
Kapitel XVII: Geraden
Aufgaben
© 2013 Steven Köhler 43
Aufgabe XVII-1
Bestimme die Koordinatenform der Geraden, die durch diePunkte P1 = (2; 3) und P2 = (4; 4) verlÄauft.
Aufgabe XVII-2
Bestimme die Koordinatenform der Geraden, die durch diePunkte P1 = (2; 1), P2 = (6; 3) und P3 = (4; 5
2) verlÄauft.
Kapitel XVII: Geraden
Parameterform I
© 2013 Steven Köhler 44
Eine andere, sehr komfortable MÄoglichkeit, eine Geradedarzustellen, ist die sogenannte Parameterform. Die Gerade wirddabei in der folgenden Form dargestellt:
x = p + t ¢ u (t 2 R):
Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt:
² p ist der StÄutzvektor ;
² u ist ein Richtungsvektor ;
² t 2 R ist ein beliebiges Skalar.
Diese Darstellung einer Geraden wird auch vektorielle Punkt-Richtungsform genannt.
Kapitel XVII: Geraden
Parameterform II
© 2013 Steven Köhler 45
Bildlich veranschaulicht bedeutet dies, dass die Gerade durcheinen Punkt auf der Geraden (der StÄutzvektor p) sowie die Rich-tung der Geraden (der Richtungsvektor u) beschrieben wird:
Kapitel XVII: Geraden
Parameterform III
© 2013 Steven Köhler 46
Wir fÄuhren auch dieses Verfahren exemplarisch an dem bereitsbekannten Beispiel einer Geraden vor.
Kapitel XVII: Geraden
Parameterform IV
© 2013 Steven Köhler 47
Als StÄutzvektor kÄonnen wir beispielweise den Vektor¡!0A verwen-
den, als Richtungsvektor den Vektor¡¡!AB. Es ergibt sich
x =
μx1
x2
¶=
μ03
¶+ t
μ6¡ 00¡ 3
¶=
μ03
¶+ t
μ6¡3
¶(t 2 R):
Die gesuchte Gerade in Parameterform lautet also
x =
μx1
x2
¶=
μ03
¶+ t
μ6¡3
¶(t 2 R):
Durch entsprechende Werte fÄur die Variable t kann jeder Punktder Geraden dargestellt werden.
Kapitel XVII: Geraden
Normalenform I
© 2013 Steven Köhler 48
Die letzte hier behandelte Art, eine Gerade darzustellen, ist dieNormalenform. Dabei wird die Gerade unter Zuhilfenahme einerNormale dargestellt { also mit einem zur Gerade senkrechten Vek-tor. Es gilt
n ¢ (x¡ p) = 0:
Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt:
² n ist die Normale;
² p ist ein fester Punkt auf der Gerade;
² x ist der zu prÄufende Punkt.
Wichtig: Die Normalenform einer Geraden existiert nur im R2.
Kapitel XVII: Geraden
Normalenform II
© 2013 Steven Köhler 49
Eine alternative Schreibweise erhÄalt man, wenn man in
n ¢ (x¡ p) = 0
n und p ausmultipliziert. Es folgt
n ¢ x + c = 0:
Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt:
² n ist die Normale;
² x ist der zu prÄufende Punkt;
² c ist ein konstanter Wert, der fÄur alle Punkte der Geradengilt.
Kapitel XVII: Geraden
Normalenform III
© 2013 Steven Köhler 50
Wir fÄuhren auch dies wieder an unserem bisher verwendetenBeispiel vor { unter BerÄucksichtigung der Ergebnisse der Darstel-lung in Parameterform.
Kapitel XVII: Geraden
Normalenform IV
© 2013 Steven Köhler 51
FÄur einen zweidimensionalen Vektor v =
μv1
v2
¶ist stets jedes
Vielfache des Vektors
μ¡v2
v1
¶ein Normalenvektor von v, denn
es gilt μv1
v2
¶¢μ¡v2
v1
¶= ¡v1v2 + v1v2 = 0:
Kapitel XVII: Geraden
Normalenform V
© 2013 Steven Köhler 52
Nach Bestimmung einer Normalen zum Richtungsvektor
μ6¡3
¶ergibt sich die folgende Normalenform:μ
36
¶¢ x + c = 0:
Einsetzen eines Punktes der Geraden und Ausrechnen von c ergibt
c = ¡μ
36
¶¢μ
03
¶= ¡(3 ¢ 0 + 6 ¢ 3) = ¡18:
Kapitel XVII: Geraden
Normalenform VI
© 2013 Steven Köhler 53
Der berechnete Wert c ist fÄur jeden Punkt der Geraden identisch.
FÄur die Normalenform der Geraden ergibt sichμ36
¶¢ x¡ 18 = 0:
Kapitel XVII: Geraden
Aufgaben
© 2013 Steven Köhler 54
Aufgabe XVII-3
Bestimme die Parameter- und Normalenform der Geraden,die durch die Punkte P1 = (2; 3) und P2 = (4; 4) verlÄauft.
Kapitel XVII: Geraden
Ergänzungen zur Parameterform I
© 2013 Steven Köhler 55
Die besprochene Parameterform ging bisher stets von einem t 2 Raus:
x = p + t ¢ u (t 2 R):
Es ist jedoch ohne Weiteres mÄoglich, t einzuschrÄanken.
Beispielsweise kann t auf ein uneigentliches IntervalleingeschrÄankt werden (beispielsweise t > 1 oder t · ¡2).In diesem Fall stellt die Parameterform eine Halbgerade dar.
t kann au¼erdem auf ein endliches Intervall eingeschrÄanktwerden (beispielsweise 0 · t · 1). Dann wird durch dieParameterform eine Strecke dargestellt.
Kapitel XVII: Geraden
Ergänzungen zur Parameterform II
© 2013 Steven Köhler 56
Beispiel
Gesucht ist die Parameterdarstellung der Strecke PQ fÄur0 · t · 1. Es gilt:μ
x1
x2
¶=
μp1
p2
¶+ t
μq1 ¡ p1
q2 ¡ p2
¶=
μp1
p2
¶+ t
μq1
q2
¶¡ t
μp1
p2
¶= t
μq1
q2
¶+ (1¡ t)
μp1
p2
¶(0 · t · 1)
Kapitel XVII: Geraden
Ergänzungen zur Parameterform III
© 2013 Steven Köhler 57
Die gesuchte Parameterform lautet alsoμx1
x2
¶= t
μq1
q2
¶+ (1¡ t)
μp1
p2
¶(0 · t · 1):
Durch Vertauschen von P und Q ergibt sich analogμx1
x2
¶= t
μp1
p2
¶+ (1¡ t)
μq1
q2
¶(0 · t · 1):
Kapitel XVII: Geraden
Umrechnung zwischen den Darstellungen
© 2013 Steven Köhler 58
Die Umrechnung zwischen den einzelnen Darstellungen einerGeraden funktioniert analog zu den in Kapitel XVIII ausfÄuhrlichbesprochenen Umformungen zwischen den Darstellungen einerEbene.
Hier werden sie aus diesem Grund nicht weiter besprochen.
Kapitel XVIII
Ebenen
© 2013 Steven Köhler 59
Kapitel XVIII: Ebenen
Definition
© 2013 Steven Köhler 60
Die Ebene ist ein Grundbegri® der Geometrie. Allgemein handeltes sich um ein unbegrenzt ausgedehntes, °aches, zweidimension-ales Objekt.
² Hierbei bedeutet unbegrenzt ausgedehnt und °ach, dass zuje zwei Punkten auch eine durch diese Punkte verlaufendeGerade vollstÄandig in der Ebene liegt.
² Zweidimensional bedeutet, dass { abgesehen von enthalte-nen Geraden { kein echter Teilraum ebenfalls diese Eigen-schaft hat.
Kapitel XVIII: Ebenen
Darstellungsformen
© 2013 Steven Köhler 61
Analog zur Geraden kann auch eine Ebene auf mehrere Artendargestellt werden:
² die Koordinatenform;
² die Parameterform;
² die Normalenform.
Diese sind im Wesentlichen analog zu den bereits bekanntenDarstellungsformen von Geraden.
Kapitel XVIII: Ebenen
Koordinatenform I
© 2013 Steven Köhler 62
De¯nition
Jede Ebene im R3 lÄasst sich durch eine Koordinatengleichung
ax1 + bx2 + cx3 + d = 0
beschreiben, bei der mindestens einer der drei Koe±zienten a, bund c ungleich Null ist.
Kapitel XVIII: Ebenen
Koordinatenform II
© 2013 Steven Köhler 63
Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes P in die Koordi-natenform kann wieder ÄuberprÄuft werden, ob der Punkt P in derEbene liegt oder nicht (Punktprobe).
Beispiel
Der Punkt P = (1; 2; 3) liegt nicht in der Ebene, die durch
3x1 ¡ x2 + x3 ¡ 7 = 0
gegeben ist, denn: Setzt man P in diese Gleichung ein, ergibt sich
3 ¢ 1¡ 2 + 3¡ 7 = ¡3 6= 0:
Kapitel XVIII: Ebenen
Koordinatenform III
© 2013 Steven Köhler 64
Die Koordinatenform einer Ebene kann { analog zur Koordinaten-form von Geraden { wie folgt bestimmt werden:
² mit dem Gau¼-(Jordan-)Verfahren;
² Äuber die Parameter- oder Normalenform.
Kapitel XVIII: Ebenen
Parameterform I
© 2013 Steven Köhler 65
Eine andere, sehr komfortable MÄoglichkeit, eine Ebenedarzustellen, ist die Parameterform. Die Ebene wird dabei inder folgenden Form dargestellt:
x = p + s ¢ u + t ¢ v (s; t 2 R):
Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt:
² p ist der StÄutzvektor ;
² u und v sind zwei Spannvektoren;
² s; t 2 R sind beliebige Skalare.
Diese Darstellung einer Ebene wird auch Vektorielle Punkt-Richtungsform genannt.
Kapitel XVIII: Ebenen
Parameterform II
© 2013 Steven Köhler 66
Bildlich veranschaulicht bedeutet dies, dass die Ebene durch einenPunkt in der Ebene (der StÄutzvektor p) sowie 2 Vektoren (dieSpannvektoren u und v) beschrieben wird.
Die Abbildung wurde dem Gramlich entnommen.
Kapitel XVIII: Ebenen
Parameterform III
© 2013 Steven Köhler 67
Wir fÄuhren an einem Beispiel exemplarisch vor, wie die Parame-terform erstellt werden kann.
Aufgabe
Gesucht ist die Parameterform der Ebene, die die folgendenPunkte enthÄalt:
A = (1; 1; 3); B = (2; 4; 0) und C = (5; 0;¡1):
Kapitel XVIII: Ebenen
Parameterform IV
© 2013 Steven Köhler 68
Eine mÄogliche Darstellung mittels StÄutz- und Spannvektoren fÄurbeliebige Punkte A, B und C kann man wie folgt erhalten:
v =¡!0A + s ¢ ¡¡!AB + t ¢ ¡!AC
=
0@a1
a2
a3
1A + s
0@b1 ¡ a1
b2 ¡ a2
b3 ¡ a3
1A + t
0@c1 ¡ a1
c2 ¡ a2
c3 ¡ a3
1A (s; t 2 R):
Kapitel XVIII: Ebenen
Parameterform V
© 2013 Steven Köhler 69
FÄur unser Beispiel ergibt sich
v =
0@113
1A + s
0@2¡ 14¡ 10¡ 3
1A + t
0@ 5¡ 10¡ 1¡1¡ 3
1A=
0@113
1A + s
0@ 13¡3
1A + t
0@ 4¡1¡4
1A (s; t 2 R):
Eine mÄogliche Parameterform fÄur die gesuchte Ebene lautet also
v =
0@113
1A + s
0@ 13¡3
1A + t
0@ 4¡1¡4
1A (s; t 2 R):
Kapitel XVIII: Ebenen
Normalenform I
© 2013 Steven Köhler 70
Die letzte hier behandelte Art, eine Ebene darzustellen, ist dieNormalenform. Dabei wird die Ebene unter Zuhilfenahme einerNormalen { eines zur Ebene senkrechten Vektors { dargestellt. Esgilt (analog zu Geraden):³
x¡ p´¢ n = 0 oder n ¢ x + d = 0:
Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt:
² n ist eine Normale der Ebene;
² x ist ein (vermeintlicher) Punkt in der Ebene;
² p ist ein beliebiger Punkt der Ebene;
² d ist ein konstanter Wert, der fÄur alle Punkte der Ebene gilt.
Wichtig: Die Normalenform einer Ebene existiert nur im R3.
Kapitel XVIII: Ebenen
Normalenform II
© 2013 Steven Köhler 71
Bildlich kann man sich die Normalenform einer Ebene wie folgtvorstellen.
Die Abbildung wurde dem Gramlich entnommen.
Kapitel XVIII: Ebenen
Normalenform III
© 2013 Steven Köhler 72
Besitzt man die Parameterform der Ebene, lÄasst sich eine Normalesehr einfach berechnen. Sie ist nichts anderes als das Kreuzpro-dukt der beiden Spannvektoren.
Kapitel XVIII: Ebenen
Aufgaben
© 2013 Steven Köhler 73
Aufgabe XVIII-1
Bestimme die Parameter- und Normalenform der Ebene, diedurch die Punkte A = (3; 4; 5), B = (0;¡1; 2) und C = (1; 0; 2)beschrieben wird.
Kapitel XVIII: Ebenen
Umrechnung zwischen den Darstellungen I
© 2013 Steven Köhler 74
Parameterform ! Koordinatenform
Die Umrechnung der Parameterform in die Koordinaten-form ist relativ einfach. Man betrachtet die Parameterform inder folgenden Weise:
x =
0@x1
x2
x3
1A =
0@p1
p2
p3
1A + s
0@u1
u2
u3
1A + t
0@v1
v2
v3
1A=
0@p1 + su1 + tv1
p2 + su2 + tv2
p3 + su3 + tv3
1A (s; t 2 R):
Kapitel XVIII: Ebenen
Umrechnung zwischen den Darstellungen II
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Hieraus bekommt man sofort das folgende Gleichungssystem:
x1 = p1 + su1 + tv1
x2 = p2 + su2 + tv2
x3 = p3 + su3 + tv3
Stellt man zwei der Gleichungen nach den Parametern s und t umund setzt diese in die verbleibende Gleichung ein, erhÄalt man dieKoordinatenform.
Kapitel XVIII: Ebenen
Umrechnung zwischen den Darstellungen III
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Aufgabe
Stelle die in Parameterform gegebene Ebene in Koordinatenformdar.
x =
0@123
1A + s
0@ 01¡1
1A + t
0@121
1A (s; t 2 R)
Hieraus ergeben sich die folgenden Gleichungen:
x1 = 1 + t
x2 = 2 + s + 2t
x3 = 3¡ s + t
Kapitel XVIII: Ebenen
Umrechnung zwischen den Darstellungen IV
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Umstellen der ersten Gleichung nach t ergibt
t = x1 ¡ 1:
Umstellen der zweiten Gleichung nach s und Einsetzen von t ergibt
s = x2 ¡ 2¡ 2t
= x2 ¡ 2¡ 2(x1 ¡ 1)
= x2 ¡ 2x1:
Kapitel XVIII: Ebenen
Umrechnung zwischen den Darstellungen V
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Einsetzen von s und t in die dritte Gleichung ergibt
x3 = 3¡ (x2 ¡ 2x1) + (x1 ¡ 1)
= 2¡ x2 + 3x1:
Die gesuchte Koordinatenform lautet also
¡3x1 + x2 + x3 ¡ 2 = 0:
Kapitel XVIII: Ebenen
Umrechnung zwischen den Darstellungen VI
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Koordinatenform ! Parameterform
Die Umrechnung der Koordinatenform in die Parameter-form kann folgenderma¼en erledigt werden:
Durch Einsetzen von beliebigen Werten x1, x2 und Berech-nen des Wertes x3 kann man leicht 3 Punkte der Ebenebestimmen, aus denen man dann einfach die Parameterform derEbene bestimmen kann.
Kapitel XVIII: Ebenen
Umrechnung zwischen den Darstellungen VII
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Normalenform ! Koordinatenform
Zur Umrechnung der Normalenform in die Koordinatenformkann man einen einfachen Trick verwenden.
Die Werte des Normalenvektors sind die Koe±zienten vonx1, x2 und x3. Aus 0@n1
n2
n3
1A ¢
0@x1
x2
x3
1A + d = 0
wird alson1x1 + n2x2 + n3x3 + d = 0:
Kapitel XVIII: Ebenen
Umrechnung zwischen den Darstellungen VIII
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Koordinatenform ! Normalenform
Diese Umrechnung funktioniert analog zur Umrechnung derNormalenform in die Koordinatenform.
Die Koe±zienten von x1, x2 und x3 sind die EintrÄage desNormalenvektors. Aus
n1x1 + n2x2 + n3x3 + d = 0
wird also 0@n1
n2
n3
1A ¢
0@x1
x2
x3
1A + d = 0:
Kapitel XVIII: Ebenen
Umrechnung zwischen den Darstellungen IX
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Parameterform ! Normalenform
Diese Umrechnung erfordert etwas mehr Rechenaufwand,ist aber nicht sonderlich schwer.
ZunÄachst wird aus der Parameterform die Koordinatenformerstellt. Aus dieser kann man die Normalenform dann unmittel-bar ablesen.
Alternativ kann der Normalenvektor auch als Kreuzproduktder beiden Spannvektoren berechnet werden. Als ¯xer Punkt derEbene kann der StÄutzvektor verwendet werden.
Kapitel XVIII: Ebenen
Umrechnung zwischen den Darstellungen X
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Normalenform ! Parameterform
Diese Umrechnung erfolgt analog zur Umrechnung der Pa-rameterform in die Normalenform.
ZunÄachst wird aus der Normalenform die Koordinatenformerstellt. Aus dieser kann man dann die Parameterform erstellen.
Kapitel XVIII: Ebenen
Aufgaben
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Aufgabe XVIII-2
Stelle die folgende Ebene in Parameter- und Normalenformdar:
2x1 + x2 ¡ x3 + 4 = 0:
Aufgabe XVIII-3
Gib die folgende Ebene in Parameterdarstellung an:0@ 1¡20
1A ¢
0@0@x1
x2
x3
1A¡
0@ 2¡13
1A1A = 0:
Kapitel XIX
Wiederholungen
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Kapitel XIX: Wiederholungen
Aufgaben
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Aufgabe XIX-1
Vereinfache die folgenden Terme soweit wie mÄoglich.
a) loga
2bb) log
a
b2¡log b¡1+log
a2
b¡1c) log
3p
a2¡log a+2 log1
7a
Aufgabe XIX-2
Vereinfache die folgenden Terme soweit wie mÄoglich.
a) a¡3a3a¡1 b)(x4z3)
2
x6z2c)
7a4b¡6
49a8b¡3
Kapitel XIX: Wiederholungen
Aufgaben
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Aufgabe XIX-3
Bestimme x!
a)
Ãμ1
2
¶0;5!x
=1
8b)
³9
12
´x
=1
9c)
¡0; 40;25
¢x= 0; 4
Aufgabe XIX-4
Beschreibe in deinen Worten, was die folgende Aussage be-deutet: "Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch". GibfÄur die folgenden Funktionen die PeriodenlÄange an:
sinx cos (2x) sin
μ1
3x
¶
Kapitel XIX: Wiederholungen
Aufgaben
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Aufgabe XIX-5
Bestimme die LÄosungen der folgenden Gleichungen.
a) 2x2+3
2x¡2 = 0 b) x2+3x¡1 = x¡3 c) x3+2x2¡x¡2 = 0
Aufgabe XIX-6
Gegeben sind die folgenden beiden Vektoren
a =
0@123
1A und b =
0@20x
1A :
Bestimme x derart, sodass a?b gilt!