Kumpulan Tugas

TOPIK KHUSUS FISIKA MATERIAL ELEKTRONIK

Program Studi Fisika

oleh

Wira Indrayani

1221220005

Program Pasca Sarjana

Universitas andalas

Padang, 2013

TUGAS 1

1. Konsep Energy Gap Teori Kronig-penney

Fungsi potensial tunggal, satu-elektron atom ditunjukkan dalam Gambar 1.(a). dan

terlihat juga pada gambar tersebut tingkat energi diskrit yang diperbolehkan untuk

electron tersebut. Gambar 1.(b) menunjukkan jenis yang sama dari fungsi potensial

untuk kasus ketika beberapa atom berada berdekatan diatur dalam susunan satu

dimensi. Fungsi potensi atom yang berdekatan tumpang tindih, dan fungsi potensial

tangkap untuk kasus ini ditunjukkan pada Gambar 1.(c). Ini adalah fungsi potensial

perlu digunakan dalam persamaan gelombang Schrodinger untuk model satu-dimensi

kristal tunggal material.

Gambar 1. (a). fungsi potensial atom tunggal terpisah

(b). fungsi potensial atom berdekatan saling melengkapi

(c). fungsi potensial Kristal tunggal satu dimensi

Solusi untuk persamaan gelombang Schrodinger, untuk kisi Kristal tunggal satu-

dimensi, dibuat lebih mudah dengan mempertimbangkan fungsi potensial sederhana.

Gambar 2 adalah fungsi potensial periodic model kronig-penney satu-dimensi yang

digunakan untuk mewakili Kristal tunggal satu-dimensi. Kita perlu memecahkan

persamaan gelombang Schrodinger di masing-masing daerah.

Gambar 2. Fungsi potensional periodic satu dimensi-model Kronig Penney

Untuk mendapatkan solusi untuk persamaan gelombang Schrodinger, digunakan

sebuah teorema matematika oleh Bloch. Sebuah teorema yang menyatakan bahwa

setiap partikel adalah fungsi gelombang,

Untuk persoalan yang melibatkan fungsi energy potensial yang berubah secara

periodic harus dimulai dari:

ψ ( x )=u(x )e jkx

k =konstanta pergerakan

u(x)=fungsi periodic dengan periodic (a+b)

solusi total persamaan gelombang(fungsi gayut waktu t+tak gayut waktu x) adalah:

ψ ( x , t )=ψ (x ) ϕ ( x )=u ( x )e jkx . e− j ( E/ћ )t

ψ ( x , t )=ψ (x ) ϕ ( x )=u ( x )e j ¿ ¿

Penjalaran gelombang memperlihatkan pergerakkan electron dalam sebuah material

kristal tunggal. Fungsi periodic adalah amplitude penjalaran penjalaran gelombang

dan k adalah bilangan gelombang dan dapat ditentukan k, E(energy),V0 (potensial).

Dari Gambar 2:

Region I (0 < x < a), V0=0.

Pers.gel schrodinger tak gayut waktu:

∂2ψ ( x )∂ x2 + 2m

ћ2 (E−V ( x ))ψ ( x )=0

∂2ψ ( x )∂ x2 =

∂2u(x )e jkx

∂ x2

∂2ψ ( x )∂ x2 = ∂

∂ x (u ( x ) ∂ e jkx

∂ x+e jkx ∂ u ( x )

∂ x )= ∂∂ x (u ( x ) jk e jkx+e jkx ∂u ( x )

∂ x )=u ( x ) jk∂ e jkx

∂ x+ jk e jkx ∂ u ( x )

∂ x+e jkx ∂2u ( x )

∂ x2 + jk e jkx ∂ u ( x )∂ x

=e jkx ∂2u ( x )∂ x2 +2( jk e jkx ∂ u (x )

∂ x )+u ( x ) j2 k2 e jkx

∂2u1 ( x )∂ x2 +2 jk

∂u1 ( x )∂ x

−(k2−α2 ) u1 ( x )=0(¿)

α 2=2mE

ћ2

Region II, (-b < x < 0), V(x)=V0 dan aplikasikan pers.gel schrodinger:

∂2u2 ( x )∂ x2 +2 jk

∂u2 ( x )∂ x

−(k2−α 2+2mV 0

ћ2 )u2 ( x )=0

u2 ( x )=amplitudo fungsigel . region II

2mћ2 ( E−V 0 )=(α2−

2 mV 0

ћ2 )=β2

jika E>V 0 maka β realdan jika E<V 0 mka β imajiner

∂2u2 ( x )∂ x2 +2 jk

∂u2 ( x )∂ x

−(k2−β2 ) u2 ( x )=0¿

Solusi Pers. (*):

u1 ( x )=Ae j (α−k )x+B e− j(α+ k)x ,untuk (0< x<a)

Solusi Pers. (*):

u2 ( x )=Ce j(β−k)x+D e− j (β+k) x , untuk (−b<x<0)

Setelah fungsi potensial diberi batas dimana saja, kedua fungsi 𝝍(x) dan ∂ ψ (x)∂ x

harus kontinyu sehingga secara tak langsung fungsi amplitude gelombang u ( x ) dan

∂ u(x )∂ x

juga kontinyu.Jika batas x=0 dan amplitude dalam kondisi amplito kontinyu sehingga:

u1 (0 )=u2 (0 )(¿∗¿) u1 (0 )=A+B dan u2 (0 )=C+D

u1 (0 )−u2 (0 )=0

A+B−C−D=0(i)

Masukkan batas:

∂ u (x )∂ x

=∂ u2 ( x )

∂ x

(α−k ) A−(α +k ) B−( β−k )C+( β+k ) D=0 (ii)

Region I (0 < x < a), u1 a dan Region II (-b < c < 0), u2 -b

u1 (a )=u2 (−b )

Ae j (α−k)a+B e− j(α+ k)a−Ce− j (β−k )b+ D e j(β+k )b=0(iii )

∂ u (x )∂ x

=∂ u2 ( x )

∂ x

(α−k) Ae j (α−k)a+(α+k ) B e− j (α+ k ) a−( β−k )Ce− j ( β−k ) b+( β+k ) D e j ( β+ k ) b=0 (iv)

Dari keempat (i-iv) pers.diatas:

−α 2+β2

2 αβ( sinα a ) (sinβb )+( cosα a ) (cosβb )=cosk (a+b)

Persamaan diatas ini adalah hubungan antara bilangan gelombang k, energi total E

(kotak α), fungsi potensial V0 (untuk kotak β)

Untuk E< V0 loncatan elektron dalam kristal

Dari pers.

2mћ2 ( E−V 0 )=(α2−

2 mV 0

ћ2 )=β2

X=0 X=0

x=a x= -b

β2=imajiner= jγ ;γ=real

Sehingga:

−γ 2+α2

2 αγ( sinα a ) (sinhγb )+(cosα a ) (coshγb )=cos k (a+b)

Persamaan diatas ini adalah persamaan energy pita yang dibolehkan, untuk

mendapatkan hubungan antara k,E,dan V0 maka persamaan harus dipecah menurut

angka dan twknik grafik.

Untuk mendapatkan solusi persamaan grafik:

Ambil lebar rintangan potensial b→0 dan tinggi rintangan potensial V0 →∞, b V0 tetap

terbatas sehingga:

−( βj )

2

+α 2

2 αβj

(sinα a ) ( sinhγb )+(cosα a ) (coshγb )=cosk (a+b)

−(α2−2 mV 0

ћ2 )+α 2

2α( sinα a )+(cosα a )=cosk a

( 2mV 0

ћ2 ) (sinα a )2 α

+(cosα a )=cosk a

(mV 0ba

ћ2 ) (sinα a )αa

+ (cosα a )=cos k a

P ’=(mV 0ba

ћ2 )P ’

(sinα a )αa

+(cosα a )=cosk a

Persamaan diatas memberikan hubungan k,E (parameter α), dan rintangan potensial

bV0,persamaan ini bukan solusi persamaan schrodinger tapi merupakan kondisi batas

untuk solusi persamaan schrodinger. Jika kita asumsikan Kristal lebar pitanya tidak

terbatas maka k dalam persamaan diatas dapat diambil sebagai nilai keseluruhan dan

harus real.

Diagram bilangan gelombang k sebuah partikel bebas dalam ruang

Batasi kotak Vo=0. P ’=0,

P ’(sinα a )

αa+(cosα a )=cosk a

(cosα a )=cosk a

α=k

α=√ 2mEћ2 =√ 2m( 1

2mv2)

ћ2 = pћ=k

E= p2

2 m

Hubungan energi E dan momentum p dalam kurva diperlihatkan pada Gambar 3.

f ( α a )=P’( sinα a )

αa+ (cosα a )

Jika P ’(sinα a )

αa di plot terhadap α a maka akan diperlihatkan gambar 4.(a), jika

(cosα a )di plot pada α a akan diperlihatkan gambar 4.(b), dan gabuangan dari

keduanya atau f ( α a ) diperlihatkan oleh Gambar 4(c).

Gambar3. kurva parabolik hubungan energi E dan momentum p elektron bebas

Gambar 4. (a). plot P ’(sinα a )

αa terhadap (α a)

(b). plot (cosα a ) terhadap (α a)

(c). plot f ( α a ) terhadap(α a)f (αa)=coska, berlaku jika nilai f (αa) dibatasi antara +1 dan -1. Gambar 4

memperlihatkan nilai yang diperbolehkan dari fungsi f (αa) dan (αa ), pada gambar

juga diperlihatkan nilai ka yang berhubungan dengan nilai f (αa). α berhubungan

dengan energi total partikel dimana:

α 2=2mE

ћ2

Sebuah plot energi partikel dan bilangan gelombang k diperlihatkan Gambar 5, yang

juga memperlihatkan pita energi yang diperbolehkan untuk penjalaran partikel dalam

kristal. Energi tidak kontinyu yang menjelaskan konsep energi terlarang bagi partikel

dalam kristal.

Gambar 5. Enegi terhadap bilangan gelombang (E vs k)ari gambar 4

yang menunjukkan pita energi terlarang dan pita energi gapStruktur pita energi Si dan GaAs

Pada gambar dibawah ini diperlihatkan diagram energi (eV) terhadap ruang-k dari

GaAs dan Si.

Pada Gambar terlihat bahwa antara sumbu k positif dan sumbu k negative

terdapat dua perbedaan arah Kristal. Diagram E vs k untuk model satu-dimensi adalah

simetris pada k sehingga tidak ada informasi baru yang diperoleh dengan

menampilkan sumbu negative.

Pada diagram E Vs k untuk GaAs pita valensi ditunjukkan bahwa pita valensi

maksimum dan pita konduksi minimum keduanya terjadi pada k = 0. Elektron dalam

pita konduksi cenderung menempati pita energi konduksi minimum yang berada di k

= 0. Demikian pula, lubang (hole) di pita valensi cenderung berkumpul di bagian

paling atas pita energi valensi. Di GaAs, pita energi konduksi minimum dan pita

energy valensi maksimum terjadi pada nilai k yang sama. Sebuah semikonduktor

dengan properti ini dikatakan sebagai semiconductor celah pita gap langsung, transisi

antara dua pita dapat berlangsung dengan tidak ada perubahan dalam momentum

kristal. Sifat ini langsung berpengaruh pada sifat optik bahan. GaAs dan bahan celah

pita langsung (bandgap) lainnya secara ideal cocok digunakan dalam laser

semikonduktor dan perangkat optik lainnya.

Pada diagram E vs k untuk silikon ditunjukkan energi pita valensi maksimal terjadi di

k = 0 seperti sebelumnya sedangkan pita energy konduksi minimum terjadi bukan di

k = 0, tapi di sepanjang arah [100]. Perbedaan antara pita energi konduksi minimum

dan pita energy valensi maksimum masih didefinisikan sebagai pita energy gap Eg.

Sebuah semikonduktor yang memiliki energy pita valensi maksimal dan energi pita

konduksi minimum tidak terjadi pada nilai k yang sama disebut semikonduktor

bandgap (celah pita) tidak langsung. Ketika elektron membuat transisi antara pita

konduksi dan pita valensi, kita harus meminta hukum kekekalan momentum. Sebuah

transisi dalam bahan bandgap tidak langsung harus mencakup interaksi dengan

kristal sehingga momentum kristal kekal.

Germanium juga merupakan bahan celah pita langsung, yang memiliki pita valensi

maksimum pada k = 0 dan memiliki pita konduksi minimum terjadi di sepanjang arah

[111]. GaAs adalah semikonduktor celah pita langsung, tapi semikonduktor senyawa

lain seperti GaP dan AIAS, memiliki bandgaps tidak langsung.

2. buktikan: N (E)= 4 πћ3 (2 m )

32 E

12 ∆ E

N ( E )= 4 π k2

( 2 πL )

3

Partikel dalam bahan aknn dibatasi geraknya sepanjang bahan, panjang bahan=L, satu

bagian dari k adalh 2 πL

sehingga satu satuan volume bahan adalah ( 2πL )

3

dan

E=2 mkћ2 → k2=2 mE

ћ2 → k=√ 2 mћ2 E

12

ΔkΔE

=√ 2 mћ2

12

E12 ∆ E→

∆ k∆ E

= dkdE

N ( E )=

4 π 2 mEћ2

12 √ 2m

ћ2 E12 ∆ E

(2 )(8)π3 L3=

2mEћ2

12 √ 2m

ћ2 E12 ∆ E

(2 )(4 π3)L3=

1

4 π2

1

ћ3 (2m)32 E

12 ∆ E L3=

1

4 π2 ( 2m

ћ2 )32 E

12 ∆ E

L3=1

volume benda= 43

π k3

Karena:k=√ 2 m

ћ2 E12 Maka:

volume benda= 43

π ( 2mћ2 )

32 E

32

ΔVΔE

=43

π ( 2mћ2 )

32 3

2E

12=2 π ( 2m

ћ2 )32 E

12

ΔV =(2 )(2)π ( 2mћ2 )

32 E

12 ∆ E=4 π (2 m

ћ2 )32 E

12 ∆ E

N ( E )= 4 π

ћ3(2 m )

32 E

12

TUGAS 2

1. Hitung massa efektif dengan menggunakan resonansi siklontron?

Energi partikel elektron bebas dalam komponen vektor gelombang paralel (kz)

dan tegak lurus (k┴) terhadapa medan magnet, energi permukaan ε konstan

diperoleh dari hubungan (kz,k┴) yang memenuhi persamaan :

ε= h2

2me(kz

2+k⊥2 ) (1)

Ruang k ini bersilang dengan kz adalah :

A ( ε , k z )=k⊥2 π=

2π me

ћ2 ε−k z2 π (2)

Hal ini berarti secara implisit:

∂ A∂ z

=2 π me

ћ2 (3)

Jika persamaan ini disubstitusikan pada persamaan siklotron:

ωc=2 πeB

ћ2 ( ∂ A∂ z )

−1

ωc=eBme

(4)

Yang diperoleh untuk electron bebas.

Perioda dan frekuensi siklotron untuk electron bebas adalah:

T c=2 π me

eB ; ωc=

eBmc

(5)

Spectrum energy partikel dengan massa siklotron mc dapat didefenisikan sebagai:

mc=ћ2

2π ( ∂ A∂ ε )

−1

(6)

Dengan mengulangi langkah perhitungan kasus electron bebas kita dapat menetapkan

energy electron bloch yang dikarakteristikkan oleh massa efektif scalar m*, sehingga

massa siklotron menjadi sama dengan massa efektif yang diperoleh dari struktur pita.

2. Menentukan konsentrasi elektron pada semikonduktor intrinsik n(E)

Distribusi elektron (pembawa) dalam semikonduktor:

f e( E)= 1

1+e(E−EF)

KBT; untuk E ¿ EC berlaku E- EF ≫kBT

Menghasilkan f e( E)=e(E¿¿ F−E)/ kBT ¿ (1)

Rapat kebolehjadian elektron :

ge (E)=4 π ( 2 meh2 )

32 (E−EC)

12 ; misalkan : γ=4 π ( 2 me

h2 )32

ge (E)=γ (E−EC )12 (2)

Jumlah elektron dalam pita konduksi :

n(E) = ∫EC

ge ( E ) . f e (E ) dE (3)

subtitusi pers (1) & (2) ke pers (3)

n ( E )=∫EC

γ (E−EC)1 /2.

1

1+e(E−E F)/ kB TdE

= ∫EC

γ (E−EC)1 /2

. e(EF−E)/k BT dE

= ∫EC

γ (E−EC)1 /2 (k B T )1/2

(k B T )1/2 e(E F−EC−E+E C)/k BT

dE

= γ (k B T )1/2∫EC

( E−EC)1 /2

(kB T )1 /2 e−(E−EC)/ kB T e(E F−EC )/ kB T dE

= γ (k B T )1/2 e(E F−EC )/ kB T∫EC

(E−EC)1 /2

(k BT )1/2 e−(E−EC )/ kB T dE (4)

Fungsi dalam integral telah menyerupai fungsi gamma:

∫0

∞

x12 e−x dx=√π

2(5)

Dengan permisalan, bahwa :

x=( E−EC )

(k BT )

( E−EC )=x . k BT

E=EC+x . k B T

dEdx

=k B T

dE=k B T dx (6)

Untuk E = EC, maka x = 0 dan E = , maka x =

Subtitusi pers (5) & (6) ke pers (4) :

Maka pers (4) menjadi :

n ( E )=γ (k BT )1/2e( EF−EC)/ kBT∫0

x1 /2 e−x kB T dx

= γ (k B T )3 /2 e(E F−EC )/ kB T∫0

x1/2 e− x dx

√ π2

= √ π2

γ (kB T )3 /2 e(E F−E C)/kB T; γ=4 π ( 2 me

h2 )32

= √ π2

4 π ( 2meh2 )

3 /2

(k B T )3/2 e(E F−EC )/ kB T

= 2 π 3/2(2 me k B T

h2 )3 /2

e( EF−EC)/ kBT

= 2( 2me π k B T

h2 )3/2

e(EF−EC)/ kBT

n ( E )= NC e(E F−E C)/KBT sehingga NC=2(2 me π kB T

h2 )3 /2

3. Menentukan konsentrasi hole pada semikonduktor intrinsik (p(E)

Distribusi hole dalam semikonduktor:

f h=1−f e= 1− 1

1+e( E−E F)/k BT (samakan penyebut)

= 1+e(E−E F)/ kB T−1

1+e(E−EF)/ kBT

= e(E−EF)/ kBT

1+e(E−E F)/ kB T : e(E−E F)/k BT

= 1e¿ ¿¿ ; jika E<EC maka berlaku untuk

EF−E≫k B T , sehingga :

f h ( E )=e(E−E F)/k BT (1)

Rapat kebolehjadian hole :

gh(E)=4 π ( 2 mh

h2 )32 (Ev−E)

12 ; misalkan : γ=4 π ( 2 mh

h2 )32

gh(E)=γ (Ev−E)12 (2)

Jumlah hole dalam pita valensi :

p(E) = ∫EV

gh ( E ) . f h ( E )dE (3)

subtitusi pers (1) & (2) ke pers (3)

p ( E )=∫−

EV

γ (Ev−E)1 /2. 1

e¿ ¿¿

= ∫−

EV

γ (Ev−E)1 /2 . e(E−E F)/kBT dE

= ∫−

EV

γ (Ev−E)1 /2 ( kB T )1/2

( kB T )1/2 e( E−E V−E F+EV )/ kB T

dE

= γ (k B T )1/2∫−

EV (EV −E)1/2

(k BT )1/2e−( EV−E)/k BT e(EV −EF )/ kB T dE

= γ (k B T )1/2 e(EV −E F)/kB T∫−

E V (EV−E)1 /2

(kB T )1 /2e−(EV −E )/ kB T dE (4)

Fungsi dalam integral telah menyerupai fungsi gamma:

∫0

∞

x12 e−x dx=√π

2(5)

Dengan permisalan, bahwa :

x=( EV −E )

(k BT )

( EV −E )=x .k B T

E=EV −x . k BT

dEdx

=−kB T

dE=−k B T dx (6)

Untuk E = EV, maka x = 0 dan E = , maka x = −

Subtitusi pers (5) & (6) ke pers (4) :

Maka pers (4) menjadi :

p ( E )=γ (kB T )1 /2 e(E V−EF)/ kBT∫0

x1/2 e−x (−k B T )dx

= −γ (k B T )3 /2 e(EV −E F)/kB T∫0

x1/2e− x dx

-√ π2

= √ π2

γ (kB T )3 /2 e(E V−EF)/ kBT; γ=4 π ( 2 mh

h2 )32

= √ π2

4 π ( 2mh

h2 )32(kB T )3 /2 e( EV−EF)/ kBT

= 2 π 3/2(2 mh . kB T

h2 )32 e(EV −EF )/KBT

= 2( 2mh . π .k B T

h2 )32 e( EV−EF )/ kB T

p ( E )= NV e(EV−EF )/ kB T; sehingga:

NV =2( 2 mh . π . k BT

h2 )32

4. Menentukan energi fermi pada semikonduktor intrinsik (murni)

Untuk semikonduktor murni (intrinsik), konsentrasi hole sama dengan

konsentrasielektron ( n = p ).

Dimana :

n ( E )=NC e(E F−EC )/ kB T

p ( E )=N V e(EV −E F)/kB T

n ( E )=p (E )

NC e(E F−E C)/kB T ¿ NV e(EV−EF )/ kB T

e(EF−EC−EV +E F)/kB T = N V

NC

e2 E F−EC−EV

kB T = N V

NC

(2 EF−EC−EV )kB T

=lnNV

NC

(2 EF−EC−EV )=kB T lnNV

NC

2 EF=(E¿¿C+EV )+k BT lnNV

N C

¿

EF=(E¿¿C+ EV )

2+kB T ln

NV

NC

¿ atau EF=(E¿¿C+ EV )

2−3

4kB T ln

me

mp

¿

5. Menentukan energi fermi pada semikonduktor ekstrinsik tipe-p dan tipe-n?

A. Tipe-n (donor)

Konsentrasi pembawa donor pada tipe-n

nD=N D1

1+e( ED−EF )

KT

ED bergantung pada tipe impurity (pengotor)

N D bergantung pada konsentrasi impurity (pengotor)

N D adalah konsentrasi atom pendonor

Pada temperatur 300 K ED−EF>> KT

Sehingga :

nD=N D1

e( ED−E F)

KT

=ND e−( E D−EF )

KT

Level energi Fermi pada tipe n, N D ≫N A

Dimana : n = N D ; n ( E )=NC e(E F−EC )/ kB T

NC e(E F−E C)/kB T = N D

NC

N D

=e−(E F−E C)/kB T

NC

N D

=e(EC−E F)/kB T

lnNC

ND

=(EC−EF)

k B T

( EC−EF )=kB T . lnNC

N D

EF=EC−kB T . lnNC

N D

B. Tipe-p (aseptor)

Konsentrasi pembawa donor pada tipe-n

nA=N A1

1+e( EA−EF )

KT

N D adalah konsentrasi atom akseptor

Level energi Fermi pada tipe p, N A ≫ ND

Dimana :

n = N A ; p ( E )= NV e(EV−EF )/ kB T

NV e(EV−EF )/ kB T=N A

NV

N A

=e−(EV −E F)/ kB T

NV

N A

=e(EF−EV )/ kB T

lnNV

N A

=(EF−EV )

k BT

( EF−EV )=k BT lnN V

N A

EF=EV +k B T lnNV

N A

6. Buktikan rumus EF(T )=EF(0) [1− π 2

12 ( kB T

EF (0))2]

Jawab :Diketahui bahwa Fungsi distribusi Fermi Dirac (FD) adalah f(E)

Kita gunakan uji integral

I=∫0

∞

f ( E ) ∂ λ(E)∂ E

dE………………………….(1)

Dengan mengintegrasikan persamaan (1) kita dapatkan :

I=[ f ( E ) λ (E ) ]0∞−∫

0

∞

λ (E ) ∂ f∂ E

dE

¿−∫0

∞

λ ( E ) ∂ f∂ E

dE……………(2)

λ(E) diekspansi kedalam deret taylor pada batas E = EF, kita dapatkan

λ ( E )=λ ( EF )+ ( E−EF )( ∂ λ∂ E )

EF

+ 12

( E−EF )2( ∂2 λ∂ E2 )

EF

+.. ……. (3)

Untuk menyederhanakan persamaan (3) diperlukan konstanta baru yang dapat

ditulis dengan

Ai=−1i !

∫0

∞

(E−EF)i ∂ f∂ E

dE…………………………………………(4)

Sehingga persamaan (2) dapat perluas lagi menjadi

I=A0 λ ( EF )+A1( ∂ λ∂ E )

EF

+ A2( ∂2 λ∂ E2 )

EF

+… …………..(5)

Dengan

∂ f∂ E

=−f (1−f )

kB T ………………………………..(6)

Dengan

A0=−∫−∞

∞∂ f∂ E

dE= [− f ]−∞∞

=1

A1=−∫−∞

∞

(E−EF)∂ f∂ E

dE=0

Karan fungsi ∂ f∂ E

adalah fungsi ganjil dari (E−EF) sehingga integral adalah

fungsi genap dari (E−EF)

A2= −12∫−∞

∞

( E−EF )2 ∂ f∂ E

dE

dimana

f = 1

1+e(E−E F)

kBT

= 1

1+e x

x = (E−EF)

k B T ,

∂ f∂ E

= ∂ f∂ x

∂ x∂ E

= −ex

(1+ex )21

k B T

−∂ f∂ E ¿ ex

(1+ex )21

kB T

−∂2 f∂ E2

¿− ∂∂ x ( ∂ f

∂ E ) ∂ x∂ E

= 1k BT

∂∂ x (−∂ f

∂ E )¿

1

(k BT )2(1+ex )2 ex−2 ex ( 1+ex ) ex

(1+ex )4

A2= −12∫−∞

∞

( E−EF )2 ∂ f∂ E

dE

=(k BT )2

2∫−∞

∞x2ex

( 1+e2 )2 dx

= (k BT )2

2×

π2

3=

π2

6( kB T )2

Substitusikan nilai Ao, A1 dan A2 kedalam persamaan (5)

I¿∫

0

∞

f ( E ) ∂ λ(E)∂ E

dE

= λ ( EF )+ π2

6( kB T )2( ∂2 λ

∂ E2 )E F

Dengan mengambil λ ( E )=∫

0

∞

g ( E ) dE

g ( E ) dE ¿8❑√2πV m

32

h3 E12 dE

∂ g∂ E ¿

12

8√2 πV m32

h3 E−12 …….(5a)

N ¿∫0

∞

f (E)g ( E ) dE= ∫0

E F(T )

g ( E ) dE+¿π 2

6(k BT )2( ∂2 λ

∂ E2 )EF

¿

∫0

EF (0 )

g (E ) dE ¿ ∫0

EF(T )

g ( E ) dE+¿π 2

6(k BT )2( ∂2 λ

∂ E2 )EF

¿

0 = ∫E F (0 )

EF (T )

g ( E ) dE+¿π2

6(k B T )2( ∂2 λ

∂ E2 )EF

¿………………(6)

Karena EF>> kBT, EF (T) tidak jauh berbeda dengan EF (0), sehingga dalam range yang kecil dari EF (0) ke EF (T), g(E) diasumsikan menjadi konstan. Sehingga persamaan (6) menjadi

g ( EF ) [ EF (0 )−EF (T )] ¿ π 2

6(k BT )2( ∂ g

∂ E )EF

…………..(7)

Dengan menggunakan persaman (5.a), kita dapat persamaan (7) menjadi

[ EF (0 )−EF (T )] ¿ π 2

6(k BT )2 1

2 EF

EF(T ) ¿ EF (0 )−π 2

12(k B T )2

EF

¿ EF (0 )(1−π2

12 ( k BT

EF(0))2

)

TUGAS 3

1. Membuktikan Hubungan Einstein Dalam Menghitung Rapat Arus!

A. Membuktikkan hubungan Einstein dalam menghitung rapat arus baik tipe-n

maupun tipe-p

Mekanisme yang menyebabkan arus mengalir dibagi menjadi dua macam, yaitu :

a. Arus drift (hanyut)

Adalah Arus listrik mengalir disebabkan oleh pergerakan partikel bermuatan

(elektron dan hole) karena adanya medan listrik E. Ketika semikonduktor diberi

medan listrik E, maka partikel-partikel bermuatan dalam semikonduktor tersebut akan

bergerak (hanyut) dengan laju/ kecepatan yang berbanding lurus dengan medan

listriknya.

Gambar 1 : Gerakkan elektron dan hole dalam medan listrik

Jika sebuah medan listrik diberikan pada suatu semikonduktor, maka medan listrik ini

akan menghasilkan gaya yang bekerja baik pada elektron bebas ataupun hole, yang lalu

akan mengalami pergerakan dan kecepatan drift. Dari Gambar 1 dapat dilihat arah gerak

elektron berlawanan dengan arah medan listrik, sehingga

menghasilkan gaya pada elektron bermuatan negatif, sedangkan arah gerak hole searah

dengan arah gerak medan listrik, sehingga menghasilkan gaya pada hole dengan muatan

positif. Elektron dan hole tersebut akan memperoleh kecepatan drift besar :

μn dan μp (m2/V.s) di sebut dengan mobilitas pembawa. Mobilitas ini dapat

dipandang sebagai sebuah parameter yang mengindikasikan seberapa baik sebuah

elektron/hole dapat bergerak di dalam semikonduktor. Tanda negatif pada persamaan

menandakan bahwa kecepatan drift elektron berlawanan arah dengan medan listrik

yang diberikan, sedangkan tanda positif menandakan bahwa kecepatan drift hole

searah dengan medan listrik yang diberikan . Kecepatan drift ini sendiri akan

menghasilkan kerapatan arus drift J (A/m2)yang besarnya adalah :

Rapat arus total drift pada semikonduktor adalah:

Arus yang dinyatakan dalam persamaan di atas di sebut arus hanyut, dimana μn dan

μp, n dan p tidak tergantung pada medan , arus dikatakan mengikuti hukum ohm.

Maka kita dapat mendefinisikan konstanta perbandingan atau konduktivitas σ

(ohm.m)-1 yang menghubungkan arus dengan medan.

Sehingga, rapat arus total diperoleh dengan mensubtitusi pers (6) ke pers (5), maka :

b. Arus Difusi

Adalah arus yang mengalir disebabkan oleh pergerakan partikel bermuatan (elektron

dan hole) karena ada perbedaan konsentrasi. Arus difusi dapat terjadi walaupun tanpa

medan listrik. Arus difusi akan mengalir dari daerah yang berkonsentrasi tinggi ke

daerah yang memiliki konsentrasi rendah. Ini adalah fenomena statistikal dan

berhubungan dengan teori kinetik. Untuk menjelaskannya, baik elektron maupun hole

pada semikonduktor selalu berada pada pergerakan yang kontinyu. dengan kecepatan

rata-rata yang ditentukan oleh suhu, dan dalam arah yang acak oleh pengaruh struktur

kristal. Secara statistik, kita dapat mengasumsikan bahwa untuk setiap instan

manapun, sekitar setengah dari partikel pada daerah dengan konsentrasi tinggi akan

bergerak keluar dari daerah tersebut menuju daerah dengan konsentrasi yang lebih

rendah. Kita juga dapat mengasumsikan bahwa pada saat yang bersamaan, sekitar

setengah dari partikel dari daerah dengan konsentrasi rendah bergerak menuju daerah

dengan konsentrasi yang lebih tinggi. Bagaimanapun juga, oleh definisi, terdapat

lebih sedikit partikel pada daerah dengan konsentrasi rendah daripada yang terdapat

pada daerah dengan konsentrasi yang lebih tinggi, Karenanya, aliran partikel akan

bergerak dari daerah dengan konsentrasi tinggi menuju daerah dengan konsentrasi

yang lebih rendah. Ini adalah proses difusi yang paling dasar.

Sebagai contoh, perhatikan konsentrasi elektron yang bervariasi sebagai sebuah

fungsi jarak x, seperti yang terlihat pada Gambar 2. Difusi elektron dari daerah

dengan konsentrasi tinggi menuju daerah dengan konsentrasi yang lebih rendah

menghasilkan aliran elektron dalam arah x negatif. Karena elektron bermuatan

negatif, maka arah arus konvensionalnya akan menjadi x positif. Maka:

Jn sebanding dengan konstanta difusi elektron (Dn) dengan satuan m2/s, sehingga:

Untuk hole, prinsip yang sama dapat digunakan. Pada Gambar 3, konsentrasi hole

adalah sebuah fungsi jarak. Difusi hole dari daerah dengan koefisien tinggi ke daerah

dengan koefisien yang lebih rendah akan menghasilkan aliran hole dalam arah x

negatif. Karena hole bermuatan positif, maka arah arus konvensionalnya akan

menjadi x negatif. Maka:

Jp, sebanding dengan konstanta difusi hole (Dp) dengan satuan m2/s, sehingga:

Jika rapat arus disebabkan oleh arus drift dan arus difusi, maka rapat arus total

menjadi :

Rapat arus untuk electron

Rapat arus untuk hole

Hubungan Einstein untuk dan D

Meskipun arus hanyut dan arus difusi terlihat berbeda proses, namun ada hubungan

antara konstanta mobilitas μ dan D konstanta difusi . Ini karena kedua parameter ini

ditentukan oleh gerak termal dan penyebaran pembawa bebas. Untuk melihat

hubungan ini dapat digunakan konsep energy Fermi pada kesetimbangan fermal.

Hubungan antara konstanta difusi dan mobilitas pembawa muatan saling dependen,

sesuai dengan relasi Einstein :

Tipe-n ; x = 0 ; Ei (0) = EF ; karena semikonduktor intrinsik

EF - Ei (x) = Ei (0) - Ei (x) = qΨ

Ψ (x) potensial antara x dan 0

n(x) = ni exp ( EF−Ei(x)

kT )subtitusi pers (7) ke pers (8) :

n(x) = ni exp ( qΨ (x )kT )

dndx

= q

kTn ( x ) dψ

dx=

−n(x )V T

ε ; V T=kTq

Subtitusi pers (11) ke pers (7)

Jn=qn μn ε+q Dn .−n(x )V T

ε

q Dn .n(x)V T

ε=qnμn ε

(9)

(11)

(10)

Dn=μn .V T ; untuk elektron

D p=μ p . V T ; untuk hole

Sehingga hubungan Einstein dalam menghitung rapat arus pada semikonduktor tipe-n

dan tipe-p adalah :

Dn

μn

=D p

μp

= kTq

2. Menentukan kontinuitas pada semikonduktor yang berarus?

Persamaan kontinuitas : menyatakan perubahan jumlah pembawa dalam suatu daerah.

Seperti yang terlihat pada Gambar 6, sebuah semikonduktor tipe-n yang berbentuk batang dengan penampang A (m2), silinder AΔ xdibatasi oleh dua buah bidang pada x dan pada x+Δ x.

Jn(x ) = arus elektron yang masuk

Jn(x+dx ) = arus elektron yang keluar

Jumlah pembawa yang terkumpul dalam silinder AΔ xdalam interval waktuΔtadalah :

A d x .dndt

=J n (x+dx ) Aq

−J n(x ) Aq

Laju timbul dan laju hilangnya pembawa :Bila Gn = laju timbul pembawa per satuan volum dan per satuan waktu

Rn = laju hilang pembawa per satuan volum dan per satuan waktu

Gambar 6 :

(1)

Maka jumlah pembawa yang di timbulkan dalam silinder AΔ xdalam interval waktuΔtadalah :Gn . A d x−Rn . A d x

Maka total penanmbahan jumlah elektron adalah :n (t+ Δt )−n(t)

Δt=

Aq

[J n ( x+dx )−J n(x)] Δt+ Δt . A d x (Gn−Rn)

Dengan limit Δ x dan Δt pers di atas menjadi pers difensial :dn(t )

dt=1

qddx

[J n(x) ]+(Gn−Rn)

dp(t )dt

=−1q

ddx

[ J p( x)]+(G p−Rp)

3. Tegangan barrier pada sambungan p-n?

Potensial/ teganganbarier merupakankejadian dimana terjadi ketidakseimbangan atauketidakstabilan antara

hole dalam material tipe-p dan elektron dalam material tipe-n. Pada pasangan ion positif dan ion negatif pada sambungan

p-n, muncul suatu beda potensial(tegangan). Tegangan ini menghasilkan medan listrik yang menghambat elektron

bebasmasuk kelapisan deplesi dan mendorongnya kembali ke daerah n dan tegangan ini yangdisebut tegangan barrier

(potensial barrier).

Jadi tegangan barrier adalah tegangan yang merintangi elektron pada material

tipe-n dan hole pada material tipe-p untuk saling berdifusi. Besar tengangan barrier

tergantung pada bahan semikonduktor jenis p dan jenis n. Contoh untuk Silikon,

besar tegangan barrier = 0,7 V dan Gerrmanium tegangan barriernya = 0,3 V.

Karena adanya tegangan barrier maka sambungan p-n dapat dianggap sebuah batere

dengan sisi n berpolaritas positif dan sisi p berpolaritas negatif.

GAMBAR 1. TEGANGAN BARIER

(2)

GAMBAR 2. TEGANGAN MAJU

Ketika sambungan p-n diberi tegangan sumber, sehingga kutup positif batere

dihubungkan ke p dan kutup negatif dihubungkan ke n, maka daerah deplesi/

lapisan pengosong menyempit, karena hole pada p ditolak oleh kutup positif

batere dan elektron ditolak oleh kutub negatif batere.

Jika tegangan sumber yang diberikan sama dengan tegangan barrier, maka tebal

daerah deplesi sama dengan nol.

Jika tegangan sumber lebih besar dari tegangan barrier maka hole pada p berdifusi ke n, sebaliknya elektron pada n berdifusi ke p, dengan demikian arus listrik dapat mengalir melalui sambungan p-n

4. Daerah deplesi pada sambungan p-n?

Daerah deplesi adalah daerah batas antara sambungan semikondiktor tipe-n dan tipe-p yang

menghalangi transfer elektron, kecuali dibantu dengan pemberian bias maju pada persambungan.

Jadi sebelum diberi medan dari luar sedikit sekali elektron yang berpindah ke tipe-p karena terdapat

daerah deplesi.

GAMBAR 1. DAERAH PERSAMBUNGAN p-n

Struktur pita energi bahan sambungan adalah gabungan antara pita energi bahan tipe-n dan

bahan tipe-p. Penyambungan ini terjadi dengan prinsip bahwa tingkat Fermi (EF) haruslah terletak

setingkat (lihat gambar 2). Sebagai akibat penerapan prinsip tersebut, timbulah potensial

sambungan (φ) atau energi potensial sambungan (eφ). Pemberian bias tegangan pada ujung-ujung

bahan sambungan akan meningkatkan atau menurunkan energi potensial sambungan, bergantung

arah tegangan bias yang diberikan.

GAMBAR 2. STRUKTUR PITA ENERGI PERSAMBUNGAN p-n

Ada dua cara pemberian tegangan pada semikonduktor sambungan tipe-n dan

tipe-p :

a. Bias maju

Saat semikonduktor sambungan p-n diberi tegangan maju, maka akan

menurunkan energi potensial sambungan dengan kata lain daerah deplesi

mengecil, bahkan menghilang sehingga arus listrik/ elektron (pembawa

muatan) dapat dengan mudah menyeberang sambungan, arus yang di

hasilkan akan lebih tinggi.

Gambar 3 : Efek bias maju pada persambungan p-n

Ciri-ciri :

1. Tipe p dihubungkan ke terminal positif sumber 

2. Tipe n dihubungkan ke terminal negatif sumber.

Akibatnya :

1. hole di daerah p akan ditolak oleh terminal positif dan akan ditarik

oleh terminal negatif melalui junction.

2. Sedangkan elektron di daerah n akan ditolak oleh terminal

negatif dan ditarik oleh terminalpositif melalui junction.

3. Zone depletion menyempit

4. Potential barrier turun

maka :

1. Pembawa muatan mayorits akan mudah melewati junction, I ≠ 0

2. Makin besar tegangan bias → I makin besar 

b. Bias mundur

Saat semikonduktor sambungan p-n diberi tengangan mundur, energi

potensial sambungan bertambah, dengan kata lain daerah deplesi juga

bertambah besar. Akibatnya, pembawa muatan tidak dapat menyeberangi

sambungan, arus listrik sulit mengalir.

Gambar 4.Efek bias mundur pada persambungan p-n

Ciri-ciri :

1. Tipe p dihubungkan ke terminal negatif sumber 

2. Tipe n dihubungkan ke terminal positif sumber.

akibatnya :

1. hole di daerah p akan ditarik menuju terminal negatif

2. elektron di daerah n akan ditarik menuju terminal positif.

3. Zone depletion menjadi lebar

4. Potential barrier naik

maka :

• Pembawa tidak ada muatan mayorits yang dapat melewati junction, I = 0.

Berdasarkan sifat pemberian bias maju dan bias mundur inilah sambungan p-n berfungsi

sebagai penyearah arus (dioda). Sambungan p-n sebagai dioda memiliki karakteristik hubungan arus

(I) dan tegangan (V) seperti pada Gambar 7, menurut persamaan :

Io adalah kebocoran yang menerobos potensial sambungan pada saat tegangan mundur

(V<0), e muatan elektron, dan T suhu dioda. Dari persamaan dioda ini dapat dirumuskan hambatan-

dalam dioda (rd) menurut ungkapan :

Tampak bahwa hambatan-dalam dioda ini tidak bernilai tetap, melainkan berubah

menurut tegangan yang diberikan.

Gambar 5. Pemberian bias tegangan dan pita energi untuk :(a.)tegangan maju (b.) tegangan mundur.

Gambar 6 : a. Karakteristik arus (I) - tegangan (V) diodab. simbol dioda dalam rangkaian.

Perhatikan Gambar 6 karakteristik arus-tegangan (I-V) dioda terutama dalam keadaan

tegangan mundur (Gambar 6.a). Pada V<0, berapapun nilai V besarnya arus yang mengalir tetap I0.

Apakah arus ini akan tetap I0 meskipun nilai V terus diperbesar ke arah negatif ? Apabila beda

tegangan mundur telah mencapai nilai tertentu; elektron-elektron bebas pada tipe-n mempunyai

energi kinetik cukup besar yang mampu menumbuk ke luar elektron-elektron valensi menjadi

elektron bebas..

Daerah deplesi untuk masing-masing bahan tipe-p dan tipe-n, distribusi

muatan yang dikandungnya terdiri dari muatan positif bebas dan ion negatif statik

dalam tipe-p, dan muatan negatif bebas serta ion positif statik dalam bahan tipe-n.

Tepat pada daerah sambungan dan sekitarnya, terjadi difusi muatan bebas : elektron

nenuju tipe-p dan lubang menuju tipe-n. Peristiwa difusi tersebut disertai terjadinya

rekombinasi, yaitu penggabungan elektron dan lubang lalu lenyap. Dengan

rekombinasi ini, di sekitar daerah sambungan tidak ada lagi muatan-muatan bebas,

dan yang tertinggal hanyalah ion-ion statik; yaitu ion-ion dari atom-atom donor dan

akseptor. Daerah sambungan dengan ciri yang demikian disebut daerah/lapisan

deplesi. Karena daerah deplesi mengandung muatan positif statik pada salah satu sisi

dan muatan negatif pada sisi yang lain, maka timbul medan listrik pada daerah

deplesi tersebut dan ini dapat dipandang sebagai sebuah keping sejajar. Dengan

demikian daerah deplesi memiliki nilai kapasitansi.

5. Cara menentukan kapasitansi pada daerah barrier (kapasitasi dioda)?

Pada lapisan deplesi terdapat muatan positif dan negatif, yang dapat di anggap

sebagai kapasitor, seperti ditunjukkan pada gambar berikut :

Dengan menganggap sebagai kapasitor plat sejajar, maka kapasitansi dari dioda

tersebut adalah :

C= εAdn+d p

= εAd

Kapasitansi ini dikenal sebagai kapasitansi deplesi.

Dengan memanfaatkan N D+dn=N A+d P dan V B=q¿¿

Diperoleh d=dn+d p = √ 2 ε V B

q √( 1N A

+ 1ND

)Sebaliknya jika ada tegangan bias, maka persamaan ini nilai V Bdiganti dengan

V B± V , dengan V tegangan bias yang diberikan ke dioda hubungan, sehingga:

d=√ 2 εq √( 1

N A

+ 1N D

)√( V B ± V )

Selanjutnya diperoleh :

C=εA

√ 2 εq √( 1

N A

+ 1N D

)√ (V B ± V )=A √ εA

2√( 1N A

+ 1N D

)√ (V B± V )

6. Ikatan Logam dan sifat-sifat Logam

Logam atau metal mememiliki beberapa karakter umum yaitu wujud padat,

menunjukkan kilap, massa jenis tinggi, titik didih dan titik lebur tinggi, konduktor

panas dan listrik yang baik, kuat atau keras namun mudah dibentuk misalnya dapat

ditempa (malleable) dan direnggangkan (ductile). Walaupun demikian terdapat

beberapa sifat yang menyimpang misalnya raksa pada suhu kamar merupakan satu-

satunya logam yang berwujud padat dan hingga saat ini belum diketahui mengapa

raksa berwujud cair. Selain itu titik leleh beberapa unsur logam sangat rendah yaitu

Hg, Cs dan Rb dengan titik didih berturut-turut adalah -38,83 °C, 29 °C dan 39 °C

dan Li dan K memiliki massa jenis yang rendah yaitu 0,534 dan 0,86 g/mL.

Emas, perak dan platina disebut logam mulia, sedangkan emas, tembaga dan

perak sering disebut sebagai logam mata uang, karena ketiga unsur ini dipadukan

untuk membuat koin-koin mata uang. Dikatakan sebagai logam mulia karena ketiga

logam ini sukar teroksidasi dengan sejumlah besar pereaksi. Selain dikenal logam

mulia dikenal pula logam berat (heavy metal) adalah logam dengan massa jenis lima

atau lebih, dengan nomor atom 22 sampai dengan 92. Raksa, kadmium, kromium

dan timbal merupakan beberapa contoh logam berat. Logam-logam berat dalam

jumlah yang banyak artinya melebihi kadar maksimum yang ditetapkan, sangat

berbahaya bagi kesehatan manusia karena dapat menyebabkan kanker (bersifat

karsinogen).

 

Ikatan Logam

Berdasarkan sifat umum logam dapat disimpulkan bahwa ikatan logam

ternyata bukan merupakan ikatan ion maupun ikatan kovalen. Ikatan logam

didefinisikan berdasarkan model awan elektron atau lautan elektron yang

didefinisikan oleh Drude pada tahun 1900 dan disempunakan oleh Lorents pada

tahun 1923.

Gambar 1. Awan elektron

Menurut teori awan elektron di dalam kristal logam, setiap atom melepaskan

elektron valensinya sehingga membentuk awan elektron dan kation yang bermuatan

positif dan tersusun rapat dalam awan elektron tersebut. Ion logam yang bermuatan

positif tersebut terdapat pada jarak tertentu satu sama lain dalam kristalnya. Karena

elektron valensi tidak terikat pada salah satu ion logam atau pasangan ion logam,

tapi terdelokalisasi terhadap semua ion logam, maka elektron valensi tersebut bebas

bergerak ke seluruh bagian dari kristal logam, sama halnya dengan molekul-molekul

gas yang dapat bergerak dengan bebas dalam ruangan tertentu.

Jadi menurut teori ini, kristal logam terdiri dari kumpulan ion logam

bermuatan positif di dalam larutan elektron yang mudah bergerak. Ikatan logam

terdapat antara ion logam positif dan elektron yang mudah bergerak tersebut.Teori

awan elektron juga disebut teori elektron bebas, teori larutan elektron atau fluida

elektron secara kualitatif dapat menjelaskan berbagai sifat fisika dari logam, seperti

sifat mengkilap, dapat menghantarkan listrik dan panas, dapat ditempa,

dibengkokkan dan ditarik.

Berdasarkan teori ini, logam di anggap terdiri dari ion-ion logam berupa

bola-bola keras yang tersusun secara teratur, berulang dan disekitar ion-ion logam

terdapat awan atau lautan elektron yang dibentuk dari elektron valensi dari logam

terkait. Awan elektron yang terbentuk berasal dari semua atom-atom logam yang

ada. Hal ini disebabkan oleh tumpang tindih (ovelap) orbital valensi dari atom-atom

logam (orbital valensi = orbital elektron valensi berada). Akibatnya elektron-

elektron yang ada pada orbitalnya dapat berpindah ke orbital valensi atom

tetangganya. Karena hal inilah elektron-elektron valensi akan terdelokaslisasi pada

semua atom yang terdapat pada logam membentuk awan atau lautan elektron yang

bersifat mobil atau dapat bergerak.

Dari teori awan atau lautan elektron, ikatan logam didefinisikan sebagai gaya

tarik antara muatan positif dari ion-ion logam (kation logam) dengan muatan negatif

yang terbentuk dari elektron-elektron valensi dari atom-atom logam. Jadi logam

yang memiliki elektron valensi lebih banyak akan menghasilkan kation dengan

muatan positif yang lebih besar dan awan elektron dengan jumlah elektron yang

lebih banyak atau lebih rapat. Hal ini menyebabkan logam memiliki ikatan yang

lebih kuat dibanding logam yang tersusun dari atom-atom logam dengan jumlah

elektron valensi lebih sedikit.

Gambar 2. Ikatan Logam

Misalnya logam magnesium yang memiliki 2 elektron valensi. Berdasarkan model awan

elektron, logam aluminium dapat dianggap terdiri dari ion Al2+ yang tersusun secara teratur,

berulang dan disekitarnya terdapat awan atau lautan elektron yang dibentuk dari elektron valensi

magnesium, seperti pada Gambar 3.

Gambar 3. Model awan elektron dari lagom magnesium

 

Logam dapat dapat ditempa, direntangkan, tidak rapuh dan dapat

dibengkokkan, karena atom-atom logam tersusun secara teratur dan rapat sehingga

ketika diberi tekanan atom-atom tersebut dapat tergelincir di atas lapisan atom yang

lain seperti yang ditunjukan pada Gambar 4.

Gambar 4. perpindahan atom pada suatu logam ketika diberi tekanan atau

ditempa

Dari gambar menjelaskan mengapa logam dapat ditempa ataupun

direntangkan, karena pada logam semua atom sejenis sehingga atom-atom yang

bergeser saat diberi tekanan seolah-olah tetap pada kedudukan yang sama. Keadaan

ini berbeda dengan ikatan ionik. Dalam kristal ionik, gaya pengikatnya adalah gaya

tarik antar ion yang bermuatan positif dengan ion yang bermuatan negatif. Sehingga

ketika kristal ionik diberi tekanan akan terjadi pergeseran ion positif dan negatif

yang dapat menyebabkan ion positif berdekatan dengan ion positif dan ion negatif

dengan ion negatif. Keadaan ini mengakibatkan terjadi gaya tolak antar ion-ion

sejenis sehingga kristal ionik menjadi retak kemudian pecah.

Titik Didih dan Titik Lebur Logam

Titik didih dan titik lebur logam berkaitan langsung dengan kekuatan ikatan

logamnya. Titik didih dan titik lebur logam makin tinggi bila ikatan logam yang

dimiliki makin kuat. Dalam sistem periodik unsur, pada satu golongan dari atas

kebawah, ukuran kation logam dan jari-jari atom logam makin besar. Hal ini

menyebabkan jarak antara pusat kation-kation logam dengan awan elektronnya

semakin jauh, sehingga gaya tarik elektrostatik antara kation-kation logam dengan

awan elektronnya semakin lemah. Hal ini dapat dilihat pada titik didih dan titik lebur

logam alkali.

Tabel 1. Tabel titik didih dan titik lebur logam alkali

Logam Jari-jari atom

logam (pm)

Kation

logam

Jari-jari kation

logam (pm)

Titik lebur

(°C)

Titik didih

(°C)

Li 157 Li+ 106 180 1330

Na 191 Na+ 132 97,8 892

K 235 K+ 165 63,7 774

Rb 250 Rb+ 175 38,9 688

Cs 272 Cs+ 188 29,7 690

 

Daya Hantar Listrik Logam

Sebelum logam diberi beda potensial, elektron valensi yang membentuk

awan elektron bergerak ke segala arah dengan jumlah yang sama banyak. Apabila

pada logam diberi beda potensial, dengan salah satu ujung logam ditempatkan

elektroda positif (anoda) dan pada ujung yang lain ditempatkan ujung negatif

(katoda), maka jumlah elektron yang bergerak ke anoda lebih banyak dibandingkan

jumlah elektron yang bergerak ke katoda sehingga terjadi hantaran listrik.

Daya Hantar Panas Logam

Berdasarkan model awan elektron, apabila salah satu ujung dari logam

dipanaskan maka awan elektron ditempat tersebut mendapat tambahan energi

termal. Karena awan elektron bersifat mobil, maka energi termal tersebut dapat

ditransmisikan ke bagian-bagian lain dari logam yang memiliki temperatur lebih

rendah sehingga bagian tersebut menjadi panas.

Kilap Logam

Permukaan logam yang bersih dan halus akan memberikan kilap atau kilau

(luster) tertentu. Kilau logam berbeda dengan kilau unsur nonlogam. Kilau logam

dapat dipandang dari segala sudut sedangkan kilau nonlogam hanya dipandang dari

sudut tertentu. Logam akan tampak berkilau apabila sinar tampak mengenai

permukaannya. Hal ini disebabkan sinar tampak akan menyebabkan terjadinya

eksitasi elektron-elektron bebas pada permukaan logam. Eksitasi elektron yaitu

perpindahan elektron dari keadaan dasar (tingkat energi terendah) menuju ke

keadaan yang lebih tinggi (tingkat energi lebih tinggi). Elektron yang tereksitasi

dapat kembali ke keadaan dasar dengan memantulkan energi dalam bentuk radiasi

elektromagnetik. Energi yang dipancarkan inilah yang menyebabkan logam tampak

berkilau.

Aloi atau Alloy

Logam-logam selalu dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, misalnya rangka jendela,

peralatan-peralatan rumuh tangga, rangka pesawat maupun maupun bahan lain yang menggunakan

logam. Bahan-bahan logam tersebut bukan hanya dibuat dari satu jenis unsur logam tetapi telah

dicampur atau ditambah dengan unsur-unsur lain yang disebut aloi atau sering disebut lakur atau

paduan.

Aloi terbentuk apabila leburan dua atau lebih macam logam dicampur atau

leburan suatu logam dicampur dengan unsur-unsur nonlogam dan campuran tersebut

tidak saling bereaksi serta masih menunjukan sifat sebagai logam setelah

didinginkan. Aloi dibagi menjadi dua macam yaitu aloi selitan dan aloi substitusi.

Disebut aloi selitan bila jari-jari atom unsur yang dipadukan sama atau lebih kecil

dari jari-jari atom logam. Sedangkan aloi substitusi terbentuk apabila jari-jari unsur

yang dipadukan lebih besar dari jari-jari atom logam.

2. Jumlah Elektron dalam Logam

Logam memegang peranan penting dalam kehidupan manusia, misalnya

besidalam produksi otomobil, tembaga untuk penghantar listrik, dan lain-

lain.Umumnya logam memiliki sifat kekuatan fisik tinggi, kerapatan

tinggi,konduktivitas listrik dan termal baik, dan daya refleksi tinggi. Sifat ini

berkaitandengan struktur mikroskopik bahan, yang dapat diasumsikan bahwa suatu

logam mengandung elektron bebas, dengan konsentrasi besar, yang dapat

bergerakdalam keseluruhan volume kristal.

Saat atom bebas membentuk logam, semua elektron valensi menjadi elektron

kondusi dalam logam. Elektron konduksi bergerak bebas diantara ion,

sehinggakeadaannya berubah tajam. Berbeda dengan elektron “cores” yang

tetapterlokalisasi sehingga karakternya relative tidak berubah. Dengan

demikian,gambaran sederhana tentang kristal logam adalah suatu kisi ion teratur

dalamruang, dan elektron bebas bergerak diantara ion tersebut.

Secara umum setiap jenis bahan padat yang disusun olehatom-atom selalu mengandung

elektron-elektron. Namun demikian, elektron-elektrontersebut ada yang terikat erat pada ikatan

atom-atom dan ada juga yang bebas.Elektron dikatakan bebas bilamana elektron tersebut dapat

bergerak secara bebas darisatu titik ke titik lain di seluruh kristal. Dengan kata lain elektron bebas

didefinisikansebagai elektron yang dapat bergerak bebas tanpa adanya gaya luar

yangmempengaruhi, dan memiliki energi potensial nol V (r) =0. Elektron yang bersifatdemikian

disebut elektron bebas. Sedangkan elektron yang tidak dapat bergerakbebas, yaitu elektron yang

terikat dalam atom maupun ikatan antar atom, disebutelektron terikat. Struktur ikatan pada bahan

loham memungkinkan zat padat jenis inimengandung elektron bebas. Sedangkan bahan bukan

logam lainnya, yaitu yang mempunyai ikatan ionik atau kovalen, tidak memiliki elektron bebas.

Dengan adanya elektron bebas ini logam mempunyai sifat-sifat yang khas, antara lainmerupakan

penghantar listrik dan penghantar panas yang baik serta permukaannyamengkilat (sifat pantulnya

baik).

Energi Fermi adalah energi maksimum ditempati oleh sebuah elektron pada 0 K (pada

keadaan dasar). Energi Fermi merupakan suatu kuantitas yang sangat penting dalam sistem fermion

(elektron adalah fermion).Fermion memenuhi prinsip ekslusi Pauli, dan fungsi gelombang sistem

fermionberubah tanda terhadap pertukaran setiap pasangan partikel. Fungsi gelombangsemacam

ini disebut antisimetrik. Hanya satu fermion yang diperbolehkanterdapat pada keadaan kuantum

tertentu dari sistem tersebut.

Jika di tinjau pada kasus Efo, yaitu energi fermi pada T = 0K, untuk menghitung banyaknya

elektron di dalam logam adalah sebagai berikut :

Dimana dalam kasus 3D ( nx, ny, nz ) dalam interval energi antara E dan E + dE di berikan oleh :

dS=g ( E ) dE=2 πV (2 m

32)

h3 E12 dE

Karena untuk setiap set bilangan kuantum ( nx, ny, nz ) terdapat dua kemungkinan orientasi

spin elektron, kita harus mengalikan g(E) dengan faktor 2 untuk mendapatkan keadan-keadaan

aktula untuk gas elektron, dengan demikian total jumlah fermion atau total jumlah elektron di

dalam logam adalah :

N=2∫0

FFD g ( E ) dE=¿4πV (2 m

32 )

h3 ∫0

E12 dE

e¿ ¿¿¿¿

Pada T = 0K, fungsi distribusi fermi dirac-nya adalah :

FFD = 1 untuk E < Efo

FFD = 0 untuk E > Efo

Sehingga limit-limit pada integralnya dapat di ubah untuk mendapatkan :

N=4 πV (2m

32 )

h3 ∫0

E fo

E12 dE=

4 πV (2m32 )

h3 [ 23

E fo

32 ]

Atau

E fo=h2

8m [ 3 NπV ]

23

Jadi ketika terjadi kenaikan temperatur, ditemukan bahwa energi

fermi pada setiap logam tetap memiliki nilai yang sama dengan Efo.

7. Jumlah Elektron dalam Logam

Logam memegang peranan penting dalam kehidupan manusia, misalnya

besidalam produksi otomobil, tembaga untuk penghantar listrik, dan lain-

lain.Umumnya logam memiliki sifat kekuatan fisik tinggi, kerapatan

tinggi,konduktivitas listrik dan termal baik, dan daya refleksi tinggi. Sifat ini

berkaitandengan struktur mikroskopik bahan, yang dapat diasumsikan bahwa suatu

logam mengandung elektron bebas, dengan konsentrasi besar, yang dapat

bergerakdalam keseluruhan volume kristal.

Saat atom bebas membentuk logam, semua elektron valensi menjadi elektron

kondusi dalam logam. Elektron konduksi bergerak bebas diantara ion,

sehinggakeadaannya berubah tajam. Berbeda dengan elektron “cores” yang

tetapterlokalisasi sehingga karakternya relative tidak berubah. Dengan

demikian,gambaran sederhana tentang kristal logam adalah suatu kisi ion teratur

dalamruang, dan elektron bebas bergerak diantara ion tersebut.

Secara umum setiap jenis bahan padat yang disusun olehatom-atom selalu mengandung

elektron-elektron. Namun demikian, elektron-elektrontersebut ada yang terikat erat pada ikatan

atom-atom dan ada juga yang bebas.Elektron dikatakan bebas bilamana elektron tersebut dapat

bergerak secara bebas darisatu titik ke titik lain di seluruh kristal. Dengan kata lain elektron bebas

didefinisikansebagai elektron yang dapat bergerak bebas tanpa adanya gaya luar

yangmempengaruhi, dan memiliki energi potensial nol V (r) =0. Elektron yang bersifatdemikian

disebut elektron bebas. Sedangkan elektron yang tidak dapat bergerakbebas, yaitu elektron yang

terikat dalam atom maupun ikatan antar atom, disebutelektron terikat. Struktur ikatan pada bahan

loham memungkinkan zat padat jenis inimengandung elektron bebas. Sedangkan bahan bukan

logam lainnya, yaitu yang mempunyai ikatan ionik atau kovalen, tidak memiliki elektron bebas.

Dengan adanya elektron bebas ini logam mempunyai sifat-sifat yang khas, antara lainmerupakan

penghantar listrik dan penghantar panas yang baik serta permukaannyamengkilat (sifat pantulnya

baik).

Energi Fermi adalah energi maksimum ditempati oleh sebuah elektron pada 0 K (pada

keadaan dasar). Energi Fermi merupakan suatu kuantitas yang sangat penting dalam sistem fermion

(elektron adalah fermion).Fermion memenuhi prinsip ekslusi Pauli, dan fungsi gelombang sistem

fermionberubah tanda terhadap pertukaran setiap pasangan partikel. Fungsi gelombangsemacam

ini disebut antisimetrik. Hanya satu fermion yang diperbolehkanterdapat pada keadaan kuantum

tertentu dari sistem tersebut.

Jika di tinjau pada kasus Efo, yaitu energi fermi pada T = 0K, untuk menghitung banyaknya

elektron di dalam logam adalah sebagai berikut :

Dimana dalam kasus 3D ( nx, ny, nz ) dalam interval energi antara E dan E + dE di berikan oleh :

dS=g ( E ) dE=2 πV (2 m

32)

h3 E12 dE

Karena untuk setiap set bilangan kuantum ( nx, ny, nz ) terdapat dua kemungkinan orientasi

spin elektron, kita harus mengalikan g(E) dengan faktor 2 untuk mendapatkan keadan-keadaan

aktula untuk gas elektron, dengan demikian total jumlah fermion atau total jumlah elektron di

dalam logam adalah :

N=2∫0

FFD g ( E ) dE=¿4πV (2 m

32 )

h3 ∫0

E12 dE

e¿ ¿¿¿¿

Pada T = 0K, fungsi distribusi fermi dirac-nya adalah :

FFD = 1 untuk E < Efo

FFD = 0 untuk E > Efo

Sehingga limit-limit pada integralnya dapat di ubah untuk mendapatkan :

N=4 πV (2m

32 )

h3 ∫0

E fo

E12 dE=

4 πV (2m32 )

h3 [ 23

E fo

32 ]

Atau

E fo=h2

8m [ 3 NπV ]

23

Jadi ketika terjadi kenaikan temperatur, ditemukan bahwa energi

fermi pada setiap logam tetap memiliki nilai yang sama dengan Efo.