wlasciwosci sygnalów i splot -...
TRANSCRIPT
Właściwości sygnałów i splot
Krzysztof Patan
Właściwości sygnałów
Dla sygnału ciągłego x(t) można zdefiniować wielkości liczbowecharakteryzujące ten sygnał
wartość średnia
xsr = limτ→∞1τ
∫ τ2
− τ2x(t)dt
energia sygnału
Ex = limτ→∞
∫ τ2
− τ2|x(t)|2dt
moc sygnału
Px = limτ→∞1τ
∫ τ2
− τ2|x(t)|2dt
znak wartości bezwzględnej jest istotny w przypadku sygnałów owartościach zespolonych
np, energia wydzielana na oporze
E = limτ→∞
∫ τ2
− τ2u(t)i(t)dt = lim
τ→∞
1R
∫ τ2
− τ2u2(t)dt = lim
τ→∞R
∫ τ2
− τ2i2(t)dt
jeśli R = 1Ω, to E = Ex, zaś u(t) lub i(t) odgrywa rolę sygnału
x(t) jest sygnałem o ograniczonej energii jeśli 0 < Ex <∞
x(t) jest sygnałem o ograniczonej mocy jeśli 0 < Px <∞
prawdziwe są implikacje:
Ex ∈ (0,∞)⇒ Px = 0, Px ∈ (0,∞)⇒ Ex =∞
klasy sygnałów o ograniczonej energii i ograniczonej mocy sąrozłączne; sygnał może należeć tylko do jednej z tych klas
Dla sygnału dyskretnego x[n] można zdefiniować wielkościliczbowe charakteryzujące ten sygnał
wartość średnia
xsr = limN→∞
12N + 1
N∑n=−N
x[n]
energia sygnału
Ex = limN→∞
N∑n=−N
|x[n]|2
moc sygnału
Px = limN→∞
12N + 1
N∑n=−N
|x[n]|2
ã Sygnał x(t) (x[n]) ma skończony czas trwania jeżeli przybierawartości niezerowe w przedziale o skończonej długości
ã Sygnały o skończonym czasie trwania – sygnały impulsowe
ã Sygnał x(t) (x[n]) na ograniczoną wartość (jest sygnałemograniczonym) jeżeli istnieje taka stała M o skończonejwartości, że
∀t ∈ (−∞,+∞) |x(t)| 6M
lub−∞ < n < +∞ |x[n]| 6M
ã Uwaga! Każdy sygnał ograniczony o skończonym czasietrwania ma ograniczoną energię
ã Sygnały występujące w przyrodzie zawsze pochodzą zeźródeł o ograniczonej energii
ã Sygnały o ograniczonej mocy nie mają fizycznychodpowiedników, ale są wygodnymi modelamiteoretycznymi, zwłaszcza przy analizie sygnałówokresowych
ã Nie można uzasadnić celowości stosowania sygnałów onieskończonej mocy
ã Sygnały o zerowej energii są mało interesujące i nie sąstosowane nawet teoretycznie
Przykład 11 Wyznaczyć wartość średnią, energię i moc sygnału
x(t) = 2 sin(t) + cos(t) + 1
2 Wyznaczyć wartość średnią, energię i moc impulsuprostokątnego
x[n] =
1 dla |n| 6 50 dla |n| > 5
Uwaga! Wykorzystać zależności:sin2(x) = 12(1− cos(2x))cos2(x) = 12(1 + cos(2x))sin(x) cos(x) = 12 sin(2x)
Proste przekształcenia sygnałów
Przesunięcie w czasie
przejście sygnału x(t) przez układ (oprócz innychzniekształceń) powoduje jego opóźnienieopóźnienie sygnału jest spowodowane występowaniem wukładzie elementów magazynujących energię, np.indukcyjności i pojemnościjeżeli przesunięcie czasowe T > 0 to opóźniona wersja sygnałux(t) jest równa x(t− T )rozpatruje się także wyprzedzanie sygnału x(t+ T )jest to operacja nierealizowalna w świecie fizycznym(możliwość przewidywania przyszłości)operację wyprzedzenia można zastosować w przypadku, gdydysponuje się uprzednio zmierzonym sygnałemoperacje opóźnienia dla sygnałów dyskretnych wyprowadza sięw podobny sposób
Zmiana skali czasu
załóżmy a > 0, sygnał x(at) jest przeskalowaną wersją x(t)
gdy a > 1 sygnał zostaje przyspieszony
gdy a < 1 sygnał zostaje spowolnionyrozpatrzmy nagranie muzyczne
1 gdy x(t
2
)nagranie jest odtwarzane z prędkością dwukrotnie
mniejszą2 gdy x(2t) nagranie jest odtwarzane z prędkością dwukrotniewiększą
Inwersja czasu
inwersja sygnału x(t) to sygnał x(−t)inwersja czasu nie jest operacją realizowalną fizycznie
dla nagrania muzycznego to proces odtwarzania nagrania dotyłu
Przykład 2
Narysować sygnały1 x(t) = 1(t) + 1(t− T ) + 1(t− 2T )− 3 · 1(t− 3T )
2 x(t) = r(t)− r(t− a)gdzie r(t) = t dla t > 0
3 x[n] = 1[n+ 2] + 1[n− 4]4 dany jest sygnał
x(t) =
cos(t) dla − π 6 t 6 π
0 w innych przypadkach
dokonać opóźnienia sygnału o 5 jednostek czasu, anastępnie dokonać jego inwersji
Składowe sygnału
sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię parzystą jeśli
x(t) = x(−t) lub x[n] = x[−n]
sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię nieparzystą jeśli
x(t) = −x(−t) lub x[n] = −x[−n]
każdy sygnał można zdekomponować na zmienną parzystąxp(t) i nieparzystą xn(t)
składowa parzysta – xp(t) =x(t) + x(−t)
2
składowa nieparzysta – xn(t) =x(t)− x(−t)
2
Przykład 3
Wyznaczyć składowe parzystą i nieparzystą sygnału sinusoidalnego
Składowe sygnału
sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię parzystą jeśli
x(t) = x(−t) lub x[n] = x[−n]
sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię nieparzystą jeśli
x(t) = −x(−t) lub x[n] = −x[−n]
każdy sygnał można zdekomponować na zmienną parzystąxp(t) i nieparzystą xn(t)
składowa parzysta – xp(t) =x(t) + x(−t)
2
składowa nieparzysta – xn(t) =x(t)− x(−t)
2
Przykład 3
Wyznaczyć składowe parzystą i nieparzystą sygnału sinusoidalnego
Sygnały okresowe
Sygnały okresowe tworzą ważną klasę sygnałów
Sygnał nazywa się okresowym o okresie T jeśli
∃T > 0, ∀t ∈ R x(t) = x(t+ T )
W każdej chwili czasu t przesunięcie na osi czasu o okres lubjego wielokrotność nie zmienia wartości sygnału
Liczbę T nazywa się okresem podstawowym sygnału
Własności sygnałów okresowych
wartość średnia
xsr =1T
∫ T2
−T2x(t)dt lub xsr =
1T
∫<T>x(t)dt
Wartość średnia sygnału okresowego jest równa wartościśredniej w jednym okresie T
energia sygnału
Ex = limn→∞nEx(T ), Ex(T ) =
∫ T2
−T2|x(t)|2dt
Jeżeli energia sygnału przypadająca na podedynczy okresEx(T ) jest różna od zera, to całkowita energia sygnału Exjest nieskończona
moc sygnału
Px =1T
∫ T2
− t2|x(t)|2dt lub 1
T
∫<T>|x(t)|2dt
Moc średnia sygnału okresowego jest równa mocy średniej wjednym okresie T
wartość skutecznaxsk =
√Px
Wartość skuteczna jest często wykorzystywana w analizieobwodów elektrycznych
Dystrybucja Diraca (delta Diraca, impuls jednostkowy)
Dystrybucja Diraca – impuls o nieskończenie krótkim czasietrwania, nieskończonej amplitudzie i polu równym jednościSygnał spełnia warunki1
δ(t) = 0 dla t 6= 02 ∫ ∞
−∞δ(t)dt = 1
Stosując przesunięcie w czasie1
δ(t− t0) = 0 dla t 6= t02 ∫ ∞
−∞δ(t− t0)dt = 1
Właściwości dystrybucji Diraca
∫ ∞−∞kδ(t)dt = k
0δ(t) = 0
x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0)
Całka dystrybucji Diraca∫ t−∞δ(τ)dτ = 1(t), czyli
d
dt1(t) = δ(t)
Reprezentacja sygnału ciągłego
Sygnał ciągły x(t) można zaproksymować za pomocą sumyprzesuniętych przeskalowanych impulsów
t∆0
x(t)x(t)
AAK
x(t) = x(k∆), k∆ < t < (k + 1)∆
impuls jednostkowy δ∆(t)
t∆0
1∆
δ∆(t) – pole powierzchni = 1
t(k+1)∆k∆
x(k∆)
⇒ x(k∆)δ∆(t− k∆)∆
⇓
x(t) =∞∑−∞x(k∆)δ∆(t−k∆)∆
w granicy, gdy ∆→ 0
x(t) =∫ ∞−∞x(τ)δ(t− τ)dτ
δ(t) – impuls jednostkowy
impuls jednostkowy jest sygnałem, który podany nawejście dowolnego liniowego układu stacjonarnegopowoduje wygenerowanie odpowiedzi równej odpowiedziimpulsowej tego układu:
δ(t) ∗ h(t) = h(t) ∀h(t)
gdzie h(t) – odpowiedź impulsowa
x(t) y(t)Systemciągły
δ∆(t) −→ h∆(t)
x(t) =∞∑k=−∞x(k∆)δ∆(t−k∆)∆ −→ y(t) =
∞∑k=−∞x(k∆)h∆(t−k∆)∆
Odpowiedź impulsowa
δ(t)→ h(t)
w granicy, gdy ∆→ 0
x(t) =∫ ∞−∞x(τ)δ(t− τ)dτ −→ y(t) =
∫ ∞−∞x(τ)h(t− τ)dτ︸ ︷︷ ︸splot
Operowanie splotem w czasie ciągłym
y(t) = x(t) ∗ h(t) =∫ ∞−∞x(τ)h(t− τ)dτ
h(τ) odwróć−−−−→ h(−τ) przesuń−−−−→ h(t− τ)pomnóż−−−−→ x(τ)h(t− τ) scałkuj−−−−→
∫∞−∞ x(τ)h(t− τ)dτ
Przykład 4
t31
x(t)
1 *
t-2 -1
h(t)1
τ31
x(τ)
1
τt+1 t+2
h(t− τ)1
Operowanie splotem w czasie ciągłym
y(t) = x(t) ∗ h(t) =∫ ∞−∞x(τ)h(t− τ)dτ
h(τ) odwróć−−−−→ h(−τ) przesuń−−−−→ h(t− τ)pomnóż−−−−→ x(τ)h(t− τ) scałkuj−−−−→
∫∞−∞ x(τ)h(t− τ)dτ
Przykład 4
t31
x(t)
1 *
t-2 -1
h(t)1
τ31
x(τ)
1
τt+1 t+2
h(t− τ)1
Przykład 4 – cd
Przedział x(τ) ∗ h(t− τ) Wyjście
t < −1 0 ⇒ y(t) = 0
−1 < t < 0
1 t+2
t+1
⇒ y(t) = 12 (t+ 1)2
0 < t < 1
t+1 t+2
1⇒ y(t) = 12
1 < t < 2
t+1 t+23
1⇒ y(t) = 12−
12 (t−1)
2
t > 2 0 ⇒ y(t) = 0
Pytanie: Jak wygląda y(t) w całej dziedzinie?
Właściwości splotu w czasie ciągłym
1 Przemienność: x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)
2 Łączność:
x(t) ∗ (v(t) ∗ w(t)) = (x(t) ∗ v(t)) ∗ w(t)
3 Rozdzielność względem dodawania:
x(t) ∗ (v(t) + w(t)) = x(t) ∗ v(t) + x(t) ∗ w(t)
4 Przesunięcie w dziedzinie czasu:
y(t− t0) = x(t− t0) ∗ h(t) = x(t) ∗ h(t− t0)
5 Splot z impulsem jednostkowym:
x(t) = x(t) ∗ δ(t), x(t) ∗ δ(t− t0) = x(t− t0)
6 Pochodna splotu:
d
dt(x(t) ∗ v(t)) = dx(t)
dt∗ v(t)
założenia: (i) funkcja x(t) jest różniczkowalna, (ii) splot x(t) ∗ v(t)istnieje i jest różniczkowalny
7 Całka splotu:∫ t−∞x(τ) ∗ v(τ)dτ =
∫ t−∞x(τ)dτ ∗ v(τ) = x(τ) ∗
∫ t−∞v(τ)dτ
Próbkowanie
Sygnał dyskretny (spróbkowany) otrzymujemy z ciągłego(próbkowanego) poprzez próbkowanie
Do próbkowania wykorzystuje się sygnał próbkujący
Jako sygnału próbkującego wykorzystuje się sygnał impulsowy ookresie Ts
δTs(t) =∞∑
n=−∞δ(t− nTs) (1)
sygnał (1) nosi nazwę okresowego sygnału impulsowego lub sygnaługrzebieniowego
Sygnał spróbkowany ma postać
xs(t) = x(t)∞∑
n=−∞δ(t−nTs) =
∞∑n=−∞x(t)δ(t−nTs) =
∞∑n=−∞x(nTs)δ(t−nTs)
Sygnał spróbkowany jest równy zeru z wyjątkiem dyskretnych chwilczasowych, w których jest reprezentowany przez impulsy δ o polurównym x(nTs)
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6t
x(t)
0.985
0.99
0.995
1
1.005
1.01
-6 -4 -2 0 2 4 6t
δTs(t)
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-6 -4 -2 0 2 4 6t
xs(t)
x(t) xs(t)
δTs(t)
Reprezentacja sygnału dyskretnego
Sygnał dyskretny można reprezentować jako kombinację liniowąprzesuniętych sygnałów δ[n]
x[n]
n
-10 1 2
x[−1]
x[0]x[1] x[2]
x[1]δ[n−1]
n1
x[1]
x[0]δ[n]
n0
x[0]
x[2]δ[n−2]
n2
x[2]
x[−1]δ[n+1]
n
-1
x[−1]
Sposób formalny
x[n] = · · ·+x[−2]δ[n+2]+x[−1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n−1]+. . .
czyli
x[n] =∞∑k=−∞
x[k]δ[n− k]
gdzie
x[k] – współczynniki, δ[n− k] – sygnały bazowe
x[n] y[n]Systemdyskretny
Załóżmy, że system jest liniowy
Zdefiniujmy hk[n] jako odpowiedź na sygnał δ[n− k]
δ[n− k]→ hk[n]
Z zasady superpozycji otrzymujemy
x[n] =∞∑k=−∞
x[k]δ[n− k]→ y[n] =∞∑k=−∞
x[k]hk[n]
Odpowiedź impulsowa
Załóżmy, że system jest liniowy i niezmienny w czasie
δ[n]→ h[n]
Z zasady niezmienności w czasie otrzymujemy
δ[n− k]→ h[n− k]
Ostatecznie
x[n] =∞∑k=−∞
x[k]δ[n− k]→ y[n] =∞∑k=−∞
x[k]h[n− k]︸ ︷︷ ︸splot
Operowanie splotem w czasie dyskretnym
y[n] = x[n] ∗ h[n] =∞∑k=−∞x[k]h[n− k]
Interpretacja
n0
δ[n]1 −→
n0
h[n]
⇓
nk
x[k]δ[n−k]−→
nk
x[k]h[n−k]
sumujemy po wszystkich k
Przykład 5
n-1
x[n]1
0 n0
h[n]2
1
-1-1
⇓
k-1
x[k]1
0
kn
h[n−k] 2
1
-1 -1
y[n] = 0, dla n < −1y[−1] = x[0]h[−1] = 1 · 1 = 1y[0] = x[0]h[0] + x[1]h[−1] = 1 · 2 + 0 · 1 = 2y[1] = x[0]h[1] + x[1]h[0] + x[2]h[−1] =
1 · [−1] + 0 · 2 + [−1] · 1 = −2y[2] = x[0]h[2] + x[1]h[1] + x[2]h[0] =
1 · [−1] + 0 · [−1] + [−1] · 2 = −3y[3]=x[1]h[2]+x[2]h[1] = 0·[−1]+[−1]·[−1] = 1y[4] = x[2]h[2] = [−1] · [−1] = 1y[n] = 0, dla n > 4
Schemat obliczeniowy splotu w czasie dyskretnym
h[0] h[1] h[2] h[3]
x[0] x[0]h[0] x[0]h[1] x[0]h[2] x[0]h[3]
x[1] x[1]h[0] x[1]h[1] x[1]h[2] x[1]h[3]
x[2] x[2]h[0] x[2]h[1] x[2]h[2] x[2]h[3]
x[3] x[3]h[0] x[3]h[1] x[3]h[2] x[3]h[3]
Właściwości splotu w czasie dyskretnym
1 Przemienność:
x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]
2 Łączność:
x[n] ∗ (v[n] ∗ w[n]) = (x[n] ∗ v[n]) ∗ w[n]
3 Rozdzielność względem dodawania:
x[n] ∗ (v[n] + w[n]) = x[n] ∗ v[n] + x[n] ∗ w[n]
4 Przesunięcie w dziedzinie czasu:
y[n− k] = x[n− k] ∗ h[n] = x[n] ∗ h[n− k]
5 Splot z impulsem jednostkowym:
x[n] ∗ δ[n− n0]=x[n− n0] (x[n] ∗ δ[n]=x[n])
6 Sumator: y[n] =∑nk=−∞ x[k]
jeśli x[n] = δ[n] to
h[n] =n∑
k=−∞δ[k] = u[n]
gdzie u[n] – skok jednostkowy, czyli
y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[n] ∗ u[n] =n∑
k=−∞x[k]
7 Odpowiedź na skok jednostkowy:
s[n] = u[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ u[n] =n∑
k=−∞h[k]