ELO 313 - Certamen #1

Procesamiento digital de sen‘ales con aplicaciones

Primer Semestre 2018Profesor: Matias Zafiartu, Ph.D.

Fecha: 23 de Abril de 2018

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Problema 1. (35 puntos)Disefie un filtro digital que cumpla con las siguientes caracteristicas: i) Tiene una ganancia unitaria e11DC y todas las demas' frecuencias tienen menor ganancia, ii) Elimina completamente 105 5000 Hz, iii)Es LTI, IIR, estable y causal, iv) Es de 2d0 orden y no tiene polos repetidos, v) Es de fase minima. vi)Genera salidas reales para entradas reales, vii) Opera con f5 = 10 kHz.

a. Grafique el diagrama de polos y ceros del sistema. Defina la ROC de la transformada Z. (5 puntos)b. Escriba 10s sistemas de ecuaciones de diferencia del filtro en forma directa I y 11 (5 puntos)c. L'Co’mo deberi’an actualizarse 10s coeficientes {b, a} del filtro para mantener la misma respuesta, si la

frecuencia de muestreo f5 aumenta a1 doble? (5 puntos)

d. Encuentre una expresio’n compacta (no iterativa) para la respuesta de impulso del sistema (10 puntos)e. Dibuje e1 diagrama de polos y ceros, y escriba la ecuacio’n de diferencia y la respuesta de impulse del

filtro si el mismo filtro fuese FIR, y donde ahora se permiten polos repetidos (10 puntos)

Problema 2. (35 puntos)Una sefial ana’loga $(t) se muestrea con un muestreo ideal a f5 = = 4 kHz, donde 1305) =

a. Grafique la magnitud y fase del espectro de la sen”al muestreada $[n] = $(t = n - Ts) con respecto a lafi'ecuencia normalizada, es decir [X entre —7r < w < 71' puntos)

b. Considere la sen”al :L'[n] del punto anterior y las sefiales y[n], z[n] dadas por = (—1)" -x[n], yadema’s z[n] = :z:[n] + j - y[n]. Grafique la magnitud del espectro de las sefiales z[n] con respectoa la frecuencia normalizada, es decir |Y(w)[ y [Z entre —7r < w < 7r (10 puntos)

c. Usando las mismas sen"ales $[n], y[n], z[n], encuentre la correlacio’n cruzada entre las sen"ales $[n] egm], es decir rzy[m] -- a:[m] * y*[—m] (10 puntos)

d. Usando las mismas sen”ales fin], y[n], z[n], encuentre la autocorrelacio’n rzz [m] = z[m] * z*[—m] (10puntos)

Problema 3. (30 puntos)C-‘onsidere un filtro pasa-todo analogo con una funcio’n (le transferencia H (3) dada por H (s) : pML—i’w‘“ dondepa (:orresponde a1 polo ana’logo. Considm'e (:1 cash donde pa = —0.2 + j - 0.4 y aplique 1a transformada

~__1”—bilineal para proyectar H a un filtm digiml H (z), donde se cumple que 8 2 2+1

a. Encucutre los polos y (zeros del filtro digital. Grafiquc e1 diagrama de polos y ceros del filtro digital.Defina la ROC dc la transformmla Z. (5 puntos)

b. C'Es el sistema BIBO estable? (3E5 cymbal? .lustifiquc su respuesta (5 puntos)c. Grafique la magnitud del espcctm del liltm digital |H cntre —7r < w < 7r (,‘Se mantiene la estructura

(1e paS‘a—todo original? (5 puntos)

d. Encuentre la ecuacio’n de difercncia del filtro digital (5 puntos)e. O'Co’mo cambia e1 diagrama de polos y ceros si la proyeccio’n del plano 3 al plano 2 se realiza con una

aproximacio’n de derivada de un punto, i.e., h[n] _— 5M _ 5m _ 1]? (10 puntos)

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