Woda drąży kamień…O modelowaniu procesów

rozpuszczania szczelin skalnych

Plan

Jak wygląda szczelina skalna? Dlaczego procesy rozpuszczania są istotne? Dlaczego trudno je modelować? Jak wyznaczyć przepływ cieczy i transport

cząstek w szczelinie? Eksperyment vs symulacja Podsumowanie

Szczelina skalna

– powierzchnie skalne

h – rozwarcie, h/L << 1

S l , Su

woda – sól kamienna

kwasy – skały wapienne, np.:

Przykłady procesów rozpuszczania

CaCO3+H2CO3 Ca2+ +2HCO3–

skale czasowe – od minut do dziesiątek tysięcy lat

wzrost rozwarcia – nawet o 5 rzędów wielkości

k

Pe = V h

DDa =

k

V

– współczynnik dyfuzji– stała szybkości reakcji

– średnie rozwarcie– charakterystyczna prędkość

D hV

Zrozumieć...

Jak ewolucja geometrii szczeliny w czasie zależy od prędkości przepływu cieczy i szybkości reakcji rozpuszczania

Zastosowania:

Przechowywanie odpadów

Zastosowania:

Magazynowanie CO2

Zastosowania:

Wydobycie ropy

Zastosowania:

Elektrownie geotermalne

Zastosowania

Powstawanie jaskiń

Rozpuszczanie nie jest proste…Algorytm numeryczny

przepływ cieczy

transport substancji

ewolucja geometrii

c(r)

Su (r), S l (r)

( )u r

kinetyka reakcji rozpuszczania

Model mikroskopowy

korzysta bezpośrednio z informacji o topografii szczelinyprzepływ cieczy uzyskany przez rozwiązywanie równań Naviera-Stokesa w trzech wymiarach nie zawiera żadnych wolnych parametrów poza mikroskopowymi charakterystykami układu (D, η, k), które możemy wyznaczyć niezależnie

Metoda lattice-Boltzmann

opiera się na uproszczonym modelu kinetycznym procesów mikroskopowych w cieczy, skonstruowanym tak, by odpowiednie wielkości średnie spełniały żądane równaniamakroskopowe (Naviera-Stokesa)

Zderzenia i propagacja

( , )if tr – funkcja rozkładu prędkości vi w węźle r

przed zderzeniem po zderzeniu propagacja

Momenty funkcji rozkładu18

0

18

0

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

ii

ii

t f t

t t f t

i

r r

r u r r v

2

0

( )t p

u

u u u u

spełniają równania Naviera-Stokesa

Transport substancji

równanie konwekcji-dyfuzji

+ warunki brzegowe

tc v c D 2c

J(r) D c n(r) f c0 (r) r Su , S l

metoda błądzenia przypadkowego

S l

J f (c0 )

Błądzenie przypadkowe

klasyczne trzeba użyć ~ 103 cząstek w każdej komórce, aby wyznaczyć

ze zmienną masą śledzimy tylko jedną cząstkę działa tylko dla liniowej kinetyki m '

m1

J kc0

J(c0 )

Eksperyment: rozpuszczanie KDP(Russell Detwiler et al., LLNL, 2003)

woda

KDP (dwuwodorowy fosforan potasu)

chropowate szkło

rozmiary próbki 15.2 9.9 cm początkowe średnie rozwarcie mm końcowe rozwarcie dokładne pomiary ewoluującej geometrii szczeliny

dla dwóch liczb Pecleta (Pe = 54 i Pe = 216)

h0 0.126

h 2 h0

Powiększenie szczelinydla przy Pe = 216

rozpuszczanie stosunkowo jednorodne brak wyraźnych kanałów

h 2 h0

eksperyment symulacja

7 h0

0

eksperyment symulacja

tworzą się wyraźne kanały, które następnie rosną, łączą się i rywalizują między sobą pod koniec eksperymentu cały przepływ skupia się w zaledwie kilku głównych kanałach

7 h0

0

Powiększenie szczelinydla przy Pe = 54h 3 / 2 h0h 2 h0

Powiększenie szczeliny przy Pe = 54

Niestabilność prowadząca do powstawania kanałów

(Ortoleva, 1987)

Szczelina stworzona numerycznie

Przeszkody rozmieszczone w sposób przypadkowy pomiędzy dwiema płaszczyznami

Pole prędkości przy t=0

całkowity rzut prędkości V (x, y) vx2 vy

2

Sl

Su

dz

Powiększenie szczeliny

Pe10 100

PeDa

1

0.1

2 h0

h0

0

h 4 h0przyrost rozwarcia dla

Pole prędkości cieczy

Pe10 100

PeDa

1

0.1

1

0

h 4 h0całkowity rzut prędkości przy

Podsumowanie Procesy rozpuszczania szczelin skalnychmożna modelować numerycznie na poziomie mikroskopowym.

Potrafimy symulować rozpuszczanie stosunkowo dużych układów, dla których istnieją wyniki eksperymentalne.

Metody mikroskopowej można również użyć do testowania zasadności różnorakich przybliżeń używanych przy symulacji rozpuszczania szczelin.

Własności skalowania

Propagator

Dc

x

x0

kc0

m x ',t G0

x, x ',t dx 1ale

G x, x ',t 1

4 Dte x x ' 2 /4 Dt e xx ' 2 /4 Dt

k

Dek ktxx ' /DErfc

x x ' 2kt

4Dt

spełnia

c x, t t G x, x ',t 0

c x ', t dx '

Równanie ewolucji

analogiczne do modelu BGK w teorii kinetycznej

f

iEQ f

iEQ (,u) A Bu v

i C(u v

i)2 Du2

fi (r v it, t t) fi (r, t) [ fi (r,t) fiEQ (r,t)] /

Odbicie od ścianki i powrót do komórki macierzystej

Propagacja do komórek sąsiednich

Odbicie zarówno do komórki macierzystej jak i do komórek sąsiednich

Warunki brzegowe