workbook of the basic math modulet 2013. wilton oltmanns (4)

7/22/2019 Workbook of the Basic Math Modulet 2013. Wilton Oltmanns (4)

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Prlogo

Esta es la tercera edicin del Workbook de Basic Math Module el cual es unarecopilacin de temas selectos de matemtica bsica. Surge por la necesidadde hacer base en aquellas personas que van rumbo a una matemtica superior.

En este cuaderno de trabajo encontramos diversas actividades concernientes acada unidad para seguir ampliando lo que es el historial de conocimientos de losestudiantes y del pblico en general interesado en las matemticas. Se componede 14 unidades de las cuales las primeras 5 se pueden utilizar como

Matemtica Bsica y luego desde la 6 hasta la 10 para la asignatura de unprograma de Preclculo y las unidades siguientes son optativas para impartirsesegn la necesidad del instructor o del estudiante. Este manual est diseadopara trabajarlo solo o en grupo pues contiene las tcnicas didctica pedaggicas

que necesitan los individuos para un buen aprendizaje. En esta nueva versinentra el modulo de vectores, el cual seguir de base para aquellos estudiantesque tiene que dar fsica y clculo vectorial.

Han sido muchas horas de dedicacin para la realizacin y desarrollo de estecon la visin de dar un aporte cientfico para la sociedad mundial y el mundode las ciencias.

Se agradece a todos aquellos autores o personas que de una u otra forma han

contribuido al desarrollo de este proyecto.

Wilton Oltmanns


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PRESENTACION DEL ESTUDIANTE

Apellidos:

....

Nombre (s):

Matrcula:

..

Profesor (a):

.

Grupo o Seccin:..

Universidad o Instituto:

..

Fechas de Entrega:. .


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INDICE

Pgina

Prctica 1.operaciones aritmticas algebraicas y Conjunto numrico....6.

Prctica 2. Factorizacin.16

Prctica 3. Ecuaciones lineales25

Prctica 4. Potenciacin y Radicacin...32

Prctica 5. Funciones, Geometra Analtica y ecuaciones Polinmicas.....37

Prctica 6. Trigonometria....54

Prctica 7. Vectores.69

Prctica 8. Funciones, ecuaciones exponenciales y logartmicas.72

Prctica 9. Matrices..87

Prctica 10. Sistema de ecuaciones.94

Prctica 11. Nmeros complejos.....106

Prctica 12: coordenadas polares.125

Prctica 13. Slidos de revolucin..128

Modulo 14. Razonamientos lgicos matemticos...130

Modulo 15. Teora de Conjuntos..Pendiente

Bibliografa:..121


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ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemtica Bsica

Prctica # 1: Operaciones Aritmticas Algebraicas y conjunto numrico.

Nombre: ___________________________Matrcula:__________________

Profesor: _______________Seccin:_______________Fecha:___________

I. Realiza las siguientes operaciones aritmticas.a) Enuncie la regla de las leyes de los signos para las diferentes operaciones.

b) Defina los diferentes tipos de fracciones.

c) Qu es una frmula?

d) Qu se entiende por lenguaje algebraico?

e) En qu consisten las matemticas binarias?

f) Defina monomio:

g) Defina polinomio y clasificacin.

h) Enuncie el proceso para sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones:


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~ 6 ~

II. Realiza las siguientes operaciones aritmticas

35 31) +

2 4

28 12)

7 2

70 40 2 33) 35

9 6 3 8

36 54)

8 7

5 2 30 3 75)

8 8 8 8 8

3 1 36) 5 3

5 4 4

1 1 37)8 2 2

37 138)

9 7

3 3 2

8 9 99)

1 2

5 32 3

1 3010) 3

3 7


7/136

~ 7 ~

11)5 8 3

4( )6 2 2

12)1 3

105 4

13)6 4 10

8 8 12

14)1 4 4 12

( )( )5 6 4 3

15)

16)

+ 5 =

17)

18) =


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~ 9 ~

IV. Realiza las siguientes operaciones algebraicas.

1) 2 2 28 9 7m m m

2) 4 2 2 6 4 23 2

34 3

n m n m n m

3) 2 2 3 4 2 3 450 10 5 25 5w w x z w x z

4) 2 2 2 2 2 24

13 73

a b a b a b

5) 2 2 2 2 2 2(10 )(5 )(13 )a b a b a b

6) 2 10 5 73 5

( ) ( )2 2

w b w b

7)10 8 4

4

64

8

x y z

xy z


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~ 10 ~

8)12 4 10 6 8 12

4 3

100 50 25

5

a e a e a e

a e

9)6 2 2 5 4 2 2

536 48 42 216

m n m n m m nm n

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

3 34 3 5 3ab b ab b

6 (3 )x x y

2 22 ( 3 4 )xy x xy y

23 (8 4 2)8

x x

3 22 2

( 1)

x x x

x

3 22 2

( 2)

x x x

x

2

7 5( 3)

x xx


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~ 11 ~

V. Reduce los signos de agrupacin.

2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 4 2

1) 8- 4 1 2 33 5 1 4 24

2) 23 2 25 46 234 250 23 100 12 23 2 890

3) -4x 24 2 9 3 12x y x y x y x y x y x y

4) 4 (6 8 4 ) (10 2 8 ) 2 (3 4 2 )x y z x y z x m n

5) 2 25 6 4(2 11 2 ) (6 2 3)m m n p m m

6) 22 ( 81 ( 9 3) 5n n

=


12/136

~ 12 ~

7) 24 5 6 3x x x =

8) 2(3 4) 5x

9) 1

4 3(8 2 )2

x

10) 3 2 ( ) ( 1) 3a b a b b =

11) 2 (1 ) 1 ( 3x y x y x

12)

13) [4x + 67x (10 + x3) + 3x + 5]=

23 4 ( 3)x x x


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~ 13 ~

14) {3x20 + 8y [15 + 7y (-3 + y) + 3y] -10y3}=

15) {4m3 + 6m+[-7m (4m) + 2m]1}

16) {3m + 4 (7m) + 3m}

17) 10n6 (10 + n)3

18) 15z + 4 (-2 + z)2z=


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~ 14 ~

VI. Define correctamente:

a) Numero complejo:

b) Nmero entero:

c) Numero natural:

d) Numero Irracional:

VII. Mencione dos conjuntos nmeros que pertenezcan a los reales y pongaejemplos.

VIII. Escriba o v o f segn sea verdadero o falso. Justifique su respuestaa) - ________________b) Z

N________________

c) oN_________________d) Q =R______________e) 3.5 _______________f) 3/5 Z

La voluntad necesita ser ms fuerte que la habilidad. --Muhammad Al


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~ 15 ~


Matemtica Bsica

Prctica # 2: Factorizacin.

Nombre: ___________________________Matrcula:_____________________

Profesor: _______________Seccin: _______________Fecha:_____________

I.Defina las siguientes expresiones:a) Factorizacin

b) Diferencia de cuadrados

c) Suma de cubos

d) Factor comn

e) Trinomio cuadrado perfecto

II. Factoriza (Factor Comn) :

12 3 8 5 4 4 5

3 2 5 2 4

7 9 6 5 5 4 3 6 9

2 3

1) am-bm+4m=

2) 4 8 12

3)32a b c-1616a b c

4)14 21 28

5) 5 6

x y x y z x y

x y z x y z x y z

ax bx


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~ 16 ~

III. Factoriza (Diferencia de cuadrados)

2

2

5

2 2 2

2 4 16 2

1) 36

2)4 1

3)25

14)

100

5)81

x

x

x

a b c

a b c z

IV. Descomponer las siguientes expresiones en dos factores.2 2

2 2

2

a)x 6x 8 b) x 16x 63

c) x 10x 56 d) x 13x 48

e) y 7y 30

2

2 2

2 2

f ) x 14x 48

g) x 5x 84 h)x 27x 180

i) x 7x 120 j) x 30x 2

2

2 2

16

)-n-1+m(1+n)= l)5-y+2k(5-y)=

m)4a(b-4)-3c(b-4)= n) 3 3( )

) 5 3 15

k

a n k n k

o mx m x


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~ 17 ~

V. Verifique cual de las siguientes expresiones son Trinomio cuadradoperfecto y Justifique su respuesta.

2

2

2

2

22

) m 8 16 60

) m 12 36

) 13 81

)1 2

)2

a m x

b m

c x x

d

me mn n

VI. Factoriza los siguientes polinomios en dos factores:2

2

2

2

2

) 7 10

) 8 9

) 17 60

) 30

) 10 21

a x x

b x x

c y y

d k k

e

VII. Factoriza los siguientes polinomios y los que sean tcp exprselocomo el cuadrado de dos cantidades.2

2

2

2

2

) 132

) 14 49

) 8 1008

) 10 25

) 20 100

a n n

b y y

c y y

d k k

e k k


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~ 18 ~

VIII. Descomponer las siguientes expresiones en dos factores

2

2

2

2

2

2

a)2x 3x -2 8

b) 4x +x-33

c) 12u -19u+ 5

e) 4n 6 +1

f ) 3x 2x - 7

g) 5x +13x 6

n

IX. Completar el desarrollo con el trmino que falta.

a) x2 + 10x +__________ b) y218y +_________

c) m2_______+ 36n2 d) p2 +_________ + 64p2

e)_____+ 42x + 49 f) ________ 390y + 225

g) 289z2 + 340 z +______ h) 64x2 80xy +_______

X. Factoriza las siguientes diferencias de cubos

3

3

3

3 3

3 3

) 64

) y 1

) 512+27a

)8

1) 81000

a x

b

c

d m n

e x y


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~ 19 ~

XI. Realiza la siguiente complexin de cuadrados.

1) 25 60x x

2) 2 30w

3) 2 9k

2

2

5) 6x +5x-6 =

6) n 4 10n

XII. Expresar como un cuadrado de binomio:

a) g2 + 2gh + h2 = b) 22530b + b2 =

c) x2 + 2xy + y2 = d) p22pq + q2 =

e) a22a + 1 = f) m26m + 9=


20/136

~ 20 ~

XIII. Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios defactorizacin que corresponda:

e) 9x212xy + 4y2 = j) 36n2 + 84pn + 49p2 =

2

2

3 2

4 3

48a) 72

25b) =

75

96

c)32

3( )d)

5( )

a

ab

a b

ab

m n

m n

a b

a b

2

2

2

2

2

24 18

f) 44 33

16g) =

8 16

9 30 25h)

6 10

25i)20

x y

x y

x

x x

x x

x

xx x


21/136

~ 21 ~

2

2

2

2

2

2

2

4 4 1k)

6 3

6 8l) =

7 12

4 12m)

8 12

64n)

13 40

y y

x

x x

x x

x x

x x

u

u u

2 2

2 2

6

2

2

2

2

2

( )o)

( )

1 64p)

1 4

7 10q)25

2r)

3 2

a b c

a b c

c

c

x xx

x x

x x

2

2 2

2

2

2

2

9s)

3( 3)

t)2 2

12u)

2 15

5 6v)

8 15

a

a

m n

n m

y y

y y

x x

x x

w)1 1

11+

1x)1

11

y)2

b a

a b

b a

a -

a

x + y x y

x - y x y

x + y x y

x x y


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~ 22 ~

XIV. Expresa como un producto de tantos factores como sea posible:

a) 3b6x = b) 5x5 =

c) 20u255u = d) 16x12 =

e) 6x12y + 18= f) 15x + 20y30=

g) 14c21d30= h) 152x2yz114xyz2=

i) 30m2n2 + 75mn2105mn3 = j) 28pq3x + 20p2qx244p3qx + 4pqx=

k) 14mp + 14mq9np9nq = l) 21ax + 35ay + 20y + 12x =


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~ 23 ~

m) 175ax + 75ay25bx15by= n) 20abc30abd60b2c + 90b2d =

) 10abx2 + 4ab2x240aby216ab2y2 = o) 4g2 + 2gh =

p) 25a30ab + 15ab2 = q) m264 =

r) 144y2256 = s) 1449x2=

v) 25x64y4 = w) ap + aq + bm + bn=

x) xyx + 3z6 = y) x2 + xy + xz + yz=

z) 15 + 5x + 3b + xb =

Autodisciplina es cuando nuestra conciencia nos pide hacer algoy no le contestamos. W.K. Hope


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~ 24 ~


Matemtica Bsica

Prctica # 3: Ecuaciones Lineales

Nombre: ___________________________Matrcula:_____________________


1. Define las siguientes expresiones:a) Ecuacin:

b) Hable sobre los diferentes tipos de ecuaciones

c) Hable sobre la importancia de las ecuaciones lineales.


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~ 25 ~

II. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales

1) x 4 28

2) y 65 31

3) 8z 40 3z

4) 10x 5x 60

5)3 5 3 2

5) 15y 3 36 18y

7) 2x 4 3x 4 3x 12

8)3 2( 1) 2(3 1) 4

9) 4 3x 2 8 5 2x 3 5

10) 15x 40 5x 20 0

x x

x x x


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~ 26 ~

11) 16 2x 4 5x 3x 2 4x 8x 2

12) 8 5 8 2

2 5 4 113) 8 5

5 2 2

2( 2) 3(1 )

14) 13 2

5 2 4 3 115)

2 4 8

2 316) 2(1 2 )

3 2

3( 2)17)2(2 )

3 2 2

3 11 5 1 7 5 618)

2 5 10 5

x x

x x xx x

x x

x x

x xx x x

x x xx

m m m m


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~ 27 ~

5 919) 8 5

2 4

220)12 8 78

5

x x

x

21)13 8 12

122) 9

5

23)3(8 2) 3(4 2 )

324) 13 74

25) 2 4( 2)

26) 5( 4) 3

m m

x

y y

w

w w

w w


28/136

~ 28 ~

28) 3 8 15 6 (3 2) (55 4) 29 5

29) 30 ( 6) ( 5 4) (5 6) ( 8 3 )

x x x x

x x x x x

2 230)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

2x 3 6 x

2x 6

2 2x 3 6 x

4 x 10 6 2 x 6x

2 x 1 3 x 2 x 6

15 27

8x 15 111

ax b a bx

x


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~ 29 ~

38)

39)

40)

3 341) 0

5 2 1

34 2 142) 0

5 3 5

8x 5 109

2x 6 12

13x 6 97

z

y

III. Resolver los siguientes problemas con ecuaciones lineales.1) Un padre tiene 35 aos y su hijo 5. Al cabo de cuntos aos ser la edad del padre

tres veces mayor que la edad del hijo?

2) Si al doble de un nmero se le resta su mitad resulta 54. Cul es el nmero?


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~ 30 ~

3) La base de un rectngulo es doble que su altura. Cules son sus dimensiones si elpermetro mide 30 cm?

4) En una reunin hay doble nmero de mujeres que de hombres y triple nmero denios que de hombres y mujeres juntos. Cuntos hombres, mujeres y nios hay si lareunin la componen 96 personas?

No podemos tener un mejor maana si seguimos pensando acerca del ayer todo el tiempo. --

Charles F. Kettering


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~ 31 ~


Matemtica Bsica

Prctica # 4: Potenciacin y Radicacin.

Nombre: ___________________________Matrcula:_____________________


I. Ponga el nombre de cada una de las partes de la potenciacin:

na p

II. En cada enuncie el procedimiento:a) Multiplicacin de potencias de iguales bases.

b) Divisin de potencias de iguales bases

c) Racionalizacin:

d) Binomio de newton

e) Triangulo de Tartaglia


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~ 32 ~

III. Resuelve las siguientes operaciones:2

0

3

5

4

1

1)5

2)7

33)

4

24)5

5)2

6)7

7) 4-5

8) (3/2)4

9) (1/2)-4


33/136

~ 33 ~

IV. Desarrolla:

3 3 3

2

3 3 3

4 4

1)6 7 4 28 7

2) 54 2 16 3 8

3) 2 2 8

4) 27 81 3

5) 81 100x y x y

V. Racionaliza el denominador de las siguientes expresiones:1)

72)

3 5

13)

7 2

1 24)

3 3 5

5)5

y

x

x y

x


34/136

~ 34 ~

VI. Racionaliza el numerador de las siguientes expresiones:

1) =

2) =

3) =

4) =

5) =


35/136

~ 35 ~

VII. Desarrolla las siguientes potencias.

3

4

73

2

4

52

10

:

.

1)

2) 2 3

3) 4

74) 9

3

5) 2

6

) 1

x y

x

y

m

m y

x

La Matemtica entra por los dedos esta se aprende por el arte

de practicar los ejercicios de nuevos conocimientos adquiridos

Aristteles


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~ 36 ~


Matemtica BsicaPrctica # 5: Funciones y Geometra Analtica

Nombre: ___________________________Matrcula:________________________

Profesor: ___________________Seccin: _______________Fecha:_____________

I. Defina correctamente :a) Relacin:

b) Funcin:

c) Funcin constante:

d) Segmento:

e) Cul es la diferencia entre conjunto de partida y dominio?

f) Establezca la diferencia entre conjunto de llegada y rango?

g) Defina y ponga ejemplos de funcin inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

h) Qu es una cnica?

i) Qu es una circunferencia?

j) Qu es una parbola?

k) Qu es una pendiente?


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~ 37 ~

II) Dados los conjuntos A = {a,b,c,d} y B = {1,2,3,4}, indicar cules de lassiguientes relaciones son funciones de A en B.

a) R1: { (a,3), (b,2), (a,4), (c,3), (d,1) }

b) R2: { (a,4), (b,3), (c,2) }

c) R3 :{(a,3), (b,3), (c,3), (d,3) }

d) R4 : { (a,2), (b,4), (b,3), (d,1) }

e) R5 :{ (a,1), (b,2), (c,3),(b,4) }

III) Sea f : A B / y = x+2 con A = {-3,-1,0,1,2} y

B = {-1, 1,2,3,4,5,7,8}. Hacer el diagrama de f en un sistema cartesiano.

IV) Se considera la funcin g: N Q / g(x) = . Indicar V o F en las siguientesafirmaciones. Justifique su respuesta:

a) g es inyectiva. __________________________________________________

b) Existe un elemento del dominio cuya imagen es -4?____________________

c) Hay elementos del rango que no tienen dominio? _____________________

d) f es sobreyectiva?. ______________________________________________

e) f es biyectiva?. _________________________________________________

f) Existe un elemento del dominio cuya imagen es 3/5?.___________________


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~ 38 ~

V) Indicar cules de los siguientes grficos corresponden a funciones de R en R, ycules no. Justificar las respuestas.

VI) Dados los siguientes conjuntos establezca el conjunto producto, luegorealice la relacin y grafquela a travs del diagrama de Euler ven ycoordenadas cartesianos, indique dominio y rango.

a) Dado A = 1,2,3,7 ; 2,5,8 : 2 1B f x y

b) Sean los conjuntos 2,3,5 ; 1,4,5,6A B , Sea R : 3x 9

a b c d e f

3

7


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~ 39 ~

VII. Encierra las funciones que tiene inversas en R y determnalas.a) Y= 3x-1

b) Y=

c)

d)

1 2

1 2

1 2

1 2

VIII. Busca la distancia entre los puntos dados.

1) 3,5 ; 2, 9

2) A 1, 2 ; 0, 3

313) ; 4, 92 7

4) .25,5 ; 5.33,2

p p

A

Q Q

o o o


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~ 40 ~

IX. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos.

a)) 4,7 2,3

) 4,3 3, 2

) 2.5,3 4,1.8

) 5,1/ 2 5,4

y

b y

c y

d y

1 2

1

2

1

X. Hallar la ecuacin de la recta que cumple con las condiciones de

a) P 2, 2 y m = -3

1 1) , ; 4,82 4

) 3,0 ; 2

) 1, 1 ; 3

) 2,0 ; 1

b p p

c p m

d p m

e p m


41/136

~ 41 ~

XI. Busca los interceptos de:

a) 2x-8y=0

b) 3x-7y-1=0

c) x+y=-6

) 0.2x+3y 0.5

XII. De cada par de rectas determinar si son paralelas,perpendiculares oblicuas.

41) 3y-2x-8=0 -4x+6y-10=0 -----------------

d

142) 5 0 4-2y=8------------------2

43) 3x+4y-9=0 3x-4x-10=0------------------

44) 2x+3y=1 2 9-----------------------

x y

x y

XIII. Obten la ecuacin de la circunferencia de centro y radio dados.

1) C(-3,5); r = 6

2) C(-4,-1), r = 2

3)


42/136

~ 42 ~

XIV.Escribe la ecuacin general de una circunferencia dado su centro y suradio.1) C(2,4); r =

2) C(-4,7), r = 1

XV. Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias.

1 2 2

1 7 25x y

2 2 2

8 5 81x y

3) 2 2 1

6 49

x y

4) 2 22 1 4x y

5) 2 2

9 16x y


43/136

~ 43 ~

XVI. Representa grficamente las circunferenciasa) = 36

b)

c)


44/136

~ 44 ~

XVI.Dada las siguientes parbolas con vrtice en el origen V ( 0, 0 ) , hallarlas coordenadas del foco, directriz y haga la grfica.

1. Directriz y = - 4

2. pasa por el punto P ( 5, - 4)

3. Foco en ( 8, 0 )

4. Foco en ( 0, 3 )

5. Directriz x = 10


45/136

~ 45 ~

XVII.Determina el vrtice, la grafica y la distancia focal de las siguientesparbolas.

a)

= 3x

b)

c)

d) = 4y


46/136

~ 46 ~

XVIII. Contesta correctamente:1. Que es una ecuacin:

2. Que es una igualdad:

3. Que es una ecuacin polinmica:

4. Como obtener la solucin por el mtodo grfico de una ecuacin cuadrtica

5. Cul es la forma estndar de una ecuacin cuadrtica

6. Explique en qu consiste el mtodo de Ruffini para ecuaciones polinmicas.

XIX. Resolver las siguientes ecuaciones por el mtodo de factorizacin.

1.

2.


47/136

~ 47 ~

3.

4.

5. x2 -5x-36= 0

6. 2x2 + x3

7. 12x223x +5=0


48/136

~ 48 ~

XX. Suministradas las siguientes ecuaciones buscar:

a) Abertura

b) Factores

c) Races

d) Forma estndar

e) Vrtice

f) Grfic

1) x23x4 =0

2) 3x25x2 = 0


49/136

~ 49 ~

3) -x2 - x + 2 = 0

4) x24x + 3 = 0


50/136

XXI. En las siguientes ecuaciones busque su naturaleza y races por frmulageneral.

1) x2 - 10 x + 24 = 0

2) x2 - 6x + 9 = 0

3) x2 +x-30 = 0

4) x2 -2x-35 = 0


51/136

~ 51 ~

XXII. Resuelva las siguientes ecuaciones por la forma estndar y ademsbuscar Factores y vrtice.

1.

2.

3.

4.


52/136

~ 52 ~

XXIII.Encontrar las races posibles de las siguientes ecuaciones por el mtodode Ruffini.

1.

2.

3.


53/136

~ 53 ~


Matemtica Bsica

Prctica # 6: Trigonometra.

Nombre: ___________________________Matrcula:________________________


I. Resolver los siguientes problemas por medio del teorema de Pitgoras.

a) Una cermica de porcelanato es un cuadrado con catetos de longitudes de 50 cm.Usar el teorema de Pitgoras para determinar la longitud de la cermica.

b) Un joven de 1.7 m de alturas se encuentra a una distancia de 5 metros de una pelota.Que distancia recorre su mirada para poder ver la pelota diagonalmente, quedndose enposicin firme.

c) La pantalla de la laptop de Luisito se ha roto a la mitad y de largo mide 8 pulg. y deancho solo 6 pulg. Que longitud la mitad de pantalla rota?.


54/136

~ 54 ~

d) l bebe de Mauricio quiere subirse a la mesa, pero su salto no se lo permite y decidicolocar una barra, pero l est a 80 cm de la mesa y del suelo a la mesa hay 125 cm.Qu tamao debe tener la barra para que est totalmente diagonal?

II. Convertir los siguientes ngulos de grados a radianes

a) 90

b) 145

c) 75

III. Convertir los siguientes ngulos de radianes a grados

a)6

b)13

2

c)4

3


55/136

~ 55 ~

IV. Calcular los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo agudosabiendo que:

a)3

sin7

b)12

an13

c)17

Sec5

V. Buscar las funciones trigonomtricas del ngulo .

2

2

4

os

an

sec

ec

ot

Sen

C

T

Co

S

C


56/136

~ 56 ~

VI. Racionaliza el denominador:

2)

3 2

2)

5 3

3 4)

8 6

a

b

c

VII. Encontrar el valor numrico de las siguientes expresionestrigonomtricas

a- 30* tan45Sen Co

b-

45 * 90 5 180

9045 270

Tan Sen Cos

CosTan Sen

c- 30 180 90Sen Cos Sen

d-62 4 2

2 52 4

Sen Tan Cos

Cos Sen Tan


57/136

~ 57 ~

e-2

tan 2 23 4

Tan Co Cos

f-cos60.tan 45 60

cos45

sen

VIII. Resolucin de tringulos rectngulos. Ilustre con un bosquejo.

a) Resolver un tringulo rectngulo donde la hipotenusa a= 50cm y uno de sus catetos esc= 27 cm

b) Resolver el tringulo rectngulo donde un cateto es b= 5cm y B=5020`

c) Una torre de 205 pies de altura proyecta una sombra de 183 pies. Calcule el ngulo deelevacin del sol

d) Un poste de luz de 15 m de altura proyecta una sombra de 10 m. calcula el ngulo deelevacin del sol.


58/136

~ 58 ~

IX. Aplicar ley de los senos para resolver los siguientes ejercicios

a- Resuelva el tringulo ABC, donde A=35, B=49 y a=8

b- Resuelva el tringulo HIJ, donde H=60, I=45 y j=3.7

c- Resuelva el tringulo OPQ, donde O=100, Q=35 y o=22


59/136

~ 59 ~

X. Aplicar ley de los cosenos para resolver los siguientes ejercicios

a- Resuelva el tringulo ABC, donde B=131, c=8 y a=13

b- Resuelva el tringulo HIJ, donde a=11, b=5 y J=20

c- Resuelva el tringulo OPQ, donde o=28, p=35 y q=17


60/136

~ 60 ~

XI. Hallar las funciones trigonomtricas de los siguientes ngulos a travsde la suma o diferencia.

a- 150

b- 60

c- 155


61/136

~ 61 ~

XII. Hallar las funciones trigonomtricas a travs del ngulo duplo.a) 30

b) 90

c) 150

d) 180


62/136

~ 62 ~

XIII. Buscar las funciones trigonomtricas a travs del ngulo mitad.

a) 90

b) 60

c) 150


63/136

~ 63 ~

XIV. Hacer uso de las identidades productosuma para resolver lossiguientes ejercicios

a) 10 6Cos x Cos x

b) 9 10Sen x Cos x

c) 7 3Sen x Sen x

XV. Hacer uso de las identidades suma- producto para resolver los

siguientes ejercicios

a- 60 30Cos Cos

b- 90 40Sen Sen

c- 70 30Cos Cos


64/136

~ 64 ~

XVI. Resolver las siguientes ecuaciones trigonomtricas

a) 2 0CosxSenx Cosx

b) 2 0Tanx Cosx Tanx

c) 2 3Tan x

d) 4 1Tan

e) 22 2 3 3sen Sen


65/136

~ 65 ~

XVII. Calcular el valor de x.


66/136

~ 66 ~

XVIII. Resuelva los siguientes problemas con aplicacin de triangulorectngulos

a) Parado a 85 pulgadas del edificio #1, el ngulo de elevacin del lugar en cual estoyhasta el punto ms alto del edifico es de 60. Encuentre la altura del edificio.

b) Henry coloca su cmara en un trpode para poder fotografiar la bandera. El est alejado120 pies de la misma, pero el trpode est a 5 pies por arriba del suelo. Mide un ngulode elevacin de 15 sobre la horizontal a lo alto de la bandera. Cul es la altura de labandera?

c) Una chichigua se queda atorada en un rbol. Si el hilo de 90 pies forma un ngulo de22 con el suelo. A qu altura estar la chichigua del suelo?


67/136

~ 67 ~

d) Calcula la altura de un rbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa copabajo un ngulo de 30 y si nos acercamos 10 m, bajo un ngulo de 60.

e) Un poste est amarrado al suelo por dos cuerdas de 4 y 5 metros cada una, ubicadas ensentido contrario una de la otra. Si las bases de las cuerdas estn colineales con la basedel poste, y se encuentran a 7 m de distancia entre ellas:

a) Qu ngulo forma cada cuerda con el piso?

b) Cul es la altura del poste?

La belleza de una flor depende del jardinero que tenga atrs.Wilton Oltmanns


68/136

~ 68 ~


Matemtica Bsica

Prctica # 7: VectoresNombre: ___________________________Matrcula:________________________

Profesor: _________________Seccin: _______________Fecha:_____________

I) Grafica los siguientes vectores en los puntos dados.1) A(1,-2); B(4,8)

2) P(-1,0); B(3,-6)

3) A(0,0); B(3.5,-2)

4) P(-2,7); B(4,-1)


69/136

~ 69 ~

II) Obten los vectores unitarios asociados a los siguientes vectores.

* ( 6, 2)

* (1,2, 6)

* (0,3, 4)

* (1,0,1,3)

P

Q

R

W

III) Realiza las siguientes operaciones vectoriales.

* ( 6,8) (3, 0)

* (1, 2, 6) 4( 1, 5, 4)

* 3(0, 1,7) (1 /2,1, 9)

* ( 3, 4 5, 4) 2(8, 6, 0,1)


70/136

~ 70 ~

IV) Determina los siguientes productos interior y el ngulo comprendido.

* ( 6,8); (3,0)

* (1,5); ( 3,4)

* ( 2,1); (2 / 5, 4)

* ( 3,6); ( 6,1)

P W

P r

A B

P Q

Ningn hombre puede huir de su propia historia. Annimo


71/136

~ 71 ~


Matemtica Bsica

Prctica # 8: Funciones y ecuaciones Exponenciales y Logartmicas.Nombre: ___________________________Matrcula:________________________


I. Contesta correctamente cada pregunta.1. Hable sobre la importancia de las ecuaciones exponenciales.

2. Qu es una funcin exponencial?

3. Exponga las propiedades de las ecuaciones exponenciales.

4. Defina logaritmo:

5. Cules son los tipos de logaritmos?.

6. Exponga las propiedades de las funciones logartmicas.


72/136

~ 72 ~

7. Cules son las partes de un logaritmo?.

8. Qu es un antilogaritmo?.

9. Defina cambio de base logaritmo.

10.Qu es una ecuacin exponencial?

11.Qu es una ecuacin logartmica?.

12.Enuncie las leyes logartmicas y ponga ejemplos.

II. Graficar las siguientes funciones exponenciales .

21) f ( ) 2xx


73/136

~ 73 ~

2) ( ) 3 xg x

3 21

2) ( )4

x

g x

63) Q( )

5

x

x


74/136

~ 74 ~

II. Graficar las siguientes funciones logartmicas en el intervalo deseado

32) y log x

103) log ( 3)y x

3

5

4) logy x


75/136

~ 75 ~

III. Buscar con la calculadora los logaritmos siguientes. Dejar cuatro cifras

signficativas despues del punto.

1)log5

2)log179632

43)log 649

94)log 765

65)log 36

6)log0.000089

347)log 7000

88) log 0.25

499)log 7 =


76/136

~ 76 ~

IV. Sabiendo que potenciacion y la Radicacin son operaciones inversas,Cambiar de una funcin a otra en las siguientes expresiones.

21)log 25 2

32)5 125

3)logR P N

54)log 1 0

5) KW Z

V. Busque el valor de x en las siguientes expresiones.

21)log 5x

2)log 8 3x


77/136

~ 77 ~

33)log 243 x

44)log 2 x

105)log 2x

6) log 81 3x


78/136

~ 78 ~

VI. Aplicar las propiedades logartmicas en:

1) loga

3

2 4x wy z

2) log3 z

x y

3) ln7

4

5

x

y z

4) ln 23 /y z


79/136

~ 79 ~

5) 320 80 30 3

log65 3 10 5

6)3

5

3 80log

100

7)3 2 2 5

2 2 4

3 4 2 3log

5 9 2

8)2 2 54

33

365 20 3 80 2log

5 80 3


80/136

~ 80 ~

VII. Expresar como un solo logartmo:

2 21)log loga b

2)log logy yx n

3) log log logn b c

3 3 3 34) og log log logm x b a

2 2 25)log log 2logA B C

5 5 56) 2(log 2log 3log )x y z


81/136

~ 81 ~

VIII. Busca el antilogaritmo de :

1) 2.74973632=

2) 0.602060=

3)5.3254647483

4) -10.39794=

5).00000000075

IX. Realizar las siguientes ecuaciones exponenciales:

2 1 6 51)7 7x x

4 2 2 32)3 9x x


82/136

~ 82 ~

2 3 5 23)25 5 5x x x

2 15 304) 4 16x x

2 1 3 5 25) 27(3 9 ) 3x x x

6)

1(4 )

(9 3) 427 9x

x


83/136

~ 83 ~

7) 2-(x+2) = 16-x+10

8) 32x-1= 243-x-1

9) 6 x-5= 36(x+1)/2

10)7

x+2

= 343

11) ex+28 = e6


84/136

~ 84 ~

X. Resuelve las siguientes ecuaciones logartmicas.

3

1)log 81 x

22) 1 1 2 2Ln x Ln x

3) 2 2 26 14Log x Log x Log x

4) 4 4(2 3) 5 1Log x Log x

5) (2 1 3 2)Lo xg Log x


85/136

~ 85 ~

6) 5 510

(4 5)2

Ln Lnx

x

7) 2 2 2 28 4) 10( ( 2)Log x Log x Log x Log x

Bienaventurado el hombre que puso en jehova su confianza, y no mira a los soberbios,

ni a los que se desvian tras la mentira.(Salmos; 40:4)


86/136

~ 86 ~


Matemtica Bsica

Prctica # 9: Matrices

Nombre: ___________________________Matrcula:________________________


I. Defina correctamente los siguientes conceptos y ponga ejmplos:a) Vector fila:

b) Vector columna:

c) Matriz:

d) Matriz simtrica:

e) Matriz anti-simtrica:

f) Determinante:


87/136

~ 87 ~

II. Establezca la deiferencia entre los siguientes conceptos:

a) Matriz diagonal y escalar:

b) Matriz escalar y diagonal:

c) Matriz cuadrada y rectangular:

d) Hable sobre el proceso para multiplicar dos matrices:

I. Resuelve las siguientes operaciones matriciales.

1)

2)

-

=


88/136

~ 88 ~

3)

+

=

4)

-

+

=

5)

6)

=


89/136

~ 89 ~

7) =

II. Dada las matrices:

A= B= C=

Hallar

8) 2A+B

9) 3A-2B


90/136

~ 90 ~

III. Calcular el determinante de las siguientes matrices.Usar Zarrus para las matrices 3x3.1) A=

2) B=

3) C=

4) D=


91/136

~ 91 ~

IV. Buscar la determinante por el mtodo triangular.

1) A= =

2) B=

3) C= =


92/136

~ 92 ~

V. Calcular la matriz inversa de las matrices dadas.

b

S sabio, hijo mo, y regocija mi corazn, para que pueda responder al que me estdesafiando con escarnio. (Proverbios 27:11).

3 15 2

4 7 9

8 31 5


93/136

~ 93 ~


Matemtica BsicaPrctica # 10: Sistema de Ecuaciones.

Nombre: ___________________________Matrcula:________________________


I. Realiza todo lo pedido.a) Establezca la diferencia entre matemtica pura y aplicada.

b) Hable brevemente sobre la importancia de los sistemas de ecuaciones.

c) Defina sistema de ecuaciones.

d) Cuando un sistema de ecuaciones es compatible.

e) Cuando un sistema de ecuaciones es incompatible.

f) Cuando un sistema de ecuaciones es compatible determinado.

g) Cuando un sistema de ecuaciones es compatible indeterminado.


94/136

~ 94 ~

II-Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el mtodo desustitucin.

a-3 13

3

x y

x y

b-

2 3 20

3 13

x y

x y

2 4 15

) 5 1

2 8

x y w

c x y w

x y w


95/136

~ 95 ~

III-Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando el mtodo de reduccin.

5 3 8)

7 3 10

x ya

x y

6 4 2

) 8 2 56

2 4 6 86

x y

b x z

x y z

9 5 6)

11 34

k zc

k z


96/136

~ 96 ~

IV-Resuelve los sistemas de ecuaciones utilizando el mtodo de igualacin.

5 9)3 2 11x yax y

5 13 18

) 5 10

9 5 37

x y z

b x y z

x z

5 13)

9 3 27

x yc

x y


97/136

~ 97 ~

V-Resuelve por el mtodo de Gabriel Crammer.

a)3 2 11

4 3 26

x y

x y

c)20 30 9

25 10 5 0

x y

x y


98/136

~ 98 ~

VI-Realiza los siguientes ejercicios utilizando el mtodo de Gauss.

a)4 13 34

5 8

x y

x y

b)

2 11

2 9

5 10

x y z

x y z

x y z


99/136

~ 99 ~

C)2 3 1

3 2 4

2 3 5

x y zx y z

x y z


100/136

~ 100 ~

VII. Resuelve por el mtodo de Gauss Jordan.


101/136

~ 101 ~

VIII. Resolver por el mtodo grfico.

b)

2 6

2 3

5 8

x y z

x y z

x y z


102/136

~ 102 ~

IX. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:


103/136

~ 103 ~

e)

5

5 1

Log x Log y

Log x Log y


104/136

~ 104 ~

X- Resuelve los siguientes problemas

a) La suma de 2 nmeros es igual a 3 y la diferencia entre ambas cantidades es igual a 5.Hallar los nmeros.

b)El doble de un nmero ms otro es igual a 7, y la suma del primero con el doble delsegundo es igual a 5. Cules son estos nmeros?

c) Una guagua con capacidad de 60 pasajeros realiza el viaje desde Santo Domingo aSantiago y Puerto Plata. Los que viajan a Santiago pagan 60$RD y los que viajan a

Puerto Plata pagan 80$RD. Al trmino del viaje el dinero obtenido es 3,600$RD.

Cuntos pasajeros eran de Santiago y cuntos eran de Puerto Plata?

La habilidad podr llevarnos a la cima, pero se necesita carcter para permanecer all.

John Wooden.


105/136

~ 105 ~


Matemtica Bsica

Prctica # 11: Nmeros Complejos.

Nombre: ___________________________Matrcula:________________________


I. Descomponer las siguientes races:

Ej.: 9 9 1 3i

a) 36

b) 2 16

c) 81

d) (23 39)

e) 144

f) ( 117 139)

g) 8


106/136

~ 106 ~

II. Exprese en su forma equivalente ms simple las siguientes potencias de i.

Ej.: 24 0 1i i es que se coge el residuo y en este caso es cero 246

0

24 4

a) 153i

b) 264i

c) 519i

d) 30i

e) 384i

f) 85i a)


107/136

~ 107 ~

III. Encuentra el opuesto de:

(27 5 )

2) ( 3 )

2

) (17 15 )

) ( 3 5 )

) ( 3 5 )

( 1 3

( 27 5

)

)i

a i

b i

c i

d i

e i

i

IV- Encuentra el cojugado de:

1)5 9

2)1 1

3)40-25

7 64) -

2 2

5)8 41

6)53-

i

i

i

i

i

i


108/136

~ 108 ~

1

2 2

12

v. Encuentra el reciproco:

Observar los siguient

1 3 5 3 5 3 5 3 5

9 15 15 25 9 2

es ej

5

emplos:

9 25 34

-3-5i(3 5 -3+5i) .

-3+5i -3-5i

6 101 6 10 6(6 10 ) .

6 10 6 10 36 60 60 1006 10

i i i i

i i i i

iii

i i i i i

i

i

2

) 10 3

10 6 10 6 1036 100 36 100 1

) 12 75

) 28 40

) 7 4

) 1

36

a i

b i

c i

d

i

i

i

i

i i

e


109/136

~ 109 ~

VI. Representa en forma binmica los siguientess pares ordenados.

1) (4,3 ) =

2) (8,-2 ) =

3) (-31,-7 ) =

4) (-2,4 ) =

1 15) ( , ) =

5 3

6) (-41,19 ) =

7) (1,-3 ) =

8) (9,-6 ) =

2 39) (- ,- )

4+3

8-

=3

2

2

10)

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

(2,5 ) =i

VII. Realiza las siguientes operaciones.

Ej.: 3 5 7 3 3 7 5 3 (10 8 )i i i i i (5 6 )(4 3 ) (20 18) (15 24) 38 39i i i i

a) 5 6i 4 2i

b) 22 6i 17 30i

c) 25 3i 13 6i

d) 84 22i 11 7i

e) 4 7i 12 9i

f) 9 7i 9 7i 5 4


110/136

~ 110 ~

g) (10 5 ) (14 8 )i i

h) (8 19 ) (19 3 )i i

a) (3 2 )(2 )i i

b) (2 2 )( 2 2 )i i

c) ( 6 )(4 6 )i i

d) (4 2 )(5 3 )i i

e) (5 15 )(10 9 )i i

3 1

4 4i i


111/136

~ 111 ~

VIII. Realiza las siguientes divisiones de complejos:

Ej.:2 2

2 5 1 2 (2 10) (4 5 ) 8 9 8 9

1 2 1 2 1 2 5 5 5

i i i i i i

i i

a)5

3 i

b)2 3

3 2

i

i

c)

10

1

i

i

d)7 3

5

i

i

e)

2 3

4 6

i

i

IX. Escribe el reciproco de los siguientes nmeros complejos:a) (2 3 )i

b) ( 6 15 )i

c)2

( 12 )3

i


112/136

~ 112 ~

d) (5 7 )i

e) ( 9 2 )i

f)2 3

( )5 2

i

X. Encuentra el recproco de:

) 1 8

) 6

) 7 6

) 7 4

) -4 7 )

a i

b i

c i

d i

e i

XI. Calcule el mdulo y argumento de los siguientes nmeros complejos

Ej.: 2 2(3 4 ) 3 4 3 4 9 16 25 5i i

1 14arg. tan ( ) tan (1.3333) 53.1294

3

M y ARG. = 53.12945

1. (8 5 )i


113/136

~ 113 ~

2. (3 15 )i

3. (2 8 )i

4. (6 3 )i

5) 5 5

6) 3

7)1 6

i

i

i


114/136

~ 114 ~

XII. Use el teorema de De Moivre para efectuar los siguientes clculos yexprese los resultados en forma bionoma:

a)

23 3

5(cos )2 2

isen

b) 4( 3 4 )i

c) 3(1 3)i

d)

3

2(cos )3 3

isen


115/136

~ 115 ~

e)

4

3 33 cos

2 2isen

f)

5

26

2i


116/136

~ 116 ~

XIII. Grafica los siguientes nmeros complejos.

) 4 3

) 13 3

) 1

1 5)

2 8

a i

b i

c i

d i

X


117/136

~ 117 ~

2 2

XIV. Expresa en forma trigomtrica:

5 6 25 36 61 7.81

6tan ( ) 50.1

: 5 6

)

9 7.81(cos50.19 5

4

) 2 5

) -6 6

) 3 3

) 8 4

1) 52

0.19)5

Ejemplo i

a i

b i

i i

c i

d i

e

i

n

i

f

se


118/136

~ 118 ~

XV. Representa en forma binmica los siguientes pares ordenados:

0

) 2 45 45

) 5 180 180

) 4 60 60

) 2 3 60 90

) 2 90 90

o o

o o

o o

o o

o

a Cos iSen

b Cos iSen

c Cos iSen

c Cos iSen

d Cos iSen


119/136

~ 119 ~

XVI Gr fica los siguientes complejos :

1, 4

5,

3, 4

1,0

10,

4

a i

b i

c i

d

ei


120/136

~ 120 ~

DeterminarelArgumento de los siguientes n meros complejos :

) 3 3,

) 1, 3

) 2, 2

) 0,5

) 3,0

XVII

a i

b i

c i

d i

e i


121/136

~ 121 ~

90

6

XVIII. Expresa en forma trigonom trica :

) 5

) 3

) 3

) 3,3

) 3,3 3

a

b

c i

d i

e i


122/136

~ 122 ~

XIX. Expresar En Forma Polar :

) 3 30 30

) 1

) 5 180 180

) 3, 5

o o

o o

a Cos iSen

b i

c Cos iSen

d


123/136

~ 123 ~

2

5

3

7

6

XX. Determine cada potencia indicada usando el m todo De Moivre

y exprese en Forma Polar :

8 5

2 4

1 3

25 9

( 81 )

a i

b i

c i

d i

e i

La lectura hace al hombre completo. La conversacin lo hace gil. La escritura lo hace preciso.

Francis Bacon


124/136

~ 124 ~


Matemtica Bsica

Prctica # 12: Coordenadas Polares.Nombre: ___________________________Matrcula:________________________


. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas

coordenadas polares son dadas.

a) 2,

b) 3, 2

c) 1,2

3d) 4,

2

I


125/136

~ 125 ~

. Convierta de coordenadas polares a rectangulares.

1) 8,

22) 1,

3

33) 5,

4

4) 4,3

II


126/136

~ 126 ~

. Convierta a coordenadas polares.

a) 0,5

b) 2,4

c) 1, 7

d) 2, 5

. Graficar.

1) R 3

22) R= cos

3

3) R=2sen

III

IV

B

B


127/136

~ 127 ~


Matemtica Bsica

Prctica # 13: Slidos de Revolucin.

Nombre: ___________________________Matrcula:________________________


1. Hallar el volumen de un cono de 9cm de radio y 25 de altura

2. El radio y la altura de un cono miden 7 y 15 cm respectivamente.

3. Calcule el volumen de un cilindro, cuyo dimetro mide 10m si su altura es de 26m.

4. Halle el volumen de un cilindro de 10m de altura si el radio es igual a 1/2 de la altura.


128/136

~ 128 ~

5. La altura de un cilindro mide 4cm y el radio de su base es igual al triple 3 de la alturadisminuida en 5. Calcule su volumen?

6. El dimetro de una esfera, es igual al duplo del valor de pi disminuido en 3,

Determine su volumen.

7. El volumen de una esfera mide 66,96cm3, Calcule su radio?

8. Calcular la superficie de un cono de 15cm de generatriz si el dimetro de la base mide4/5 de ella.

9. L a superficie de un cono recto es 678.24cm2. Calcular la generatriz si es igual a 5/3 delradio de la base.

Gastar dinero en los libros es una inversin que rinde buen inters.Benjamn Franklin


129/136

~ 129 ~


Matemtica Bsica

Prctica # 14: Razonamientos Lgicos Matemticos.I. Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes:

p: 2 es un nmero impar. v(p)=

q: 7 es un nmero primo. v(q)

r: 5/7 no es un nmero entero. v(q)=

s: Santo Domingo es un pas. v(s)=

t: La tierra gira alrededor del sol. v(t)=

II. A continuacin se presentan una serie de proposiciones. Indique con una C

las que son compuestas y con una S las que son simples.

1.___ Carlos es un nombre de persona.

2.___ El invierno es una estacin del ao y Juan Pablo Duarte descubri a Amrica

3.___ Venezuela es uno de los pases de mayor produccin petrolera.

4.___ 3+2 =5 y 5 es un nmero primo.

5.___ 6 es un nmero positivo si y solo si es mayor que cero.

III. Dados p: El invierno es fro; q: Diana es estudiosa, r: La salamandra es un

animal vertebrado. Escriba en lenguaje coloquial:

a) ~p

b) ~q

c) ~r

d) p ~q

e) ~q ~r


130/136

~ 130 ~

f) (p q) r

g) (p ~q]) ~r

h) ~r (p q)

i) (q ~r) (~p q)

j) ~s ~ q

k) q ~r

l) ~p [(p q) (~q r)

2. Exprese en lenguaje matematico cada una de las siguientes proposiciones:

a) _________ El invierno es fro y Diana es estudiosa.

b) _________ (La salamandra no es un animal vertebrado y Diana no es inteligente) o

el invierno no es fro.

c) _________ El invierno es fro o la salamandra es un animal vertebrado.

d) _________ Diana no es estudiosa y (el invierno es fro o la salamandra es un

animal vertebrado).

e) _________ (Diana es estudiosa y el invierno es fro) y (la salamandra es un animal

vertebrado o el invierno no es fro).

f) _________ Si el invierno es fro y Diana es estudiosa entonces la salamandra es un

animal vertebrado.

g) ________ Si la salamandra no es un animal vertebrado si y solo si Diana es

estudiosa.

h) ________ El invierno no es fro y Diana es estudiosa y solo si la salamandra es un

animal vertebrado.

i) _________ Si el invierno no es fro o la salamandra es un animal vertebrado,entonces Diana no es estudiosa.


131/136

~ 131 ~

IV. Construye la tabla de verdad de cada una de las proposiciones

siguientes:

1) p ~q2) (p q) r3) ~p ~q4) (~p ~q) ~r5) (p q) (p r)6) ~p [q (r s)]7) (~p ~q) (~p s)8) ~p s

9) (p ~r) q10) [(~p ~r) (q ~p)] (~r ~p)

V. Dadas las proposiciones siguientes realice la tabla de verdad de cada

una de ella e indique cuales son tautologa, contradicciones o

contingencias.

1. [p (p q)] q2. (p q) (p ~q)

3. ~p (p q)4. (~p ~q) (~p q)5. [q (~p q)] q

VI. Si A= {0, 1, 2, 3, 4, 5} determine el valor de verdad de cada una de las

proposiciones siguientes:

1. x A; 4 x < 20

2. x A; x 2 - 1 0

3. x A; 3x + 6 > 4 x

4. x A; x 2 + 2x = 0

5. x A; 4x + 1 > 20

6.

x

A; x

2

- 2x > 5


132/136

~ 132 ~

VII. Resolver los siguientes problemas lgicos:

1. Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un ro,dispone de una barca en la que slo caben l y una de las otras tres cosas. Si el lobo se

queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come,Cmo debe hacerlo?

2. Un hombre tiene RD$100.00 con los cuales debe comprar 100 animales de tresvariedades. Solo que el precio es el siguiente, vaca a RD$10.00, chivo a RD$ 5.00 y

pollos a 0.50 centavos. Como lo hara el hombre para con los 100 pesos comprar 100animales.

3. Un oso camina 10 Km. Hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte, volviendo alpunto del que parti. De que color es el oso?

4. Un hombre est al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hayuna habitacin con la puerta cerrada. Uno de estos tres interruptores enciende la luz deesa habitacin, que est inicialmente apagada. Cmo lo hizo para conocer queinterruptor enciende la luz recorriendo una sola vez el trayecto del pasillo? Pista: Elhombre tiene una linterna.


133/136

~ 133 ~

5. Un prisionero est encerrado en una celda que tiene dos puertas, una conduce a lamuerte y la otra a la libertad. Cada puerta est custodiada por un vigilante, el prisionerosabe que uno de ellos siempre dice la verdad, y el otro siempre miente. Para elegir lapuerta por la que pasara solo puede hacer una pregunta a un solo de los vigilantes.

Cmo puede salvarse?

6. Tenemos doce monedas aparentemente iguales, pero una de ellas tiene un pesoligeramente superior. Usando una balanza de platillos y con solo tres pesadas encontrarla moneda diferente.

7. Tres amigos con dificultades econmicas comparten un caf que les cuesta 30 pesos, porlo que cada uno pone 10. Cuando van a pagar piden un descuento y el dueo les rebaja 5pesos tomando cada uno un peso y dejando dos en un fondo comn. Ms tarde hacencuentas y dicen: Cada uno ha pagado 9 pesos asi que hemos pagado 9x3=27 pesos quecon los dos del fondo hacen 29 Dnde est el peso que falta?

8. Un encuestador se dirige a una casa donde es atendido por una mujer: cantidad dehijos? Tres dice ella. edades?, El producto de las edades es 36 y la suma es igual alnmero de la casa, responde. El encuestador se va pero al rato vuelve y le dice a lamujer que los datos que le dio no son suficientes; la mujer piensa y le dice: tiene razn,la mayor estudia piano. Esto es suficiente para que el encuestador sepa las edades de loshijos. Cules son?


134/136

~ 134 ~

9. El alcaide de una crcel informa que dejara salir de la prisin a una persona al azar paracelebrar que hace 25 aos que es alcaide. Eligen a un hombre y le dicen que quedarlibre si saca de dentro de una caja una bola blanca, habiendo dentro 9 bolas negras y

solo 1 blanca. El prisionero se entera por un chivatazo que el alcaide pondr todas lasbolas de color negro, al da siguiente le hace el juego, y el prisionero sale en libertad.Cmo ha conseguido salir de la crcel si todas las bolas eran negras?

10.Un excursionista es capturado por canbales y le dicen: Si dices una mentira te matamoslentamente y si dices una verdad te matamos rpidamente. Qu dice para que no lomaten?

Son nuestras escogencias y no la suerte la que determinan nuestro destino.Jean Nidetch


135/136

~ 135 ~

Bibliografa

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