ÁREA DE ESTUDIOS

ECONÓMICOS

WORKING PAPER

SERIES

CRECIMIENTO ÓPTIMO Y EL MODELO DE RAMSEY EN LA ECONOMÍA

PERUANA: 2005-2017

Área de Estudios Económicos

Documento de trabajo WPS001

Febrero, 2019

DAT COMPANY E.I.R.L.

Pj. Ruben Darío Mz. A Lt 17

Huancayo – Perú

Las opiniones vertidas en el presente Documento de Trabajo son de entera responsabilidad de

nuestra institución, por lo que nos sojuzgamos a cada una de las jurisprudencias que amparan la

propiedad intelectual y lineamientos de ética organizacional. Cualquier tipo de propuesta o queja

remitirla a datcompany.pe@gmail.com. Agradecemos a Diana E. Chuquín y Betsy A. Pacheco por

su gran contribución a la presente investigación.

Los Documentos de Trabajo elaborados por nuestra entidad tienen como objetivo impulsar la

investigación científica, facilitando un conjunto de resultados empíricos y marcos metodológicos

sobre diversos temas de interés público.

© 2019, Área de Estudios Económicos – Dat Company. Todos los derechos reservados.

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CRECIMIENTO ÓPTIMO Y EL MODELO DE RAMSEY EN LA ECONOMÍA

PERUANA: 2005-2017

Área de Estudios Económicos

Documento de trabajo WPS001

Febrero, 2019

Resumen

Determinamos el crecimiento óptimo del consumo, producción y capital de la

economía peruana según el modelo de Ramsey para el período 2005-2017, para luego

evaluar el comportamiento de estos en relación a los obtenidos por el Banco Central de

Reservas del Perú (BCRP). Los resultados según los parámetros estructurales asumidos

muestran que las tasas de crecimiento óptimos del consumo oscilan alrededor del 0.7%,

del capital por encima del 0.5% y de la producción por encima del 0.8%. Éstas difieren de

las que brinda el BCRP, pues, estas últimas no consideran características de ahorro,

consumo intertemporal y del nivel de capital que determinan las familias y empresas.

Palabras clave: crecimiento óptimo, capital, progreso tecnológico.

Códigos JEL: E13, E23.

Abstract

We determine the optimal growth of consumption, production and capital of the

Peruvian economy according to the Ramsey model for the period 2005-2017, to then

evaluate the behavior of these in relation to those obtained by the Central Reserve Bank

of Peru (BCRP). The results according to the assumed structural parameters show that the

optimal growth rates of consumption oscillate around 0.7%, of capital above 0.5% and of

production above 0.8%. These differ from those offered by the BCRP, since the latter do

not consider characteristics of savings, intertemporal consumption and the level of capital

determined by families and companies.

Key Words: optimal growth, capital, technological progress.

JEL codes: E13, E23.

3

Introducción

El propósito fundamental de este documento es proporcionar un material básico

sobre el crecimiento económico con optimización de las tasas de consumo, capital y

producción para el Perú, así como también del crecimiento hacia el estado estacionario

del consumo y capital. Los hallazgos de basan en la definición de parámetros estructurales

generales del país como son: la tasa intertemporal de consumo, la elasticidad de aversión

al riesgo, el progreso tecnológico, el peso o participación del factor capital en la producción.

Además, se hizo un cálculo de la tasa de crecimiento de la población económicamente

activa empleada.

Las características que presenta el modelo de crecimiento económico de Ramsey

permiten el acercamiento hacia las tasas de crecimiento en las cuales debería crecer una

economía y, asimismo, permiten reflejar el comportamiento que adoptan los agentes

económicos para generar mejores ingresos y maximizar su consumo en el tiempo.

Los resultados estimados generan una serie de preguntas sobre el desempeño de

la economía peruana, pues, según los parámetros estructurales generales asumidos se

obtuvo tasas muy bajas de crecimiento de consumo, capital y producción. Los hechos

estilizados evidencian que bajas tasas de ahorro, limitan el incremento de la participación

del capital en la producción y, consigo, los retornos de las inversiones.

Hechos estilizados

Fernández-Baca & Seinfeld (1995) estiman un progreso neutral del modelo de

Solow para la economía peruana y descubrieron que un tercio del 2.8% del crecimiento

promedio del PIB per cápita entre 1950 y 1968 es explicado por la acumulación de capital

físico, mientras que los dos tercios restantes se explicaron por progreso tecnológico. Por

el contrario, hubo un progreso tecnológico negativo entre 1969 y 1990, con un descenso

anual de -1,5% en la productividad total de los factores, lo que explica la disminución del

PBI per cápita en un tasa anual del –1,2%. Sorprendentemente, la relación capital-

producción (𝐾/𝑌) mostró un ligero aumento de 2.8% a 3.1% durante el primer período

1950-1968 y casi se duplicó, Durante el segundo período (1968-1990), subió de 3.1% a

5.9%. A pesar de todas las críticas que se han dirigido al modelo de Solow, este ingenuo

cálculo muestra que algo malo ha sucedido con una economía donde el stock de capital

total aumentó dos veces más rápido que el producto bruto interno.

4

Por otro lado, Céspedes & Ramírez (2016) estiman el crecimiento de la

productividad total de los factores (PTF) de Perú en el período 2003-2012 usando el

enfoque adoptado por Abramovitz (1956) y Jorgensen & Griliches (1967), donde la PTF

mide las externalidades positivas que contribuyen indirectamente a un aumento en la

producción (sin progreso tecnológico). La PTF se puede estimar mediante el enfoque

primal que usa el residuo de Solow como un indicador de la productividad y que requiere

la medición de los dos factores principales de producción: capital físico y trabajo. Así

también, se puede estimar mediante el enfoque dual que estima el crecimiento de la PTF

a partir de indicadores de la productividad marginal de los factores de producción (precios

de los factores de producción) donde considera indicadores de salarios y tasas de interés.

Al emplear el método primal, la PTF estimada creció a una tasa promedio anual de 1.6% a

lo largo de 2003-2012, lo cual el factor que más contribuyó al crecimiento económico fue

el capital físico. Mientras que la tasa de crecimiento anual promedio de la PTF estimada

utilizando el enfoque dual es del 1,7% en el periodo estudiado. Lo cual la existencia de

fricciones en los mercados de trabajo y de capital condujo al indicador de la tasa de

crecimiento de la PTF que sea ligeramente diferente del estimado por el método primario.

Carranza, Fernández-Baca & Morón (2003), responden a la interrogante que se

hace Zavalita en el libro Conversación en la Catedral de Mario Vargas Llosa, ¿en qué

momento se judío el Perú?, basándose en dos metodologías. Por un lado, conforme al

método de Pritchett (2000), aproximan el tamaño de la distorsión entre el costo de la

inversión y el valor del capital, siendo un punto crucial sobre la explicación real del lento

crecimiento donde la inversión del gobierno no crea capital productivo, y tampoco que la

inversión del gobierno fuera demasiado pequeño, si no de la productividad del capital, por

lo que obtuvieron como resultados: la inversión pública generó efectos positivos en el

crecimiento del Perú durante la década de los 60-70, siendo una relación negativa para

los años 80-90 y luego de estos años las políticas de inversión pública muestran mejores

resultados, sin embargo, creciendo a tasas bajas que de los años en auge.

De otro lado, con la segunda metodología obtuvieron que la PTF están explicadas

significativamente por el comercio, el tipo de cambio real y la relación entre la deuda

pública externa y el PIB en primer lugar, mientras que la inflación y la tasa de interés real

entran en segundo plano.

Por su parte, Posada (2015) desarrolla un modelo para la economía colombiana

que se asemeja al modelo Cass-Koopmans-Ramsey, pero cuyos resultados son

5

incompatibles con el modelo neoclásico; a saber, un shock positivo que afecte la

producción transitoriamente empleando los recursos del presente para tal proceso, tiene

un efecto adverso perdurable en sus niveles posteriores, por lo que en el corto plazo el

modelo predice un multiplicador del gasto positivo y en el largo plazo es negativo. Como

resultados empíricos encontró que para el período 1925-2000, el efecto hipotético del

incremento del gasto público en el mediano/largo plazo (entre 5 y 39 años) es negativo, y

en el de muy largo plazo (40 a más años) es nulo. Por otro lado, para ese período, las tasas

de crecimiento económico de cambio fueron alrededor del 2% anual en medio de

oscilaciones de corto y mediano plazo, y de una tendencia (aunque leve) a decrecer entre

1926 y mediados o fines de los años noventa.

Por otro lado, Edwards (2016), empleó la metodología de Weitzman (2001) y la

ecuación de Ramsey para estimar la tasa de descuento. En el primer caso, empleando

información basada de un cuestionario dirigido a economistas e instituciones importante,

derivó un rango para la tasa de descuento a largo plazo de cada individuo encuestado y

con ello, usando el método de máxima verosimilitud, estimó los parámetros de la función

gamma. Los resultados de ambos casos fueron consistentes en el sentido de que los

parámetros hallados están en la línea de la teoría normativa tanto en la ecuación de

Ramsey como en el método de Weitzman, marco que señala que la tasa pura de

preferencia por el tiempo (𝛿) debe ser igual a cero y la elasticidad de la utilidad marginal

respecto del consumo (𝜂) debe estar entre 1 y 2. Como hallazgo empírico, 𝜂 = 1.4522 y

𝛿 = 0.0007.

Ramsey (1928) se plantea responder cuánto de su ingreso debería ahorrar una

nación. Este modelo es perfeccionado por Cass en 1965 y, años más tarde por Koopmans

en 1965. Para responder esa interrogante, han asumido un conjunto de supuestos. El

modelo de Ramsey es de horizonte infinito (vida eterna) -los padres actúan pensando en

el bienestar de sus generaciones futuras-, la población (𝑁𝑡) crece a una tasa 𝑛, la fuerza

laboral (PEA) es inelástica e igual a 𝑁𝑡, utiliza una función de producción neoclásica, la

economía inicia con algo de capital per cápita 𝑘0 > 0 (𝑘0 = 𝐾0/𝐿) y la producción (𝑌)

puede ser destinada a consumo (𝐶) o inversión (𝐼).

En este caso, se asume una función de producción del tipo Cobb-Douglas definida

por la siguiente expresión

𝑌 = 𝐴𝐾𝛼 . 𝐿1−𝛼

6

donde 𝐴 es el progreso tecnológico o PTF, 0 < 𝛼 < 1 es un parámetro que mide el peso

del factor capital (𝐾) y 1 − 𝛼 el peso del factor trabajo (𝐿).

Luego de un conjunto de derivaciones matemáticas (ver Apéndice 1), se obtiene los

niveles óptimos en el estado estacionario del capital (��∗), consumo (��∗) y producción (��∗):

��∗ = (𝛼

𝜌 + 𝑛 + 𝜃 + 𝑥)11−𝛼

��∗ = ��∗𝛼− (𝑛 + 𝑥 + 𝛿)��∗

��∗ = ��∗𝛼

Se observa que 𝛼 es una función directa para las tres variables. Todos los demás

parámetros actúan de manera inversa.

Resultados

Para calcular los niveles de estado estacionario de la economía peruana, se tomó

información estadística del Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) para

calcular la tasa de crecimiento de la Población Económicamente Activa (PEA) ocupada en

el Perú 𝑛 (ver anexo 2), mientras que los parámetros estructurales de la economía se

definieron según el entorno general. Respecto a la tasa de preferencia intertemporal por

el consumo, 𝜌, la evidencia empírica muestra que existe una elevada preferencia por el

consumo presente. Esto se comprobó en base a una regresión lineal realizada del

consumo nacional en función al ingreso nacional disponible, donde la propensión marginal

a consumir es 0.66, por lo que 𝜌 = 0.66.

En cuanto a la elasticidad de sustitución al riesgo o aversión al riesgo sobre el

consumo (ESIC), denotado por 𝜃, se asumió que es menor. La disposición de los habitantes

por evitar el consumo presente a favor de encontrar un mayor consumo futuro es rezagada.

Teóricamente, los individuos deberían consumir menos para ahorrar más y, en seguida,

ese ahorro se convertirá en inversión. Entonces, dada la propensión marginal del consumo,

la propensión marginal al ahorro será cercano a uno menos la tasa de riesgo al consumo,

por lo que se asumió 𝜃 = 0.34. El progreso tecnológico, 𝑥, definido como el grado de

inversión en investigación y desarrollo en el país, según (CONCYTEC, 2017), se tomó, 𝑥 =

0.08.

Respecto al peso del factor capital en la producción agregada se asumió 𝛼 = 0.34,

el mismo valor de ESIC. La idea subyacente es que el ahorro presente se convertirá en

7

inversión en el futuro (en este desembolso estará el capital). Todo capital físico sufre

desgaste, depreciación. La tasa de depreciación se asume que es equivalente al valor

contable de depreciación lineal a 10 años, siendo 𝛿 = 0.1.

En base a los parámetros estructurales definidos, reemplazando en las ecuaciones

de estado estacionario, se obtuvieron determinados resultados.

Figura 1. Perú: tasas de crecimiento óptimo del capital, consumo y producción, 2005-2017.

Como se observa en la figura 1, el crecimiento del capital óptimo debió ser por

encima del 0.5%, el crecimiento o variación interanual del consumo óptima debió ser por

encima del 0.7% y el crecimiento de la producción óptima debió ser por encima del 0.8%.

Asimismo, se realizó la estimación del comportamiento en el tiempo (la

convergencia) hacia el estado estacionario del capital (𝑘��) y consumo (��𝑡) (ver apéndice 1,

ecuación 35 y 36):

��(𝑡) = ��∗ + [��(0) − ��∗]𝑒𝜆2𝑡

��(𝑡) = ��∗ + [��(0) − ��∗]𝑒𝜆2𝑡

Para la estimación de 𝜆2, se utilizó la ecuación (34), la misma que se define en el

apéndice 1.

𝜆2 =𝛽 − √𝛽2 − 4𝜏

2< 0

La figura 2 muestra el comportamiento de las tasas de crecimiento del capital

hacia el estado estacionario para los próximos 10 años, dado como condiciones iniciales

las tasas realmente observadas para el año 2017 (ver anexo 2). Claramente se observa

que transcurrido 6 o 7 años aproximadamente, se espera que dicha convergencia esté

muy cerca del capital óptimo del país.

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

k* c* y*

8

Figura 1 Perú: convergencia hacia el estado estacionario del capital, 2018-2030.

La figura 3, por su lado, muestra el comportamiento de las tasa de crecimiento

hacia el estado estacionario del consumo, donde, dada como condiciones iniciales lo

realmente observado para el año 2017, se espera que dentro de 5 o 6 años esté muy

cerca del óptimo del país.

Figura 2. Perú: tasas de crecimiento hacia el estado estacionario del consumo, 2018-2030

Para finalizar el análisis se tiene la figura 4, que muestra los valores observados

del crecimiento del capital, consumo y producción del país durante los años 2005-2017

(ver anexo 2), los cuales difieren considerablemente de los resultados presentados. El

crecimiento de la producción es en promedio del 4.3%, del consumo 4.53% y del capital

7.84%.

-0.20000

-0.10000

0.00000

0.10000

0.20000

0.30000

0.40000

0.50000

0.60000

0.70000

2018 2020 2022 2024 2026 2028 2030

k

0.86000

0.88000

0.90000

0.92000

0.94000

0.96000

0.98000

1.00000

1.02000

1.04000

1.06000

1.08000

2018 2020 2022 2024 2026 2028 2030

c

9

Figura 3. Perú: tasas de crecimiento del consumo, capital y producción per cápita, 2005-2017.

Los parámetros asumidos sólo bosquejan una realización de lo que serían los

valores óptimos del consumo, capital y producción. Fácilmente se puede desarrollar

simulaciones con otros valores y observar la dinámica temporal de ellos en la economía.

Conclusiones

El modelo de crecimiento de Ramsey permitió determinar el crecimiento óptimo del

consumo, producción y capital en el país, resultando las tasas de crecimiento óptimos del

capital debió ser por encima del 0.5%, del consumo óptima por encima del 0.7% y de la

producción por encima del 0.8%. Estas tasas de crecimiento estimadas difieren con las

tasas de crecimiento observadas en dicho periodo de estudio debido a la baja tasa de

ahorro por parte de las familias y la alta tasa de preferencia intertemporal del consumo

presente, además de la baja tasa de progreso tecnológico del país.

Ese comportamiento de los agentes económicos refleja que las tasas de

crecimiento que brinda el Banco Central de Reservas del Perú no presentan las

características de ahorro, consumo intertemporal y del nivel de capital que determinan las

familias y empresas, es decir que el país no está viviendo conscientemente del

comportamiento de sus preferencias en el consumo y sus ingresos en el tiempo,

generando una dependencia en el crecimiento exógeno, es decir, que no se está utilizando

adecuadamente los recursos propios de los agentes económicos del país. Por obvias

razones, esto generará ciertos bretes en el futuro.

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

c k y

10

Referencias

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Jorgenson, D., & Griliches, Z. (1967). The Explanation of Productivity Change. Review of

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Posada, C. (2015). El costo de oportunidad del cambio técnico, el crecimiento económico

y el caso Colombiano 1925-2012. Ensayos sobre Política Económica, 33, 149–167.

Pritchell, L. (2000, December). The Tyranny of Concepts: CUDIE (Cumulated, Depreciated,

Investment Effort) is Not Capital. Journal of Economic Growth, 5, 361–384.

Ramsey, F. (1928). A Mathematical Theory of Saving. The Economic Journal, 38(152), 543-

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11

Sánchez, Á. (2014). Aplicación del Modelo de Frank P. Ramsey sobre la Economía

Mexicana en el Período 1960-2000. Tesis, Universidad Nacional Autónoma de

México, Facultad de Economía, México.

Weitzman, M. (2001). Gamma Discounting. The American Economic Review, 91(1), 260-

271.

Anexos

Anexo 1: Modelo de crecimiento de Ramsey

Función de producción agregada

Se emplea una función de producción neoclásica con factor tecnológico endógeno

y en términos de trabajo efectivo:

𝑌 = 𝐹[𝐾, 𝐴𝐿] …… (1)

Para alcanzar la función de producción en términos per cápita, se divide la función

agregada entre el trabajo efectivo 𝐴𝐿 = ��,

𝑌

𝐴𝐿= 𝐹 (

𝐾

𝐴𝐿, 1)

𝑌

𝐴𝐿= 𝐹 (

𝐾

𝐴𝐿) …… (2)

Si �� = 𝑌 ��⁄ y �� = 𝐾 ��⁄ , entonces

�� = 𝑓(��) …… (3)

Determinamos la productividad del capital de la ecuación (2):

𝑃𝑀𝐺𝐾 = (𝐴𝐿)𝐹´ (𝐾

𝐴𝐿)

= (𝐴𝐿) [𝐹´ (

𝐾𝐴𝐿) (1)

(𝐴𝐿) − 𝐹´ (𝐾𝐴𝐿) (0)𝐾

(𝐴𝐿)2]

𝑃𝑀𝐺𝐾 = 𝑓′(��) …… (4)

Y ahora para la fuerza de trabajo se tiene lo siguiente:

𝑃𝑀𝐺𝐿 = 𝐴. 𝐹 (𝐾

𝐴𝐿) + 𝐴𝐿. 𝐹´ (

𝐾

𝐴𝐿)

= 𝐴𝐹 (𝐾

𝐴𝐿) + [

−𝐴𝐾𝐹´ (𝐾𝐴𝐿)

𝐴𝐿]

12

𝑃𝑀𝐺𝐿 = 𝐴𝑓(��) − 𝐴. ��𝑓´(��)

𝑃𝑀𝐺𝐿 = 𝐴[𝑓(��) − ��𝑓´(��)] …… (5)

Pero, sabemos que 𝐴 = 𝑒𝑥𝑡 o que la tecnología crece a una tasa 𝑥 > 0, por lo tanto:

𝑃𝑀𝐺𝐿 = 𝑒𝑥𝑡[𝑓(��) − ��𝑓´(��)] …… (6)

Optimización

Si 𝑐 representa el consumo per cápita, entonces la familia representativa maximizará la

siguiente función de utilidad intertemporal:

𝑈 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡𝑢(𝑐(𝑡))𝑑𝑡∞

0

, 𝜌 > 0 …… (7)

Si se asume una función de elasticidad constante cóncava dada por 𝑢(𝑐(𝑡)) =𝑐𝑡1−𝜃−1

1−𝜃,

entonces:

𝑈 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡𝑐1−𝜃 − 1

1 − 𝜃𝑑𝑡

∞

0

…… (8)

La restricción presupuestaria de las familias está dada por lo que percibirán en

forma de salarios (𝑤) por su trabajo y en forma de intereses (𝑟) por el alquiler de sus activos

(𝐵) menos su consumo. En caso tengan préstamos, 𝐵 será pasivo y negativo, además,

pagarán intereses (𝑟). Así, la variación en el tiempo de activos totales será

�� = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐵 − 𝑐 …… (9)

y en términos per cápita,

��

𝐿= 𝑤 + 𝑟𝑏 − 𝑐

Como 𝑏 = 𝐵 𝐿⁄ , aplicando logaritmos a ambos miembros y derivando en el tiempo, �� =

𝑏(�� 𝐵⁄ ) − 𝑛𝑏. Así,

�� = 𝑤𝑡 − 𝑐 + 𝑟𝑏 − 𝑛𝑏 …… (10)

Las empresas están en un mercado competitivo donde intentan maximizar sus

beneficios (𝔅). Por un lado, el stock de capital que usan se deprecia a una tasa 𝛿 > 0 y

tienen que pagar el interés 𝑟 por el alquiler de capital; además, pagan salarios iguales a

𝑤. Entonces,

𝔅 = 𝐹(𝐾, ��) − (𝑟 + 𝛿)𝐾 − 𝑤𝐿 …… (11)

𝔅 = ��[𝑓(��) − (𝑟 + 𝛿)�� − 𝑤𝑒−𝑥𝑡]

13

Dado ��, la empresa maximiza beneficios cuando 𝜋′ = 0, es decir, cuando 𝑓′(��) =

𝑟 + 𝛿. Para que el mercado esté en equilibrio, para cualquier ��, los salarios igualan al

𝑃𝑀𝐺𝐿:

[𝑓(��) − ��𝑓′(��)]𝑒−𝑥𝑡 = 𝑤 …… (12)

A partir de las ecuaciones (10) y (12), asumiendo que 𝑏 = 𝑘, �� = �� y �� = 𝑘𝑒𝑥𝑡 se

puede aproximar la primera ecuación fundamental de Ramsey:

�� = 𝑓(��) − �� − (𝛿 + 𝑛 + 𝑥)�� …… (13)

donde �� = 𝐶 ��⁄ = 𝑐𝑒−𝑥𝑡. La ecuación (13) muestra claramente la conducta de �� y ��.

Con las ecuaciones (8) y (13) se plantea la optimización en tiempo continuo a través

del Hamiltoniano, para ��(0) dado (la condición inicial), ��, �� ≥ 0 y �� = 𝑐𝑒−𝑥𝑡 . Como la

variable de control es el consumo �� y la variable de estado es ��, entonces,

𝐻 = 𝑒−𝜌𝑡𝑐1−𝜃 − 1

1 − 𝜃+ 𝜆[𝑓(��) − 𝑐𝑒−𝑥𝑡 − (𝛿 + 𝑛 + 𝑥)��] …… (14)

𝐻𝑐 = 𝑒𝑥𝑡[𝑐−𝜃𝑒−𝑥𝑡]. 𝑒−𝑥𝑡 = 𝜆 …… (15)

𝐻�� = �� = −𝜆 [𝑓(��) − (𝛿 + 𝑛 + 𝑥)] …… (16)

lim𝑡→∞

[𝜆(0)��𝑒−∫ [𝑓(��)−(𝛿+𝑛+𝑥)]𝑑𝜆𝑡0 ] = 0 …… (17) (condición de transversalidad)

donde 𝜆 es el precio sombra, 𝜆(0) > 0 y �� = [(𝑥 − 𝜌)𝑐−𝜃 − 𝜃𝑐−𝜃−1��]𝑒𝑥𝑡𝑒−𝜌𝑡 .

Reemplazando esta expresión y la ecuación (15) en (16), se tiene la ecuación de Euler

[véase más detalles en Bazán (2014)]:

��

𝑐=1

𝜃[𝑓′(��) − (𝛿 + 𝑛 + 𝜌 + 𝜃𝑥)] …… (18)

Dado que �� = 𝐶 ��⁄ = 𝑐𝑒−𝑥𝑡, se tiene la segunda ecuación fundamental de Ramsey

[véase Sánchez (2014)] que muestra la conducta del consumo:

��

��=1

𝜃[𝑓′(��) − (𝛿 + 𝑛 + 𝜌 + 𝜃𝑥)] …… (19)

Estado estacionario

Las ecuaciones transcendentales,

�� = 𝑓(��) − �� − (𝛿 + 𝑛 + 𝑥)��

��

��=1

𝜃[𝑓′(��) − (𝛿 + 𝑛 + 𝜌 + 𝜃𝑥)]

14

lim𝑡→∞

{��𝜆(0)𝑒−∫ [𝑓´(𝑘)−𝛿−𝑛−𝑥]𝑑𝜆𝑡0 } = 0

��(0) 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑎𝑑𝑜

se pueden reescribir si se redefine la ecuación (1) como una función de Cobb-Douglas. La

ecuación (3) quedará entonces dada por:

�� = ��𝛼 …… (20)

A partir de ello,

�� = ��𝛼 − �� − (𝛿 + 𝑛 + 𝑥)�� …… (21)

�� =��

𝜃[𝛼��1−𝛼 − (𝛿 + 𝑛 + 𝜌 + 𝜃𝑥)] …… (22)

Si permitimos que �� = 0 en (21), luego

�� = ��𝛼 − (𝛿 + 𝑛 + 𝑥)�� …… (23)

y si c = 0 en (22),

𝛼��1−𝛼 = (𝛿 + 𝑛 + 𝜌 + 𝜃𝑥) …… (24)

despejando,

𝛼

(𝛿 + 𝑛 + 𝜌 + 𝜃𝑥)= ��1−𝛼

��∗ = (𝛼

𝛿 + 𝑛 + 𝜌 + 𝜃𝑥)

11−𝛼

…… (25)

La ecuación (25) es el capital en el estado estacionario. Sustituyendo en (23), se

alcanza el consumo en el estado estacionario:

��∗ = ��∗𝛼− (𝛿 + 𝑛 + 𝑥)��∗ …… (26)

La producción en el estado estacionario queda definido por ��∗ = ��∗𝛼

. Para

encontrar la regla de oro del capital, se deriva en (23) el �� con respecto al ��:

𝑑��

𝑑��= 𝛼��𝛼−1 − (𝛿 + 𝑛 + 𝑥) = 0

𝛼��𝛼−1 = (𝛿 + 𝑛 + 𝑥)

𝛼

(𝛿 + 𝑛 + 𝑥)= ��1−𝛼

��𝑜𝑟𝑜 = (𝛼

(𝛿 + 𝑛 + 𝑥))

11−𝛼

…… (27)

15

Comportamiento en el estado estacionario

Una forma de aproximación al comportamiento de estado estacionario es a través

del polinomio de Taylor (Bazán, 2014). Las derivadas de primer orden para las ecuaciones

(13) y (19) son, respectivamente:

𝑔(��, ��) ≈ 𝑔(��∗, ��∗) +𝜕𝑔(��∗, ��∗)

𝜕��[�� − ��∗] +

𝜕𝑔(��∗, ��∗)

𝜕��∗. [�� − ��∗] …… (28)

ℎ(��, ��) ≈ ℎ(��∗, ��∗) +𝜕ℎ(��∗, ��∗)

𝜕��[�� − ��∗] +

𝜕ℎ(��∗, ��∗)

𝜕��∗. [�� − ��∗] …… (29)

donde la función 𝑔(��∗, ��∗) = ��∗ y ℎ(��∗, ��∗) = ��∗. Además, se tiene que ��∗ ≡ 𝑔(��∗, ��∗) = 0

y ��∗ ≡ ℎ(��∗, ��∗) = 0.

Derivando la ecuación (28), cuando �� = ��𝛼 − �� − (𝛿 + 𝑛 + 𝑥)��, se tiene

𝜕𝑔(��∗, ��∗)

𝜕��= 𝑓´(��) − (𝛿 + 𝑛 + 𝑥)

𝜕𝑔(��∗, ��∗)

𝜕��= −1

Reemplazando estas últimas expresiones en (28),

[�� − ��∗] ≈ [𝒇´(��) − (𝛿 + 𝑛 + 𝑥)][�� − ��∗] − [�� − ��∗]

[�� − ��∗] ≈ [(𝜹 + 𝒏 + 𝝆 + 𝜽𝒙) − (𝛿 + 𝑛 + 𝑥)][�� − ��∗] − [�� − ��∗]

Simplificando, y si 𝛽 = 𝜌 + (𝜃 − 1)𝑥, se logra

[�� − ��∗] ≈ �� = 𝛽[�� − ��∗] − [�� − ��∗] …… (30)

Por otro lado, derivando la ecuación (29), cuando �� =𝑐

𝜃[𝑓´(��) − (𝛿 + 𝑛 + 𝜌 + 𝜃𝑥],

se tiene como resultados:

𝜕ℎ(��∗, ��∗)

𝜕��=��∗

𝜃. 𝑓´´(��)

𝜕ℎ(��∗, ��∗)

𝜕��=��∗

𝜃[𝛼(𝛼 − 1)��𝛼−2] = 𝜏, ∀ 𝜏 < 0

𝜕𝑔(��∗, ��∗)

𝜕��=1

𝜃[𝑓´(k) − (𝛿 + 𝑛 + 𝜌 + 𝜃𝑥)]

𝜕𝑔(��∗, ��∗)

𝜕��=1

𝜃[(𝛿 + 𝑛 + 𝜌 + 𝜃𝑥) − (𝛿 + 𝑛 + 𝜌 + 𝜃𝑥)] = 0

16

𝜕𝑔(��∗, ��∗)

𝜕��= 0

Entonces, reemplazando estas expresiones en (29),

[�� − ��∗] ≈ �� = 𝜏[k − ��∗] …… (31)

Resolviendo matricialmente (30) y (31),

(��

��) ≈

(

𝜕𝑓(��∗, ��∗)

𝜕��𝜕𝑔(��∗, ��∗)

𝜕��

𝜕𝑓(��∗, ��∗)𝜕��∗

𝜕𝑔(��∗, ��∗)𝜕��∗

)

(�� − ��∗

�� − ��∗) ≡ 𝛺(

��

��)

(��

��) ≈ (

𝛽

𝜏

−1

0) (�� − ��∗

�� − ��∗) ≡ 𝛺(

��

��)

donde:

�� = �� − ��∗ → �� = ��

�� = �� − ��∗ → �� = ��

La solución al sistema anterior viene a ser

(��

c) = 𝑐1 (

𝑎1𝑏1) 𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2 (

𝑎2𝑏2) 𝑒𝜆2𝑡 …… (32)

donde 𝜆𝑖 son las raíces características o autovalores de 𝛺, 𝑎𝑖 y 𝑏𝑖 son los autovectores y

𝑐𝑖 son constantes definidas en las condiciones iniciales (𝑖 = 1,2).

Por álgebra matricial,

𝑝(𝜆) = (𝛺 − 𝜆𝐼) = (𝛽 − 𝜆

𝜏

−1

−𝜆) = 𝜆2 − 𝜆 + 𝜏

Las raíces serán (𝛽 ∓ √𝛽2 − 4𝜏) 2⁄ . El discriminante es positivo por lo que

𝜆1 =𝛽 + √𝛽2 − 4𝜏

2> 0 …… (33)

𝜆2 =𝛽 − √𝛽2 − 4𝜏

2< 0 …… (34)

Finalmente, para establecer el comportamiento del consumo y capital en el tiempo,

se resuelve la ecuación (32) de tal forma que

�� − ��∗ = 𝑐1𝑎1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝑎2𝑒

𝜆2𝑡

�� − ��∗ = 𝑐1𝑏1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2𝑏2𝑒

𝜆2𝑡

17

Asumiendo que 𝑐1𝑎1 = 𝑐1𝑏1 = 0 para que se elimine el efecto de 𝜆1. El hecho de

que este autovalor es positivo (ecuación 33), hace que el sistema tenga divergencia

respecto al estado estacionario y, por ello, existirá un único valor que permita la

convergencia (Sánchez, 2014). Entonces, del anterior sistema, se alcanza

�� − ��∗ = 𝑐2𝑎2𝑒𝜆2𝑡

�� − ��∗ = 𝑐2𝑏2𝑒𝜆2𝑡

Para el periodo cero, ��(0) = ��∗ + 𝑐2𝑎2𝑒𝜆2(0) y, desde luego, 𝑐2𝑎2 = ��(0) − ��

∗ .

Entonces, en el período 𝑡 se logra la ecuación del comportamiento del capital:

��(𝑡) = ��∗ + [��(0) − ��∗]𝑒𝜆2𝑡 …… (35)

Análogamente, la ecuación del comportamiento del consumo se puede derivar,

logrando obtener

��(𝑡) = ��∗ + [��(0) − ��∗]𝑒𝜆2𝑡 …… (36)

Anexo 2: Datos empíricos

Tabla 1

Perú: PEA y tasa de crecimiento, 2005-2017

t PEA n

2005 13120 0.005

2006 13683 0.043

2007 14198 0.038

2008 14460 0.018

2009 14762 0.021

2010 15093 0.022

2011 15307 0.014

2012 15543 0.015

2013 15683 0.009

2014 15797 0.007

2015 15919 0.008

2016 16197 0.017

2017 16511 0.019

Fuente: INEI

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Tabla 2

Perú: Consumo, capital y producción per cápita observados

2005-2017 (tasa de crecimiento)

t c k y

2005 3.13 10.25 4.95

2006 5.13 18.14 6.23

2007 6.73 20.79 7.26

2008 7.16 23.00 7.91

2009 3.34 -2.51 -0.08

2010 7.32 21.81 7.24

2011 5.66 4.81 5.25

2012 6.34 15.04 4.76

2013 4.69 6.66 4.66

2014 3.07 -3.08 1.28

2015 3.74 -6.26 2.19

2016 1.60 -5.44 2.93

2017 1.01 -1.34 1.38

Fuente: BCRP

Elaboración propia