REGIONALNI CENTAR ZA TALENTE - BEOGRAD II - 2013.

SVET FRAKTALA

WORLD OF FRACTALS

AUTOR : LUKA ŽIVKOVIĆ , III5 , “ XIII Beogradska gimnazija“ BeogradPROFESOR : JADRANKA JANKOVIĆ , “ XIII Beogradska gimnazija“ BeogradMENTOR : VIOLETA KOMNENOVIĆ, dipl.matematičar, “ETŠ Nikola Tesla “Beograd

SVET FRAKTALA

REZIME

Čovečanstvo je hiljadama godina razvijajući geometriju stvaralo sebi mesto za život. To mesto su činile ravne povrsine i pravilni lukovi. Na prirodu se gledalo kao na jedan nasumičan poredak koji se nije mogao povezati sa matematikom. Tek u drugoj polovini XX veka, matematičar Benoa Mandel-brot ( Benoit Mandelbrot 1924.-2010.) je uočio zakonitosti koje taj haos, naizgled nasumičan raspo-red, čini krajnje urednim i jednostavnim. Mandelbrot je ovu reč fraktali skovao 1975. godine od latinske reci fractus što znači razlomljen, slomljen. Fraktali se sastoje od delića koji su slični čitavoj celini. Fraktalne slike nastaju iteracijom, tj uzastopnim ponavljanjem nekog računskog ili geometrij-skog postupka, ili rekurzijom ,odnosno ponavljanjem nekih funkcija. Fraktali su, dakle, slike nastale ponovljenim matematičkim računom ili geometrijskom konstrukcijom.

Ključne reči: fraktal, fraktalna dimenzija, topološka dimenzija, iteracija, rekurzija.

SUMMARY

For thousands of years, mankind has been developing geometry, and in that way created themselves a place to live. That place consisted of smoothen out surfaces and regular arcs. The nature was seen as a random order that cannot be related to mathematics. Only in the second half of the XX century, the mathematician Benoit Mandelbrot (1924.-2010), observed regularities in that chaos, seemingly it was random disorder, but to him it looked extremely neat and simple. Mandelbrot coined the word fractal in 1975. from the Latin word fractus meaning fractured, broken. Fractals are made up of particles that are similar to the entire whole. Fractal image created by iteration, in other words, by constantly repeating a calculation or a geometric procedure, or recursion, which means repetition of certain functions. Fractals are, therefore, repeated images made of mathematical calculations or geometrical construction.

Key words: fractal, fractal dimension, topological dimension, iteration, recursion.

UVOD

Teško je dati tačnu definiciju za fraktale. Jedna od osnovnih definicija glasi da su to geometrijski oblici čija je fraktalna dimenzija* strogo veca od topološke dimenzije**, drugim rečima to su objekti koji daju jednak nivo detalja bez obzira na količinu razdeljivosti. Fraktali se sastoje od delića koji su slični čitavoj celini. Fraktalne slike nastaju iteracijom***, tj uzastopnim ponavljanjem nekog račun-skog ili geometrijskog postupka, ili rekurzijom****,odnosno ponavljanjem nekih funkcija. To znači da su fraktali nastali ponovljenim matematičkim računom ili geometrijskom konstrukcijom. U ovom radu bih želeo da prikažem razne vrste fraktala, njihovu rasprostranjenost u prirodi i njihovu široku primenu u savremenom dobu.

*Fraktalna dimenzija je vrednost koja nam daje uvid u to u kojoj meri neki fraktal ispunjava prostor u kojem se nalazi. Postoji mnogo definicija fraktalne dimenzije i ni jedna se ne može smatrati univer-zalnom. Fraktalnu dimenziju je najbolje objasniti na primeru Kantorovog skupa (po nemačkom ma-tematičaru Georgu Cantoru), o čemu će biti reči kasnije.

**Topološka dimenzija je najbliža intuitivnom ,prirodnom shvatanju: tačka ima topološku dimenziju 0, prava 1, ravan 2, a prostor 3. Precizna definicija glasi: Skup ima topološku dimenziju 0,ako svaka tačka ima proizvoljno malu okolinu čiji rub ne seče skup. ***Iteracija je konstantno ponavljanje.**** Rekurzija je kada funkcija poziva samu sebe.

L-SISTEM

L-sistem ili Lindenmajerov sistem je formalna gramatika koja se koristi pri modeliranju rasta procesa razvoja biljaka, ali i za modeliranje morfologije raznih organizama. L-sistemi se mogu koristiti za konstrukciju samosličnih fraktala kao što su sistemi iteriranih funkcija. L-sisteme je uveo i razvio 1968. mađarski teoretski biolog i botaničar Aristid Lindenmajer (1925.–1989.).Ovaj sistem će se koristiti dalje radi boljeg objašnjenja nekih fraktala.

PODELA

Fraktali se mogu grupisati u vrste ili podeliti na više načina. Ovde ću se poslužiti jednom od tih podela prema čijem će se redosledu dalje predstavljati različiti fraktali. Neki će biti preskočeni i kasnije opisani u okviru L-sistema.1.geometrijski fraktali: a) na pravoj - Kantorov skup; b) u ravni - Kohova kriva, trougao Sjerpinskog, tepih Sjerpinskog, Apolonijeva mreža, beskonačno guste krive: Peanova kriva, Hilbertova kriva, kriva Sjerpinskog, zmajolika kriva, Pitagorino drvo; c) u trodimenzionalnom prostoru - Oktaedarski fraktal, Dodekaedarski fraktal, Ikosaedarski fraktal, tetraedar Sjerpinskog. 2.algebarski fraktali: Julijin skup, Mandelbrotov skup, goreći brod. 3.stohastični fraktali: Braunovo kretanje i Braunovo drvo, Perlinov šum.

Fraktali se takođe mogu podeliti u odnosu na stepen samosličnosti. Tako razlikujemo one koji su: 1.potpuno samoslični-imaju najveći stepen samosličnosti. Fraktal je identičan samom sebi na proizvoljnom nivou uvećanja. Ovu osobinu imaju fraktali koj se dobijaju pomoću iterativnih funkcija. 2.skoro samoslični-imaju manje strog oblik samosličnosti; fraktal deluje približno (ali ne i potpuno) identičan samom sebi na različitim nivoima uvećanja. Ovakve fraktale čine umanjene kopije celog fraktala u izobličenim i degenerisanim oblicima.Obično su to fraktali koji se dobijaju pomoću rekurentnih veza. 3.statistički samoslični- imaju najniži nivo samosličnosti. Fraktal poseduje numeričke ili statističke mere koje se čuvaju kroz uvećanje ili umanjenje. Najjednostavnije definicije fraktala trivijalno ukazuju na neku vrstu statističke samosličnosti(fraktalna dimenzija je sama po sebi numerička veličina koja se ne menja sa uvećanjem, odnosno umanjenjem). Ovde spadaju fraktali generisani stohastičkim procesima.

Geometrijski fraktali

a)Na pravoj:

Kantorov skup je skup odvojenih tačaka dužine koji se dobija konstantnim izbacivanjem srednje trećine svih preostalih segmenata. To je fraktal topološke dimenzije 0 (nula). Predstavio ga je nema-čki matematičar Džorž Kantor (Georg Cantor) 1883. godine. Uzmimo segment pravca u intervalu [0,1] pa izuzmimo srednju trećinu bez krajnjih tačaka (dakle, interval i: 1/3>i<2/3). Sa svakim od preostala dva segmenta učinimo isto i nastavimo postupak s ostatkom. Tačke koje ostanu nakon be-

skonačnog broja iteracija čine Kantorov skup. U prvoj smo iteraciji oduzeli 1/3 ukupne dužine, u drugoj još 2/9 i to se dalje nastavlja po sledećoj zakonitosti:

b)U ravni:

Kohova kriva je jedna od najpoznatijih fraktala. Treba takođe pomenuti i Kohovu pahuljicu, jer razlikuju se po pocetnom obliku, a dalje se razvijaju po istom principu. Ta razlika u početku je što se kod krive polazi od duži, a kod pahulje od trougla. Krećemo od duži (nulta iteracija) koju podelimo na tri jednaka segmenta. Na srednji segment dodamo još dve duži jednakih dužina (1/3 dužine prvobitne duži) tako da zajedno sa srednjim segmentom čine jednakostranični trougao. Nakon toga uklonimo srednji segment. Sada imamo četiri duži jednakih dužina i to nazivamo prvom iteracijom. Drugu iteraciju dobijemo tako da svaku od četiri duži prve iteracije zamenimo umanjenom verzijom cele prve iteracije. Kohovom krivom nazivamo geometrijski lik koji nastane kad broj iteracija teži nuli. Skup tačaka početne duži koji ostane "na kraju" jednak je Kantorovom skupu.Kohova se kriva može konstruisati i koristeći L-sistem: Početak: F Pravilo: F → F + F - - F + F Značenje znakova:F = "crtaj napred"; + = "rotiraj u smeru kazaljke na satu za 60°"; - = "rotiraj u smeru suprotnom od smera kazaljke na satu za 60°":Nulta iteracija: F;prva iteracija: F + F - - F + F;druga iteracija: F + F - - F + F + F + F - - F + F - - F + F - - F + F + F + F - - F + F itd.

Izračunavanje dužine krive: Početna dužina je 1m. Nakon prve iteracije, dužina krive je 4/3m jer imamo četiri duži dužine 1/3m, dakle 4/3m. Nakon druge iteracije, dužina je 16/9m. Tako dolazimo do opšte formule L = (4/3) T , ako je x broj iteracija. Vidimo da dužina raste eksponencijalno i zaključujemo da dužina teži u beskonačno ako broj iteracija teži u beskonačno.Evo kako izgleda:

Prva iteracija Druga iteracija Treća iteracija

Četvrta iteracija (naredne su slične, golim okom se ne vidi razlika)

Princip po L-sistemu za pahulju: Konstrukcija Kohove pahuljice se vrši na isti način, ali tako da se uzmu tri početne duži i postave se tako da čine jednakostranični trougao. Sa svakom od duži učinimo isto što i s nultom iteracijom Kohove krive da bi smo dobili prvu iteraciju.U L-sistemu konstrukcija izgleda ovako: Pravilo: F → F - F + + F – F Značenje znakova*(kao u prethodnom primeru):Nulta iteracija: F + + F + + F;prva iteracija: F - F + + F - F + + F - F + + F - F + + F - F + + F – F;druga iteracija: F - F + + F - F - F - F + + F - F + + F - F

+ + F - F - F - F + + F - F + + F - F + + F - F - F - F + + F - F + + F - F + + F - F - F - F + + F - F + + F - F + + F - F - F - F + + F - F + + F - F + + F - F - F - F + + F – F itd. Izračunavanje površine : Pošto je dužina Kohove krive beskonačna (odnosno, teži u beskonačnost), i dužina Kohove pahuljice je beskonačna.Ipak njena površina je konačna. Uzmimo da je površina osnovnog trougla 1. Jednostavnom podelom trougla vidimo da će manji trouglovi u sledećoj iteraciji imati devet puta manju površinu. Površina sva tri trougla u prvoj iteraciji tada je 1/3 površine po-četnog trougla. U sledećoj iteraciji imamo 12 trouglova ukupne površine 4/27, a površina svih tro-uglova u sledećoj iteraciji je 16/243. Uočavamo da svi navedeni članovi osim prvog tvore geometrijski niz koeficijenta 4/9, čiji je zbir:

nulta iteracija 1.iteracija 2.iteracija 3.iteracija 4.iteracija

Dodamo li još površinu početnog trougla (koja nije deo geometrijskog niza), dobijamo ukupnu površinu jednaku 8/5 površine početnog trougla.

Trougao Sjerpinskog je fraktal koji je opisao poljski matematičar Vaclav Francizek Sjerpinski 1915. godine. Jedan je od najjednostavnijih primera fraktala, fraktalna mu je dimenzija: log3/log2≈1.585. Počinjemo s jednakostraničnim trouglom. Odredimo središta stranica pa od početnog trougla oduzmemo trougao koji nastaje spajanjem središta. Ostaju tri jednakostranična trougla dvostruko manjih dužina stranica od početnog; sa svakim ponovimo postupak. Trouglom Sjerpinskog nazivamo skup tačaka koji ostane kad broj oduzimanja (iteracija) teži nuli.U L-sistemu se može prikazati ovako: Pravila:A → B - A – B;B → A + B + A Značenje:A, B = "crtaj napred";- = "rotiraj u smeru kazaljke na satu za 60°";+ = "rotiraj u smeru suprotnom od smera kazaljke na satu za 60°": Nulta iteracija: A;prva iteracija: B - A – B;druga iteracija: A + B + A - B - A − B - A + B + A itd.

nulta iteracija 1. iteracija 2. iteracija 3. iteracija 4. iteracija

Tepih Sjerpinskog je fraktal osmišljen od strane prethodno pomenutog poljskog matematičara i ima isti princip kao prethodni fraktal, ali sa kvadratom kao pocetnim oblikom. Fraktalna dimenzija je log8/log3≈1.8928.

nulta iteracija 1.iteracija 2.iteracija 3.iteracija 4.iteracija

b-1)Beskonačno guste krive(fraktalne krive koje nakon beskonačnog broja iteracija potpuno prekrivaju deo n-dimenzionalnog prostora u kojem se nalaze):

Peanova kriva je prva opisana beskonačno gusta kriva, pa se ponekad sve beskonačno guste krive nazivaju Peanovim krivima. Opisao ju je 1890. godine talijanski matematičar Đuzepe Peano. Nulta i prva iteracija su zadate takve kakve jesu. Druga se iteracija gradi tako da se u prvoj iteraciji pronađe svaki segment sličan krivoj iz nulte iteracije i zameni se celom prvom iteracijom. Dalja konstrukcija se može shvatiti na dva načina, iako je rezultat potpuno isti:1.n-tu iteraciju dobijemo ako u iteraciji br. n-1 svaki segment sličan krivoj iz nulte iteracije zamenimo celom prvom iteracijom.2.n-tu iteraciju dobijemo ako u iteraciji br. n-1 svaki segment sličan krivoj iz iteracije br. n-2 zamenimo celom iteracijom br.n-1.Peanova kriva nastaje nakon beskonačno mnogo iteracija.

Od nulte do 3. iteracije

Hilbertova kriva je beskonačno gusta kriva koju je opisao nemački matematičar David Hilbert 1891. godine. Konstrukcija je potpuno ista kao i kod Peanove krive. Nulta i prva iteracija su zadate takve kakve jesu. Druga se iteracija gradi tako da se u prvoj iteraciji pronađe svaki segment sličan krivoj iz nulte iteracije i zameni se celom prvom iteracijom. Dalja se konstrukcija može shvatiti na dva načina, iako je rezultat potpuno isti:1.n-tu iteraciju dobijemo ako u iteraciji br. n-1 svaki segment sličan krivoj iz nulte iteracije zamenimo celom prvom iteracijom.2.n-tu iteraciju dobijemo ako u iteraciji br. n-1 svaki segment sličan krivoj iz iteracije br. n-2 zamenimo celom iteracijom br. n-1.Hilbertova kriva nastaje nakon beskonačno mnogo iteracija.Na slici: Crvena-nulta iteracija; crna-1.iteracija; plava-2. Iteracija.

Kriva Sjerpinskog za razliku od Peanove i Hilbertove, ova kriva je zatvorena. Osim toga, složenija je jer, osim pravih, sadrži i uglove od 45°.Svaka se iteracija dobije tako da se prethodna upola smanji i da se naprave još tri kopije. Te se četiri krive translacijom prenose tako da vrhovi "kosog" dela iz prethodne iteracije budu na središtima kosih i vodoravnih stranica iz ove iteracije. Tada se svakoj

krivoj iz ove iteracije oduzme "kosa" stranica najbliža središtu kvadrata u kojem se kriva crta pa se vrhovi oduzetih stranica spoje s dva najbliža vrha susednih oduzetih stranica. Krivom Sjerpinskog nazivamo krivu koja se dobije kad broj iteracija teži u beskonačno.

nulta iteracija 1.iteracija 2.iteracija 3.iteracija 4.iteracija 5.iteracija

Zmajolika kriva je beskonačno gusta kriva koja je dobila ime po sličnosti sa mitskim bićem poznatim kao zmaj. Ponekad se to ime koristi za sve fraktalne krivulje koje se mogu konstruisati rekurzivnim metodama kao što je L-sistem.

ugao: 90° pravila:X X + Y F +;Y - F X – Y značenje:F = "crtaj napred";- = "rotiraj u smeru kazaljke na satu za 90°";+ = "rotiraj u smeru suprotnom od smera kazaljke na satu za 90°":Nulta iteracija:FX;prva iteracija: F X + Y F +;druga iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F +;treća iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F + + - F X + Y F + - - F X - Y F +;četvrta iteracija: F X + Y F + + - F X - Y F + + - F X + Y F + - - F X - Y F + + - F X + Y F + + - F X - Y F + - - F X + Y F + - - F X - Y F +

1.-4.iteracije/zatim 9.iteracija

Pitagorino drvo je dobilo ime po Pitagori jer svaka tri susedna kvadrata grade pravougli trougao. Konstrukcija počinje sa kvadratom nad kojim su konstruisana dva kvadata tako da se temena ova tri kvadrata poklapaju. Rekurzijom se ovaj postupak nastavlja na svakom sledećem kvadratu:

1.iteracija 2.iteracija 3.iteracija 4.iteracija Postoji varijacija, ako su dva naredna kvadrata nejednaka, i sa prvim kvadratom konstruišu pravougli trougao koji nije jednakokraki. Ovaj fraktal je poznat kao ,,Pitagorino drvo na vetru”:

1.iteracija 2.iteracija 3.iteracija 5.iteracija

c)u trodimenzionalnom prostoru:

Oktaedarski fraktal je fraktal kod kojeg se oktaedar zameni sa šest manjih oktaedara u svakom vrhu. To je jedan od retkih geometrijskih fraktala u trodimenzionalnom prostoru koji nema svoj

dvodimenzionalni analogni oblik. Napravi se 6 novih oktaedara s faktorom skaliranja od 1/2. Ti se oktaedri postave unutar početnog oktaedra tako da s njim dele po jedan vrh. Faktor skaliranja je takav da se manji ikosaedri dodiruju. Fraktalna dimenzija je log6/log2≈2.5849.

Dodekaedarski fraktal je fraktal kod kojeg se dodekaedar zameni s 20 manjih dodekaedara u svakom vrhu. Takođe spada u retke geometrijske fraktale u trodimenzionalnom prostoru koji nemaju svoj dvodimenzionalni analogni oblik. Napravi se 20 novih dodekaedara s faktorom skaliranja od 1/(2+φ)≈0.2746, gde je φ vrednost zletnog preseka, φ=(1+√5)/2. Ti se dodekaedri postave unutar početnog dodekaedra tako da s njim dele po jedan vrh. Faktor skaliranja je takav da se manji dodekaedri dodiruju. Fraktalna dimenzija je: log20/log(2+φ)≈2.33.

Ikosaedarski fraktal je fraktal kod kojeg se ikosaedar zameni s 12 manjih ikosaedara u svakom vrhu. Kao i prethodne dve vrste, i ovaj geometrijski fraktal postoji u trodimenzionalnom prostoru a nema svoj dvodimenzionalni analogni oblik. Napravi se 12 novih ikosaedara s faktorom skaliranja od:1/(1+φ)≈0.382. Ti se ikosaedri postave unutar početnog ikosaedra tako da s njim dele po jedan vrh. Faktor skaliranja je takav da se manji ikosaedri dodiruju. Fraktalna dimenzija je: log12/log(1+φ)≈2.5819.

Oktaedarski fraktal Dodekaedarski fraktal Ikosaedarski fraktal

Tetraedar Sjerpinskog nastaje analogno trouglu Sjerpinskog kojom se trouglovi jednostavno zamene tetraedrima. Razlika je sto se ne konstruiše oduzimanjem jednog manjeg, "naopakog" tetraedra iz sredine , nego ostavljanjem četiri manja tetraedra i oduzimanjem svega ostalog. Zanimljiva je fraktalna dimenzija: pri svakoj iteraciji nastaju četiri nova dela dvostruko manje dužine stranice, pa ona glasi:log4/log2=2.

Crveni-normalan ; Plavi-izvrnut tetraedar

Algebarski fraktali

Julijin skup (po francuskom matematičaru Gaston Julia) postoji u širem i u užem smislu: u širem smislu je granica između dva skupa tačaka:Z(0)=x+yi; onog gde niz :Z(n+1)=f(Z(n)) konvergira* nekoj vrednosti i onog gde taj niz divergira**.Julijin skup (u užem smislu) dobijemo ako u gore navedeni niz uvrstimo f(Z(n))=Z(n)*Z(n)+c .Da bi je konstruisali moramo za svaku tačku kompleksne ravni:Z(0)=x+yi; da definišemo niz :Z(n+1)=f(Z(n)) , gde f(Z(n)) može biti bilo koja funkcija, možemo definisati dva skupa: skup tačaka Z(0) za koje definisani niz konvergira nekoj tački i skup tačaka Z(0) za koje taj niz divergira, odnosno teži u beskonačnost. Julijin skup (u širem smislu) je granica ta dva skupa. Obično se Julijin skup, kao i svi algebarski fraktali, prikazuje tako da su tačke koje konvergiraju crne, a one koje divergiraju su u raznim nijansama iste boje ili različitih boja. Nijansa boje zavisi od brzine kojom taj niz raste – što se više odmičemo od Julijinog skupa, niz brže raste. Menjanjem konstante c u Julijinom skupu u užem smislu dobijamo najrazličitije skupove, oni mogu biti povezani i nepovezani:

Julijin skup primer povezanog primer nepovezanog

*konvergirati-približavati se uzajamno;**divergirati- razilaziti se, razmicati se, odstupati, udaljavati se jedno od drugog;

Mandelbrotov skup je skup tačaka c kompleksne ravni za koje je Julijin skup (u užem smislu) povezan. Dobio je ime po francusko-američkom matematičaru Benoitu Mandelbrotu. Najlakše ćemo ga konstruisati ako na kompleksnoj ravni označimo sve brojeve c pomoću kojih se dobija povezan Julijin skup. Mandelbrotov skup se može prikazati na isti način na koji se obično prikazuje Julijin skup: bojeći tačke koje pripadaju skupu u crnu boju, a ostale tačke u raznim nijansama. Mandelbrotov je zatvoren skup gde su sve tačke unutar kruga poluprečnika 2 sa središtem u ishodištu. Tačka c pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako važi da je:│fªc(0)│≤ 2 za n≥0 . Drugim rečima, ako je apsolutna vrednost fªc(0) za neki n≥0 veća od 2, niz će težiti u beskonačnost (divergirati). Presek Mandelbrotovog skupa s realnom osom daje interval [−2, 0.25]. Površina se procenjuje na 1.506 591

77 ± 0.000 000 08, i veruje se da je jednako: . Mandelbrotov je skup kvazi samosličan jer se u njemu pojavljuju izmenjene verzije njega samog. Izmenjene su uglavnom zbog skupova tačaka koji "vire" iz njih povezujući ih s glavnim delom:

Jasno se vidi sličnost izmedju delova i celine

Funkcija Mandelbrotovog skupa: f(Z)=Z*Z+c, ali postoje varijacije, pa onda funkcija izgleda ovako:f(Z(n-1))=Zᵇn+c, b>2- zovemo ih Multibrot skupovima:

Mandelbrotov skup Multibrot skupovi

Goreći brod je fraktal kojeg su opisali Mihael Mihelič i Oto E. Rosler 1992.godine. Konstruiše se na sličan način kao i Julijin skup: za svaku se tačku kompleksne ravni: Z(0)=x0+y0i; odredi niz tačaka: Z(n+1)=x(n+1)+y(n+1)i; tako da je x(n+1)=x(n)*x(n)-y(n)*y(n)-x0; i: y(n+1)=2│x(n)y(n)│-y0; Tačke koje nakon mnogo iteracija konvergiraju jednoj vrednosti, pripadaju skupu pa se kao i kod prethodnih algebarskih fraktala boje jednom bojom. Ostale tačke divergiraju i boje se različitim nijansama zavisno o toga koliko brzo divergiraju.

Goreći brod Uveličan deo, koji je sličan celini

Stohastični fraktali

Braunovo kretanje može biti haotično kretanje čestice malih dimenzija uronjene u neki fluid ili matematički model koji opisuje takvo kretanje. Dobilo je ime po britanskom botaničaru Robertu Brownu. Fraktalnu strukturu možemo posmatrati ako za različite iteracije uzmemo grafike u kojima je položaj čestice označen u različitim vremenskim intervalima (položaji su spojeni ravnim crtama). Povećavanjem nekog dela druge iteracije dobit ćemo strukturu koja liči na strukturu prve iteracije, i

tako unedogled. Treba primetiti da ove strukture nisu potpuno samoslične, nego se neka njihova svojstva ne menjaju sa stepenom povećanja. Drugim rečima, ako pogledamo grafik nekog Braunovog kretanja na području od 100cm2 kroz vreme od 100s i grafik na području od 1cm2 kroz vrijeme od 1s, nećemo ni na koji način moći prepoznati koji grafik označava koje vreme posmatranja i koju površinu. Kao i svi ostali stohastični fraktali, ovi se fraktali odlikuju samo svojstvom da njihova fraktalna dimenzija pri svakom uvećanju ostaje ista.

Tri iteracije Braunovog kretanja

Braunovo drvo je fraktal koji se dobija pomoću Braunovog kretanja.Braunovo drvo se konstruiše na sledeći način: odredi se jedna tačka, "seme", koja se postavi na neko slučajno odabrano mesto. Na neko drugo (slučajno odabrano) mesto postavi se druga tačka koja se pomiče po računarskom modelu Braunovog kretanja dok ne dotakne seme. Odabere se nova tačka koja se na isti način pomiče dok ne dotakne bilo koju od prethodno nacrtanih tačaka (uključujući i seme), i tako u nedogled.Oblik Braunovog drveta može biti vrlo različit, zavisno od tri osnovna faktora:1.položaj "semena"2.položaj svake čestice (bilo gde na ekranu, negde na kružnici sa semenom u središtu, s vrha ekrana (s tim da je seme na dnu) itd.)3.algoritam za Braunovo kretanje (npr. radi bržeg izvođenja čestica se može obrisati ako ode predaleko od semena) .

Braunovo drvo

Perlinov šum je vrsta matematičke funkcije koja se koristi na ogroman broj načina u računarskoj grafici. Funkcija se dobije sabiranjem više funkcija koje su dobijene slučajnim odabiranjem tačaka, gde svaka sledeća funkcija ima dvostruko manju amplitudu i dvostruko veću frekvenciju. Osmislio ju je Ken Perlin 1983. godine. Postupak ću objasniti na primeru jednodimenzionalne funkcije. Prvu funkciju konstruišemo tako da na određenom segmentu apscise odredimo pet jednako udaljenih tačaka i pripišemo im slučajno izabrane vrednosti između vrednosti: [ -128 i 128]; pa interpoliramo ostale tačke odabranim postupkom, u ovom slučaju kosinusnom interpolacijom, odnosno spojimo

tačke(slika1). Drugu funkciju konstruišemo na isti način, samo što odaberemo devet tačaka (uključujući i pet iz prošle funkcije) i pripisujemo im slučajne vrednosti u intervalu [-64, 64]. Sad imamo (približno) dvostruko više tačaka, a amplituda je dvostruko manja (slika2):

slika1 slika2

Postupak se dalje nastavlja po istom principu. Pojedini delovi funkcije kada se uveličaju, podsećaju na celinu kao i kod ostalih fraktala.

ZASTUPLJENOST FRAKTALA U PRIRODI

I PRIMENA FRAKTALA

Fraktali imaju jako široku primenu u ljudskim delatnostima i pomažu nam da lakše shvatimo kako funkcioniše priroda, a samim tim više otkrivamo o samom čoveku. Postoje razne teme kojima se bave mnogi naučnici iz najrazličitijih oblasti.Neke od najinteresantnijih ću detaljnije obraditi, a neke samo pomenuti: „Nelinearna dinamika i predviđanje kaspijskog nivoa mora“, „Samosličnost kod biljaka: Integrisanje matematičke i biološke perspektive“, „Kompleksnost biološkog starenja“, „Frak-talna geometrija u umetnosti: Pregled kroz različite kulture“, „Fraktalnost i fraktalna dimenzija u analizi srednjeameričkih piramida“, „Fraktali i efikasnost korišćenja vode kod biljaka“, „Potreba i izvodljivost primene L-sistema modela kod modeliranja useva u agrikulturi”, ,,Fraktali u računarskoj grafici”, ,,Fraktali u mobilnim telefonima”, ,,Prirodno kretanje oka”,,Ritam srca”. Fraktali u računarskoj grafici-koriste se za stvarnaje reljefa i omogućili su da nastane revolucija u računarskoj grafici, stvorena je mogućnost da se za kratko vreme stvori čitav pejzaž. Jedna od funkcija koja se može koristiti u ovoj oblasti je Perlinov šum koji sam prethodno objasnio. Loren Karpenter je prvi pokušao da iskoristi princip fraktala u ovoj oblasti, otkrio je fraktale preko Mandelbrotove knjige:,,Fraktali:oblici, šanse i dimenzije”. Krajem sedamdesetih godina XX veka računari nisu bili mnogo razvijeni, a Karpenteru je bio otreban čitav pejzaž nad kojim bi leteli avioni. To je izveo tako što je uzeo jednostavan oblik i izlomio ga na delove i zatim ponavljao postupak iznova.

Početni oblik Završni oblik Fraktali u mobilnim telefonima- Tokom devedesetih se javio problem kod mobilnih telefona jer nisu mogli da obuhvate širok spektar frekvencije, a pritom su antene bile suviše glomazne. Nejtan Koen, koji je bio bostonski radioastronom je iskoristio fraktalnu geometriju, nakon što je inspirisan predavanjem Mandelbrota, odlučio je da napravi antenu u obliku kohove krive i uvideo je da ta antena ne samo što zauzima manje prostora već i povećav spektar frekvencija koje može da obuhvati.Time se vidi da fraktali ne samo da funcionišu u prirodi, nego da i tehnologija pokazuje bolje rezultate primenom fraktala. Prirodno kretanje oka- Ovom temom se bave na Univerzitetu u Oregonu, Ričard Tejlor koristi fraktale da bi otkrio taju iza kretanja očiju. On pokušava da odredi šta nam to omogućava da absorbujemo ogromnu količinu vizuelnih informacija. Ovo istraživanje je sproveo tako što je pomoću male infracrvene kamere prati gde oko gleda, dok računar beleži tu putanju i iscrtava je na ekranu. Pri zumiranju dobijenih rezultata jasno se vide fraktalne dimenzije. Dakle ako naše oči takođe koriste fraktale pri prikupljanju informacija, to nam može omogućiti da u budućnosti konstruišemo razne objekte tako da našem oku najviše odgovara, odnosno da lakše obradi informacije o tom objektu. Ritam srca- Doktor Ari Goldberger bavi se kardiologijom i primetio je da grafik rada zdravog srca nije konstantan, istraživanje je sproveo pritom na ogromnom broju ljudi. Takodje je primetio da pri zumiranju grafika na ekranu se prikazuje slika slična čitavom grafiku. To otkriće omogućava da se daljim istraživanjem dođe do zakonitosti rada srca i da se time ranije prepozna odstupanje od normalnog rada srca i sprečavanje srčanih problema u korenu.

ZAKLJUČAK

Fraktali su naizgled nekim matematičarima izgledali kao sistemi bez ikakvog reda, naviknuti na geometriju koja nam je oduvek poznata, ali su ipak razna istraživanja pokazala da fraktali nisu samo lepe slike, odnosno nemaju uticaj samo na umetnost, već predstavljaju važan deo pri razumevanju prirode koja nas okružuje. Fraktali nam pomažu da shvatimo i sami sebe, kako naše telo funkcioniše, šta nam ono govori, a mi toliko dugo nismo mogli da čujemo. Takođe pokazuju široku primenu u razvoju tehnologije i rešavanju raznih problema koje dotadašnja matematika nije mogla da otkrije. Sada nam ostaje samo da posmatramo i proučavamo kako nam fraktali sve dublje zalaze u naše živote.

KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA:

1. “Thinking in Patterns:Fractals and Related Phenomena in Nature”- Editor Miroslav M. Novak, 2004.

2. “Fractals : Form, Chance and Dimension”- Benoit Mandelbrot, 1977.3. http://skajvok3r.blogspot.com/2012/01/fraktali-lov-na-skrivene-dimenzije.html 4. http://classes.yale.edu/Fractals/ 5. http://sh.wikipedia.org/wiki/Fraktali 6. http://sh.wikipedia.org/wiki/Mandelbrotov_skup 7. http://users.math.yale.edu/~bbm3/web_pdfs/encyclopediaBritannica.pdf