1

یها دارا گناليس نیمطرح شده است. ا یرادار یها ستميمتعامد در س یچند حامل یها گنالسي از استفاده بحث گذشته سال چند در –چکيده

کی یمطلوب برا یاز موارد یباشند که همگ یبهتر م یآشکارساز یداریوپا کيباال، مقاومت در برابر جنگ الکترون یریپذ کيتفک یذات تيخاص

. در میپرداز یبسته موجک متعامد م ونيبر مدوالس یمبتن یچند حامل یها گناليس یمقاله به طراح نی. در اندیآ یبه حساب م یررادا ستميس

سیبا ماتر یرنگ یگوس زیدر حضور نو یاز لحاظ عملکرد آشکار ساز ینگيآن، به نيکه اول میرا مدنظر قرار داده ا اريدو مع گنال،يس یمساله طراح

با خود گناليس یحل مساله طراح ندیباشد. در فرآ یم گناليس یفشرده ساز تيفيمناسب بودن شکل تابع ابهام با ک یگریو د علومم انسیکوار

الگوریتمی که ش اسکالر سازی خطی، مساله چند هدفه خود را تبدیل به یک مساله تک هدفه می نمایيم و در ادامه با بهره گيری از رواستفاده از

.پرداختخواهيم به حل آن بدست آمده است روش ضرایب الگرانژ به کمک

.ROCمنحنی رادار، تابع ابهام، بهينه سازی چند هدفه، آشکارسازی، -كليد واژه

مهمقد -1

افزايش حد تفکيك رادار در برد، از طريق افزايش پهنای باند

سيگنال ارسالی آن ميسر می شود. از جمله تکنيك هايی كه می

توان برای اين منظور استفاده كرد، روشهای مرسوم مدوالسيون

اما افزايش پهنای باند ؛فاز و يا فركانس در پالس ارسالی می باشد

چيپ معادل با كاهش عرض (PCM)در سيگنال مدوله شده فاز

های تچيپ با محدودي بوده كه كاهش بيش از حد عرض

تکنولوژيك مواجه می شود. از طرفی در نيز ايجاد يك سيگنال

فركانسی باال و كيفيت مدوالسيون خطی فركانس با شيب

مناسب از نظر ميزان خطی بودن تغييرات فركانس به سادگی

برای غلبه بر اين مشکل ارائه شده ميسر نمی باشد. راه كاری كه

می باشد كد شده فاز استفاده از سيگنال های چند حاملی

[.2و1]

، دسته ديگری از سيگنال های چند حاملی می OFDM گناليس

جهت مدوله نمودن نمايی مختلط باشد كه از حامل های متعامد

یژگيبنابر و اين سيگنال ها استفاده می نمايد. كدهای سيگنال

یتك حامل یها گناليكه نسبت به س یا ینگيو به شانيها

شده جهت هادشنيپ یها گناليس از یکيدارند به عنوان

[.3شده اند ] یمعرف ندهيدر آ یرادار یكاربردها

خاصيت می توان به OFDMاز جمله ويژگی های سيگنال های

با از طرف ديگر ی نتيجه شده اشاره نمود.تفکيك پذيری باال

(Frequency diversity) سیفركان گوناگونیامکان تحقق بهتوجه

اطالعات فرستاده شده در يك زير باند مورد جنگ چنانچه

د می توان با نقرار بگير( Narrow band)ك الکترونيك باند باري

اطالعات موجود در يك زير باند نيز اطالعات را بازيابی كرد كه

برابر جمينگ افزايش در رامقاومت سيستم راداری ،اين خاصيت

ر اين می تواند سبب كاهش احتمال شنود می دهد و عالوه ب

.[4] شودبراداری نيز

چند یها گنالياز س یگري، دسته دWPM-OFDM گناليس

پايه های بسته موجك ساخت سيگنال از جهت است كه یحامل

در اين حالت بر خالف سيگنال های . [5] استفاده می كند

OFDM سيگنال از شکل دهی پالس مستطيلی ، جهت ساخت

استفاده نمی كنيم كه همين مساله سبب می شود كه به سطح

برسيم. OFDMسايدلوب كمتری در قياس با سيگنال های

به در اين پژوهش با در نظرگرفتن رويکرد كد گذاری راداری

WPM-OFDMی هستيم كه سيگنال دنبال طراحی دنباله كد

اند مشخصه های مطلوبی نظير ساخته شده به كمك آن بتو

عملکرد آشکارسازی و فشرده سازی را برای سيستم توام بهينگی

اين شيوه طرح مساله منتج به طرح كه راداری به ارمغان بياورد

جهت بهينگی توام عملکرد آشکارسازی و WPM-OFDMراداری سيگنال های طراحی

ی سيگنالکيفيت فشرده ساز

رضا محسنیو مصطفی علی مسيمر

دانشگاه صنعتی شيراز، دانشکده مهندسی برق و الکترونيك

{m.alimosaymer, mohseni}@sutech.ac.ir

2

Multi Objective)چند هدفه يك مساله بهينه سازی

Optimization) می شود.

گنال سي یچند هدفه در طراح یساز نهيبه یتئور هایكاربرد

یها تميشده است كه در آنها از الگور ی[ بررس6در ] یرادار یها

مجموعه نقاط پرتو استفاده محاسبهچند هدفه جهت یتکامل

به كيد كه هر نباش یم یتو، نقاطرِاز نقاط پَ منظور شده است.

از توابع هدف و به دنبال آن، دور یکيشدن نهيسبب به ینوع

.[7] شود یآن م نهياز مقدار به گريشدن هدف د

یها گناليس یدر طراح یتکامل یها تمياز الگور استفاده

OFDM توسطSen [ كه در آن، بهبود8انجام گرفته است ] توام

ن اهداف وابه عناهداف یريردگكيفيت و یعملکرد آشکارساز

نهيمساله به فياما تاكنون تعر ؛ندمساله در نظر گرفته شده ا

ها گناليسدسته از نيا یبع ابهام براو تا یتوام آشکارساز یساز

؛ لذا هدف از اين مقاله، پرداختن به اين موضوع انجام نگرفته است

می باشد.

، به 2اين مقاله به شيوه زير سازمان يابی شده است. در بخش

ی پردازيم. م WPM-OFDMمعرفی سيگنال های چند حاملی

به منظوره دو هدفتعريف مساله بهينه سازی شامل ارائه 3بخش

بهينگی عملکرد آشکارسازی در حصول جهت طراحی سيگنال

و همچنين بهبود گوسی محيط های آغشته به نويز رنگی

در ادامه با استفاده از .می باشدكيفيت فشرده سازی سيگنال

، مساله بهينه سازی دو هدفه را تركيب كردن وزن دار اهداف

الگوريتمی غير پسسله تك هدفه می كنيم و اتبديل به يك مس

نتايج شبيه سازی و نتيجه شود. می جهت حل آن ارائهتکاملی

ه می گردند.ئارا 5 و 4گيری كار نيز به ترتيب در بخش های

WPM-OFDMسيگنال های راداری مبتنی بر -2

نمونکه شککل Nمتشککل از WPM-OFDMيك سيگنال پالسی

Nتوسکط موج )پايه های ويولت( است كه همزمان ارسال شده و

دامنه مختلط نيز مدوله شده اند. (chip) چيپ M دنباله به طول

از رابطه زير بدست می آيد: WPM-OFDMسيگنال

(1) ,

1 1

( ) [ ( ( 1) )]M N

m p p c

m p

x t a t m t

كه دنباله pma ام بکوده و pكد مدوله كننده تابع پايه ويولکت ,

ct عرض چيپ می باشد.نيز

نکته ای كه بايد به آن اشکاره نمکود آن اسکت كکه ايکن دسکته از

سيگنال ها را می توان به صورت تركيب خطی از يك سری پايکه

:[4] نمودبيان به صورت زير ای متعامد يکه ه

(2) i i(t) a (t)MN

i 1

x f

می توان با رابطه زير مشخص نمود:ام را iكه تابع يکه

(3) i p c(t) (t (m 1)t )f

كه در آن:

1,2,...,

1,2,...,

1,2,3,...,

p N

m M

i pM m MN

تعریف مساله بهينه سازی -3

-WPMطراحکی سکيگنال هکای هکت (، ج1) رابطکه با توجکه بکه

OFDM :چهار پارامتر دخيل می باشند كه عبارتند از

تابع ويولت انتخاب شده .1

تعداد چيپ های موجود در پالس ارسالی .2

تعداد زير حامل های استفاده شده در ارسال پالس .3

pmaرايب كدها و يا ض .4 ,

با در نظر گرفتن يك تکابع ويولکت دلخکواه از پکيش مقالهدر اين

)حاصل ضرب تعکداد MNتعيين شده و همچنين انتخاب پارامتر

زير حامل ها در تعداد چيپ های سکيگنال( بايسکتی بکه طراحکی

دنباله كدی برسيم كه بتواند اهداف مورد نظکر طکراح را بکرآورده

سازد.

3-1-

اسکتفاده از ، يکی از رويکردهای ارائه شده جهت سنتز تکابع ابهکام

حداقل مربعات می باشد كه ايده سنتز تابع ابهام به روش رهيافت

استفاده شده در آن، توانايی بسکط سکيگنال بکه صکورت تركيبکی

آنککه جکه . با تو[9] باشدع يکه متعامد می ابخطی از يك سری ت

نيز به طور مشابهی قابليت بيان به WPM-OFDMسيگنال های

اين فرم را دارند لذا جهت مساله بهينه سازی طراحکی كکد بکرای

بهينگی فشرده سازی سيگنال از اين رهيافت استفاده می كنيم.

Tبردار هدف اين است كه

1 2[ . ,..., ]MNa a aa را بگونه ای

معيار حداقل درنظر گرفتن با x(t)سيگنال ابهام تابع بيابيم كه

به يك تابع ابهام مفروض تا حد ممکن ،خطا مربعشدن

)w,(F نزديك باشد؛ به عبارتی ديگر، بردار كد طراحی شده

می ريفخطايی شود كه طبق رابطه زير تع نسبب مينيمم شد

شود:

(4) 21| ( , ) ( , ) |

2F w w d dw

3

)كه در آن، , )w ،تابع ابهام مختلط سيگنال( )x t می باشد و

به صورت زير تعريف می شود:

(5) *( , ) ( ) exp(-jwt) ( )2 2

w x t x t dt

)اگر تابع ابهام متقابل توابع پايه حال )if t و( )jf t ه برا

تعريف كنيم:رت زير صو

(6) *

j( , ) ( ) exp(-jwt) ( )2 2

ij iK w t t dt

:نمودرا می توان به صورت زير بيان x(t) تابع ابهام سيگنالآنگاه

(7) *

,

( , ) ( , )i j ij

i j

w a a K w

ماتريس اگر در ادامه، ijBB درايه را كه( , )i j آن به

صورت ijij K,FB ؛در نظر بگيريمتعريف می شود را

را بردار ويژه aاگر [،11] با توجه به نتايج ارائه شده درآنگاه

Hمتناظر با بزرگترين مقدار ويژه ماتريس B + B ،در نظر بگيريم

رده ايم. به عبارتی ديگر بردار كد مطلوب، جواب را مينيمم ك

مساله بهينه سازی زير خواهد بود:

(8) * H H

H 2

arg max ( )

subject to : || || E

aa a B + B a

a a a

كه می شود [ مشاهده11در ]از طرفی طبق نتايج بدست آمده

نمی تواند ما را به سمت يك تفکيك به تنهايیرعايت رابطه فوق

پذيری مناسب در راستای داپلر و تاخير برساند؛ لذا بايستی در

اصالحی لحاظ نمود. به نظر می رسد در نظر گرفتن (8)رابطه

ی تابع ابهامی با خاصيت يك كد از پيش تعيين شده )كه دارا

همبستگی ايده آل می باشد( و لحاظ كردن يك قيد شباهت كه

بتواند اجبار بيشتری بر فرم تابع ابهام داشته باشد بتواند ما را به

نتايجی بهتر برساند. از طرف ديگر، نرماليزه نمودن انرژی بردار

كد تاثيری بر فرم سيگنال ساخته شده به كمك آن ندارد؛ لذا

بدون آنکه كليت بحث دچار تغيير شود فرض می كنيم كه بردار

ضرايب دارای نرم اقليدسی واحد می باشد. در نتيجه مساله

طراحی كد خود را به صورت زير بازنويسی می نماييم.

(9) * H H

H 2 2

arg max ( )

subject to : || || 1,|| ||

a

0

a a B + B a

a a a a a

، پارامتری است كه توسط كاربر تعيين εدر رابطه فوق، پارامتر

می شود و بيانگر ميزان شباهت بين كدهای بدست آمده و

كدهای مطلوب و به دنبال آن شباهت بين تابع ابهام های مورد

نظر می باشد.

نگیبهيگناليس -3-2

مساله جهت بررسی عملکرد آشکارسازی سيگنال، ابتدا بايستی

كه خود تابعيتی از مدل سيگنال تشکيل دادرا فرضيه آماری

سيگنال در اين بخش، در ابتدا دريافتی در گيرنده رادار دارد؛ لذا

دريافتی رادار را مدل سازی می كنيم.

سيگنال ميانی، به باند tx)(با انتقال طيف فركانسی سيگنال

ارسالی در فرستنده رادار را می توان به صورت زير نمايش داد:

(11) 2

2

1

( ) 2Re{ ( ) }

2Re{ ( ) }

c

c

j f t

MNj f t

i i

i

s t x t e

a f t e

)رض ارسال سيگنال با ف )s t بازگشتی از در فرستنده و اثر دادن

ل، داپلر ناشی از حركت هدف و هدف، مشخصات آماری كانا

، سيگنال دريافتی در گيرنده بين ارسال و دريافت سيگنالتاخير

را می توان به صورت زير نشان داد:

(11) 2 ( )( )

1

( ) 2Re{ ( ) } ( )c d

MNj f f t

i i i

i

r t x a f t e n t

، نشان ix ،، فركانس داپلر هدفdf، معرف تاخير، كه در آن

دف است كه در حقيقت تابعيتی از سطح ه ر بازگشتی ازدهنده اث

)و همچنين دارد هدف (RCSمقطع راداری ) )n t نويز رنگی

جمع شونده می باشد.

به باند طيف سيگنال در گيرنده جهت دمدوله سازی و انتقال

پايه داريم:

(12) 2 ( ) 2 2

1

2

( ) 2Re{ ( ) }

2Re{ ( ) }

c d d c

c

MNj f f j f t j f t

i i i

i

j f t

r t x a f t e e e

w t e

با فرض استقالل آماری نويز مشاهدات و كالتر محيط می كه

توان معادل باند پايه اثر توام آن ها را به صورت يك بردار گوسی

مدل نمود كه ماتريس كوواريانس آن w(t)رنگی جمع شونده

ارتی:خواهد بود. به عبΣبرابر ماتريس HE( ) ww Σ

حال می توان معادل باند پايه سيگنال دريافتی در خروجی

گيرنده را به صورت زير بدست می آورد:

(13) 2 ( ) 2

1

2 2 ( )

1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

c d d

c d

MNj f f j f t

lp i i i

i

MNj f j f t

i i i

i

r t x a f t e e w t

e x a f t e w t

n.با در نظر گرفتن در ادامه st nT رابطه و جايگزينی در

( داريم:13)

(14) 2

2

1

[ ] ( ) [ ]

0,1,..., 1

d

c s

fMN j n

j f f

lp i i i

i

r n e x a f n e w n

n MN

s/1در رابطه فوق، sT f وsf فركانس نمونه برداری سيگنال

می باشد.

( قابل نمايش به فرم 14همان گونه كه مشاهده می شود، رابطه )

برداری زير می باشد:

(9)

4

(15) lp r Φ.a w

يب يا همان كدهای سيگنال، ، بردار ضراaبردار ،در رابطه فوق

Φماتريس ، بردار معادل باند پايه نويز و كالتر محيط و wبردار می باشد كه حاوی اطالعات توابع ه مدل سيگنالمربوط ب نيز

و همچنين اثرات بازگشتی از يکه متعامد، فركانس داپلر هدف

هدف می باشد.

به صورت فرم مساله آشکارسازی را با توجه به روابط طرح شده،

:می كنيم زير تعريف

(16) 0

1

H : ~ ( )

H : ~ ( )

lp lp

lp lp

N

N

r w r 0,Σ

r Φa w r Φa,Σ

يك معيار استاندارد جهت تمايز بين مشاهدات تحت دو فرضيه

اين مساله كه برای[ 11]باشد می استفاده از فاصله ماهاالنوبيس

آماری توسط رابطه زير محاسبه می شود:

(17) 2 H H 1d a Φ Φa

را بيابيم به گونه ای كه به aدر نتيجه اگر بخواهيم بردار ضرايب

بايستی اين ازی هدف بهينه شود، آنگاه ازای آن، احتمال آشکارس

فاصله كه در حقيقت معرف ميانگين مشاهدات تحت دو فرضيه

می باشد ماكزيمم شود. به عبارتی كدی كه قرار است سبب

بهينه شدن عملکرد آشکارسازی نيز بشود پاسخ مساله بهينه

د بود:سازی زير خواه

(18) 2

H H 1

H

* arg max

arg max [ ]

subject to : 1

d

a

a

a

a Φ Φ a

a a

بردار ويژه رسيده ايم كه حل -حال به يك مساله ساده مقدار ويژه

آن، بردار ويژه متناظر با بزرگترين مقدار ويژه ماتريس H H 1[ ]a Φ Φ a .می باشد

بهينهتعریف -3-3

مساله بهينه با توجه به روابط اشاره شده در زير بخش های قبل،

.به فرم زير مشخص نمودمی توان سازی برداری )چند هدفه( را

(19) * H H H H 1

H 2 2

arg max ( ) , ( )

subject to : || || 1,|| ||

( )

a

0

a a B + B a a Φ Φ a

a a a a a

كه تركيب وزن خطی طريق تکنيك اسکالر سازی با استفاده از

رابطهدار اهداف را به عنوان هدف سراسری مساله بر می گزيند،

.می كنيمصورت زير بازنويسی را به( 19)

(21)

* H H1

H

max

H 12

H 1

max

H 2 2

arg max [ ( )( )

( )]( )

subject to : || || 1,|| ||

a

0

a a B + BB + B

Φ Φ aΦ Φ

a a a a a

1كه در آن

H

max ( )

B + B

2و

H 1

max ( )

Φ Φ

وزن های جديد می

.[12] دباشن

ر بيان می در پايان مساله طراحی سيگنال خود را به صورت زي

كنيم:

باشد اگر و تنها اگر يك ( می21طه )يك حل بهينه از راب aكد

بهينه سازی زير باشد:مساله حل

(21) * H

H 2

2

arg max ( )

subject to : || || 1,

|| ||

R

a

0

a a a

a a a

a a

كه در آن:

(22) H

max2

H 1

1 max

( ). 0

( )

B + B

Φ Φ

اشد و ضريب اولويت يك هدف نسبت به هدف ديگر می ب

)همچنين ماتريس )R با استفاده از ضريب بدست آمده

( به صورت زير تشکيل می شود:22توسط رابطه )

(23) H 1( ) ( ) ( )HR B + B Φ Φ

كه [13در ]ائه شده راز روش ا(، 21در ادامه جهت حل مساله )

اين يك حل غير تکراری دقيق می باشد بهره خواهيم برد.

( خالصه شده اند، نتايج حل 1الگوريتم كه مراحل آن در شکل )

مساله به روش ضرايب الگرانژ می باشد كه برای مطالعه جزئيات

[ ارجاع نمود.13اثبات آن می توان به مرجع ]

نتایج شبيه سازی -4

در اين بخش به ارزيابی كد ساخته شده در مساله طراحی

(، می پردازيم. 1( و الگوريتم استفاده شده در شکل )21سيگنال )

، جهت ی هستند كه بسته به كاربردپارامترهاي γو εدو پارامتر

تخاب می شوند. رهيافتی حصول عملکرد مطلوب توسط طراح ان

كه در اين مقاله از آن استفاده می شود آن است كه رسيدن به

ت به عملکرد تابع ابهام با فرم ضربه ای دارای اولويت باالتری نسب

مقداری را برابر γنتيجه پارامتر باشد. در آشکارسازی سيگنال

در نظر می گيريم و در فرآيند شبيه سازی اثر انتخاب ثابت

بر ساير پارامترها ارزيابی می كنيم. را εير مختلف مقاد

در فرآيند شبيه سازی از فرض های زير استفاده شده است:

،ويولت تابع ويولت استفاده شدهdb2 .می باشد

از يك سکيگنالWPM-OFDM چيکپ 8حامکل و 8بکا

استفاده شده است.

در 1015در مبکدا و 1تابع ابهکام ايکده آل، دارای مقکدار

ير نقاط می باشد.سا

5

تا رادار قرار دارد یمتر 1111هدف در فاصله.

هرتز گايگ 1حامل : فركانس

1025شده : زهيداپلر نرمال فركانس

γ در نظر گرفته شده است. 5برابر مقدار

( كککه دارای تککابع خککود 21كککد پککيش فککرض در رابطککه )

P3 چرخشکی همبستگی با فرم ايده آل می باشد را كد

گيريم.در نظر می

0.6تابع ابهام سيگنال بدست آمده را به ازای (2شکل )

نشان می دهد. می بينيم كه سيگنال طراحی شده دارای تابع

تاخير می -ابهامی با فرم نزديك به ايده آل در سرتاسر سطح داپلر

باشد.

ر صفر، ر داپلوبر برش تابع ابهام در راستای مح εاثر بررسیجهت

مقدار دوتابع خود همبستگی سيگنال طراحی شده را به ازای

( رسم نموده ايم. می بينيم كه با افزايش 3در شکل ) εمختلف

سيگنال طراحی شده كاهش می يابد. PSL، مقدار εمقدار

همچنين جهت ارزيابی كيفيت آشکارسازی سيگنال، منحنی

ROC مختلف به ازای مقادير سيگنال های طراحی شدهε در

( رسم شده است.4شکل )

تابع ابهام سيگنال طراحی شده (:2شکل )

(: تابع خود همبستگی سيگنال های طراحی شده به ازای مقادير 3شکل )

εمختلف

.

(.21الگوريتم حل مساله ) :(1)شکل

6

εسيگنال های طراحی شده به ازای مقادير مختلف ROCمنحنی (:4شکل )

، عملکرد آشکارسازیεی شود كه با افزايش مقدار مشاهده م

بهبود پيدا می كند. سيگنال

یريگ جهينت -5

م مساله طراحی سيگنال جهت حصول بهينگکی تکوا هدر اين مقال

WPM-OFDMسکيگنال عملکرد آشکارسکازی و فشکرده سکازی

مناسکب كکدهای روی انتخکاب نشان داده شد كه با بررسی شد و

ابع ويولت مناسب می توان به تکابع ابهکام استفاده از ت و حامل ها

نزديك به فرم ايده آل و بکه دنبکال آن تفکيکك پکذيری مطلکوب

تعريف پارامتری با عنوان ضکريب اهميکت مکی رسيد. همچنين با

توان بسته به كاربرد مورد نياز، بکه عملککردی كکه دارای اولويکت

بيشتری است رسيد.

ه عنوان يکك درجکه آزادی مساله ديگری كه اثر تغيير مقدار آن ب

برای طراح سيستم بررسی شد، كران باالی نُرم اقليدسی تفاضکل

كد طراحی شده و يك كد پيش فرض بود كه نشان داده شکد بکا

افزايش احتمال همچنين و PSL مقدار افزايش آن، شاهد افزايش

می باشيم.آشکارسازی هدف

سپاسگزاری

تشکر خکود را از پژوهشکگاه نويسندگان اين مقاله، مراتب تقدير و

( به خاطر حمايکت www.itrc.ac.irارتباطات و فناوری ارتباطات )

.از اين مقاله اعالم می دارند

عمراج

[1] N. Levanon, E. Mozeson, Radar signals, John Wiley& Sons, Inc.,

New York, 2004.

[2] R. Mohseni, A. Sheikhi, A. M. Shirazi, “Multicarrier constant envelope OFDM signal design for radar applications,”

International Journal of Electronics and Communications (AEU),

vol. 64, no. 11, pp. 999-1008, November 2010.

[3] F. Chongyi, H. Xiaotao, J. Tian and C. Weng, “Ambigutiy function of SAR based on OFDM waveform,” Radar Conf. USA,

pp. 397-401, May, 2010.

[4] M. Alimosaymer, R. Mohseni, Least-Square synthesis of WPM-OFDM Radar Signal, 20th Telecommunications Forum, Serbia,

November, 2012.

[5] Mohseni, A. Sheikhi, A. M. Shirazi, Wavelet Packet Based OFDM Radar Signals, International Conference on Radar, pp. 552 – 557,

September, 2008.

[6] V. J. Amuso and J. Enslin, “The Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2 (SPEA2) applied to simultaneous multi-mission

waveform design,” in Proc. Intl Waveform Diversity & Design

Conf., Pisa, Italy, Jun. 4–8, 2007, pp. 407–417. [7] S. Boyd and L. Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge

University Press, 2004.

[8] S. Sen, G. Tang, and A. Nehorai, ''Multi-objective optimization-based OFDM radar waveform design for target detection,'' IEEE

Trans. Signal Process., 2011.

[9] S. M. Sussman ,"Least square synthesis of RADAR Ambiguity function," IRE Transaction of Information theory, pp. 246-254,

April 1962. [10] M. A. Sebt, A. Sheikhi, and M. M. Nayebi, ''Orthogonal

frequency-division multiplexing radar signal design with

optimised ambiguity function and low peak-to-average power

ratio,'' IET Radar, Sonar and Navigation, vol. 3, no. 2, pp. 122–132, 2009.

[11] A. De Maio, M. Piezzo, A. Farina, M. Wicks, "Pareto-optimal

radar waveform design," IET Radar Sonar Navig., vol. 5, issue 4, pp. 473–482 , 2011.

[12] J. Li, J. R. Guerci, and L. Xu, “Signal waveform’s optimal under

restriction design for active sensing,” IEEE Signal Process. Lett., Sep. 2006.