wstęp do analizy matematycznej

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Andrzej Marciniak

Wstępdo analizy matematycznej

Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich

zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10

2 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Przebieg zmienności funkcji

Badanie przebiegu zmienności funkcji polega na wyznaczeniu pewnych własności funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej określonej za pomocą pewnego wzoru.

Własności te można wywnioskować z wzoru funkcji oraz z jej pochodnych rzędu pierwszego i drugiego. Pozwalają one skonstruować przybliżony wykres funkcji.



Schemat rozwiązywania jest następujący: własności wynikające wprost z wzoru funkcji

• dziedzina funkcji i punkty nieciągłości,• punkty przecięcia z osiami (z osią 0X – miejsca zerowe,

z osią 0Y – wartości w zerze),• własności szczególne (parzystość, nieparzystość,

okresowość, ciągłość),• granice na końcach przedziałów określoności,

asymptoty, własności wynikające z pochodnej rzędu pierwszego

• przedziały monotoniczności,• ekstrema lokalne funkcji,



Schemat rozwiązywania (ciąg dalszy): własności wynikające z pochodnej rzędu drugiego

• przedziały wypukłości i wklęsłości,• punkty przegięcia,

zestawienie przebiegu zmienności funkcji w postaci tabelki (na podstawie poprzednich punktów) i określenie zbioru wartości funkcji,

szkic wykresu funkcji.



Przykład. Zbadać przebieg zmienności funkcjiy (2x 3)/(x 1).

Funkcja jest określona, gdy x 1. Obliczamy pochodną:y ’ 5/(x 1)2.

Dla x 1 pochodna y ’ f ’(x) jest dodatnia, a więc funkcjay f (x) jest stale rosnąca.Zbadajmy zachowanie się funkcji w otoczeniu punktu x 1.

Gdyx 1 z lewej strony, to y , a gdy x 1 z prawej strony,to y . Prosta x 1 jest więc asymptotą pionową krzywejy f (x).



Badamy granice funkcji, gdy x wzrasta nieograniczenie:

lim (2x 3)/(x 1) 2 i lim (2x 3)/(x 1) 2, x x

a więc prosta y 2 jest asymptotą poziomą krzywej.Chcąc znaleźć ewentualne punkty przegięcia, szukamy

miejsczerowych pochodnej rzędu drugiego

y ” 10/(x 1)3.Funkcja ta nie ma miejsc zerowych, a więc krzywa nie ma punktów przegięcia.



Układamy tabelkę przebiegu zmienności danej funkcji:

Wykres funkcjiprzedstawionona rysunku. Zadania – zob. plik WDA-

1.PDF

x … 1 …

y ’ 0 0

y 2 2


Równania i nierówności

Wśród równań i nierówności wyróżniamy m. in.:• równania stopnia zero,• równania liniowe z jedną niewiadomą,• nierówności liniowe z jedną niewiadomą,• równania liniowe z dwiema i trzema niewiadomymi,• nierówności liniowe z dwiema i trzema niewiadomymi,• układy równań liniowych,• układy nierówności liniowych,• równania kwadratowe z jedną niewiadomą,• równania sześcienne z jedną niewiadomą,• równania wielomianowe wyższych stopni,• równania i nierówności z wartością bezwzględną,• równania i nierówności trygonometryczne.



Równaniami stopnia zero nazywamy takie równania, w których wszystkie niewiadome występują w potęgach zerowych (w zapisie równania praktycznie nie ma niewiadomych, bo np. x 0 = 1). Jeśli z zapisu równania nie wynika, z iloma niewiadomymi jest to równania, to informacja taka musi znaleźć się w treści zadania (inaczej równanie może nie dać się rozwiązać).Równanie stopnia zero może być albo sprzeczne, albo tożsamościowe, czyli rozwiązaniem jest albo zbiór pusty, albo zbiór liczb rzeczywistych R (dla równań z jedną niewiadomą), albo zbiór wszystkich par rzeczywistych R2 (dla równań z dwiema niewiadomymi), albo zbiór wszystkich trójek liczb rzeczywistych R3 (dla równań z trzema niewiadomymi) itd.Przykłady2 2 = 5 (równanie sprzeczne)2x 0 + 3y 0 = 5 (równanie tożsamościowe z dwiema niewiadomymi)



Równanie z jedną niewiadomą, inaczej: równanie liniowe, to równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w pierwszej potędze, np.

ax + b = 0,gdzie a i b oznaczają dane współczynniki liczbowe, przy czym a 0. Typy równań liniowych:• równanie tożsamościowe, np. 2x + 1 = 2x + 1 (rozwiązaniem

jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych),• równanie sprzeczne, np. 3x + 1 = 3x +5 (rozwiązaniem jest

zbiór pusty),• równanie oznaczone, np. 2x + 3 = 0 (to równanie ma jeden

pierwiastek x = 3/2.



Nierówności liniowe z jedną niewiadomą wyglądają podobnie do równań liniowych, ale zamiast znaku równości zawierają jeden ze znaków nierówności: ostrej (<, >), nieostrej (, ) lub znak różności ().Wyróżniamy trzy typy nierówności:• nierówność tożsamościowa jest spełniona przez wszystkie

liczby rzeczywiste, np. 6x + 3 6x + 3,• nierówność sprzeczna nie jest spełniona przez żadną liczbę

rzeczywistą, np. 3x 5 > 3x + 4,• nierówność nieoznaczona ma nieskończenie wiele

pierwiastków, ale nie są nimi wszystkie liczby rzeczywiste, np. 3x + 6 < 0 rozwiązaniem jest przedział (, 2).



Równania liniowe z dwiema niewiadomymi zawierają dwie zmienne, obie (co najwyżej) w pierwszej potędze:

ax + by + c = 0,gdzie a, b i c oznaczają dane współczynniki liczbowe, przy czym przynajmniej jedna z liczb a i b jest różna od zera.W zależności od tego, które ze współczynników a i b są różne od zera, rozwiązaniem jest•prosta y = c/b, równoległa do osi x, gdy a = 0 i b 0,•prosta x = c/a, prostopadła do osi x, gdy a 0 i b = 0,•prosta y = ax/b c/b.Równanie liniowe z trzema niewiadomymi:

ax + by + cz = 0,gdzie przynajmniej jedna z liczb a, b i c jest różna od zera.



W nierównościach liniowych z dwiema niewiadomymi występują dwie niewiadome i jeden ze znaków <, >, , lub .Równanie kwadratowe

ax 2 + bx + c = 0posiada pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik

= b2 4acjest dodatni lub równy zeru. Gdy > 0, pierwiastkami są

x1 = (b )/2a, x2 = (b + )/2a,

a gdy = 0, to równanie posiada jeden pierwiastek podwójny x = b/2a. Gdy < 0, to równanie posiada dwa pierwiastki zespolone.



Przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowej(1) ax2 + bx + c > 0lub nierówności(2) ax2 + bx + c < 0,a 0, możemy założyć, że a > 0.Rozwiązanie nierówności (1):a) gdy > 0, to x < x1 lub x > x2, gdzie x1 i x2 oznaczają

pierwiastki trójmianu kwadratowego,b) gdy = 0, to x R {b/2a},c) gdy < 0, to x R.Rozwiązanie nierówności (2):d) gdy > 0, to x1 < x < x2,e) gdy 0, to nie ma rozwiązań.



Przy rozwiązywaniu równości wykładniczych, w których niewiadoma występuje w wykładnikach potęgi, często korzystamy z następującej własności funkcji wykładniczej: jeśli podstawa a spełnia warunek a > 0 oraz a 1 i a x = a y, to x = y.Przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych, w których niewiadoma występuje pod znakiem logarytmu korzystamy z własności, że jeśli a > 0 oraz a 1 i loga x = loga y, to x = y.

Równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym występują funkcje trygonometryczne. Rozwiązanie takiego równania powinno uwzględniać okresowość tych funkcji.W równaniach z wartościami bezwzględnymi należy uwzględnić przypadki, gdy wartości występujące w symbolach wartości bezwzględnej są ujemne i nieujemne.



Równanie stopnia trzeciego to równanie postaciax 3 + bx 2 + cx + d = 0,

gdzie a 0. Dzieląc to równanie przez a i podstawiając x = y b/3a otrzymujemy równanie(1) y 3 + 3py + 2q = 0,gdzie 3p = (3ac b 2)/(3a 2) oraz 2q = (2b 3)/(27a 3) (bc)/(3a 2) + d/a.Liczba rozwiązań rzeczywistych równania (1) zależy od znaku wyróżnika

D = q 2 + p 3.Jeżeli D > 0, to równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa zespolone. Jeśli D = 0, to w przypadku, gdy p = q = 0, równanie ma jeden pierwiastek trzykrotny równy 0, a gdy p 3 = q 2 0, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, z których jeden jest dwukrotny. Gdy D < 0, to równanie ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.



Gdy D 0, korzystamy ze wzorów Cardana:y1 = u + v, y2 = 1u + 2v, y3 = 2u + 1v,

gdzie u = (q + D 1/2)1/3, v = (q D 1/2)1/3, a 1 i 2 oznaczają pierwiastki równania x 2 + x + 1 = 0, tzn. 1 = (1 + i3)/2, 2 = (1 i3)/2.Jeśli D < 0, to wprowadzamy pomocniczą niewiadomą , taką że cos = =q/r 3, gdzie r = |p|, przy czym oznacza +1 lub 1, zgodnie ze znakiem q i pierwiastki obliczamy ze wzorów:

y1 = 2r cos(/3), y2 = 2r cos(60 /3), y1 = 2r cos(60 + /3).



Równanie n-tego stopnia to równanie postaci(1) W(x) = x n + a1x n1 + … + an = 0.

Przy znajdowaniu pierwiastków korzystamy m. in. z następujących reguł:

(twierdzenie Bezouta) Równanie (1) ma pierwiastek x = a wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny bez reszty przez (jednomian) x a.

Pierwiastki będące liczbami całkowitymi równania otrzymanego przez przyrównanie do zera wielomianu o współczynnikach całkowitych muszą być dzielnikami wyrazu wolnego.

Specjalnym przypadkiem równania n-tego stopnia jest równanie dwukwadratowe ax 4 + bx 2 + c = 0, gdzie a 0.Rozwiązujemy je przez podstawienie x 2 = z.



Układ równań liniowych niejednorodnycha11 + a12 + … + a1nxn = b1,

a21 + a22 + … + a2nxn = b2,

………………………………………..am1 + am2 + … + amnxn = bm

jest niesprzeczny, gdy istnieje przynajmniej jeden zespół wartości{1, 2, … , n}

spełniających wszystkie dane równania. Układ ten jest sprzeczny, jeżeli nie ma ani jednego takiego rozwiązania.Układ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy A tego układu jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej o kolumnę wyrazów wolnych.



Rzędem macierzy A o wymiarze mn nazywamy największy stopień jej minorów różnych od zera.Minorem stopnia k macierzy (k m i k n) nazywamy wyznacznik składający się (z zachowaniem kolejności) z k 2 elementów macierzy leżących na przecięciu wybranych jej k kolumn i k wierszy.Aby wyznaczyć rząd macierzy, należy rozpatrzyć wszystkie jej minory stopnia l, gdzie l oznacza mniejszą z liczb m i n (lub l = m = n).Jeżeli znajdziemy jakiś minor stopnia k różny od zera, to dalej wystarczy zbadać wyznaczniki stopnia k + 1 zawierające te wiersze i te kolumny danej macierzy, na przecięciu których znajdują się liczby tworzące wyznacznik stopnia k. Jeśli wszystkie takie minory rzędu k + 1 są równe zeru, to rząd macierzy jest równy k.



Niesprzeczny układ równań liniowych rozwiązuje się w następujący sposób:• obliczamy rząd r macierzy układu,• zmieniamy porządek równań układu, a w równaniach

przestawiamy niewiadome x1, x2, … , xn w taki sposób, żeby w lewym górnym narożniku macierzy znalazł się minor stopnia r, różny od zera.

Mogą zajść dwa przypadki:1 r = n, r m. Rozwiązując układ pierwszych n równań z n

niewiadomymi otrzymujemy jedynie rozwiązanie {1, 2, … , n}, ponieważ wyznacznik tego układu nie równa się zeru. Jeżeli n < m, wtedy to samo rozwiązanie spełnia również m n pozostałych równań, które wynikają z pierwszych. Układ jest oznaczony.



2 r < n, r m. Rozwiązujemy układ pierwszych r równań względem pierwszych r niewiadomych x1, x2, … , xr, wyrażając te niewiadome przez n r pozostałych niewiadomych xr+1, xr+2, … , xn. Otrzymujemy rozwiązanie w postaci układu funkcji liniowych:

x1 = x1(xr+1, xr+2, … , xn),

X2 = x2(xr+1, xr+2, … , xn),

…………………………………xr = xr(xr+1, xr+2, … , xn),

ponieważ wyznacznik układu równań nie równa się zeru. Niewiadomym xr+1, xr+2, … , xn można nadać dowolne wartości. Te same rozwiązania spełnia również m r pozostałych równań (jeśli r < m), które wynikają z pierwszych. Układ równań jest nieoznaczony.



Jeżeli liczba niewiadomych jest równa liczbie równań, to do rozwiązania układu równań liniowych stosujemy twierdzenie Cramera.Jeśli macierz układu n równań liniowych o n niewiadomych jest nieosobliwa, to jedyne rozwiązanie x1, x2, … , xn tego układu dane jest wzorami

x1 = |A1|/|A|, x2 = |A2|/|A|, … , xn = |An|/|A|,

w których Ai oznacza macierz powstającą z macierzy A układu przez zastąpienie jej i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Zadania – zob. plik WDA-2.PDF

wstęp do analizy matematycznej

Documents