www2 autorizovana predavanja mehanizmi i masine copy

7/22/2019 Www2 Autorizovana Predavanja Mehanizmi i Masine Copy

1/122

S A D R A J

1. FUNKCIJA, VRSTE I STRUKTURA MEHANIZAMA ...................................................................... 3

1.1. Funkcija mehanizma ......................................................................................................... 3

1.2. Vrste mehanizama ............ ............. ............ ......... ............ ............ ............. ......... ............... ... 5

1.3. Struktura mehanizama ...................................................................................................... 6

2. ANALIZA POLUNIH MEHANIZAMA ................................................................................................ 12

2.1. Poluni etvorougao ........ ............ ............. ............ .......... ............ ............. ............ ............ .... 12

2.2. Trenutni pol. Inverzno kretanje ...................................................................................................... 15

2.3. Grafike metode pozicione i analize stanja brzina i ubrzanja ........................................................ 182.3.1. Poziciona analiza.Poloaj pokretne take ........................................................................ 18

2.3.2. Dva beskonano bliska poloaja pokretne take ................................................................ 182.3.3. Grafike metode odredjivanja brzine ................................................................................... 192.3.4. Prenosna funkcija prvoga reda ........................................................................................... 212.3.5. Tri beskonano bliska poloaja pokretne take .................................................................. 232.3.6. Grafike metode odredjivanja ubrzanja ............................................................................... 23

2.4. Analitike metode pozicione i analize stanja brzina i ubrzanja ..................................................... 262.4.1. Poziciona analiza ............................................................................................................... 262.4.2. Analitika metoda odreivanja brzina i ubrzanja ................................................................ 27

2.5. Korienje programskih paketa za kinematsku analizu mehanizama ........................................... 31

2.6. Merni postupak odreivanja poloaja, brzina i ubrzanja lanova realnih mehanizama ................. 31

2.7. Kinematika kretanja kroz tri beskonano bliska poloaja .............................................................. 332.7.1. Bresse-ovi krugovi .............................................................................................................. 332.7.2. Euler-Savary-jeva jednaina ............................................................................................... 362.7.3. Tangenta na rulete i centar krivine ..................................................................................... 382.7.4. Raspored taaka P-A-A0-Aw ............................................................................................... 392.7.5. Prevojni i povratni krug kod etvorolanih mehanizama .................................................... 402.7.6. Ekstremum prenosne funkcije prvoga reda ........................................................................ 41

2.8. Putanje taaka spojke. Teorema Roberts-ebieva ..................................................................... 42

3. SINTEZA POLUNIH MEHANIZAMA .................................................................................................. 44

3.1. Sinteza mehanizama za vodjenje ................................................................................................. 45

3.2. Sinteza mehanizama za prenos .................................................................................................... 493.2.1. Sinteza mehanizama sa povratnim kretanjem .................................................................... 493.2.2. Sinteza mehanizama kao generatora funkcije .................................................................... 523.2.3. Ugao prenosa ..................................................................................................................... 56

4. MEHANIZMI S KOTRLJANJEM ........................................................................................................... 57

4.1. Zupasti prenosnici sa nepokretnim osama .................................................................................. 58

4.2. Planetni prenosnici ........................................................................................................................ 594.2.1. Kinematika planetnih prenosnika ........................................................................................ 604.2.2. Putanje taaka planetnog toka .......................................................................................... 63

4.3. Diferencijalni prenosnici ................................................................................................................ 654.4.1. Jednostepeni diferencijalni prenosnici ................................................................................ 664.4.2. Dvostepeni diferencijalni prenosnici ................................................................................... 674.4.3. Talasni prenosnik (Harmonic drive) .................................................................................... 70

Teorija maina i mehanizama


2/122

2

5. BREGASTI MEHANIZMI ...................................................................................................................... 74

5.1. Vrste bregastih mehanizama ........................................................................................................ 74

5.2. Analiza bregastih mehanizama ..................................................................................................... 78

5.3. Sinteza bregastih mehanizama ..................................................................................................... 815.3.1. Izbor prenosne funkcije ...................................................................................................... 81

5.3.2. Poluprenik osnovnog kruga .............................................................................................. 845.3.3. Konstrukcija profila bregaste ploe ..................................................................................... 87

6. MEHANIZMI SA PREKIDNIM KRETANJEM ........................................................................................ 88

6.1. Mehanizam sa maltekim krstom ................................................................................................... 88

6.2. Mehanizam sa zvezdastim tokom ................................................................................................. 96

6.3. Mehanizmi sa skakavicom .............................................................................................................. 97

7. DINAMIKA MEHANIZAMA .................................................................................................................... 98

7.1. Sile i momenti ................................................................................................................................. 997.1.1. Pogonske sile i momenti ..................................................................................................... 99

7.1.2. Tehnoloke sile i momenti ................................................................................................... 1017.1.3. Sile i momenti u zglobovima ................................................................................................ 102

7.2. Kinetostatika ................................................................................................................................... 1047.2.1. Grupa druge klase ............................................................................................................... 1067.2.2. Grupa tree klase ................................................................................................................ 1087.2.3. Grupa etvrte klase ............................................................................................................. 1107.2.4. Grupa prve klase ................................................................................................................. 110

7.3. Sile i momenti inercije ..................................................................................................................... 1117.3.1. Translatorno kretanje ........................................................................................................... 1117.3.2. Rotaciono kretanje ............................................................................................................... 111

7.3.3. Napadna taka rezultujue sile inercije lana ...................................................................... 112

7.4. Metod ekvivalentnih masa ............................................................................................................... 1157.4.1. Statika zamena masa ......................................................................................................... 1157.4.2. Dinamika zamena masa ..................................................................................................... 116

7.5. Uravnoteenje rotora ....................................................................................................................... 118

LITERATURA .............................................................................................................................................. 122


3/122

3

1. FUNKCIJA, VRSTE I STRUKTURA MEHANIZAMA

1.1. Funkcija mehanizma

Osnovna funkcija mehanizma je prenos sile i kretanja ili voenje take po zadatoj putanji, odnosno, tela krozzadate poloaje. U zavisnosti od toga koja od ovih funkcija dominira, razlikuju se dve osnovne grupemehanizama:

a) mehanizmi za prenos i

b) mehanizmi za voenje.

Mehanizmi za prenos imaju zadatak da silu ili kretanje prenesu od pogona do izvrnog dela maine ilinekog drugog mehanizma po utvrenoj prenosnoj funkciji.

Prenosna funkcija je zavisnost izlazne koordinate za kruno, odnosno s za pravolinijsko kretanjevodjenog lana, i ulazne koordinate pogonskog lana (slika 1.1):

( )= ; ( )= ss . (1.1)

Sl.1.1.

Prvi izvod prenosne funkcije ', odnosno S', po ulaznoj koordinati predstavlja prenosnu funkciju prvogareda:

=d

d ;

=

d

dss . (1.2)

Kako, u optem sluaju, ulazna koordinata zavisi od vremena =(t), to se brzina vodjenog lana i=& ,

odnosno ivs =& , moe izraziti pomou prenosne funkcije prvoga reda:

ui dt

d

d

d

dt

d=

=

== & ;

(1.3)

ui sdt

d

d

ds

dt

dssv =

=== & ,

gde je: u - pogonska ugaona brzina.

Drugi izvod prenosne funkcije po ulaznoj koordinati predstavlja prenosnu funkciju drugoga reda:

2

2

d

d

= ;

2

2

d

sds

= . (1.4)


4/122

4

U optem sluaju, ubrzanje vodjenog lana iii == &&& , odnosno iii sva &&& == , moe se formulisati izrazima:

( )ui

2ui

uiu

iuiii dt

d

dt

d

dt

d+ =

+

=

== &&&

i (1.5)

ui2uiii ssas +== &&&

odakle se, za konstantnu ugaonu brzinu u = const., dobija:

2uii =&& ;

2uii ss =&& . (1.6)

Moe se uoiti da su prenosna funkcija prvoga reda i funkcija brzine sline funkcije, sa faktorom slinosti u(pogonska ugaona brzina), kao i da su za u = const. prenosna funkcija drugoga reda i funkcija ubrzanjasline funkcije, sa faktorom slinosti 2u .

Jednaine (1.1) do (1.6) vae za krunu ulaznu koordinatu, odnosno za klasine pogonske motore sarotacionim kretanjem. Na slian nain mogu se izvesti i odgovarajue jednaine za sluaj kada je ulaznakoordinata linijska, odnosno kada je pogon linearni motor.

Prenosne funkcije mehanizama su u optem sluaju nelinearne i mogu biti progresivne, progresivne saregresivnim delom ili povratne funkcije. Sve ove funkcije mogu biti i sa periodima mirovanja (tabela 1.1).

Tabela 1.1.


5/122

5

Mehanizmi za voenje imaju zadatak da provedu taku, odnosno telo, kroz zadate poloaje. Ukoordinatnom sistemu - xyz (slika 1.2a) zadati su poloaji take Ci kroz koje je potrebno provesti takumehanizma u zadatom smeru.

a) b) c)Sl.1.2.

Poloaj tela u prostoru definisan je poloajem njegovih triju nekolinearnih taaka (ne lee na istoj pravoj).Zadatak mehanizma za voenje tela u prostoru svodi se stoga na voenje taaka A, B i C kroz zadatepoloaje Ai, Bi i Ci, odnosno voenje trougla ABC kroz zadate poloaje AiBiCi (slika 1.2b).

Poloaj pokretne ravni u odnosu na nepokretnu pri ravanskom kretanju definisan je poloajem dvejutaaka A i B, odnosno poloajem dui AB , pa se voenje ravni svodi na voenje dui AB kroz zadatepoloaje (slika 1.2c).

1.2. Vrste mehanizama

Govorei o funkciji mehanizama izvrili smo njihovu podelu na mehanizme za prenos i mehanizme zavoenje. U zavisnosti od pravaca osa obrtanja lanova, mehanizmi mogu biti:

- ravni; ose obrtanja su paralelne, lanovi mehanizma kreu se u medjusobno paralelnim ravnima,

- sferni; sve ose obrtanja seku se u jednoj taki, a kretanje lanova mehanizma vri se u koncetrinimkalotama, i

- prostorni; ose obrtanja se mimoilaze, a lanovi mehanizma realizuju prostorno kretanje.

Na slici 1.3 prikazani su primeri ravnog (a), sfernog (b) i prostornog (c) polunog mehanizma.

a) b) c)Sl. 1.3.

Sl. 1.4.

Dva susedna lana mehanizma, meusobno povezana zglobom, inekinematski par (slika 1.4).Kod ravnih mehanizama mogu se sresti etiritipa kinematskih parova:

- rotacioni par(slika 1.4),

- prizmatini par(slika 1.7c),- kotrljajni par(slika 1.7b) i

- bregasti par(slika 1.7a).


6/122

6

Prema vrsti kinematikih parova koje sadre, mehanizmi mogu biti:

- poluni, sastavljeni od rotacionih i prizmatinih parova,

- kotrljajni (zupasti) i

- bregasti.

Na slici 1.5. prikazani su primeri ravnih, sfernih i prostornih polunih, zupastih i bregastih mehanizama.

Sl.1.5.

U narednim poglavljima bie obradjena analiza i sinteza ravnih polunih, zupastih i bregastih mehanizama.U okviru zupastih mehanizama nee biti obraivani klasini zupasti prenosnici, koji se izuavaju uMainskim elementima, ve samo mehanizmi sa nelinearnom prenosnom funkcijom, kao i planetni idiferencijalni prenosnici.

1.3. Struktura mehanizama

Sl.1.6.

Od oblika zgloba zavisi vrsta mogueg relativnog kretanja izmedju lanova (rotacija, translacija ili rotacija itranslacija). Broj moguih relativnih kretanja u zglobu definie se brojem stepeni slobode kretanja zgloba(f). Razlika broja stepeni slobode kretanja slobodnog tela (b) i broja stepeni slobode kretanja u zglobu (f)definie broj ogranienja kretanja uvedenih zglobnom vezom (u):

u = b - f. (1.7)

Broj stepeni slobode kretanja slobodnog tela u prostoru je b=6 (tri mogue translacije i tri rotacije), a prikretanju u ravni b=3 (dve mogue translacije i jedna rotacija). U tabeli 1.2. dat je pregled najeekorienih zglobova, sa brojem stepeni slobode kretanja u zglobu, vrstama moguih relativnih kretanja isimbolima za njihovo prikazivanje u kinematskim shemama.

Vrstamehanizama

Poluni Kotrljajnizu asti

Bregasti

Ravnimehanizmi

Sfernimehanizmi

Prostornimehanizmi

Elementi mehanizama su lanovi, zglobovi i organi. Broj, vrsta iraspored elemenata definiu strukturu mehanizma.

Zglobnom vezom se obezbedjuje da lanovi kinematskog para svevreme relativnog kretanja budu u medjusobnom kontaktu. Dvalana mehanizma mogu biti medjusobno vezana samo jednimzglobom. lan mehanizma moe imati dva zgloba (binarni lan),tri zgloba (ternerni lan) ili vie zglobova (slika 1.6).


7/122

7

Tabela 1.2.

Medjusobna veza lanova u zglobovima kinematskih parova ostvaruje se:

- po povrini (nii kinematskiparovi - rotacioni (slika 1.4) i prizmatini par(slika 1.7c)),- po liniji (vii kinematski par - kotrljajni par(slika 1.7b)), ili

- u taki (vii kinematski par - bregasti par(slika 1.7a)).

a) b) c)Sl. 1.7.

Brojograni-en a

Brojstepenislobod

EMA ZGLOBA simbol

3

1

2

2

3

4

5

5

5

5

4

4

3

3

2

1

1

1


8/122

8

Tabela 1.3.

Rotacionii prizmatini par, koji po definiciji imaju dodir po povrini, mogu konstruktivno biti izvedeni tako da sedodir izmeu lanova ostvaruje u takama il i po linijama, kako je to prikazano u tabeli 1.3.

Prizmatini par sa pokretnom vodjicom (slika 1.7c) naziva se kulisni par. Manji, kompaktniji lan takvog paranaziva se kulisni kamen, a vodjica kulisom.

Kliza u prizmatinom paru sa nepokretnom voicom (kliza 3 na slici 1.9) naziva se klip.

Krivajaje lan mehanizma koji se moe okrenuti za pun krug (2) oko nepokretne leine take.

Balansijer ili etalica je lan mehanizma koji se moe ogranieno kretati oko nepokretne leine take zaugao i < 2.

Spojkaje opte pokretni lan mehanizma, zglobno vezan za dva pokretna lana mehanizma.

Postoljeje lan mehanizma koji se moe smatrati nepokretnim.

a)

b) Sl.1.8.

Organi vre pomonu funkciju, a dodaju se mehanizmu kako bi poboljali njegovu osnovnu funkciju. Uorgane spadaju: opruge, amortizeri, graninici i sl. Svoju osnovnu funkciju mehanizam moe ostvariti i bezorgana, mada se bez njih ukupni zadatak mehanizma ne ispunjava optimalno.

Konstrukcioni crtei mehanizama su veoma sloeni. Konstrukcija, izrada i oblik zavise od brojnih uslova. Za

kinematsku analizu i sintezu potrebne su jednostavne sheme. U tabelama i na dosad prikazanim slikama vesu korieni pojedini simboli za prikazivanje kretanja, zglobova i strukture mehanizama. U tabeli 1.4. dat jepregled simbola, koji e u narednim poglavljima biti korieni za prikazivanje strukturnih i kinematskih shemamehanizama.

Rotacionipar

u=2

Vrsta dodira po povrini po liniji u taki

Prizmatinipar

u=2

Vie lanova, medjusobno povezanih zglobovima, inekinematski lanac. Kinematski lanac je otvoren ako jeposlednji lan vezan samo jednim lanom mehanizma(slika 1.8a,levo). Ukoliko je poslednji lan vezan za dvaili vie lanova mehanizma kinematski lanac je zatvoren(slika 1.8a, desno). Mehanizam se esto definie kaozatvoreni kinematski lanac sa jednim lanom koji se moesmatrati nepokretnim (slika 1.8a,desno).

Roboti i manipulatori sadre otvorene i zatvorenekinematske lance, a esto u toku rada menjaju svoju

strukturu. Prikazani dvononi hoda sa obe noge na tlu(slika 1.8b, desno) predstavlja zatvoreni kinematski lanac,a sa jednom nogom na tlu (slika 1.8b, levo) otvorenikinematski lanac.


9/122

9

Tabela 1.4.

Pokretni zglobovi bie oznaavani velikim slovima: A, B, C..., nepokretni zglobovi jo i sa indeksom (0)nepokretnog lana (postolja): A0, B0,... Na slici 1.9. prikazan je konstrukcioni crte klipnog mehanizma injegova strukturna i kinematska shema.

Sl.1.9.

Zglob Pokretan Nepokretan

Jedno-struki

Vie-struki

Rotacioni

par

Prizmatinipa

r

Klipni

Ku

lisni

Bregasti

par

Kotrljajni

par


10/122

10

lanovi mehanizama obeleavaju se arapskim brojevima ili malim slovima (a,b,c,...), njihove duine malimslovima, a uglovi kojima se definie njihov poloaj pisanim grkim slovima (, , , , ...). Kod sloenihmehanizama kao i kod primene numerikih metoda lanovi mehanizma bie obeleavani sa Ii (nepokretnilan - postolje sa I0), delovi lanova izmeu pojedinih taaka nosie u indeksu oznake ovih taaka (npr. deoizmedju taaka A i C - IAC). U tom sluaju poloaj lanova bie definisan uglovima i, merenim od pravcapozitivnog smera x-ose, gde je indeks i - redni broj lana u mehanizmu. Relativni poloaj dva lana bieobeleen uglovima ik (indeksi i, k su redni brojevi lanova), merenim u pozitivnom matematikom smeru.

Definicije, termini i simboli koji se koriste u literaturi iz oblasti Teorije maina i mehanizama usaglaavaju se iutvruju u Komisiji za terminologiju IFToMM-a (Internacionalna federacija za teoriju maina i mehanizama).

Broj stepeni slobode kretanja mehanizma predstavlja broj potrebnih koordinata da bi njegov poloaj biojednoznano odreen. Imajui u vidu da mehanizmi imaju jedan nepokretan lan, broj stepeni slobodekretanja moe se formulisati izrazom:

( ) =

=i

z

unbF1

1 (1.8)

gde je n - broj lanova, i - broj zglobova, a u - broj njihovih ogranienja.

Za prostorne mehanizme (svaki lan ima 6 stepena slobode kretanja) se ova relacija u razvijenom obliku moepredstaviti izrazom:

( ) 12345 zz2z3z4z51n6F = (1.9)

gde je: z1 - broj kinematskih parova (zglobova) 1. klase (sa f=5),

z2 - broj kinematskih parova (zglobova) 2. klase (sa f=4),




Prelazom sa prostornih na ravne mehanizme, svaki lan i svaki kinematski par gube po 3 stepena slobodekretanja odakle sledi da svaki lan ravnog mehanizma ima 3 stepena slobode kretanja i obrazuje sasusednim lanovima kinematske parove pete (oduzimaju 2 stepena slobode kretanja) ili etvrte klase(oduzimaju 1 stepen slobode kretanja). Stoga se strukturna formula za odredjivanje broja stepeni sloboderavnih mehanizama moe predstaviti izrazom:

( ) 45 zz21n3F = . (1.10)

Mehanizam e izvoditi jednoznano definisano kretanje ako je broj pogonskih elemenata jednak brojustepeni slobode kretanja.

U praksi se, medutim, javljaju i mehanizmi kod kojih je broj stepeni slobode kretanja jednak nuli ili ak manjiod nule, a koji se ipak kreu. Njihova pokretljivost je uslovljena specifinim dimenzijama lanova mehanizma.

Na slici 1.10. prikazani su primeri mehanizama koji imaju broj stepeni slobode kretanja jednak nuli, ali semogu kretati ako je ispunjen uslov (slika 1.10a):

l1 = l2 = l3 i l1 II l2 II l3 (1.11)

odnosno za drugi mehanizam (slika 1.10b):

l 1 = l2 ; l1 I I l 2 ; lAC =lBD. (1.12)

a) b)Sl.1.10.

Poto duine lanova predstavljaju uslov pokretljivosti, to ovi mehanizmi moraju biti veoma tano izradjeni.


11/122

11

Uoimo jo, da bi mehanizam na slici 1.10.a. mogao da funkcionie i bez jedne krivaje, odnosnomehanizam na slici 1.10.b. i bez jedne spojke, to znai da mehanizam vri definisano kretanje i bez ovihlanova. Ovakvi lanovi mehanizma su sa aspekta funkcije mehanizma suvini, a njihove veze pasivne.Mehanizam prikazan na slici 1.11.a. moe da funkcionie i bez tokia ako lan 2 klizi po ekvidistantikrive brega, na odstojanju jednakom polupreniku tokia (slika 1.11.b). Toki je u ovom sluaju suvianlan i ne treba ga uzimati u obzir pri izraunavanju broja stepeni slobode kretanja i drugih kinematskihveliina. U ovom sluaju, toki se moe smatrati organom, jer ima pomonu funkciju pretvaranja trenja klizanjau trenje kotrljanja.

a) b)

Sl.1.11.

Ukoliko se kod ravnih mehanizama, kod kojih je primenom obrasca za ravne mehanizme dobijeno F=1,primeni obrazac za prostorne mehanizme, dobija se negativan broj stepeni slobode kretanja. Ova razlika jeposledica uslova za izvoenje ravnih mehanizama, koja proizilazi iz definicije ravanskog kretanja (paralelnostosa obrtanja), a koju obrazac za prostorne mehanizme ne podrazumeva; ovakav mehanizam se ne moekretati ukoliko nije obezbedjena paralelnost osa obrtanja. esto se, zbog tekoa dovoljno tanogrealizovanja ove paralelnosti, zglobovi A i B izvode kao sferni, a ne kao to je uobiajeno kod ravnihmehanizama kao cilindrini (slika 1.12).

Sl.1.12. Sl.1.13.

U robotici se ee primenjuju otvoreni kinematski lanci, sa vie stepeni slobode kretanja. Zbog moguepromene strukture ovih mehanizama u toku rada, menja se i broj stepeni slobode kretanja. Broj stepenislobode kretanja hvataa na slici 1.13. kada je bez objekta je F=1, a kada uhvati objekat F=0.


12/122

12

2. ANALIZA POLUNIH MEHANIZAMA

Kinematski lanac sastavljen od rotacionih i prizmatinih parova naziva se poluni mehanizam.

Najjednostavniji ravanski poluni mehanizam je otvoreni kinematski lanac, koji sadri samo jedan kinematskipar i u kome je jedan od lanova nepokretan. Ovakav kinematski par, koji moe biti rotacioni ili prizmatini,predstavlja prema klasifikaciji ruskog naunika Assur-a grupu prve klase (slika 2.1).

PremaAssur-u, svaki poluni mehanizam sa F=1 obrazuje se tako to se pogonskom i nepokretnom lanu

dodaju kinematski lanci koji zadovoljavaju uslov da im je stepen slobode kretanja jednak nuli:

( ) 023213121

=== znzznF p 2

3

1

pnz =

odakle sledi i odredjeni broj kombinacija broja pokretnih lanova (np) i zglobova, koje zadovoljavaju ovajuslov:

np 2 4 6 ...

z1 3 6 9 ...

Po istoj klasifikaciji, grupa druge klase je kinematski par sa dva pokretna lana (dijada), grupa tree klase

je etvorolani kinematski lanac bez zatvorene strukture, a grupa etvrte klase etvorolani kinematskilanac, koji moe imati i zatvorenu strukturu (slika 2.1).

Sl. 2.1.

Grupe druge, tree i etvrte klase, u zavisnosti od zastupljenosti rotacionih i prizmatinih parova, mogu bitirazliitih modifikacija. Na slici 2.2 prikazane su modifikacije grupe druge klase. Grupa prve klase ima jedanstepen slobode kretanja, dok grupe druge, tree i etvrte klase, uz pretpostavku da su slobodni zglobovistalni (nepokretni), imaju broj stepeni slobode kretanja jednak nuli.

Sl. 2.2.

Poluni mehanizmi formiraju se dodavanjem grupa viih klasa grupi prve klase i postolju. Broj stepenislobode kretanja polunog mehanizma jednak je broju grupa prve klase u mehanizmu.

2.1. Poluni etvorougao

Osnovni poluni mehanizam, poluni etvorougao (slika 1.3a), sastoji se od jedne grupe prve i jedne grupedruge klase. Poluni etvorougao ima etiri lana, od kojih je jedan nepokretan, kao i etiri rotaciona zgloba.

Poloaj lanova mehanizma definisan je uglovima , i (slika 2.11). Poluni etvorougao ima jedanstepen slobode kretanja pa je za jednoznano definisanje poloaja svih lanova mehanizma potrebno idovoljno poznavati jednu od koordinata (, ili ), odnosno mehanizam treba da ima jedan pogonski lan. Izprethodnog zakljuka je proistekao i zahtev da bi mehanizam trebalo da ima najmanje jedan lan koji moeda se okrene za pun krug (2).


13/122

13

Karakteristini poloaji polunog etvorougla su unutranji i spoljanji postoljni poloaj (slika 2.3a), kao ispoljanji i unutranji mrtvi poloaj (slika 2.3b).

a)

b)

Sl. 2.3.

Na osnovu ovih karakteristinih poloaja, kao i uslova zatvorenosti kinematskog lanca, izveden je kriterijumGrashof-a koji glasi:

Da bi najmanje jedan lan mehanizma mogao da se okrene za pun krug (2), zbir duina najkraeg inajdueglana mora biti manji od zbira duina preostala dva lana:

( ) =

+4

1

2

iiminmax lll (2.1)

gde su li - duine lanova mehanizma.

Mehanizmi koji ne zadovoljavaju Grashof-ov kriterijum su dvobalansijeri.

U zavisnosti od toga koji je lan mehanizma najkrai, razlikujemo tri osnovna tipa polunih etvorouglova(slika 2.4):

a) jednokrivajni mehanizam (slika 2.4a); najkrai lan a je zglobom vezan za postolje d i moe seokrenuti za pun krug (krivaja), dok je kretanje lana b ogranieno (balansijer);

b) dvobalansijerni mehanizam (slika 2.4b); najkrai lan mehanizma, spojka c, moe se okrenuti za punkrug, dok je kretanje lanova a i b ogranieno (balansijeri).

c) dvokrivajni mehanizam (slika 2.4c); najkrai lan mehanizma je postolje d, a lanovi a i b se mogu

okretati za pun krug (krivaje).

Sl. 2.4.


14/122

14

Iz osnovnih tipova polunog etvorougla mogu se modifikacijom rotacionog u prizmatini par dobiti dvamodifikovana poluna mehanizma - klipni i kulisni mehanizam.

Klipni mehanizam

Kruno voenje take B moe biti realizovano i pomou klizaa i krune voice iji bi centar krivine bila takaB0 (slika 2.5a).

a) b) c)Sl.2.5.

Ako rastojanje BB0

, kruna putanja take B postaje pravolinijska (slika 2.5b), a dobijeni mehanizampredstavlja ekscentrini klipni mehanizam, gde je ekscentrinost (e)rastojanje take A0 od pravca kretanjaklizaa. Za e=0 (slika 2.5c) dobija se centrian klipni mehanizam.

Kulisni mehanizam

Kruno vodjenje take B moe se realizovati i ako je deo spojke krunog oblika (poluprenika 0BB ), kojiprolazi kroz kulisni kamen vezan za taku B0(slika 2.6a). Taka B, vezana za kulisni kamen, uvek je centarkrunice, dakle, kree se po prvobitnoj krunoj putanji.

a) b) c)Sl.2.6.

Ako rastojanje oBB , krunica postaje prava (slika 2.6b), a dobijeni mehanizam je ekscentrini kulisnimehanizam, gde je ekscentricitet (e) rastojanje take A od pravca kulise. Za e=0 (slika 2.6c) dobija secentrian kulisni mehanizam. Mogui oblici kulisnog mehanizma prikazani su na slici 2.7.

Sl.2.7.

Na slian nain moe se od osnovnih tipova polunog etvorougla dobiti vei broj modifikovanih polunihetvorougova (slika 2.8).


15/122

15

Sl.2.8.

2.2. Trenutni pol. Inverzno kretanje

Promena poloaja jednog tela u odnosu na drugo telo naziva se kretanje. Kretanje pokretnog tela u odnosuna nepokretno naziva se apsolutno, a u odnosu na takoe pokretno telo relativno kretanje.

Poloaj tela pri ravanskom kretanju definisan je poloajem dveju taaka, pa se problem ravanskog kretanjakrutog tela svodi na prouavanje ravanskog kretanja tapa.

tap AB moe se iz jednog proizvoljnog poloaja11

BA prevesti u drugi poloaj22

BA obrtanjem oko take

preseka simetrala dui21

AA i21

BB za ugao koji grade pravci ova dva poloaja tapa (slika 2.9a).

Ako umesto konanih rastojanja21

AA i21

BB posmatramo beskonano bliske poloaje, tj. ako se take A1

i A2 odnosno B1 i B2 poklapaju (slika 2.9b), onda se simetrale dui 21AA i 21BB poklapaju s normalamaputanja taaka A i B, a presena taka normala s trenutnim polom P. Ovakvo opte-ravansko kretanjemoe se stoga predstaviti obrtanjem tapa oko trenutnog pola P.

a) b)Sl.2.9.


16/122

16

Ako je trenutni pol nepokretna taka, tap vri rotaciono kretanje, a putanje taaka su kruni lukovi (slika2.10.a). Ukoliko je trenutni pol u beskonanosti, tap se kree translatorno; pri translatornom kretanju tapAB ostaje sve vreme kretanja paralelan samom sebi (slika 2.10.b). Specijalan sluaj translatornog kretanjatapa du sopstvenog pravca naziva se klizanje (slika 2.10.c).

Sl.2.10.

Zglobovi su, po definiciji, trenutni polovi relativnog kretanja susednih lanova, koji nose oznake lanova nakoje se odnose (slika 2.11a), pri emu redosled indeksa nije od znaaja (npr. P12P21). Prema Kennedy-jevoj teoremi, tri pola apsolutnog i relativnog kretanja dvaju lanova (dva apsolutna i njihov relativni pol)

lee na istom pravcu pa se stoga apsolutni trenutni pol 20 lana 2 (spojka) u odnosu na lan 4 tj. 0 (postolje)nalazi u preseku pravaca koji prolaze kroz polove 32-30 i 12-10. Relativni pol 31lanova 1 i 3 nalazi se upreseku pravaca 10-30 i 12-23. Shema, po kojoj se odredjuju poloaji polova, predstavljena je grafom (slika2.11b), u kome su lanovi mehanizma predstavljeni takama, a polovi duima izmeu ovih taaka.

a) b)Sl.2.11.

Pri opte-ravanskom kretanju spojke, sa promenom poloaja taaka A i B i trenutni pol P menja svojpoloaj (slika 2.12a). Geometrijsko mesto promene poloaja pola u nepokretnoj ravni naziva se nepokretnaruleta (kn), a u pokretnoj ravni pokretna ruleta (kp)(slika 2.12b). Za sluaj relativnog kretanja, obe rulete

su pokretne, a taka njihovog dodira je relativni trenutni pol (slika 2.12c).

a) b) c)Sl.2.12.


17/122

17

Za analizu geometrije i kinematike kretanja koristi se koordinatni sistem iji je koordinatni poetak utrenutnom polu P, sa tangentom na rulete (t) kao apscisom, i njihovom normalom (n) kao ordinatom (slika2.13).

a) b)Sl.2.13.

U sluaju da rulete zamene uloge, tj. da nepokretna ruleta postane pokretna i obrnuto, takvo kretanjenazivamo inverznim, a mehanizam kojim se ostvaruje takvo kretanje - kinematski suprotnimmehanizmom. Npr. za krug koji se kotrlja po nepokretnoj pravoj, inverzno kretanje izvodi prava koja se kotrljapo nepokretnom krugu (slika 2.14).

Sl.2.14. Sl.2.15.

Kinematski suprotan polunom etvorouglu je mehanizam kod koga postolje i spojka menjaju uloge (slika2.15) pa je stoga kinematski suprotan jednokrivajnom mehanizmu takoe jednokrivajni mehanizam (slika2.16.a),a kinematski suprotan dvokrivajnom mehanizmu dvobalansijerni mehanizam (slika 2.16.b).

Sl.2.16.


18/122

18

Kulisni mehanizam je kinematski suprotan klipnom mehanizmu (slika 2.17).

Sl.2.17.

2.3. Grafike metode pozicione i analize stanja brzina i ubrzanja

Za pozicionu i analizu stanja brzina i ubrzanja koriste se grafike, analitike i numerike metode. Grafike ianalitike metode razvijene su pre svega za analizu jednostavnijih mehanizama (etvorolanih), ali je njihovaprimena mogua i kod sloenijih mehanizama. Numerike metode su razvijene prvenstveno radi primenekod sloenih polunih mehanizama.

2.3.1. Poziciona analiza. Poloaj pokretne take

Najjednostavniji postupak pozicione analize je grafiki postupak; realizuje se crtanjem kinematske shemeza niz uzastopnih poloaja mehanizma (slika 2.18).

Geometrijsko mesto taaka kroz koje prolazi pokretna taka naziva se putanja ili trajektorija (slika 2.19).Kretanje take definie se oblikom putanje i zakonom puta. Poloaj take u datom trenutku odredjen jenjenim koordinatama A[qi(t)].

Sl.2.18. Sl.2.19.

2.3.2. Dva beskonano bliska poloaja pokretne take

Iz prirode kretanja proizilazi da u dva beskonano bliska trenutka, pokretna taka zauzima dva beskonanobliska poloaja na putanji. Brzina take predstavlja prvi izvod vektora poloaja take po vremenu:

rdt

rd

v&r

rr

== (2.2)

a vektor brzine je odreen:

- intezitetom v = ds/dt,

- pravcem (u pravcu tangente na putanju) i

- smerom (u smeru kretanja take).

Take A1 i A2 (slika 2.20) su dva susedna bliska poloaja take A.Brzina, dakle, definie dva beskonano bliska poloaja pokretne take.Intezitet brzine kod rotacionog kretanja moe biti izraen i kao proizvod

rastojanja = AA 0 i ugaone brzlne :

=v , (2.3)jer je: = dds i

dt

d== & . Sl.2.20.


19/122

19

2.3.3. Grafike metode odredjivanja brzina

Ukoliko je poznata brzina zglobne take A opte-pokretnog lana (spojke) polunog etvorougla A0ABB0(slika 2.21a), za odredjivanje brzine zglobne take B ili bilo koje druge take spojke (C) moe se koristitinekoliko metoda:

a) metod trenutnog pola

a) b) c)Sl.2.21.

Za odredjivanje brzine take A, kao take krivaje (1) koja realizuje obrtno kretanje, moe se koristiti izraz

(2.3):100

= AAvA . Taka A, medjutim, pripada i spojci (2) sa kojom se obre oko trenutnog pola 20 pa

se njena brzina moe izraziti i preko ugaone brzine spojke (20):

20= PAvA . (2.4)

Poto se najpre iz prethodne jednaine odredi ugaona brzina spojke (20), mogu se odrediti i brzine svihostalih taaka spojke, npr. take koja vodi konac na mehanizmu za obrazovanje petlje pri ivenju ivaom

maini (slika 2.21b) ili vodjene take mehanizma za promenu dohvata kod portalno-obrtnih lukih dizalica(slika 2.21c):

20= PBvB ; 20= PCvC . (2.5)

Iz prethodnih jednaina je mogue formirati odnos:

2020==== tg

PC

v

PB

v

PA

v CBA . (2.6)

Vektori brzina svih taaka spojke na pravcu koji prolazi kroz trenutni pol i pokretnu taku zavravaju se napravoj koja spaja vrh brzine pokretne take i pol brzine i koja se esto naziva -linija, a po tome se i celametoda esto naziva i metodom -linije (slika 2.21a).

Isti metod, metod trenutnog pola, moe se realizovati i pomou zaokrenutihbrzina zaokrenutih za 90o (slika 2.22). Pri tome vrhovi zaokrenutih brzinaformiraju trougao (mnogougao) slian trouglu koji formiraju pokretne take(rafirani trouglovi).

Sl.2.22.


20/122

20

b) metod brzina klizanja

Iz uslova da su projekcije brzina pokretnih taaka, na pravce kojedefiniu te take, meusobno jednake (slika 2.23), sledi da je:

KBA vcosvcosv == ; 'KC1A vcosvcosv == ,

pri emu su vK i vK brzine klizanja u pravcu AB , odnosno AC .

Sl.2.23.

c) Euler-ova metoda

Pomeranje spojke iz jednog poloaja u drugi moe se realizovatitranslacijom spojke do novog poloaja take A, a zatim rotacijom takeB oko take A. Odavde sledi da se brzina take B(slika 2.24) moe

izraziti i kao zbir brzine take A ( Av ) i brzine take B oko take A

(A

Bv ):

ABAB vvv

rrr+= . (2.8)

Brzina take B je upravna na tap 0BB , a brzinaA

Bv upravna na

tap AB , pri emu je:

20=ABvA

B . (2.9)Sl.2.24.

Ova metoda se moe primeniti i na zaokrenute brzine (slika 2.25):

ABAB vvv +=

rrr. (2.10)

Sl.2.25.

Stanje brzina moe biti prikazano i planom brzina, kao iplanom zaokrenutih brzina (slika 2.25b). Polazei od

centra O i nanosei najpre Av , a zatim i pravac za Bv kroz O odn. pravac zaABv

rkroz vrh Av , dobijaju

se intenziteti brzina vB iABv , a analognim postupkom i inteziteti brzina vC i

ACv .


21/122

21

Sve navedene metode mogu se primeniti i na klipni mehanizam, pri emu se pravac vektora brzine take Bpoklapa s pravcem kretanja klizaa (slika 2.26a,b i slika 2.27a,b).

Sl.2.26.

Sl.2.27.

Kada se kulisni kamen okree oko take B0, kulisa vri opte-ravansko kretanje, pa se sve navedenemetode mogu primeniti i na kulisni mehanizam (slika 2.28a).

Sl.2.28.

Ukoliko se kulisni kamenokree oko take A, izvodei sloeno kretanje, mora se najpre odreditiprenosna

brzina rap vvv rrr = (slika 2.28b), a zatim, na osnovu nje i -linije, i brzina bilo koje druge take na kulisi (K),koja se okree oko B0.

2.3.4. Prenosna funkcija prvoga reda

Prenosna funkcija prvoga redamoe se grafiki odrediti kao odnos rastojanja pola 31 (H) od pola 10 (A0),odnosno, od pola 30 (B0), prikazanih na slici 2.29c. Kako se relativno kretanje lanova 1 i 3 moepredstaviti kotrIjanjem ruleta k1 i k3, kruto vezanih za lanove 1 i 3 (slika 2.29a,b), relativni pol H31 kaonjihova zajednika dodirna taka ima brzinu (slika 2.29a):

3010== qpvH (2.11)

odakle sledi:

pd

p

q

p

+==

=

10

30 . (2.12)


22/122

22

a) b) c)Sl.2.29.

Na osnovu orijentacije dui p i q moe se odrediti i predznak prenosne funkcije prvoga reda.Ako su p i q istoga predznaka (pol 31 lei van dui 10-30), funkcija je pozitivna (slika 2.30a),ako su p i q razliitog znaka (pol 31 lei izmeu polova 10 i 30), funkcija je negativna (slika 2.30b),a kada je p=0 (pol 1031), funkcija je jednaka nuli (slika 2.30c).

a) b) c)Sl.2.30.

Prenosna funkcija prvoga reda jednokrivajnog mehanizma je promenljivog predznaka (slika 2.31a), dok jeprenosna funkcija prvoga reda dvokrivajnog mehanizma uvek pozitivna (slika 2.31b).

a) b)Sl.2.31.

Prenosna funkcija prvoga reda klipnog mehanizma je:

10

=

=

= Bu

i vv

d

dss . (2.13)

Kako je100

== HAvv HB (slika 2.32), to sledi:

LUHAs = 0 (2.14) (3.42)

gde je UL - razmera u kojoj je nacrtan mehanizam. Prenosnafunkcija u ovom sluaju nije bezdimenziona veliina, jer definie

odnos parametara pravolinijskog i krunog kretanja.

Sl.2.32.


23/122

23

2.3.5. Tri beskonano bliska poloaja pokretne take

Tri beskonano bliska poloaja pokretne take (slika 2.33) definisana su drugim izvodom vektora poloajatake po vremenu odn. ubrzanjem:

2

2

dt

rd

dt

vda

rrr

== . (2.15)

Kako je vektor brzine Tvvrr

= , gde je Tr

ort tangente, ubrzanje e biti:

dt

TdvT

dt

dva

rrr

+= . (2.16)

Imajui u vidu da je:

Nv

NKvKvdt

ds

ds

Td

dt

Td rrrrr

==== , (2.17)

gde je NKr

- vektor krivine krive linije (Kr

), N - ort glavne normale, aSl.2.33. - poluprenik krivine, dobija se konano:

Nv

Tdt

dva

rrr

+=

2

. (2.18)Iz jednaine (2.18) vidi se da ubrzanje ima dve, meusobno normalne komponente: NT aaa

rrr+= (2.19)

- tangencijalnu Tar

u pravcu tangente Tr

i

- normalnu Nar

, usmerenu ka sreditu krivine putanje.

2.3.6. Grafike metode odredjivanja ubrzanja

Ako je poznato stanje brzina (odeljak 2.3.3.) i ubrzanje zglobne take A, moe se odrediti i ubrzanje zglobnetake B ili proizvoljne take C u ravni spojke polunog etvorougla A0ABB0 (slika 2.34).

Sl.2.34. Sl.2.35.

Taka B se kree po krunoj putanji te stoga ima normalnu i tangencijalnu komponentu ubrzanja (2.19):

BTBNB aaarrr

+= . (2.20)

Normalna komponenta ubrzanja take B je usmerena od B ka B0 i ima intenzitet:

BB

vBBa

0

2B2

300BN == (2.21)

dok je tangencijalna komponenta intenziteta:

300 = &BBaBT (2.22)

i upravna je na pravac 0BB .

S druge strane, ubrzanje take B se, Euler-ovom metodom, moe izraziti zbirom:

ABT

ABNA

ABAB aaaaaa

rrrrrr++=+= . (2.23)


24/122

24

Normalna komponenta ubrzanja take B oko A, intenziteta:

( )AB

vABa

ABA

BN

2

2

20== , (2.24)

usmerena je od B ka A.

Kako je stanje brzina poznato, normalne komponente ubrzanja se mogu izraunati izrazima (2.21) i (2.24), ili

odrediti grafikim postupkom, korienjem Tales-ove teoreme (slika 2.35).Reenje jednaina (2.20) i (2.23) dobija se u preseku pravaca tangencijalnih komponenti ubrzanja (slika2.34).

Ubrzanje proizvoljne take C u ravni spojke moe se odrediti na vie naina. Ako je poznato ubrzanje taakaA i B, ubrzanje Ca

rse dobija primenom prethodnog postupka, iz jednaina:

ACT

ACNAC aaaa

rrrr++=

(2.25)BCT

BCNBC aaaa

rrrr++= .

Ako ubrzanje take B nije poznato, onda se najpre mora odrediti ubrzanje take B. Umesto take B moglo

bi se odrediti i ubrzanje take Q koja se poklapa sa trenutnim polom (slika 2.50), a zatim, kao drugajednaina za odredjivanje ubrzanja take C koristiti:

QCT

QCNQC aaaa

rrrr++= . (2.26)

Ako je poznat poloaj trenutnog pola ubrzanja Pa( 0=aPar

), onda se, zbog (2.81), zaodredivanje ubrzanja

Car

kao druga jednaina moe koristiti:

PCT

PCNC aaa

rrr+= . (2.27)

Akoje poznat poloaj trenutnog centra krivine C0 putanje take C (slika 2.62), onda se za odredivanjeubrzanja Ca

rkao druga jednaina moe koristiti:

CTCNC aaarrr

+= . (2.28)

Ubrzanje take B klipnog mehanizma ima samo tangencijalnu komponentu, u pravcu kretanja take B( 0=BNar

), to donekle pojednostavljuje postupak odredjivanja ubrzanja Bar

(slika 2.36).

Sl.2.36.


25/122

25

Kod kulisnog mehanizma sa opte-ravanskim kretanjem kulise (slika 2.37) ubrzanje take C, koja pripadakulisi, a poklapa se sa takom B0, moe se odrediti na osnovu jednaina:

ACT

ACNAC aaaa

rrrr++=

CTCNC aaarrr

+= . (2.29)

Kako taka C lei na povratnom krugu (slika 2.57), centar krivine putanje take C, taka C0, lei na polovini

rastojanja PC .

Sl.2.37.

Kod kulisnog mehanizma sa rotacijom kulise KB0 (slika 2.38a),apsolutno ubrzanje kulisnog kamena imanormalnu i tangencijalnu komponentu, koje se mogu odrediti vektorski i uneti u plan ubrzanja (slika 2.38c).

a) b) c)Sl.2.38.

Prema Coriolis-ovoj teoremi je:

AcorArApA aaaa

rrrr

++= ( ApTApNAp aaa

rrr

+= ), (2.30)

a koriolisovo ubrzanje se moe odrediti analitiki, vektorskim proizvodom:

( )ArpAcor varrr

= 2 (2.31)

a kod ravnog kretanja i grafikim postupkom (slika 2.38b) poto je: == tgAB

v

0

pp , a = tgva ArAcor 2 .

Poto je vrednost Apv poznata (slika 2.38a),moe se odrediti normalna komponenta ubrzanja ApNar

:

AB

va pApN

0

2

= , (2.32)

kao i pravac tangencijalne komponente ApTa

r

( ApTApNAp aaa

rrr

+= ). Unoenjem Acora

r

u plan ubrzanja, tako dazatvori poligon (slika 2.38c), uz poznate pravce za ApTa

r, kao i Ara

r(paralelno kulisi), dolazi se do ubrzanja

Apar

take A kulise, a na osnovu njega i do ubrzanja bilo koje druge take na kulisi (K).

aa

AO

K


26/122

26

Razmere. Fizike veliine se predstavljaju na crteu duima, u razmeri:

- za duinuc

Lcm

cmU =

- za brzinuc

v cm

s/cmU = (2.33)

- za ubrzanjec

a cm

s/cmU

2

= ,

gde indeks c oznaava veliinu na crteu.

Fizika veliina se dobija sa crtea kada se odgovarajua duina pomnoi razmerom:

Lc Ull = ; vc Uvv = ; ac Uaa = . (2.34)

Za konstrukciju normalne komponente ubrzanja vai:

( ) ( )( ) ( )22

22

2

2

v

L

Nv

L

L

v

c

c

N U

U

aU

U

l

v

Ul

U

v

r

v

a c ==== , (2.35)

odakle sledi da je:

( )

L

va

U

UU

2

= . (2.36)

Ovaj uslov e biti ispunjen samo ako se brzina i normalna komponenta ubrzanja take A predstave nacrteu duinom krivaje mehanizma.

2.4. Analitike metode pozicione i analize stanja brzina i ubrzanja

2.4.1. Poziciona analiza

Poloaj lanova mehanizma zavisi od poloaja pogonskih lanova i strukture mehanizama, a definie sejednainom:

0=jif (2.37)

koja proistie iz uslova zatvorenosti kinematskog lanca i u kojoj j predstavlja sve koordinate kojima se

definiu poloaji lanova mehanizma. Generalisane koordinate j obuhvataju dakle:- nezavisno promenljive (pogonske) veliine qk, iji je broj jednak broju stepeni slobode kretanja i

- od njih zavisne veliine i, kojima se definie poloaj ostalih lanova mehanizma.


27/122

27

Analitiki postupak se primenjuje u sluajevima kada se moe postaviti eksplicitna zavisnost izmeukoordinata vodjenih i pogonskih lanova mehanizma:

( ) 0= ki q . (2.38)

Poloaj polunog etvorougla odreen je pogonskim uglom (slika 2.39). Prenosnom funkcijom nultogareda () definie se poloaj lana 3, a funkcijom () poloaj lana 2.Najee primenjivana analitika metoda poloajne analize polunog etvorougla je vektorska metoda.lanovi mehanizma na slici 2.39. predstavljeni su vektorima konstantnog intenziteta (a

r, b

r

, cr

i dr

), dok

intenzitet vektora fr

zavisi od poloaja mehanizma. Poloaj vektora fr

definisan je prenosnom funkcijom(), koja istovremeno predstavlja i prenosnu fukciju ekvivalentnog kulisnog mehanizma (slika 2.6c).Vektorska metoda kinematske analize polunih mehanizama bie opisan u kompleksnoj notaciji, mada seza analizu mogu koristiti i dekartova i matrina notacija.

Sa slike 2.39 sledi:

fadrrr

+= , (2.39)

odnosno:

+= ii efeadr

, (2.40)

odakle se, razvijanjem u obliku:

( ) ( )+++= sinicosfsinicosadr

(2.41)

Sl.2.39. i rastavljanjem naimaginarni i realni deo, dobija sistem jednaina:

+= cosfcosad(2.42)

+= sinfsina0 iz kojegsledi:

f cosadcos = ; f sinains = (2.43)

odnosno:

dcosa

sinagt

= . (2.44)

Korienjem kosinusne teoreme (trougao br

, cr

, fr

)dobija se prenosna funkcija (),iz jednaine:( )

fc

bcfcos

+

=2

222

, (2.45)

gde je += cosdaadf 222 ,

dok se prenosna funkcija () dobija razvijanjem jednaine: += iii ebefec (2.46)

na realni i imaginarni deo, u obliku:

b

sinfsincsin

= . (2.47)


28/122

28

2.4.2. Analitika metoda odreivanja brzina i ubrzanja

Diferenciranjem vektora poloaja take B (slika 2.40):

bdcarBrrrrr

+=+= (2.48)

po vremenu, dobija se:

=+=

iii

B eibeiceiar&&&

&r

, (2.49)

gde je: == &aavA 10

== &ccvAB 20

Sl.2.40. == &bbvB 30 .

Jednaina (2.49) predstavlja analitiku interpretaciju grafike Euler-ove metode (A

BAB vvv += ); proizvod

imaginarne jedinice i i kompleksnog broja z:

+

== 2i

i2i

ezezezi vektorski se moe interpretiratikao zakretanje vektora ekvivalentnog kompleksnom broju z, za ugao /2 u matematiki pozitivnom smeru.

Uporeivanjem realnih i imaginarnih delova leve i desne strane jednaine (2.49), nakon sreivanja, dobija sesistem jednaina:

( ) ( ) =+ sinasinbsinc &&& (2.50)

( ) ( ) =+ cosacosbcosc &&&

ija su reenja:

=

=

oscb-cosc

sinbsinc-

oscb-cosa

sinbsina

&

&

& , (2.51)

=

=

oscb-cosc

sinbsinc-

cosaoscc

sinasinc-

&

&

& , (2.52)

odnosno:

( )( )

==

sin

sin

c

a&&

20

(2.53)

( )( )

==sinsin

ba &&

30.

Brzina zglobne take B se sada moe odrediti relacijom:

30= bvB . (2.54)


29/122

29

Brzina proizvoljne take K u ravni spojke (slika 2.41), iji je poloaj definisan vektorom poloaja Krr

:

+=+= iiK elealarrrr

, (2.55)

odreuje se, nakon diferenciranja prethodnog izraza ( = && ), iz jednaine:

+== iiKK eileiarv &&&rr , (2.56)

to predstavlja analitiku interpretaciju izraza AKAK vvvrrr

+= .

Sl.2.41.

Dvostrukim diferenciranjem vektora poloaja take B ( Brr

) po vremenu, dobija se:

=+== iiiiiiBB ebeibeceiceaeiaar222

&&&&&&&&&r&&r , (2.57)

to predstavlja analitiku interpretaciju izraza:

BNBTABN

ABTANAT

ABAB aaaaaaaaa

rrrrrrrrr+=+++=+= . (2.58)

Uporeivanjem realnih i imaginarnih delova leve i desne strane jednaine (2.57), nakon sredjivanja, dobija

se:

( ) ( ) Acosbcosccosasinasinbsinc =++=+ 222 &&&&&&&&& (2.59)

( ) ( ) Bsinbsincsinacosacosbcosc =++=+ 222 &&&&&&&&& .

Reenja ovog sistema jednaina su ugaona ubrzanja lanova 2 i 3:

( )+

===sin

sinBcosA

c

12020

&&&

(2.60)

( )

+===

sin

sinBcosA

b

13030

&&& .

Ubrzanje proizvoljne take K u ravni spojke odreuje se dvostrukim diferenciranjem jednaine (2.55):

( ) ( ) += iiK eileiaa 22 &&&&&&r

, (2.61)

to predstavlja analitiku interpretaciju grafike metode za odreivanje ubrzanja.

Da bi se vektori, koji predstavljaju reenje prethodne jednaine, mogli uneti u odgovarajuoj razmeri nakinematsku shemu mehanizma, potrebno je prethodno odrediti intenzitete vektora i uglove I koje onizaklapaju sa pozitivnim smerom x-ose:

22

ImReiii aaa += ;

Im

Re

i

ii

a

atgarc= (2.62)

pri emu su aRe i aIm realni i imaginarni delovi ubrzanja odgovarajuih taaka.


30/122

30

Kod klipnog mehanizma (slika 2.42) vektor poloaja take B moe se formulisati jednainom:

bisecear iiB +=+=r , (2.63)

odakle se diferenciranjem po vremenu dobija izraz za brzinu take B:

Bii

B vseiceiarr

&&&&r ==+= , (2.64)

Dvostrukim diferenciranjem vektora poloaja take B po vremenu dobija se izraz za ubrzanje take B:B

iiiiB asececeaeiar

r&&&&&&&&

&&r ==+= 22 , (2.65)

to se svodi na poznati izraz, korien kod grafikih metoda:

ABN

ABTANATB aaaaa

rrrrr+++= . (2.66)

Sl.2.42. Sl.2.43.

Na slian nain se kod kulisnog mehanizma (slika 2.43) mogu formulisati izrazi za vektor poloaja i brzinutake A:

+== iiA ebdiearr

, (2.67)

+== iiiA

eibebeiar &&&&r

(2.68)

odnosno:

ApArAa vvvrrr

+= .

Dvostrukim diferenciranjem vektora poloaja po vremenu dobija se:

( ) ( ) ++= iiA eibbebbr &&&&&&&&&r

22 , (2.69)

odnosno:

corpTpNrcorrpTpN AAAAAAAAAaaaaaaaaarrrrrrrrr

+++=+++= , (2.70)

jer se pored uobiajenih komponenti ubrzanja, javlja i Coriolis-ovo ubrzanje, upravno na pravac kulise ( br

):

pArAcor vba == 22 && . (2.71)


31/122

31

2.5. Korienje programskih paketa za kinematsku analizu mehanizama

Za kinematsku analizu mehanizama mogu se koristiti i specijalizovani programski paketi za modeliranjekretanja krutih tela. Na slici 2.44. prikazan je model centrinog klipnog mehanizma, dimenzija a = 4 cm ic = 16 cm, u programskom paketu WORKING MODEL 2D, kao i njime dobijeni dijagrami poloaja, brzine iubrzanja klizaa za ugaonu brzinu pogonske krivaje 10=8,4 s

-1=const.

Sl.2.44.

2.6. Merni postupak odreivanja poloaja, brzina i ubrzanja lanova realnih mehanizama

Poloaji, brzine i ubrzanja lanova realnih mehanizma mogu se odrediti i odgovarajuim mernim uredjajima.

Na narednoj fotografiji prikazan je realni klipni mehanizam, dimenzija a = 4 cm i c = 16 cm, za iji kliza jekruto vezan odgovarajui dava puta koji odredjuje poloaje klizaa.

Sl.2.45.

Ucrtavanjem vie sukcesivnih poloaja klizaa sB(t) dobijen je dijagram promene poloaja klizaa (slika2.46):


32/122

32

sB [mm]

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109

Sl.2.46.

Iz prethodnog dijagrama se softverskim diferenciranjem moe dobiti i dijagram promene brzine klizaa vB(t):

vB [m/s]

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,10,2

0,3

0,4

0,5

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109

Sl.2.47.

a narednim diferenciranjem i dijagram promene ubrzanja klizaa aB(t):

aB [m/s2]

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 7 13 19 25 31 37 43 4 9 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109

Sl.2.48.

Vrednosti ubrzanja klizaa mogu se i direktno izmeriti, korienjem davaa ubrzanja:

aB [m/s2]

15

10

-5

0

5

10

15

1 7 13 19 25 31 3 7 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109

Sl.2.49.

Ovaj dijagram odstupa od prethodnog dijagrama, dobijenog dvostrukim diferenciranjem zakona puta, zboguticaja zazor u zglobovima.


33/122

33

2.7. Kinematika kretanja kroz tri beskonano bliska poloaja

2.7.1. Bresse-ovi krugovi

Posmatrajmo ubrzanje take A, iji je poloaj definisan polarnim koordinatama (r,) u koordinatnom sistemutPn (slika 2.50b).

a) b)Sl.2.50.

Ako je poznato ubrzanje neke take A pokretne ravni (slika 2.50a), onda se ubrzanje bilo koje take B uravni moe odrediti kao zbir ubrzanja take A i ubrzanja take B oko take A, prema Euler-ovom obrascu:

ABAB aaa

rrr+= . (2.72)

Neka je poznato ubrzanje neke take Q pokretne ravni (slika 2.50b), koja se u datom trenutku poklapa satrenutnim polom P. Ubrzanje take A se u tom sluaju moe izraziti relacijom:

QAQA aaa

rrr+= . (2.73)

Ubrzanje take Q, u optem sluaju, ima normalnu i tangencijalnu komponentu. Kako se taka Q, uposmatranom trenutku, poklapa sa polom P, njena brzina je jednaka nuli, a samim tim je i normalnakomponenta ubrzanja jednaka nuli (2.18).

Taka P je povratna taka putanje take Q, a tangenta na putanju take Q (u ovom trenutku) poklapa sesa normalom ruleta (slika 2.50b).

Ubrzanje take A oko take QP ima normalnu komponentu usmerenu od take A prema taki Q itangencijalnu komponentu, upravnu na pravac AP , iji je smer odredjen smerom ugaonog ubrzanja & .Njihovi intenziteti su:

22 == rPAaQAN

(2.74)

== && rPAaQAT

.

Za analizu kretanja take A pogodnije je poznavati normalnu i tangencijalnu komponentu ubrzanja ove take.Normalna komponenta ubrzanja take A je u pravcu PA , poto centar krivine putanje take A, taka A0,

lei na pravcu PA (slika 2.50a),pa je:

== sinarsinaaa QQQANAN

2 . (2.75)

Ukoliko se taka A u posmatranom trenutku kree pravolinijski, normalna komponenta ubrzanja je jednakanuli, pa se iz prethodne jednaine dobija:

02 = sinar Q , (2.76)

odnosno,

== sindsin

a

r WQ2 . (2.77)

Odnos2Qa ima dimenziju duine, a jednaina (2.77), geometrijsko mesto taaka koje nemaju normalnu


34/122

34

komponentu ubrzanja, predstavlja jednainu kruga, prenika2

= Qwa

d (slika 2.51). Centar ovoga kruga lei

na normali, a krug prolazi kroz koordinatni poetak P. Take koje lee na ovom krugu opisuju prevoj tj. imajupravolinijsku putanju u najmanje tri beskonano bliska poloaja, pa se ovaj krug naziva prevojni krug (kw).Sve take koje lee na prevojnom krugu obeleavamo indeksom w.Taka preseka normale (n) i prevojnogkruga (kW) naziva se prevojni pol (W).

Analizom kretanja pokretne take kroz etiri beskonano bliska poloaja ustanovljeno je da jedna od taakaprevojnog kruga realizuje pravolinijsku putanju u najmanje etiri beskonano bliskapoloaja, a poznata je pod imenom Ball-ova taka ili taka undulacije (UB). Zastacionarnu vrednost prenika prevojnog kruga (dw=const.) Ball-ova taka se poklapasa prevojnim polom (BW).

Na slici 2.51. prikazana je i promena oblika putanje u zavisnosti od poloaja take u pokretnoj ravni.

Sl.2.51. Sl.2.52.

Na slici 2.52. prikazana je skica i kinematska shema mehanizma motora SUS, iji je broj stepeni slobodekretanja jednak nuli, a mehanizam je pokretljiv samo zahvaljujui pravolinjskom (horizontalnom) pomeranjutake C (lei na prevojnom krugu lana 4) koje omoguuje translatorno pomeranje (klizanje) lana 5.

Tangencijalna komponenta ubrzanja take A upravna je na pravac PA (slika 2.50b),pa je:

=== cosarcosaaPAa QQQATAT

&& . (2.78)

Za sluaj kada je 0=ATa dobija se:

=

= cosdcosa

r gQ

g&

. (2.79)

Odnos&Qa ima dimenziju duine, a jednaina (2.79), geometrijsko mesto taaka koje nemaju tangencijalnu

komponentu ubrzanja, predstavlja jednainu kruga, prenika

=&

Qg

ad (slika 2.53). Centar kruga se nalazi na

pozitivnom ili negativnom delu tangente, to zavisi od smera ugaonogubrzanja & , a krug prolazi kroz koordinatni poetak (P). Brzine taaka kojelee na ovom krugu dostiu u tom trenutku ekstremum, odnosno prelaze izreima rasta u reim opadanja i obrnuto, pa se ovaj krug naziva prelaznikrug (kg). Taka preseka tangente (t) i prelaznog kruga (kg) naziva seprelazni pol (G).

Sl.2.53.


35/122

35

Prelazni i prevojni krug (kw i kg) seku se u takama P i Pa (slika 2.54). Taka Paje pol ubrzanja,kojinema ubrzanje, dok je taka PQ singularna taka, poto, kao to je na slici 2.50. pokazano, ona imaubrzanje (aQ).

Sl.2.54.

Posmatrajmo ubrzanje take A u odnosu na taku Pa:

aa

a

PAT

PANPA aaaa

rrrr++= . (2.80)

Kako je 0=aP

ar

, sledi:

aa PAT

PANA aaa

rrr+= (2.81)

gde je: 2aPAN APaa = i = &aPAT APa

a ,

odakle se dobija:

24 += &aA APa . (2.82)

Ugao koji ubrzanje Aar

zaklapa sa potegom aAP odreujemo iz odnosa:

2

==

&

a

a

PAN

PAT

a

atg . (2.83)

Kako ugao ne zavisi od poloaja take (r,), to je i ugao izmeu potega WPa i ubrzanja war , potegaGPa i ubrzanja Ga

r, kao i potega QPa i ubrzanja Qa

r, takoe . Sa slike 2.54. sledi i odnos:

2

==

&tg

d

d

g

w . (2.84)

Prevojni krug (kw) i prelazni krug (kg) po svome autoru nose naziv Bresse-ovi krugovi.


36/122

36

2.7.2. Euler-Savary-jeva jednaina

Neka u poloaju (1) mehanizma taka A1 (slika 2.55) i centar krivine njene putanje (A0) lee na pravoj koja

sa tangentom zaklapa ugao . Ako je rastojanje rAP =11

i o01 rAP = , onda je poluprenik krivine take A:

rr =0

. (2.85)

a) b)

Sl.2.55.

Taka A1, okretanjem za mali ugao d oko take A0 (slika 2.55b), prelazi u beskonano bliski poloaj A2;novi poloaj trenutnog pola (P2) lei na pravoj kroz A2 i A0(slika 2.55a). Polovi P1 i P2 su beskonanobliski (na nepokretnoj ruleti), pa se moe rei da pol P2 lei na tangenti ruleta. Kao to se sa slike 2.55.b.vidi, taka A1 moe dospeti u poloaj A2 i zaokretanjem oko pola P1 (za ugao d). Iz trougla P1P2A0 sledi:

( )( )+=

dsin

r

dsin

dp 0 (2.86)

odnosno, kako je sin d d i ( )( ) + sindsin :

=

sin

r

d

dp 0 . (2.87)

Sa druge strane je:

== drdAA21

, (2.88)

pa smenom veliina iz jednaina (2.85) i (2.88) u jednainu (2.87) sledi:

=

=

sindp

dr

sindp

d

r0

1

==

=

sindp

d

rrrr

rr

rr00

0

0

11

odnosno:

=sindp

d

rr0

11. (2.89)

Zamenom ' = d/dp u jednaini (2.89) dobija se:

=

sinrr0

11. (2.90)

U sluaju da se centar krivine nalazi u beskonanosti (ro), tj. da se taka kree pravolinijski, jednaina(2.90) bi trebalo da predje u jednainu prevojnog kruga. Uporedivanjem jednaina (2.90) i (2.76) dobija se:

=

=

d

dpdw

1, (2.91)

pa se konano moe napisati jednaina:


37/122

37

=

sindrr wo

111(2.92)

koja se prema autorima naziva Euler-Savary-jeva jednaina.

Iz jednaine (2.91) neposredno sledi:

=

=u

dt

ddt

dp

dw (2.93)

gde u predstavlja brzinu promene poloaja trenutnog pola, a ugaonu brzinu.Specijalni sluajevi Euler-Savary-jeve jednaine javljaju se kada je:

a) ro : centar krivine je u beskonanosti, poluprenik krivine , taka se u datom trenutku kreepravolinijski, a Euler-Savary-jeva jednaina dobija oblik:

Sl.2.56.

b) r : taka lei u beskonanosti. Iz Euler-Savary-jeve jednaine sledi:

= sindr Wo . (2.96)

Centar krivine putanje take (u beskonanosti) lei na krugu prenika

dw, iji je centar na negativnom delu normale, a koji prolazi krozkoordinatni poetak i naziva se povratni krug (kr).

Povratni krug (kr)je simetrian prevojnom krugu (kw) i u sluajuinverznog kretanja on postaje prevojni krug. Povratni krug je dakleprevojni krug kinematski suprotnog mehanizma.

Sl.2.57.

d) r= 0 : taka se poklapa sa trenutnim polom P. Iz Euler-Savary-jeve jednaine, smenom: = sindr Ww

i rr =0

, dobija se:w

w

w0 rr

rr

r

1

r

1

r

1

==

rr

rrrr

w

w0

==+

rr

r

w =

2

(2.97)

odakle sledi da je za r=0 i =0, to znai da sve take koje se poklapaju datrenutnim polom P u tom trenutku opisuju putanju poluprenika krivine =0.Sl.2.58.

= sindr W . (2.94)

Dobija se dakle jednaina prevojnog kruga (kw). Napomenimo jo, daje brzina prevojnog pola = ww dv , odnosno, kako sledi iz jednaine(2.93), brzina prevojnog pola jednaka je brzini promene poloajatrenutnog pola:

== ww dvu . (2.95)


38/122

38

d) = 0 : taka lei na tangenti, pa kako je rw=0, iz (2.97) sledi da je = -r to znai da sve take kojelee na tangenti opisuju kruni luk iji se centar poklapa sa trenutnim polom P.

Sl.2.59.

2.7.3. Tangenta na rulete i centar krivine

Kako taka, centar krivine njene putanje i pol (P) lee na polnom pravcu, to se trenutni pol moe odrediti ako

su poznate dve take (A i B) i centri krivina njihovih putanja (A0 i B0), u preseku pravaca 0AA i 0BB .

Sl.2.60.

Zatim se pravci PH i 0PB (slika 2.61) usvoje za koordinatne ose i kosouglog koordinatnog sistemaP.Jednaina prave koja prolazi kroz take A0 i B0 moe se u tom koordinatnom sistemu napisati uobliku:

1

0

=

+

PBPH. (2.98)

Sl.2.61.

Tekue koordinate take A0 (=PU i = 0UA ) mogu se na osnovu odnosa koji vae u trouglu A0PU:

( )

=

=

+ sinsinsinPA 0

(2.99)

izraziti kao:

( )+

=sin

sinPA0

( )+

=sin

sinPA0 . (2.100)

Uoimo i taku HAB (slika 2.60), koja se dobija u preseku pravaca

AB i 00BA . Dok taka P vai za celu ravan spojke (sve take u

njoj), poloaj take H zavisi od poloaja odgovarajueg para

pokretnih taaka. Pol H je kolinearni pol, a pravac PH predstavljaosu kolineacije.

Polazei od ovih odnosa, moe se odrediti tangenta na rulete bez

konstruisanja samih ruleta, kao i centar krivine putanje bilo kojetake u pokretnoj ravni. Prema ovom postupku, konstrukcijatangente se moe sprovesti tako to se najpre pronadju take P iH, pomou taaka A, A0, B i B0.


39/122

39

Unoenjem vrednosti za i i daljim reavanjem jednaine (2.98) sledi:( )

+

=

0PB

sin

PA

sin

sinPH 0

11. (2.101)

Analogno, za pravu kroz B i A (slika 2.61), dobija se:

( )

+

= PB

sin

PA

sin

sinPH

11

(2.102)

odakle sledi:

( ) ( )PB

sin

PA

sin

PB

sin

PA

sin

0

+=

+

0

. (2.103)

Kako je PA = rA ; PB = rB ; oPA = r Ao ; oPB = r Bo , sledi, nakon sreivanja jednaine (2.103):

( )

=+

sin

rrsin

rr BBAA 00

1111, (2.104)

odnosno, u optem sluaju:

Cconst.sinrr

==

0

11, (2.105)

ili

=

sin

C

rr0

11. (2.106)

Ova jednaina moe predstavljati Euler-Savary-jevu jednainu kada bi na desnoj strani bio izraz C=1/dw iako bi se ugao () merio od pravca tangente na rulete.

Ovaj uslov je ispunjen kada tangenta (t) zaklapa ugao sa pravcem 0PB , odnosno ugao (+) sapravcem 0PA , kako pokazuje slika 2.61.

Konstrukcija centra krivine putanje take (npr. take Cpokretne ravni) sprovodi se tako to se najpre odrede takeP i HAB,naosnovu poznatih taaka A0, A, B i B0 (slika2.62).

Tangenta na rulete u taki P zaklapa sa jednim polnimpravcem isti ugao koji, orijentisan u suprotnom smeru, osakolineacije zaklapa sa drugim polnim pravcem.

Taka C0 mora leati na pravcu PC . Taka HCB se nalazi u

preseku pravca BC i pravca koji zaklapa ugao sapravcem PC. Spajanjem taaka HCB i B0, u preseku sa

Sl.2.62. pravcem PC , dolazi se do centra krivine C0.

Konstrukcija tangente i centra krivine poznata je kao Bobillier-ova konstrukcija.

2.7.4. Raspored taaka P-A-A0-Aw

Poloaj take Aw, take na prevojnom krugu (kw), na pravcu P-A-A0 zavisi od poloaja ovih taaka.Uvoenjem smene rrx w = u jednainu (2.97) dobija se:

2rx = . (2.107)

Grafiko reenje ove jednaine (

2

0 PAAAAA w = ) moe se nai uz pomo Tales-ove teoreme (slika2.63.a,b) ili konstrukcijom prikazanom na slici 2.63.c. Konstrukcija sa slike 2.63.a. koristi se kada je r < ,a konstrukcija sa slike 2.63.b. kada je r > . Konstrukcija sa slike 2.63.c. koristi se u oba sluaja.


40/122


41/122

41

Sl.2.65. Sl.2.66.

2.7.6. Ekstremum prenosne funkcije prvoga reda

Poloaj mehanizma u kome prenosna funkcija prvoga reda ima ekstremum dobija se iz uslova:

( )0

2=

+=

=

pd

dpdd

(2.110)

odakle sledi da prenosna funkcija prvoga reda dostie ekstremum (max) u trenutku kada je 0=

=d

dpp .

Tangenta na rulete k1 i k3 dobija se nanoenjem ugla r (koji osa kolineacije zaklapa sa pravcem spojke)na pravac postolja, ali u suprotnom smeru (slika 2.67).Za mali prirataj pogonskog ugla dr taka H31prei e u poloaj H1 (na tangenti tr);umesto zaokretanja krivaje za ugao dr, zaokrenuli smo postolje usuprotnom smeru za isti ugao. Kako je NAHAp 00 = , a rdpHN = i dpNH1 sledi:

( )

p

p

dp

dp

HN

NHctgdctg

r

1rrr

=

===+ (2.111)

Sl.2.67. Sl.2.68.

Iz prethodne jednaine sledi da prenosna funkcija prvoga reda ima ekstremum kada je 0ctg r = , odnosno,kada spojka i osa kolineacije grade prav ugao (slika 2.68).


42/122

42

2.8. Putanje taaka spojke. Teorema Roberts-ebieva

Take koje lee u ravni spojke polunog etvorougla opisuju zatvorene putanje, iji oblik zavisi od poloajatake u ravni (slika 2.69).

Sl.2.69. Sl.2.70.

U optem sluaju, putanje taaka spojke polunog etvorougla su tricirkularne krive estoga reda, putanjetaaka spojke klipnog mehanizma su krive etvrtog reda, a kod mehanizma sa dva klizaa (slika 2.70)putanje svih taaka su elipse.

Teorema Roberts-ebiev-a govori o mogunostima za viestruku realizaciju putanja taaka spojkepolunih mehanizama. Za realizaciju putanje bilo koje take spojke nekog polunog etvorougla mogu seformirati jo dva nova poluna etvorougla.

Poloaj take K u ravni spojke polaznog mehanizma A0ABB0 definisan je trouglom AKB (slika 2.71).

Formirajmo paralelograme A0AKA1 i B0BKA2, a zatim, iznad dui A1K i A2K, trouglove A1KB1 i A2KB2,sline trouglu AKB, i konano, paralelogram B1KB2C0. Ako se dokae da je taka C0 nepokretna, tadazaista postoje dva nova etvorougla A0A1B1C0 i B0A2B2C0 ije take K opisuju istu putanju kao i taka Kpolaznog etvorougla. Dokaz teoreme se dakle moe svesti na dokaz da poloaj take C0 ne zavisi odpoloaja polaznog mehanizma.

Pri dokazu prethodne tvrdnje polazi se od definisanja poloaja take C0 vektorom 00CA , kao zbirom

konturnih vektora:

11100bcaCArrr

++= , (2.72)

a) b)Sl.2.71.


43/122

43

odnosno:

( ) ( ) ( )+++ ++= iii ebeceaCA11100

(2.73)

gde je a1= m, a iz slinosti trouglova sledi da je:

c

m

m

c=

1

1 ;c

m

n

m=

2

2 (2.74)

odnosno:

ac

mc =1

; bc

mb =1

(2.75)

jer je: n2=b , m2 = b1 i m1 = a.

Smenom vrednosti za a1, b1 i c1 u (2.73) dobija se, posle sredjivanja (c

cmma ==

1):

( ) ++= iiii ebeceaec

mCA

00. (2.76)

Kako je:.constebecead iii =++=

r

, (2.77)

sledi da je:

.constedc

mCA i00 ==

(2.78)

Analognim postupkom se dobija:

.constedc

nCB i ==

00, (2.79)

na osnovu ega se moe zakljuiti da je:

A0B0C0 ABK . (2.80)

Primenom teoreme Roberts-ebiev-a na klipni mehanizam (slika 2.72) dolazi se do zakljuka da je zarealizaciju putanje bilo koje take spojke klipnog mehanizma mogue formirati jo jedan novi klipnimehanizam (drugi mehanizam koji se dobija opisanom konstrukcijom je bekonano velikih dimenzija).

Sl.2.72.

Da bi se odredio pravac klizanja zgloba B1 novog klipnog mehanizma A0A1B1, odnosno njegov centar

krivine C0, bez traenja drugog mehanizma, dovoljno je iskoristiti posledicu konstrukcije prikazane na slici2.72, da je ovaj pravac klizanja pod uglom u odnosu na pravac klizanja polaznog mehanizma.


44/122

44

3. SINTEZA POLUNIH MEHANIZAMA

Oblast sinteze mehanizama bavi se kreiranjem novih reenja mehanizama za realizovanje odgovarajuihtehnolokih procesa, pretvaranjem koncepta kretanja u mehanizam i mainu.

Tipini zahtevi koje sintezom mehanizama treba realizovati su:

- vodjenje nekog tela kroz odredjeni broj zadatih poloaja,- vodjenje neke take du zadate putanje ili kroz odredjeni broj zadatih poloaja i

- realizovanje zadate funkcionalne zavisnosti pomeranja vodjenog lana od pomeranja pogonskog lanamehanizma (mehanizmi za prenos).

tako da razlikujemo sintezu mahanizama za voenje i sintezu mehanizama za prenos, mada, ponekad, ovedve funkcije mehanizma nisu deljive.

Postupak sinteze mehanizama sastoji se iz:

a) strukturne sinteze - izbora ili sinteze:

- tipa mehanizma (poluni, bregasti, planetni) i

- strukture mehanizma (broj lanova, niih i viih kinematskih parova, kinematska ema) i

b) dimenzione sinteze - odredjivanje vrednosti dimenzija lanova mehanizma (duina i uglova) kojima bi senajpriblinije mogao realizovati postavljeni zadatak sinteze.

Sintezom se esto ne moe doi do reenja mehanizma koje zadatu funkcionalnu zavisnost (slika 3.1.b)odn. putanju (slika 3.1.a) realizuje egzaktno ve samo do reenja koje u odredjenom broju diskretnihpoloaja realizuje tane vrednosti zadate funkcionalne zavisnosti odn. putanje; ovi poloaji se uobiajenonazivaju tanim poloajima. Drugim reima, zadata i realizovana funkcija odn. putanja, poklapaju se samo upojedinim takama. Ogranien je broj problema za koje egzistiraju egzaktna reenja sinteze (realizovanjepravolinijske putanje, putanj oblika konusnih preseka i nekih krivih vieg reda uproenih karakteristika) zarazliku od pribline sinteze kojom se moe realizovati, na odredjenom intervalu, skoro svaka funkcionalnazavisnost odn. putanja.

a) b)Sl.3.1.

Za reavanje problema sinteze mehanizama razvijene su najpre grafike metode, zbog nelinearnosti

problema koje je trebalo reavati.Zatim su razvijene analitike metode; teilo se dobijanju reenj u zatvorenom obliku, poto ona nude velikemogunosti analize dobijenih reenja, pa su stoga reavani pre svega problemi sinteze mehanizama samanjim brojem lanova i manjim brojem zadatih tanih poloaja.

Razvoj raunarske tehnike i neposredni tehnoloki problemi ohrabrili su poetkom 60-tih godina prologaveka, posebno u USA, razvoj numerikih postupaka sinteze koji su potisnuli grafike metode (pojedinenumerike i analitike metode su razvijene i na osnovu grafikih konstrukcija). Primenom raunara u procesusinteze eliminisani su nedostaci grafikih postupaka, vezani za tanost i brzinu dobijanja reenja, zadatkesinteze mogue je reavati u veem broju tanih poloaja, reeni su zadaci koji bi za grafiku sintezu bilisuvie komplikovani, ali je uvodjenje numerikih metoda donelo probleme druge vrste od kojih neki ni dodanas nisu kvalitetno reeni (osnovnu tekou numerikih postupaka predstavlja izbor dovoljno dobrogpoetnog reenja ovih iterativnih postupaka). Nedostaci analitikih postupaka sinteze mehanizama doveli su

do razvoja tzv. optimalne sinteze mehanizama (nelinearno programiranje).

U narednim odeljcima bie prikazane osnovne metode sinteze, razvijene do tri poloaja, ime se stvaraosnova za dalje prouavanje ove problematike.


45/122

45

3.1. Sinteza mehanizama za vodjenje

Mehanizmi za voenje imaju zadatak da neko telo (npr. haubu automobila na slici 3.2a), ili taku (slika2.69a), provedu kroz zadate poloaje. Neka je poloaj pokretnog tela pri ravnom kretanju definisanpoloajem dveju taaka ovog tela (C i D), koje se, u optem sluaju, ne poklapaju sa zglobovima kojima jeovo telo vezano za ostale lanove mehanizma (prikazani u krugu na slici 3.2a). Take Cj (C1, C2,... Cn) i Dj(D1, D2,... Dn) su homologne take i predstavljaju sukcesivne poloaje take C odn. D. Ugao izmeu dva

sukcesivna poloaja pokretne ravni (slika 3.2b) je ugao izmeu dva susedna poloaja tapa CD (j,j+1).

a) b)Sl.3.2.

tap CD (slika 3.2b) moe iz poloaja CjDj prei u poloaj Cj+1Dj+1 na dva naina:

- rotacijom tapa (ravni) za ugao j,j+1, a zatim paralelnim pomeranjem do poloaja Cj+1Dj+1 ili- rotacijom tapa (ravni) oko pola Pj,j+1 za ugao j,j+1; pol se nalazi u preseku simetrala dui 1jjCC + (cj,j+1)

i1jj

DD+

(d j,,j+1).

Uoimo jo, da je j,j+1 + j+1,j= 2.Dva poloaja pokretne ravni

Ukoliko elimo da ovu ravan vodimo spojkom polunog etvorougla (slika 3.3a,b), a poloaj ravni je zadatpoloajem zglobnih taaka spojke (A i B na slici 3.3a) u dva homologna poloaja (slika 3.3c), putanje

taaka A i B su krunice sa centrom u A0, odnosno B0. Simetrala dui 21AA (a12) je geometrijsko mesto

taaka A0, a simetrala dui 21BB (b12) geometrijsko mesto taaka B0 to znai da postoji bezbroj reenja.

Postojanje velikog broja reenja prua mogunost za postavljanje dodatnih kinematskih, dinamikih ikonstruktivnih uslova. U sluaju A0B0P12 dobija se trivijalno reenje, kada mehanizam ne postoji, azadatak voenja se obavlja rotacijom trougla ABP12 oko pola P12.

a) b) c)Sl.3.3.


46/122

46

U optem sluaju, kada je poloaj ravni zadat proizvoljnimhomolognim takama Cj i Dj, gde je j=1,2 (slika 3.2a),mogue je dodatno zadati zglobne take spojke (A i B),odnosno take postolja (A0 i B0). Ako su zadate take Ai B0 (slika 3.4), tada je geometrijsko mesto taaka A0simetrala a12, a geometrijsko mesto taaka B1, odnosno B2su kraci ugla 12, ija je simetrala b12, a teme P12.

Sl.3.4.

Tri poloaja pokretne ravni

Pokretna ravan zadata je parom taaka u tri homologna poloaja. Ukoliko su odabrane take (A,B) zglobne

take, njihove putanje su krunice oko A0 odnosno B0. Taka A0 nalazi se u preseku simetrala a12, a13 ia23, a taka B0 u preseku simetrala b12, b13 i b23 (slika 3.5).

Sl.3.5. Sl.3.6.

U optem sluaju, poloaj pokretne ravni je definisan proizvoljnim takama Cj i Dj, gde je j=1,2,3. U

preseku simetrala cjk i djk (jk,k=1,2,3) nalazese polovi Pjk. Relativni poloaji pokretne ravni definisani supolovima P12, P13 i P23 koji ine trougao polova (slika 3.6). Postupak sinteze se nadalje provodirazmatranjem kretanja pokretne ravni u odnosu na trougao polova (slika 3.7).

Taka koja se poklapa sa polom P23 pripada poloaju 2 i 3pokretne ravni. Poloaj te take, kada se ravan nalazi upoloaju 1, dobija se njenim okretanjem oko polova P12 i P13,odnosno, preslikavanjem take P23 dobija se taka P'23; takeP23 i P'23 su simetrine u odnosu na osu 1. Ose (stranicetrougla polova) nose oznaku ponovljenog indeksa temena.

Homologne take A2 i A3, za proizvoljno odabranu zglobnutaku A1, dobijaju se preslikavanjem oko ose 1, a zatim okoose 2, odn. ose 3. U preseku krunica, iji su centri temena

trougla polova, nalazi se osnovna taka A123. Take A1 i A2su homologne take, jer je:

23212231231223112 PAPPAPPAP , (3.1) Sl.3.7.


47/122

47

odnosno, ponovnim preslikavanjem take P'23 oko ose 1, odredjen je poloaj homologne take A2. Na sliannain moe se dokazati da je i taka A3 homologna taka.

Ugao 212112 APA= (slika 3.8) moe se izraziti kao:

+= 2212 , (3.2)

odakle sledi da je ugao:

212

12 =+= , (3.3)

odn.2jk

jk

= . (3.4)

Leina taka A0 nalazi se u preseku simetrala ajk, koje su istovremeno i simetrale uglova jk, pa je:=

=

212 , (3.5)

odnosno:

ikik = . (3.6)

Na slici 3.9 prikazan je postupak odredjivanja poloaja take A123 i homolognih taaka Aj, ako je zadataleina taka A0. Sprovoenjem istog postupka za taku B0 dobija se traeni poluni etvorougao.

Sl.3.8. Sl.3.9.

Specijalni sluajevi se javljaju izborom specifinih poloaja zglobne take A0:

a) A0 Pjk ; zbog jk = 0, suprotna stranica trougla polova je geometrijsko mesto osnovne i jedne od

homolognih taaka (slika 3.10a);b) A0 lei na stranici trougla polova; zbog jk = 0, osnovna i dve homologne take (slika 3.10b) poklapaju

se sa polom koji se ne nalazi na ovoj stranici;


48/122

48

c) A0 ; homologne take Aj lee na pravoj, a taka A123 dobija se prethodno opisanim postupkom(prenoenjem ugla jk=jk). Kako se du 13123PA vidi pod istim uglom iz temen trougla P12 i P23 ,to je geometrijsko mesto taaka A123 krunica opisana oko trougla polova u123(slika 3.10c).

Geometrijska mesta homolognih taaka (Aj) su krunice u1, u2 i u3, dobijene preslikavanjem krunice u123u odnosu na odgovarajue ose, kao to je prikazano na slici 3.11.

Preslikane krunice se seku u taki H123, koja je,istovremeno, presek visina trougla polova.

a) b) c)Sl.3.10.

Homologna taka Aj dobija se preslikavanjem take A123(slika 3.12). Zahvaeni ugao izmeu pravca "s"(postavljenog kroz take A1 i H123) ipravca povuenog kroz H123 paralelno sa "a" (pravac leine take A0)

jednak je zbiru ugla 21 ( 1312323 PHP ), ugla - 21 ( 1231213131231 APPPHA = ) i ugla zahvaenog izmeupravca "a" i visine h1 (90

0- ). Kako je zbir ovih uglova jednak 90o,sledi daprava "s" uvek prolazi kroz takuH123,pa se homologne take nalazeu preseku prave "s", upravne na "a", i odgovarajuih krunica uj.

Sl.3.11. Sl.3.12.


49/122

49

d) zglob B ; homologne take Bj, kao i osnovna taka B123, (slika 3.13) lee u beskonanosti. TakaB0 se nalazi na krunici opisanoj oko trougla polova. Pravci relativnog klizanja "sj" upravni su na pravcebeskonanosti homolognih taaka.

Iz kinematske suprotnosti sa prethodnim sluajem sledi da se take Hj dobijaju preslikavanjem takeH123 i da lee na krugu u123. Pravci relativnog klizanja odreeni su takama B0 i Hj.

Sl.3.13.

3.2. Sinteza mehanizama za prenos

Sinteza mehanizama za prenos obuhvata metode sinteze mehanizama sa povratnim kretanjem, generatorafunkcije, brzine i sl.

3.2.1. Sinteza mehanizama sa povratnim kretanjem

Vodjeni lan mehanizma esto ima zadatak da, za jedanobrt pogonskog lana, realizuje zadato povratno kretanje(tabela 1.1.), kao to je to npr. sluaj kod mehanizmabrisaa vetrobranskog stakla automobila (slika 3.14).

Sl.3.14.


50/122

50

Povratno kretanje vodjenog lana moe biti rotaciono (slika 3.15a) ili translatorno (slika 3.15b). Prenosnafunkcija (), odnosno s(), treba u tom sluaju da zadovolji postavljene uslove samo u krajnjimpoloajima O(O), odnosno so(O), dok je preostali tok prenosne funkcije proizvoljan (slika 3.15c).

Sl.3.15.

Spoljanji i unutranji mrtvi poloaj jednokrivajnog mehanizma (slika 3.16) mogu se formulisati izrazima:

( ) debeca ss iir

=++

(3.7)( ) ( ) ( ) debeca osos ii

r

=+ ++ .

Zadatkom sinteze najee se trae dimenzije mehanizmaza zadato o (hod krivaje izmedju spoljanjeg i unutranjegmrtvog poloaja mehanizma),o(hod balansijera) i d=A0B0.Da bi iz jednaina (3.7) odredili a, a kasnije i (a+c),eliminiimo najpre b i s, mnoenjem prve jednaine sa

)e( oi i sabiranjem sa drugom jednainom,ime se dobija:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )oosos iii e1decaeca ++ =+ . (3.8)Sl.3.16.

Mnoenjem prethodne jednaine sa

+

+

22i oos

e dobija se jednaina:

( ) ( )

=+

+

2i

2i

2i

22i

22i ooos

oooo

eeedecaeca , (3.9)

koja, u razvijenom obliku, glasi:

( )

+

22sini

22cosca oooo ( ) =

+

22sini

22cosca oooo

2sin2sini2cosdi2oo

so

s

+

+= . (3.10)

Iz prethodne jednaine, uporeivanjem imaginarnih delova leve i desne strane, sledi:

+

=2

cos

22sin

2sind

a osoo

o

, (3.11)

odnosno:

=2

cos

22sin

2sind

a osoo

o

. (3.12)

Jednaina (3.12), kao geometrijsko mesto taaka As, predstavlja krug (kAs) prenika:


51/122

51

=

22sin

2sin

daoo

o

, (3.13)

iji je centar na kraku ugla2o= .

Sl.3.17.

Grafika interpretacija jednaine (3.12) svodi se na pronalaenje take R kao presene take kraka ugla = - o/2 iz take A0 i kraka ugla o/2 iz take B0 (slika 3.17).

Uporeenjem realnih delova leve i desne strane jednaine (3.10) dobija se:

+

=2

sin

22sin

2sind

c osoo

o

, (3.14)

to, posle sabiranja sa jednainom (3.11) i sreivanja, daje:

( )

+

=+2

cos)sin(

2sind2

ca oosoo

o

. (3.15)

Jednaina (3.15), kao geometrijsko mesto taaka Bs , je krug (kBs) prenika:

( ))sin(

2sin

d2caoo

o

=+ (3.16)

iji je centar u preseku prave koja prolazi kroz A0 pod uglom:

=

2o

o (3.17)

i prave koja prolazi kroz B0 pod uglom2

o .

Grafika interpretacija se, u ovom sluaju, svodi na pronalaenje centra kruga kBs, u preseku simetrale dui

0RA i pravca 0RB (slika 3.18).

Sl.3.18.

Postavljanjem pravca krivaje u spoljanjem mrtvom poloaju, pod eljenim uglom s, dobija se na krugu kAstaka As, a na krugu kBs taka Bs, ime odredjujemo i dimenzije mehanizma.

Napomenimo jo, da se upotrebljiva reenja za Bs mogu dobiti samo u oblasti izmedju taaka L i N,odnosn

www2 autorizovana predavanja mehanizmi i masine copy

Documents