- matemática - números complexos

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  • 1. Nmeros Complexos

2. Ao final dessa aula voc saber: O que um nmero complexo e sua representao algbrica O que um nmero imaginrio puro e igualdade dos complexos O que conjugado As potncias de i A representao trigonomtrica de um nmero complexo As operaes matemtica na forma algbrica e na forma trigonomtrica 3. O que umO que um nmeronmero complexocomplexo?? todo nmero todo nmero zz escrito na formaescrito na forma a + bia + bi,, sendosendo aa a partea parte realreal ee bibi a partea parte imaginriaimaginria. Tambm chamado de nmero. Tambm chamado de nmero imaginrio.imaginrio. Exemplos:Exemplos: z = 3 + 5iz = 3 + 5i z = 7iz = 7i z = + 4iz = + 4i Formalmente, escrevemos a parte real assim: Re(z) = a. E a parte imaginria assim: Im(z) = b 4. O que o O que o ii?? a a unidade imaginriaunidade imaginria, sendo, sendo ii22 = - 1= - 1.. Dessa forma podemosDessa forma podemos calcularcalcular o valor dao valor da raiz de nmeros negativosraiz de nmeros negativos comcom ndice parndice par.. Exemplo:Exemplo: ii 636)36)(1(36 2 === 5. O que um nmeroO que um nmero imaginrio puroimaginrio puro?? um nmero complexo z = a + bi, cuja um nmero complexo z = a + bi, cuja parte real igual a zeroparte real igual a zero, ou seja, a = 0., ou seja, a = 0. Exemplos:Exemplos: z = 3iz = 3i z = iz = i z = -10iz = -10i Repare que um nmero real um nmero complexo, com a parte imaginria igual a zero. Exemplo: 2+0i = 2 6. Logo, temos que o conjuntos dos Nmeros Reais um subconjunto dos Nmeros Complexos. N Z Q R I C 7. Como sabemos se doisComo sabemos se dois nmerosnmeros complexoscomplexos soso iguaisiguais?? Sendo dois nmeros complexos:Sendo dois nmeros complexos: zz11 = a + bi e z= a + bi e z22 = c + di,= c + di, se a = c e b = d, entose a = c e b = d, ento zz11 = z= z22. Ou seja, dois complexos so iguais. Ou seja, dois complexos so iguais se as partes reais e imaginrias so iguais.se as partes reais e imaginrias so iguais. Exemplo:Exemplo: Calcular o valor de x e y na equao:Calcular o valor de x e y na equao: 3x + 7yi = 12 21i3x + 7yi = 12 21i 3x = 123x = 12 x = 4x = 4 7y = -217y = -21 y = -3y = -3 8. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho! Determine m e n reais de modo queDetermine m e n reais de modo que m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i 9. SoluoSoluo m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i m = 0m = 0 e n 1 = 3e n 1 = 3 n = 4n = 4 10. Como representamos o conjugado de um nmero complexo? Sendo o nmero complexo z = a + bi, seu conjugado representado por: Exemplos: z = 5 + 3i z = - 8i iz 35= iz 8= biaz = 11. Como calculamos as potncias de i? Usando as regras de potncia j conhecidas. i0 = 1 i1 = i i2 = - 1 i3 = i2 . i = (- 1) . i = - i i4 = i2 . i2 = (- 1) . (- 1) = 1 i5 = i3 . i2 = (- i) . (- 1) = i Note que a partir do expoente 4, os resultados comeam a repetir. 12. Exemplo: (PUC-MG) O nmero complexo (1 + i)10 igual a: a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i) [(1 + i)2 ]5 = [1 + 2i + i2 ]5 = [1 + 2i - 1]5 = [2i]5 = 32.i5 = 32i letra C 13. Tente fazer sozinho! (Vunesp) Se a, b, c so nmeros inteiros positivos tais que c = (a + bi)2 14i, em que i2 = -1, o valor de c : a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7 14. Soluo c = (a + bi)2 14i c = a2 + 2abi + b2 i2 14i = a2 + 2abi b2 14i c + 0i = (a2 b2 ) + (2ab 14)i 2ab 14 = 0 ab = 7 Logo, a = 7 e b = 1 ou a = 1 e b = 7 Como c positivo, temos que: c = 72 12 = 49 1 = 48 Resposta: letra A. 15. ComoComo somamossomamos ouou subtramossubtramos nmerosnmeros complexoscomplexos?? BastaBasta somarsomar (ou subtrair)as(ou subtrair)as partes reaispartes reais ee asas partes imaginriaspartes imaginrias.. Exemplos:Exemplos: (3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i(3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i (7 25i) (- 5 5i) = 12 15i(7 25i) (- 5 5i) = 12 15i 16. Como multiplicamos nmeros complexos? Basta aplicar a propriedade distributiva. Exemplo: (5 + 2i) (2 + 3i) = 10 + 15i + 4i 6 = 4 + 19i 17. Como dividimos nmeros complexos? Basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Exemplo: ( )( ) ( )( ) i i ii ii ii i i 29 19 29 4 29 194 425 615410 2525 2532 25 32 += + = = + ++ = + ++ = + 18. Tente fazer sozinho! (Cefet-MG) O valor da expresso quando x = i (unidade imaginria) : a) (i + 1) b) (i 1) c) d) e) 1 1 3 2 x x ( ) 2 1+i ( ) 2 1i ( ) 2 1 i 19. Soluo ( ) ( ) ( ) i ii ii i iiii i x x = = + = + + = = = = 1 2 12 11 22 11 12 1 2 1 2 1 11 1 1 1 1 3 2 3 2 Logo, a resposta B, pois (i - 1) = -i +1 = 1-i 20. Como representamos um nmero complexo no grfico? Basta representar a parte real no eixo x e a parte imaginria no eixo y. Exemplos: z1 = - 1 + 2i e z2 = 3i P2 x y P1 3 2 1 -1 21. O que o mdulo de um nmero complexo? a distncia entre a origem e o ponto que corresponde a esse nmero. Sendo z = a + bi, temos: x y b a P (a,b) =z 22. Como calculamos o mdulo de um nmero complexo? Usando a frmula . Exemplo: 22 baz +== ( ) 243131 31 22 ==+=+= += z iz 23. Tente fazer sozinho! (UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 3i, o valor de : a) b) c) d) e) b a 3 2 5 22 21+ 24. Soluo ( ) 2 10 20 10 20 91 164 31 42 22 22 === + + = + + == b a b a Resposta: letra B. 25. O que argumento de um nmero complexo? o ngulo que o mdulo do nmero faz com o eixo x. x y b a P (a,b) a b sen = = cos 26. Tente fazer sozinho! (URRN) Se z = , ento o argumento de z : a) 135 b) 45 c) 45 d) 90 e) 135 ( ) i i + 1 1 2 27. Soluo ( ) ( ) ( ) i ii ii ii i i i i i i z += = + = + + = = + = + = 1 2 22 11 22 1)1( 12 1 2 1 121 1 1 2 a e b sen == cos ( ) 21111 22 =+=+= 28. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 cos 2 2 2 2 2 1 = = == sen sen cos 45135 Logo, o argumento 135. Resposta: letra E. 29. Como escrevemos a forma trigonomtrica de um nmero complexo? ( ) seniz += cos iz 232 +=Exemplo: ( ) 30 2 1 4 2 2 3 4 32 cos 416412232 2222 = === === ==+=+=+= b sen a ba Logo, z = 4(cos 30 + i sen 30) 30. Tente fazer sozinho! (Cefet-PR) A forma algbrica do complexo ize izd izc izb iza isenz 2 3 2 33 ) 2 3 2 33 ) 2 3 2 33 ) 2 33 2 3 ) 2 33 2 3 ) : 6 7 6 7 cos3 = += = = = += 31. Soluo ( ) 2 1 30210 2 3 30cos210cos 210 6 7 ,3cos 6 7 6 7 cos3 == == ===+= += sensen isenz isenz 32. 2 33 32 3 cos = = = a a a 2 3 32 1 = = = b b b sen i 2 3 2 33 Logo, a forma algbrica Resposta: letra C. 33. Como multiplicamos complexos na forma trigonomtrica? += += 22 cos3 33 cos2 21 isenzeisenz ( ) ( )[ ]21212121 cos... +++= isenzz Exemplo: += ++ += 6 5 6 5 cos6. 2323 cos3.2. 21 21 isenzz isenzz 34. Como dividimos complexos na forma trigonomtrica? += += 33 cos3 22 cos6 21 isenzeisenz ( ) ( )[ ]2121 2 1 2 1 cos += isen z z Exemplo: += + = 66 cos2 3232 cos 3 6 2 1 2 1 isen z z isen z z 35. Como calculamos uma potncia complexos na forma trigonomtrica? += 33 cos2 isenz ( ) ( )[ ] nisennz nn += cos. Exemplo: += + = 3 2 3 2 cos4 3 .2 3 .2cos2 2 22 isenz isenz 36. Tente fazer sozinho! (UPF-RS) Quanto ao nmero complexo , a alternativa incorreta : a) Escrito na forma algbrica z = 6i b) O mdulo de z 6. c) O argumento de z rad. d) Escrito na forma trigonomtrica tem-se: e) z2 um nmero real. i i z + = 1 66 2 ( ) seniz += cos6 37. Soluo a) Escrito na forma algbrica z = 6i b) O mdulo de z 6. ( )( ) ( )( ) i iii ii ii i i z 6 2 12 11 6666 11 166 1 66 == + ++ = + ++ = + = 6660 222 ==+=z 38. c) O argumento de z rad. 2 2 90 1 6 6 0 6 0 cos == === === b sen a i i z + = 1 66 39. d) Escrito na forma trigonomtrica tem-se: e) z2 um nmero real. Resposta: letra D. ( ) seniz += cos6 ( ) ( )9090cos6cos isenisenz +=+= ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] [ ] 360.136 180180cos36 90.290.2cos6 cos 2 2 22 =+= =+= =+= =+= iz isenz isenz nisennz nn