الــــــدورة ا�ولــــــى الـــــجـــــبــــــــــر

3.................................العمليات على ا�عداد الصحيحة الطبيعية والعشرية

4........................................................................ا�عداد الكسرية

7...............................................................ا�عداد العشرية النسبية

الــــھند ســــــــــة12......................................................................المستقيم وأجزاءه

15..................................................................المساحات والمحيطات

17.................................................................................... الزوايا

20.......................................................واسط قطعة والمتفاوتة المثلثية

23...................................................................................المثلث

الــــــدورة الثانــيــــة الـــــــجــبـــر

26..........................................................................النشر والتعميل

28................................................................................المعاد(ت

الــھــنـــد ســـــــة30........................................................................التماثل المركزي

33..............................................الزوايا المكونة من متوازيين وقاطع لھما

34.......................................................................متوازي ا�ض.ع

36......................................................................الرباعيات الخاصة

39...................................................................................الدائرة

41...................................................الموشور القائم وا(سطوانة القائمة

أنشطــــة مبيانيــة وإحصائيــــة 43...............................................المستقيم المدرج والمعلم في المستوى

45................................................................................التناسبية

48 ...............................................................................ا7حصاء

2

العمليات على ا�عداد العشرية والطبيعية

1- حساب سلسلة من العمليات بدون اقواس

قاعدة ثم نتبع ذلك بالجمع و الطرح أو#ننجز الضرب و القسمة أقواسلحساب تعبير جبري بدون

أمثلةA=0.2×2+12.5 =0.4+12.5=12.9

B=22-24:3=22-8=14

2- حساب سلسلة من العمليات بأقواس

قاعدة بدءا من تلك التي توجد بالداخل ثم ا�قواسلحساب تعبير جبري به أقواس نعطي ا�سبقية لما ھو بين

يصبح التعبير بدون أقواس أن إلىالتي تليھا

أمثلةG = (42 - 12) × 3=30×3=90

F=[7+(11-1.5)] ×(13.7-3.7)

F=[7+9.5] ×10

F=16.5×10

F=165

3- توزيعية الضرب على الجمع و الطرح

قاعدة

a وbوk اعداد عشرية: k x ( a + b ) = a x k + b x k

k x ( a – b ) = a x k – b x k

أمثلة

D = 2,5 x ( 4 + 7,2 ) E = 3 x ( 11 – 5,5 )

= 2,5 x 4 + 2,5 x 7,2 = 3 x 11 – 3 x 5,5

= 10 + 18 = 33 – 16,

= 28 = 17

3

ا�عداد الكسرية

1-العدد الكسري

تعريف0عددين طبيعيين بحيث bو aإذا كان ≠ b فإن خارجa علىb ھو العددc بحيثa = b × c .

: يرمز لھذا الخارج بالرمزb

a . يسمى المقام bيسمى البسط و a حيث

أمثلة

4

9 و

1

2و 7

5

م�حظة 1

كل عدد صحيح طبيعي ھو عدد كسري

أمثلة 34

341

= و 9

91

=

م�حظة 2

كل عدد عشري ھو عدد كسري

أمثلة47

4,710

= و 268

2,68100

=

2- تساوي عددين كسريين

خاصية

حصلنا على نفس العدد , بسط ومقام عدد كسري في عدد عشري غير منعدم)أو قسمنا(إذا ضربنا

aأي إذا كان الكسري

b: فإن ينغير منعدمين عشري ين عدد mو k عددا كسريا و

, ,a k a a m a

b k b b m b

× ÷= =

× ÷

أمثلة

27

15

39

35

9

5=

×

×=

12 2 6

14 14 2 7

12 ÷= =

÷

4

3-مقارنة عددين كسريين

أ- مقارنة عددين كسريين لھما نفس المقام قاعدة

بسطفإن أكبرھما ھو الذي له أكبر , إذا كان لعددين كسريين نفس المقام

مثال

7 > 3 �ن 1111

37>

ب- مقارنة عددين كسريين لھما نفس البسط

قاعدة فإن أكبرھما ھو الذي له أصغر مقام, إذا كان لعددين كسريين نفس البسط

مثال

41 ⟩ 13 �ن 7 7

41 13⟨

ج- مقارنة عددين كسريين مقام أحدھما مضاعف ل/خر

قاعدةنوحد مقاميھما ثم نطبق , لمقارنة عددين كسريين مقام أحدھما مضاعف لمقام ا2خر

مثال

16

5 =

16

5و

16

28

44

47

4

7=

×

×= : لدينا :

16

5و

4

7لنقارن العددين

4

7

16

5< فإن ) 5 < 28 �ن(

16

28

16

5< وبما أن

4- جمع وفرق عددين كسريين

قاعدة1 بسطيھما مع) أو فرق(نحسب مجموع , عددين كسريين لھما نفس المقام ) أو فرق(لحساب مجموع

. حتفاظ بالمقام المشتركا6

أمثلة

1 1 7 1 1 7 1 8

5 5 5 5

++ = =

9

8

9

1927

9

19

9

27=

−=−

5

قاعدة2

نقوم بتوحيد مقاميھما ثم , عددين كسريين مقام أحدھما مضاعف لمقام اEخر) أو فرق(لحساب مجموع

.السابقة 1حسب القاعدة ) أوفرقھما(نحسب مجموعھما

أمثلة

21

26

21

1115

21

11

21

15

21

11

7

5=

+=+=+

9

32

9

739

9

7

9

39

9

7

3

13=

−=−=−

5- جداء عددين كسريين

قاعدة. العدد الكسري الذي مقامه ھو جداء المقامين وبسطه ھو جداء البسطين

db

ca

d

c

b

a

×

×=×

أمثلة

10

77

25

711

2

7

5

11=

×

×=×

22

117

122

9139

22

13=

×

×=×

70

45

710

315

7

3

10

15

7

31,5 =

×

×=×=×

6

تسمى أعدادا عشربة موجبة

تسمى أعدادا عشرية سالبة

تسمى أعدادا صحيحة نسبية ...

ھو عدد عشري نسبي و ليس بعدد صحيح نسبي

و العدد Oللنقطة

يسمى وحدة التدريج

– 2نقول ان العددان

عداد العشرية النسبيةا$

تقديم ومقارنة ا$عداد العشرية النسبية

العدد العشري النسبي

تسمى أعدادا عشربة موجبة 2,5 ; 11 ; 3,14 ; 14 , 2 ; 1 ; 0

تسمى أعدادا عشرية سالبة - 2,5 ; - 12 ; -0,44 ; -1 ; -2 ; 0

.ھو عدد عشري موجب و سالب في آن واحد

ا$عداد مثل 0 ; 1 ; 8 , 2 - ; 14 ; 1- ; 5 ; 51- ; 11...

.كل عدد صحيح نسبي ھو عدد عشري نسبي

أو 14,12ھو عدد عشري نسبي و ليس بعدد صحيح نسبي

المستقيم المدرج

0و إسناد العدد Iو Oتدريج مستقيم يعني اختيار نقطتين منه [OI]:و منه فإن وحدة التدريج ھي

يسمى وحدة التدريج [OI]تسمى أصل المستقيم المدرج و طول .نمثل كل عدد عشري نسبي بنقطة واحدة من المستقيم المدرج

.العدد الذي يمكن إسناده لكل نقطة يسمى أفصولھا

3: ھو

-2: ھو

= AO 3عن الصفرھي . = 5OPعن الصفرھي

نقول ان العددان ) 2ھو مقابل العدد -2العدد ( – 2ھو مقابل العدد

مقرنة عددين عشريين نسبيين مقارنة عددين عشريين مختلفين في ا7شارة

كل عدد عشري موجب أكبر من كل عدد عشري سالب غير منعدم

تقديم ومقارنة ا$عداد العشرية النسبية -1العدد العشري النسبي -أ

تعريف

2,5 ; 11 ; 3,14 ; 14 , 2 ; 1 ; 0 ا$عداد مثل -

2 ; 0 ا$عداد مثل -

م>حظة

ھو عدد عشري موجب و سالب في آن واحد 0العدد -ا$عداد مثل -

كل عدد صحيح نسبي ھو عدد عشري نسبي -

2,5 - أو : العدد مثل

المستقيم المدرج -ب مثال

تدريج مستقيم يعني اختيار نقطتين منه - و منه فإن وحدة التدريج ھي Iللنقطة 1 تسمى أصل المستقيم المدرج و طول Oالنقطة -نمثل كل عدد عشري نسبي بنقطة واحدة من المستقيم المدرج -العدد الذي يمكن إسناده لكل نقطة يسمى أفصولھا -ھو Aأفصول النقطة - Bأفصول النقطة -

عن الصفرھي 3مسافة العدد - عن الصفرھي 5-مسافة العدد -

ھو مقابل العدد 2العدد -

)متقاب>ن 2و

ج- مقرنة عددين عشريين نسبيين

- مقارنة عددين عشريين مختلفين في ا7شارة قاعدة

كل عدد عشري موجب أكبر من كل عدد عشري سالب غير منعدم

7

أمثلة 25,44 > 100- 0 ,, 2 > - 11,9

- مقارنة عددين عشريين لھما نفس ا7شارة

عشريان سالباين فإن أكبرھما ھو ا$قرب من نقطة الصفرإذا كان عددان

إذا كان عددان عشريان موجبان فإن أكبرھما ھو ا<بعد عن نقطة الصفر

أمثلة- 2,5 < - 1 ;; - 0,1 > - 36 ,, - 2,5 < - 1 ;; - 1 > - 36

≥ ≥ و الرمزان :

� a ≤ b وتقرأa أصغر من أو تساويb وتعنيa<b أوa=b

� a ≥ b وتقرأa أكبر من أو تساويb وتعنيa>b أوa=b .

أمثلة : 6 ≥ 2- ,, 1- ≥ 12-

2- جمع وفرق عددين عشريين نسبيين

أ- جمع عددين عشريين نسبيين قاعدة 1

.لحساب مجموع عددين عشريين لھما نفس ا7شارة نحتفظ با7شارة ثم نجمع مسافتيھما عن الصفر

مثال– 514,225 + (– 57 ) = – ( 514, 225 + 57 ) = – 571,225

قاعدة 2نحسب لحساب مجموع عددين عشريين مختلفين في ا7شارة نأخذ إشارة العدد ا$بعد عن الصفر ثم

.فرق مسافتيھما عن الصفر

مثال14,11 + 36 = + ( 36 – 14,11 ) = 21,89 -

125 + (– 45,5 ) = + ( 125 – 45,5 ) = 79,5

– 31,65 + 11,5 = – ( 31,65 – 11,5 ) = – 20,15

ب- فرق عددين عشريين نسبيين

قاعدة . لحساب فرق عددين عشريين نسبيين نضيف إلى الحد ا$ول مقابل الحد الثاني

a وb عددان عشريان نسبيان : a – b = a + ( - b )

أمثلة13,55 – ( - 12 ) = 13,55 + 12 = 25,55

– 34 – 16 = – 34 + (– 16 ) = – (34 + 16 ) = - 50

8

:ضرب ا$عداد العشرية النسبية -ج :ا7شارة جداء عددين عشريين نسبيين مختلفين في -

قاعدة جداء عددين عشريين نسبيين مختلفين في ا7شارة ھو عدد عشري نسبي سالب

أمثلة

25,5 x (–2 ) = –51 ;; –11,5 x 50 = –575

:جداء عددين عشريين نسبيين لھما نفس ا7شارة -

قاعدة جداء عددين عشريين نسبيين لھما نفس ا7شارة ھو عدد عشري موجب

أمثلة

– 21 x (–5 ) = 105 ;; -0,05 x (–10 ) = 0,5

:ا$عداد العشرية النسبية قسمة -د تعريف

a وb نسبيان بحيث عددان عشريانb≠0 .

: و يكتب b على aيسمى خارج b.q = aالذي يحقق qالعدد a

qb

=

مثال

)لدينا ) ( )3 2 6− × − إذن =6

32

= −−

:ا7شارة خارج عددين عشريين نسبيين لھما نفس -

قاعدة

خارج عددين عشريين نسبيين لھما نفس ا7شارة ھو عدد عشري نسبي موجب

أمثلة807,95 : (– 13 ) = 62,15 ;; 781 : 7,1 = 110 -

خارج عددين عشريين نسبيين مختلفين في ا7شارة ھو عدد عشري نسبي سالب -

قاعدة

نسبيين مختلفين في ا7شارة ھو عدد عشري نسبي سالب خارج عددين عشريين

أمثلة

807,95 : (–13 ) = – 62,15 ;; – 781 : 7,1 = – 110

3- القوى

أ- قوة عدد عشري نسبي

9

5

2

=5 × 5

999 999

.عدد صحيح طبيعي غير منعدم n و

an أســاس القوة

a

5 × 5 25 = ,, (-2)

5

=(-2) x (-2) x (-2) x (

a1 = a ( ,

1999 999= ,, 0

4 1=

إشارة قـــوة أساسھا ســـالب

:تكون قــوة أساسھا سالب إذا كان أسھا عددا زوجياإذا كان أسھا عددا فرديا

(3-)موجبة

(1-)سالبة

خصائص القوى

.عددان عشريان نسبيان

.عددان صحيحان طبيعيان

تعريفa وعدد عشري نسبي

م>حظةأســاس القوة a نسمي

an أس القوة n نسمي

أمثلة

2) x (-2) x (-2) 32 - =

م>حظة ( 0 ≠ a) a0

= 1

أمثلة

ب - إشارة قـــوة أساسھا ســـالب

خاصية

تكون قــوة أساسھا سالب إذا كان أسھا عددا زوجيا: موجبة

إذا كان أسھا عددا فرديا : سالبة

أمثلة8(-3) ھذه القوة إشارة

5(-1) ذه القوةإشارة ه

ج - خصائص القوى

a عددان عشريان نسبيان و b

عددان صحيحان طبيعيان m و n

10

المثال12 6 12 6 18

5 5 5 5× = =

( )9

5 5 9 452 2 2= =

100 100

100 1001 13 3 1 1

3 3

× = × = = 3 3

3

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 8

= = =

1022

= 10000000000000000000000

الخاصية المثال12 6 12 6 18

5 5 5 5+

× = = n m n ma a a× =

5 5 9 452 2 2

×= = ( )

mn n m

a a=

100 100

100 1001 13 3 1 1

3 3

× = × = =

(n na b a b× = ×

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 8

× ×= = =

× ×

na a

b b

=

n عدد صحيح طبيعي

105 = 100000

1011

= 100000000000

= 10000000000000000000000

n m n ma a a

×× =

n n ma a

×

)n

a b a b× = ×

n

n

a a

b b

د - قوى العدد 10

تعريف

أمثلة

11

المستقيم وأجزاءه

-المستقيم تعريف

و ھو غير محدود, المستقيم ھو مجموعة من نقط المستوى

مثال

(D) :الشكل التالي يمثل مستقيما و قد رمزنا له بالرمز

(D)

خاصية 1

من نقطة واحدة يمر مجموعة غير محدودة من المستقيمات

مثال

خاصية 2

من نقطتين مختلفتين يمر مستقيم وحيـــد

مثال

(AB) نرمزلھذا المستقيم بالرمز:

2-النقط المستقيمية

تعريف تكون نقط مستقيمية إذا كانت تنتمي إلى نفس المستقيم

12

B و يمر من

.منتصف قطعة ھو نقطة تنتمي إلى القطعة و متساوية المسافة عن طرفي ھذه القطعــة

Aمستقيمية و B و C و

Gو E غير مستقيمية

A نصف مستقيم أصله:الملون با0حمريسمى (D)

[AB) :

[AB) حــامل نصف المستقيم(D)

[AB] : نسمي ھذا الشكل قـطــعـة و نرمز لھا بالرمز

[AB] يسميان طرفي القطعة

[AB]يسمى حامل القطعة

منتصف قطعة ھو نقطة تنتمي إلى القطعة و متساوية المسافة عن طرفي ھذه القطعــة

مثال

و D نقول أن النقط

G وF و نقول أن النقط

3- نصف مستقيم

مثال

(D) جزء المستقيم

: يرمز له بالرمز و

(D) نسمي المستقيم

القطعة أ- مثال

نسمي ھذا الشكل قـطــعـة و نرمز لھا بالرمز

يسميان طرفي القطعة A و B

يسمى حامل القطعة (AB) المستقيم

ب- منتصف قطعة

تعريف منتصف قطعة ھو نقطة تنتمي إلى القطعة و متساوية المسافة عن طرفي ھذه القطعــة

مثال

13

[AB]

مستنقيم معلوم

M متقاطعان في النقطة (D)

(D) ⊥ ( R ) :متعمدان ونكتب

(D) // (L) : متوازيان ونكتب

منطبقان (L) و (K)

[AB] منتصف القطعــة

∈ M و MA = MB يعني أن : [AB] منتصف القطعة

ا9وضاع النسبية لمستقيمين

مستنقيم معلوميوازي من نقطة معلومة يمر مستقيم وحيــد

مستنقيم معلومعمودي على مستقيم معلوم من نقطة معلومة يمر مستقيم وحيــد

H و A ھي المسافة بين النقطة

(D) على المستقيم A تسمى المسقط العمودي للنقطة

التعريف الشكل

(D) و (L)

يكون مستقيمان متقاطعين إذا كانا يشتركان في نقطة

واحدة

(D) متعمدان ونكتب و (R)

يكون مستقيمان متعامدين إذا كانا يحددان زاوية

قائمة

متوازيان ونكتب (D) و (L)

يكون مستقيمان متوازيين قطعا إذا كانا 9 يشتركان

أية نقطة في

(K)

يكون مستقيمان منطبقين إذا كانا يشتركان في أكثر

.من نقطة واحدة

منتصف القطعــة M نسمي النقطة -

منتصف القطعة M-

4- ا9وضاع النسبية لمستقيمين

خاصية 1

من نقطة معلومة يمر مستقيم وحيــد

مثال

خاصية 2

من نقطة معلومة يمر مستقيم وحيــد

مثال

ھي المسافة بين النقطة AH -

H تسمى المسقط العمودي للنقطة

ا0وضاعالمستقيمان المتقاطعان

المستقيمان المتعامدان

المستقيمان المتوازيان قطعا

المستقيمان المنطبقان

14

P = 4a

P = 2(a + b)

P = 4a

P = 2(a + b)

P = AB + BC + CD + DA

P = 2πR

P = a + b + c

المحيطات والمساحات

.محيط شكل ھو مجموع أطوال ا�ض�ع المحيطة به

P = AB + BC + CD + DE + EA

محيطات بعض ا�شكال ا�عتيادية

المربع

المستطيل

المعين

متوازي ا�ض�ع

BC + CD + DA

شبه منحرف

الدائرة

المثلث

1 - المحيط

تعريف -أ

محيط شكل ھو مجموع أطوال ا�ض�ع المحيطة به

مثال

محيطات بعض ا�شكال ا�عتيادية -ب

15

2S a=

S a b= ×

2

AC BDS

×=

S a h= ×

( )

2

AB DC hS

+ ×=

2S Rπ=

2

b hS

×=

مساحات بعض ا�شكال ا�عتيادية:

المربع

المستطيل

المعين

متوازي ا�ض�ع

شبه منحرف

الدائرة

المثلث

2 - مساحات بعض ا�شكال ا�عتيادية

16

الزوايا

- زوايا خاصة

الزاوية تعريفھا الشكل

ˆ 180MON°

=

قياسھاالزاوية المستقيمية ھي زاوية

180°

زاوية مستقيمية

ˆ 90EOF°

=

°90الزاوية القائمة ھي زاوية قياسھا زاوية قائمة

°90 الزاوية الحادة ھي زاوية قياسھا و 0° محصور بين

زاوية حادة

الزاوية المنفرجة ھي زاوية قياسھا 180° و 90 ° محصور بين

زاوية منفرجة

2-زاويتان متحاديتان-زاويتان متتامتان-زاويتان متكاملتان

الزاويتان التعريف الشكلزاويتان ˆ ˆLOMوMOK

متحاذيتان

لھما :تكون زاويتان متحاذيتين إذا كان توجدان في و نفس الراس وضلع مشترك

جھتين مختلفتين من الضلع المشترك

زاويتان متحاديتان

90a b°

+ =

°90 تكون زاويتان متتامتين إذا كان

مجموع قياسھما يساوي

زاويتان متتامتان

180x y °+ =

تكون زاويتان متكاملتين إذا كان 180° مجموع قياسھما يساوي

زاويتان متكاملتان

17

3- مجموع زوايا مثلث

خاصية

180° مجموع قياسات زوايا مثلث يساوي

مثال

4- زاويتان متقابلتان بالرأس

تعريفالرأس و ضلعا كل منھما امتداد لضلعي الزاوية زاويتان متقابلتان بالرأس ھما زاويتان لھما نفس

.ا1خرى

مثال

OÂB زاويتان متقابلتان بالرأس و CÔD

خاصية

زاويتان متقابلتان بالرأس زاويتان متقايستان

مثالˆ ˆOAB COD= :في المثال السابق لدينا

5-منصف الزاوية

تعريف منصف زاوية ھو نصف المستقيم الذي أصله رأس الزاوية و الذي يقسمھا إلى زاويتان متقايستان

مثال

18

تبعد بنفس المسافة عن ضلعي ھذه الزاوية

بھذا المثلث

تنتمي إلى منصف ھذه الزاوية

AÔI=IÔBيعني أن AÔBمنصف الزاوية

المباشرة)

تبعد بنفس المسافة عن ضلعي ھذه الزاوية فإنھا كل نقطة تنتمي إلى منصف زاوية

EK = EL إذن ˆOAB تنتمي إلى منصف الزاوية

العكسية)

مثلث

بھذا المثلث المحاطةمنصفات مثلث تت:قى في نقطة وحيدة تسمى مركز الدائرة

O تت#قى في النقطة ABC مثلث الزوايا منصفات

بھذا المثلث المحاطة التي تمثل مركز الدائرة

تنتمي إلى منصف ھذه الزاوية فإنھا المسافة عن ضلعي زاوية

- OI)[ منصف الزاوية

خاصية 1 (المباشرة

كل نقطة تنتمي إلى منصف زاوية

مثال

تنتمي إلى منصف الزاوية E النقطة

خاصية 2 (العكسية

6-منصفات زوايا مثلث

خاصية

منصفات مثلث تت:قى في نقطة وحيدة تسمى مركز الدائرة

مثال

منصفاتجانبه في الشك

التي تمثل مركز الدائرة و

المسافة عن ضلعي زاويةكل نقطة تبعد بنفس

19

المتفاوثة المثلثية وواسط قطعة

1- المتفاوتة المثلثية

قاعدةA و B و C ثة نقط مختلفة .ث

AC + CB = AB :فإن [AB] تنتمي إلى القطعة Cإذا كانت النقطة AB < AC + BC :فإن [AB] � تنتمي إلى القطعةC إذا كانت النقطة

مثال1

AB < AC + BC و BC < AB + ACو AC < AB + B : لدينا

مثال2

AB = AC + CB

- واسط قطعة

تعريفيمر من منتصف القطعــة و عمودي على حاملھاواسط قطعة ھو مستقيم

مثال

[AB] المستقيم(D) ھو واسط القطعة

خاصية 1 (المباشرة)

20

طرفي قطعة تنتمي إلى واسط ھذه القطعة

واسطات مثلث تت.قى في نقطة وحيدة تسمى مركز الدائرة المحيطة بھذا المثلث

تمثل

كل نقطة تنتمي إالى واسط قطعة تكون متساوية المسافة عن طرفيھا

العكسية)

طرفي قطعة تنتمي إلى واسط ھذه القطعة كل نقطة متساوية المسافة عن

واسط مثلث ھو واسط أحد أض.عه

[BC] واسط ھو (D) المستقيم

ABC واسطا للمثلث (D) وفي ھذه الحالة نسمي المستقيم

واسطات مثلث تت.قى في نقطة وحيدة تسمى مركز الدائرة المحيطة بھذا المثلث

تمثل التي و O قى في النقطة جانبه واسطات مثلث ABC تت

كل نقطة تنتمي إالى واسط قطعة تكون متساوية المسافة عن طرفيھا

خاصية 2 (العكسية

كل نقطة متساوية المسافة عن

مثال

3- واسط مثلث

تعريف واسط مثلث ھو واسط أحد أض.عه

مثال

في الشكل أع ه لدينا

وفي ھذه الحالة نسمي المستقيم

خاصية

واسطات مثلث تت.قى في نقطة وحيدة تسمى مركز الدائرة المحيطة بھذا المثلث

مثال

جانبه واسطات مثلث في الشك

21

المحيطة بھذا المثلث مركز الدائرة

22

المثلث

1 -المثلث القائم الزاوية

تعريف المثلث القائم الزاوية ھو مثلث له زاوية قائمة

خاصية 1

له زاوية قائمة يسمى مثلث قائم الزاويةكل مثلث

مثال

ABC مثلث قائم الزاوية في النقطةA

خاصية 2

إذا كان مثلث قائم ازاوية فإن زاويتاه الحادتين متتامتين

مثال

خاصية 3

إذا كان لمثلث زاويتان متتامتان فإنه يكون قائم الزاوية

مثال

C A

B

23

°60إذا كان مثلث متساوي ا-ض+ع فإن جميع زواياه متقايسة و قياس كل منھا

المثلث المتساوي الساقين

الساقين إذا كان له ضلعان متقايسان

C في النقطة مثلث متساوي الساقين

تي القاعدة متقايستانيإذا كان مثلث متساوي الساقين فإن زاو

فإنه يكون متساوي الساقين متقايستانإذا كان لمثلث زاويتان

المثلث المتساوي ا3ض+ع

المثلث المتساوي ا-ض+ع ھو مثلث جميع أض+عه متقايسة

.مثلث متساوي ا�ض�ع

إذا كان مثلث متساوي ا-ض+ع فإن جميع زواياه متقايسة و قياس كل منھا

إذا كانت زوايا مثلث متقايسة فإنه يكون متساوي ا-ض+ع

2 -المثلث المتساوي الساقين

تعريفالساقين إذا كان له ضلعان متقايسانيكون مثلث متساوي

مثال

ABC مثلث متساوي الساقين

خاصية

إذا كان مثلث متساوي الساقين فإن زاو -إذا كان لمثلث زاويتان -

مثال

3 -المثلث المتساوي ا3ض+ع

تعريف المثلث المتساوي ا-ض+ع ھو مثلث جميع أض+عه متقايسة

مثال

ABC مثلث متساوي ا�ض�ع

خاصية

إذا كان مثلث متساوي ا-ض+ع فإن جميع زواياه متقايسة و قياس كل منھا -

إذا كانت زوايا مثلث متقايسة فإنه يكون متساوي ا-ض+ع-

24

.ارتفاع مثلث ھو المستقيم المار من أحد رؤوسه و العمودي على حامل الضلع المقابل لھذا الرأس

ھذا المثلثتعامد

ABC مركز تعامد المثلث و التي تسمى

ارتفاع مثلث ھو المستقيم المار من أحد رؤوسه و العمودي على حامل الضلع المقابل لھذا الرأس

IJK ھو ارتفاع المثلث

ABC ھو ارتفاع المثلث

مثلث

تعامد مركز ارتفاعات مثلث تت+قى في نقطة وحيدة تسمى

و التي تسمى O تت�قى في النقطة ABC ارتفاعات

مثال

4 - ارتفاع مثلث

تعريف ارتفاع مثلث ھو المستقيم المار من أحد رؤوسه و العمودي على حامل الضلع المقابل لھذا الرأس

مثال

ھو ارتفاع المثلث IE -

ھو ارتفاع المثلث AH -

5- ارتفاعات مثلث

خاصية

ارتفاعات مثلث تت+قى في نقطة وحيدة تسمى

مثال

ارتفاعاتجانبه في الشك

25

النشر والتعميل

1 -النشرو التعميل

تعريف.النشر ھو كتابة مجموع أو فرق على شكــل جداء –

.التعميل ھو كتابة جداء على شكــل مجموع أو فرق –

خاصية 1

:أعداد عشرية نسبية فان kو bو aدا كانإ

k× (a+b)= k×a + k×bk× (a+b)= k×a + k×bk× (a+b)= k×a + k×bk× (a+b)= k×a + k×b

k×(ak×(ak×(ak×(a----b)= k×a b)= k×a b)= k×a b)= k×a ---- k×bk×bk×bk×b

: B وAأمثلة: لننشر التعبيرين 2 ( 2 ) 2 2 2 2 4A x x x= + = × + × = +

2 ( 3 ) 2 2 3 2 6B y y y= − = × − × = −

:A و B لنعمل التعبيرين

5 2 5 5 5 5 5 ( 5 )B x x x= + = × + × = +

23 3 ( 3 )A x x x x x x x= − = × − × = −

خاصية 2

a و bو c و dأعداد عشرية نسبية فان:

(a + b)(c + d)=a x (c + d) + b x (c + d)

(a + b)(c + d)=a xc + axd + bxc + bxd

مثال : A لننشر

A=(a + 5)(3 + a)= ax(3 +a) + 5x(3 + a)

= 3xa + axa + 5x3 +5xa

= 3a + a² + 15 +5a

26

: B لنعمل

2 6 3 2 2 ( 3) ( 3)B y xy x y x y x= − + − = × + ×− + × + ×−

(2 )( 3)x y= + −

2 -المتطابقات الھامة

خاصية

a وb عشريان نسبيانعددان:

( )² ² 2 ²a b a ab b+ = + +

( )² ² 2 ²

( )( ) ² ²

a b a ab b

a b a b a b

− = − +

− + = −

أمثلة

2 2

2 2

( 2)² ² 2 2 2 4 4

( 3)² ² 2 3 3 6 9

( 2)( 2) ² 4

x x x x x

y y x y y

x x x

+ = + × × + = + +

+ = + × × + = + +

+ − = −

27

المعاد�ت

1- تعريف

(x #### 0)حيث ax = b أو a + x = bكل متساوية على شكل .معلومين جذريينعددين bو aليكن

.xواحد تسمى معادلة من الدرجة ا�ولى بمجھول

X .التي تحقق المعادلة تسمى ح للمعادلة قيمة

أمثلة11

3 + x = 22 ; -5 + x = 10 ;

5

x

- 2 = - 8

a + x = b : 2– حل المعادلة من نوع

قاعدةaوb جذريانعددان

b – a :ھو العدد a + x = b حل المعادلة

أمثلة

: لنحل المعادلة3

5 + x = 22

– x = 22 آي 3

5

أي

110 3 110 3

5 5 5x

−= − =

= x أي 107

5

: 7 ادن حل المعادلة ھو

x – 6 = - 1 :لنحل المعادلة

x = - 1 + 6 آي

5: و ادن حل المعادلة ھ x = 5 أي

: ( )0≠a ax = b 3– حل المعادلة

قاعدة

aوb عددان عشريان نسبيان( )0≠a

b/a :ھو العدد ax = bحل المعادلة

مثال 11x = 88- : لنحل المعادلة

x = 88 ÷ (-11) آي

x = - 8 أي

: 8 -ادن حل المعادلة ھو

28

4- مراحل حل المسالة

:ا+تيةلحل المسالة نتبع المراحل

.قراءة المسالة بتمعن -

.اختيار المجھول -

.صياغة المعادلة -

.حل المعادلة -

.عليهالتحقق من صحة الحل المحصل -

:" حل المسالة ھو": كتابة الحل باستعمال العبارة -

مثال

فما المحفظةثمن الكتاب يمثل ربع ثمن أندرھم ادا علمت 140بما قدره محفظةاشترى احمد كتاب و

.المحفظةھو ادن ثمن كل من الكتاب و

المحفظةثمن xليكن :اختيار المجھول -

.ھو ثمن الكتاب x/4 ادن

درھم 140دفعه احمد ھو الذيالمبلغ أنبما :المعادلةصياغة -

x + x/4 = 140: فان

x + x/4 = 140 لدينا :حل المعادلة -

x ( 1 + ¼ ) = 140 : ادن

x × 5/4 = 140 : ادن

x = 140 ÷ 5/4 : ادن

x = 140 × 4/5: ادن

x = 112: ادن

112: حل المعادلة ھو

درھم 112: ھو المحفظةمن ث. :حل المسالة ھو -

DH 28 = 112 – 140: ثمن الكتاب ھو

29

M بالنسبة للنقطة

تي

التماثل المركزي

O بالنسبة للنقطة نقطتان متماثلتان [AA'] منتصف القطعة ھي

بالنسبة للنقطة A ھي مماثلة النقطة B النقطة

مماثلة قطعة بالنسبة لنقطة ھي قطعة تقايسھا

تيمماثل A' و B' حيث M بالنسبة للنقطة [A'B'] ھي

على التوالي M

التماثل المركزي يحافظ على المسافة بين نقطتين

AB = A'B' في المثال السابق لدينا

مماثل نصف مستقيم

لنقطة ھو مستقيم يوازيهمماثل مستقيم بالنسبة

1- مماثلة نقطة

تعريف Aنقطتان متماثلتان و A'

O يعني ان النقطة

مثال

2- مماثلة قطعة

خاصية

مماثلة قطعة بالنسبة لنقطة ھي قطعة تقايسھا

مثال

ھي [AB] مماثلة القطعة

A بالنسبة للنقطة و B

خاصية

التماثل المركزي يحافظ على المسافة بين نقطتين

مثال

في المثال السابق لدينا

3- مماثل مستقيم-مماثل نصف مستقيم

خاصية1

مماثل مستقيم بالنسبة

مثال

30

على التوالي

[AB) بالنسبة لنقطةO المستقيمھو نصف على التوالي Oبالنسبة للنقطة Bو Aمماثلتي 'Bو .

التماثل المركزي يحافظ على استقامية النقط

.ھي زاوية تقايسھا حوريمماثلة زاوية بتماثل م

( d) التوالي على A لمستقيم بالنسبة B و مماث�تO و

خاصية2

(AB]مماثل نصف مستقيم [A'B') حيث A' و

. (AB)// ('A'B)و

مثال

خاصية3

التماثل المركزي يحافظ على استقامية النقط

مثال

4- مماثلة زاوية

خاصية

مماثلة زاوية بتماثل م مثال

مماث�ت A’ ’B و و O’

31

حيث rوشعاعھا 'Iالتي مركزھا

E بالنسبة للنقطة

'C ھي الدائرة Oبالنسبة لنقطة rوشعاعھا Iمركزھا

'I مماثلةI بالنسبة لنقطةO .

بالنسبة للنقطة (C) ھي مماثلة الدائرة (C')الدائرة

5- مماثلة دائرة

خاصية

مركزھا Cمماثلة دائرة

مثال

32

الزوايا المكونة من متوازيين وقاطع

1- زاويتان متبادلتان داخليا:

خاصية1

.إذا كان مستقيمان متوازيين فإنھما يحددان مع كل قاطع لھما زاويتان متبادلتان داخليا متقايستان

مثال

(D1) و(D2) مستقيمان متوازيان و(L) قاطع لھما على التوالي فيA وB.

ABFBAE : ن#حــظ أن ˆˆ=

خاصية 2

.حدد مستقيمان مع قاطع لھما زاويتين متبادلتين داخليا متقايستان فإنھما يكونان متوازيينإذا

2-زاويتان متناظرتان

خاصية1

يحددان مع كل قاطع لھما زاويتين متناظرتين متقايستين فإنھماكان مستقيمان متوازيان مختلفان اإذ

مثال

GBFBAE ˆˆ= إذن

1 2( ) //( )D D لدينا

خاصية2

(D2)

(L)

(D1)A

B

E

F

(D1)

(D2)

(L)AE

BF

G

يكونان متوازيينإذا حدد مستقيمان مع قاطع لھما زاويتين متناظرتين متقايستان فإنھما

33

متوازي ا�ض�ع

1 - تعريف

متوازي ا�ض�ع ھو مضلع رباعي يكون فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان

مثال

( ) //( )AB CD و ( ) //( )AD BC متوازي ا�ض�ع يعني ABCD

2- خاصية القطرين

خاصية 1

قطرا متوازي ا�ض�ع لھما نفس المنتصف

مثال

[ ]AC ]و ]BD I منتصف يعني أن متواري ا�ض�ع ABCD

ABCD النقطة تسمى مركز متوازي ا�ض�ع

خاصية 2

إذا كان رباعي قطراه لھما نفس المنتصف فإنه يكون متوازي ا�ض�ع

3-خاصية الزوايا

خاصية

كل زاويتين متقابلتين في متوازي ا�ض�ع متقايستان

مثال

ˆ ˆBAD DCB= و ˆ ˆABC ADC= : متوازي ا�ض�ع يعني ABCD

A B

CD

A B

C

I

D

A

B

CD

34

خاصية

كانت كل زاويتين متقابلتين في رباعي مقايستان فٍانه متوازي ا�ض�ع إذا

4- خاصية ا1ض�ع

خاصية1

ا�ض�ع متقايسانكل ضلعين متقابلين في متوازي

مثال

AB CD= و AD BC= : متوازي أض�ع يعني أن ABCD

خاصية2

سان فٍانه متوازي ا�ض�عيكان كل ضلعين متقابلين في مضلع رباعي متقا إذا

خاصية 3

كان ضلعان متقاب�ن في رباعي متقايسان وكان حام�ھما متوازيان فٍانه متوازي أض�ع إذا

مثال

( ) //( )AB CD و AB CD= ABCD متوازي ا�ض�ع يعني

A B

CD

A B

CD

35

A

D

الرباعيات الخاصة

المستطيل ھو رباعي محدب له أربع زوايا قائمة

مستطيل ABCD

ھو مستطيل كل متوازي أض�ع له زاوية قائمة

لمستطيل له جميع خاصيات متوازي ا#ض�ع

قطرا المستطيل متقايسان

AC BD= : مستطيل إذن

كان قطرا متوازي ا#ض�ع متقايسان فٍانه مستطيل

المعين ھو مضلع رباعي جميع أض�عه مقايسة

A B

O

CD

1- المستطيل

تعريف المستطيل ھو رباعي محدب له أربع زوايا قائمة

مثال

خاصية1

كل متوازي أض�ع له زاوية قائمة

م�حظة

لمستطيل له جميع خاصيات متوازي ا#ض�عا

خاصية2

قطرا المستطيل متقايسان

مثال

مستطيل إذن ABCD

خاصية3

كان قطرا متوازي ا#ض�ع متقايسان فٍانه مستطيل إذا

2-المعين

تعريف المعين ھو مضلع رباعي جميع أض�عه مقايسة

36

مثال

AB BC CD DA= = = معين إذن ABCD نالدي

خاصية1

إذا كان متوازي أض�ع ، كل ضلعين متتابعين فيه متقايسان فانه معين

خاصية 2

قطرا المعين متعامدان

مثال

( ) ( )BD AC⊥ ABCD : معين إذن لدينا

خاصية 3

3 - المربع

تعريفرباعي جميع زواياه قائمة وجميع أض�عه متقايسةالمربع

مثال

ˆ ˆˆ ˆ 90A B C D= = = = ° و AB BC CD DA= = = مربع إذن ABCD لدينا

A

BD

C

O

A

BD

C

O

إذا كان قطرا متوازي أض�ع متعامدين فٍانه معين

37

خاصية 1

إذا كان متوازي أض�ع ، كل ضلعين متتابعين فيه متقايسان ولديه زاوية قائمة فانه مربع

مثال

AB إذن ABCDمربع AD= ˆ و 90DAB = ° لدينا

خاصية 2

ومتعامدان قطرا المستطيل متقايسان

مثال

( ) ( )BD AC⊥

و AC BD= : مربع إذن ABCD

خاصية 3

كان قطرا متوازي أض�ع متعامدين و متقايسين فٍانه مربع إذا

38

الدائرة

1 - مصطلحات

تعريف

تساوي O من ھي مجموعة نقط المستوى التي تقع على مسافة rو شعاعھا Oالدائرة التي مركزھا r

مثال

( )ζ - [AB]يسمى قطر الدائرة

( )ζ -[EB] يسمى وتر الدائرة

( )ζ -[IB] الدائرة يسمى شعاع

2 - مماس دائرة

تعريفM في النقطة على حامل الشعاع تنتمي إلى الدائرة ھو مستقيم عمودي مماس دائرة في نقطة

M

مثال

A ھو النقطة ( )D ) والمستقيم )ζ تقاطع الدائرة

A في النقطة ( )ζ ) ماس للدائرة )D : نقول ٍان

A

B

E

( )ζ

I

( )D( )ζ

O

39

خاصية1

فإنه يكون عموديا على الشعاع Aفي إحدى نقطھا C(I,r) مماسا لدائرة (∆)إذا كان المستقيم [IA] في النقطةA.

مثال

( )A ζ∈ ) في النقطة M يعني أن )ζ مماس الدائرة ( D )

( ) ( )OA D⊥ و

خاصية 2

.Aفي النقطة C(I,r)ھو المماس للدائرة (∆)فإن Aفي النقطة [IA]عموديا على الشعاع (∆)ذا كان المستقيم إ

( )D( )ζ

O

A

40

الموشور القائم وا سطوانة القائمة

.

.قائم تساوي مجموع مساحات وجوھه الجانبية

h وارتفاعه p

الموشور القائم وا سطوانة القائمة

:الموشور القائم ھو مجسم يتكون من قاعدتان الموشور القائم : وجھين متوازيين قابلين للتطابق ھما

ارتفاع الموشور القائم : أحرف جانبية متقايسة ھي مستطي,ت : أوجه جانبية و ھي على شكل

. مـكـعـــب :القائم نسمي ھذا الموشور

. EFGHو ABCDالمربعان

:[AE] و[BF] و[CG] و[DH]

. ABFEو BCGF و DCGH و AEHDالمربعات :

المساحة الجانبية- المساحة الكلية

قائم تساوي مجموع مساحات وجوھه الجانبية المساحة الجانبية لموشور مساحة القاعدة × 2+ المساحة الجانبية

p لموشور قائم تساوي جداء محيط إحدى قاعدتيه

A = p ××××h

1-الموشور القائم

أ- تعريف الموشور القائم ھو مجسم يتكون من

وجھين متوازيين قابلين للتطابق ھما –

أحرف جانبية متقايسة ھي –

أوجه جانبية و ھي على شكل –

مثال

المربعان : القاعدتان ھما : ا"حرف الجانبية ھي : ا"وجه الجانبية ھي

ب-المساحة الجانبية

تعريفالمساحة الجانبية لموشور

المساحة الجانبية= المساحة الكلية

م,حظة

Aلموشور قائم تساوي جداء محيط إحدى قاعدتيه المساحة الجانبية

مثال

41

ا سطوانة القائمة ھي مجسم قاعدتاه قرصان متوازيان ولھما نفس الشعاع

p سطوانة قائمة تساوي جداء محيط إحدى قاعدتيه

:

SL

= bc + ac + bc + ac

SL

= 2(bc + ac)

ST

= SL

+ 2ab

ا"رتفاع × مساحة القاعدة=

V = abc: في المثال السابق لدينا

ا سطوانة القائمة

ا سطوانة القائمة ھي مجسم قاعدتاه قرصان متوازيان ولھما نفس الشعاع

سطوانة قائمة تساوي جداء محيط إحدى قاعدتيهA

A = p ××××h

ا:رتفاع × مساحة القاعدة= حجم ا سطوانة القائمة

:SL

= 2πR×h

ST

= 2πRh + 2 × πR

2

V =

SL

: المساحة الجانبية:

ST

المساحة الكلية :

ج-الحجم

تعريف= م حجم الموشور القائ

مثال

2- ا سطوانة القائمة

تعريف ا سطوانة القائمة ھي مجسم قاعدتاه قرصان متوازيان ولھما نفس الشعاع

خاصية

A المساحة الجانبية -

h وارتفاعه

حجم ا سطوانة القائمة -

مثال

SL

: المساحة الجانبية:

ST

:المساحة الكلية:

V :الحجم :V = πR

2

h

42

المستقيم المدرج والمعلم في المستوى

1-المستقيم المدرج

أ-مثال(D) : بحيث [OI] ھي وحدة التدريج نعتبر مستقيما مدرجا

. Iأفصــول النقطة 1و العدد Oأفصــول النقطة 0نسمي العدد -

. xA = 4أو A(4): و نكتب 4ھو العدد Aأفصــول النقطة -

. xB = - 3أو B( - 3): و نكتب 3 –العدد ھو Bأفصــول النقطة -

ب- المسافة بين نقطتين:

قاعدة لحساب المسافة بين نقطتين نطرح من ا"فصول الكبير ا"فصول الصغير

مثالA (2)نقط تنتمي إلى مستقيم مدرج و B(- 5) و C(- 1,5)

: AB و BC و AC لنحسب المسافات

AC = xA - xC= 2 - (- 1,5) = 2 + 1,5= 3,5

BC = xC - xB= - 1,5 - (- 5) = - 1,5 + 5= 3,5

AB = xA - xB= 2 + 5= 7

2-المعلم في المستوى

ا-مثالO مستقيمين مدرجين متعامدين في النقطة (D2) و (D1)

43

م'حظة

معــلم ممنظم و متعامد نقول أن المستوى منسوب إلى OI = OJ إذا كان

محــور ا&فاصيل : (OI) نسمي المستقيم -

. محــور ا&راتيب : (OJ) نسمي المستقيم -

( O ; I ; J ) : ـزمـنرمز لمعلم في المستوى بالر -

ب-احداثيتا نقطة

تعريفxM و yM مرتبطة بعددين عشريين نسبيين M كل نقطة من المستوى

M( xM ; yM ) : و نكتب M يسميان إحداثيتي النقطة

يسمى ا"فصول xM

يسمى ا"رتوب yM

مثال

44

التناسبية

1- جدول التناسبية

مثال

2.5 3 4 7

7.5 9 12 21

أعداد السطر الثاني علىللحصول 3ن�حظ أننا ضربنا أعداد الشطر في نفس العدد

يسمى معامل التناسب 3العدد

:نقول ٍادن

ھدا الجدول يحقق وصعية تناسبية*

أعداد السطر التاني متناسبة مع أعداد السطر ا)ول*

7.5

2.5=

12

4=

21

7=

9

3= 3 ∶ ونكتب

- مبيان التناسبية:

مثال أ :

: ,حظ المبيان اا+تي

جميع نقط المبيان مستقيمية مع أصل المعلم نقول ٍادنن�حظ أن

ھذا المبيان يحقق وضعية التناسبية*

مثال ب:

.ن�حظ أن جميع نقطه غير مستقيمية مع أصل المعلم

ھذا المبيان , يحقق وضعية التناسبية :نقول إذن

45

2-الرابع المتناسب

تعريف

مثال.حساب الرابع المتناسب باستعمال معامل التناسب

: نعتبر جدول التناسب ا+تي

25 14,5

5 x

: نعتبر جدول التناسب ا+تي

2,025

5= :لدينا معامل التناسب ھو

x = 14,5 x 0,2 أي x = 2,9 :إذن

3-النسبة المئوية

قاعدة1

: ھو حساب nعلى العدد % xتطبيق النسبة المئوية

مثال

.من ا4ناث 60% تلميذا يوجد 40 بقسم يحتوي على

لنحدد عدد ا4ناث و الذكور

إذن 16 = 24 – 40 24100

2400

100

6040 ==× لدينا

16 : و عدد الذكور ھو 24 :ا4ناث ھو إذن عدد

قاعدة2

: فإن aمن العدد % xيشكل bإذا كان العدد

مثال

20 m2

به حجرة مساحتھا 90 m2 منزل مساحته

.لنحدد النسبة المئوية التي تمثلھخا مساحة الحجرة من مساحة المنزل

22,2210090

20x =×= لدينا

من مساحة المنزل مساحة الحجرة تمثل: إذن % 22,22

x بالجدول جانبه تسمى الرابع المتناسب قيمة العدد

a c

b x

100

x×n

100×=ab

x

46

4-السلم

تعريف

و القياسات على لشيءالسلم ھو معامل التناسب بين القياسات الحقيقية e تصميم أو خريطة لھذا

: يرمز للسلـــم بالرمز . الشيء

� =القياس على التصميم

القياس الحقيقي : م�حظة ھامــة

مثال

250000

1: علما أن السلــم ھو x و y لنحسب

x = 125 : 250000

1:إذن

x = 31250000 cm = 312,5 km أي 125 x 250000 = x

y = 30 cm أي y = 7500000 x 250000

1

5-السرعة المنتظمة

تعريف

يكون جسم في حركة منتظمة إذا كانت المسافات التي يقطعھا متناسبة مع المدد الزمنية .الموافقة لھا

مثال.يبين المدة الزمنية التي تستغرقھا سيارة لقطع مسافات الجدول ا+تي

5 6 (h) المدة الزمنية

400 480 المسافة المقطوعة

(km)

: لدينا

805

400= و 80

6

480=

806

480

5

400== : ن�حظ أن

السيارة في حركة منتظمةھذه : نقول إذن

(cm) المسافة على الخريطة 125 y

(km) المسافة الحقيقية x 75

47

ا�حصاء

1 - مفردات وتعاريف

تعريف1 .الساكنة ا�حصائية مجموعة ا�شخاص أو ا�شياء التي تتميز بميزة ما

.كل مكون من مكونات الساكنة ا�حصائية يسمى وحدة إحصائية أو فردا

مثال .برتقالة ن�حظ حجم الماء الممكن استخراجه منھا 40يمكن أن تكون الساكنة مجموعة من

.تكون مجموعة من ا#شخاص ن�حظ عدد اللغات التي يتقنونھا أنكما يمكن

تعريف2

الميزة ا�حصائية ھي خاصية يمكن م-حظتھا أو قياسھا على كل الوحدات ا�حصائية

مثال .ميزات إحصائية... السن_الجنسية_الوزن _الطول_لون الجنس_لون العينين: عند ا#شخاص مث�

...اليومي ا.ستھ�ك, ا#مراض الشائعة , عدد حوادث السير اليومية: نجد مث� ا.جتماعيوفي الميدان

..أخضر-بني-أزرق: لون العينين فيمكن أن تتمثل فيما يلي ميزةمث� :كل ميزة ت�حظ عبر قيم مختلفة

تعريف3 .ل قيمة معينة من قيم الميزةثمتالحصيص ھو عدد الوحدات ا�حصائية التي

الحصيص "أما حصيص الساكنة كلھا فيسمى " حصيصا جزئيا"حصيص قيمة من قيم الميزة يسمى ".ا�جمالي

مثال .10ھي " بني غامق"لون عيونھم بني غامق نقول بأن حصيص القيمة 32من بين ت�ميذ 10إذا كان

تعريف4

.المتسلسلة ا�حصائية ھي التوزيع الذي نحصل عليه للحصيص ا�جمالي على مختلف قيم الميزة

مثال :حصلنا على مايلي , بني غامق_بني _أخضر_وقيمھا أزرق" لون العينين " بالنسبة للميزة

تلميذا 14: الغامقالبني

ت�ميذ 3:ا#زرق

ت�ميذ 10: البني

4: ا#خضر

إحصائية بجدول كل متسلسلة تمثيل يمكن

ا#خضر البني ا#زرق البني الغامق لون العينين

4 10 2 14 الحصيص

48

2 - التردد

تعريف .تردد قيمة من قيم الميزة ھو خارج قسمة حصيصھا الجزئي على الحصيص ا�جمالي

م-حظة .100للحصول على النسبة المئوية التي تمثلھا كل قيمة من قيم الميزة يكفي أن نضرب التردد في

مثال

: في المثال السابق تردد اللون البني ھو ��

��= %25أي 0.25× 100 :أما النسبة المئوية 0,25

3 - التمثي-ت المبيانية

تعريف أوالدائرة بحيث نقسم الدائرة إلى زوايا متناسبة مع التردد باستعمالتمثل المتسلسلة ا�حصائية

. النسبة المئوية المرتبطة بكل قيمة من قيم الميزة

مثال

×360: الزاوية الممثلة للبني الغامق ھي�

��� °126أي

×360: الزاوية الممثلة ل=خضر ھي��

��� 36°أي

×360: الزاوية الممثلة ل=زرق ھي�

��� 18°أي

×360: الزاوية الممثلة للبني ھي��

��� 90°أي

تعريف2أو تردد كل , طولھا متناسب مع الحصيص أشرطة تمثل متسلسلة إحصائية في معلم متعامد باستعمال

.من القيم التي تمثل الميزة ا�حصائية

مثال

49