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WWW.ToanCapBa.NetPhương pháp tìm giới hạn của hàm số

MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÌM GIÔÙI HAÏN CUÛA MOÄT HAØM SOÁ

I. Toùm taét lyù thuyeát

1. Giôùi haïn höõu haïn

Cho khoaûng K chöùa ñieåm x0 vaø haøm soá y=f(x) xaùc ñònh

treân K hoaëc treân K\{x0}. khi vaø chæ khi vôùi

daõy soá ( baát kyø ,xn \{x0} vaø xn ,ta coù limf(xn)=L .

Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (xo;b) .

khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø

x0<xn<b vaø xn , ta coù limf(x)=L . Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;x0).

, khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø ,

a<xn<x0 vaø xn , ta coù limf(xn)=L . Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;+∞) .

, khi vaø chæ khi vôùi daõy (xn) baát kyø ,xn>a

vaø xn , thì limf(xn)=L Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (-∞;a) .

, khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát

kyø ,xn<a vaø thì limf(xn)=L.

2. Giôùi haïn ôû voâ cöïc

Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng(a;+∞) .

, khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø ,

xn>a vaø ,ta coù limf(xn)=-∞ . Cho K laø khoaûng chöùa ñieåm x0 vaø haøm soá y=f(x) xaùc

ñònh treân K hoaëc treân K\{x0}. .khi vaø chæ

Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 1WWW.ToanCapBa.Net


khi vôùi moïi daõy soá baát kyø (xn) ,xn thuoäc K\{x0} vaø xn

, ta coù limf(xn)=+∞ .Chuù yù : f(x) coù giôùi haïn +∞ ,khi vaø chæ khi -f(x) coù giôùi haïn -∞

3.Caùc giôùi haïn ñaëc bieät

Vôùi k laø moät soá nguyeân döông

4. Ñònh lyù veà giôùi haïn höõu haïn

* Ñònh lyù 1

a) Neáu vaø , thì

b) Neáu f(x)≥ 0 vaø , thì L ≥ 0 vaø

Ñònh lyù 2

5. Quy taéc veà giôùi haïn voâ cöïc

a) Quy taéc tìm giôùi haïn cuûa tích f(x).g(x) .

L>0+∞ +∞-∞ -∞

L <0 +∞ -∞



-∞ +∞

b) Quy taéc tìm giôùi haïn cuûa thöông

Daáu cuûa g(x)

L ±∞ Tuyø yù 0

L>0 0+ +∞- -∞

L <0 0+ -∞- +∞

B. Phöông phaùp tìm giôùi haïn cuûa haøm soá

I. Thoâng thöôøng ta aùp duïng caùc quy taéc vaø ñònh lyù veà giôùi haïn cuûa haøm soá laø ta tìm ñöôïc ngay giaù trò cuûa giôùi haïn .

Ví duï , Tìm caùc giôùi haïn sau

Baøi giaûi :



II. Moät soá daïngvoâ ñònh thöôøng gaëp vaø caùch bieán ñoåi .

1. Ñeå tính . Ta laøm nhö

sau: Phaân tích töû vaø maãu thaønh nhaân töû . Sau ñoù giaûn öôùc

nhaân töû chung :

Neáu u(x) vaø v(x) chöùa bieán soá döôùi daáu caên ,thì coù theå nhaân töû vaø maãu vôùi bieåu thöùc lieân hôïp ,tröôùc khi phaân tích chuùng thaønh tích ñeå giaûn öôùc .

Moät soá bieåu thöùc lieän hôïp thöôøng duøng :



* Chuù yù : Trong (**) neáu A(x0)=B(x0)=0 ,ta laïi phaân tích tieáp chuùng thaønh :

* Khi u(x) hoaëc v(x) chöùa caên thöùc cuøng baäc :

Ta söû duïng phöông phaùp nhaân lieân hôïp ( nhö ñaõ cho ôû treân )

Sau ñoù ruùt goïn laøm xuaát hieän thöøa soá chung .

Giaûn öôùc thöøa soá chung ,seõ maát daïng voâ ñònh

Ví duï1 . ( Baøi 4.57-tr-143-BTGT11-NC).

Tìm caùc giôùi haïn sau

Baøi giaûi :



Vì , thì x+2<0 ,cho neân

Ví duï 2 ( Baøi 4.59-tr144-BTGT11-NC)


Baøi giaûi :



2. Ñeå tìm giôùi haïn :(Daïng : )

Ta coù theå laøm nhö sau :

Chia töû vaø maãu cho , vôùi n laø soá muõ cao nhaát cuûa bieán soá x ( hay phaân tích töû vaø maãu thaønh tích chöùa nhaân töû xn ,roài giaûn öôùc ).

Neáu u(x) vaø v(x) coù chöùa bieán x trong daáu caên thöùc ,thì ñöa xk ra ngoaøi daáu caên ( vôùi k laø soá muõ cao nhaát cuûa x trong daáu caên ), tröôùc khi chia töû vaø maãu cho luyõ thöøa cuûa x .

- Chuù yù ñeán caän : Khi x nghóa laø x>0 ; coøn x , nghóa laø x<0

- Gioáng nhö ñoái vôùi daïng , hoaëc ta phaân tích thaønh nhaân

töû ,hoaëc ta nhaân lieân hôïp ,hoaëc ta ñöa x ra ngoaøi daáu caên thöùc ( phaûi chuù yù ñeán caän maø boû daáu trò tuyeät ñoái )

Ví duï 1. (Baøi 32-tr159-GT11-NC)




Baøi giaûi :

Ví duï 2. (Baøi 44-tr167-GT11NC)


Baøi giaûi :



Ví duï 3. Tìm caùc giôùi haïn sau :

ø giaûi:

.



Ví duï 4. Tìm caùc giôùi haïn sau

Baøi giaûi :

Baøi taäp töï luyeän

Tìm caùc giôùi haïn sau:



a) b) c)

d)

e) f) g)

h)

i) j) k)

l)

p) q)

3. Ñeå tính giôùi haïn :( Daïng ∞-∞ ) .

Hoaëc

Ta nhaân vaø chia vôùi bieåu thöùc lieân hôïp ( neáu coù bieåu thöùc chöùa bieán soá döôùi daáu caên thöùc ) hoaëc quy ñoàng ñeå ñöa veà cuøng moät phaân thöùc ( neáu chöùa nhieàu phaân thöùc )

Daïng voâ ñònh vaø daïng 0.∞Ví duï 1. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haùm soá sau



Baøi giaûi

Ví duï 2. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau

Baøi giaûi :



Ví duï 3. ( Baøi 40-tr166-GT11-NC)1

.Tìm caùc giôùi haïn sau

Baøi giaûi :



Baøi taäp töï luyeänTính caùc giôùi haïn sau:

e) g)

h) k)

l) m)

n) t)

o) p)

q)

r)

s)

v) w)

4. Ñeå tìm giôùi haïn

Khi u(x) hoaëc v(x) chöùa caùc caên thöùc khoâng cuøng chæ soá .



Kheùo leùo theâm vaø bôùt vaøo töû soá hay maãu soá ( coù chöùa caên khoâng cuøng chæ soá ) moät soá hôïp lyù ( thöôøng laø theâm vaøo soá x0)

Taùch giôùi haïn ñaõ cho thaønh hai giôùi haïn maø sao cho moãi giôùi haïn chæ chöùa caên thöùc coù cuøng chæ soá vaø aùp duïng caùc ñònh lyù ,hoaëc quy taéc tìm giôùi haïn ñaõ bieát .

Chaúng haïn ,ta tìm :

Chuù yù : Ñoâi khi ta phaûi theâm ,bôùt moät ñaïi löôïng h(x) sao cho h(x0)=c. Sau ñoù aùp duïng caùch phaân tích treân ñeå giaûi

. ( Thoâng qua ví duï : )

Ví duï minh hoaï

Ví duï 1. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau

Baøi giaûi :



Ví duï 2. Tìm caùc giôùi haïn sau.

Baøi giaûi :


Baøi giaûi :




Baøi giaûi :

Ví duï 5. Tìm giôùi haïn sau :

Giaûi :

Ta theâm ,bôùt moät haøm soá h(x)=1+x ,vôùi h(0)=1. Khi ñoù



5 Ñeå tìm giôùi haïn :

Khi u(x) hoaëc v(x) chöùa caùc caên thöùc khoâng cuøng chæ soá .( vôùi caên coù chæ soá cao hôn 3- töø 4 trôû ñi ).

Ta ñoåi bieán soá baèng caùch ñaët u=

Chuyeån giôùi haïn ñaõ cho töø bieán x trôû thaønh bieán u vôùi giôùi haïn môùi coù theå aùp duïng caùc ñònh lyù vaø quy taéc tìm giôùi haïn laø coù theå tìm ñöôïc ngay .

Ví duï1: minh hoaï ( ÑH-SP II-99).Tìm giôùi haïn sau :

Baøi giaûi :

Ta coù :

Ñaët :

Ñaët :

Vaäy :

Ví duï 2: Tìm caùc giôùi haïn sau



Baøi giaûi :

6 Phaàn naâng cao . AÙp duïng giôùi haïn :

Neáu giôùi haïn ñaõ cho chöùa caùc haøm soá löôïng giaùc , baèng caùch bieán ñoåi löôïng giaùc ,ta bieán ñoåi haøm soá caàn tìm giôùi haïn sao cho söû duïng ñöôïc giôùi haïn treân.

Neáu haøm soá tìm giôùi haïn chöùa hoãn hôïp caû caèn thöùc +löôïng giaùc ,hay ña thöùc vôùi löôïng giaùc thì ta phaûi theâm hay bôùt hoaëc taùch giôùi haïn ñoù thaønh hai giôùi haïn sao cho hai giôùi haïn naøy coù theå tìm ñöôïc ngay baèng caùc ñònh lyù vaø quy taéc tìm giôùi haïn ñaõ bieát .

Ví duï minh hoaï :


Baøi giaûi :



Ví duï 2. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau.

Baøi giaûi :

Vaäy :

III.Phaàn baøi taäp töï luyeän

Baøi 1. Tìm caùc giôùi haïn sau






Baøi 5. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau

III. Söû duïng ñònh nghóa ñaïo haøm ñeå tìm giôùi haïn cuûa haøm soá

Theo ñònh nghóa ñaïo haøm : "Cho haøm soá y= f(x) coù D=(a;b)x0 laø moät giaù trò thuoäc D . Giôùi haïn cuûa tyû soá

Goïi laø giaù trò ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi ñieåm x0. Neáu haøm soá f=f(x) toàn taïi ñaïo haøm taïi ñieåm x0 : f'(x0)≠

0 , thì :

Moät soá coâng thöùc tính ñaïo haøm caàn bieát :

Ví duï aùp duïng

Ví duï 1. (ÑH-Thuyû lôïi -KA-2001).Tìm giôùi haïn sau

Baøi giaûi :



Vôùi :


Baøi giaûi




Baøi giaûi



* Chuù yù : Coù theå söû duïng moät soá keát quaû sau ñeå tìm giôùi haïn

Keát quaû 1. Tìm giôùi haïn sau

Töø phaân tích : abc-1= (abc-ab)+(ab-a)+(a-1)=ab(c-1)+a(b-1)+(a-1). (1) Cho neân :

Ví dụ . Tìm giới hạn sau

Baøi giaûi :

Do (1)

Kết quả 2 .Tìm giới hạn sau



Ví dụ 1:

Bài giải :

Ví dụ 2 :

Baøi giaûi :

Moät soá baøi taäp töï luyeän







BAØI TAÄP THAM KHAÛO - ÑEÅ LUYEÄN TAÄP

.Baøi 1. Duøng ñònh nghóa, CMR:

a) b) c)


a) b) c)

d)

e) f) g)

j) h)

k)

Daïng voâ ñònh

1. Tìm caùc giôùi haïn sau:

a) b)

c) d)

e) f)



g)

h)

i) j)

k)

l) m)

n) o)

p) q)

r) s)

t) u)

k)


A = B =

D = C =

E = G =

H = L =

I = J =

N =

O = F =



P = Q =

R = M =


a) b) c)

e) f) g)

d) h) 0)

i) 2

2x 1

3x 2 4x x 2lim

x 3x 2

j) k)

o) p) x)

n)

q) r) s)

t) v) w)

4. Tính caùc giôùi haïn sau:

a. b. c.

d. e. f.

Daïng voâ ñònh


a) b) c)



d)

e) f) g)

h)

i) j)

l) k)

m) n)

o)

p) q)

r)

s) t)

Giôùi haïn moät beân

1. Tìm caùc giôùi haïn sau

a) b) c)

d) e)

f) g) h)

i) j)



k) l) g)

h) i)

2. Tìm giôùi haïn beân phaûi, giôùi haïn beân traùi cuûa hs f(x) taïi xo vaø xeùt xem haøm soá coù giôùi haïn taïi xo khoâng ?

3. Tìm A ñeå haøm soá sau coù giôùi haïn taïi xo:

a) vôùi x0 = 1

b) vôùi x0 = 3

Giôùi haïn haøm löôïng giaùc

1. Tính caùc giôùi haïn sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

D¹ng 1: x aBµi 1: Thay vµo lu«n.

1) 2) 3)



4) 5)

6)

Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

8) 9)

10) 11)

12) 13)

14) 15)

16) 17)

Bµi 3: Nh©n lîng liªn hîp (cã mét c¨n bËc hai)

1) 2) 3)

4) 5)

6) 7)

8) 9)

10) 11)

12) (n N, n 2) 13)

14) 15)

16) 17)

Bµi 4: Nh©n lîng liªn hîp (cã hai c¨n bËc hai)



1) 2)

3) 4) (a > 0)

5) 6)

7) 10)

8) 9)

Bµi 5: Nh©n lîng liªn hîp (cã mét c¨n bËc ba)

a) b)

c) d)

Bµi 6: Nh©n lîng liªn hîp (c¶ tö vµ mÉu)

1) 2) 3)

4) 5) 9)

6) 7) 8)

Bµi 7: Nh©n lîng liªn hîp (cã c¶ c¨n bËc hai vµ c¨n bËc ba)

1) (§HQG – KA 97) 2)

3)

4) 5)

6) 7)

D¹ng 2: Giíi h¹n mét bªn

1) 2)

3) 4) .

5) . T×m ;



6) . T×m ; 7) 8) . T×m m ®Ó hµm sè cã giíi h¹n t¹i x = 2.

9) . T×m ;

10) 11)

D¹ng 3: x : Cã c¸c d¹ng v« ®Þnh: - ; 0x ; . Khi ®ã chóng ta ph¶i khö:Chó ý: Khi x - hoÆc x + mµ chia cho x th× ph¶i chó ý tíi dÊu.

1) 2)

3) 6)

4) 5)

7) 8)

9) 15)

10) 11)

12) 18)

13) 14)

16) 17)

19) 20)

21) 24)

22) 23)

25) 26)

27)

D¹ng 4:



1) 2) 3)

4) 5)

6) 7) 8)

9) 10)

11) 12) 13)

14) 17)

15) 16) 18)

19) 20)

21) 24)

22) 23) 25)

(GHN’00) 26) 27)

28)

29) 30) (QG–KB 97)

31) 34) (SPHN ‘00)

32) 33) 35)

36) 37) 38)



39) (TM’99)40) (HH’00)41)

(DLHP’00)

42) 43) 44)

45) 46) 50)

47) 48) 49)

51) 52) 53)

(a 0)

55) 56) 57)

58) 59) 54)

60) 61) 62)

63)


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