[]bai tap dai so 10 nccb day du.doc

WWW.ToanCapBa.Net§1 MỆNH ĐỀ

1.1 Xét xem các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x<3

d) có phải là số nguyên không? e) +4 là số vô tỉ.

1.2. Tìm giá trị của x để được một mệnh đúng, mệnh đề saia) P(x):”3x2+2x1=0” b) Q(x):” 4x+3<2x1”.

1.3. Cho tam giác ABC. Lập mệnh đề PQ và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng sai, với:a) P: “ Góc A bằng 900” Q: “ BC2=AB2+AC2”

b) P: “ ” Q: “ Tam giác ABC cân”.

1.4. Phát biểu bằng lới các mệnh đề sau. Xét tính đúng/sai và lập mệnh đề phủ định của chúnga) x : x2=1 b) x :x2+x+2≠0

1.5. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó

a) b)

c) là số hữu tỉ

d) x=2 là nghiệm của phương trình

1.6. Tìm giá trị của m để được mệnh đề đúng, mệnh đề sai.

a) P(m): “ m< m” b) Q(m): “m< ” c) R(m): “ m=7m”.

1.7. Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúnga) P: “ 15 không chia hết cho 3”

b) Q: “ ”

1.8. Lập mệnh đề PQ và xét tính đúng sai của nó, với:a) P: “2<3” Q: “4<6”b) P: “10=1” Q: “100=0”.

1.9. Cho số thực . Xét mệnh đề P: “ là số hữu tỉ”, Q: “ 2 là một số hữu tỉ”a) Phát biểu mệnh đề PQ và xét tính đúng saib) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trênc) Chỉ ra một giá trị mà mệnh đề đảo sai.

1.10. Cho số thực . Xét mệnh đề P: “ 2=1”, Q: “ =1”a) Phát biểu mệnh đề PQ b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng saic) Chỉ ra một giá trị mà mệnh đề PQ sai.

1.11. Cho số thực . Xét mệnh đề P: “ là số nguyên”, Q: “ +2 là một số nguyên”a) Phát biểu mệnh đề PQ b) Phát biểu mệnh đề QPc) Xét tính đúng sai của PQ, QP.

1.12. Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề P: “AB=AC”, Q: “Tam giác ABC cân”a) Phát biểu PQ, cho biết tính đúng saib) Phát biểu mệnh đề đảo QP.

1.13. Cho tam giác ABC. Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau:a) Nếu AB=BC=CA thì tam giác ABC đều;

b) Nếu AB>BC thì ;

c) Nếu =900 thì ABC là tam giác vuông.

WWW.ToanCapBa.Net-1-

WWW.ToanCapBa.Net1.14. Dùng kí hiệu hoặc để viết các mệnh đề sau:

a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó;b) Mọi số thức cộng với 0 đều bằng chính nó;c) Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó;d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nó.

1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúnga) : x2≤ 0 b) : x2≤0

c) : d) :

e) : 2+ +1>0 f) : 2+ +1>01.16.Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó

a) : .1= b) : . =1c) n : n<n2

1.17. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và chó biết tính đúng saicủa chúnga) Mọi hình vuông là hình thoi;b) Có một tam giác cân không phải là tam giác đều;

1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:a) x , 4x2-1= 0.b) x , n2+1 chia hết cho 4.c) x , (x-1)2 x-1.

1.19. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:a) x , x > x2.b) x , |x| < 3 x< 3.c) x N, n2+1 không chia hết cho 3.d) a , a2=2.

1.20. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:A: ” 15 là số nguyên tố”B: ” a , 3a=7”C: “ a , a2≠3”

1.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ":a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thứ ba thì hai

đường thẳng ấy song song nhau.b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.c) Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 thì chia hết cho 5.d) Nếu a+b > 5 thì một trong hai số a và b phải dương.

1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúngcó các góc tươmg ứmg bằng nhau.b) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc nhau.c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho thì nó chia hết cho 3.d) Nếu a=b thì a2=b2 .

1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”“Tam giác ABC là một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và có một góc bằng

600”1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:

a) Để tứ giác T là một hình vuông, điều kiện cần và đủ là nó có bốn cạnh bằng nhau.b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia hết cho 7.c) Để ab>0, điều kiện cần là cả hai số a và b điều dương.d) Đề một số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện đủ là nó chia hết cho 9.

1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích.a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng.c) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc(trong) bằng tổng hai góc còn lại.d) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 600.

BÀI TẬP THÊM


WWW.ToanCapBa.Net1. Xét đúng (sai)của mệnh đề sau :

a/ Hình thoi là hình bình hành

b/ Số 4 không là nghiệm của phương trình : x2 5x + 4 = 0

c/ ( > ) (3 < ) d/ ( > ) (42 < 0)

e/ (5.12 > 4.6) (2 < 10) f) (1< 2 ) 7 là số nguyên tố

2. Phủ định các mệnh đề sau :

a/ 1 < x < 3 b/ x 2 hay x 4

c/ Có một ABC vuông hoặc cân

d/ Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 2 và 3

e/ Có ít nhất một học sinh lớp 10A học yếu hay kém.

f/ x< 2 hay x=3.

g/ x 0 hay x>1.

h/ Pt x2 + 1 = 0 vô nghiệm và pt x+3 =0 có nghiệm

3. Xét đúng (sai)mênh đề và phủ định các mệnh đề sau :

a/ x R , x2 + 1 > 0 b/ x R , x2 3x + 2 = 0

c/ n N , n2 + 2 chia hết cho 4 d/ n Q, 2n + 1 0

e/ a Q , a2 > a f) x R , x2 +x chia hết cho 2.

4.Dùng bảng đúng (sai)để chứng minh:

a) A B = b)

c) d)

B. SUY LUẬN TOÁN HỌC

5. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện đủ"

a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng.

b/ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

c/ Nếu a + b > 2 thì a > 1 hay b > 1

d/ Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là số 0 thì nó chia hết cho 5.

e/ Nếu a + b < 0 thì ít nhất một trong hai số phải âm.

6. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện cần"

a/ Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.

b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì nó có các góc tương ứng bằng nhau.

c/ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.

d/ Nếu a = b thì a3 = b3.

e/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

7.Dùng phương pháp phản chứng, CMR :

a/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

b/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.

c/ Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0

d/ Nếu x = 1 hay y = thì x + 2y 2xy 1 = 0


WWW.ToanCapBa.Net

d/ Nếu x và y thì x + y + 2xy

e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2.

f) Nếu d1// d2 và d1// d3 thì d2 // d3.8. Chứng minh vơi mọi số nguyên dương n, ta có:

a) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . . . . . . . + (2n – 1) = n2 b) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . . . . . . . . + (2n) = n(n +1)

c) 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . . . . . + n =

a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . . + n.(n + 1) =

b)

c)

d) 12 + 22 + 32 + . . . . . . . . . . + n2 =

e) 13 + 23 + 33 + . . . . . . + n3 =

f) 2 1 + 22 + 23 + . . . . .+ 2 n = 2(2 n – 1)

g) 31 + 32 + 33 + . . . . + 3 n = ( 3 n – 1 )

h) n 3 +2n chia hết cho 3 i) n3 +11n chia hết cho 6 j) n3 +5n chia hết cho 6k) 3 2n + 63 hết 72l) 3 2n + 1 + 2 n + 2 chia hết cho 7m) 6 2n + 3 n + 2 + 3 n chia hết cho 11n) 3 2n – 2 n chia hết cho 7o) 4 n + 15.n – 1 chia hết cho 9

§1 MỆNH ĐỀ1.3. a) PQ: “ Nếu góc A bằng 900 thì BC2=AB2+AC2” đúng

QP: “ Nếu BC2=AB2+AC2 thì góc A bằng 900 ” đúng

b) PQ: “ thì tam giác ABC cân” đúng

Q P:” “Nếu tam giác ABC cân thì ” sai (vì có thể

1.4. a) x : x2=1; “ Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1” sai x : x2≠1; “ Với mọi số thực, bình phương của nó đều khác 1”

b) x :x2+x+2≠0; “ Với mọi số thực đều có x2+x+2≠0” đúng x :x2+x+2=0

1.5. a) Đúng. : “ ”

b) Sai. :

c) Đúng vì =27 là số hữu tỉ. : “ là số vô tỉ”

d) Sai. :” x=2 khônglà nghiệm của phương trình ”

1.8. Lập mệnh đề PQ và xét tính đúng sai của nó, với:a) Nếu 2<3 thì 4<6 Sai


WWW.ToanCapBa.Netb) Nếu 10=1 thì 100=0 Đúng

1.9. a) Nếu là số hữu tỉ thì 2 là một số hữu tỉ Đúngb) Nếu 2 là một số hữu tỉ thì là số hữu tỉ

c) Khi = mệnh đề đảo sai.

1.10. b) mệnh đề đảo đúngc) =1 thì PQ sai.

1.11. a) PQ đúngb) QP đúng

1.12. a) Nếu AB=AC thì tam giác ABC cân đúngb) Nếu tam giác ABC cân thì AB=AC , khi AB=BC≠AC mđ sai

1.13. a) Nếu tam giác ABC đều thì AB=BC=CA cả hai đúng

b) Nếu AB>BC thì ; đúng và mđ đảo đúng

c) Nếu =900 thì ABC là tam giác vuông. đúng và mđ đảo sai (vuông tại B hoặc C)

1.14. a) n : n không chia hết cho n b) : +0=0

c) : < d) n : n>n

1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúnga) Bình phương mọi số thực đều nhỏ hơn hoặc bằng 1 saib) Có một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0đúng

c) Với mọi số thực , sao cho Sai

d) Có số thực, sao cho Đúng

e) Với mọi số thực , sao cho 2+ +1>0 đúngf) Có một số thực , sao cho 2+ +1>0 đúng

1.16. a) : .1≠ saib) : . ≠1 đúngc) n : n≥n2 đúng

1.17. a) “Có ít nhất một hình vuông không phải là hình thoi” saib) “Mọi tam giác cân là tam giác đều” sai

1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:a) x , 4x2-1= 0 sai; mđ phủ “ , 4x2-1≠0”b) n , n2+1 chia hết cho 4 Sai vì

Nếu n là số tự nhiên chẳn : n =2k (kN) n2+1 = 4k2+1 không chia hết cho 4

Nếu n là số tự nhiên le : n = 2k+1 (kN) n2+1 = 4(k2+k)+2 không chia hết cho 4

Mđ phủ định “ n , n2+1 không chia hết cho 4”c) x , (x-1)2 x-1. Sai khi =0

mđ phủ định “ ,(x-1)2 =x-1”1.19. a) đúng, ví dụ =1/10

b) sai, vì khi <3 | |<3 sai khi =8Sửa lại : “ , | |<3 <3”

c) đúng (giải thích)d) sai. Sửa lại “a , a2≠2”

1.20. tương tự 1.191.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ":

a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng thứ ba là điều kiện đủ để hai đường thẳng ấy song song nhau.b) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau.c) Số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5.d) a+b > 5 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b dương.


H

G

PQ

MN

A

B C

WWW.ToanCapBa.Net1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":

a) Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có các góc tươmg ứmg bằng nhau.b) Điều kiện cần để tứ giác T là một hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc nhau.c) Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho là nó chia hết cho 3.d) Điều kiện cần để a=b là a2=b2 .

1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”“Tam giác ABC là một tam giác đều là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam giác cân và có một

góc bằng 600”1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:

a) Sai. “Tứ giác T là một hình vuông là điều kiện đủ để nó có bốn cạnh bằng nhau”b) Sai. “Tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 là điều kiện cần để mỗi số đó chia hết cho 7.c) Sai. “ ab>0 là điều kiện cần để hai số a và b dương”d) Đúng.

1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích.a) Sai. Vì khi diện tích bằng nhau thì chỉ cần 1 cạnh và đường cao ứng với cạnh đó bằng nhaub) Sai.

c) Đúng. Vì Nếu ABC vuông tại A thì . Ngược lại nếu thì

d) Đúng. Vì ABC đều thì 2 trung tuyến bằng nhau. Ngược lại, nếu BM=CN. Lấy Q đối xứng của C qua N, P đối ứng B qua MKhi đó AQBC và APCB là hai hình bình hành bằng nhauMà CQ=BP AB=AC ABC cân.

§2 TẬP HỢP1. Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa .

- Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa như: A, B, C, D, .... các phần tử của tập hợp đặt trong cặp dấu { }.

- Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a A, ngược lại ta viết a A.- Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng. Khí hiệu

2. Cách xác định tập hợp: có 2cách- Liệt kê các phần tử : mỗi phần tử liệt kê một lần, giữa các phần tử có dấu phẩy hoặc dấu chấm phẩy

ngăn cách. Nếu số lượng phần tử nhiều có thể dùng dấu ba chấmVD : A = 1; 3; 5; 7

B = 0 ; 1; 2; . . . . ;100 C={1;3;5;...;15;17}

- Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp, tính chất này được viết sau dấu gạch đứng

VD : A = x N | x lẻ và x <9 ; B= {x | 2x2-5x+3=0}3. Tập con : Nếu tập A là con của B, kí hiệu: AB hoặc BA.

Khi đó A B x( xA xB)Ví dụ: A={1;3;5;7;9}, B={1;2;3;...;10}

Cho A ≠ có ít nhất 2 tập con là và A.Tính chất: A A , A với mọi A

Nếu A B và B C thì A C4. Tập hợp bằng nhau:

A=B A B và B A hay A=B x (x A x B)

Ví dụ : C={xR | 2x2-5x+2=0}, D={2

1,2 } C=D

- Biểu đồ Ven


WWW.ToanCapBa.Net

Ta có *

BÀI TẬP §22.1. Viết các tập sau bằng cách liệt kê các phần tử

A= { | 2x25x+2=0}B= {n | n là bội của 12 không vượt quá 100}C = {xR | (2x-x2)(2x2-3x-2) = 0}D = {xZ | 2x3-3x2-5x = 0}E = {xZ | |x| < 3 }F = {x | x=3k với kZ và -4 < x < 12 }G= {Các số chính phương không vượt quá 100}H= {n | n(n+1)≤ 20}.I={ | là ước nguyên dương của 12}J={ | là bội nguyên dương của 15}K= {n | n là ước chung của 6 và 14}L= { n | n là bội của 6 và 8}

2.2. Viết các tập sau theo cách chỉ ra tính chất đặc trưngA={2;3;5;7} B= {1;2}C={2;4;6;8;...;88;90} D={4;9;16;25}

2.3. Trong các tập sau tập nào là tập rỗng? A = {x | x2-x+1=0 } B = {x | x2-4x+2= 0} C = {x | 6x2-7x+1= 0} D = {x | | x| < 1} .

2.4. Trong các tập sau, tập nào là con của tập nào? A = {1,2,3} B = { xN | x<4 } C = (0;+ ) D = { xR | 2x2-7x+3= 0} .

2.5. Tìm tất cả các tập con của các tập sau: a) A = {1;2} b) B= {1;2;3;4}.

c) C= d) D= {}2.6. Tìm tất cả các tập X sao cho: {1,2} X {1,2,3,4,5} .2.7. Tập A = {1,2,3,4,5,6} có bao nhiêu tập con gồm hai phần tử ? Để giải bài toán , hãy liệt kê tất cả các tập con của A gồm hai phần tử rồi đếm số tập con này. Hãy thử tìm một cách giải khác. 2.8. Liệt kê tất cả các phần tử của mỗi tập sau:

R={3k-1| k , -5≤ k ≤5}

S={x | 3<|x|≤ }

T= { | 2x25x+2=0}

BÀI TẬP THÊM1. Liệt kê các phần tử của tập hợp sau :

a/ A = {x N / x < 6}b/ B = {x N / 1 < x 5}c/ C = {x Z , /x / 3}d/ D = {x Z / x2 9 = 0} e/ E = {x R / (x 1)(x2 + 6x + 5) = 0}f/ F = {x R / x2 x + 2 = 0}g/ G = {x N / (2x 1)(x2 5x + 6) = 0}h/ H = {x / x = 2k với k Z và 3 < x < 13}i/ I = {x Z / x2 > 4 và /x/ < 10}j/ J = {x / x = 3k với k Z và 1 < k < 5}k/ K = {x R / x2 1 = 0 và x2 4x + 3 = 0}l/ L = {x Q / 2x 1 = 0 hay x2 4 = 0}


WWW.ToanCapBa.Net2. Xác định tập hợp bằng cách nêu tính chất :

a/ A = {1, 3, 5, 7, 9} b/ B = {0, 2, 4}c/ C = {0, 3, 9, 27, 81} d/ D = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4}

e/ E ={2, 4, 9, 16, 25, 36} f/ F = { , , , }

3. Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau :a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c}c/ C = {a, b, c, d} d) A = {1, 2, 3, 4}

4. Cho A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 3} ; C = {2, 3} ; D = {2, 3, 5}a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ b/ Tìm tất cả các tập X sao cho C X Bc/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C Y A

5. Cho A = {x / x là ước nguyên dương của 12} ; B = {x N / x < 5} ; C = {1, 2, 3} ; D = {x N / (x + 1)(x 2)(x 4) = 0}

a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ b/ Tìm tất cả các tập X sao cho D X Ac/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C Y B

§3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

1.Pheùp giao 2. Pheùp hôïp 3. Hieäu cuûa 2 taäp hôïp

AB = x|xA vaø xBx A B Tính chấtA A=AA = A B=B A

AB = x| xA hoaëc xB

x A B

Tính chấtA A=AA =AA B= B A

A\ B = x| xA vaø xB

x A\B

Tính chấtA\ =AA\A= A\B≠B\A

4. Phép lấy phần bù: Neáu A E thì CEA = E\A = x ,xE vaø xA Ví dụ 1: Cho A= {1;2;3;4}, B= {1;3;5;7;9} , C= {4;5;6;7}.

Tính A B, (A B) C, A C, (A B) C, A\ B, A\ C BÀI TẬP §3

3.1. Cho các tập A = {0 ; 1; 2; 3}, B = {0 ; 2; 4; 6}, C = {0 ; 3; 4; 5}. TínhA B, B C, C\A, (A B)\ (B C)

3.2. Cho A = {xN | x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}a) Xác định A B ; AB ; A\B ; B\ Ab) CMR : (A B)\ (AB) = (A\B) (B\ A)

3.3. Cho R={3k-1| k , -5≤ k ≤5}, S={x | 3<|x|≤ },

T= { | 2x24x+2=0}. Tính R S, S T, R\S3.4. Cho A={0;2;4;6;8}, B={0;1;2;3;4}, C={0;3;6;9}. Tính

a) (A B) C và A (B C). Có n hận xét gì về hai kết quả?b) (A B) Cd) (A B) C e) (A \ B) C

3.5. Cho A={0;2;4;6;8;10}, B={0;1;2;3;4;5;6}, C={4;5;6;7;8;9;10}. Tínha) B C, A B, B C, A\B, C\B b) A (B C)c) (A B) C d) A (B C)e) (A B) C f) (A\B) (C\B)


WWW.ToanCapBa.Net3.6. Cho E = { x | 1 x < 7}

A= { x | (x2-9)(x2 – 5x – 6) = 0 }B = { x | x là số nguyên tố 5}

a) Chứng minh rằng B Eb) Tìm CEB ; CE(AB)c) Chứng minh rằng : E \ (A B)= (E \A) ( E \B)

E \ ( AB) = ( E \A) ( E \ B)


WWW.ToanCapBa.Net§4 CÁC TẬP HỢP SỐ

1. Các tập số đã học, *, , ,

2. Các tập con thường dùng của Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễnTập số thực (-;+) Đoạn [a ; b] xR, a x bKhoảng (a ; b )

Khoảng (- ; a)

Khoảng(a ; + )

xR, a < x < b

xR, x < a

xR, a< x

Nửa khoảng [a ; b)

Nửa khoảng (a ; b]

Nửa khoảng (- ; a]

Nửa khoảng [a ; )

xR, a x < b

xR, a < x b

xR, x a

xR, a x

[a ; b]= xR, a x b,.....R+=[0;+), R=(;0]Chú ý 1: Có hai cách biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn trên trục số: Hoặc gạch bỏ phần không

thuộc khoảng hay đoạn đó, hoặc tô đậm phần trục số thuộc khoảng hay đoạn đó.Ví dụ: Biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn sau trên trục số theo hai cách

(2;5), [3;1], ([1;4]Chú ý 2: -Tìm giao của các khoảng ta biểu diễn các khoảng đó trên cùng một trục số. Phần còn lại sau khi đã

gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp. -Tìm hợp của các khoảng ta viết các khoảng đó trên cùng một trục số,sau đó tiến hành tô đậm từng

khoảng. Hợp của các khoảng là tất cả các tô đậm trên trục số. -Tìm hiệu của hai khoảng (a;b)\(c,d) ta tô đậm khoảng (a;b) và gạch bỏ khoảng (c;d), phần tô đậm

còn lại là kết quả cần tìm. Ví dụ: Tính

a) (1;2] [1;3) = [1;2]

b) [3; ) (1;+ ) =[1; )

c) ( ;2) (1;4) =( ;4)

d) ( ;2]\(1;4) =( ;1]

BÀI TẬP §4-C14.1. Viết lại các tập sau về kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng. Biểu diễn chúng trên trục số.

A={ | ≥ 3}B={ | <8}C={ | 1< < 10}D={ | 6 < ≤ 8}

E={ | ≤ ≤ }

F={ | 1<0}4.2. Viết các khoảng, đoạn sau về dạng kí tập hợp

E=(1;+) F=(;6]

G=(2;3] H=[ ;1]

4.3. Xác định AB, AB, A\B, B\A và biểu diễn kết quả tên trục sốa) A = { | 1 } B ={ | 3 }


//////////// [

)/////////////////////

////////////( ) /////////

///////////////////(

////////////[ ) /////////

]/////////////////////

///////////////////[

0

WWW.ToanCapBa.Netb) A = { | 1 } B ={ | 3 }c) A = [1;3] B = (2;+ )d) A = (-1;5) B = [ 0;6)

4.4. Cho A={ | 2≥0 }, B={ | 5>0}. Tính A B, A B, A\B, B\A.

4.5. Xác định các tập sau và biểu diễn chúng trên trục sốa) (5;3) (0;7) b) (1;5) (3;7)c) \(0;+) d) (;;3) (2;+)

4.6. Xác định A\B , A B, A B và biểu diễn chúng trên trục sốa) A=(3;3) B=(0;5)b) A=(5;5) B=(3;3)c) A= B=[0;1]d) A=(2;3) B=(3;3)

4.7. Xác định tập hợp C D, biếta) C=[1;5] D=(3;2) (3;7)b) C=(5;0) (3;5) D=(1;2) (4;6)

4.8. Xác định các tập saua) (3;5] b) (1;2) c) [3;5]

4.9. Xác định các tập sau a) \((0;1) (2;3)) b) \((3;5) (4;6))c) (2;7)\[1;3] d) ((1;2) (3;5))\(1;4)

4.10. Xác định các tập sau

a) (; ) ( ;+) b) ( ;7) (2; )

c) (0;12)\[5;+) d) \[1;1)

BÀI TẬP THÊM1. Cho 3 tập hợp : A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6} ; C = {4, 6}

a/ Tìm A B , A C , B C b/ Tìm A B , A C , B Cc/ Tìm A \ B , A \ C , C \ Bd/ Tìm A (B C) và (A B) (A C). Có nhận xét gì về hai tập hợp này ?

2. Cho 3 tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {2, 4, 6} ; C = {1, 3, 4, 5}. Tìm (A B) C và (A C) (B C). Nhận xét ?

3. Cho 3 tập hợp A = {a, b, c, d} ; B = {b, c, d} ; C = {a, b}a/ CMR : A (B \ C} = (A B) \ (A C)b/ CMR : A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)

4. Tìm A B ; A B ; A \ B ; B \ A , biết rằng :a/ A = (2, + ) ; B = [1, 3] b/ A = (, 4] ; B = (1, +)c/ A = (1, 2] ; B = (2, 3] d/ A = (1, 2] ; B = [2, +)e/ A = [0, 4] ; B = (, 2] e) A = (2 , 10) ; B = ( 4, 7 )

5. Cho A = {a, b} ; B = {a, b, c, d}. Xác định các tập X sao cho A X = B6. A= {x N / 0< x < 10} ; A, B X ;

A B = {9, 4, 6}A {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} ; B { 4, 8} = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Xác định A, B.


WWW.ToanCapBa.Net§5 SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ

1. Số gần đúng Trong nhiều trường hợp ta không thể biết được giá trị đúng của đại lượng mà ta chỉ biết số gần đúng của nó. Ví dụ: giá trị gần đúng của là 3,14 hay 3,14159; còn đối với là 1,41 hay 1,414;… Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nó. Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối. 2. Sai số tuyệt đối:

a) Sai số tuyệt đối của số gần đúngNếu a là số gần đúng của thì a=| a| được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

b) Độ chính xác của một số gần đúngTrong thực tế, nhiều khi ta không biết nên ta không tính được a. Tuy nhiên ta có thể đánh giá a

không vượt quá một số dương d nào đó.Nếu a ≤ d thì ad≤ ≤ a+d, khi đó ta viết =a ± dd gọi là độ chính xác của số gần đúng.Ví dụ: Giaû söû = vaø moät giaù trò gaàn ñuùng cuûa noù laø a = 1,41.Ta coù

: (1,41)2 = 1,9881 < 2

1,41 < - 1,41 > 0.(1,42)2 = 2,0164 > 2

1,42 > -1,41 < |1,42-1,41|=0,01.

Do ñoù : Vaäy sai soá tuyeät ñoái cuûa 1,41 laø khoâng vöôït quaù 0,01. *Sai số tương đối

, do đó .

Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm (nhân với 100%).

Nếu càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao.

* Sai số tuyệt đối không nói lên chất lượng của xắp xỉ mà chất lượng đó được phản ánh qua sai số tương đối. Sai số tương đối càng nhỏ thì độ chính xác càng lớn. 3. Quy tròn số gần đúng

* Nguyên tắc quy tròn các số như sau: - Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0. - Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng vi tròn.

Ví dụ 1: Quy tròn số 7216,4 đến hàng chục là 7220(vì chữ số ở hàng quy tròn là 1 chữ số sau nó là 6)Ví dụ 2: Quy tròn số 2,654 đến hàng phần trăm là 2,65(vì chữ số ở hàng qui tròn là 1 chữ số sau nó là

4)Ví dụ 3: Quy tròn số 2,649 đến hàng phần chục là 2,6(vì chữ số ở hàng qui tròn là 6 chữ số sau nó là 4).

Chú ý: Khi thay số đúng bởi số quy tròn thì sai số tuyệt đối nhỏ hơn nửa đơn vị hàng quy trònỞ vd1 ta có a=|7216,4-7220|=3,6<5 (hàng quy tròn là hàng chục)Ở vd2 ta có a=|2,654-2,65|=0,004 <0,005 (hàng quy tròn là hàng phần trăm 0,01)

* Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước:Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu quy tròn a mà không nói rõ quy tròn đến hàng

nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.d Hàng quy tròn

Hàng trăm Hàng nghìnHàng chục Hàng trămHàng phần trăm Hàng phần chục……………………. ……………………….

Ví dụ 1: Cho =1,236±0,002 số quy tròn của 1,236 là 1,24 (vì 0,002<0,01)Ví dụ 2: Cho =37975421±150 số quy tròn của 37975421 là 37975000


WWW.ToanCapBa.NetVí dụ 3: Cho số gần đúng a=173,4592 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,01 (d=0,01). Khi đó số quy

tròn của a là 173,5* Chú ý:

- Kí hiệu khi viết gần đúng là - Khi thực hiện quy tròn thì sai số tuyệt đối tăng lên. - Hàng phần chục, phần trăm,… là những số sau đấu phẩy.- Hàng hơn vị, hàng chục, hàng trăm,… là những số trước dấu phẩy.

4. Chữ số chắc chắn (đáng tin) (Ban CB chỉ đến số 3)Trong số gần đúng a, một chữ số được gọi là chữ số chắc chắn nếu d không vượt quá ( ≤ )nửa đơn vị

của hàng có chữ số đó (nếu d > nửa đơn vị của hàng có chữ số đó thì chữ số đó không chắc)Tất cả những chữ số đứng bên trái chữ số chắc chắn là chắc chắn. Những chữ số đứng bên phải chữ

số không chắc là không chắc.Ví dụ 1: Cho =1379425±300, xác định các chữ số chắc chắn

Ta có nên chữ số hàng trăm không chắc, chữ số hàng nghìn chắc

chắn=> 1,3,7,9 lá các chữ số chắn.Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có diện tích S = 180,57 cm2 0,06 cm2 . Tìm các chữ số chắc của S.

Ta có nên chữ số hàng phần chục không chắc, chữ số hàng

đơn vị chắc chắn=> 1,8,0 là các chữ số chắc chắn.5. Dạng chuẩn của số gần đúng

- Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ chắc chắn.

- Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10k trong đó A là số nguyên , k là hàng thấp nhất có chữ số chắc (kN). (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn)

Khi đó độ chính xác d=0,5.10k

Ví dụ: Giá trị gần đúng của viết ở dạng chuẩn là 2,236. Nên độ chính xác d=0,5.10-3=0,0005, do đó 2,236-0,0005≤ ≤2,236+0,00056. Kí hiệu khoa học của một số

Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng .10n, 1≤||<10, n Z

(ta có )

Ví dụ : Khối lượng Trái Đất là 5,98.1024kgKhối nguyên tử của Hiđrô là 1,66.10-24g

BÀI TẬP §55.1. Cho =1,7320508…Viết số gần đúng theo quy tắc là tròn đến hai, ba, bốn chữ số thập phân có ước lượng sai số tuyệt đối mỗi trường hợp.

HD: Ta có 1,73< <1,74| -1,73|<|1,73-1,74|=0,01 vậy sai số tuyệt đối trong trương hợp (làm tròn 2 chữ số thập phân) không vượt quá 0,001.5.2. Theo thống kê dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10000. Hãy viết quy tròn của số trên.

Kq: 797200005.3. Đo độ cao một ngọn núi là h=1372,5m±0,1m. Hãy viết số quy tròn của số 1372,5

Kq: 13735.4. Đo độ cao một ngọn cây là h=347,13m±0,2m. Hãy viết số quy tròn của số 347,13

Kq: 3475.5. Chiều dài cây cầu là d=1745,25m±0,01m. Hãy viết số quy tròn của 1745

Kq : 1745,35.6. Cho giá trị gần đúng của là a=3,141592653589 với độ chính xác là 10-10. Hãy viết số quy tròn của a.

Kq : 3,1415926545.7. Một hình lập phương có thể tích V=180,57cm3±0,05 cm3. Xác định các chữ số chắc chắn của V.

Kq : 0,01/2<0,05≤0,1/2 1,8,0,5 là chữ số chắc chắn.


WWW.ToanCapBa.Net5.8. Trong một thí nghiệm, hằng số C được xác định là 2,43265 với cận trên của sai số tuyệt đối d=0,00312. Tìm các chữ số chắc chắn của C.5.9. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x=43m±0,5m, chiều dài y=63m±0,5m. chứng minh rằng chu vi P của miếng đất là P=212m±2m


WWW.ToanCapBa.NetChương II

HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI§1 HÀM SỐ

I. Ôn tập về hàm số 1. Hàm số:

Cho D . Hàm số f xác định trên D là một quy tắc ứng với mỗi xD là một và chỉ một số y , kí hiệu là y= f(x). Khi đó:

+ x gọi là biến số (hay đối số) của hàm số và y gọi là hàm số của x; + D gọi là tập xác định (hay miền xác định);+ f( ) là giá trị của hàm số tại x.

2. Cách cho hàm số+ Hàm số cho bằng bảng.+ Hàm số cho bằng biểu đồ.+ Hàm số cho bằng công thức: y=f( )

Chú ý: Khi hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì : “ Tập xác định của hàm số y=f( ) là tập hợp tất cả các số thực sao cho biểu thức f( ) có nghĩa”.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số

a) y=f( )= b) y= c) y=

Ví dụ 2: Cho

a) Tìm tập xác định của hàm số.b) Tính f(1), f(1), f(0).

3. Đồ thị hàm sốĐồ thị của hàm số y=f( ) xác định trên D là tập hợp các điểm M(x;f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với

mọi D.II. Sự biến thiên của hàm số Cho f(x) xác định trên khoảng K. Khi đó:

f đồng biến ( tăng) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) < f(x2)f nghịch biến ( giảm) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) > f(x2)

Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên của hàm số (xem SGK)III. Tính chẵn lẻ của hàm số

+ f gọi là chẵn trên D nếu xD x D và f(x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.+ f gọi là lẻ trên D nếu xD x D và f(x) = f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng.

(Ban CB đến III)* Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Oxy

Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q

Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – qTịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p)Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)

Đối xứng qua trục hoành thì x không đổi y’= -yĐối xứng qua trục tung thì y không đổi x’= -

* Tịnh tiến điểm A(x;y) song song với trục tọa độ Oxy :+ Lên trên q đơn vị được A1(x ; y+q)+ Xuống dưới q đơn vị được A1(x ; yq)+ Sang trái p đơn vị được A1(xp ; y)+ Sang phải p đơn vị được A1(x+p ; y)


WWW.ToanCapBa.NetCÁC DẠNG BÀI TẬP

I. Tìm tập xác định của hàm số*Phương pháp

+ Để tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta tìm điều kiện để f(x) có nghĩa,tức là: D = {x | f(x) } + Cho u(x), v(x) là các đa thức theo x , khi ta xét một số trường hợp sau :

a) Miền xác định của hàm số dạng đẳng thức : y=u(x) ; y = u(x)+v(x) ; y=| u(x) | ; y = … là D =

(không chứa căn bậc chẵn, không có phân số, chỉ có căn bậc lẻ,…)

b) Miền xác định hàm số y = là D = { x | v(x) 0 }

c) Miền xác định hàm số y = là D = { x | u(x) }

d) Miền xác định hàm số y = là D = { x | u(x) > 0 }

e) Miền xác định hàm số y = là

D= {x | u(x) } {x | v(x) } tức là nghiệm của hệ VÍ DỤ : Tìm tập xác định của các hàm số sau

II. Xét sự biến thiên của hàm số* Phương pháp + Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x). + Viết D về dạng hợp của nhiều khoảng xác định ( nếu có ). + Xét sự biến thiên của hàm số trên từng khoảng xác định K= (a;b) như sau: . Giả sử x1,x2 K, x1 < x2

. Tính f(x2) - f(x1)

. Lập tỉ số T =

Nếu T > 0 thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) Nếu T < 0 thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b).

VÍ DỤ:III. Xét tính chẵn lẻ của hàm số * Phương pháp + Tìm tập xác định D của hàm số y =f(x) + Chứng minh D là tập đối xứng, tức là : x D D + Tính f(-x), khi đó . Nếu f(-x) = f(x) với x D thì y =f(x) là hàm số chẵn . Nếu f(-x) = -f(x) với x D thì y = f(x) là hàm số lẻ. . Nếu có một x0 D sao f(-x0) f(x0) & f(-x0) -f(x0) thì hàm số y = f(x) không chẵn và không lẻ.

VÍ DỤ:

IV. Tịnh tiến đồ thị song song trục tọa độCho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q

Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – qTịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p)Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)


WWW.ToanCapBa.NetBÀI TẬP §1-C2

1.1. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y= 3x3 +2 b)

c) y= d) y=

e) y= f) y=

g) y= h)

1.2. Cho hàm số y= .

Tính các giá trị của hàm số đó tại =3; =0; =1

1.3. Cho hàm số y=

Tính giá trị của hàm số đó tại =5; =2; = 2

1.4. Cho hàm số y=g( )

Tính các giá trị g(3); g(0); g(1); g(2); g(9)1.5. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng được chỉ ra

a) y=f( )= 2x27 trên khoảng (4;0) và trên khoảng (3;10)

b) y=f( )= trên khoảng (;7) và trên khoảng (7;+)

1.6. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

a) y=f( )= b) y=f( )=

c) y=f( )=x3 1 d) y=31.7. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y= b) y=

c) y= 5+7 3 d) y=

e) y= f) y=

g) y= h) y=

1.8. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y = b) y =

c) y = d) y =

e) y = 23

123

xx

xf) y =

1

122

xx

x


WWW.ToanCapBa.Net1.9. Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra

a) y= 2 +3 trên b) y= x2+10 +9 trên (5;+)

c) y= trên (3;2) và (2;3)

1.10. Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi raa) y = x2+4x-2 ; (- ;2) , (-2;+ )

b) y = -2x2+4x+1 ; (- ;1) , (1;+ )

c) y = 1

4

x ; (-1;+ )

d) y = x2

3 ; (2;+ )

1.11. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số saua) y= 4 b) y= 3x21

c) y= 4+3 2 d) y=

1.12. Xét tính chẵn lẻ của các số saua) y = x4-x2+2 b) y= -2x3+3x c) y = | x+2| - |x-2| d) y = |2x+1| + |2x-1| e) y = (x-1)2 f) y = x2+2

1.13. Cho hàm số y= f(x) =2x

a , với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến (tăng), nghịch biến trên các

khoảng xác định của nó. 1.14. Cho hàm số

a) Tìm tập xác định của hàm số f.

b) Tính f(-1), f(0,5), f( ), f(1), f(2).

BÀI TẬP THÊM 1Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau :

a) D= \{ } b) D=

c) D= \{1;2} d) D=[1;+)\{2}

e) D=(1;+) f) D= \{3;3}

g) D=(;0]\{1} h) D=(2;2]

i) D=[1;4]\{2;3} j) y= D=[ ;3]

Bài tập 2 : Cho hàm số a) Tìm tập xác định của hàm số f. D=[1;)

b) Tính f(-1), f(0,5), f( ), f(1), f(2).


WWW.ToanCapBa.NetBài tập 3: Trong các điểm sau M(-1;6), N(1;1), P(0;1),

điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=3x2-2x+1.Bài tập 4: Trong các điểm A(-2;8), B(4;12), C(2;8), D(5;25+ ), điểm nào thuộc đồ thị hàm số f(x)= x2+

.

Bài tập 5: Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:a) y= x2+2x-2 trên mỗi khoảng (-;-1) và (-1;+) T= x2+x1+2

x 1 +

y=x2+2x-2+ +

3b) y= -2x2+4x+1 trên mỗi khoảng (-;1) và (1;+) T=2(x1+x22)

x 1 +

y=-2x2+4x+1 3

c) y= trên mỗi khoảng (-;3) và (3;+) T=

x 1 +

y=0 +

0

d) y= trên mỗi khoảng (-;2) và (2;+)

T=

e) y= x2-6x+5 trên mỗi khoảng (-;3) và (3;+)T= x2+x16

f) y= x2005+1 trên khoảng (-;+)x1<x2 => < => f(x1)= +1< +1=f(x2) đồng biến

Bài tập 6 : Dựa vào đồ thị của hàm số, hãy lập bảng biến thiên

(A)x 2 1 +

y=-2x2+4x+1+ 3

1 (B)

x 1 +

y=0 +

0

(C)x 2 +

y=f(x) 1

Bài tập 7: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau :a) y=x43x2+1 chẵn b) y= -2x3+x lẻc) y= |x+2| - |x-2| lẻ d) y=|2x+1|+|2x-1| chẵne) y= |x| chẵn f) y=(x+2)2

g) y=x3+x lẻ h) y=x2+x+1i) y=x|x| lẻ j) y= D=[1;1] chẵnk) y= D=[1;1] lẻ


WWW.ToanCapBa.Net

Bài 8 : Cho đường thẳng y=0,5x. Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào khi tịnh tiến (d):a) Lên trên 3 đơn vị b) Xuống dưới 1 đơn vịc) Sang phải 2 đơn vị d) Sang trái 6 đơn vị.

Bài 9: Gọi (d) là đường thẳng y= 2x=f(x) và (d’) là đường thẳng y= 2x-3. Ta có thể coi (d’) có được là do tịnh tiến (d):

a) Lên trên hay xuống dưới bao nhiêu đơn vị?(d’): y=2x3= f(x)3

b) Sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị?

(d’): y=2x3= 2(x )

Bài 10: Cho đồ thị (H) của hàm số y=

a) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào?

b) Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào?

c) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào?Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm A(-1;3), B(2;-5), C(a;b). Hãy tính tọa độ các điểm có được khi tịnh tiến các điểm đã cho:

a) Lên trên 5 đơn vịb) Xuống dưới 3 đơn vịc) Sang phải 1 đơn vịd) Sang trái 4 đơn vị.

BÀI TẬP THÊM 21. Tìm tập xác định của hàm số

a) y = |x+2| - | 3x2-4x-3| D= b) y = D=

c) D=

d) y = D=

e) y = D=

f) y= D= \{0;3}

g) y = D=(1;1]\{0}

h) D=(0;+)\{4}

i) y = D=(;3]\{1;1}

j) y = D= vì >0 x

k) y = D=[ ;6]

l) y = D= \{1;0;1}


WWW.ToanCapBa.Net

m) y = D=[1;2)

n) y = D=[3;+) vì ≠0 x

o) y = D=

vì >0 x

>0 x

p) y = D=

vì không có giá trị nào của x để |x2|+|x2+2x|=0. Thật vậy:nếu x2=0 x=2 thì x2+2x≠ 0

q) y = D= \{1;1}

r) y = D=[3;+)

s) y = - D=[4;+)

t) y = D= \{1}

vì khi x=1 thì mẫu bằng 0 (tương tự câu p)

u) y = D= \{1;1}

v) y = D=[1;1]

w) y = D= \{1;1}

x) y = f(x)= D=[2;2]

2. Xét sự biến thiên của các hàm số trên các khoảng đã chỉ ra

a) y = trên T=

b) y = 3x2-4x+1 trên (- ) T=3x2 + 3x14

c) y = trên (1;+ ) T=

d) y = trên (2; + ) T=

e) y = | x+2| - | x-2 | trên (-2;2) x (2;2) khi đó 2< x <2

x+2>0; x2<0 y= x+2 [(x2)]=2x T=2 hàm số đống biến4. Với giá trị nào của a thì các hàm số sau đồng biến,nghịch biến trên các khoảng xác định của nó


WWW.ToanCapBa.Net

a) y = f(x) = T=

b) y = f(x) = T=

5. Xét tính chẵn , lẻ của các hàm số sau

a) y = D= \{0}; chẵn

b) y = x(|x|-2) D= ; lẻc) y = x2-2|x| D= ; chẵnd) y = | x+3 | - | x-3 | D= ; lẻe) y = 2x+ | x+3 | + | x-1 | D= ; không chẵn, không lẻ

f) y = x7- D= \{0} vì |x|+x2 ≥ 0 x, dấu “=” khi x=0

g) y = + | x+2 | D= ; chẵn vì

h) y = D= \{0}; lẻ

i) y = D=[1;+) x D x D

j) y = D= \{1} x D x D (khi x=1)

k) Định m để hàm số y = f(x) = x2 + mx +m2 ,x R ,là hàm chẵn. f(-x) = x2mx+m2

để f(x) chẵn khi m=m = m=06. Gọi (G) là đồ thị của hàm số y=2|x|, ta được đồ thị hàm số nào khi tịnh tiến (G):

a) lên trên 3 đơn vị;b) sang trái 1 đơn vị;c) sang phải 2 đơn vị rồi xuống dưới 1 đơn vị.

BÀI TẬP THÊM 31/ Tìm tập xác định của các hàm số sau :

a/ y = b/ y =

c/ y = d/ y =

e/ y = f/ y =

g/ y = h/ y = +

i/ y = + j/ y =

k/ y = l/ .

m) y = o) y =

p)y = q) y =

r) y = - s) y = +


WWW.ToanCapBa.Net2. Tìm m để tập xác định hàm số là (0 , + )

a) y =

b) y = ĐS: a) m > 0 b) m > 4/3

3. Định m để hàm số xác định với mọi x dương

a/ b/

4. Xét sự biến thiên của các hàm số trên khoảng đã chỉ ra :a/ y = x2 4x (-, 2) ; (2, +) b/ y = 2x2 + 4x + 1 (-, 1) ; (1, +)

c/ y = (1, +)

d/ y = (3, +)

e/ y = (, 1)

f/ y =

6. Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số :a/ y = 4x3 + 3x b/ y = x4 3x2 1

c/ y = d/ y =

e/ y = |1 x| + /1 + x| f/ y = |x + 2| |x 2|g/ y = |x + 1| |x 1| h/ y = +

i/ y = | x|5.x3 k/

l/ y = m) y =

§2 HÀM SỐ y= ax + b1. Hàm số bậc nhất

Hàm số dạng y = ax + b , a;b và a≠ 0. Hệ số góc là aTập xác định: D = Chiều biến thiên: a > 0 hàm số đồng biến trên

a < 0 hàm số nghịch biến trên Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số: là một đường thẳng. Đồ thị không song song và trùng với các trục tọa độ, cắt trục tung tại điểm (0;b) và cắt trục hoành tại (-b/a;0).

2. * Cho hai đường thẳng (d):y= ax+b và (d’)= a’x+b’, ta có:

(d) song song (d’) a=a’ và b≠b’(d) trùng (d’) a=a’ và b=b’(d) cắt (d’) a≠a’.(d)(d’) a.a’= 1


y

xO

D

C

B

A

4

42

y

xO

WWW.ToanCapBa.Net2. Hàm số hằng y=b

Đường thẳng y= b là đường thẳng song song hoặc trùng trục Ox và cắt Oy tại điểm có tọa độ (0;b).Đường thẳng x= a là đường thẳng song song hoặc trùng trục Oy và cắt Ox tại điểm có tọa độ (a;0)

3. Hàm số bậc nhất trên từng khoảng, hàm số y= |ax+b|Muốn vẽ đồ thị hàm số ta làm như sau:

+ Vẽ hai đường thẳng y = ax + b, y = - ax – b+ Xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành

Ví dụ 1: Khảo sát vè vẻ đồ thị hàm số y= | | (Xem SGK tr.42)

Ví dụ 2: Xét hàm số y=f(x)=

Đồ thị (hình)

Ví dụ 3 : Xét hàm số y=|2x-4|Hàm số đã cho có thể viết lại như sau :

y=Đồ thị (hình)

Ví dụ 4: Tìm hàm số bậc nhất y=f(x) biết đồ thị của nó đi qua 2 điểm A(0 ; 4) , B (-1;2).Vẽ đồ thị và lập bảng

biến thiên của hàm số ( ) ( )y g x f x .

Giải

Hàm số bậc nhất có dạng , 0y ax b a .

Đồ thị hàm số qua điểm A , B 4 2

2 4

b a

a b b

Vẽ đồ thị hàm ( ) 2 4g x x , ta vẽ đồ thị hai hàm số

2x neáu

2x neáu

42

42

x

xy trên cùng 1 hệ trục tọa độ, rồi bỏ đi phần phía trên trục Ox.

Vẽ đồ thị hàm ( ) 2 4g x x

x

y

o-2

-4

-4

Bảng biến thiên.

g(x)

-2x

0

BÀI TẬP §2-C22.1. Vẽ đồ thị các hàm số sau

a) y= 2 +1 b) y= c) y=

e) y= f) y=

2.2. Vẽ đồ thị các hàm số sau:a) y=|x|+2x b) y= |3x2|


WWW.ToanCapBa.Net

c) d)

e) g) y= | |22.3. Xác định a, b để đồ thị của hàm số y= ax+b, biết:

a) Đi qua M(1;3) và N(1;2);b) Đi qua M(2;3) và song song y=3x2 ;

c) Đi qua A( ;2) và B(0;1);

d) Đi qua C(1;2) và D(99;2);e) Đi qua P(4;2) và Q(1;1).

2.4. Viết phương trình đường thẳng ứng với các hình sau:

a) b)

2.5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y= |2x3| b) y= | x+1| c) y= |2x|2x

2.6. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau:

a) y = 3x -2 và x = 4

5

b) y =-3x+2 và y = 4(x-3).2.7 Tìm a để ba đường thẳng sau đồng qui: y = 2x; y = -x-3 ; y = ax+5 ;2.8 xác định a và b sao cho đồ thị hàm số y = ax +b , biết

a) đi qua hai diểm (-1;-20) và (3;8)

b) đi qua (4;-3) và song song với đường thẳng y= 3

2x+1.

2.9. vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = f(x) =

0 x neáu

0 x neáu 2x,

,x - b) y = f(x) =

0x neáu 2x,-

0x neáu 1,x

§3 HÀM SỐ BẬC HAI1. Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức y= ax2 + bx + c với a ; b; c R và a ≠ 0

+ Tập xác định D=

+ Đỉnh I (2

b

a ;

4a

) với = b24ac

+ Trục đối xứng là đường x = 2

b

a

2. Sự biến thiêna > 0 a < 0


0

3 -2 x

y y

0 x3

2

5

2

1

1

+2-

y= -x2+4x-3

x

--

1

2

y

xO

y= -x2+4x-3

A

WWW.ToanCapBa.Net Hàm số nghịch biến trên khoảng

( -;2

b

a ) và đồng biến trên khoảng (

2

b

a ;

+) Bảng biến thiên

x-

2

b

a +

y + +

4a

Hàm số nghịch biến trên khoảng

(-;2

b

a ) và đồng biến trên khoảng (

2

b

a ;

+) Bảng biến thiên

x-

2

b

a +

y

4a

- -

3. Cách vẽ đồ thị

-Xác định đỉnh : I

a2a

b4

; ; 2 4b ac (không có ' )

( Sau khi tính xI = yI = . Khi đó I(xI ; yI )

-Vẽ trục đối xứng 2b

xa

- Xác định các điểm đặc biệt (thường là giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng)- Căn cứ vào tính đối xứng , bề lõm và hình dáng parabol để nối các điểm đó lại(Đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c cũng là một parapol)

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = -x2+4x-3Tập xác định : RĐỉnh :I(2;1)Trục đối xứng :x = 2Bảng biến thiên :Điểm đặc biệt :

x = 0 y = -3y = 0 x = 1 hoặc x = 3

Ví dụ 2: dựa vào ví 1 vẽ đồ thị hàm số y = |-x2+4x-3|Cách vẽ : vẽ y= -x2+4x-3 sau đó lấy đối xứng phần âm qua trục Ox

2

-2

5

Ví dụ 3: Xác định hàm số bậc hai 22y x bx c biết đồ thị của nó

1) Có trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4.2) Có đỉnh là (-1;-2)


WWW.ToanCapBa.Net3) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm (1;-2).

Giải

1) Trục đối xứng 1 42 4

b bx b

a

Cắt trục tung tại (0;4) 4 (0)y c

2) Đỉnh 2

1 42 4

4 16 82 0

4 8

b bx b

a

b ac cy c

a

3) Hoành độ đỉnh 2 82 4

b bx b

a

Đồ thị qua điểm (1;-2) 2 (1) 6 4y c c .

Tìm tọa độ giao điểm Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x); (C2) y = g(x).Tọa độ giao điểm của (C1) và (C2) là ngiệm của hệ phương

trình

)(

)(

xgy

xfy. Phương trình f(x) = g(x) (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2).

Ta có: + Nếu (*) vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có giao điểm. + Nếu (*) có n nghiệm thì (C1) và (C2) có n giao điểm.

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau.

BÀI TẬP §3-C23.1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

a) y= x2 + 2 2 b) y= 2x2 + 6 +3 c) y = x22x d) y =

x2+2x+3 e) y = x2+2x2 f) y = x2+2x-2

3.2. Xác định parapol y=2x2+bx+c, biết nó:a) Có trục đối xứng x=1 vá cắt trục tung tại điểm (0;4); Đáp số: b= 4, c= 4b) Có đỉnh I(1;2); Đáp số: b= 4, c= 0c) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(4;0); Đáp số: b= 31/4, c=1d) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(1;2). Đáp số: b= 8, c= 4

3.3. Xác định parapol y=ax24x+c, biết nó:a) Đi qua hai điểm A(1;2) và B(2;3); Đáp số: a= 3, c= 1b) Có đỉnh I(2;1); Đáp số: a= 1, c= 5c) Có hoành độ đỉnh là 3 và đi qua điểm P(2;1); Đáp số: a= 2/3, c= 13/3d) Có trục đối xứng là đường thẳng x=2 vá cắt trục hoành tại điểm M(3;0). ĐS a=1

3.4. Tìm parapol y = ax2+bx+2 biết rằng parapol đó:a) đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8) Đáp số: a=2, b=1

b) đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng x= Đáp số: a= , b=

c) có đỉnh I(2;-2) Đáp số: a=1, b=4

d) đi qua điểm B(-1;6), đỉnh có tung độ Đáp số: a=16, b=12 hoặc a=1, b=3

3.5. Xác định parapol y=a x2+bx+c, biết nó:a) Đi qua ba điểm A(0;1), B(1;1), C(1;1); Đáp số: a=1, b=1, c= 1b) Đi qua điểm D(3;0) và có đỉnh là I(1;4). Đáp số: a=1, b=2, c=3c) Đi qua A(8;0) và có đỉnh I(6;12) Đáp số: a=3, b=36, c=96d) Đạt cực tiểu bằng 4 tại x=2 và đi qua A(0;6). Đáp số: a=1/2, b=2, c=6


WWW.ToanCapBa.Net3.6. Viết phương trình của y=ax2+bx+c ứng với các hình sau:

-2

-4

-5 -3 O

2

-2

-5

-1

-1

-3 O

3.7. Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số cho sau đây. Trong mỗi trường hợp vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng hệ trục toạ độ:

a) y = x-1 và y = x2-2x-1 b) y = -x+3 và y = -x2-4x+1 c) y = 2x-5 và y = x2-4x+4 .3.8. Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết rằng hàm số đạt cực tiểu bằng 4 tại x=2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;6). 3.9. Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết rằng hàm số đạt cực đại bằng 3 tại x=2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;1).

3.10. Vẽ đồ thị hàm số y=

3.11. Vẽ đồ thị hàm số y=x22|x|+1

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG1.Tìm tập xác định của hàm số :

a/ y = b/ y =

c/ y = d/ y =

e/ y = f/ y =

2. Xét sự biến thiên của hàm số.a/ y = x2 + 4x 1 trên (; 2)

b/ y = trên (1; +)

c/ y = d/ y = e/ y =

3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :

a/ y = b/ y =

c/ y = d/ y = x(x2 + 2x)

e/ y = f/ y =

4.Cho hàm số y =

a/ Tìm tập xác định của hàm số. b/ CMR hàm số giảm trên tập xác định.

5.Cho hàm số : y = x

a/ Khảo sát tính chẵn lẻ.


a)b)

WWW.ToanCapBa.Netb/ Khảo sát tính đơn điệuc/ Vẽ đồ thị hàm số trên

6.Cho hàm số y =

a/ Tìm tập xác định của hàm số.b/ Khảo sát tính chẵn lẻ.

7.Cho Parabol (P) : y = ax2 + bx + ca/ Xác định a, b, c biết (P) qua A(0; 2) và có đỉnh S(1; 1)b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) với a, b, c tìm được.c/ Gọi (d) là đường thẳng có phương trình : y = 2x + m. Định m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.

8.Cho y = x(x 1)a/ Xác định tính chẵn lẻ.b/ Vẽ đồ thị hàm số.

9.Cho hàm số y =

Định m để hàm số xác định trên toàn trục số.10.Cho (P) : y = x2 3x 4 và (d) : y = 2x + m. Định m để (P) và (d) : Có 2 điểm chung phân biệt, tiếp xúc và không cắt nhau.


WWW.ToanCapBa.NetChương III

PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH§1 Đại cương về phương trình

I. Khái niệm phương trình

1. Định nghĩa:(một ẩn) Cho hai h àm số : y = f(x) và y = g(x) lần lượt có tập xác định Df và Dg . Đặt D = Df Dg , mệnh đề chứa biến x D có dạng : f(x) = g(x) được gọi là phương trình một ẩn , x gọi là ẩn số của phương trình.

D : tập xác định của phương trình. Nếu tồn tại x0 D sao cho f(x0) = g(x0) thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình . Tập hợp các x0 như trên gọi là tập nghiệm của phương trình. Giải phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Nếu tập nghiệm là tập rỗng, ta nói phương trình vô nghiệm.

Ví dụ : Cho hai hàm số f(x) = và g(x)= . Khi đó :

và = được gọi là phương trình theo ẩn số x.

2. Điều kiện của một phương trình là: điều kiện xác định của phương trìnhVí dụ: Tìm điều kiện của phương trình

a) b) c) x2=

3. Phương trình nhiều ẩn Phương trình có từ hai ẩn trở lên gọi là phương trình nhiều ẩn Ví dụ: 2x+3y-z = 2; x2+3xy-2z = 0 Đối với phương nhiều ẩn các khái niệm về tập nghiệm ,phương trình tương tương đương ,phương trình hệ quả,… cũng tương đương với phương trình một ẩn.

4. Phương trình chứa tham số Phương trình f(x) = g(x) có chứa những chữ cái ngoài các ẩn được gọi là phương trình chứa tham số. Ví dụ : (m+1)x + 2 = 0 chứa tham số m ax+2 = | x-1| chứa tham số a. Việc tìm tập nghiệm của phương trình chứa tham số gọi là giải và biện luận phương trình đó.II. Phương trình tương đương , phép biến đổi tương đương 1. Phương trình tương đương Hai phương trình (cùng ẩn) gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng bằng nhau (có thể là rỗng). Nếu cùng tập xác định D thì gọi là tương đương trên D.

Nếu hai phương trình: f1(x) = g1(x) và f2(x) = g2(x) tương đương, ta viết :f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x).

Ví dụ 1: phương trình 2x-5=0 và 3x =0 tương đương nhau vì cùng có nghiệm duy nhất x= .

Ví dụ 2: với x>0 thì hai phương trình x2=1 và x=1 tương đương nhau.

2. Phép biến đổi tương đương: phép biến đổi một phương trình xác định trên D thành một phương trình tương đương gọi là phép biến đổi tương đương trên D.

(ta dùng dấu "" để chỉ sự tương đương của các phương trình)

Ví dụ: 2x-5=0 3x =0


WWW.ToanCapBa.Net* Các phép biến đổi tương đương của phương trình:

Định lí : Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D. nếu h(x) xác định trên D thì phương trình:

Hệ quả : Nếu chuyển một biểu thức từ một vế của một phương trình sang vế kia và đổi dấu của nó thì ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

* Chú ý: Nếu 2 vế phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nó, ta được phương trình tương đương.

Ví dụ 1: 3. Phương trình hệ quả

a) Định nghĩa: f1(x)=g1(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x)=g(x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f(x)=g(x). Khi đó ta viết: f(x)=g(x) f1(x)=g1(x)

b) Phép biến đổi cho phương trình hệ quả : Khi bình phương hai vế của một phương trình ta đi đến phương trình hệ quả.

* Chú ý: Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. Khi đó ta phải thử lại các nghiệm để loại bỏ các nghiệm ngoại lai.

Ví dụ 1: Giải phương trình (1)

Điều kiện pt(1) là x≠2 và x≠2(1) (x+2)2+(x2)2= 3x+7Hoặc: Với điều kiện x≠2 và x≠2 thì (1)(x+2)2+(x2)2= 3x+7 (???)

Ví dụ 2: a) |x2|=x+1 (x2)2=(x+1)2

b) =x x1= x2.

Ví dụ 3: Giải phương trình (3)

Giải Điều kiện x≥ 0. Bình phương hai vế phương trình (3)

x24x+4 = x x25x+4=0 (3')Phương trình (3') có nghiệm x=1 hoặc x=4Thử lại vào phương trình (3), ta thấy x=1 không phải là nghiệm của (3) và x=4 là nghiệm. Vậy

pt(3) có ngiệm duy nhất x=4.BÀI TẬP ÁP DỤNG

1/ Tìm điều kiện của các phương trình

a) b)

c) d)

e) f)

Đáp sốa) x≤ 3, x≠ ± 2 b) Không có giá trị x thỏa c) x≥1/2 và x≠0 d) x Re) x>1

f) x≥1 và x≠22/ Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm

a) b)

3) Giải các phương trình sau

a) b)

c) d)


WWW.ToanCapBa.NetĐS: a) x=3 b) Vô nghiệm c) Vô nghiệm d) x=2

4) Giải các phương trình sau

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Đáp số: a) x=2 b) x=3 c) VNo d) x=2 e) VNof) x=0 và x=2 g) x=4/3 h) x=2

5) Cho phương trình (x+1)2 =0 (1) và ax2(2a+1)x+a=0 (2)Tìm a để (1) tương đương (2)

HDGiả sử (1)(2) thì x= 1 của (1) là nghiệm của 2. Thế x=1 và (2) ta tìm được a=1/4. Khi a=1/4 thế

vào (2) (x+1)2=0Vậy (1) (2)

6) Tìm m để các cặp pt sau tương đương

a) x+2=0 và

b) x29=0 và 2x2+(m5)x3(m+1)=0c) 3x2=0 và (m+3)xm+4d) x+2=0 và m(x2+3x+2)+ m2x+2=0

Đáp số: a) m=1b) m=5 c) m=18 d) m=1

BÀI TẬP (Đại cương về phương trình)1/ Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nĩ

2/ Giải các phương trình sau



WWW.ToanCapBa.Net4/ Giải các phương trình sau bằng cch bình phương hai vế

5/ Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau bằng cách xét điều kiện

a) - 2 = - x b) 3 = + 2

6/ Giải các phương trình sau :

a/ = b/ x + = 3 +

c/ + 1 = d/ x + = 2

e/ = f/ = g/ =


a/ x + = b/ (x2 x 6) = 0

c/ = 0 d/ 1 + = e/ =

8/ Giải các phương trình :a/ x 1 = x + 2 b/ x + 2 = x 3 c/ 2 x 3 = x + 1

d/ x 3 = 3x 1 e/ = f/ =

g/ = h/ =

BÀI TẬP THÊMBài 1: Giải các phương trình sau

a) =

b) = +1

c) x+ = 2+

d) x+ = 1+

e)

f) .

Bài 2: giải các phương trình sau

a)

b)

c) (x2-3x+2) = 0

d) (x2-x-2) = 0

e)

f) .

Bài 3: Giải các phương trình sau

a)

b)

c)

d)


WWW.ToanCapBa.Nete) f)

Bài 4: Giải các phương trình sau

a)

b)

c)

d) .

§2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT,BẬC HAI

I. Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai1. Phương trình bậc nhất

Giải và biện luận phương trình dạng ax+b = 0

a ≠ 0: Phương trình có nghiệm duy nhất x=

a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm a = 0 và b=0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x (vô số nghiệm)

* Chú ý: + Trước khi giải và biện luận phương trình bậc nhất ta phải đưa phương trình về dạng ax+b = 0 . + khi biện luận a=0 thì thay giá trị m vừa tìm được vào b . + Khi a 0 thì phương trình ax+b = 0 mới được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình : m(x - m ) = x + m - 2 (1)Giải

Phương trình (1) (m - 1)x = m2 + m – 2 (1a)Ta xét các trường hợp sau đây :+ Khi (m-1) ≠ 0 m ≠ 1 nên phương trình (1a) có nghiệm duy nhất

x = = m – 2 ;nên pt(1) có nghiệm duy nhất

+) Khi (m – 1) = 0 m = 1 . phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình nghiệm đúng với mọi x R; nên pt(1) đúng với mọi x R.

Kết luận : m ≠ 1 : nghiệm là x= m-2 (Tập nghiệm là S = {m - 2})

m = 1 : đúng x R (Tập nghiệm là S = R)

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: m(x-1) = 2x+1 (2) Giải

Ta có (2) mx-m = 2x+1 (m-2)x = m+1 (2a) (có dạng ax+b =0) Biện luận:

+ nếu m-2 0 m 2 thì (2a) có nghiệm duy nhất

+ nếu m-2= 0 m = 2 thì (2a) trở thành 0x=3; pt này vô nghiệm, nên (2) vô nghiệm. Kết luận:

m 2 thì (2) có nghiệm

m=2 thì (2) vô nghiệm.

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình m2x+2 = 2m-2 (3)Giải

Ta có: (3) m2x-x = 2m-2 (m2-1)x = 2(m-1) (3a)


WWW.ToanCapBa.Net Biện luận: + Nếu m2-1 0 m thì (3a) có nghiệm duy nhất

; nên (3) có nghiệm duy nhất.

+ Nếu m2-1=0 m= - với m=1 :(3a) có dạng 0x= 0, (3a) đúng với mọi x R (phương trình có vô số nghiệm), nên (3) có vô số nghiệm. - với m=-1: (3a) có dạng 0x=-4; (3a)vô nghiệm, nên (3) vô nghiệm. Kết luận:

+ m≠1 và m≠ -1 thì (3) có nghiệm duy nhất

+ m =1 thì (3) có vô số nghiệm + m= -1 thì (3) vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m :

Giải Với x -1 thì (*) mx-m-3 = x+1 (m-1)x = m+4 (**) Biện luận (**) với x -1

+ Nếu m 1 thì (**) có nghiệm

+ Nếu m=1: (**) 0x=4, vô nghiệm Kết luận :

m 1 và m thì (*) có nghiệm x=

thì (*) vô nghiệm

Ví dụ 5:giải và biện luận phương trình theo tham số m:

(1)

Giải

Ta có (1)

+ giải và biện luận (2) (2) (m-3)x= m-3 . nếu m 3 thì (2) có nghịêm x=1 . nếu m=3 thì (2)0x = 0 =>(2) có vô số nghiệm + giải và biện luận (3) (3)(m-3)x=-m+3

. nếu m -3 thì (3) có nghiệm x=

. nếu m = -3 thì (3) 0x=4, vô nghiệm Kết luận:

- với m 3 và m -3 : (1) có hai nghiệm x1=1 và x2 =

- với m=3: (1) có vô số nghiệm - với m=-3:(1) có nghiệm x=1(vì thỏa phương trình (2) )

2. Phương trình bậc hai (nhắc lại cách giải phương trình bậc hai)Giải và biện luận phương trình dạng ax2+bx+c = 0

a= 0 :Trở về giải và biện luận phương trình bx + c = 0


WWW.ToanCapBa.Net a ≠ 0 . Lập = b2 4ac (hoặc ’=b’2-ac)

Nếu > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt

x = 2

b

a

v x =

2

b

a

Nếu = 0 : phương trình có nghiệm kép : x = 2

b

a

Nếu < 0 : phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình mx2-2(m+1)x+m+1 = 0 Giải Phương trình cho đã có dạng phương trình đã học. Biện luận:

. Nếu m = 0 ( thay m = 0 vào phương trình ta được -2x+1= 0 => x=

. Nếu m 0 , tính = m+1, khi đó : + nếu < 0 m < -1 pt vô nghiệm + nếu = 0 m = -1 pt trình có nghiệm kép x1=x2 = 0

+ nếu > 0 m > -1 pt có hai nghiệm phân biệt x1,2 =

* Kết luận: Ví dụ 2: Định m để phương trình

mx2-2(m-2)x+m-3 = 0 có nghiệm3. Định lí Viét

Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thì tổng (S) và tích (P) của hai nghiệm đó là:

S = x1+x2 = P = x1.x1 =

Ngược lại, nếu hai số u, v có S=u+v; P=u.v thì u, v là nghiệm của phương trình x2-Sx+P = 0. Ví dụ 1: tìm hai số biết S =19 , P = 84 Giải Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình bậc hai x2-19x+84 = 0 ,pt này có hai nghiệm

hoặc vậy hai số cần tìm là 7 và 12.

* Chú ý: điều kiện để phương trình x2-Sx+p =0 có nghiệm là S2 4P . Đây cũng là điều kiện để tồn tại hai số có tổng là S, tích P.

* Ứng dụng

=(S22P)22P2

Ví dụ 1: Cho phương trình x24x+m1= 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm

=10.Điều kiện pt có nghiệm '≥0 5m≥0 m≤5 S22P = 10 m =4.

Ví dụ 2: Xác định m để phương trình x2-4x+m-1= 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa xệ thức

Giải Phương trình có nghiệm

Theo giả thiết S3-3PS=40 64-12(m-1)=40 m= 4 (nhận)


WWW.ToanCapBa.Net* Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai

Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì: x1< 0 < x2 P < 0 (hai nghiệm trái dấu)

x1 x2 < 0 ( hai cùng âm) 0 < x1 x2 (hai cùng dương) Ví duï: cho phöông trình x2+5x+3m-1 = 0 (1) a) Ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm traùi daáu. b) Ñònh m ñeå phöông trình coù hai nghieäm aâm phaân bieät. Giaûi a) pt(1) coù hai ngheäm traùi daáu

P < 0 m <

b) ñeå phöông trình coù hai nghieäm aâm phaân bieät

vaäy khi thì pt(1) coù hai nghieäm aâm

phaân bieät. II. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

1. Phương trình trùng phươngPhương trình dạng ax4 + bx2 + c =0 Cách giải:

+ đặt t=x2, đk: t≥ 0. + Giải phương trình: at2 + bt + c=0+ kết hợp điều kiện x

Ví dụ: Giải phương trình x48x29 = 0 Ñaët y = x2 , y 0. Khi ñoù:

(*) y2-8y-9 = 0 vôùi y = 9 x2 = 9 x = .

Ví duï 2: Cho phöông trình x4+(1-2m)x2+m2-1 = 0. Ñònh m ñeå : a) Phöông trình voâ nghieäm. b) Phöông trình coù ñuùng moät nghieäm. c) Phöông trình coù ñuùng 2 nghieäm phaân bieät. d) Phöông trình coù ñuùng 3 nghieäm phaân bieät. e) Phöông trình coù ñuùng 4 nghieäm phaân bieät.


WWW.ToanCapBa.Net2. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Cách giải: Sử dụng định nghĩa hoặc bình phương hai vế để khử (bỏ) dấu giá trị tuyệt đối.Các dạng cơ bản

Dạng 1: |f(x)| = c (với c R)Nếu c<0 phương trình vô nghiệm

Nếu v≥0 thì |f(x)| = c

Ví dụ: a) b)

Dạng 2 : |f( )|= |g( )|. Sử dụng phép biến đổi tương đương

Cách 1: |f( )|= |g( )|

Cách 2: |f( )|= |g( )| [f(x)]2 = [g(x)]2 (bình phương hai vế)

Ví dụ: Giải phương trình |2x+5|=|3x2|Giải

Cách 1: |2x+5|=|3x2|

Vậy pt đã cho có hai nghiệm x=7 và x= 3/5Dạng 3 : |f( )|= g( )

Cách 1 : : dùng phép biến đổi tương đương

|f( )|= g( )

Cách 2: Dùng định nghĩa để bỏ giá trị tuyệt đối+ Nếu f( )≥0 thì phương trình trở thành f( )=g( )+ Nếu f( )<0 thì phương trình trở thành f( )=g( ).

Ví dụ 1: Giải phương trình | 3|= 2 +1

| 3|= 2 +1

Vậy nghiệm của phương trình là =

Ví dụ 2: Giải pt x2-5 | x-1| -1 = 0 (1) Giải * Nếu x-1 0 x 1 thì :

(1) x2-5x+5-1 = 0 (I)

* Nếu x-1 < 0 x < 1 thì:

(1) x2+5x-6 = 0 (II)

S = (I) (II) = { -6;1;4 }.

Chú ý: Đưa phương trình về dạng cơ bản


WWW.ToanCapBa.Net3. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn (phương trình vô tỉ)

Cách giải:- Bình phương hai vế + đặt điều kiện để làm mất căn- Đặt ẩn phụ

Các dạng cơ bản

Dạng 1: , ta sử dụng phép biến đổi tương đương

(có thể chọn điều kiện g(x)≥0)

Ví dụ:

Dạng 2: , ta sử dụng phép biến đổi tương đương

Ví dụ: Giải phương trình

vậy nghiệm của phương trình là x = 9.

Dạng 3: ( c )

Nếu c<0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu c≥0 thì f(x) = c2

Ví dụ: Giải phương trình

Dạng 4:

* Chú ý: Biến đổi phương trình đã cho về dạng cơ bản (nếu được)

BÀI TẬP ÁP DỤNG §2 C31/ Giải các phương trình

a/ x4 4x2 + 3 = 0 b/ x4 + 10x2 9 = 0

c/ x4 3x2 4 = 0 d/ x4 x2 12 = 0

e/ x4 x2 + 3 = 0 f/ (1 x2)(1 + x2) + 3 = 02/ Giải và biện luận các phương trình sau

a) (m+2)(x-2) + 4 = m2

b) (x+2)(m+3) + 9 = m2

c) (1-m3)x+1+ m + m2 = 0d) (m+1)x + m2-2m + 2 = (1-m2)x -xe) x+(m-1)2 -2mx = (1-m)2 + mx f) x +m2x+2 = m + 4

3/ Cho phương trình (m2 - 3m)x + m2 - 4m +3 = 0 , định m để : a) Phương trình có nghiệm duy nhất. b) Phương có nghiệm duy nhất x = 2. c) Phương trình vô nghiệm. d) Phương trình có vô số nghiệm.

4/ Cho phương trình (-x+m)m + 2m +1 = (m+1)2 - m2x ,định m để :a) Phương trình có nghiệm duy nhất. b) Phương trình có vô số nghiệm. c) Phương trình vô nghiệm.

5/ Cho phương trình mx+m2+1 = (x+2)m ,định m để :


WWW.ToanCapBa.Neta) Phương trình vô nghiệm. b) Phương trình có nghiệm duy nhất. c) Phương trình có vô số nghiệm.

6/ Tìm hai số có: a) Tổng là 19, tích là 84 b) Tổng là 5, tích là -24 c) Tổng là -10, tích là 16. 7/ Cho phương trình x2+(2m3)x+m22m=0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các nghiệm

trong trường hợp đó.

Đáp số: a) m<9/4; b) m=2;

8/ Cho phương trình mx2+(m23)x+m = 0a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

Đáp số: a) m= ± 1; m= ± 3; b) m=4; m=3/4(câu b khi tìm m xong thế vào kiểm tra lại)

9/ Cho phương trình x2+(2m-3)x+m2-2m = 0a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.b) Xác định m để phương trình vô nghiệm.c) Xác định m để phương trình kép.d) Với giá trị của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các nghiệm trong

trường hợp đó.

Đáp số: a) m< b) m> c) m= d) m= -2;

10/ Cho phương trình mx2+(m2-3)x+m = 0a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

.

Đáp số: a) m=1 hoặc m= -3 x= 1; m= -1 hoặc m=3 x= -111/ Cho pt: x2 – 2(m – 1)x + m2 -3m + 4 = 0 (x2 – 2(m – 1)x - 4m + 8 = 0)

a. Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt.b. Tìm m để pt có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.c. Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho:

i) x1 + x2 = 4 ii) x1. x2 = 8 Tính các nghiệm trong mỗi trường hợp đó.12/ Cho pt: x2 – (m + 1)x + m -3 = 0 a. CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b. Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu c. Tìm m để pt có hai nghiệm dương phân biệt13/ Cho phương trình: (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m –2 = 0 ( m là tham số)

a. Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt. b. Tìm m để pt có một nghiệm bằng 3. Tính nghiệm kia. c. Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho: 4(x1 + x2 ) = 7x1.x2 . (ĐS: m = 1)14/ a. Cho phương trình: x2 + (m –1)x + m + 6 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có

hai nghiệm x1 và x2 sao cho: (ĐS: m = -3)

b. Cho phương trình: x2 – 2mx + 3m-2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai

nghiệm x1 và x2 sao cho: (ĐS: m = 2 v m = ¼)

c. Cho phương trình: x2 - 3x + m -2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai

nghiệm x1 và x2 sao cho: (ĐS: m = 4)

15/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm x1 và x2 thỏa: x1 = 3x2 :


WWW.ToanCapBa.Neta. x2 - 2(m –2)x + 4m + 8 = 0 (ĐS: m = 10 v m = -2/3)b. mx2 - 2(m + 3)x + m - 2 = 0 (ĐS: m = -1 v m = 27)

16/ Giải các phương trình saua) |2x3|= x5 b) |2x+5| = |3x2| c) |4x+1| = x2 + 2x4d) |x3|=|2x1| e) |3x+2|=x+1 f) |3x5|= 2x2+x3

g)* h)*

Đáp số:a) Vô nghiệm b) x=7; x=3/5 c)) d) x=2; 4/3

e) x= 1/2;3/4 f) x=

g) x= 5; x=1; x= h)

17/ Giải các phương trình saua) 3x - 4 = x + 2 b) x + 3 = x2 – 4x +3 c) 5x + 1 = 2x - 3 d) x2 - 4x - 5 = 2x2 – 3x -5

e) x2 + 2 x - 3 = 0 f) x2 -3 x - 2 + 2 = 0

g) h)

k) l)

m) x + 1 + x - 2 = 318/ Giải các phương trình sau

a) b) c)

d) e) f)

g)

Đáp số: a) b) x=1 c) Vô nghiệm

d) x= e) f) Vô nghiệm

g) x= 1; 3


a/ 3x + 4 = x 2 b/ 3x2 2 = 6 x2c/ 3x 1 = 2x + 3 d/ x2 2x = 2x2 x 2e/ x2 2x = x2 5x + 6 f/ x + 3 = 2x + 1

g/ x 2 = 3x2 x 2 h/ x2 5x + 4 = x + 4

i/ 2x2 3x 5 = 5x + 5 j/ x2 4x + 5 = 4x 17

20/ Giải các phương trình chứa căn thức :

a/ = x 2 b/ = 2(x 1)

c/ = 2x 1 d/ = x 4

e/ = 2x 7 f/ 2 = x 2

g/ = x + 4 h/ = 3x + 4

i/ 9 = 3x j/ x = 4


a) b.

c) d.


WWW.ToanCapBa.Nete) f)

g) h)

k) l)

22/ Giải các phương trình :

a/ = x2 3x 4 b/ x2 6x + 9 = 4

c/ 4 = x2 + 7x + 4 d/ x2 + x + = 4

e/ x2 + 9 = x + 3 f/ = x2 2x

g/ x2 + 11 = 7

h/ x2 4x 6 =

i/ (x + 1)(x + 4) = 3

j/ x2 3x 13 =

23/ Giải và biện luận các phương trình saua) |4x-3m|=2x+m b) |3x-m| = |2x+m+1|

c) d) |3x+2m| = x-m

e) |2x+m| = |x-2m+2| f) mx2+(2m-1)x+m-2 = 0

g)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1 ẨN1/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :

a/ 2mx + 3 = m x b/ (m 1)(x + 2) + 1 = m2

c/ (m2 1)x = m3 + 1 d/ (m2 + m)x = m2 1e/ m2x + 3mx + 1 = m2 2x f/ m2(x + 1) = x + mg/ (2m2 + 3)x 4m = x + 1 h/ m2(1 x) = x + 3mi/ m2(x 1) + 3mx = (m2 + 3)x 1j/ (m + 1)2x = (2x + 1)m +5x + 2

2/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số a, b :a/ (a 2)(x 1) = a2 b/ a(x + 2) = a(a + x + 1)c/ ax + b3 = bx + a3 d/ a(ax + 2b2) a2 = b2(x + a)

7. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :

a/ = 3 b/ (m 2) = 0

c/ = m d/ =

e/ + = 2 f/ + = 2

g/ = h/ = 2

i/ = j/ + = 2

3/ Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :a/ x + m = x m + 2 b/ x m = x + 1c/ mx + 1 = x 1 d/ 1 mx = x + m

4/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.a/ m(2x 1) + 5 + x = 0


WWW.ToanCapBa.Netb/ m2x 2m2x = m5 + 3m4 1 + 8mx

c/ =

5/ Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.a/ m2(x 1) + 2mx = 3(m + x) 4b/ (m2 m)x = 12(x + 2) + m2 10c/ (m + 1)2x + 1 m = (7m 5)x

d/ + = 2

6/ Tìm m để phương trình sau có tập hợp nghiệm là Ra/ m2(x 1) 4mx = 5m + 4b/ 3m2(x 1) 2mx = 5x 11m + 10c/ m2x = 9x + m2 4m + 3d/ m3x = mx + m2 m

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI1. Giải và biện luận phương trình bậc 2 :

a/ x2 (2m + 1)x + m = 0b/ mx2 2(m + 3)x + m + 1 = 0c/ (m 1)x2 + (2 m)x 1 = 0d/ (m 2)x2 2mx + m + 1 = 0e/ (m 3)x2 2mx + m 6 = 0f/ (m 2)x2 2(m + 1)x + m 5 = 0g/ (4m 1)x2 4mx + m 3 = 0h/ (m2 1)x2 2(m 2)x + 1 = 0

2. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.a/ x2 2mx + m2 2m + 1 = 0b/ x2 2(m 3)x + m + 3 = 0c/ mx2 (2m + 1)x + m 5 = 0d/ (m 3)x2 + 2(3 m)x + m + 1 = 0e/ (m + 1)x2 2mx + m 3 = 0f/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0g/ (m 2)x2 2mx + m + 1 = 0h/ (3 m)x2 2mx + 2 m = 0

3. Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.a/ x2 (2m + 3)x + m2 = 0b/ (m 1)x2 2mx + m 2 = 0c/ (2 m)x2 2(m + 1)x + 4 m = 0d/ mx2 2(m 1)x + m + 1 = 0e/ x2 2(m + 1)x + m + 7 = 0f/ (m 1)x2 3(m 1)x + 2m = 0g/ (m + 2)x2 + 2(3m 2)x + m + 2 = 0h/ (2m 1)x2 + (3 + 2m)x + m 8 = 0

4. Tìm m để phương trình có nghiệm.a/ x2 (m + 2)x + m + 2 = 0b/ x2 + 2(m + 1)x + m2 4m + 1 = 0c/ (2 m)x2 + (m 2)x + m + 1 = 0d/ (m + 1)x2 2(m 3)x + m + 6 = 0

5. Định m để phương trình có 1 nghiệm.a/ x2 (m 1)x + 4 = 0b/ x2 2(m 1)x + m2 3m + 4 = 0c/ (3 m)x2 + 2(m + 1)x + 5 m = 0d/ (m + 2)x2 (4 + m)x + 6m + 2 = 0

B. ĐỊNH LÝ VIÉT1. Định m để phương trình có 1 nghiệm cho trước. Tính nghiệm còn lại.

a/ 2x2 (m + 3)x + m 1 = 0 ; x1 = 3


WWW.ToanCapBa.Netb/ mx2 (m + 2)x + m 1 = 0 ; x1 = 2c/ (m + 3)x2 + 2(3m + 1)x + m + 3 = 0 ; x1 = 2d/ (4 m)x2 + mx + 1 m = 0 ; x1 = 1e/ (2m 1)x2 4x + 4m 3 = 0 ; x1 = 1f/ (m 4)x2 + x + m2 4m + 1 = 0 ; x1 = 1g/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0 ; x1 = 2h/ x2 2(m 1)x + m2 3m = 0 ; x1 = 0

2. Định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa điều kiện :a/ x2 + (m 1)x + m + 6 = 0 đk : x1

2 + x22 = 10

b/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0 đk : x12 + x2

2 = 2c/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0 đk : 4(x1 + x2) = 7x1x2

d/ x2 2(m 1)x + m2 3m + 4 = 0 đk : x12 + x2

2 = 20e/ x2 (m 2)x + m(m 3) = 0 đk : x1 + 2x2 = 1f/ x2 (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 đk : x1 = 2x2

g/ 2x2 (m + 3)x + m 1 = 0 đk : + = 3

h/ x2 4x + m + 3 = 0 đk : x1 x2 = 23. Tìm hệ thức độc lập đối với m :

a/ mx2 (2m 1)x + m + 2 = 0b/ (m + 2)x2 2(4m 1)x 2m + 5 = 0

c/ (m + 2)x2 (2m + 1)x + = 0

d/ 3(m 1)x2 4mx 2m + 1 = 0e/ mx2 + (m + 4)x + m 1 = 0f/ (m 1)x2 + 2(m + 2)x + m 4 = 0

C. DẤU CÁC NGHIỆM SỐ1. Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

a/ x2 + 5x + 3m 1 = 0b/ mx2 2(m 2)x + m 3 = 0c/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0d/ (m + 2)x2 2(m 1)x + m 2 = 0e/ (m + 1)x2 2(m 1)x + m 2 = 0

2. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.a/ x2 2(m + 1)x + m + 7 = 0b/ x2 + 5x + 3m 1 = 0c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = 0d/ (m 2)x2 2(m + 1)x + m = 0e/ x2 + 2x + m + 3 = 0

3. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương.a/ mx2 2(m 2)x + m 3 = 0 b/ x2 6x + m 2 = 0c/ x2 2x + m 1 = 0 d/ 3x2 10x 3m + 1 = 0e/ (m + 2)x2 2(m 1)x + m 2 = 0

4. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu.a/ (m 1)x2 + 2(m + 1)x + m = 0b/ (m 1)x2 + 2(m + 2)x + m 1 = 0c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = 0 d/ (m + 1)x2 2mx + m 3 = 0e/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0

Bài toán lập phương trình: 1. Tìm tuổi của một học sinh, biết rằng sau 7 năm nửa tuổi của em sẽ bằng bình phương sồ tuổi của em cách đây 5 năm . (ĐS: 9 tuổi) 2. Tuổi của anh hiện nay gấp đôi tuổi của em, biết rằng sau 48 năm nữa tuổi của anh bằng bình phương số tuổi của em hiện nay. Hỏi tuổi của em hiện nay? (ĐS: 8 tuổi)


WWW.ToanCapBa.Net 3. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết cạnh dài nhất hơn cạnh thứ hai là 2m và cạnh thứ hai hơn cạnh ngắn nhất là 23m. (ĐS: 12m ; 35m ; 37m) 4. Chu vi một hình thoi bằng 34cm , hiệu hai đường chéo bằng 7cm. Tính độ dài hai đường chéo? (ĐS: 8cm ; 15cm) 5. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 3m và chiều dài tăng 4m thì diện tích miếng đất tăng gấp đôi. Hỏi kích thước miếng đất lúc đầu? (ĐS: 6m ; 12m) 6. Một miếng đất hình vuông. Nếu tăng một cạnh thêm 30m thì được miếng đất mới hình chữ nhật có diện tích gấp 3 lần diện tích lúc đầu. Hỏi cạnh của miếng đất lúc đầu? (ĐS: 15m) 7. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông có chu vi bằng 30m, biết hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7m? (ĐS: 5m ; 12m ; 13m) 8. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết chu vi và diện tích của tam giác lần lượt bằng 120m và 480m2 . (ĐS: 20m ; 48m ; 52m)


WWW.ToanCapBa.NetPHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

1/ Phương trình bậc nhất hai ẩn Dạng :

+ Trong đó x, y gọi là ẩn số ; a, b, c a và b là hệ số và a2+b2 ; c gọi là hằng số của phương trình + Nếu tồn tại cặp số thực x0, y0 sao cho ax0 + by0 = c thì (x0, y0) gọi là một nghiệm của phương trình *Giải và biện luận phương trình do a,b không đồng thời bằng không nên có 3 trường hợp: a) a 0 và b 0 :

Ta có : (x R) hoặc (y R)

Vậy nghiệm của phương trình là : hoặc

b) a = 0 và b 0 : phương trình có dạng

Vậy nghiệm của phương trình là :

c) a 0 và b = 0 : phương trình có dạng :

Vậy nghiệm của phương trình là :

Vậy phương trình ax+by=c có vô số nghiệm. * Chú ý: Nếu a = b = 0 thì phương trình có dạng 0x+0y = c, khi đó: + nếu c 0 phương trình vô nghiệm. + nếu c = 0 phương trình có vô số nghiệm.2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (CB không giải và biện luận) Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng :

Trong đó : x , y gọi là ẩn số . a và b ; a/ và b/ không đồng thời bằng 0 . Nếu tồn tại cặp số thực (x0 , y0) nghiệm đúng đồng thời cả hai phương trình trong hệ trên thì (x0 , y0) được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Giải phương trình là đi tìm tập nghiệm của phương trình đó. Các khái niệm hệ phương trình tương đương, hệ phương trình hệ quả cũng tương tự như ở phương trình. * Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số :

Cho hệ phương trình : với a và b ; a/ và b/ không đồng thời bằng 0

Lập các biểu thức : D = = ab/ - a/b Dx = = cb/ - c/b Dy = = ac/ - a/c

Nếu D 0 : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x , y) với :

và

Nếu D = 0 : + Nếu Dx 0 hoặc Dy 0 thì hệ phương trình vô nghiệm + Nếu Dx = Dy = 0 thì tập nghiệm của hệ phương trình là nghiệm của phương trình bậc nhất ax + by = c. * Chú ý 1 : Các biểu thức để tìm D ; Dx ; Dy được gọi là công thức Cramer * Chú ý 2 : Trường hợp = a/ = b = b/ = 0 .


WWW.ToanCapBa.Net

Hệ phương trình có dạng :

+ Nếu c = c/ = 0 thì hệ phương trình có nghiệm với mọi x , y tùy ý + Nếu c 0 hoặc c/ 0 thì hệ phương trình vô nghiệm * Chú ý 1:

(5) cắt (6) D≠0(5) //(6) D=0 và Dx≠0 (hoặc Dy≠0)(5) trùng (6) D=Dx =Dy=0

* Chú ý 2: Nếu a=b=0 hoặc a'=b'=0 thì ta có các hệ phương trình đặc biệt :

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

Giải

Ta có

vậy hệ có nghiệm duy nhất:

Ví dụ 2: giải và biện luận hệ phương trình sau:

Giải

Ta tính: D, Dx, D

Biện luận: + Nếu D 0 m -1 và m 1. Hệ có nghiệm duy nhất với:

+ Nếu D= 0 m=-1 hoặc m=1 . với m=-1 => Dx=-2 0 => hệ vô nghiệm . với m=1 => Dx=Dy = 0 => hệ có vô số nghiệm với

hoặc


WWW.ToanCapBa.Net

Kết luận: + Với m 1 hệ có nghiệm duy nhất

+ Với m= 1 hệ vô nghiệm

+ Với m=1 hệ có vô số nghiệm, tính theo công thức


WWW.ToanCapBa.Net3. Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

* Phương trình bậc nhất 3 ẩn là phương trình có dạng ax+by+cz=d, trong đó x, y, z là 3 ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.

* Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

Mỗi bộ (x0;y0;z0) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ gọi là một nghiệm của hệ.

Ví dụ: Giải hệ phương trình

a) Đáp án: x=2; y=3; z=1

b) Đáp án: x=1; y=2; z=2

BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH1/ Giải các hệ phương trình sau:

a. b.

c. d.

e. f.

g. h/

ĐS: a. (3;-2) b. (-6;12) c. (1; 1),(-3; 1) d.

e. (1; 1),(-3; 1) f. VN g. (-3; 2), (-3; 0), (-1; 2), (-1; 0)2/ Giải các hệ phương trình sau:

a. b.

c. d.

ĐS: a. (1;3;2) b. (-1;2;3) c. vn d. (x,y,z) tùy ý

3/ Tìm a và b để hệ phương trình có nghiệm (-3; 2)


WWW.ToanCapBa.Net

4/ Giải và biện luận các hệ phương trình sau :

a/ b/

c/ d/

e/ f/

g/ h/

i/ j/

5/ Giải và biện luận hệ phương trình.

a/ b/

c/ d/

7/ Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

a/ b/

c/ d/

8/ Định m để hệ phương trình vô nghiệm.

a/ b/

c/ d/

9/ Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm.

a/ b/

c/ d/

10/ Định m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

a/ b/


WWW.ToanCapBa.Net

c/ d/

11/ Định m để hệ

có nghiệm (x, y) thoả x2 +y2 nhỏ nhất

Bài toán lập hệ phương trình: 1. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 188 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương bằng 5 và số dư bằng 2. 2. Số công nhân ở hai xí nghiệp tỉ lệ với 2 và 3. Nếu số công nhân ở xí nghiệp I tăng 80 người và số công nhân ở xí nghiệp II tăng 40 người thì số công nhân mới ở hai xí nghiệp tỉ lệ với 3 và 4. Hỏi số công nhân lúc đầu ở mỗi xí nghiệp? 3. Tìm một số gồm hai chữ số biết: nếu đem số đó chia cho tổng số của hai chữ số đó ta được thương là 6; nếu đem cộng tích của hai chữ số đó với 25 ta được số đảo lại. 4. Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một thời gian. Người I mỗi giờ làm tăng 2 dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 2 giờ. Người II mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 3 giờ và còn làm thêm 6 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi công nhân phải làm và thời gian phải hoàn thành công việc?

BÀI TẬP THÊMBài 1 : Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số m . Khi hệ có nghiệm duy nhất (x;y), tìm hệ thức giữa x và y độc lập với m.

a) := DD m2 1 ; := Dx m 2; := Dy 2 m 1

b) := DD m2 m 2 ; := Dx m2; := Dy m2 2

c) := DD 16 m2; := Dx 16 2 m2 3 m ; := Dy 4 m 12

d) := DD 3 m2 2 m 1 ; := Dx 2 2 m2 ; := Dy m2 2 m 1

{ }, x2 ( ) m 1

3 m 1 y

m 1 3 m 1

e) := DD m2 4 ; := Dx 3 m 6 ; := Dy 6 m 12 ; { }, y6 m 2

x3 m 2

f) := DD 4 2 m2 6 m ; := Dx 2 m 4 2 m2

:= Dy 10 m 28 2 m2; { }, x

m 1 m 1

y m 7 m 1

g) := DD m2 2 ; := Dx m 4; := Dy 2 m 1


WWW.ToanCapBa.Net

h) := DD m2 m 2 ; := Dx m 1 ; := Dy m2 1 ; { }, x 1 m 2

y m 1 m 2

i) := DD 7 m2 3 m 2 m3; := Dx 3 m ; := Dy 3 m 4 m2

{ }, y 3 4 m

7 m 3 2 m2 x 3

7 m 3 2 m2

j) := DD 7 m 2 m2 22 ; := Dx 26 9 m 2 m2; := Dy m2 4 m 12 ;

{ }, x 2 m 13 2 m 11

y m 6 2 m 11

k) := DD 3 m2 2 m 1 ; := Dx 2 2 m2; := Dy m2 2 m 1

{ }, x2 ( ) m 1

3 m 1 y

m 1 3 m 1

l) := DD m2; := Dx 3 m m2

; := Dy 3 m

{ }, x m 3m

y 3m

m) := DD 5 m2 3 m 2 ; := Dx m 4 3 m2; := Dy 6 m 3 m2 3

{ }, x 3 m 4 5 m 2

y 3 ( ) m 1

5 m 2

n) := DD m2 4 m 4 ; := Dx 4 m 2 m2; := Dy m2 4

{ }, y m 2 m 2

x 2 m m 2

o) := DD 2 m 1 ; := Dx ( ) 2 m 3 ( ) m 1 ; := Dy m ( ) 2 m 3

p) := DD 2 m3 2 m ; := Dx 3 m 3 m2; := Dy m3 3 m2 4 m

{ }, y m 4

2 ( ) m 1 x

32 ( ) m 1

q) := DD 2 m3 7 m2 3 m ; := Dx 3 m ; := Dy 4 m2 3 m

{ }, y 4 m 3

2 m2 7 m 3 x

3

2 m2 7 m 3

r) := DD 5 m2 3 m 2 ; := Dx m 4 ; := Dy 9 m 3


WWW.ToanCapBa.Net

Bài 2 : Cho hệ phương trình := DD m3 2 m ; := Dx m ; := Dy m2 2 m

a) Định m để hệ phương trình có ngiệm duy nhất b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm c) Định m để hệ phương trình vô nghiệmHD: + Hệ có nghiệm duy nhất D0

+ Hệ vô nghiệm D=0 và Dx0 (hoặc Dy 0)+ Hệ vô số nghiệm D=Dx=Dy =0

Bài 3 : Cho hệ phương trình

:= DD 0 ; := Dx m2 3 m 2 ; := Dy m2 2 m

a) Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm. c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 4 : Cho hệ phương trình

:= DD m 2 ; := Dx 6 m 2 ; := Dy 10

a) Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. b) Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm. c) Định m để hệ phương trình vô nghiệm.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN (Nâng cao)

1/ Dạng

*Cách giải : từ phương trình bậc nhất ta rút một ẩn theo ẩn còn lại rồi thế vào phương trình bậc hai.

Ví dụ: Giải hệ

Giải Từ pt(2) => x = 4-2y thế vào pt(1) ta được (4-2y)2+4y2 = 8

16-16y+4y2+4y2= 0 8y2-16y+8 = 0 y2-2y+1 = 0 y = 1 => x = 2 vậy nghiệm của hệ là (2;1).

2/ Hệ pt bậc hai đối xứng đối với x và y *Định nghĩa: hệ phương trình bậc hai đối xứng với x và y là hệ mà mỗi phương trình không thay đổi

khi ta thay x = y và ngược lại.

Ví dụ :

*Cách giải: để giải hệ phương trình dạng này ta thực hiện: - dùng phép thay ẩn S = x+y ; P = x.y - sau khi tìm được S,P thì x,y là nghiệm của phương trình x2-Sx+P = 0.

Ví dụ 1: giải hệ (I)

Giải

(I) (II)


WWW.ToanCapBa.Net

Đặt S = x+y ; P = x.y thay vào hệ (II) ta được hệ

+ Với S = 6 ; P = 4 thì x, y là nghiệm của phương trình x2-6x+4 = 0

nghiệm của hệ là

+ Với S =-6 ; P = 4 thì x,y là nghiệm của phương trình x2+6x+4 = 0

hệ có hai cặp nghiệm

Vậy hệ đã cho có 4 cặp nghiệm.

Ví dụ 2: Giải hệ

HD: hệ VN Ví dụ 3:

Giải hệ HD: đặt t =-y ; nghiệm (10;8) , (-8;10)

Ví dụ 4:

Giải hệ HD: đặt t =-y ; nghiệm (15;6) , (-6;-15)

BÀI TẬPBài 1: Giải các hệ phương trình sau

Đáp số: a) (2;1) b) (-9;-19/3); (8;5) c) (2;1); (3;3) d) (16;9); (8;15)Bài 2: Giải các hệ phương trình sau

Đáp số: a) VNo b) (1;3); (3;1) c)

d) (1;2); (2;1)Bài 3: Giải các hệ phương trình sau

Đáp số: a) (15;6); (-6;-15) b) (10;8); (-8;-10) c) (0;-3); (3;0) d)

Bài 4. Giải các hệ phương trình :


WWW.ToanCapBa.Net

a/ b/

c/ d/

e/ f/

Bài 5. Giải các hệ phương trình :

a/ b/

c/ d/

e/ f/

Bài 6. Giải các hệ phương trình

a/ b/

c/ d/

..................................................................................................................................................................................Chương IV

BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC1. Định nghĩa 1 Số thực a gọi là lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu ab > 0. Khi đó ta cũng kí hiệu b<a (b nhỏ hơn a) a > b a-b > 0 (ba<0)

a b a-b 0 (ba≤0)2. Định nghĩa 2: Các mệnh đề "a > b"; "a b"; "a < b" ; "a b" được gọi là các bất đẳng thức.

+ a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức;+ a>b và c>d (hoặc a<b và c<d) là hai bất đẳng thức cùng chiều;+ a>b và c<d là hai bất đẳng thức trái chiều;+ Cho hai bất đẳng thức "a>b" và "c>d". Nếu

"a>b c>d" thì "c>d" là hệ quả của "a>b""a>b c>d" thì "c>d" là tương đương "a>b"

3. Các tính chất ta có : 1) a > b a+c > b+c (cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 số)

a > b+ c ac > b (chuyển vế)

3) a > b (nhân hai vế cùng 1 số)

4)


WWW.ToanCapBa.Net

5)

6) Với n nguyên dương: a > b a2n+1 > b2n+1

a > b>0 a2n > b2n

7) Nếu b>0 thì

a>b ;

a>b

8) (bắc cầu)

9) a > b

10) a > b > 0 an > bn ( n )

11) a > b > 0 ( n )

Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều


WWW.ToanCapBa.NetPHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp chung:

Một số hằng đảng thức:(ab)2= a2 2ab +b2

(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(ab)3= a3 3a2b+3ab2 b3

a2 b2 = (ab)(a+b)a3b3= (ab)(a2 +ab +b2)a3b3= (a+b)(a2 ab +b2)

Ví dụ: Chứng minh rằng

a) Nếu a,b 0 thì a+b

b) Chứng minh a2+b2-ab 0. Khi nào thì đẳng thức xảy ra. Giải

a) Cách 1: ta có a+b a+b- 0

( )2 0 đúng với mọi a,b 0. Dấu '=' xảy ra khi a = b

Cách 2: ta đã biết

( )2 0

a+b- 0 a+b đpcm.

b) Ta có: a2+b2-ab = = (a- +

dấu '=' xảy ra đpcm

4. Bất đẳng thức Côsi

a/ Định lý: Nếu a 0, b 0 thì hay a+b

Dấu '=' xảy ra a=b b/ Các hệ quả: b.1. Nế a 0,b 0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max a = b b.2. Nếu a 0,b 0 có a.b = const thì a + b là min a = b

b.3. Nếu a1, a2, a3,…..,an 0 thì:

b.4. , a > 0

* Ý nghĩa hình học: + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

c. Ví dụ:

Ví dụ 1: cho hai số a, b> 0. Chứng minh rằng

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ,ta có:

=> đpcm.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với a,b>0 thì (a+b)(ab+1) 4ab


WWW.ToanCapBa.Net Giải Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có:

a+b 2 (1)

Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có:

ab + 1 2 (2)

Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1) 4ab => đpcm

5. Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối

Định nghĩa: |x| = ;

ta có

, dấu '=' xảy ra a.b 0

, dấu '=' xảy ra khi a.b

a.b 0

a.b

Ví dụ: chứng minh rằng | x-y | + | y-z | | x- z|Giải

Ta có |x-y|+|y-z| |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm

6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho 4 số thực a, b, c, d bất kỳ thì: (ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2)

Chứng minh: Ta có (ab+cd)2 (a2+c2)(b2+d2) a2b2+c2d2+2abcd a2b2+a2d2+b2c2+c2d2 a2d2+b2c2-2abcd 0 (ad-bc)2 0 đúng => đpcm Ví dụ 1: cho x2+y2=1,chứng minh rằng

Giải Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có: (1.x+1.y)2 (12+12)(x2+y2)

(x+y)2 2

=> đpcm.

Ví dụ 2: Cho x+2y = 2 , chứng minh rằng x2+y2

Giải Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y

BÀI TẬP ÁP DỤNG

1/ Với mọi số thực x, y, z . Chứng minh rằng:

HD: Đưa về hằng đẳng thức

2/ Chứng minh rằng:

Giải


WWW.ToanCapBa.Net

Vậy đpcm

3/ Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= với 0<x<1

Vì >0, >0 nên Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương ta được:

y= +

mà

vậy y= +

y= + 4. Dấu "=" xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y= + bằng 4 khi x =

BÀI TẬP1/ Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

a)

Giải

Vậy đpcm

b)

Giải

Vậy đpcm

c)*


WWW.ToanCapBa.NetGiải

đpcm

d)

Giải

Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b: (1)

Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương (2)

Lấy (1) nhân (2) ta được: . đpcm

e)* (bđt Cô-si cho 4 số)

Giải

f)

GiảiÁp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương a, b, c, d ta được:

(1)

Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương ta được;

(2)

Nhân (1) với (2) ta được:

Vậy

g)

Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương a2b, 1/b h)

Áp dụng bđt Cô-si cho a, b và b, c và c, a.

i)

Khai triển hằng đẳng thức rồi áp dụng bđt Cô-si cho và


WWW.ToanCapBa.Net

j)

GiảiÁp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương a, b, c ta được:

(1)

Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương ta được;

(2)

Nhân (1) với (2) ta được:

Vậy

2/ Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) Với x>3. Chứng minh

HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1 và x+3

b) Với . Chứng minh |x.y|≤3

HD: Áp dụng bđt Cô-si cho ,

c)* Với a, b, c0 và a+b+c=1. Chứng minh: b+c 16abc

HD: b+c (b+c)2 4bc (1)

a+(b+c) 1 4a(b+c) (2)

lấy (1)x(2) ta được đpcmd) Cho a, b, c, d 0. Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) 32abcd

HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1

e) Cho a,b,c >0. CMR :

HD: Áp dụng bđt Cô-si cho

f) Với a,b,c,d không âm. CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) 16abcd.HD:

g) Cho a,b,c > 0. CMR :

HD:

h) Cho a,b,c > 0. CMR : (a+b+c)( ) 9

HD:

k) Cho a,b > 0. CMR : (a+b)( ) 4

HD:

l) Cho a,b,c > 0. CMR :

HD:


WWW.ToanCapBa.Net

m) Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1. CMR :

HD:

n) Cho a > 1 . CMR :

HD: bình phươn 2 vế

o) Cho a,b,c >0 . CMR :

3/ Chứng minh bất đẳng thức

a) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì

b) . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra?

c) . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.?

d) (a+b+c)2 3(a2+b2+c2) với mọi a,b,c . e) a2b+ab2 a3+b3 , với a, b dương. Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ?

4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với . Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất?5/ Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) f(x)= b) f(x)= với x > 1

2*/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= với 0<x<1

Giải

Đẳng thức xảy ra

3*/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 4x3 x4 với 0≤ x ≤ 4Giải


WWW.ToanCapBa.NetBÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

I. CMR1. a2 – 3a + 3 > 0 , aR 2. a2 + b2 2ab , a, bR a2 +3a +3 > 0 aR 3. a2 + b2 + 4 ab + 2(a +b) , a, bR4. a2+ b2 + c2 + d2 + e2 a(b +c + d + e) , a, b, c, d, eR

5. . Suy ra , a, bR

6. , a, b, cR

7. a3 + b3 ab(a+b) , a, b 08. a3b + ab3 a4 + b4 , a, bR 9. a4 + 16 2a3 + 8a , aR

10. , a, b, c, d > 0

11. , a, b > 0

12. , a, bR

13. , a 1

14. , a, b, c > 0

15. a4 + 2a3 +3a2 -12a +19 > 0 , aR

16. x8 – x5 + x2 – x + 1 > 0 , xR. Hd: BĐT

II.CMR1. a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR:

i. Nếu ii. Nếu

b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR:

2. Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: a. a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca) b. abc (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0

3. Cho a + b = 1. CMR: a2 + b2

4. Cho x + y + z = 1. CMR:

5. CMR: a. , xR

b. , x, yR

III.CMR

1. . (a, b , c, d 0)

2. . (a, b , c 0)

3. (a, b , c > 0)


WWW.ToanCapBa.Net

4. (a, b , c > 0)

5. (a, b , c > 0)

6. (x , y > 0)

7. (a + b)(b+c)(c+a) 8abc (a, b , c 0)

8. (a, b , c > 0)

9. (a + 2)(b + 8) (a + b) 32ab (a, b 0) 10. (1 –a)(1 – b)(1 – c) 8abc với a + b + c = 1 và a, b, c 0

11. với x+y =1 và x , y > 0.

12. (a + 2) (b + 8) 36 với ab = 4 và a, b > 0

13. a, b 1

14. với a + b + c = 1 và a, b, c -

IV.CMR: 1. (ab +by)2 (a2 + b2)(x2 +y2) ,a, b, x, yR. Dấu bằng xảy ra khi nào?

2. với x2 + y2 = 1

3. 2 với 9x2 + 4y2 = 1

4. với 2x2 + 3y2 = 7

5. biết 4x + 6y = 1. Dấu bằng xảy ra khi nào?

6. biết 4x - 3y = 3. Dấu bằng xảy ra khi nào?

V.Tìm GTLN của hàm số sau: 1. y = (x + 5)(7 – x) với -5 x 7 (maxy = 36 khi x = 1)

2. y = (2x - 3)(10 – 3x) với

3. y = với x 4 (maxy = khi x = 8)

4. y = x + (maxy = 4 khi x = 2)

VI.Tìm GTNN của hàm số sau:

1. y = với x > -5 (miny = 4 khi x = -1)

2. y = với x > 2 (miny = 8 khi x = 5)

3. y = với x 0 (miny = 6 khi x = )

4. y = với x 0 (miny = 2 khi x = 1)

5. y = với x > 0 (miny = 9 khi x = 2)

6. y = (miny = 2 khi 2 < x < 4)


WWW.ToanCapBa.NetVII. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = xy + yz + zx biết x2 + y2 + z2 = 1


WWW.ToanCapBa.NetBÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

Dùng định nghĩa:Chứng minh các bất đẳng thức sau1/ Cho a,b,c,d > 0

a) nếu a < b thì < b) nếu a > b thì > c) 1 < < 2 d) 2 < < 3

2/ Cho < và b,d > 0, Chứng minh rằng < < 3/ Chứng minh rằng a , b ,c

a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6ac) a2 + 1 > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0 e) 2abc a2 + b2c2 f) (a + b)2 ≥ 4ab g) a2 + ab + b2 ≥ 0 h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3

i) 4ab(a – b)2 (a2 – b2)2 j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0k) ≥ l) 2 + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b)m) n) ( )2 o) ≥ ( )2 p) + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2act) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)2 u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b + 2av) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

4/ Cho a ,b [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b| |1 + ab|a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì ≥

b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có ≤ + 5/ Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b6/ Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – + x – + 1 > 07/ Cho ba số a ,b ,c [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca 18/ Cho 0 < a b c . Chứng minh rằng : b() + (a + c) ()(a + c)9/ Cho a > b > 0 và c ≥ . Chứng minh rằng ≥ 10/ Cho a + b + c 0. Chứng minh rằng : ≥ 011/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng : + + 12/ Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng :

a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 13/ a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng : ≥ b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng : ≥ c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng :

≥ 14/ a,b,c,d chứng minh rằng

a) ≥ b) 1 < < 2

15/ Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :a) < 1b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)c) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3 *d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0*e) (a + b + c)2 9bc với a b c*f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc

16/ Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3 17/ Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng :

a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abcb) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2abc) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0

18*/ Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a b c Chứng minh rằng : (a + b + c)2 9bc


WWW.ToanCapBa.Net19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh rằng : ≥ 20*/ Cho a ,b ,c [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) 421/ Chứng minh rằng : + + + …+ < 1 n N22/ Chứng minh rằng : + + + …+ < 1 n N n ≥ 223/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng :

a + b + c 24/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng :

a) a2 + b2 + c2 ≥ 3b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3

Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)1/ Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng :

a) ≥ 2 a , b > 0 b) a2b + ≥ 2a b > 0 c) ≥ 1 d) a3 + b3 ≥ ab(a + b) e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h) i) ≥ j) + ≥ + + j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h) ≥ 2 k) ≥ 3a2b3 – 16 l) ≥ 4 m) ≥

2/ Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)2≥ 163/ Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . Chứng minh rằng:

a) a2b + ≥ 2a b) a + b + c ≤ ( a2b + b2c + c2a + + + )

4/ Cho 0 < a < b , chứng minh rằng: a < < < 5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a + b ab 6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng :

a) ab + ≥ 2 (b 0) b) a + b + c ≥ c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc d) ( + )2 ≥ 2 e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac f) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2

g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abch) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – 3 i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + )3

7/ Chứng minh rằng x (0; /2) ta có: cosx + sinx + tgx + cotgx + + > 68/ Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a4 + b4 + c4 ≥ abc9/ Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng :

a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b) ≥ a + b + cc)()( )() ≥ 8 d) ()()( ) ≥ 8e) (a + b + c)() ≥ 9 f) (a + b + c)() ≥ g) ≥ 6 h) ≥ i) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 j) 3a + 2b + 4c ≥ + 3 + 5k) ≥ + +

10/ Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh rằng :a) (ab + cd)( + ) ≥ 4 b) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d)c) + ≥ d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2


WWW.ToanCapBa.Nete) ≥ 6f) + + ≥ g) + + + ≥ h) ≥ 3a2b3 – 16 i) (abc + 1)( + + )( + + ) ≥ a + b + c + 6

11/ Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: (1 + )n + (1 + )n ≥ 2n+1 n N12/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng :

a) ab b)a2 + b2 ≥ b) c)a4 + b4 ≥ d)a3 + b3 ≥

13/*.Cho a > b và ab = 1 ,chứng minh rằng : ≥ 214/*. Chứng minh rằng – 15/ a) Chứng minh rằng nếu b > 0 , c > 0 thì : ≥

b)Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng nếu a ,b ,c là ba số không âm có tổnga + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc

16/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: ()() ≥ 9 17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :

a) ()()( ) ≥ 64 b) (a + b)(b + c)(c + a)abc

18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn + + + ≥ 3 Chứng minh rằng abcd 19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :

a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)c) (p – a)(p – b)(p – c) d) ≥ 2( )e) < + + <

20/.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1.Chứng minh rằng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8

21/. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh rằng – 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 23/ .Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an. Chứng minh rằng

a) ≥ n b) (a1 + a2 + … + an)() ≥ n2 c) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n với a1.a2….an = 1

24/ Cho n số a1 ,a2 ,….,an [0;1] ,chứng minh rằng : (1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a1

2 + a22 + …+ an

2)25/ Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a + ≥ 3 .Khi nào xảy ra dấu = 26/ Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Chứng minh rằng :

a) 2 + 3≥ 5 b) c) ≥ 3a2b3 – 16

27/ Chứng minh rằng 1.3.5….(2n – 1) < nn 28*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng :

a + b + c ≥ 29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an và b1 ,b2 ,….,bn. Chứng minh rằng :

30/ Chứng minh rằng : ≤ a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 331/*. n N chứng minh rằng :

a) 1. . < b) 1.22.33.44…nn <

32/*.Cho m,n N ;m > n . Chứng minh rằng : ( 1 + )m > ( 1 + )n

33/*.Cho x1,x2,…xn > 0 và x1 + x2 + ….+ xn = 1 Chứng minh rằng ()()…( ) ≥ (n + 1)n

34/*.Cho các số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y2

2

Chứng minh rằng : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2


WWW.ToanCapBa.Net35/*.Cho 3 số a ,b ,c (0;1). Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai:

a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3)36/*.Cho 3 số a,b,c > 0. Chứng minh rằng : + + 37/** Cho x ,y ,z [0;1] ,chứng minh rằng : (2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z) (ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên)38/*.Cho a , b , c > 1. Chứng minh rằng :

a) 2 b) 2 ≥

39/ Cho a ,b ,c > 0,chứng minh rằng :a) ≥ b) ≥ c) ≥ 6 d) ≥ ab + bc + cae) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc f) ≥ a + b + cg) ≥ ≥

40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . Chứng minh rằng : a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc

41/ Cho a ,b ,c > 0 thoả : . Chứng minh rằng : ≥ 442/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng :

a) + + ≥ 9 b) + + ≥ 9 43/ Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c k. Chứng minh rằng :

) ≥ 3

44/ Cho ba số a ,b ,c 0. Chứng minh rằng : ≥ 45/ Cho tam giác ABC,Chứng minh rằng :

a) ha + hb + hc ≥ 9r b) < Dùng tam thức bậc hai1/ x , y R Chứng minh rằng :

a) x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + 3 > 0a) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z b) 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0c) 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0d) x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3 e) (x + y)2 – xy + 1 ≥ (x + y)f) 3 + 10 ≥ 0g) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z)

2/ Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh rằng : (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd)3/ Chứng minh rằng : (1 + 2x + 3x)2 < 3 + 3.4x + 32x+1 4/ Cho ax + by ≥ , x,y > 0. Chứng minh rằng : ab ≥ 1/45*/ Cho – 1 x và – < y < ,chứng minh rằng : x2 + 3xy + 1 > 06**/ Cho a3 > 36 và abc = 1.Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc +

a) Chứng minh rằng : f(x) > 0 xb) Chứng minh rằng: + b2 + c2 > ab + bc + ca

7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x y . Chứng minh rằng x3 – 3x y3 – 3y + 4.Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số :

a) y = x2 + b) y = x + 2 + với x > – 2c) y = x + với x > 1d) y = với x > – 2e) y = với x > 0f) y = + với x (0;1)

8/ Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:y = x(2 – x) 0 x 2y = (2x – 3)(5 – 2x) x y = (3x – 2)(1 – x) x 1


WWW.ToanCapBa.Nety = (2x – 1)(4 – 3x) x y = 4x3 – x4 với x [0;4]

11/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất 12/*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = 13/* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = +


WWW.ToanCapBa.Net§2 Bất phương trình bậc nhất

I. Khái niệm bất phương trình một ẩn1. Định nghĩa

Cho hai hàm số f(x),g(x) cócác tập xác định D f,Dg. Đặt Df Dg=D, mệnh đề chứa biến x D dạng f(x)>g(x) gọi là bất phương trình một ẩn. Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x2+3x < 2x+5; 3x3+6x 5x+3

2. Tập hợp nghiệm

Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất cả các giá trị x0

3. Điều kiện của bất phương trìnhLà điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa

Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình là

3x0 và x+104. Bất phương trình chứa tham số

Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn.Ví dụ: mx+2>5 (tham số m)

5. Hệ bất phương trình một ẩnLà hệ gồm từ hai bất phương trình bậc nhất một ẩn.Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao các tập nghiệm đó.

Ví dụ: Giải hệ

III. Bất phương trình tương đương 1. Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 2. Định lý 2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ):

Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D. Nếu h(x) xác định trên D thì: f(x) > g(x) f(x) + h(x) > g(x) + h(x) * Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. 2.2 Định lý 2 (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định trên D + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi x thì bất phương trình: f(x) > g(x) f(x).h(x) > g(x).h(x) + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)<0 với mọi x thì bất phương trình: f(x) > g(x)f(x).h(x) < g(x).h(x)

2.3. Định lí 3 (bình phương): Nếu f(x) 0, g(x) 0 thìf(x) > g(x) f2(x) > g2(x)

* Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau+ Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình.+ Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc

biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương.+ Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu.+ Nếu f(x)<0, g(x)<0 thì f(x) <g(x) f(x) > g(x). Khi đó ta có thể bình phương 2 vế.

* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a) 2x+3 > x+7 x > 4 => tập nghiệm là T=(4; b) 2x-10 3x-2

-x 8 x => T=( * Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau

a) Đáp án: x≤1

b) Đáp án: x<1

c) Đáp án: x> ¼

* Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau


WWW.ToanCapBa.Net

a) Đáp án: 1/3<x≤3

b) Đáp án: 1<x≤2

c) Đáp án: x<4

Chú ý: Các dạng cơ bản của bất phương trình căn thức: ;

;

;

IV. Bất phương trình ax+b > 0 Từ bất phương trình ax+b > 0 ax > -b (1) Biện luận: + Nếu a = 0 => (1) 0x > -b . nếu b > 0 => bpt VSN . nếu b < 0 => bpt VN . nếu b = 0 => bpt VN

+ Nếu a > 0 => bpt có nghiệm x >

+ Nếu a < 0 => bpt có nghiệm x <

Ví dụ : giải và biện luận bất phương trình (m-1)x -2+3m > 0 (1) Giải (1) (m-1)x > 2-3m (2) . Nếu m-1= 0 m=1 (2) 0x > -1 => bpt VSN

. Nếu m-1> 0 m > 1 => bpt có nghiệm x >

. Nếu m-1 < 0 m < 1 => bpt có nghiệm x <

Kết luận: . m =1 bpt VN

. m > 1 bpt có nghiệm x >

. m < 1 bpt có nghiệm x <


WWW.ToanCapBa.NetBÀI TẬP

1/ Giải các bất phương trình sau

a) b)

c) d)

e) 2(x1)+x > f)

g) x(7x)+6(x1)<x(2x) h)

k) l)

m) n)

Đáp số: a) S= [0;3) b) S= (;5) c) S=(1;4) (4;+) d) S= (3;+)e) S=(9/4;+); f) S=(; ); g) (;6/11); h) S=[5;+); k) S=[3;2]l) S=(;4) (3;2) m) S={1}[2;;+) n) S=[21/4;13/2)

2/ Giải các hệ bất phương trình sau:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

Đáp số: h) S=(4/13;19/10); i) S=(;13/27]

3/ Tìm điều kiện của các bất phương trình sau:

a. b.

4/ CMR các bất phương trình sau vô nghiệm:

a/ b/ c/ d/

5/Giải các bất phương trình sau:

a. b. x2 > x c. d.

6/ Giải và biện luận bất phương trình sau:a. mx + 4 > 2x – m b. m(x-1) ≤ x + 3m

7/ Tìm k để hai bất phương trình sau tương đương: a/ 3x + 2 > x – 5 và 4x + k > 2x – 5 b/ 2x +3 ≤ x + 6 và 5x – 1 ≤ 3x + 2

8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm: (ĐS: m<1)

9/ Tìm m để hệ bpt sau vô nghiệm:

a. b.


WWW.ToanCapBa.Net

10/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm duy nhất : (ĐS: m= )


x 1 2 2x-2 - 0 + + x-2 - - 0 + f(x) + 0 - // +

WWW.ToanCapBa.Net§3 Dấu của nhị thức bậc nhất

1. Định nghĩa: Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng f(x) = ax+b (a 2. Định lý : Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a.

* Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3 Giải

Đặt f(x)=0 2x+3= 0 x =

3/ Xét dấu biểu thức được quy về tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất Phương pháp: ta xét dấu từng nhị thức bậc nhất trên cùng một bảng xét dấu,sau đó tổng hợp dấu lại ta

được dấu của biểu thức. * Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức A=(x-2)(5-3x) Giải Đặt x-2=0 x= 2

5-3x= 0

lập bảng xét dấu:

Vậy A < 0 ; A > 0 ; A= 0 x=2; 5/3

* Ví dụ 2: xét dấu biểu thức B =

4/ Giải bất phương trình (có ẩn ở mẫu số) quy về tích, thương các nhị thứ bậc nhất Để giải phương trình dạng này ta xét dấu biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất đó. Sau đó kết hợp với chiều củ bất phương trình ta sẽ tìm được tập nghiệm củ bất phương trình đó. ( phần nào không lấy thì gạch bỏ) Ví dụ : Giải cácbất phương trình sau

a) b)

Giải a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho

đặt 2x-2 = 0 x=1 x-2 = 0 x = 2

xét dấu biểu thức f(x)=

vậy S=

b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho


x 5

11

3

1 2

-5x-11 + 0 - - - 3x+1 - - 0 + + 2-x + + + 0 - f(x) - 0 + // - // +

WWW.ToanCapBa.Net

Xét dấu biểu thức f(x)=

Đặt -5x-11 = 0 x =

Vậy S =

5/ Phương trình, bất phương trình chứa trị tuyệt đối 1. Định nghĩa: là phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối của biến x trong phương trình 2. Phương pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình. Nếu có từ hai biểu thức trị tuyệt đối trở lên ta phải lập bảng xét từng biểu thức trên cùng một bảng, sau đó căn cứ vào bảng xét dấu để giải.

* Chú ý 1: Các dạng cơ bản của bpt chứa trị tuyệt đối

3. Ví dụ 3.1 Ví dụ 1: giải phương trình | x-1| + | 2x-4 | = 3 (1) Giải Ta xét dấu các biểu thức x-1;2x-4

nhìn vào bảng xét dấu ta có: * nếu x thì (1) -(x-1)-(2x-4)=3

-3x = -2 x = (nhận)

* nếu x thì (1) x-1-(2x-4) = 3

x = 0 (loại)

* nếu x thì (1) x-1+2x-4 = 3

3x=8 x = (nhận)

Vậy S =

3.2 Ví dụ 2: giải các bất phương trình sau: a) | x-2 | > x+1 b) | 2x+1 | < x

Tóm tắt lý thuyết1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất dạng ax + b >0ax > -b (1)


WWW.ToanCapBa.NetBiện luận:

+ Nếu a = 0 thì (1) 0.x > -b - nếu b > 0 thì bất phương trình có vô số nghiệm. - nếu b 0 thì bất phương trình vô nghiệm.

+ Nếu a > 0 thì bpt có nghiệm x > .

+ Nếu a < 0 thì bpt có nghiệm x .

Kết luận 2. Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b (a 0)

x - -b/a +f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a

* Chú ý : Xét biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất

( ví dụ : (ax+b)(cx+d)…(fx+k); …) ta xét dấu tất cả các nhị thứ bậc nhất trên cùng

một bảng xét dấu. * Các bước xét dấu biểu thức : B1 : Đưa biểu thức đã cho về dạng ax+b hoặc dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất. B2 : Tìm nghiệm các nhị thức bậc nhất. B3 : Xét dấu tất cả các nhị thức trên cùng một bảng xét dấu. B4 : Tổng hợp => kết luận. 3. Giải bất phương trình bậc nhất B1 : Đưa bất phương trình về dạng f(x)>0 hoặc f(x)<0 hoặc f(x) 0 hoặc f(x) 0. B2 : Xét dấu biểu thức f(x). B3 : Kết hợp với chiều của bất phương trình => tập nghiệm. 4. Giải hệ gồm 2 bất phương trình bậc nhất dạng

(I)

B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1. B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2 . B3 : Tập nghiệm S của hệ (I) là S = S1 S2.

BÀI TẬP 11/ Xét dấu các biểu thức sau:

a) f(x)= (2x1)(x+3) b) f(x)= (3x3)(x+2)(x+3)

c) f(x)= d) f(x)= 4x21


Đáp số: a) S=(1/2;1) [3;+) b) S= (;1) (0;1) (1;3)c) S= (12;4) (3;0) d) S= (;5) (1;1) (1;+)

3/ Giải bất phương trình

a) |5x4| 6 b)

c) |2x1|≤ x+2 c) |x1|≤ 2+x4|+x2Đáp số: a) S= (;2/5) [2;+) b) S= (;5) (1;1) (1;+)


WWW.ToanCapBa.Netc) S= [1/3;3] d) S= [5/4; +)

4/ Xét dấu các biểu thức sau

a) f(x)= (2x+3)(x2)(x+4) b) f(x)=

c) f(x)= d) f(x)= (4x1)(x+2)(3x5)(2x+7)


a) b)

c) d) |x3| > 1

e) |58x|≤ 11 f) |x+2|+|2x+1| ≤ x+1Đáp số: a) S= (;1) (2;+) b) S= (2;1] (2;+)

c) S= (2;0) (1;2) (4;+) d) S= Re) S= [3/4;2] f) Vô nghiệm

6*/ Lập bảng xét dấu các biểu thức sau

G=(3x1)(x+2) H= K= (x+1)(x+2)(3x+1)

L= M= 9x2 1 N= x3+7x6

O= x3+x25x+3 P=x2x Q=

R= S= T=


e) ( x+2)(x+1)(2x3)>0 f)

Đáp số: a) S=(1;2] [3;+) b) S=(;1/2) [2/11;1)

c) S= (;1) d) [52 5+2 ]

e) S=(;1) ( ;3/2) f) S=[4/5;1/3)8/ Giải và biện luận bất phương trình

a) mx+4>2x+m2 b) 2mx+1 x+4m2

d) x(m21) < m41 e) 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x1)9/ Giải các bất phương trình sau

Đáp số: a) S=(;1) ( /3;5/4) b) S=(1/3;3/2) hop (4;+)

c) S= [3;1/2) d) S=(;1/3)[0;1/2)[8;+)


WWW.ToanCapBa.Net10/ Giải hệ bất phương trình

Đáp số: a) S= ( ;3) b) S=(1;1/2)11/ Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình

Đáp số: a) S={4;5;6;7;8;9;10;11} b) S={1}12/ Giải các phương trình và bất phương trình sau

a) |x+1|+|x1|=4 b) c) |5+x|+|x3|=8

d) |x25x+6|=x25x+6 e) |2x1|= x+2 f) |x+2|+|x1|=5

g) |3x5|<2 h) k) |x2|>2x3

l) |x+1|≤ |x|x+2Đáp số: a) S={2;2} b) S= (4;1)(2;5) c) S=[5;3]

d) S= x≤2 hoặc x>3 e) S={1/3;3} f) S={3;2} g) S=(1;7/3)h) S=(4;1)(1;0] k) S=(;5/3) l)S=(;1]

13. Giaûi baát phöông trình (chöùa giaù trò tuyeät ñoái) :

14. Giaûi baát phöông trình (chöùa caên thöùc) :

15/* Giải và biện luận phương trình

a) (2x )(xm)>0 b)

16/* Giải và biện luận hệ phương trình

a) b)


WWW.ToanCapBa.NetBÀI TẬP 2

Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m a) m(x-m) x-1 b) mx+6 > 2x+3m c) (m+1)x + m < 3x+4 Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a) b)

c) d)

Đáp số: a) S=(;1) (2;+) b) S=(2;3]c) S=(1/2;1) [3;+) d) S=(;11/5)(1/3;2)

Bài 3: Giải các bất phương trình sau: a) | 2x-5 | x+1 b) | 2x+1 | < x c) | x-2 | > x+1 d) | x+2 | x+1

Đáp số: a) S=[4/3;6] b) Vô nghiệmc) S=(;1/2) d) S=R

Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) | 2x-1 | = x+m b) | x-1 | =x+m Bài 5: Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:

a) m2x+4m-3 < x+m2 b) m2x+1 m+(3m-2)xBài 6: Giải các hệ bất phương trình sau

a) b)

Đáp số: a) Vô nghiệm b) S=(26/3;28/5)

Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của hệ các bất phương trình sau:

a) b)

Đáp số: a) S={4;5;…;11} b) S= {1}

Bài 8: Tìm số nguyên lớn nhất thoả mãn hệ bất phương trình:

Đáp số: S= {4}


WWW.ToanCapBa.NetBÀI TẬP 3

1/ Giải và biện luận các bất phương trình sau a) (m +1)2x > 2mx + m b) (m2+m)x - m2 - 2m 0 c) (m+1)x 2m(x+1)+2+x. d) m2x-1 > x+m

e) m f) m -1.

2/ Giải bất phương trìnha) 2x2 - 5x + 2 > 0 b) (x-2)2(x-4) < 0 c) -4 + x2 0

d) 25(x+10)(-x+1) 0 e) 16x2 + 40x + 25 < 0 f)

g) h) k)

l) m) n)

o)

3/ Giải các hệ bất phương trình sau

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i)

Đáp số: a) S = [6 ; 8) b) S =(- ; -4] (1;2] c) S = (- ;-1] (- ;+ )

d) S = (-1;2) e) S = (- 4; - ) f) S = (-2;- ) [-1; ) [ ;+ )


WWW.ToanCapBa.Net

g) S = (- ; -3) ( ;- ) (0; ) ( ;3) [4;+ )

h) S = (-1 ; - ) (0;1) i) S = (- ; -3 ] [0 ; )

4/ Giải các hệ bất phương trình sau

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

Đáp số: a) Vô nghiệm b) Vô nghiệm c) S = (-2;- ) (1; )

d) S = (- ;0) ( ;8) e) S = [1;2) f) S = (-2;-1)

g) Vô nghiệm h) S = [0; ] [ ;+ ) i) S = (- ;-4] (1;2]


WWW.ToanCapBa.Net§4 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

I/ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Định nghĩa: là những bất phương trình có dạng ax+by+c > 0 ; ax+by+c < 0 ,trong đó a,b,c , a2+b2 .

2. Cách giải : để giải bpt ax+by+c > 0 ta vẽ đồ thị của đường thẳng ax+by+c = 0. Khi đó: + Nếu đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thì ta thay góc toạ độ (0;0) vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm. + Nếu đường thẳng đi qua góc toạ độ thì ta lấy một điểm bất kì trong mặt phẳng thay vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm. * Ví dụ: Giải các bất phưng trình sau: a) x-3y < -3 x-3y+3 < 0 (1) Vẽ đường thẳng x-3y+3= 0

Thay O(0;0) vào (1) 3<0 O(0;0) không thỏa (1) ta gạch bỏ phần chứa gốc toạ độ. Miền không gạch là miền nghiệm .

b) x-2y > 0 vẽ đồ thị đường thẳ x-2y = 0 , thay (0;1) vào vế trái ta được VT= -2 > 0 (!) => miền chứa (0;1) không phải là miền nghiệm.

II. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Định nghĩa: là hệ có từ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn trở lên. 2. Cách giải: để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta giải từng bất phương trình trong hệ rồi biểu diễn chúng lên cùng một hệ trục toạ độ, miền còn trống là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Ví dụ 1: giải hệ

Giải Ta vẽ các đường thẳng (d1): x-y= 0 (d2): x-3y+3= 0 (d3): x+y-5= 0


WWW.ToanCapBa.Net

Miền I là miền nghiệm.

Ví dụ 2: Giải hệ

Giải Vẽ các đường thẳng : (d1): x= 0 (d2): y= 0 (d3): x+y= 0



Bài 1: Giải các bất phương trình bậc nhất hai ẩn a) x+3 +2(2y+5) < 2(1-x) b) 4(x-1) + 5(y-3) > 2x-9

c) 2x-y≤ 3 d) 3+2y >0e) 2x-1<0 f) x-5y < 2g) 2x+y> 1 h) -3x+y+2 ≤ 0k) 2x-3y+5 ≥ 0

Bài 2: Giải các hệ bất phương trình hai ẩn

a) b)

d) e)

Bài 3: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:

.Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F = y-x đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:

.Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F =2x+3y đạt giá trị max, min.


WWW.ToanCapBa.Net§5 DẤU TAM THỨC BẬC HAI

I/ Tam thức bậc hai 1. Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax2+bx+c (a 0).

2. Định lý (về dấu tam thức bậc hai) Cho tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c (a 0) và = b2-4ac + Nếu < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x.

+ Nếu = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với .

+ Nếu > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ( giả sử x1< x2) :

* Chú ý : ta có thể thay bởi Ví dụ 1: xét dấu các tam thức sau a) f(x) = 3x2-2x+1 b) f(x) = -4x2+12x-9 c) f(x) = x2-4x-5

Giải a) cho f(x) = 0 3x2-2x+1 = 0. tính = -2 < 0 vậy f(x) > 0 x. b) cho f(x) = 0 -4x2+12x-9 = 0. tính = 0

vậy f(x) < 0 .

c) cho f(x)= 0 x2-4x-5 = 0. tính = 9 => x1=-1 ;x2 = 5

vậy f(x) > 0

f(x) < 0 f(x) = 0 khi x= -1 , x = 5 Ví dụ 2: Xét dấu các biểu thức sau a) A = (2x2+9x+7)(x2+x-6)

b) B =

Giải

a) Đặt 2x2+9x+7 = 0

x2+x-6 = 0

II/ Bất phương trình bậc hai 1. Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có một trong các dạng sau:


WWW.ToanCapBa.Net ax2+bx+c > 0 ; ax2+bx+c < 0 ; ax2+bx+c 0 ax2+bx+c 0 ( a 0). 2 .Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta xét dấu tam thức bậc hai đó , kết hợp với chiều của bất phương trình ta sẽ tìm được nghiệm của bất phương trình. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a) 3x2+2x+5 > 0 S=R b) -2x2+3x+5> 0 S=(-1;5/2) c) -3x2+7x-4 < 0 S=(-;1) (4/3;+) d) 4x2-3x+1<0 Vô nghiệm e) 9x2-24x+16 < 0 S=R\{4/3} Ví dụ 2 . Giải các bất phương trình sau

a) A = (2x2+9x+7)(x2+x-6) > 0 b) B = < 0

Ví dụ 3. Xác định m để phương trình x2+2(m+2)x-2m-1=0 có nghiệmHD: =m2+6m+5 0 m≤5 hoặc m1

* Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R+ Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số)

+ Nếu a0 thì:

III/ Hệ bất phương trình bậc hai (10NC)1. Định nghĩa : Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc hai trở lên. 2. Cách giải:

- Giải bất phương trình (1) tìm được S1

- Giải bất phương trình (2) tìm được S2

---------------------------------------------- - Giải bất phương trình (n) tìm được Sn Khi đó tập nghiệm của hệ là: S = S1 S2 … Sn Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau

a)

Giải

Giải bpt(1) được S1 = ; Giải bpt(2) dược S2 = (-3;2)

Vậy nghiệm của hệ là S = S1 S2= (-1;2)

b)

Ví dụ 2. Tìm m thì bpt phương trình sau (2m+1)x2+3(m+1)x+m+1 < 0 (*) vô nghiệm. Giải

+ với a = 0 m= (*) . vậy m = không thoả

+ với a 0 m khi đó phương trình đã cho vô nghiệm

vậy không có giá trị nào của m để phương trình vô nghiệm.


WWW.ToanCapBa.Net* Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R

+ Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số)+ Nếu a0 thì:

* Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai

Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì: x1< 0 < x2 P < 0 (hai nghiệm trái dấu)

x1 x2 < 0 ( hai cùng âm) 0 < x1 x2 (hai cùng dương)

BÀI TẬP 11/ Xét dấu các tam thức bậc hai sau

a) 2x2 +5x+2 b) 4x2

3x1 c) 3x2 +5x+1 d) 3x2

+x+52/ Giải các bất phương trình sau

a) x2 2x+3>0 b) x2

+9>6x c) 6x2 x20 d) x2

+3x+6<0

e) f) g)

h) i)

Đáp số: a) e) S=(;7)(2;2][7;+)

3/ Cho phương trình mx22(m1)x+4m1=0. Tìm m để phương trình có:a) Hai nghiệm phân biệt.b) Hai nghiệm trái dấu.c) Hai nghiệm dương.d) Hai nghiệm âm.

HD: ' = 12 m2 4 m 4 =0

4/ Tìm m để các phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

a) mx24(m1)x+m5≤ 0 = 12 m2 12 m 16b) 5x2x+m> 0 = 20m+1c) mx210x5<0 = 5m+25

d) Vì >0 với mọi x nên qui dồng bỏ mẫu

= m2 6 m 7

e) m(m+2)x2+2mx+2>0 = 4m

216m

Đáp số: a) không có m b) m> 1/20 c) m< 5 d) 7<m<1 e) m<4 hoặc m05/ Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm

a) 5x2x+m ≤0 mx210x506/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt

a) (m2+m+1)x2+(2m3)x+m5=0b) x26mx+22m+9m2=0Đáp số: a) không có m b) 0<m<1

BÀI TẬP 2


WWW.ToanCapBa.NetBài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai a) 3x2-2x+1 b) -x2+4x+5 c) -4x2+12x-9 d) 3x2-2x-8. Bài 2: Giải các bất phương trình sau a) 2x2-5x+2 < 0 b) -5x2+4x+12 < 0 c) 16x2+40x+25 > 0 d) -2x2+3x-7 > 0 e) 3x2-4x+4 0 f) x2-x-6 0. Bài 3: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm a) (m-5)x2-4mx+m-2 = 0 b) (m-2)x2+2(2m-3)x+5m-6 = 0 c) (3-m)x2-2(m+3)x+m+2 = 0. Bài 4: Xác định m để các tam thức sau dương với mọi x

a) 3x2+2(m-1)x+m+4 = 4 m2 20 m 44 =0 m= , 52

692

52

692

b) x2+(m+1)x+2m+7 = m2 6 m 27 =0 m=9;3 c) 2x2+(m-2)x-m+4. = m2 4 m 28 =0m= , 2 4 2 2 4 2

Bài 5: Giải các bất phương trình sau

a) ; Kq2: 2<x<2

b) ; Kq2: 1≤x≤2

Bài 6: Tìm m để a) (m+2)x22(m1)x+m2<0, x R

= 8m+20b) (m2m6)x2+2(m+2)x+1>0, x R

= 20m+40BÀI TẬP THÊM

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

a) x2 - ; x = 1 ; -2.

b) | -3x2 + 4x + 4 | = | 4 -x2 | ; x = -1; 0 ; 2. c) | -2x + 3| - |-4x + 3 | = 3 - | 2x + 3 | ; x = 0 hoặc x 3/2. d) | x-1 | + | x - 2 | = 3 ; x = 0 ; 3. e) | 3|x-2| - 3 | = 3 ; x = 0 ; 2 ; 4.f) | 3x - 2 | + x = 11 ; x = 13/4 ; -9/2. g) | x | - | x - 2 | = 2 ; x 2. h) | x - 3 | + 2| x - 1 | = 4 ; x = 3 ; 1/3.

i) 3 | x2 - 4x + 2 | = 5x +16 ; x =

j) ; x = 3.

k) ; x = -1 ; -2.

l) ; x = 3.

m) ; x = -1.

n) ; x = -1.

o) ; x = -4 ; 0.

p) ; x = 5.

q) ; x = 5.

r) ; x = 2.

Bài 2 : Giải các bất phương trình sau :


WWW.ToanCapBa.Neta) | 1 - x2 | (1+x)2 ; x = -1 hoặc x 0 . b) | x2 - x +1 | | 3x - 4 - x2 | ; x 3/2. c) | x2-3x+2 | > | x2 + 3x + 2 | ; x < 0.

d) | x2 + 6x -7 | < x + 6 ; S = ( ).

e) 2 | x+1 | > x + 4 ; x < -2 hoặc x > 2.

f) | x2 + x | - 5 < 0 ; S =( ).

g) x2 - | 5x + 8 | > 0 ; S= .

h) x2 + 4 | 3x + 2 | - 7x ; S = .

i) ; S = (-5 ; -2 ) (-1 ; + ) .

j) | x +1 | + | x - 4 | > 7 ; x < -2 hoặc x > 5.

k) ; x < 1/8.

l) ; S = (-169/25 ; -1] [0;+ ).

m) ; x -3 hoặc 4 < x < 61/13.

n) ; S = R.

o) ; hoặc 0 < x 1.

p) ; 0 < x < 1/4 .

q) ; x > 3 .

r) ; S = ( ).

s) ; x < -2.

t) ; .

Bài 3 : Giải các phương trình,bất phương trình sau ( Đặt ẩn số phụ )

a) x2 - 4x = ; x = 2 .

b) ; x = 1 ; -1/3.

c) ; x = -2;1.

d) (x + 1)(x + 4) - 3 = 6 ; x = -7 ; 2.

e) x2 + 2 ; x [1;2].

f) (x + 5)(x - 2) + 3 > 0 ; x < -4 hoặc x >1.

g) ; x [-2;-1] [-2/3;1/3].


WWW.ToanCapBa.NetChương V: THỐNG KÊ

§ 1 BẢNG PHÂN BỐ TẦN SUẤT VÀ TẦN SỐ

1/ Số liệu thống kêKhi thực hiện điều tra thông kê (theo mục đích định trước), cần xác định tập hợp các đơn vị điều tra,

dấu hiệu điều tra và thu thập các số liệu.Ví dụ: Số liệu thông kê điểm kiểm tra 15' của lớp 10CB như sau

5 5 6 6 7 6 4 4 3 2 3 2 3 4 4 6 4 5 4 6 7 5 4 5 6 6 3 4 6 8 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3

2/ Tần số-Tần suấtGiả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau ( k≤ n). Gọi xi là một giá trị bất kì trong k

giá trị đó, ta có:* Tần số: số lần xuất hiện giá trị xi trong dãy số liệu đã cho gọi là tần số của giá trị đó, kí hiệu là ni.

Ví dụ: Trong bảng số liệu trên ta thấy có 7 giá trị khác nhau làx1= 2, x2= 3, x3= 4, x4= 5, x5= 6, x6= 7, x7= 8x1=2 xuất hiện 2 lần n1= 2 (tần số của x1 là 2)

* Tần suất: Số được gọi là tần suất của giá tri xi. (tỉ lệ của ni, tỉ lệ phần trăm)

Ví dụ: x1 có tần số là 2, do đó: hay = 5%

* Bảng phân bố tần suất và tần số

Tên dữ liệu Tần số Tần suất (%)

x1

x2

.

.xk

n1

n2

.

.nk

f1

f2

.

.fk

Cộng n1+…+nk 100 %

Ví dụ: Bảng phân bố tần số và tần suất điểm kiểm tra 15’ môn toán 10CB

Điểm15’ toán Tần số Tần suất ( %)

2345678

26

10710 4 1

5 15 25 17,5 25 10 2,5

Cộng 40 100%* Chú ý: Nếu bỏ cột tầng số thì ta được bảng phân bố tần suất; bỏ cột tần suất thì ta được bảng phân

bố tần số.

3/ Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớpGiả sử n dãy số liệu thông kê đã cho được phân vào k lớp (k < n). Xét lớp thứ i trong k lớp đó, ta có:+ Số ni các số liệu thông kê thuộc lớp thứ i được tần số của lớp đó.

+ Số được gọi là tần số của lớp thứ i

Ví dụ: Theo bảng thông kê trên ta có thể phân thành 3 lớp [2;5), [5;7), [7;8]


WWW.ToanCapBa.NetLớp điểm 15’

toánTần số Tần suất ( %)

[2;5)[5;7)[7;8]

18175

45,042,512,5

Cộng 40 100%* Bảng này gọi là bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp. Nếu bỏ cột tần số thì ta được bảng phân

bố tần suất ghép lớp; Nếu bỏ cột tần suất thì ta được bảng phân bố tần số ghép lớp.

Ví dụ: Cho các số liệu thống kê ghi theo bảng sau ( thành tích chạy 50m của học sinh lớp 10A, đơn vị tính bằng: giây)

6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,66,6 6,7 7,0 7,1 7,2 8,3 8,57,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,17,1 7,3 7,5 7,5 7,6 8,77,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất lớp ghép với các lớp:[6,0;6,5); [6,5;7,0);[7,0;7,5);[7,5;8,0);[8,0;8,5);[8,5;9,0]

b) Trong lớp 10A số học sinh chạy 50m hết từ 7 giây đến dưới 8,5 giây chiếm bao nhiêu phần trăm?


WWW.ToanCapBa.Net§2 BIỂU ĐỒ

I/ Biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất 1. Cách vẽ biểu đồ tần suất, tần số hình cột

Để mô tả bảng phấn bố tần suất ghép lớp và trình bày các số liệu thống kê, có thể vẽ biễu đồ tần suất hình cột như sau:

+ Chọn hệ trục Oxf với đơn vị trên trục hoành Ox là đơn vị của dấu hiệu X được nghiên cứu; đơn vị trục tung Of là 1%.

+ Để đồ thị được cân đối, đôi khi phải cất bỏ một đoạn náo đó trên trục hoành (hoặc trục tung), dùng dấu "…" để biểu diễn phần bị cắt bỏ.

+ Trên trục hành, đặt các khoảng có các mút biểu diễn cho các mút của các lớp ở bảng phân bố tần suất ( độ dái các khoảng bằng bề rộng của các lớp) Ta gọi các khoảng và các lớp này tương ứng nhau. Lấy các khoảng đó làm cạnh đáy, vẽ các hình chữ nhật có độ dài của các đường cao bằng tần suất của các lớp tương ứng và nằm về phía chiều dương của trục tung.

Ví dụ: xem SGK

* Cách vẽ biểu đồ tần số hình cột: tương tự, nhưng thay trục tần suất bởi cột tần số. 2. Cách vẽ đường gấp khúc tần suất, tần số

+ Trong bảng phân bố ghép lớp ta lấy giá trị trung bình cộng của hai mút lớp thứ i làm giá trị đại diện của lớp đó, kí hiệu là ci.

+ Trên mặt phẳng tọa độ Oxf, xác định điểm (ci;fi), i=1;2;3;..;k.+ Vẽ đoạn thẳng nối điểm (ci;fi) với điểm (ci+1;fi+1).Ví dụ: xem SGK

II. Biểu đồ hình quạt+ Toàn bộ hình tròn biểu diễn cho 100%.+ Mỗi hình quạt biểu diễn số phần trăm trong bảng cơ cấu.+ Số đo độ (và độ dài ) của các cung tròn tương ứng với các hình quạt tỉ lệ với số phần trăm của các

nhóm trong bảng cơ cấu.


WWW.ToanCapBa.Net §3 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG, SỐ TRUNG VỊ, MỐT

Để thu được thông tin quan trọng từ các số liệu thống kê, người ta sử dụng những số đặc trưng như: số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai, dộ lệch chuẩn. Các số đạc trưng này phản ánh những khía cạnh khác nhau của dấu hiệu điều tra.

1/ Số trung bình cộng ( )

* Bảng phân bố tần suất và tần số

Tên dữ liệu Tần số Tần suất (%)

x1

x2

.xk

n1

n2

.nk

f1

f2

.fk

Cộng n=n1+…+nk 100 %Trung bình cộng của các số liệu thống kê được tính theo công thức;

* Trường hợp Bảng phân bố tần suất và tần số ghép lớp

ci , fi , ni là giá trị đại diện của lớp thứ i.

Ý nghĩa của so trung bình : Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đặc trưng

quan trọng của mẫu số liệu.Ví dụ 1: Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 chiếc lá cây và thu được số liệu sau ( đơn vị mm)

LớpGiá trị đại

diệnTần số

[5,45 ; 5,85)[5,85 ; 6,25)[6,25 ; 6,65)[6,65 ; 7,05)[7,05 ; 7,45)[7,45 ; 7,85)[7,85 ; 8,25)

5,656,056,456,857,257,658,05

5915191682

N = 74Khi đó chiều dài trung bình của 74 chiếc lá này là :

6,80 (mm).

Ví dụ 2 : Một nhóm 11 học sinh tham gia một kì thi. Số điểm thi của 11 học sinh đó được sắp xếp từ thấp đến cao như sau: (thang điểm 100): 0 ; 0 ; 63 ; 65 ; 69 ; 70 ; 72 ; 78 ; 81 ; 85 ; 89.Điểm trung bình là:

= 61,09.

Quan sát dãy điểm trên, ta thấy hầu hết (9 em) trong nhóm có số điểm vượt điểm trung bình. Như vậy, điểm trung bình này không phản ứng đúng trình độ trung bình của nhóm.


WWW.ToanCapBa.Net2/ Số trung vị (Me)

Khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệnh rất lớn đối với nhau thì số trung bình khó có thể đại diện cho các số liệu trong mẫu. Có một chỉ số khác thích hợp hơn trong trường hợp này. Đó là số trung vị.

Định nghĩa: Giả sử ta có dãy n số liệu được sắp xếp thành dãy không giảm (hoặc không tăng). Khi đó, số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu là Me là :

+ số đứng giữa dãy nếu số phần tử n lẻ ; (= )

+ trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử n chẵn.

(=trung bình cộng của số hạng thứ và )

Ví dụ 1: Điểm thi toán của 9 học sinh như sau: 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10 Ta có Me= 7

Ví dụ 2: Số điểm thi toán của 4 học sinh như sau: 1; 2,5; 8; 9,5

Ta có Me=

3/ Mốt (MO)Mốt của bảng phân bố tần số là giá trị (xi) có tần số (ni ) lớn nhất và được kí hiệu là MO.

Chú ý: Có hai giá trị tần số bằng nhau và lớn hơn tần số các giá trị khác thì ta nói trường hợp này có hai

Mốt, kí hiệu .

Ví dụ : Một cửa hàng bán 6 loại quạt với giá tiền là 100, 150, 300, 350, 400, 500 (nghìn đồng). Số quạt cửa hàng bán ra trong mùa hè vừa qua được thống kê trong bảng tần số sau:

Giá tiền 100 150 300 350 400 500

Số quạt bán được 256 353 534 300 534 175

Nhận xét và tìm mốt ? 4/ Chọn đại diện cho các số liệu thống kê:

a) Trường hợp các số liệu thông kê cùng loại và số lượng thống kê đủ lớn (n 30) thì ta ưu tiên chọn số trung bình làm đại diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn).

b) Trường hợp không tính được giá trị trung bình thì ta chọn số trung vị hoặc mốt làm đại diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn).

c) Không nên dùng số trung bình để đại diện cho các số liệu thống kê trong các trường hợp sau (có thể dùng số trung vị hoặc mốt):

+ Số các số liệu thống kê quá ít (n ≤ 10).+ Giữa các số liệu thống kê có sự chênh lệc quá lớn.+ Đường gấp khúc tần suất không đối xứng, (và nhiều trường hợp khác)


WWW.ToanCapBa.Net§4 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

I. PHƯƠNG SAI:

Phương sai, kí hiệu là .

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

+ Có thể tính theo công thức sau:

Trong đó =

(đối với bảng phân bố tần số, tần suất)

hoặc =

(đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp)

*Ý nghĩa phương sai+ Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình).+ Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy có

phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng bé.II. ĐỘ LỆCH CHUẨN:

Khi chú ý đơn vị đo ta thấy phương sai có đơn vị đo là bình phương của đơn vị đo được nghiên cứu

( đơn vị đo nghiên cứu là cm thì là cm2), để tránh tình trạng này ta dùng căn bậc hai của phương sai gọi là độ

lệch chuẩn.Độ lệch chuẩn, kí hiệu là sx

* Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn cũng dùng đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình). Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn để đánh giá vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đó với dấu hiệu X được nghiên cứu.

Ví dụ 1 :Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây:

Sản lượng (x)

20 21 22 23 24

Tần số (n) 5 8 11 10 6N = 40

a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng b) Tính phương sai và độ lệnh chuẩn

Giải: a) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là = 22,1 (tạ)

b) s2 = = 1,54 ; Độ lệch chuẩn là s = (tạ)


WWW.ToanCapBa.NetVí dụ 2:

Điểm trung bình môn học của hai học sinh An và Bình trong năm học vừa qua như sau:

Môn Điểm TBcủa An Điểm TB của Bình

ToánVật líHóa họcSinh họcVăn họcLịch sửĐịa líAnh vănThể dụcCông nghệGDCD

87,57,88,378

8,298

8,39

8,59,59,58,55

5,5699

8,510

a) Tính phương sai, độ lệch chuẩn của An , Bìnhb) Nêu nhận xét.

a) Từ số liệu ở cột điểm của An ta có

= - 0,3091 ;SA 0,556

Từ số liệu ở cột điểm của Bình ta có

= - 2,764; SB 1,663

b) Phương sai điểm các môn học của Bình gấp gần 9 lần phương sai điểm các môn học của An. Điều đó chứng tỏ Bình học lệch hơn An.


WWW.ToanCapBa.NetTHƯC HÀNH GIẢI TOÁN THỐNG KÊ LƠP 10

BĂNG MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO-----------------

1. Sử dụng máy Casio fx - 570 ES (Stat MODE 3 )

2. Sử dụng máy Casio fx - 500 ES (Stat: MODE 2 )


WWW.ToanCapBa.Net3. Sử dụng máy Casio fx - 570 ES.lus

4. Sử dụng máy Casio fx - 570 MS MODE MODE 1 (SD)

5. Sử dụng máy Casio fx - 500 MS



Bài 1/ Cho các số liệu thống kê ghi theo bảng sau (thời gian hoàn thành một giản phẩm của một nhóm công nhân, đơn vị tính: bằng phút)

4245455448

4245455448

4245455048

4245455048

4445455048

4445455048

4445454850

4445454850

4445454850

4545544850

a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất.b) Trong 50 công nhân được khảo sát, những công nhân có thời gian hoàn thành một sản phẩm từ 45

phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm.Bài 2/ Cho số liệu thống kê về chiều cao của 120 học sinh lớp 11, đơn vị tính : cm. Như sau

Nam Nữ175176176177176170170170165166175175176176175

163162161165169144143142141144156157160164163

146147149148152168167166174173161162158159160

150151152153155160160160161162172171170170170

172172172175175170170170170170175176176175176

141142142150154150152152160160160161162164165

155156157158159144144143143140145146147148149

150154152152153160165159165159168159168159168

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp cho cả nam và nữ với các lớp:[135;145); [145;155); [155;165); [165;175); [175;185]

b) Trong số các học sinh chiều cao chưa đến 155cm (của 120 hs khảo sát), học sinh nam đông hơn hay học sinh nữ đông hơn?

Bài 3/ Cho số liệu thống kê thời gian từ nhà đến trường của bạn A trong 35 ngày (thời gian tính: phút) như sau:

2122222123

2219202021

2423242326

1920212221

2323242324

2627282928

2526252625

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: [19;21),[21;23),[23;25),[25;27),[27;29].b) Thời gian đến trường từ 21 phút đến dưới 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?

Bài 4/ Cho bảng phân bố ghép lớp ( kết quả đo của 55 hs, khi đo tổng các góc trong của một tứ giác lồi)

Lớp số đo (độ) Tần số[535;537)[537;539)[539;541)[541;543)[543;545]

6102595

Cộng 55a) Bổ sung thêm cột tần suất.b) Nêu nhận xét về kết quả đo của 55 học sinh trên.

Bài 5/ Cho các số liệu thông kê về nhiệt độ trung bình (0C) của tháng 5 ở địa phươ A thừ 1961 đến 1990 như sau:


WWW.ToanCapBa.Net27,128,126,8

26,927,426,7

28,527,429,0

27,426,528,4

29,127,828,3

27,028,227,4

27,127,627,0

27,428,727,0

28,027,328,3

28,626,825,9

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp[25;26), [26;27), [27;28); [28;29), [29;30]

b) Trong 30 năm khảo sát, những năm có nhiệt độ trung bình của tháng 5 (ở địa phương A) từ 280C đến 300C chiếm bao nhiêu phần trăm?

Bài 6/ a) Mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp đã lập được ở bài tập số 3 bằng cách vẽ biểu đồ tần số hình cột, vẽ đường gấp khúc tần số.

b) Mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập được ở bài tập số 3 bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột, vẽ đường gấp khúc tần suất.

c) Dựa vào biểu đồ tần suất hình cột đã vẽ ở câu b) nêu nhận xét về thời gian bạn A đi từ nhà tới trường trong 35 ngày khảo sát.

Bài 7 / a) Trong cùng một hệ trục tọa độ hãy vẽ:Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập được ở bài tập số 2 theo chiều cao của

học sinh nam;Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập được ở bài tập số 2 theo chiều cao của

học sinh nữ;b) Dựa vào các đường gấp khúc tần suất đã vẽ ở câu a) hãy so sánh các phân bố theo chiều cao của học sinh

nam và nữ.Bài 8/ Cho bảng phân bố tần số ghép lớp:

Tình hình tham gia hoạt động ngoài giờ lên lớp của 73 học sinh lớp 10 trương THPT B ( trong thời gian một tháng).

Bài 9/ Cho các biểu đồ hình quạt Cơ cầu chi tiêu của người dân Việt Nam, phân theo các khoản chi (%).Dựa vào các biểu đồ hình quạt đã cho, lập bảng trình bày cơ cấu chi tiêu của nhân dân Việt Nam trong năm 1975 và 1989.

Bài 10/a) Bằng hai cách khác nhau, tính số trung bình của dãy số liệu về chiều cao của học sinh nam và nữ

cho trong bảng bài tập 1.b) So sánh chiều cao của học sinh nam và nữ trong nhóm học sinh được khảo sát.c) Tính chiều cao trung bình của tất cả các học sinh được khảo sát.

Bài 11/


1989

WWW.ToanCapBa.Neta) Tính số trung bình của các số liệu thống kê cho trong các bài tập 3,4,5.b) Nêu ý nghĩa của các số trung bình tính được.

Bài 12/ Cho bảng phân bố tần sốMức thu nhập trong năm 2000 của 31 gia đình trong một bản ở vùng núi cao.

a) Tính số trung bình, số trung vị, mốt của các số liệu thống kê đã cho.b) Chọn giá trị đại diện cho các số liệu thống kê đã cho.

Bài 13/ Cho bảng xếp loại lao động của học sinh lớp 10A năm học 2000-2001.

Loại lao động Tần sốABCD

1016167

Cộng 49a) Tính số trung bình, số trung vị, mốt của bảng nếu tính được.b) Chọn giá trị đại diện cho các giá trị thống kê đã cho về quy mô và độ lớn.

Bài 14/Tínha) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu về chiều cao của các học sinh nam và học sinh nữ

cho ở bài tập 2.b) Giả sử trường THPT M còn có một nhóm học sinh nam lớp 10 chuyên Toán (kí hiệu là nhóm T) có

chiều cao trung bình là 163cm, có độ lệch chuẩn là sx=13. So sánh chiều cao của ba nhóm học sinh đã cho (nhóm nam, nữ và nhóm T).


Mức thu nhập (triệu đồng) Tần số4,04,55,05,56,06.57,013,0

11358572

Cộng 31

WWW.ToanCapBa.NetBài 15/ Hai xạ thủ cùng tập bắn, mỗi người đã bắn 30 viên đạn vào bia. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:

Điểm số của A:

8 9 10 9 910 8 7 6 810 7 10 9 810 8 9 8 610 9 7 9 99 6 8 6 8

Điểm số của B:

9 9 10 6 910 8 8 5 99 10 6 10 78 10 9 10 99 10 7 7 99 8 7 8 8

a) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho ở 2 bảng trên.b) Xét xem trong lần tập bắn này, xạ thủ nào bắm chụm hơn.

Bài 16/ Người ta điều tra sản phẩm của hai tổ đóng gói các túi đường (có khối lượng quy định là 2kg). Kết quả điều tra cho các số liệu thống kê ghi trong 2 bảng sau:

Khối lượng của 40 túi đường được đóng gói bởi tổ A (đơn vị là kg).

1.95 2.09 1.91 1.99 1.93 2.07 5.15 1.96 1.93 1.941.94 2.05 2.02 1.97 1.91 1.95 2.05 2.04 2.03 2.002.02 1.94 1.92 1.97 2.00 2.02 2.04 2.05 2.02 2.021.94 2.01 1.99 1.95 2.03 2.06 1.91 2.14 1.90 2.25

Khối lượng của 40 túi đường được đóng gói bởi tổ B (đơn vị là kg).

1.77 1.79 1.80 1.69 1.76 1.69 1.69 1.93 1.94 1.982.07 1.98 1.96 1.97 2.06 1.96 1.96 1.91 1.93 2.061.97 2.07 2.06 2.08 1.91 1.95 2.05 1.93 1.94 2.022.22 2.31 1.80 2.30 2.30 2.23 2.31 2.25 2.24 2.23a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo sản phẩm của tổ A với các lớp: [1.90;1.98);

[1.98;2.06);[2.06;2.14);[2.14;2.22);[2.22;2.30).b) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo sản phẩm của tổ B với các lớp: [1.5;1.7);[1.7;1.9);

[1.9;2.1);[2.1;2.3);[2.3;2.5).c) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho ở bảng 2 bảng trên. Từ

đó xét xem trong lần điều tra này, sản phẩm của tổ nào có khối lượng đồng đều hơn.Bài 17: Số liệu sau đây cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng của một cửa hàng trong năm 2005. Đơn vị là triệu đồng.

T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

L 12 15 18 13 13 16 18 14 15 17 20 17 a) Tìm số trung bình, số trung vị. b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

Đáp số: a) triệu đồng; triệu đồng

b) triệu đồng

Bài 18. Một cửa hàng vật liệu xây dựng thống kê số bao xi măng bán ra trong 23 ngày cuối năm 2005. Kết quả như sau: 47 ; 54 ; 43 ; 50 ; 61 ; 36 ; 65 ; 54 ; 50 ; 43 ; 62 ; 59 ; 36 ;

45 ; 45 ; 33 ; 53 ; 67 ; 21 ; 45 ; 50 ; 36 ; 58.a) Tìm số trung bình, số trung vị.b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.


WWW.ToanCapBa.NetĐáp số: a) ; b)

Bài 19. Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong mỗi tháng được thống kê như sauT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

SK 430 560 450 550 760 430 525 110 635 450 800 950 a)Tìm số trung bình, số trung vị b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

Đáp số: a) b)

Bài 20. Trên hai con đuờng A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tốc độ (km/h) của 30 chiếc ô tô trên mỗi con đường như sau:

Con đường A : 60 ; 65 ; 70 ; 68 ; 62 ; 75 ; 80 ; 83 ; 82 ; 69 ; 73 ; 75 ; 85 ; 72 ; 67 ; 88 ; 90 ;85 ; 72 ; 63 ; 75 ; 76 ; 85 ; 84 ; 70 ; 61 ; 60 ; 65 ; 73 ; 76.

Con đường B: 76 ; 64 ; 58 ; 82 ; 72 ; 70 ; 68 ; 75 ; 63 ; 67 ; 74 ; 70 ; 79 ; 80 ; 73 ; 75 ; 71 ; 68 ; 72 ; 73 ; 79 ; 80 ; 63 ; 62 ; 71 ; 70 ; 74 ; 69 ; 60 ; 63.

a)Tìm số trung bình, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn của tốc độ ô tô trên mỗi con .b) Theo em thì lái xe trên con đường nào an toàn hơn ?

Đáp số: a) Trên con đường A :

Trên con đường B:

b) Lái xe trên con đường B an toàn hơn trên con đường A vì vận tốc trung bình của ô tô trên con đường B nhỏ hơn trên con đường A và độ lệch chuẩn của ô tô trên con đường B cũng nhỏ hơn trên con đường A.

Bài 21: 400 quả trứng được phân thành năm lớp căn cứ trên khối lượng (đơn vị gam) của chúng. Ta có bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây:

Lớp Tần số[27,5 ; 32,5)[32,5 ; 37,5)[37,5 ; 42,5)[42,5 ; 47,5)[47,5 ; 52,5)

18762001006

N = 400a) Tính số trung bìnhb) Tính phương sai , độ lệch chuẩn.

Đáp số: a) b)

Bài 22. Một người lái xe thường xuyên đi lại giữa hai địa điểm A và B.Thời gian đi (tính bằng phút) được ghi lại trong bảng phân bố tần số ghép lớp sau:

Lớp Tần số[40 ; 44][45 ; 49][50 ; 54][55 ; 59][60 ; 64][65 ; 69]

91530171712

N = 100

a) Tính thời gian trung bình mà người đó đi từ A đến B b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Đáp số: a) Thời gian trung bình mà người đó đi từ A đến B xấp xỉ là 54.7 phút

b) phút

Bài 23. Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột . Kết quả thu được như sau: 21; 17; 22; 18; 20; 17; 15; 13; 15; 20; 15; 12; 18; 17; 25; 17; 21; 15; 12; 18; 16;

23; 14; 18; 19; 13; 16; 19; 18; 17.a) Lập bảng phân bố tần sốb) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn.c) Tính số trung vị và mốt.


WWW.ToanCapBa.NetĐáp số: a) Lập bảng với 2 hàng là : tuổi và tần số

b)

c) có 2 mốt là

Bài 24. Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về một bộ phim mới chiếu trên truyền hình. Người điều tra yêu cầu cho điểm bộ phim (thang điểm là100). Kết quả được trình bày trong bảng phân bố tần số sau đây:

Lớp Tần số[50 ; 64)[60 ; 70)[70 ; 80)[80 ; 90)[90 ; 100)

261084

N = 30

a) Tính số trung bình.b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Đáp số: a) b)


WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Thêm

Bài 1: Số học sinh giỏi của một trường THPT gồm 30 lớp được cho ở bảng sau:0 2 1 0 0 3 0 0 1 1 1 5 2 4 51 0 1 2 4 0 3 3 1 0 0 1 6 6 0a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất.b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.c) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số - tần suất.

Bài 2: Nhiệt độ của 24 tỉnh, thành phố ở Việt Nam vào một ngày của tháng 7 như sau (đơn vị: độ)

36 30 31 32 31 40 37 2941 37 35 34 34 35 32 3335 33 33 31 34 34 35 32

a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất.b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.c) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số - tần suất.

Bài 3: Kết quả điều tra số con trong một gia đình của 45 hộ ở một xã miền núi được ghi như sau:

4 0 2 4 1 0 2 2 1 0 1 0 2 3 40 3 3 1 2 1 3 2 3 2 4 3 4 4 04 1 1 2 1 1 2 3 4 2 1 2 2 3 3

a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất.b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.

Bài 4: Một trạm kiểm soát giao thong ghi tốc độ của 30 chiếc xe môtô qua trạm như sau:40 58 60 75 45 70 60 49 60 7552 41 70 65 60 42 80 65 58 5565 75 40 55 68 70 52 55 60 70

Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.Bài 5: Hai lớp 10A và 10B của một trường THPT đồng thời làm bài thi môn Văn theo cùng một đề thi. Kết quả như sau:

Lớp 10A:Điểm thi 5 6 7 8 9 10 CộngTần số 1 9 12 14 1 3 40

Lớp 10B:Điểm thi 6 7 8 9 CộngTần số 8 18 10 4 40

a) Tính số trung bình, trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng số liệu trên.b) Nhận xét xem lớp nào học đều hơn.

Bài 6: Điều tra tiền lương hàng tháng của 30 công nhân ở một xưởng may, ta có bảng phân bố tần số sau:

Tiền lương 300 500 700 800 900 1000 CộngTần số 3 5 6 5 6 5 30

a) Lập bảng phân bố tần suất.b) Tính số trung bình, trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng số liệu trên.c) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số - tần suất.

Bài 7: Điểm thi toán của 60 học sinh lớp 10 được cho ở bảng sau:1 5 4 8 2 9 4 5 3 22 6 3 7 5 9 10 10 7 94 1 3 6 0 10 3 3 0 82 5 2 1 5 1 8 5 7 24 6 3 4 2 6 4 1 6 80 5 3 8 2 7 2 7 10 0

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp sau: [0;2), [2; 4), …, [8;10].b) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.c) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột.


WWW.ToanCapBa.Netd) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số, tần suất.e) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.

Bài 8: Số điện tiêu thụ của một khu dân cư trong một tháng như sau (đơn vị: KW):50 47 30 65 63 70 38 34 48 5355 50 61 37 37 43 35 65 60 3133 41 45 55 59 33 39 32 40 50

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp sau: [30;35), [35; 40), …, [65;70].b) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.c) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột.d) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số, tần suất.e) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.

Bài 9: Trong một cuộc điều tra 40 nhà nhiếp ảnh nghiệp dư với câu hỏi: “Tháng trước anh (chị) sử dụng hết bao nhiêu cuộn phim?” thu được mẫu số liệu sau:

5 3 3 1 4 3 4 3 6 84 2 4 6 8 9 6 2 10 1115 1 2 5 13 7 7 2 4 93 8 8 10 14 16 17 6 6 12

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp sau: [0;2], [3; 5], …, [15;17].b) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.c) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột.d) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số, tần suất.e) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.

Bài 10: Quyên góp tiền ủng hộ từ thiện ở một trường học như sau (đơn vị: nghìn đồng).95 98 102 95 97 110 115 120 112 9698 125 118 120 98 100 105 121 118 99105 115 97 99 96 99 105 124 125 125

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp sau: [95;100), [100;105), …, [125;130].b) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.c) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột.d) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số, tần suất.e) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.

Bài 11: Điểm trung bình của 10 học sinh lớp 10A được thống kê theo bảng sau:Học sinh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Điểm 9,0 5,0 6,0 7,0 7,5 8,0 6,0 8,0 4,0 3,0a) Tính Me và bảng thống kê điểm số trênb) Tìm phương sai, độ lệch chuẩn


WWW.ToanCapBa.NetBÀI TẬP ÔN CHƯƠNG V: THỐNG KÊ

1. Cho bảng số liệu thống kê: Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh từ Nghệ An trở vào

30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 35 25 4530 30 30 40 30 25 45 45 35 35 30 40 4040 35 35 35 35

a) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy đưa ra nhận xét các số liệu thống kê.c) Tính số trung bình cộng

d) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn2. Cho bảng số liệu thống kê: Thời gian (phút) hoàn thành một bài tập toán của mỗi học sinh lớp 10A.

20,8 20,7 23,1 20,7 20,9 20,9 23,9 21,6 25,3 21,5 23,8 20,7 23,3 19,8 20,9 20,1 21,3 24,2 22,0 23,824,1 21,1 22,8 19,5 19,7 21,9 21,2 24,2 24,3 22,2 23,5 23,9 22,8 22,5 19,9 23,8 25,0 22,9 22,8 22,7

a) ) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau:[19,5 ; 20,5) [20,5 ; 21,5) [21,5 ; 22,5) [22,5 ; 23,5) [23,5 ; 24,5) [24,5 ; 25,5]

b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy đưa ra nhận xét các số liệu thống kê đã cho.c) Tính số trung bình cộng

d) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn3. Cho bảng số liệu thống kê: Sản lượng thuỷ sản nuôi trồng năm 2000 (đơn vị: tấn) của 30 tỉnh từ Thừa Thiên - Huế trở ra:

775 51 522 40 280 1245 1942 557 86 131 834 391 433 20 89 33 312 872 1763 303 200 554 1902 27 626 94 74 1165 419 164

a) ) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất:[20 ; 320) [320 ; 620) [620 ; 920)

[920 ; 1220) [1220 ; 1520) [1520 ; 1820) [1820 ; 2120]b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy nêu nhận xét các số liệu thống kê đã cho.

c) Tính số trung bình cộng d) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn

4. Cho bảng số liệu thống kê: Giá trị thành phẩm quy ra tiền (đơn vị: nghìn đồng) trong 30 ngày sản xuất của một phân xưởng hoá chất.

180 186 190 204 192 200 201 203 191 202 212 205 211 240 216 208 209 222 221 220 225 206 228 231 220 239 210 213 202 203

a) ) Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp như sau:[180 ; 192) [192 ; 204) [204 ; 216) [216 ; 228)

[228 ; 240]b) Biết rằng định mức lao động của phân xưởng là “mỗi ngày phải sản xuất được tối thiểu 204 nghìn đồng”. hãy xác định xem số ngày mà phân xưởng hoàn thành định mức lao động chiếm một tỉ lệ là bao nhiêu phần trăm (trong 30 ngày được khảo sát). c) Tính số trung bình cộng d) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn5. Với mỗi tỉnh, người ta ghi lại số phần trăm những trẻ em mới sinh có trọng lượng dưới 2500 g. Sau đây là kết quả khảo sát ở 43 tỉnh (đơn vị : %).

5,1 5,2 5,2 5,8 6,4 7,3 6,5 6,9 6,6 7,6 8,66,5 6,8 5,2 5,1 6,0 4,6 6,9 7,4 7,7 7,0 6,76,4 7,4 6,9 5,4 7,0 7,9 8,6 8,1 7,6 7,1 7,98,0 8,7 5,9 5,2 6,8 7,7 7,1 6,2 5,4 7,4

a) Hãy lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp gồm 5 lớp. Lớp thứ nhất là nửa khoảng [4,5 ; 5,5), lớp thứ hai là [5,5 ; 6,5),………(Độ dài mỗi nửa khoảng là 1)


WWW.ToanCapBa.Netb) Vẽ biểu đồ tần số hình cột. c) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.d) Tính số trung bình của mẫu số liệu trên. e) Tìm số trung vị và mốt.f) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn

6. Kết quả của một kì thi môn Tiếng Anh của 32 học sinh được cho trong mẫu số liệu sau (thang điểm 100).68 52 49 56 69 74 41 5979 61 42 57 60 88 87 4765 55 68 65 50 78 61 9086 65 66 72 63 95 72 74

a) Lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp, sử dụng sáu lớp : [40 ; 50) ; [50 ; 60) ; … ; [90 ; 100)b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột. c) Vẽ đường gấp khúc tần số.d) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt. e) Tính số trung bình của mẫu số liệu

trên.f) Tìm số trung vị và mốt. g) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn

7. Điểm trung bình kiểm tra của 02 nhóm học sinh lớp 10 Nhóm 1 : 9 học sinh Nhóm 2 : 11 học sinh1, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 9 1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 10

a) Hãy lập các bảng phân bố tần số và tuần suất ghép lớp với các lớp [1, 5); [5, 6]; [7, 8]; [9, 10] của 2 nhóm. b) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn ở 2 bảng phân bố. c) Nêu nhận xét về kết quả làm bài của hai nhóm. d) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột của 2 nhóm.8. Số tiết tự học tại nhà trong 1 tuần (tiết/tuần) của 20 học sinh lớp 10X trường MC được ghi nhận như sau :

9 15 11 12 16 12 10 14 14 1516 13 16 8 9 11 10 12 18 18

a) Lập bảng phân phối rời rạc theo tần số cho dãy số liệu trênb) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc theo tần số biểu diễn bảng phân phối trên c) Tính số trung bình cộng và phương sai của giá trị này.

9. Năng suất lúa (tạ/ha) của 30 hộ nông dân trong xã A, huyện B, tỉnh X vào năm 2008 như sau:24 30 30 35 26 45 40 34 37 5233 48 34 47 51 28 36 44 48 5529 35 47 54 39 43 32 29 46 51

a) Lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp theo các lớp:Lớp 1 (năng suất thấp) = [20 ; 30) Lớp 2 (năng suất TB) = [30 ; 40) Lớp 3 (năng suất khá) = [40 ; 50) Lớp 4 (năng suất cao) = [50 ; 60)

b) Vẽ các biểu đồ hình cột và đường gấp khúc (theo tần số) từ bảng phân bố trên. Nêu 1 nhận xét về kết quả vụ thu hoạch này. c) Tính năng suất trung bình của xã A và tìm số trung vị. Giữa số trung bình và số trung vị số nào làm đại diện tốt hơn.d) Tính phương sai và độ lệch chuẩn

10. Chiều cao của 45 học sinh lớp 5 ( tính bằng cm ) được ghi lại như sau :102 102 113 138 111 109 98 114 101103 127 118 111 130 124 115 122 126107 134 108 118 122 99 109 106 109104 122 133 124 108 102 130 107 114147 104 141 103 108 118 113 138 112

a) Lập bảng phân phối tần số – tần suất ghép lớp (98 - 102); (103 - 107); …… ; (143 - 147).b) Vẽ đường gấp khúc tần số. c) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt.d) Tìm số trung bình cộng và số trung vị e) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

11. Xem bảng tiền lương của 30 công nhân xưởng may (trong một tháng)

Tiền lương xi (nghìn đồng) 300 500 700 800 900 1000 CộngTần số ni 3 6 5 5 6 5 30

Tính số trung bình cộng của bảng thống kê và tìm mốt M0 của bảng phân phối thực nghiệm trên.

12. Cho bảng phân phối thực nghiệm tần suất ghép lớp. Hãy tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân phối thực nghiệm.

Các lớp giá trị của X [10 ; 14) [14 ; 18) [18 ; 22] Cộng


WWW.ToanCapBa.NetTần suất fi (%) 65 10 25 100%

13. Cho bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp: Năng suất lúa năm 1985 của 31 thửa ruộng ở địa phương A

Các lớp giá trị của X (tạ/ha) Tần số ni

[15,50 ; 20,50)[20,50 ; 25,50)[25,50 ; 30,50)[30,50 ; 35,50]

310117

Cộng 3114. Sản lượng lúa (đơn vị: tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng phân phối thực nghiệm tần số sau đây:

Sản lượng xi 20 21 22 23 24 CộngTần số ni 5 8 11 10 6 40

a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng.b) Tìm số trung vị và mốtc) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

15.

Bài tậpBài 1: Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 10A ở trường X được cho ở bảng sau

Điểm 5 6 7 8 9 10Tần số 1 5 10 9 7 3

Tìm số trung bình, số trung vị và mốt.phương sai và độ lệch chuẩn.Bài 2: Bạn Lan ghi lại số cuộc điện thoại nhận được mỗi ngày trong 2 tuần 5 6 10 0 15 6 12 2 13 16 0 16 6 10 a. Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn b. Lâp bảng phân bố tần số ghép lớp với các lớp sau:

Bài 3: : Số liệu sau đây ghi lại mức thu nhập hàng tháng làm theo sản phẩm của 20 công nhân trong một tổ sản xuất (đơn vị tính : trăm ngàn đồng )

Thu nhập (X) 8 9 10 12 15 18 20Tần số(n) 1 2 6 7 2 1 1

Tính số trung bình , số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,01)Bài 4: Cho bảng phân bố tần số

Điểm kiểm tra toán 1 4 6 7 9 Cộng Tần số 3 2 19 11 8 43

Tính phương sai, độ lệch chuẩn và tìm mốt của bảng đã choBài 5: Số liệu sau đây ghi lại mức thu nhập hàng tháng của 400 công nhân trong một cơ sở sản xuất (đơn vị tính : trăm ngàn đồng )

Nhóm Khoảng Tần số Giá tri đại diện Tần suất


a) Tính số trung bình cộng b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn

WWW.ToanCapBa.Net12345

[8;10)[10;12)[12;14)[14;16)[16;18)

60134130706

…………..…………..…………..…………..……………

……………………………………....………………………..

N=400a) Điền vào dấu …. trong bảng trên . Vẽ biểu đồ tần số hình cột ,đường gấp khúcb) Tính số trung bình , số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,01)


WWW.ToanCapBa.NetBài 6. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn vị cm):

145 158 161 152 152 167

150 160 165 155 155 164

147 170 173 159 162 156

148 148 158 155 149 152

152 150 160 150 163 171

a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145; 155); [155; 165); [165; 175]. b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suấtc) Phương sai và độ lệch chuẩnBài 7: Cho bảng phân bố tần số tiền thưởng (triệu đồng) cho cán bộ và nhân viên của một công ty

Tiền thưởng 2 3 4 5 6 CộngTần số 5 15 10 6 7 43

Tính phương sai, độ lệch chuẩn, tìm mốt và số trung vị của phân bố tần số đã cho.Bài 8: Cho các số liệu thống kê được ghi trong bảng sau đây:

645 650 645 644 650 635 650 654650 650 650 643 650 630 647 650645 650 645 642 652 635 647 652

a. Lập bảng phân bố tần số, tần suất lớp ghép với các lớp là: , , , ,

b. Tính phương sai của bảng số liệu trên.c. Vẽ biểu đồ hình cột tần số, tần suất

Bài 9 : Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền. Lớp chiều cao

( cm )Tần số

[ 168 ; 172 )[ 172 ; 176 )[ 176 ; 180 )[ 180 ; 184 )[ 184 ; 188 )[ 188 ; 192 ]

4461484

Cộng 40a). Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ?b). Nêu nhận xét về chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền kể trên ?c). Tính số trung bình cộng , phương sai , độ lệch chuẩn ?d). Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã lập ở câu 1.Bài 10: Khảo sát dân số tại một địa phương ta có bảng kết quả sau:

Dưới 20 tuổi Từ 20 đến 60 tuổi Trên 60 tuổi Tổng cộng11 800 23 800 4 500 40 100

Hãy biểu đồ tần suất hình quạt.


WWW.ToanCapBa.NetBài 11. Để khảo sát kết quả thi môn Toán trong kỳ thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của trường , người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh đó. Điểm môn Toán (thang điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau đây.

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2

1. Tìm mốt. Tìm số trung bình (chính xác đến hàng phần trăm).2. Tìm số trung vị. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần trăm).3. Vẽ biểu đồ tần số và tần suất hình cột.

Bài 12. Tiến hành một cuộc thăm dò về số giờ tự học của một học sinh lớp 10 ở nhà trong một tuần, người điều tra chọn ngẫu nhiên 50 học sinh lớp 10 và đề nghị các em cho biết số giờ tự học ở nhà trong 10 ngày. Mẫu số liệu được trình bày dưới dạng phân bố tần số ghép lớp sau đây (đơn vị là giờ).

Lớp Tần số

a) Bổ sung cột tần suất để hình thành bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp.b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn.c) Vẽ biểu đồ tần số hình cột tần suất.


WWW.ToanCapBa.NetChương IV

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁCI. Khái niệm cung và góc lượng giác: 1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác:

Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó đã chọn một chiều di động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.Ta qui ước chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương

-

+

A

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A, B. Điểm M di động trên đường tròn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo thành một cung đgl cung lượng giác

Kí hiệu : AB chỉ cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối BVới 2 điểm A, B có vô số cung lượng giác.

2. Góc lượng giác:

Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác CD điểm M di động trên đường tròn từ C đến D. Tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD. Khi đó tia OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OC tia cuối là OD.

Kí hiệu: (OC,OD)

3-Đường tròn lượng giác :Đường tròn lượng giác: là đường tròn định hướng tâm O bán kính R=1và cắt Ox tại A(1; 0) A’(-1; 0);

cắt Oy tại B(0; 1) B’(0; -1).

II. Số đo của cung và góc LG: 1. Độ và radian

Trên đường tròn tùy ý cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad 1800 = rad

10 = rad và rad=( )0

với 3,14; 10 0,01745radChú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị radian, ta thường không viết chữ rad sau số đó. Ví

dụ: ;

*Bảng chuyển đổi thông dụng:Độ 300 450 600 900 1800 3600

rad 2

*Độ dài của một cung lượng giácĐộ dài cung có số đo rad của đường trịn bán kính R là : l = R


+

A'(-1 ; 0)

B'(0; -1)

B(0; 1)

OA(1; 0)

WWW.ToanCapBa.Net2. Số đo của cung lượng giác: VD: Xem hình 44 Kết luận: số đo của một cung lượng giác AM (A ≠M) là một số thực dương hay âm.

Kí hiệu: số đo của cung AM là: sđAM. Ghi nhớ:Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của . Và viết

là: sđAM = , (k Z)

Trong đó là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M.

M A sđAA = , (k Z)k = 0 sđAA = 0

* Ta cũng có công thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác AM là:

SđAM = a0 + k3600, (k Z)

3. Số đo một góc lượng giác:Số đo của góc lượng giác (OA,OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng .Chú ý: Từ nay về sau khi nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.

4.Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:Để biểu diễn một cung lượng giác có số đo trên đường tròn lượng giác ta lấy điểm A làm điểm

gốc ,điểm cuối M được xác định theo hệ thức sau :sđ AM = . Hệ thức này xác định một và chỉ một điểm M trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo là ; -7650

Giải: SGK tr139Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung sau

a) ; b) 4050

Giảia) 11/2 = -/2 + 6. Điểm ngọn M của cung 11/2 được xác định bởi hệ thức :

sđ AM = -/2 + 6 hay sđ AM = -/2 . Vậy M là điểm B’(0;-1). b) Ta có 4050 = 450 + 3600. Điểm ngọn N của cung 4050 được xác định bởi hệ thức: sđAN = 450

+ 3600 hay sđ AN = 450. Vậy N là trung điểm của cung hình học nhỏ AB.

Ví dụ 2 : Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung có số đo = /2 + k , kZ.

GiảikZ nên k có thể là số chẵn hoặc là số lẻ :

+ Nếu k chẵn thì k = 2n, nZ. Khi đó = /2 + n2 , nZ. Vậy điểm ngọn của là B(0;1).

+ Nếu k lẻ thì k = 2n - 1, nZ. Khi đó = /2 + (2n-1) = -/2 + n2 , nZ. Vậy điểm ngọn của là B’(0;-1).



1) Đổi số đo các góc sau ra radian a) 22030’ = 220 +(1/2)0 /8 b) 71052’ =710 + (52/60)0 539/1350

2) Đổi số đo các cung sau ra độ ,phút, giây a) 3/16 =33045’ b) 3/4 = 42058’19”

3) Cho một đường tròn có bán kính 5 cm . Tìm độ dài cung tròn trên đường tròn có số đo a) 1 b) 1,5 c) 370 ( =R. , = .a/180)

4) Cho một đường tròn có bán kính 8 cm. Tìm số đo bằng độ các cung có độ dài

a) 4 cm b) 8 cm c) 16 cm ( = /R a=180./ = )

5) Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo 3/4 ; -600 ; -3150 ; -5/4 ; 11/3Trong các điểm ngọn của các cung ,có những điểm trùng nhau,hãy giải thích.

HD :3/4 = /2+/4 5/4 = 3/4 2 11/3 = /3 +12/3 =/3 +4 600 = /33150 = 2700 450

Các cung có cùng điểm ngọn là 3/4 và5/4;11/3 và 600

6) Trên đường tròn lượng giác,cho điểm M xác định bởi sđ AM = ( 0<</2). Gọi M1, M2 ,M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox,Oy và gốc tọa độ . Tìm số đo của các cung AM1 ; AM2 ; AM3

HD : Sđ AM1 = +k2

Sđ AM2 = + k2 Sđ AM3 = + +k2.

7) Trên đường tròn lượng giác,xác định các điểm M khác nhau biết rằng cung AM có số đo : a) k b) k/2 c) k2 /5 ( k Z)

HD :a) Các điểm ngọn khác nhau là A,A’ . b) Các điểm ngọn khác nhau là A,B,A’,B’.c) =2/5 a = 720 điểm ngọn là các đỉnh của ngũ giác điều

8) Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây . a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây. b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút biết rằng đường kính của bánh xe

đạp là 680 mm. HD :

a) = .2=22/5 a = 750

b) = 282 m


B'

B

A' AO

M3 M1

M2

AA'

B'

B

O

M

y

xAA'

B'

B

O

M

WWW.ToanCapBa.NetBÀI TẬP LÀM THÊM

1) a) Đổi ra radian các góc có số đo sau : 180;250;37015’;127030’;4800;18500. 180= /10; 250= 5/36; 37015’= 149/120; 127030’= 17/244800= 8/3; 18450= 123/12.

b) Đổi ra độ các cung có số đo radian sau: /18; 5/12; 7/15 ;2; 5,2 ; 21,16 . /18= 180; 5/12= 750; 7/15=840 ; 2rad 114035’30” 5,2 rad 297056’17” ; 21,6 rad 1237035’20”.

2) Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tính chiều dài cung AB trên đường tròn này biết : sđ AB = 300 ; 3/6 ; 2400 ; 3/5

10,5 cm ; 31,4 cm ; 83,8 cm; 37,7 cm3) Cho góc lượng giác = 400 + k3600. Xác định góc sao cho :

a) || 3600

3600 400 +k3600 3600 k=1;0.

b) || 9800 Tương tự k = 2;1;0;1;2.


WWW.ToanCapBa.Net§ 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

I. Các giá trị lượng giác của cung 1) Định nghĩa : Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM = . Khi đó :

+ Khi đó tung độ y= của điểm M gọi là sin của kí hiệu là sin sin = y .

+ Khi đó hoảnh độ x= của điểm M gọi là côsin của kí hiệu là cos cos = x .

+ Nếu cos 0, tỉ số gọi là tang của

kí hiệu tan (hoặc tg ) tan=

+ Nếu sin 0, tỉ số gọi là côtang của

kí hiệu cot (hoặc cotg ) cot = .

Các giá trị sin , cos, tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Trục tung còn gọi là trục sin, trục hoành còn gọi là trục cosin.

* Chú ý : - Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác. - Nếu 00 1800 thì các giá trị lượng giác của cũng chính là các tỉ số lượng giác của góc

trong SGK HH10. 2) Các hệ quả :

a) sin và cos đều được xác định R. Ta có: sin( + k2) = sin cos( + k2) = cos1 sin ,cos 1

b) m R, 1≤m≤ 1 đều tồn tại và sao cho sin = m và sin =m

c) tan xác định khi + k , k Z.

cot xác định khi k , k Z. c) Dấu của các giá trị lượng giác

Góc phần tưGóc lượng giác

I II III IV

sin + + cos + +tan + + cot + +


B'

B

A' AO

M (x;y)

K

H

WWW.ToanCapBa.Net 3) Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt :

Góc Giá trị lượng giác

0(00) /6(300) /4(450) /3(600) /2(900)

Sin 0 1/2 /2 /2 1

Cos 1 /2 /2 1/2 0

Tg 0 /3 1 ||

Cotg || 1 /3 0

|| : không xác địnhII) Ý nghĩa hình học của tan và cot

+ tan được biễu diễn bởi độ dài đại số của véctơ trên trục t’At,trục này gọi là trục tang.

+ cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của véctơ trên trục s’Bs,trục này gọi là trục cotang.

Từ ý nghĩa hình học của tan và cot ta có : tan(+k ) = tan cot(+k ) = cot ( k Z ).

III. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác1/ Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản

Với mọi k Z ta có : sin2 + cos2 = 1

Ví dụ 1 : Cho sin = 3/5 với 0< </2. Tính cos ? Ví dụ 2 : Cho tg =2/3 với 3 /2 <<2 . Tính sin và cos ?Ví dụ 3 : Cho /2+k , k Z . Chứng minh rằng :

Ví dụ 4 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào

A =


y

x

t

K

H AA'

B'

B

O

M

T

y

x

S

H

K

A

B'

B

O

M

WWW.ToanCapBa.Net2) Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) Cung đối nhau : và sin() = sin cos() = cos tan() = tan

cot() = cot . b) Cung bù nhau : và

sin() = sin cos() = cos tan()= tan cot()= cot .

c) Cung hơn kém nhau : và + sin(+) = sin cos(+) = cos tan(+) = tan cot(+) =cot .

d) Cung phụ nhau : và

sin(/2) = cos cos(/2)= sintan(/2) = cot cot(/2) = tan

e) Cung hơn kém nhau /2 : và + (Xem)

sin(/2+) = cos cos(/2+) = sin tan(/2+) = cot cot(/2+)= tan . Ví dụ : Tính a) cos(11/4) = cos (11/4) = cos(3/4 + 2) = cos3/4=cos(/4)=cos(/4). b) tg(21/4)=tg(/4+5)=tg /4 = 1. c) sin(10500)=sin(3003.3600) =sin300 = ½ .


WWW.ToanCapBa.NetBÀI TẬP SGK

1) Tính sin cà cos biết : a) = 6750 = 450 7200 b) = 3900 = 300 + 3600

c) =17/3 = /3 18/3 d) = 17/2 = /2 +16/2 . 2) Biểu thị theo tg các biểu thức sau,trong đó k Z :

a) tg(k +) =tg b) tg(k )=tg()=tg c) cotg(+k ) =cotg = 1/tg 3) Cho 0 < < /2. Xét dấu các biểu thức sau :

a) cos(+) < 0 b) tg() > 0c) sin(+2/5) > 0 d) cos(3/8) > 0.

4) Tính biết : a) cos = 1 =k2 b) cos =1 = + k2 c) cos = 0 =/2 +k d) sin = 1 = /2 +k2 e) sin =1 =/2 +k2 f) sin = 0 = k .

5) Chứng minh các đẳng thức sau :

a) tg2x sin2x = tg2x.sin2x . b)

c) d)

6) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x : a) A = 2cos4xsin4x+sin2xcos2x+3sin2x

Biến đổi theo cos (hoặc theo sin ) ta có : sin2x = 1cos2x ;sin4x =(1cos2x)2 Thay tính được A = 2.

b) B = (cotgx+tgx)2(cotgxtgx)2 Khai triển hằng đẳng thức ta tính được B = 4.

c) C =

Biến đổi tg = 1/cotg thế vào tính được C =1.

d) D =

=

=

= 3 ( vì 1+cos2x,1+sin2x > 0, x )7) Tính các giá trị lượng giác của cung biết :

a) sin = 1/3 cos =

b) cos =2/ và /2 < < 0 sin =

c) tg = 2 và /2 < < cos =

d) cotg = 3 và < < 3/2 sin =

e) sin = và cos < 0 cos =

f) cos = và sin

8) Rút gọn các biểu thức sau :a) A = cos(/2 + x) + cos(2x) + cos(3 + x) = sinxb) B = 2cosx3cos(x) + 5sin(7/2x) + cotg(3/2x) = tgx

c) C = = cosx


WWW.ToanCapBa.Net

d) D = = 0

9) Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có : a) sin(A+B) = sinC b) cos(A+B) = cosC

c) sin =cos d) cos =sin .

10. Chứng minh các đẳng thức saua) cos4 -sin4 =2cos2 -1

HD: cos 4 - sin4 = =

=

b) 1 – cot = (nếu )

HD: =

= =

= =

c) (nếu )

HD: VT = = =

11. CM biểu thức không phụ thuộc

a) A =

HD: A= +

= + = + =3

b) B =

HD: B= +(cos2 )2 + (sin2 )2

B1 = . = (sin2 +cos2 )2 - 3sin2 cos2

= 1 – 3sin2 cos2 2 – 6 sin2 cos2

B2 = (cos2 )2 +2sin2 cos2 + (sin2 )2 –2sin2 cos2 =(cos2 + sin2 )2–2 sin2 cos2 = 1 – 2 sin2 cos2 –3 + 6 sin2 cos2

B = 2 – 6 sin2 cos2 – 3 + 6 sin2 cos2 = – 112. Tính

a) A = + tan . Đáp số: A= 0

b) Biết . Tính : B1 = ;Tính B2 =

Đáp số: B1 ; B2 = tan

13. Biết .Tính P =

HD: P = (*) (do sin2 + cos2 = 1)

= 1 - 2


WWW.ToanCapBa.Net

(1)P = m


WWW.ToanCapBa.Net§ 3 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

I) Công thức cộng Với mọi số thực a , b ta có : cos(a b) = cosa.cosb + sina.sinbcos(a + b) = cosa.cosb sina.sinbsin(a b) = sina.cosb cosa.sinbsin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

(a /2 + k ;b /2 + k ;a+b /2 + k ;ab /2 + k )Ví dụ1 : Tính

a) cos b) sin750 c) tg

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng

a)

b)

Áp dụng tính A = tg150 = ?

II) Công thức nhân 1) Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos2a sin2a

= 2cos2a 1 = 1 2sin2a

tg2a = ( a /2 + k , a /4 + k /2 )

* Công thức nhân ba sin3a = 3sina 4sin3a cos3a = 4cos3a 3cosa

tg3a =

Ví dụ :

a) Chứng minh rằng .

b) Chứng minh rằng

2) Công thức hạ bậc

( a /2 + k )

Ví dụ : Tính a ) cos /8 b)sin /8 c) tg /8


WWW.ToanCapBa.Net

3) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg (không học)

Giả sử a + k ,đặt t = tg ,ta có :

.

Ví dụ1 : Biết tg = , tính

III) Công thức biến đổi tích thành tổng

cosa.cosb = [cos(a+b) + cos(ab)]

sina.sinb = [cos(a+b) cos(ab)]

sina.cosb = [sin(a+b) + sin(ab)]

cosa.sinb = [sin(a+b) sin(ab)]

Ví dụ 1 : Tính các biểu thức sau :

Ví dụ 2 : Biến đổi thành tổng các biểu thức sau C = cos5x.cos3xD = 4sinx.sin2x.sin3x = 2 sin2x(2sin3x.sinx) = 2sin2xcos2x 2sin2xcos4x = sin4x sin6x + sin2x

IV) Công thức biến đổi tích thành tổng

Ví dụ1 : Biến đổi biểu thức cosx + sinx thành tích

Khi đó ta có các công thức :

Ví dụ 2 : Biến đổi biểu thức sau thành tích A = sinx + sin2x + sin3x = (sin3x+sinx) + sin2x =2sin2xcosx + 2sinxcosx = 2cosx(sin2x + sinx ) =


WWW.ToanCapBa.NetBÀI TẬP Áp dụng

Bài 1 : Tính các giá trị lượng giác các cung có số đo a) 150 = 450300 b) 5/12 = /4 +/6

Bài 2 : a) Biết sin =3/5 và /2 < < . Tính tg(+/3) .

HD : Tính cos = 4/5

tính sin(+/3) = …=(3 )/10 ; cos(+/3)=(43 )/10

tg(+/3) =

b) Biết sina=4/5 và 00 < a < 900, sinb = 8/17 (900 < b < 1800) . Tính cos(a+b), sin(ab) .

HD : tính cos a = 3/5, cosb=15/17 cos(a+b)= , sin(ab) = c) Cho hai góc nhọn a và b với tga = ½,tgb = 1/3. Tình a + b .

HD : tính tg(a+b) = = 1 a+b = /4 .

d) Biết tg(+/4) = m với m 1 . Tính tg . HD : tg(+/4)=(1+tga)/(1tga) = m (m+1)tga = m1 tga = (m1)/(m+1)

Bài 3 : Chứng minh : a) sin(a+b).sin(ab) = sin2asin2b = cos2bcos2a.

HD : VT = (sina.cosb+cosa.sinb)(sina.cosbcosa.sinb)=(sina.cosb)2(cosa.sinb)2 = sin2a.cos2acos2a.sin2a biến cos2a = 1sin2a hoặc sin2a = 1 cos2a …

b) cos(a+b).cos(ab) = cos2asin2b = cos2bsin2a. HD : cos(a+b).cos(ab) = cos2acos2b sin2asin2b

Bài 4 : a) Cho ab = /3. Tính giá trị các biểu thức sau :

A = (cosa+cosb)2 + (sina+sinb)2 HD : khai triển hằng đẳng thức A = 2+2(cosa.cosb+sina.sinb) =2+2cos(ab)B = (cosa+sinb)2+ (cosbsina)2

HD : B = 22sin(ab)b) Cho cosa = 1/3 và cosb = ¼. Tính cos(a+b)cos(ab) .

HD : cos(a+b).cos(ab) = cos2acos2b sin2asin2bBài 5 : Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có

a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC (với điều kiện tam gíc ABC không phải là tam giác vuông )

Ta có : tgC = tg[(A+B)] = tg(A+B) =

tgCtgAtgBtgC = tgA+tgB

b) .

Ta có : … đpcm .

Bài 6 : Tính cos2 ,sin2 ,tg2 biết ; a) cos = 5/13 và < <3/2 .

HD : cos2 = 2cos2 1 = 119/169 sin2 = 1 cos2 sin = 12/13 sin2 =2sin. cos

b) tg = 2 . HD : sin2a = 2tga/(1+tg2a) , cos2a = (1tg2a)/(1+tg2a) ,tg2a = sin2a/cos2aBài 7 : Cho sin2a = 4/5 và /2 < a < 3/2 . Tính sina và cosa . HD : /2 < a < 3/2 < 2a < 3 ,vì sin2a = 4/5 < 0 < 2a < 2

cos2a = 3/5 hoặc cos2a = 3/5Bài 8 : Tính


WWW.ToanCapBa.Net

a) A = .

HD : A = .cos

b) B = sin100.sin500.sin700. HD : Nhân thêm 2cos100 và biến đổi sin700 = cos200

Bài 9 : Chứng minh a) cotgx + tgx = 2/sin2x .

HD :

b) cotgx tgx = 2cotg2x.

HD :

c) .

HD :

Bài 10 : Chứng minh : a) cos4a = 8cos4a 8cos2a + 1.

HD : VT = 2cos22a1=2(2cos2a1)21= …

b) sin6a + cos6a = cos4a+

HD : VT = sin4asin2a.cos2a+cos4a=13sin2a.cos2a=1 sin22a=

Bài 11 : Biến đổi thành tổng a) A = 2sin(a+b).cos(ab) .

= sin2a + sin2bb) B = 2cos(a+b).cos(ab) .

= cos2a + cos2bc) C = 4sin3x.sin2x.cosx .

= 1+cos2xcos4xcos6xBài 12 : Biến đổi thành tích

a) A = sina + sinb + sin(a+b).

= (sina+sinb) + 2

b) B = cosa + cosb + cos(a+b) +1.

HD : biến đổi coa + cosb thành tích ; 1 + cos(a+b) = 2

c) C =1 + sina + cosa.

HD : 1+cosa = 2 ; sina =

d) D = sinx + sin3x + sin5x + sin7x. = (sin7x+sinx) + (sin5x+sin3x) = 4sin4x.cos2x.cosx

Bài 13 : Chứng minh

a) sinx.sin(/3x).sin(/3+x) = sin3x.

VT =


WWW.ToanCapBa.Net

b) cosx.cos(/3x).cos(/3+x) = cos3x.

VT =

c) cos5x.cos3x+sin7x.sinx = cos2x.cos4x.

VT =

d) sin5x2sinx(cos2x+cos4x) = sinx. VT = sin5x2sinx[2cos3x.cosx] = sin5x4cos3x.sinx.cosx=sin5x2sin2x.cos3x

= sin(3x+2x) 2sin2x.cos3x = sin3x.cos2x+cos3x.sin2x2sin2x.cos3x= sin3x.cos2xcos3x.sin2x = sin(3x2x) = sinx


a) .

b) sin200.sin400.sin800 = .

Bài 15 : Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :

a) sinA + sinB + sinC = .

…

( ta có )

b) cosA + cosB + cosC = 1 +

c) sin2A +sin2B+sin2C = 4sinA.sinB.sinC.

d) cos2A+cos2B+cos2C = 12cosA.cosB.cosC. ta có : cos(A) = cos(B+C) cosA = cosBcosC sinBsinC bình phương hai vế ta được : cos2 A = cos2B.cos2C2cosB.cosC.sinB.sinC +sin2B.sin2C thay sin2B = 1cos2B , sin2C = 1cos2C cos2B.cos2C2cosB.cosC.sinB.sinC+1cos2Bcos2C = cos2A 1+cosB.cosC(cosB.cosCsinB.sinC) = cos2A +cos2B+cos2C 1+cosB.cosC.cos(B+C) = cos2A +cos2B+cos2C ta có cos(B+C) =cosA …


a)


WWW.ToanCapBa.Net

b) sin(2x+ /3)cos(x/6)cos(2x+/3)cos(2/3 x) = cosxTa có : cos(2/3x) = cos[/2/6x]=sin(x/6) VT = sin(2x+ /3)cos(x/6)cos(2x+/3) sin(x/6) = sin[(2x+/3)(x/6)] = sin(x+/3+/6) = sin(x+/2) = cosx

c) (tg2xtgx)(sin2xtgx) = tg2x

d) tg2x + cotg2x =

Bài 17 : Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x A = 3(sin4x+cos4x) 2(sin6x+cos6x) = 3(12cos2x.sin2x)2(13sin2x.cos2x) = 1B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2x.cos4x + sin4x Biến đổi sinx theo cosx A = 1C = cos(x/3).cos(x+/4) + cos(x+/6).cos(x+3/4) cos(x+/6) = sin[/2(x+/6)]= sin(/3x)=sin(x/3) cos(x+3/4) = cos[/2+(x+/4)] = sin(x+/4) C = cos(x/3).cos(x+/4)+ sin(x/3) sin(x+/4) =cos(x/3x/4)

= cos(7/12)D = cos2x + cos2(2/3+x)+cos2(2/3x) Sử dụng công thức hạ bậc ta được : D = (1+cos2x)/2 + [1+cos(2x+4/3)]/2 +[1+cos(4/32x)]/2

Bài 18 : Rút gọn các biểu thức sau

A =

Biến đổi tg và cotg A = | sin + cos |

B =

C =


WWW.ToanCapBa.Net

D =

Bài 19 : Chứng minh sinx.cosx.cos2x.cos4x = sin8x

Ap dụng : tính giá trịc các biểu thức sau a) sin60.sin420.sin660.sin780

b) cos /7 . cos 3/7 . cos 5/7

Bài 20 : a) Biết tg = m , tính

b) Biết tg a + cotga = m , 0 < a < /2, tính sin2a , sin4a. Tham số m phải thỏa mãn điều kiện gì ? Vì 0 < a < /2 tga,cotga > 0 Ap dụng BĐT côsi tga+cotga 2 m 2 Ta có tga + cotga = 2/sin2a sin2a = 2/m cos22a =14/m2

Nếu 0 <a /4 cos2a 0 cos2a = sin4a = 2sin2a.cos2a

Nếu /4 < a < /2 cos2a < 0 cos2a = sin4a = 2sin2a.cos2a

Bài 21 : Cho sina + cosa = m vơí m

a) Tính sin2a . (sin2a= 2sina.cosa = (sina+cosa)21 = m21)b) Tính sina và cosa.

sina ,cosa là nghiệm của pt X2mX+ =0

= 2m2 0 X =(m /2

c) Xác định điểm ngọn của cung a khi m = 1, khi m = .

Khi m =1 sina.cosa = 0 sina = 0 hoặc cosa = 0


WWW.ToanCapBa.Net a = k hoặc a = /2+k Các điểm ngọn là A,A’,B,B’.

Khi m = = 0 X = /2 sina = cosa = /2 a = /4 + k2 điểm ngọn là trung

điểm cung AB.


WWW.ToanCapBa.NetBÀI TẬP ÔN CHƯƠNG

BÀI 1 : Tính giá trị các biểu thức sauA = 4 sin2450 + 2cos2600 3cotg3450

= 4( /2)2 + 2.(1/2)23 = 1

B = tg450.cos3900.cotg(1500) = tg450.cos(300+3600).cotg(3001800) = 3/2C = 3a.cos3600 + b.sin(2700) + a.cos1800 = 3a.cos(00+3600)+b.sin(9003600)+a.cos1800= 2a+bD = 4a2.sin2450 3(a.tg450)2 + (2a.cos450)2

= 4a2( /2)2 3a2 + 4a2( /2)2 = a2

E =

= = a2 ab + b2

F = (a2 + 1).sin00 + b.cos900 + c.cos1800 = (a2 + 1).0 + b.0 c = cG = tg10.tg20.tg30 . . . tg880.tg890 = tg1.tg2.tg3...tg43.tg44.tg45.tg(9044).tg(9043)...tg(902).tg(901) = tg1.tg2.tg3...tg43.tg44.1.cotg44.cotg43...cotg2.cotg1 = 1

H =

= =

= = = 4/

K = tg1100.tg3400 + sin1600.cos1100 + sin2500.cos3400 = (tg90+20).tg(20+360)+sin(18020).cos110+sin(110+360).cos(20+360) = cotg20.tg(20) + sin20.cos110 cos20sin110 = 1 + sin(20110) = 1 sin90 = 0L = sin50.sin150.sin250.sin350.sin450.sin550.sin650.sin750.sin850 = (sin5.sin85).(sin15.sin75).(sin25.sin65).(sin35.sin55).sin45 = (sin5.cos5).(sin15.cos15)(sin25.cos25)(sin35.cos35).sin45

= (nhân cho sin20)

=

=

M = sin100.sin300.sin500.sin700.sin900

= sin10. .sin(9040).sin(9020).1

= . cos10.sin10.cos40.cos20 = . . sin20.cos20.cos40 = 1/16

N = sin200.sin400.sin800


WWW.ToanCapBa.Net

= .[cos(2040)cos(20+40).sin80 = sin80.cos20cos60.sin80

= sin80.cos20 sin80 = . (sin60 + sin100) sin80

= . + sin(18080) sin80 =

P = tg90 + tg150 tg270 tg630 + tg750 + tg810 = tg9+tg15tg27tg(9027) + tg(9015)+tg(909) = tg9+tg15tg27cotg27+cotg25+cotg9 = tg9+cotg9)+(tg15+cotg15)(tg27+cotg27)

=

=

Q = ( nhân hai vế cho sin(/7) )

=

= = 1/2

R =

=

=

mà

thay vào ta được R =

S = sin2730 + sin2470 sin730.sin470

=

= = 3/4

V =

Ta có

Với kết quả trên đưa V về dạng

=

BÀI 2 : Xác định dấu của các biểu thức sau A = sin400.cos(2900) ;B = sin2550.tg3900.cotg(1750) ;C = cos1950.tg2690.cotg(900) ;D = sin(+).cos(1,5 + ).tg( ) với 0 < < /2 ;E = sin(14410).cos10800.tg9080.cotg(19720) ;


WWW.ToanCapBa.Net

F = ;

( A > 0 ; B > 0 ; C ; D ; E ; F )

BÀI 3 : Đơn giản biểu thức

A =

= = cosx

B =

=

C =

=

D =

=

E =

= cotgx +

= cotgx + tg = cotgx cotgx + cotgx +cotgx = 0

F =

= tgx(cotgx) = +1 =

G = cos100 + cos300+...+cos1500 + cos1700 = (cos10 + cos170)+(cos30 + cos150)+(cos50 + cos130)+(cos70+cos110) + cos90 = (cos10cos10)+(cos30cos30)+(cos50cos50)+(cos70cos70) = 0H = sin2100 + sin2200 +...+ sin2900 = ( sin210 + sin280)+(sin220+sin270)+(sin230+sin260)+(sin240+sin250)+sin290 = (sin210+cos210)+(sin220+cos220)+(sin230+cos230)+(sin240+cos240)+1 = 5

K =

=


WWW.ToanCapBa.Net

L = sin2a.cotga cos2a

= sin2a.

M = tga + tg(a+ ) +

= tga + =

=

N =

=

P =

= =

Q = (1 + 2cos2a + 2cos4a + 2cos6a).sina = sina + 2sina.cos2a + 2sina.cos4a + 2sinacos6a = sina +sin(a) + sin3a + sin(3a) + sin5a + sin(5a) + sin7a = sin7a

S =

=

R = cos10x + 2cos24x + 6cos3x.coxcosx8cosx.cos33x = cos10x + (1 + cos8x) cosx 2cosx(4cos33x3cosx) = cos10x + cos8x + 1 cosx 2cosx.cos9x = 2cos9x.cosx+1cosx2cos9x.cosx = 1 cosx

BÀI 4 : Chứng minh đẳng thức luợng giác a) (tg + cotg)2 (tg cotg)2 = 4

VT = tg2 + cotg2+2.tg.cotg(tg2+tg22tg.cotg) = 4

b) .

VT =

c) sin4 cos4 = 2sin2 1 . VT = (sin2)2(cos2)2 = (sin2+cos2)(sin2cos2) = sin2cos2 =2sin2 1


WWW.ToanCapBa.Netd) sin6 cos6 = 13sin2 cos2 .

VT = (sin2+cos2)(sin4sin2.cos2+cos4) = sin4sin2.cos2+cos4 = (sin2+cos2)2sin2.cos2sin2.cos2

e) (1 + tgx)(1 + cotgx ).sinx.cosx = 1 + 2sinx.cosx .

VT =

= 2sinx.cosx + cos2x + sin2x = 1 + 2cosx.sinx

f) .

<=> sin2x = 1 cos2x

g) .

VT = = tg3a.tga

h) sin(a+b+c) =sina.cosb.cosc + cosa.sinb.cosc + cosa.cosb.sinc sina.sinb.sinc . VT = sin[(a+b)+c] = sin(a+b).cosc + cos(a+b).sinc = (sina.cosb+cosa.sinb)cosc + ( cosa.cosb sina.sina)sinc = sina.cosb.cosc + cosa.sinb.cosc + cosa.cosb.sinc sina.sinb.sinc

i) 8cos4a4cos2acos4a = 3 . VT = 8(cos2a)2 4cos2a cos4a = 2(1 + cos2a)2 4cos2a cos4a = 2 + 4cos2a + 2cos22a 4cos2a cos4a = 2 + 1 + cos4a cos4a = 3

j) .

VT = tg2a

k) .

VT =

=

l) sina + sinb +sinc = , biết a + b = c .

VT =

= 2

m) cotgx + tgx = .

VT =

n) cotgx cotg2x = .

VT =


WWW.ToanCapBa.Neto) 3 4cos2x + cos4x = 8sin4x .

VP = 8sin4x = 2(1cos2x)2 = 24cos2x + 2cos22x = 24cos2x + 1 + cos4x = 3 4cos2x + cos4x

p) sin4x + cos4x = .

VT = (sin2x)2 + (cos2x)2 =

=

q) sin6x + cos6x = .

VT = (sin2x+cos2x)3 3sin2xcos2x(sin2x+cos2x)

= 1 3sin2x.cos2x =

r) cos3x.sin3x + sin3x.cos3x = .

VT = sin2x.sinx.cos3x + cos2x.cosx.sin3x = (1cos2x)sinx.cos3x + (1sin2x).cosx.sin3x = sinx.cos3x cos2xsinx.cos3x + cosx.sin3x sin2x.cosx.sin3x = sinx.cos3x + cosx.sin3x sinx.cosx(cosx.cos3x + sinx.sin3x)

= sin(x+3x) sinx.cosx.cos(x3x) = sin4x sin2x.cos2x

= sin4x sin4x = sin4x

s) Sin5x 2sinx(cos4x + cos2x ) = sinx . VT = sin5x 2sinx.cos4x 2sinx.cos2x = sin5x [sin(3x) +sin5x][sin(x)+sin3x] = sin5x + sin3x sin5x + sinx sin3x = sinx

t) .

VT =

=

u) . Ap dụng tính A = .

VT =

= = (3sinx4sin3x)= sin3x

Ap dung :

v) sin(a+b)sin(ab) = cos2b cos2a . w) cos(a+b)cos(ab) =cos2a + cos2b 1 .

x) sina + sinb + sinc sin(a+b+c) = .

y) cosa + cosb + cosc + cos(a+b+c) = .

BÀI 5 : Chứng biểu thức lượng giác độc lập với các biến ( Không phụ thuộc vào biến)


WWW.ToanCapBa.Net

A = ;

B = ;

C = ;

D = 3(sin8cos8) + 4(cos6 2sin6 ) + 6sin4 ;

E = ;

F = ;

( A=1; B =4; C= 3; D= 1; E=1; F =4 )

G = ;

H = ;

K = ;

( G= 1/4; H= 3/2 ; K=3/2 )BÀI 6 : Tính giá trị của hàm số lượng giác Biểu thức lượng giác

a) Biết cos = 4/5 và 00 < < 900 .+ Tính sin , tg , cotg .

+ Tính giá trị biểu thức A = . ( sin = 3/5 ; A = 25/7 )

b) Biết tg = 2 , với là góc của một tam giác .+ Tính cos, sin .

+ Tính giá trị biểu thức B = . ( cos = ; B = 0)

c) Cho tg + cotg = 2 . ( 00 < < 900 )+ Tính sin, cos , tg, cotg .

+ Tính giá trị biểu thức C = . ( = 450 ; C = 1/4 )

d) Cho sin + cos = .

+ Tính sin, cos, g, cotg . + Tính giá trị của biểu thức D = sin5 + cos5 .

( cos = sin = ; D = )

e) Cho 3sin4 cos4 = 1/2 + Tính biểu thức E = sin4 + 3cos4 . ( E = 1 )

f) Biết tg750 = , tính sin150, cos150 ; sin1050 , cos1050 .

( cotg150 = ; tg1050 = )

g) Tính ; .


WWW.ToanCapBa.Net

( )

h) Cho cosa = 9/41 , với < a < 3/2 . Tính F = tg( a /4) . ( F = 31/49 )

i) Cho tgx = 1/2, tính giá trị biểu thức G = .

( G = 1/4 )

j) Cho sina + cosa = , tính H = cos4a , I = tg .

( H = 1/8 ; I = )

k) Cho cotgx = 3/4 , tính giá trị biểu thức J = .

( A = 3/4 ) Bài 7 : Biến đổi biểu thức lượng giác về dạng

a) Biến đổi về dạng tổng A = sina.sin2a.sin3a

= [cos(a2a)cos(a+2a)]sin3a = (cosa cos3a)sin3a

= (cosa.sin3a cos3a.sin3a) = [ (sin4asin(2a)) sin6a]

= [ (sin2a+sin4a) sin6a]= (sin2a+sin4asin6a)

B = 4cosa.cos2a.sin

= 2(cosa+cos3a).sin = 2cos3a.sin + 2cosa.sin

=

b) Biến đổi tổng thành tích C = cos3a sina

= cos3a cos( a) =

D = 12cosa + cos2a

= 2cosa + 2cos2a = 2(1cosa)cosa = 2.2.sin2 .cosa = 4 sin2 .cosa

E = 1 + cosa+cos2a + cos3a = 2cos2a + (cos3a+cosa) = 2cos2a + 2cos2a.cosa

= 2(cos2a+cos3a).cosa =



* Duøng baûng giaù trò caùc giaù trò löôïng giaùc ñaëc bieät, vaø heä thöùc cô baûn :

* Duøng coâng thöùc cung lieân keát :

* Duøng coâng thöùc coäng :


WWW.ToanCapBa.Net

* Duøng coâng thöùc nhaân :

* Duøng coâng thöùc bieán ñoåi :


[]bai tap dai so 10 nccb day du.doc

Documents