wykład 6 ciąg dalszy dr inż. adam deptuła · 2017. 5. 20. · elementy rachunku...
TRANSCRIPT
Elementy rachunku
prawdopodobieństwa
(Modele probabilistyczne)
Wykład 6 ciąg dalszy
Dr inż. Adam Deptuła
12
.03
.20
17
Wydzia
ł In
żynie
rii P
rodukcji
I L
og
isty
ki
Prawdopodobieństwo warunkowe
Zdarzenia niezależne
Definicja 6.
Niech SA i SB , .0)( AP
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B pod
warunkiem zajścia zdarzenia A dane jest wzorem
)(
)()(
AP
BAPABP
Prawdopodobieństwo warunkowe pozwala określić
niezależność zdarzeń. Zdarzenia A i B , o dodatnich
prawdopodobieństwach, nazwiemy niezależnymi, jeśli
informacja o zajściu jednego z nich nie wpływa na
prawdopodobieństwo zajścia drugiego:
)()( BPABP oraz )()( APBAP
Definicja.
Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli
)()()( BPAPBAP .
Zdarzenia kAAA ,...,, 21 , ,2k nazywamy niezależnymi,
jeśli dla każdego m , ,2 km dla dowolnych różnych
zdarzeń miii AAA ,...,,
21 z rodziny kAAA ,...,, 21 :
)(...)()...(121 mm iiiii APAPAAAP
Określenie.
Zdarzenia kAAA ,...,, 21 , 2k , nazywamy niezależnymi
parami, jeśli każde dwa zdarzenia spośród nich są
niezależne.
Uwaga: Z niezależności parami nie wynika niezależność
rodziny zdarzeń kAAA ,...,, 21 .
Natomiast niezależność rodziny zdarzeń implikujeniezależność parami.
Przykład. Urna zawiera 4 kule – zieloną, niebieską,
czerwoną i kulę zielono-niebiesko-czerwoną. Niech
1A = { w losowo wybranej kuli jest kolor zielony },
2A = { w losowo wybranej kuli jest kolor niebieski },
3A = { w losowo wybranej kuli jest kolor czerwony },
B = { losowo wybrana kula jest trójkolorowa }.
Pokaż, że zdarzenia 321 ,, AAA nie są niezależne, ale są
parami niezależne.
Wsk. 313221 AAAAAA = B .
Przykład. Niech },,,{ 4321 ssssS oraz zdarzenia
elementarne są jednakowo prawdopodobne.
},{ 211 ssA , },{ 312 ssA , },{ 413 ssA
321 ,, AAA są niezależne parami, ale
)( 321 AAAP = 0,25 )()()( 321 APAPAP = 0,125.
}{ 11 sB , },,{ 212 ssB 03 B .
321 ,, BBB nie są parami niezależne, ale
)( 321 BBBP = )()()( 321 BPBPBP .
Przykład. Układ czterech przekaźników połączony jest w
taki sposób, że: dwa pierwsze – szeregowo, połączone sąszeregowo z dwoma pozostałymi połączonymi równolegle.Przekaźniki pracują niezależnie, prawdopodobieństwo awariikażdego z nich wynosi 0,1. Oblicz niezawodność układuprzekaźników, tzn. prawdopodobieństwo poprawnej pracy.
iA = { przekaźnik i pracuje poprawnie }, i = 1,2,3,4.
D { układ pracuje poprawnie } =
4321 AAAA
421321 AAAAAAD .
421321 AAAAAAD .
Z twierdzenia 3 ( prawdopodobieństwo sumyzdarzeń) oraz definicji 7 ( niezależność zdarzeń ):
Niezawodność =
)()()( 421321 AAAPAAAPDP +
)( 4321 AAAAP = 433 9,09,09,0 =
0,8019.
Definicja 8.
Zdarzenia kBBB ,...,, 21 tworzą podział przestrzeni
zdarzeń elementarnych S ( układ zupełny zdarzeń ),jeśli 0ji BB dla ji , oraz
SBBB k ...21 .
Twierdzenie 5. ( o prawdopodobieństwie całkowitym).
Jeśli kBBB ,...,, 21 tworzą układ zupełny zdarzeń oraz
0)( iBP , ki ,...2,1 , to dla każdego zdarzenia A :
k
i
k
iiii BPBAPBAPAP
1 1
)()()()( .
D. )...()()( 21 kBBBAPSAPAP =
))(...)()(( 21 kBABABAP =
)()()(11
ii
k
ii
k
i
BPBAPBAP
.
Twierdzenie 6. ( reguła Bayesa’a ). Jeśli zdarzenia
kBBB ,...,, 21 tworzą podział przestrzeni S oraz
0)( iBP , ki ,...2,1 , to dla SA , takiego że 0)( AP ,
)(
)()()(
AP
BPBAPABP
mmm =
k
jjj
mm
BPBAP
BPBAP
1
)()(
)()(
gdzie mB jest dowolnym ustalonym zdarzeniem spośród
zdarzeń kBBB ,...,, 21 , km 1 .
D. Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraztwierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym mamy:
)()(
)(
)(
)()(
1jj
k
j
mmm
BPBAP
ABP
AP
ABPABP
.
Z twierdzenia 4 )()()( mmm BPBAPABP , skąd
otrzymujemy wzór Bayes'a:
)( ABP m =
k
jjj
mm
BPBAP
BPBAP
1
)()(
)()(
Przykład. Wiadomo, że 5% produkowanych elementów
ma wady. Podczas kontroli jakości 95% elementówdobrych klasyfikowanych jest jako elementy dobre, a 90%elementów wadliwych jako wadliwe.
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że element jestwadliwy, jeśli został zaklasyfikowany jako wadliwy ?
(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że element jest dobry,jeśli został zaklasyfikowany jako dobry ?.
Niech 1B = {losowo wybrany element jest dobry},
2B = {losowo wybrany element jest wadliwy},
A = { losowo wybrany element zaklasyfikowany jakowadliwy}.
1B = {losowo wybrany element dobry jest dobry},
2B = {losowo wybrany element jest wadliwy},
A = { losowo wybrany element zaklasyfikowany jako
wadliwy}.
)( 1BP = 0,95, )( 2BP = 0,05, )( 1BAP 0,95,
)( 1BAP = 1 - 0,95 = 0,05, )( 2BAP =0,9.
)( 1BP = 0,95, )( 2BP = 0,05, )( 1BAP 0,95,
)( 1BAP = 1 - 0,95 = 0,05, )( 2BAP =0,9.
(a) )( 2 ABP = )()()()(
)()(
2211
22
BPBAPBPBAP
BPBAP
= 05,09,095,005,0
05,09,0
0,4865.
(b) )()'()()'(
)()'()'(
2211
111
BPBAPBPBAP
BPBAPABP
=
.9945,005,01,095,095,0
95,095,0
Przykład. W konferencji naukowej bierze udział 30 %
matematyków i 70 % informatyków. Wśród matematykówjest 50 % kobiet a wśród informatyków zaledwie 10 %stanowią kobiety. Wybrana losowo osoba jest (a) kobietą ,(b) mężczyzną. Jakie jest prawdopodobieństwo, żewybrana osoba jest matematykiem ?Określamy zdarzenia:
A {wybrana losowo osoba jest kobietą},1B { wybrana losowo osoba jest matematykiem},
2B { wybrana losowo osoba jest informatykiem},
3,0)( 1 BP , 7,0)( 2 BP , 5,0)( 1 BAP
1,0)( 2 BAP ,
1)'( 1BAP 055,01)( 1 BAP ,
1)'( 2BAP 9,01,01)( 2 BAP .
(a)
)( 1 ABP )()()()(
)()(
2211
11
BPBAPBPBAP
BPBAP
=
= .68,07,01,03,05,0
3,05,0
Interpretacja:Wśród kobiet dużo matematyków, zatem prawdop., żewybrana osoba jest matematykiem zwiększyło się, jeśliwiemy, że ta osoba jest kobietą.
3,0)( 1 BP 68,0)( 1 ABP
3,0)( 1 BP 19,0)'( 1 ABP
3,0)( 1 BP , 7,0)( 2 BP , 5,0)( 1 BAP
1,0)( 2 BAP ,
1)'( 1BAP 055,01)( 1 BAP ,
1)'( 2BAP 9,01,01)( 2 BAP .
(b)
)'( 1 ABP )()'()()'(
)()'(
2211
11
BPBAPBPBAP
BPBAP
=
= .19,07,09,03,05,0
3,05,0
Przykład. Test medyczny wykrywa określoną chorobę
(wynik dodatni testu ) z prawdopodobieństwem 0,99 uosoby chorej, natomiast u osoby zdrowejprawdopodobieństwo wyniku dodatniego (błędnej diagnozy)jest 0,02. Wiadomo, że szansa zapadnięcia na tę chorobęwynosi 1/1000. Obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba jestrzeczywiście chora, jeśli wynik testu był dodatni.
1B = { losowo wybrana osoba jest chora },
2B = { losowo wybrana osoba jest zdrowa }.
A = {u losowo wybranej osoby test da wynik dodatni}
001,0)( 1 BP , ,999,0)( 2 BP
99,0)( 1 BAP , .02,0)( 2 BAP
)( 1 ABP )()()()(
)()(
2211
11
BPBAPBPBAP
BPBAP
=
= .047,0999,002,0001,099,0
001,099,0
)( 2 ABP = )(1 1 ABP = 0,953.
Interpretacja.Powyższy pozornie paradoksalny rezultat wynika stąd, żechoroba bardzo rzadka i testowi poddana losowo wybranaosoba z populacji gdzie średnio na 1000 osób 999 jestzdrowych, zajście zdarzenia A nie wpłynęło znacznie na
zmianę prawdopodobieństw zdarzeń 21 , BB .
A = { diagnoza choroby }, B2 = { osoba zdrowa }
999,0)( 2 BP 953,0)( 2 ABP
02,0)( 2 BAP
ZMIENNE LOSOWE
),(: SX
Przykłady.
rzut parą kostek sześciennych: })6,...,2,1{,:),{( jijiS
jisXjisX )(),(:
rzut monetą: }1,0{S , gdzie 0 = orzeł, 1 = reszka
ssXsX 1)(: (=liczba orłów)
n - krotne powtórzenie doświadczenia Bernoulli’egoz prawdopodobieństwem sukcesu p, ( sukces = 1,
porażka = 0 ): }}1,0{:),...,,({ 21 in xxxxsS
n
in i
xsXxxxsX1
21 )(),...,,(: (liczba sukcesów).
czas obsługi klienta, }0:{ TxxS
xxXxX )(:.
Definicja. Zmienną losową nazywamy funkcję
rzeczywistą, określoną na przestrzeni zdarzeń
elementarnych S, taką że dla dowolnego ),( x
})(:{ xsXSs jest zdarzeniem.
Zmienna losowa jest dyskretna, jeśli jej zbiór
wartości jest przeliczalny ( dyskretny): np. { 0, 1,
2,... }, {0, 1, 2, 3 }. Zmienna losowa jest ciągła, jeśli zakres ( zbiór ) jej
wartości jest nieskończony i nieprzeliczalny („ciągły”),
np. ),( , [ ),0 , [ 2,2 ].
Dyskretne zmienne losowe
Przykład. Niech zmienna losowa X będzie liczbą orłów w
trzykrotnym rzucie monetą. Wówczas:
S = {OOO, OOR, ORO, ROO, RRO, ROR, ORR, RRR}
X = 3 2 2 2 1 1 1 0
Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne:moneta symetryczna i rzuty niezależne
Możemy wyznaczyć prawdopodobieństwa tego, żezmienna losowa przyjmie wartości: 0, 1, 2, 3:
Notacja: }))(:({ xsXSsP = )( xXP
x 0 1 2 3
P(X=x) 8
1
8
3
8
3
8
1
Definicja.
Rozkładem prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennejlosowej X nazywamy zbiór par uporządkowanych
))(,( xXPx , gdzie x przebiega zakres wartości X
Funkcją prawdopodobieństwa ( rozkładu ) dyskretnejzmiennej losowej X nazywamy funkcję:
)()( xXPxp , gdzie x przebiega zakres wartości X.
Stwierdzenie. Niech ,...},{: 21 xxSX . Wówczas
1)(1
iixp .
D. Z definicji funkcji prawdopodobieństwa i aksjomatów
prawdopodobieństwa:
1)(})(:{()()(1 11
SPxsXSsPxXPxpi i
iii
i
Definicja.
Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję:
)()( xXPxF , ),( x .
]1,0[),(: F ( wartości dystrybuanty są
prawdopodobieństwami )
Dla dyskretnej zmiennej losowej
)()(:
ixxi
xpxFi
.
xxi
ii
xXPxXPxF
:
}){()()( =
xxi xxi
iii i
xpxXP: :
)()( .
)()(:
ixxi
xpxFi
.
x 0 1 2 3
p(x) 8
1
8
3
8
3
8
1
Przykład. Trzykrotny rzut monetą symetryczną.
8/1)0()0( XPXP
8/48/38/1)1()0()1( XPXPXP
8/78/38/4)2()1()2( XPXPXP
Dla 0x F(x) = 0)0()( PxXP
Dla 10 x F(x) = p(0) = 1/8
Dla 21 x F(x) = p(0) + p(1) = 4/8
Dla 32 x F(x) = p(0) + p(1) + p(2) = 7/8
Dla 3x F(x) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = 1.
)(xF =
1
8/7
8/4
8/1
0
dla
3
32
21
10
0
x
x
x
x
x
1 2 3 x
y
1/8
4/8
7/8
1
Wykres dystrybuanty F