wykład 2 pole skalarne i wektorowe
DESCRIPTION
Wykład 2 Pole skalarne i wektorowe. Funkcja wielu zmiennych Pochodna cząstkowa. Gradient Dywergencja Rotacja. Zmienna niezależna. Zmienna zależna. Funkcja jednej zmiennej. Funkcja jednej zmiennej. Wykres y=f(t) jest krzywą płaską. Zmienna zależna t. Zmienna niezależna. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Wykład 2Wykład 2Pole skalarne i wektorowePole skalarne i wektorowe
1. Funkcja wielu zmiennych
2. Pochodna cząstkowa.
3. Gradient
4. Dywergencja
5. Rotacja
Funkcja jednej zmiennejFunkcja jednej zmiennej
Zmienna niezależna)sin(ty Zmienna zależna
Funkcja jednej zmiennejFunkcja jednej zmiennej
Wykres y=f(t) jest krzywą płaską
0 1 2 3 4 5 6-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
y
Funkcja wielu zmiennychFunkcja wielu zmiennych
)cos()sin( yxz Zmienna zależnat
Zmienna niezależna
Zmienna niezależna
Funkcja wielu zmiennychFunkcja wielu zmiennych
Wykres – powierzchnia w 3D
01
23
45
6
01
23
45
6
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x y
z
Pochodna cząstkowaPochodna cząstkowa
Pochodna z funkcji jednej zmiennej ( względem tej zmiennej) jest gradientem funkcji;
Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych to pochodna tej funkcji względem jednej ze zmiennych niezależnych;
Pochodna cząstkowaPochodna cząstkowa
Inne zmienne niezależne traktujemy jako stałe;
Pochodna cząstkowa jest gradientem powierzchni w kierunku danym przez tę zmienną, względem której liczono pochodną:
xz
pochodna cząstkowa względem x
PrzykładPrzykład Pochodna cząstkowa funkcji:
względem x (traktujemy y jako stałą):
względem y (traktujemy x jako stałą):
21),( xyxf
xxx
xf 2)1( 2
0)1( 2
yx
yf
Pole skalarne i wektorowePole skalarne i wektorowe
Pole skalarne opisuje funkcja skalarna wielu zmiennych ( np. ciśnienie, temperatura)
Pole wektorowe – funkcja wektorowa wielu zmiennych (np.prąd powietrza, ciepła, pole magnetyczne).
Pole skalarne i wektorowePole skalarne i wektorowe
Pole skalarne:
np.
),( yxff
22),( yxyxf
yzzxzyxf 2),,( 2
Pole skalarne i wektorowePole skalarne i wektorowe
Pole wektorowe (2D) :
np.
)),(),,((),( yxgyxfyx F
),(),( 2222 yxyxyx jiF
kjiF )cos(2),,( 2 yyxzzyx
Pole wektorowePole wektorowe
Przepływ wody wokół podpory mostu
Pole skalarnePole skalarne
Głębokość wody w Auckland Harbour
Pole wektorowePole wektorowe
Prądy wodne w Waitemata Harbour
Rozważmy funkcję skalarną f = f (x, y, z). Jak policzyć jak szybko f zmienia się
wzdłuż pewnej krzywej C opisanej równaniem:
s jest długością mierzoną wzdłuż C; chcemy policzyć pochodną f względem s aby stwierdzić jak szybko zmienia się ona względem C.
Niech w jest równa wartości f na krzywej C:
kjir )()()()( szsysxs
))(),(),(()( szsysxfsw
OOperator Gradientperator Gradientuu
krzywa C
Kontury f (x, y, z) = constant
OOperator Gradientperator Gradientuu
f
Aby obliczyć jak f zmienia się wzdłuż C liczymy pochodną:
Prawa strona może być też zapisana tak:
dsdz
zf
dsdy
yf
dsdx
xf
dsdw
zf
yf
xf
dsdz
dsdy
dsdx
dsdw kjikji
OOperator Gradientperator Gradientuu
Czyli:
gdzie jest jednostkowym wektorem stycznym do s:
fdsdw
τ
dsdz
dsdy
dsdx kjiτ
OOperator Gradientperator Gradientuu
zf
yf
xff kji
ffzf
yf
xf grad,,
OOperator Gradientperator Gradientuu
Operator gradientu :f
lub:
PrzykładPrzykład
Oblicz gradient funkcji:
Gradient :
331
31),( 33 yxyxyxf
yf
xff ,
12 x
xf
12 y
yf
1,1 22 yxf
grad f tworzy pole wektorowe z pola skalarnego f
Aby zinterpretować grad f piszemy:
jest kątem między wektorem stycznym i wektorem grad f . Ta pochodna jest największa gdy = 0 i cos = 1.
grad f jest wektorem, który jest równy maksimum szybkości zmian f i wskazuje kierunek maksimum szybkości zmian.
cosffdsdw
τ
OOperator perator ggradientradientuu
Wektor gradientu w punkcie P jest prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie P. Tak więc wektor normalnej n do powierzchni w punkcie P:
)()( PfP n
Powierzchnie wPowierzchnie w 3D 3D
C
n
P
Operator dywergencjiOperator dywergencji
Prędkość cieczy lub gazu może reprezentować wektor pola, tzn.
Dywergencja jest miarą źródłowości pola.
),,(),,,(),,,( zyxwzyxvzyxuv
Operator dywergencjiOperator dywergencji
Rozważmy skalar:
Jeśli v > 0 ciecz wypływa ze źródła
Jeśli v < 0 ciecz wpływa do pewnego punktu
zw
yv
xu
v
Operator dywergencji (div) daje skalar jeśli działa na funkcję wektorową
Operator gradientu (grad) – daje wektor jeśli działa na funkcję skalarną
zw
yv
xu
vvdiv
Operator dywergencjiOperator dywergencji
),,( wvuv
uwaga: div(grad f ) pisze się tak:
To jest operator Laplace’a
Używany jest do modelowania fal, zjawisk dyfuzji i in.
ff 2)(
2
2
2
2
2
2
)(
zf
yf
xf
zf
zyf
yxf
xf
Operator Operator LaplaLaplace’ace’a
OOperatorperator rotacji rotacji
Prędkość ruchu obrotowego (np. bryły sztywnej) można
określić stosując rotację; Niech wektor prędkości punktów
bryły reprezentuje wektor pola
),,(),,,(),,,( zyxwzyxvzyxuV
OOperatorperator rotacji rotacji
Operator rotacji wektora pola:
),,(,, wvuzyx
V
kjiV
yu
xv
xw
zu
zv
yw
Operator rotacjiOperator rotacji
W postaci macierzowej:
kji
kji
v
yu
xv
xw
zu
zv
yw
wvuzyx
kjiv xy 0101 2
kjiv zyxzyxy 2
)(2 zyxzyxyzyx
kji
v
kjiv xy 12
Przykład Przykład
Oblicz rot v dla:
Dla płynącej cieczy, rot v oznacza, że mamy do czynienia z wirami: rot v jest wektorem skierowanym wzdłuż
osi obrotu; jego kierunek określa reguła prawej dłoni;
Przy obrocie bryły sztywnej wokół ustalonej osi: rot v jest wektorem skierowanym wzdłuż
tej osi; długość rot v jest równa podwojonej
prędkości kątowej.
Sens fizyczny rotacjiSens fizyczny rotacji
PodsumowaniePodsumowanie
Gradient Maksimum szybkości zmian i kierunek
maksymalnej szybkości zmian pola skalarnego
skalar vektor Dywergencja
Wskazuje źródło pola wektor skalar
Rotacja Określa obrót wektora pola wektor wektor
f
v
v