wykŁad 3. kliki i zbiory niezależne
DESCRIPTION
WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne. Ile co najmniej krawędzi gwarantuje istnienie kliki wielkości k ? Ile co najwyżej krawędzi gwarantuje istnienie zbioru niezależnego wielkości k ? Ile co najmniej wierzchołków gwarantuje klikę wielkości k lub zbiór niezależny wielkości l ?. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/1.jpg)
WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne
• Ile co najmniej krawędzi gwarantuje istnienie kliki wielkości k?
• Ile co najwyżej krawędzi gwarantuje istnienie zbioru niezależnego wielkości k?
• Ile co najmniej wierzchołków gwarantuje klikę wielkości k lub zbiór niezależny wielkości l ?
![Page 2: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/2.jpg)
Ile krawędzi gwarantuje K_3 ?
• n^2/4 nie gwarantuje, bo K(n/2,n/2)• Tw. (Mantel, 1907) Jeśli graf o n
wierzchołkach ma więcej niż n^2/4 krawędzi, to zawiera trójkąt.
• Dowód: G – graf bez trójkąta, v --wierzchołek o stopniu Δ, N(v) – zbiór sąsiadów v w G. Zbiór N(v) jest niezależny, stąd
4)( 2 /nne(G)
![Page 3: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/3.jpg)
Ilustracja dowodu Tw. Mantla
v N(v)
n-Δ-1
Δ
V-{v}-N(v)
![Page 4: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/4.jpg)
Wniosek z dowodu Tw. Mantla
• Jeśli n jest parzyste, G ma n^2/4 krawędzi i nie zawiera K_3, to G=K(n/2,n/2).
• Jeśli n jest nieparzyste, G ma (n^2-1)/4 krawędzi i nie zawiera K_3, to G=K((n-1)/2,(n+1)/2).
• Dowód dla n parzystego: w dowodzie Tw. Mantla równość e(G)=n^2/4 zachodzi tylko, gdy Δ=n/2 i nie ma krawędzi o obu końcach w V-N(v).
![Page 5: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/5.jpg)
Uogólnienie problemu
• Dane: graf H i liczba naturalna n;
• Graf G nie zawierający H, o n wierzchołkach i największej możliwej liczbie krawędzi nazywamy ekstremalnym dla H i n, a jego liczbę krawędzi oznaczamy przez ex(n,H).
• Na przykład, dla n parzystego i H=K_3, K(n/2,n/2) jest ekstremalny, a ex(n,K_3)=n^2/4.
![Page 6: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/6.jpg)
Tw. Turána -- intuicja
Żeby upchnąć jak najwięcej krawędzi unikając K_{k+1}, trzeba budować k-dzielny graf pełny.
n/k
n/k
n/k
![Page 7: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/7.jpg)
Tw. Turána
Graf Turána T_k(n) to k-dzielny graf pełny, którego podział wierzchołków składa się z k-r zbiorów mocy q i r zbiorów mocy q+1. Dla n=1,...,k-1 przyjmujemy T_k(n) = K_n.
Oznaczmy t_k(n)=e(T_k(n)). Jasne, że
krr, qkn, nk 0
Tw.Turána 1941 Jedynym grafem ekstremalnym dla K_{k+1} i n jest graf Turána T_k(n). W szczególności
t_k(n)})ex(n,K_{k 1
t_k(n)})ex(n,K_{k 1
![Page 8: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/8.jpg)
Dowód Tw. Turána
• Indukcja względem n: prawda dla n=1,...,k.• Załóżmy, że n>k a G jest grafem
ekstremalnym dla n i K_{k+1}.• G musi zawierać klikę K={x_1,...,x_k}
mocy k.• Z zał.ind. e(G-K) nie przekracza t_k(n-k).• Każdy wierzchołek grafu G-K ma w K co
najwyżej k-1 sąsiadów.
ntk
kknkntGe kk
2
)1)(()(
![Page 9: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/9.jpg)
Ilustracja: k=4
KG-K
![Page 10: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/10.jpg)
Ilustracja: grafy Turána
n=13, k=4, t_k(13)-t_k(9)=6+9•3
![Page 11: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/11.jpg)
Dowód Tw. Turána – c.d.
• G jest ekstremalny, więc e(G)=t_k(n).• Zatem każdy wierzchołek w G-K ma
dokładnie k-1 sąsiadów w K.• Niech V_i={v: vx_i nie jest krawędzią}.• Zbiory V_i są niezależne i pokrywają V,
więc G jest k-dzielny.• Ale jedynym ekstremalnym grafem k-
dzielnym jest graf Turána T_k(n). �
![Page 12: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/12.jpg)
Oszacowania liczb Turána
• Łatwo pokazać, że (ćwiczenia)
2
21
nk
kntk
k
knntkn
12
lim1
![Page 13: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/13.jpg)
Ile krawędzi gwarantuje α>2 ?
nie gwarantuje, bo 2K_{n/2} (tutaj n parzyste)
czyli dopełnienie grafu Turána.
Ale mniej już tak – na podstawie Tw. Turána.
2
2/2
n
![Page 14: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/14.jpg)
Oszacowanie α z dołu
• Tw. Caro’79 i Wei’81
Vv vd
G1
1
Dowód: Dla każdej permutacji wierzchołków π, niech l(π) będzie liczbą wierzchołków mających wszystkich sąsiadów „na prawo”. Tworzą one zbiór niezależny, więc
lG
![Page 15: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/15.jpg)
Dowód – c.d.• Niech ł(v) będzie liczbą permutacji, w których v
ma wszystkich sąsiadów na prawo. Wtedy
v
vłl
• oraz
1
!)!1(!
1
v
vv
v dn
dndd
nvł
• Zatem istnieje π takie, że
Vv vd
l1
1
![Page 16: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/16.jpg)
Ilustracja
v
N(v)
![Page 17: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/17.jpg)
Przyjęcie na 6 osób
• Wśród dowolnych trzech osób zawsze są co najmniej dwie tej samej płci.
• Wśród dowolnych sześciu osób zawsze są co najmniej trzy, które się znają LUB co najmniej trzy, które się nie znają.
A
BC
D
E
F
![Page 18: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/18.jpg)
Liczba K_3 łącznie w grafie i jego dopełnieniu
Goodman 1959 Łącznie trójkątów w grafie na n wierzchołkach i jego dopełnieniu jest co najmniej n(n-1)(n-5)/24.
Dowód: Niech t_i będzie liczbą indukowanych podgrafów grafu G o 3 wierzchołkach i i krawędziach, i=0,1,2,3.
2121 ttdnd vVv v
![Page 19: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/19.jpg)
Ilustracja
v
d_v
n-1- d_v
![Page 20: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/20.jpg)
Dowód tw. Goodmana -- dokończenie
2
2130 21
23)(
3
nnntt
ntt
![Page 21: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/21.jpg)
Tw. Ramseya
Notacja „strzałkowa” Erdősa-Rado:
Piszemy n (k,l), gdy każdy graf na n wierzchołkach zawiera klikę mocy k LUB zbiór niezależny mocy l (równoważnie, jego dopełnienie zawiera klikę mocy l).
Przykład: 6 (3,3)
Tw. (Ramsey 1930) Dla wszystkich naturalnych k i l, istnieje n takie, że n (k,l).
![Page 22: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/22.jpg)
Dowód tw. Ramseya• Indukcja względem k+l• Jeśli k=2 to l (k,l).• Zawsze: n (k,l) wgdy n (l,k) • Weźmy k>2 i l>2; niech n_1 (k-1,l),
n_2 (k,l-1) (tutaj stosujemy zał. ind.)• Pokażemy, że n_1+n_2 (k,l).• W dowolnym grafie G na n_1+n_2
wierzchołkach, każdy wierzchołek v ma albo co najmniej n_1 sąsiadów albo co najmniej n_2 nie-sąsiadów.
![Page 23: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/23.jpg)
Dowód tw. Ramseya – c.d.
• Bez straty ogólności (symetria!) przyjmijmy przypadek pierwszy i do podgrafu indukowanego G[N(v)], gdzie |N(v)|=n_1, zastosujmy własność n_1 (k-1,l).
• Jeśli G[N(v)] zawiera zbiór niezależny mocy l, to koniec dowodu.
• Jeśli G[N(v)] zawiera klikę mocy k-1, to ta klika wraz z wierzchołkiem v tworzy klikę mocy k. �
![Page 24: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/24.jpg)
Ilustracja
v
n_1=R(k-1,l)
n_2=R(k,l-1)
![Page 25: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/25.jpg)
Liczby Ramseya
• R(k,l) to najmniejsza liczba n taka, że n (k,l). • R(3,3)=6 bo 6 (3,3) oraz istnieje graf na 5 wierzchołkach
(jaki?) taki, że ω=α=2.• Z dowodu Tw. Ramseya wynika rekurencja
)1,(),1(),( lkRlkRlkR
1046)2,4()3,3()3,4( RRR
934 ),R( 18)4,3(2)4,4( RR
9)4,3( R 18)4,4( R ?)5,5( R
![Page 26: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/26.jpg)
Oszacowania liczb Ramseya
kc
k
kkkR
k41
22),(
2/2),( kkkR
(1)
(2)
![Page 27: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/27.jpg)
Gra ramseyowska -- online
Opis gry: Zaczynając od pustego grafu, w każdej rundzie Konstruktor rysuje krawędź a Malarz maluje ją jednym z dwóch kolorów.
Malarz przegrywa, gdy pojawi się monochromatyczny trójkąt.
Ile rund może przetrwać Malarz, zakładając, że obaj gracze grają bezbłędnie?
Na pewno nie więcej niż 15 (dlaczego?), ale czy Konstruktor może osiągnąć wygraną wcześniej?
![Page 28: WYKŁAD 3. Kliki i zbiory niezależne](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070405/56813fd7550346895daabce9/html5/thumbnails/28.jpg)
Przykład gry