wykład nr 10
DESCRIPTION
Na podstawie podręcznika „HYDROGEOLOGIA z podstawami geologii”, Jerzy KOWALSKI, WUP, Wrocław 2007 OPRACOWAŁ dr hab.inż.Wojciech Chmielowski prof.PK. OCHRONA WÓD PODZIEMNYCH. Wykład nr 10. Instytut Inżynierii i Gospodarki Wodnej Zakład Gospodarki Wodnej, PK. DYNAMIKA WÓD PODZIEMNYCH - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/1.jpg)
Wykład nr 10
OCHRONA WÓD
PODZIEMNYCH
OCHRONA WÓD
PODZIEMNYCH
DYNAMIKA WÓD PODZIEMNYCH
1.Liniowe prawo filtracji – prawo Darcy’ego
2.Zakres ważności prawa Darcy’ego
DYNAMIKA WÓD PODZIEMNYCH
1.Liniowe prawo filtracji – prawo Darcy’ego
2.Zakres ważności prawa Darcy’ego
Na podstawie podręcznika „HYDROGEOLOGIA z podstawami geologii”, Jerzy KOWALSKI, WUP, Wrocław 2007
OPRACOWAŁdr hab.inż.Wojciech Chmielowski prof.PK
Instytut Inżynierii i Gospodarki WodnejZakład Gospodarki Wodnej, PK
![Page 2: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/2.jpg)
Spadek hydrauliczny w ośrodku nasyconymSpadek hydrauliczny w ośrodku nasyconym
1
2
1z
2z
dh
dlwarstwa nieprzepuszczalna
zwierciadło wody gruntowej
0z
Siłami czynnymi wywołującymi ruch cieczy są siłą ciężkości i siłą ciśnienia.
Energia masy strumienia w dowolnym przekroju wynosi:
kinetycznaenergiaE
alnpotencjaenergiaE
vMMpzgMEEE
K
p
Kp 2
2
![Page 3: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/3.jpg)
1
2
1z
2z
dh
dlwarstwa nieprzepuszczalna
zwierciadło wody gruntowej
0z
1h
1h
2h
2h
predkosciwysokoscg
v
cisnieniawysokoscg
p
polozeniawysokoscz
g
v
g
pzh
2
2
2
2
Jeżeli podzielimy poprzednie równanie przez Mg możemy energie jednostki masy wyrazić wysokością słupa cieczy określającą potencjał elementu wody,
którą nazywamy wysokością piezometryczną h
H
![Page 4: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/4.jpg)
1
2
1z
2z
dh
dlwarstwa nieprzepuszczalna
zwierciadło wody gruntowej
0z
1h
1h
2h
2h
Transport masy cieczy z przekroju „A” do przekroju „B” związany jest z wykonaniem pracy potrzebnej na pokonanie sił oporu ruchu.
Na wykonanie tej pracy zużyta zostaje część potencjału strumienia „dh”
W przypadku przepływu filtracyjnego prędkość przepływu i wynikająca z niej energia kinetyczna jest w porównaniu z energią potencjalną bardzo mała i może być pominięta.
![Page 5: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/5.jpg)
1
2
1z
2z
dh
dlwarstwa nieprzepuszczalna
zwierciadło wody gruntowej
0z
1h
1h
2h
2h
12
21
22
11
hhdh
dhhh
dhg
pz
g
pz
W rezultacie równanie bilansu energii (równanie Bernoulliego ) można zapisać w postaci:
![Page 6: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/6.jpg)
1
2
1z
2z
dh
warstwa nieprzepuszczalna
zwierciadło wody gruntowej
0z
1h
1h
2h
2h
dl
Stosunek przyrostu wysokości piezometrycznej „dh” do długości przebytej drogi „dl”
nazywamy spadkiem hydraulicznym
lub
gradientem hydraulicznym
HgradI
hgraddl
dhI
![Page 7: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/7.jpg)
Prawo Darcy’egoPrawo Darcy’ego
Q
dl
FA
B
1h 2h
21 hhdh
Aparat filtracyjny Darcy’ego
![Page 8: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/8.jpg)
Na podstawie badań laboratoryjnych przeprowadzonych w pionowym cylindrze wypełnionym piaskiem Darcy ( 1856) stwierdził, że natężenie przepływu Q jest:
proporcjonalne do powierzchni przekroju przepływu i różnicy wysokości piezometrycznej, a
odwrotnie proporcjonalne do długości przepływu.
Q
dl
FA
B
1h 2h
21 hhdh
IFkdl
dhFk
dl
hhFkQ
21
![Page 9: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/9.jpg)
Q
dl
FA
B
1h 2h
21 hhdh
IFkdl
dhFk
dl
hhFkQ
21
vF
Q
Współczynnik proporcjonalności
„k” nazywamy współczynnikiem filtracji.
Uwzględniając że
można zapisać
Ikdl
dhk
dl
hhk
F
Qv
21
Prędkość określona wzorem nazywa się prędkością filtracji (przesączania), a ze wzoru wynika , iż jest ona liniowo zależna od spadku hydraulicznego, stąd prawo Darcy’go nazywa się liniowym prawem filtracji.
![Page 10: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/10.jpg)
Współczynnik filtracji charakteryzuje zdolność przesączania wody będącej w ruchu laminarnym przez skały porowate i jest miarą przepuszczalności hydraulicznej skał (gruntów). Przesączanie odbywa się siecią kanalików utworzonych z porów gruntowych.
Grunt stawia opór przesączającej się wodzie, opór ten i współczynnik filtracji zależy od właściwości gruntu:• rodzaju ośrodka gruntowego • porowatości • uziarnienia • struktury gruntu
właściwości filtrującej cieczy – lepkości.
Współczynnik filtracji jest miarą przepuszczalności wyłącznie dla wody i nie powinno się go stosować w przypadku innych płynów, do których odnosi się współcześnie stosowana wersja formuły Darcy'ego.
![Page 11: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/11.jpg)
http://www.ar.krakow.pl/~pbaran/Text/Wspolczynnik_filtracji.pdf
Jaka jest różnica wysokości piezometrycznych , jeżeli:
1. Prędkość filtracji = 0,005[m/s],
2. Współczynnik filtracji = 0,5[m/s]
3. Długość przepływu wody =0,5[m]
Ikdl
dhk
dl
hhk
F
Qv
21
mmmmhh
m
hhsmsm
5105005,0
;5,0
5,0005,0
321
21
![Page 12: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/12.jpg)
Analityczne wyprowadzenie Prawa Darcy’ego
Analityczne wyprowadzenie Prawa Darcy’ego
z
r
r
FOrG
G
F1
2
n
)(rp
)( rrp
Fragment gruntu we współrzędnych cylindrycznych (z,r)
![Page 13: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/13.jpg)
z
r
r
FOrG
G
F1
2
n
)(rp
)( rrp
Prawo Darcy’ego wyraża zasadę równowagi sił działających na ciecz przy jej przepływie przez ośrodek.
Na ciecz wypełniającą pory elementu objętości ośrodka porowatego działają wzdłuż dowolnego kierunku „r” następujące siły:
![Page 14: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/14.jpg)
rzFnrgrzGP ,cos,cos1
1. składowa siły ciężkości:
2. różnica sił ciśnienia porowego w przeciwległych powierzchniach elementu prostopadłych do kierunku „r”
porowecisnieniehgp
FnrrpFnrpP
,
2
3. siły oporu ruchu wynikające z tarcia laminarnego. Przyjmujemy, że siła ta jest proporcjonalna do objętości cieczy i prędkości filtracji
z
r
r
FOrG
G
F1
2
n
)(rp
)( rrp
]/[""
],[
,,
3
smrkierunkupozeplywupredkoscprv
sPadynamicznalepkosc
osrodkaiwlasciwoscodzaleznyoporuikwspolczynnC
FnrvCP
r
r
rr
![Page 15: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/15.jpg)
z
r
r
FOrG
G
F1
2
n
)(rp
)( rrp
0)(,cos
03
1
FnvCFnrrpFnrprzFnrg
P
rrr
ii
1P
Warunek równowagi sił ma postać:
2P 3P
Rozwijając w szereg Taylora wyrażenie
rr
prprrp
)()(
oraz uwzględniając hgp otrzymujemy
0,cos
0,cos
rr
rrr
vCr
przg
FnvCFnrr
pFnrhgFnrhgrzFnrg
![Page 16: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/16.jpg)
Odpowiada współczynnikowi proporcjonalności „k” (współczynnik filtracji).
r
r
z
rzr
zrz
),cos(
rr
rr
rr
C
gz
g
p
rv
vg
C
r
p
gr
z
gvCr
p
r
zg
01
:/0
rC
g
hzg
p
Odpowiada wysokości piezometrycznej „h”
r
hkv rr
W konsekwencji otrzymamy wzór identyczny do wzoru otrzymanego prze Darcy’ego w drodze eksperymentu
![Page 17: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/17.jpg)
z
r
r
FOrG
G
F1
2
n
)(rp
)( rrp
r
r
z
rzr
zrz
),cos(
Współczynnik „kr” oznacza współczynnik filtracji na kierunku „r”.
Z zależności wynika ,że
współczynnik filtracji zależy od właściwości ośrodka określonych przez współczynnik oporu „Cr” oraz od lepkości cieczy.
v
g
CC
gk
rrr
1
Odwrotność współczynnika oporu nazywamy współczynnikiem przepuszczalności
21m
CK
r
![Page 18: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/18.jpg)
z
r
r
FOrG
G
F1
2
n
)(rp
)( rrp
r
r
z
rzr
zrz
),cos(
Współczynnik filtracji ma wymiar prędkości, współczynnik przepuszczalności wymiar powierzchni.
W praktyce za jednostkę współczynnika przepuszczalności przyjmuje się 1 darcy (D) =0,987 *10-8 cm2
W prostokątnym układzie współrzędnych składowe prędkości w kierunkach x,y,z wynoszą:
z
hkv
y
hkv
x
hkv zzyyxx
v
gK
gKk
v
gK
gKk
Między współczynnikiem filtracji a przepuszczalności zachodzi zależność :
![Page 19: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/19.jpg)
Powyżej założono, że ośrodek jest jednorodny ( homogeniczny), co oznacza ,że wzdłuż dowolnego kierunku wartość współczynnika filtracji jest stała.
Dla ośrodka niejednorodnego ( we współrzędnych cylindrycznych)
hkr
vr
Kierunek przepływu pokrywa się z linią największego spadku hydraulicznego, a prędkość filtracji wynosi :
hgradkv
![Page 20: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/20.jpg)
Zakres ważności Prawa Darcy’ego
Zakres ważności Prawa Darcy’ego
Przy wyprowadzaniu wzoru Darcy’ego w równaniu równowagi sił jako siłę oporu ruchu uwzględniono siły tarcia laminarnego, wynikające z lepkości cieczy.
Oznacza to, że prawo Darcy’ego traci swoją ważność wszędzie tam , gdzie poza tarciem laminarnym występują dodatkowe siły oporu , w szczególności siły powierzchniowe ( molekularne), bezwładności oraz tarcia burzliwego.
![Page 21: Wykład nr 10](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081511/5681436d550346895dafee42/html5/thumbnails/21.jpg)
Wykład nr 10
OCHRONA WÓD
PODZIEMNYCH
OCHRONA WÓD
PODZIEMNYCH
DYNAMIKA WÓD PODZIEMNYCH
1.Liniowe prawo filtracji – prawo Darcy’ego
2.Zakres ważności prawa Darcy’ego
DYNAMIKA WÓD PODZIEMNYCH
1.Liniowe prawo filtracji – prawo Darcy’ego
2.Zakres ważności prawa Darcy’ego
Na podstawie podręcznika „HYDROGEOLOGIA z podstawami geologii”, Jerzy KOWALSKI, WUP, Wrocław 2007
OPRACOWAŁdr hab.inż.Wojciech Chmielowski prof.PK
Instytut Inżynierii i Gospodarki WodnejZakład Gospodarki Wodnej, PK