wytrzymaŁo ŚĆ materiaŁów - wzwm.pwr.wroc.pl · pdf file3 za miar ę...
TRANSCRIPT
1
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
ZMĘCZENIE MATERIAŁÓW
ObniŜanie się własności wytrzymałościowych materiału poddanego obciąŜeniom
zmiennym prowadzącym w konsekwencji do zniszczenia, po określonej liczbie
zmian obciąŜenia, nazywa się zmęczeniem.
Przebieg obciąŜeń zmiennych ma zazwyczaj charakter losowy, podyktowany
warunkami eksploatacji urządzenia. Istnieją jednak przebiegi obciąŜeń o identycznie powtarzających się wielkościach i częstościach występowania
w stałych przedziałach czasu. Najprostszym przypadkiem tego rodzaju
obciąŜenia jest obciąŜenie sinusoidalnie zmienne. W cyklu napręŜeń zmiennych
sinusoidalnie wyróŜniamy (rys. 1):
− napręŜenie maksymalne cyklu σmax i napręŜenie minimalne cyklu σmin
− amplitudę napręŜenia cyklu σa
− napręŜenie średnie cyklu σm
− okres zmiany napręŜeń T lub jego odwrotność - częstotliwość f
Wymienione napręŜenia powiązane są następującymi zaleŜnościami:
22
minmaxminmax σσσ
σσσ
−=
+= am
Zakres zmiany napręŜeń minmax2 σσσσ −==∆ a
W cyklu jednostronnym napręŜenia zmieniają swoją wartość, ale zachowują ten
sam znak. Szczególnym przypadkiem tego cyklu jest cykl odzerowo tętniący,
dla którego σmax lub σmin =0 oraz σm = σa. W cyklu dwustronnym napręŜenia
zmieniają wartość i znak. Szczególnym przypadkiem jest tu cykl wahadłowy,
w którym σmax = ׀σmin ׀ = σa, a zatem σm = 0. Jest to cykl symetryczny.
Wszystkie inne cykle jednostronne i dwustronne są cyklami niesymetrycznymi
o róŜnych co do wartości σmax i σmin, czyli o σm ≠ 0. Niesymetryczność cyklu
opisuje współczynnik asymetrii cyklu R.
2
max
min
σ
σ=R
W obliczeniach konstrukcyjnych i w badaniach zmęczeniowych uŜywa się takŜe
współczynnika stałości obciąŜenia
a
m
σ
σκ =
przy czym 1
1lub
1
1
+
−=
−
+=
κ
κκ R
R
R
Cykle o jednakowych współczynnikach R nazywają się cyklami podobnymi.
Wszystkie podane wzory obowiązują równieŜ dla zmiennego skręcania, jeŜeli
zamiast napręŜenia normalnego σ wstawi się napręŜenia styczne (skręcające) τ.
Rys. 1. Sinusoidalny przebieg napręŜeń zmiennych.
3
Za miarę wytrzymałości zmęczeniowej przyjmuje się pojawienie złomu
zmęczeniowego. Wytrzymałość zmęczeniowa nieograniczona jest taką wartością cyklu zmęczeniowego, która nie spowoduje złomu, mimo iŜ liczba cykli wzrasta
nieograniczenie. Granicą zmęczenia lub wytrzymałością zmęczeniową ZG
nazywa się największe napręŜenie σmax, przy którym próbka czy element nie
ulegną zniszczeniu po osiągnięciu umownej granicznej liczby cykli NG. Ta
liczba cykli, zwana równieŜ bazową liczbą cykli, wynosi 10 × 106 cykli dla stali
i innych stopów Ŝelaza i 100 × 106 cykli dla stopów metali nieŜelaznych.
Granicę zmęczenia przy wahadłowym zginaniu oznacza się jako Zgo, przy
odzerowo tętniącym zginaniu Zgj, przy skręcaniu odpowiednio jako Zso i Zsj, przy
wahadłowym rozciaganiu-ściskaniu jako Zrc, przy odzerowo tętniącym
rozciąganiu Zrj, przy odzerowo tętniącym ściskaniu Zcj.
WYKRESY WÖHLERA
Wykresy wytrzymałości zmęczeniowej Wöhlera uzyskuje się doprowadzając
określoną liczbę próbek wzorcowych do zniszczenia, zmieniając σa dla ustalonej
wartości σm lub rzadziej zachowując stałość współczynnika asymetrii cyklu R.
KaŜdej wartości σa lub σmax = σa + σm odpowiada liczba cykli niszczących N,
jeśli napręŜenie σa nie obniŜy się do poziomu granicy zmęczenia ZG przy
osiągnięciu bazowej liczby cykli NG. W najczęściej stosowanym układzie
współrzędnych σ, logN wykres zmęczeniowy jest linią prostą łamaną (rys. 2a).
Punkt załamania lub punkt przecięcia się obydwóch odcinków wykresu
wyznacza teoretyczną, graniczną liczbę cykli NO, która w róŜnym stopniu moŜe
odbiegać od przyjętej bazowej liczby cykli NG. Podobny charakter ma wykres
we współrzędnych logσ, logN (rys. 2b). Niezbędne do konstrukcji wykresów
wyniki badań zmęczeniowych opracowywane są statystycznie.
4
Rys. 2. Wykresy zmęczeniowe Wöhlera dla obrotowo zginanych próbek z normalizowanej
stali 45 w układzie σ, logN (a) i logσ, logN (b).
Lewa gałąź wykresu Wöhlera zamyka obszar napręŜeń większych od granicy
zmęczenia: obszar ograniczonej wytrzymałości zmęczeniowej; obszar poniŜej
poziomu granicy zmęczenia bywa nazywany obszarem nieograniczonej
wytrzymałości zmęczeniowej.
Na omówionych wykresach brakuje ich początkowej części. Na pełnym
wykresie Wöhlera początek układu odpowiada ¼ cyklu i zakłada się równość napręŜenia niszczącego dla tej części cyklu z wytrzymałością przy obciąŜeniu
statycznym (rys. 3).
Rys. 3. Pełny wykres Wöhlera (a) oraz wykres plastycznych wydłuŜeń próbek λ (b) w ujęciu
schematycznym.
5
Obszar I w przedziale liczby cykli od ¼ do około 103÷10
4 nazwa się obszarem
pękania quasi-statycznego lub wytrzymałości quasi-statycznej. W obszarze II
i III zniszczenie elementów następuje poprzez sukcesywne narastanie zmian
i uszkodzeń zmęczeniowych. W obszarze II w zakresie od około 104 do 10
5
cykli pękanie zachodzi przy wysokich napręŜeniach (istotne odkształcenia
plastyczne). Obszar II określa się jako obszar wytrzymałości niskocyklowej lub
niskocyklowego zmęczenia. W obszarze III pękanie występuje przy małych
napręŜeniach w przedziale większych liczb cykli (105÷10
7) przy zanikających
odkształceniach plastycznych (w sensie makro). Stąd nazwa obszaru III jako
obszaru wytrzymałości wysokocyklowej lub wysokocyklowego zmęczenia.
Obszar ten odpowiada lewej części klasycznego wykresu Wöhlera.
WYKRES SMITHA, WYKRES HAIGHA
Średnie napręŜenie cyklu σm (ustalone na wykresie Wöhlera) wywierające
istotny wpływ na granicę zmęczenia, uwzględnia między innymi wykres
Smitha. Jest to wykres granicznych napręŜeń cyklu w układzie σmax i σmin, σm,
lub granicznych amplitud cyklu σa, σm. Konstrukcję wykresu Smitha
z dodatkową osią l nachyloną względem osi σm pod kątem 45° przedstawiono na
rysunku 4.
Rys. 4. Wykres Smitha.
6
Na podstawie wykresu Wöhlera określamy wartości σm, σa odpowiadające
granicy trwałej wytrzymałości zmęczeniowej dla danego cyklu. Na osi x
odkładamy wartość σm(A), przez ten punkt prowadzimy odciętą aŜ do przecięcia
się z osią pomocniczą, otrzymując punkt B. Od punktu B odkładamy odcinki BC
i BD proporcjonalnie do wartości σa. Z zaleŜności geometrycznych
stwierdzamy, Ŝe rzędne punktów C i D określają na osi y wartości σmin i σmax,
gdyŜ σmin = σm − σa, zaś σmax = σm + σa.
Na wykresie Smitha łatwo zauwaŜyć cykle charakterystyczne. I tak punkty EF
wyznaczają cykl wahadłowy ׀σm = 0׀, zaś punkty GH – cykl pulsujący
(odzerowo tętniący) ׀σm׀ = ׀σa׀. Z punktu widzenia praktyki konstrukcyjnej,
musimy ograniczyć wykres Smitha wartościami napręŜeń, dla których
σm + σa = Re, gdyŜ wejście w stan plastyczny jest dla większości konstrukcji
niedopuszczalne. Dokonując dalszych uproszczeń, a mianowicie zastępując
słabo wypukły odcinek wykresu między wytrzymałością wahadłową a tętniącą odcinkiem prostym, dochodzimy do praktycznego wykresu Smitha,
zbudowanego na podstawie znajomości, np. Zrc, Zrj, Re (rys. 5).
Rys. 5. Praktyczny wykres Smitha.
Wykres Haigha jest zbudowany w sposób identyczny jak wykres Smitha, z tym
Ŝe osiom x i y przyporządkowujemy bezpośrednio wartości σm, i σa (rys. 6), jest
on zatem jak gdyby połową wykresu Smitha leŜącą ponad linią wartości
średnich.
7
Rys. 6. Wykres Higha.
CZYNNIKI WPŁYWAJĄCE NA WYTRZYMAŁOŚĆ ZMECZENIOWĄ
Współczynnik kształtu αk
W miejscu zmiany kształtu lub wymiarów obciąŜonych elementów następuje
zmiana rozkładu napręŜeń określona tzw. współczynnikiem kształtu αk
n
kσ
σα max=
gdzie: σmax – jest napręŜeniem maksymalnym związanym z istnieniem zmian
kształtu,
σn – jest napręŜeniem nominalnym obliczonym z konwencjonalnych
wzorów wytrzymałościowych dla najbardziej osłabionego
przekroju przedmiotu.
Odpowiednio w przypadku skręcania
n
kτ
τα max=
Wartości współczynnika kształtu αk dla zmian przekroju najczęściej
spotykanych w budowie maszyn, ujęte są najczęściej w formie wykresów
(przykład – rys. 7 i 8).
8
Rys. 7. Współczynnik kształtu αk przy skręcaniu próbki okrągłej z odsadzeniem.
Rys. 8. Współczynnik kształtu αk przy rozciąganiu płaskiej próbki z otworem.
9
Aby wyznaczyć współczynnik kształtu αk za pomocą wyŜej pokazanych
wykresów, naleŜy między innymi znać promień dna karbu, tj. minimalny
promień w miejscu nagłej zmiany kształtu przedmiotu. W przypadku ostrych
podcięć promień ρ oblicza się ze wzoru mk ρρρ += , przy czym ρk jest
promieniem rzeczywistym (konstrukcyjnym) dna karbu, ρm – promień minimalny dna karbu (wartość tego promienia naleŜy odczytać z wykresu –
rysunek 9).
Rys. 9. Promień minimalny (graficzny) ρm dla stali konstrukcyjnej.
Dla dostatecznie duŜych promieni dna karbu, gdy ρk > 5mm, promienia
minimalnego ρm moŜna nie uwzględniać, przyjmując kρρ = .
Współczynnik działania karbu βk
Działanie karbu w konkretnych elementach konstrukcyjnych musi być inne, niŜ w materiale modelowym o liniowej spręŜystości. Dlatego teŜ wprowadzono
praktyczną miarę wpływu spiętrzenia napręŜeń na wytrzymałość zmęczeniową, która jest współczynnikiem działania karbu βk, zwanym współczynnikiem karbu.
Współczynnik βk jest stosunkiem wytrzymałości zmęczeniowej próbki gładkiej
Zgł do wytrzymałości zmęczeniowej próbki z karbem Zk
k
gl
kZ
Z=β
10
Współczynnik βk powiązany jest z łatwiej wyznaczalnym współczynnikiem αk
zaleŜnością
( )11 −+= kkk αηβ
gdzie ηk – współczynnik wraŜliwości materiału na działanie karbu.
Współczynnik ten wynosi:
− dla szkła ηk = 1
− dla stali w stanie ulepszonym cieplnie ηk = 0,7÷1,0
− dla stali w stanie surowym ηk = 0,5÷0,9
− dla stali w stanie wyŜarzonym ηk = 0,4÷0,8
− dla Ŝeliwa szarego ηk ≈ 0
Wartości liczbowe współczynnika ηk dla stali moŜna odczytać np. z wykresu
(rys. 10)
Rys. 10. Współczynnik wraŜliwości na działanie karbu ηk dla stali konstrukcyjnych.
11
Współczynnik stanu powierzchni βp
Współczynnik stanu powierzchni βp charakteryzuje zmianę wytrzymałości
próbki polerowanej Zp w porównaniu z wytrzymałością Znp elementu po róŜnej
obróbce skrawaniem
np
p
pZ
Z=β
Wartości liczbowe współczynnika stanu powierzchni βp odczytać moŜna
z wykresów (przykład – rys. 11).
Rys. 11. Współczynnik stanu powierzchni dla stalowych części rozciąganych i zginanych βp
oraz skręcanych βps, 1 – obróbka szlifowaniem 2 – staranne toczenie, 3 – zwykłe toczenie,
4 – ostry karb o kącie rozwarcia 60° i głębokości 0,1mm na próbce o średnicy 7,5mm,
5 – cześć pokryta naskórkiem walcowniczym.
W przypadku skręcania współczynnik stanu powierzchni jest dla stali znacznie
mniejszy niŜ dla pozostałych przypadków obciąŜeń. Dla części toczonych moŜna przyjąć:
− dla Ŝeliwa (po usunięciu naskórka odlewniczego) βp = 1
− dla duraluminium βp = 1,1÷1,2
− dla stopów magnezu βp = 1,25÷1,4
12
Współczynnik spiętrzenia napręŜeń β
Łączny wpływ działania karbu i stanu powierzchni danego elementu maszyn
uwzględnia współczynnik spiętrzenia napręŜeń β, określony jako iloczyn
współczynników cząstkowych pk βββ = lub określony zaleŜnością
1−+= pk βββ
W przypadku ostrych karbów współczynnik βp moŜna całkowicie pominąć.
Współczynnik wielkości przedmiotu γ
Wpływ wielkości przedmiotu charakteryzuje współczynnik
d
w
Z
Z=γ
gdzie Zd jest wytrzymałością próbki o dowolnej średnicy, a Zw – próbki z tego
samego materiału o średnicy 7÷10mm.
Wartości liczbowe współczynnika γ moŜna odczytać z wykresów (przykład –
rys. 12).
Rys. 12. Współczynnik wielkości przedmiotu γ dla elementów stalowych.
13
LITERATURA
[1] S. Kocańda, J. Szala: Podstawy obliczeń zmęczeniowych, PWN,
Warszawa 1985.
[2] M. E. Niezgodziński, T. Niezgodziński: Obliczenia zmęczeniowe
elementów maszyn, PWN, Warszawa 1973.
[3] Praca zbiorowa (Tłumaczył A. Turno): Zmęczenie metali, Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, Warszawa 1962.
[4] Normy: PN-H-04662:1984 – śeliwo i staliwo - Badania na zmęczenie.
PN-H-04327:1974 – Badanie metali na zmęczenie - Próba osiowego
rozciągania-ściskania przy stałym cyklu obciąŜeń zewnętrznych. PN-H-
04326:1976 – Badanie metali na zmęczenie - Próba zginania. PN-H-
04325:1976 – Badanie metali na zmęczenie - Pojęcia podstawowe
i ogólne wytyczne przygotowania próbek oraz przeprowadzenia prób. PN-
EN 1993-1-9:2007 – Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych -
Część 1-9: Zmęczenie. PN-EN 1999-1-3:2007 Eurokod 9 - Projektowanie
konstrukcji aluminiowych - Część 1-3: Konstrukcje naraŜone na
zmęczenie.
14
PODSTAWY OBLICZEŃ ZMĘCZENIOWYCH (W ZAKRESIE NIEOGRANICZONEJ WYTRZYMAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ)
Obliczenia wytrzymałościowe dla prostego stanu napręŜenia
Obliczenia te sprowadzają się do spełnienia następujących warunków:
1. W przypadku symetrycznego cyklu obciąŜenia
)1(zw
a
O
z xZ
x ≥=βγσ
2. W przypadku niesymetrycznych cykli obciąŜenia
a) dla schematu wzrostu obciąŜeń σa/σm = const
)2(
12
zw
j
Oma
O
z x
Z
Z
Zx ≥
−+
=
σβγσ
b) dla schematu wzrostu obciąŜeń przy stałych napręŜeniach średnich
σm = const
)3(
12
zw
ma
j
OmO
z xZ
ZZ
x ≥+
−+
=σβγσ
σ
,
przy czym w obu powyŜszych przypadkach a) i b) musi być spełniony warunek
)4(zw
ma
e
z xR
x ≥+
=σβγσ
15
gdzie:
xz – zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa;
ZO – wytrzymałość zmęczeniowa przy napręŜeniach dwustronnie
zmiennych (cykl symetryczny oscylujący) i danego rodzaju napręŜeń (dla rozciągania – ściskania Zrc, dla zginania Zgo, dla skręcania Zso);
Zj – wytrzymałość zmęczeniowa dla cyklu jednostronnie zmiennego
i danego rodzaju napręŜeń (tj. Zrj, Zgj, lub Zsj);
σm – średnia wartość napręŜeń nominalnych (średnie napręŜenie cyklu);
σa – amplituda zmian napręŜeń obliczona dla obciąŜeń nominalnych;
β – współczynnik spiętrzenia napręŜeń;
γ – współczynnik wielkości przedmiotu;
Re – granica plastyczności materiału dla danego rodzaju napręŜeń (tj. Rer,
Reg, Res);
xzw – wymagany zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa (z braku
bliŜszych danych moŜna go obliczyć jako iloczyn współczynników
cząstkowych):
4321 xxxxxzw =
x1 = 1,1÷2,0 współczynnik pewności załoŜeń, x2 = 1,1÷1,5 współczynnik waŜności przedmiotu,
x3 = 1,1÷1,7 współczynnik jednorodności materiału,
x4 = 1,1÷1,2 współczynnik zachowania wymiarów,
W innych przypadkach jednostronnych cykli obciąŜeń (nie objętych schematem
a i b), w których wzrost obciąŜeń przebiega w sposób dowolny, określony
ogólną funkcją σ = f(σm) – zmęczeniowy wsp. bezpieczeństwa xz naleŜy
obliczać wg schematu b).
16
Obliczenia wytrzymałościowe dla złoŜonego stanu napręŜenia
Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku zmęczeniowego rozciągania
i zginania.
W przypadku występowania nakładających się (tj. jednakowo skierowanych)
napręŜeń normalnych od rozciągania i od zginania wyznaczamy amplitudę σaw
cyklu wypadkowego ze wzoru empirycznego:
(*)arrr
rc
go
agggawZ
Zσγβσγβσ +=
.
W przypadku cyklu obustronnie zmiennego (symetrycznego) zmęczeniowy
współczynnik bezpieczeństwa wyrazi się wzorem
zw
aw
go
z xZ
x ≥=σ
Dla dowolnego cyklu napręŜenie średnie cyklu wypadkowego przyjmuje się
mgmrmw σσσ +=,
a współczynnik bezpieczeństwa określony jest zaleŜnościami:
a) dla przypadku, gdy przy wzroście obciąŜeń amplitudy napręŜenia są proporcjonalne do napręŜeń średnich σa/σm = const
zw
gj
go
mwaw
go
z x
Z
Z
Zx ≥
−+
=
12
σσ
b) dla przypadku, gdy napręŜenia średnie cykli są stałe przy wzroście
obciąŜeń (σm = const), oraz dla przypadków, gdy nie ma pewności, Ŝe
słuszny jest schemat a)
17
zw
mwaw
gj
go
mwgo
z xZ
ZZ
x ≥+
−+
=σσ
σ 12
,
przy czym w obu powyŜszych przypadkach naleŜy równieŜ sprawdzić warunek
zw
mwaw
eg
z xR
x ≥+
=σσ .
W przypadku gdy amplitudy napręŜeń od rozciągania σar są znacznie większe
od σag, zamiast wzoru (*) moŜna stosować analogiczny wzór przybliŜony,
redukujący napręŜenia od zginania do napręŜeń od rozciągania:
aggg
go
rcarrraw
Z
Zσγβσγβσ +=
,
a następnie przeprowadzić obliczenia według powyŜszych wzorów, w których
zamiast własności dotyczących zginania podstawić odpowiednio Zrc, Zrj, Rer,
gdzie: σar – amplituda napręŜeń nominalnych przy rozciąganiu,
σag – amplituda napręŜeń nominalnych przy zginaniu,
σmr, σmg – nominalne napręŜenie średnie przy rozciąganiu, zginaniu,
βr, βg – współczynnik spiętrzenia β napręŜeń rozciągających, zginających,
γr, γg – współczynnik wielkości przedmiotu (na ogół γg = γr = γ), Zgo, Zgj – wytrzymałość zmęczeniowa materiału na zginanie
obukierunkowe, jednokierunkowe),
Zrc, Zrj – wytrzymałość zmęczeniowa materiału na symetryczne
rozciąganie-ściskanie i na jednokierunkowe rozciąganie,
σaw, σmw – amplituda i napręŜenie średnie cyklu wypadkowego
Rer, Reg – granica plastyczności (na rozciąganie, zginanie),
xzw – wymagany zmęczeniowy wsp. bezpieczeństwa.
18
Obliczenia wytrzymałościowe w przypadku zmęczeniowego działania napręŜeń normalnych i napręŜeń stycznych.
W przypadku jednoczesnego zmęczeniowego działania napręŜeń normalnych od
rozciągania (ściskania, zginania) oraz napręŜeń tnących od skręcania (ścinania)
zmęczeniowy wsp. bezpieczeństwa xz wyznacza się ze wzoru
22
zszr
zszr
z
xx
xxx
+=
gdzie:
xzr – współczynnik bezpieczeństwa dla rozciągania (lub zginania czy
ściskania) liczony wg wzoru (1) gdy występuje cykl symetryczny, lub wg
wzorów (2-4) dla cyklu niesymetrycznego;
xzs – współczynnik bezpieczeństwa dla skręcania (lub ścinania), liczony ze
wzorów (1-4), w których zamiast napręŜeń normalnych σ naleŜy wstawić napręŜenia tnące τ.
19
PRZYKŁADY
Zadanie 1.
Obliczyć wymaganą średnicę D pręta osłabionego otworem jak na rysunku,
rozciąganego siłą osiową, zmienną od 0 do 50kN. Pręt wykonany został w piątej
klasie chropowatości (∆5), ze stali St3. Wymagany zmęczeniowy współczynnik
bezpieczeństwa wynosi xzw = 1,5.
Rozwiązanie
Obliczenia wstępne
Niebezpiecznym przekrojem pręta jest przekrój A-A, którego pole wynosi
dDD
A −=4
2π
Średnicę pręta wyznaczamy z warunku, aby napręŜenie maksymalne nie
przekroczyło wartości napręŜeń dopuszczalnych przy cyklu jednostronnie
zmiennym (tętniącym)
rjk
dDD
P≤
−4
2
max
π
stąd
P P
D
d = 30mm
A
A
20
++=
rjkd
PdD
2
max112 π
π
Dla stali St3 wartości napręŜeń dopuszczalnych krj znajdujemy w tabelach (krj =
65÷100MPa). Do obliczeń wstępnych przyjmujemy wartość krj = 65MPa, zatem
mmD 566530
5000014,311
14,3
3022
=
⋅
⋅++
⋅=
oraz
22
7,7814
mmdDD
A =−=π
Maksymalne napręŜenia w przekroju A-A wynoszą
MPa
dDD
P64
56304
5614,3
50000
4
22
maxmax =
⋅−⋅
=
−
=π
σ
NapręŜenie minimalne σmin = 0MPa, a napręŜenie średnie
MPam 322
064
2
minmax =+
=+
=σσ
σ
Amplituda cyklu napręŜeń ma wartość
MPaa 322
064
2
minmax =−
=−
=σσ
σ
21
Obliczenia sprawdzające
PoniewaŜ siła obciąŜająca pręt, wzrastająca od zera do Pmax, jest siłą tętniącą, jest oczywiste, Ŝe obciąŜenie pręta przez wzrost siły P zachodzi z zachowaniem
wartości minimalnej równej zeru. Natomiast przy zmianie (wzroście) obciąŜenia
zmienia się zarówno wartość σmax, jak teŜ wartość napręŜeń średnich σm oraz
amplitudy σa, natomiast stosunek σm / σa = 1 pozostaje wartością stałą i σm / σa
= const.
Jest to więc cykl o stałym stosunku napręŜeń średnich do amplitudy i do
obliczenia zmęczeniowego współczynnika bezpieczeństwa skorzystamy ze
wzoru
zw
j
Oma
O
z x
Z
Z
Zx ≥
−+
=
12
σβγσ
Wartości wytrzymałości zmęczeniowej dla stali St3 przy róŜnych cyklach
obciąŜenia znajdujemy w tablicach (Zrc = 130MPa, Zrj = 210MPa, Zgo =
170MPa, Rm = 430MPa, Re = 240MPa).
Obliczamy wartość współczynnika spiętrzenia napręŜeń ze wzoru
( )pkk βαηβ ]11[ −+=
Współczynnik stanu powierzchni βp dla stali St3 o wytrzymałości doraźnej na
rozciąganie Rm = 430MPa i dla 5 klasy chropowatości powierzchni βp = 1,1
(odczytane z odpowiedniego wykresu). Współczynnik wraŜliwości materiału na
działanie karbu ηk dla stali St3 o Zgo = 170MPa, w stanie surowym ηk = 0,66
(odczytane z odpowiedniego wykresu).
Współczynnik kształtu αk znajdujemy z wykresu. Promień minimalny dla stali
Rm = 430MPa wynosi (odczytane z odpowiedniego wykresu) ρm = 0,73mm, więc
obliczeniowa średnica otworu jest równa sumie średnicy konstrukcyjnej d
i podwojonego promienia minimalnego
mmdd mo 5,3173,02302 =⋅+=+= ρ
22
Dla stosunku do/D = 0,59 wsp. αk = 1,9. Współczynnik spiętrzenia napręŜeń wynosi więc
( ) 68,11,1]19,166,01[ =−+=β
Współczynnik wielkości przedmiotu γ dla stali o Zgo = 170MPa, αk = 1,9 oraz
dla pola powierzchni przekroju poprzecznego A = 781,7mm2, odczytany
z wykresu wynosi γ = 1,28.
Po podstawieniu danych, zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa ma
wartość
5,17,1
1210
1302323228,168,1
130>=
−
⋅+⋅⋅
=zx
Jednocześnie sprawdzenia wymaga drugi warunek, określony wzorem
zw
ma
e
z xR
x ≥+
=σβγσ
gdzie Re = 240MPa – granica plastyczności przy rozciąganiu.
38,2323228,168,1
240=
+⋅⋅=zx
Zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa, jako równy mniejszej z dwu
obliczonych powyŜej wielkości, wynosi xzw = 1,7 i jest większy od wymaganego
zmęczeniowego wsp. bezpieczeństwa xzw = 1,5, zatem pręt moŜe pracować bezpiecznie.
Wykonajmy ponowne obliczenia zmęczeniowego wsp. bezpieczeństwa na
podstawie wykresu Smitha. Sporządzimy uproszczony wykres Smitha na
rozciąganie dla stali St3. Dane do wykresu: Zrc = 130MPa, Zrj = 210MPa,
Re = 240MPa.
23
W prostokątnym układzie współrzędnych na osi poziomej odkładamy
napręŜenie średnie cyklu σm, a na osi pionowej napręŜenia maksymalne σmax
i minimalne σmin cyklu.
Konstrukcja wykresu Smitha.
Na wykresie nanosimy następujące punkty i linie:
1. punkty A i G, odpowiadające wytrzymałości zmęczeniowej na rozciąganie
przy cyklu symetrycznym (σm = 0);
2. punkty B i F, odpowiadające cyklowi jednostronnemu (tętniącemu);
poniewaŜ przy cyklu jednostronnym napręŜenia średnie mają wartość połowy napręŜeń maksymalnych, zatem odcięta tych punktów wynosi
0,5 Zrj, a rzędna odpowiednio Zrj i zero: OF = 0,5 Zrj, FB = Zrj;
3. przez punkty A i B oraz G i F prowadzimy proste, które stanowią odpowiednio górną i dolną gałąź wykresu Smitha;
4. prowadzimy z punktu 0 pod katem 45° prostą OD;
D
F
B
C
E
A
σm
σmax [MPa]
G
200
Re
200 100
Zrc
N
M
K
O
L
Z=
17
1M
Pa
σm=32MPa
σm
σ
az
24
5. prowadzimy prostą poziomą o rzędnej równej granicy plastyczności Re; na
przecięciu tej linii z prostą AB powstaje punkt C, z prostą zaś nachyloną pod katem 45° punkt D;
6. na prostej GF znajdujemy punkt E o odciętej równej odciętej punktu C;
7. łączymy punkt E oraz D i otrzymujemy wykres Smitha ACDEG.
Na wykres ten nanosimy punkty odpowiadające danemu cyklowi obciąŜeń. NapręŜenie średnie cyklu wynosi σm = 32MPa i wartość ta określa połoŜenie
punktów K i L; OK = KL = σm = 32MPa. Amplituda napręŜeń zmęczeniowych
σaz (z uwzględnieniem wpływu karbu i wielkości przedmiotu) wynosi
MPaaaz 8,683228,168,1 =⋅⋅== σγβσ
NapręŜeniu temu odpowiada odcinek LM, a maksymalnemu napręŜeniu
z uwzględnieniem zmęczenia
MPamazaz 8,100328,68max =+=+= σσσ
odpowiada odcinek KM.
Wytrzymałość zmęczeniową dla tego cyklu znajdziemy przy omówionym
poprzednio załoŜeniu, Ŝe stosunek amplitudy do napręŜeń średnich jest stały
σm/σa = const. W tym celu przez punkt O i M prowadzimy prostą, aŜ do
przecięcia z prostą AB otrzymując punkt N, którego rzędna odpowiada wartości
wytrzymałości zmęczeniowej Z = 171MPa.
Zmęczeniowy współczynnik bezpieczeństwa jest równy stosunkowi
wytrzymałości zmęczeniowej do napręŜeń maksymalnych z uwzględnieniem
zmęczenia
7,18,100
171
max
===z
z
Zx
σ
Otrzymaliśmy wartość zmęczeniowego wsp. bezpieczeństwa taką samą jak
poprzednio. PoniewaŜ linia ON przecina odcinek AC, więc dla danego
przypadku obciąŜeń o wytrzymałości pręta decyduje wytrzymałość zmęczeniowa Z (a nie granica plastyczności Re, jak byłoby to w przypadku,
gdyby prosta ON przecinała odcinek CD). Obliczanie zmęczeniowego wsp.
bezpieczeństwa względem granicy plastyczności jest więc w danym przypadku
zbędne.