xÁc suẤt thỐng kÊ - nnquan.files.wordpress.com · có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 10...

ĐÀO HOÀNG DŨNG

BÀI TẬP

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

- 2016 -

Bài tập Xác suất Thống kê Đào Hoàng Dũng

1

Chương 1

Biến cố và xác suất

Tính xác suất bằng định nghĩa. Mối quan hệ giữa các biến cố

1. Một người gọi điện thoại cho bạn nhưng quyên mất ba chữ số cuối và chỉ nhớ rằng chúng

khác nhau. Tìm xác suất để người đó quay một lần được đúng số điện thoại của bạn.

2. Một công ty cần tuyển ba nhân viên. Có 30 người nộp đơn, trong đó có 18 nam và 12 nữ.

Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 30 người là như nhau.

a) Tính xác suất để 3 người trúng tuyển đều là nam.

b) Tính xác suất để cả 3 người trúng tuyển đều là nữ.

c) Tính xác suất để có ít nhất một nữ trúng tuyển.

3. Có 10 khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy. Tính xác suất để có 3 người

vào quầy số 1.

4. Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách bước lên tàu. Mỗi hành khách độc

lập với nhau chọn ngẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất một hành khách

mới bước lên tàu.

5. Tìm xác suất để gặp ngẫu nhiên ba người không quen biết nhau ở ngoài đường (giả thiết

những người này đều không sinh vào năm nhuận) thì họ:

a) Có ngày sinh nhật khác nhau.

b) Có ngày sinh nhật trùng nhau.

6. Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ. Tính xác suất để:

a) Chỉ có một lá thư bỏ đúng địa chỉ.

b) Cả 3 lá thư đều được bỏ không đúng địa chỉ.

7. Một công ty tham gia đấu thầu 2 dự án. Gọi kA là biến cố công ty đó thắng thầu dự án k

( 1,2)k . Hãy viết bằng kí hiệu các biến cố biểu thị rằng:

a) Công ty chỉ thắng thầu một dự án.

b) Công ty không thắng thầu dự án nào.

8. Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Gọi kA là biến cố người thứ k bắn trúng mục tiêu

( 1,2,3)k . Hãy viết bằng kí hiệu các biến cố biểu thị rằng:

a) Chỉ có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu.

b) Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu.

c) Chỉ có hai người bắn trúng mục tiêu.

d) Có người bắn trúng mục tiêu.


2

Công thức cộng, công thức nhân xác suất

9. Một người mua ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số.

a) Tính xác suất để được vé không có chứ số 1 hoặc không có chữ số 5.

b) Tính xác suất để được vé có chữ số 2 và có chữ số lẻ.

10. Một sinh viên phải thi 3 môn một cách độc lập nhau. Xác suất nhận cùng một điểm số

nào đó ở cả 3 môn đều như nhau. Xác suất để thu được một môn điểm 8 là 0,18, dưới 8 là

0,65, xác suất cả 3 môn đều được điểm 10 là 0,000343. Tính xác suất để sinh viên thi 3

môn được ít nhất là 28 điểm. Điểm thi được cho theo thang điểm 10, không có điểm lẻ.

11. Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 3

sản phẩm. Nếu có phế phẩm trong 3 sản phẩm kiểm tra thì không mua lô hàng. Tính xác

suất lô hàng được mua.

12. Một máy có ba bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để các bộ phận bị hỏng lần

lượt là 0,1; 0,3 và 0,2. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) Có đúng 2 bộ phận bị hỏng.

b) Có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng.

13. Tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 3%. Chọn ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sản

phẩm:

a) Tính xác suất phải chọn đến lần thứ tư mới được phế phẩm.

b) Phải chọn bao nhiêu lần để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn

0,9.

14. Một sinh viên phải thi 6 môn kết thúc học kì. Khả năng thi được trên 5 điểm của mỗi môn

là 0,8 và độc lập nhau. Tính xác suất để trong học kì này người đó:

a) Được 5 môn trên 5 điểm.

b) Được ít nhất 4 môn trên 5 điểm.

15. Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất sản xuất ra một phế phẩm của máy là

0,01.

a) Cho máy xản suất 10 sản phẩm. Tính xác suất có 2 phế phẩm; có ít hơn 3 phế phẩm.

b) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một chính phẩm

trên 0,99.

16. A chơi cờ với B với xác suất thắng mỗi ván là p. Tìm giá trị của p để A thắng chung cuộc

trong bốn ván dễ hơn trong sáu ván. Biết rằng để thắng chung cuộc thì phải thắng ít nhất

1 nửa tổng số ván.


3

17. Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 10 viên đạn vào cùng một bia. Xác suất bắn trúng đích mỗi

lần của 2 xạ thủ tương ứng là 0,7 và 0,8. Tính xác suất:

a) Bia bị trúng đạn.

b) Bia bị trúng 2 viên đạn.

18. Có ba người A, B và C cùng phỏng vấn xin việc ở một công ty. Xác suất trúng tuyển của

mỗi người lần lượt là 0,8; 0,6 và 0,7. Việc trúng tuyển của mỗi người là độc lập.

a) Tính xác suất có hai người trúng tuyển.

b) Biết rằng có hai người trúng tuyển. Tính xác suất để hai người đó là A và B.

19. Theo điều tra của một ngân hàng về sử dụng thẻ tín dụng ở công ty, có 50% dùng thẻ A,

40% dùng thẻ B, 30% dùng thẻ C, 20% dùng thẻ A và B, 15% dùng thẻ A và C, 10%

dùng thẻ B và C, 5% dùng cả ba thẻ A, B, C. Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một

người ở công ty đó, thì:

a) Người ấy dùng ít nhất một trong ba loại thẻ nói trên.

b) Người ấy dùng thẻ B, biết rằng người ấy dùng thẻ A.

20. Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến chào hàng ở công ty Phương Đông ba lần. Xác

suất để lần đầu bán được hàng là 0,8. Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất để lần sau

bán được hàng là 0,9, còn nếu lần trước không bán được hàng thì xác suất để lần sau bán

được hàng chỉ là 0,4. Tìm xác suất để:

a) Cả ba lần đều bán được hàng.

b) Có đúng hai lần bán được hàng.

Công thức xác suất đầy đủ. Công thức Bayes

21. Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9;

của máy thứ hai là 0,85. Từ một kho chứa 1

3 sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy

thứ hai) lấy ngẫu nhiên một sản phẩm để kiểm tra.

a) Tính xác suất lấy được phế phẩm.

b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do máy thứ hai sản

xuất.

22. Trong 20 tờ tiền có 3 tờ giả. Một tờ bị rút đi không rõ thật hay giả. Người ta rút ngẫu

nhiên trong các tờ còn lại một tờ thì được tờ tiền thật. Tìm xác suất để tờ tiền bị rút đi

trước đó là tờ tiền thật.

23. Một tờ tiền giả lần lượt được hai người A và B kiểm tra. Xác suất để người A phát hiện ra

tờ này giả là 0,7. Nếu người A cho rằng tờ này là giả, thì xác suất để người B cũng nhận


4

định như thế là 0,8. Ngược lại, nếu người A cho rằng tờ này là tiền thật thì xác suất để

người B cũng nhận định như thế là 0,4.

a) Tính xác suất để chỉ đúng một trong hai người A hoặc B phát hiện ra tờ này giả.

b) Biết tờ tiền đó đã bị ít nhất một trong hai người này phát hiện là giả, tính xác suất để

A phát hiện ra nó là giả.

24. Một công ty bảo hiểm chia dân cư (đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung

bình, rủi ro cao. Theo thống kê cho thấy tỉ lệ dân cư gặp rủi ro trong 1 năm tương ứng với

các loại trên là: 5%, 10%, 25% và trong toàn bộ dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi ro trung

bình; 30% rủi ro cao.

a) Tính tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm.

b) Nếu một người không gặp rủi ro trong năm thì xác suất người đó thuộc loại ít rủi ro

là bao nhiêu?

25. Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở những chỗ

đó tương ứng là: 0,6; 0,8 và 0,7. Biết rằng ở một chỗ người đó đã thả câu 3 lần và chỉ câu

được một con cá. Tìm xác suất để cá được câu ở chỗ thứ nhất.

26. Xác suất bắn trúng mục tiêu của 3 người đi săn tương ứng là 0,7; 0,6 và 0,5. Ba người

này cùng bắn một con nai và con nai bị trúng 1 viên đạn. Tính xác suất bắn trúng của mỗi

người.

27. Trong một kho rượu số lượng chai rượu loại A và loại B bằng nhau. Người ta lấy ngẫu

nhiên 1 chai rượu trong kho và đưa cho 4 người sành rượu nếm thử để xác định xem đây

là loại rượu nào. Giả sử mỗi người có khả năng đoán đúng là 0,8. Có 3 người kết luận

chai rượu thuộc loại A và một người kết luận chai rượu thuộc loại B. Vậy chai rượu được

chọn thuộc loại A với xác suất bằng bao nhiêu?

28. Trong những hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm, tỉ lệ hộ làm ăn không có lãi là 5%.

Trong các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn không có lãi, tỉ lệ trả nợ ngân

hàng không đúng hạn là 88%. Trong các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn có

lãi, tỉ lệ trả nợ ngân hàng không đúng hạn là 2%.

a) Một hộ đã vay tiền ngân hàng để nuôi tôm, thì xác suất hộ đó không trả nợ ngân hàng

đúng hạn là bao nhiêu.

b) Một hộ nuôi tôm đã không trả nợ ngân hàng đúng hạn, thì xác suất hộ đó làm ăn

không có lãi là bao nhiêu.

29. Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Người ta dùng một thiết bị kiểm tra tự động đạt được

độ chính xác khá cao song vẫn có sai sót. Tỷ lệ sai sót đối với chính phẩm là 4% còn đối

với phế phẩm là 1%. Nếu sản phẩm bị kết luận là phế phẩm thì bị loại.

a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận là chính phẩm mà thực ra là phế phẩm.


5

b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị kết luận là phế phẩm mà thực ra là chính phẩm.

30. Sản phẩm sản xuất ra phải qua hai máy kiểm tra 1 và 2. Nếu được máy 1 chấp nhận thì

mới được chọn để máy 2 kiểm tra tiếp. Sau khi máy 2 chấp nhận thì sản phẩm mới được

đưa ra thị trường. Xác suất máy 1 chấp nhận là 0,9 và xác suất để máy 2 chấp nhận là 0,8.

Biết rằng việc kiểm tra của 2 máy là độc lập.

a) Tính tỉ lệ sản phẩm sản xuất ra không được đưa ra thị trường.

b) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm không được đưa ra thị trường. Tính xác suất để sản

phẩm đó bị loại là do máy 2.

31. Một túi chứa 9 nhẫn bạc và 1 nhẫn vàng. Túi kia có 1 nhẫn bạc và 5 nhẫn vàng. Từ mỗi

túi rút ra ngẫu nhiên một nhẫn. Những chiếc nhẫn còn lại được dồn vào một túi thứ ba.

Từ túi thứ ba này lại rút ngẫu nhiên một chiếc nhẫn. Tính xác suất để ta rút ra được nhẫn

vàng ở túi thứ ba.

HƯỚNG DẪN, ĐÁP SỐ

3.

4. 150

243

6. a)

b)

9. a) Gọi A = “vé có chữ số 1”, B = “vé có chữ số 5”

Xs cần tìm là 5 5

9 8( ) ( ) ( . ) 2

10 10P A B P A P B P A B

b) Gọi C = “vé có chữ số 2”, D = “vé có chữ số lẻ”. Cần tính (CD) 1 (C )P P D

10. 0,002415

13. a) ≈ 0,0274

b) P(“ít nhất một phế phẩm”) = 1 - P(“không có phế phẩm nào”) < 0,9.

Đ/s: ít nhất 76 lần.

16. Cần tìm p để P(“A thắng chung cuộc trong bốn ván”) > P(“A thắng chung cuộc

trong sáu ván”)

2 2 2 3 3 1 4 4 0 3 3 3 4 4 2 5 5 1 6 6 0

4 4 4 6 6 6 6(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )C p p C p p C p p C p p C p p C p p C p p

18. a) Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố người A, B và C trún tuyển. K= “có 2 người

trúng tuyển”.


6

Xs cần tính là ( )P K P ABC ABC ABC , đ/s: 0,452.

b) Xs cần tính là ( ) ( )

( | )( ) ( )

P ABK P ABCP AB K

P K P K , đ/s:

36

113

23. Gọi A, B lần lượt là các biến cố người A, B phát hiện tiền giả. Từ giả thiết có: P(A) =

0,7,

P(B|A) = 0,8, ( | ) 0,4.P B A

a) Cần tính P( AB AB )

b) Gọi K = “ít nhất một trong hai người phát hiện tờ tiền là giả”, cần tính

( ) ( )( | )

( ) ( )

P AK P AB ABP A K

P K P K

,tương tự ý b bài 18.

24. Chọn ngẫu nhiên một người. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người được chọn

thuộc loại ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao. Suy ra, H1, H2, H3 lập nên một

nhóm đầy đủ các biến cố.

Gọi A = “chọn được người gặp rủi ro”.

a) Tính P(A) bằng công thức xs đầy đủ. Tính được P(A) = 0,135. Suy ra, tỉ lệ dân gặp

rủi ro trong một năm là 13,5%.

b) Xác suất cần tính là P(H1| ̅), sử dụng công thức Bayes để tính.

25. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người đó chọn câu chỗ thứ nhất, thứ hai và thứ

3 tương ứng. Suy ra, H1, H2, H3 lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố.

Gọi A = “thả câu ba lần và chỉ câu được 1 con cá”, tính P(A) theo công thức xs đầy

đủ, các xs P(A|Hi) có thể tính theo công thức Becnulli.

Xác suất cần tính là: P(H1|A), sử dụng công thức Bayes để tính xs này.

26. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba

bắn trúng mục tiêu. A = “con nai bị trúng một viên đạn” = 1 2 3 1 2 3 1 2 3H H H H H H H H H .

Cần tính các xác suất P(H1|A), P(H2|A) và P(H3|A)

27. Gọi A = “chai rượu lấy ra thuộc loại A”, B = “chai rượu lấy ra thuộc loại B”, K =

“3 người kết luận chai rượu loại A và 1 người kết luận loại B”. XS cần tính là

P(A|K), tính xs này theo công thức Bayes (nhóm đầy đủ các biến cố là A, B).

Chú ý, biến cố (K|A) = “3 người kết luận đúng và 1 người kết luận sai” và (K|B) = “3

người kết luận sai và một người kết luận đúng” do đó các xs P(K|A) và P(K|B) có thể

tính theo công thức Becnulli.

Đ/s: 16

( | )17

P A K


7

31. Gọi H1 = “Hai nhẫn được ra từ mỗi túi là nhẫn vàng”, H1 = “Hai nhẫn được rút ra từ

mỗi túi là nhẫn bạc”, H3 = “Hai nhẫn được rút ra từ mỗi túi gồm 1 vàng và 1 bạc”.

Suy ra,H1, H2, H3 lập nên nhóm đầy đủ các biến cố.

Gọi A = “rút ra được nhẫn vàng ở túi thứ ba”. Tính P(A) theo công thức xs đầy đủ.


8

Chương 2

Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

1. Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất trong thời gian t các bộ

phận bị hỏng tương ứng là 0,15; 0,1; 0,13. Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian t.

a) Lập bảng phân phối xác suất của X .

b) Viết biểu thức hàm phân phối của X .

c) Tìm xác suất trong thời gian t thiết bị có không quá một bộ phận bị hỏng.

d) Tìm ( ), ( ),E X V X m và 0m .

2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có quy luật phân phối xác suất như sau:

X 1x 2x

P 1p 0,7

Tìm 1 2,x x và 1p biết (X) 2,7E và 2 1( ) 0,21 ( )V X x x .

3. Ba máy ATM 1, 2, 3 có xác suất không cho giao dịch tại cùng một thời điểm lần lượt là

0,02; 0,03; 0,05. Tại thời điểm đó, mỗi máy được một người rút tiền. Tính số máy không

cho giao dịch tin chắc nhất trong ba máy trên vào thời điểm đó, biết rằng ba máy ATM

này hoạt động độc lập.

4. Trong 100 000 vé xổ số phát hành có 1 giải trị giá 100 triệu đồng, 20 giải trị giá 20 triệu

đồng, 150 giải trị giá 5 triệu đồng, 1500 giải trị giá 1 triệu đồng. Tìm số tiền lãi kì vọng

của một người khi mua một vé xổ số, biết giá vé là 10 000 đồng.

5. Có hai hộp sản phẩm; hộp thứ nhất có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm, hộp thứ hai có 8

chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản

phẩm.

a) Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.

b) Tìm xác suất để sai lệch giữa số chính phẩm được lấy ra và kỳ vọng toán của nó nhỏ

hơn 1.

6. Một hộp có 10 sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm. Gọi X là số phế phẩm có trong

hộp. X có bảng phân phối xác suất như sau:

X 0 1 2

P 0,6 0,3 0,1

Lấy ngẫu nhiên từ hộp 2 sản phẩm. Gọi Y là số phế phẩm có trong 2 sản phẩm lấy ra.

Tìm quy luật phân phối xác suất của Y .


9

7. Tại một cửa hàng, lượng hàng bán được trong ngày về một loại thực phẩm có bảng phân

phối xác suất như sau:

Lượng bán (kg) 30 31 32 33 34 35 36

Xác suất 0,05 0,1 0,2 0,3 0,15 0,12 0,08

Mỗi kg thực phẩm mua vào với giá 20 ngàn đồng, bán ra với giá 25 ngàn đồng song nếu

bị ế thì cuối ngày phải bán với giá 15 ngàn đồng mới bán hết. Để lợi nhuận trung bình là

lớn nhất thì mỗi ngày cửa hàng nên đặt mua bao nhiêu kg thực phẩm.

8. Một công ty thuê một luật sư trong một vụ kiện với hai phương án trả công như sau:

Phương án 1: Trả 7 triệu đồng bất kể thắng hay thua kiện.

Phương án 2: Trả 1 triệu đồng nếu thu kiện và 15 triệu đồng nếu thắng kiện.

Luật sư đã chọn phương án 2. Vậy theo đánh giá của luật sư thì khả năng thắng kiện của

công ty tối thiểu là bao nhiêu.

HD: Luật sư lựa chọn phương án 2, như vậy theo đánh giá của luật sự thì:

E(“lợi nhuận khi lựa chọn phương án 2”) E(“lợi nhuận khi lựa chọn phương án 1”).

9. Theo thống kê, một người ở độ tuổi 40 sẽ sống thêm một năm nữa với xác suất 0,995.

Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho những người ở độ tuổi đó với

giá là 100 ngàn đồng. Trong trường hợp người mua bảo hiểm bị chết thì số tiền bồi

thường là 10 triệu đồng. Hỏi lợi nhuận trung bình của công ty khi bán mỗi thẻ bảo hiểm

loại này là bao nhiêu.

10. Trong một cuộc thi, người ta có hai hình thức thi như sau:

Hình thức thứ nhất: Mỗi người phải trả lời hai câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 5

điểm.

Hình thức thứ hai: Nếu trả lời đúng câu thứ nhất thì mới được trả lời câu thứ hai, nếu

không thì dừng. Trả lời đúng câu thứ nhất được 5 điểm, trả lời đúng câu thứ hai được

10 điểm.

Trong cả hai hình thức thi, các câu trả lời sai đều không được điểm. Giả sử xác suất trả

lời đúng mỗi câu đều là 0,8; việc trả lời đúng mỗi câu là độc lập với nhau. Theo bạn, nên

chọn hình thức nào để số điểm trung bình đạt được nhiều hơn.

11. Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất như sau:

( ) (1 ) , ( 0,1,2,..., )k k n k

nP X k C p p k n

Tìm 0m (mốt) của X .

12. Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất như sau:

( ) . , ( 0,1,2,...)!

k

P X k e kk


10

với là số dương cho trước. Tìm 0m (mốt) của X .

13. Theo dõi hiệu quả kinh doanh của một công ty qua nhiều năm, các chuyên gia thiết lập

bảng phân phối xác suất của lãi suất đầu tư của công ty như sau:

(%)X 8 9 10 11 12 13 14

P 0,07 0,14 0,2 0,3 0,16 0,1 0,03

a) Khả năng đầu tư vào công ty đó để đạt lãi suất ít nhất 11% là bao nhiêu?

b) Tìm mức lãi suất nhiều khả năng nhất và mức lãi suất trung bình khi đầu tư vào

công ty đó.

c) Tìm mức độ rủi ro khi đầu tư vào công ty đó.

14. Thống kê về tai nạn giao thông cho thấy tỉ lệ tai nạn xe máy (vụ/tổng số xe/năm) chia

theo mức độ nhẹ và nặng tương ứng là 0,001 và 0,005. Một công ty bán bảo hiểm xe máy

với mức thu phí hàng năm là 30 000 đồng và số tiền bảo hiểm trung bình một vụ là 1

triệu đồng đối với trường hợp nhẹ và 3 triệu đồng đối với trường hợp nặng. Hỏi lợi nhuận

trung bình hàng năm mà công ty thu được đối với mỗi hợp đồng bảo hiểm là bao nhiêu?

Biết rằng thuế doanh thu phải nộp là 10% và tổng tất cả các chi phí khác chiếm 15%

doanh thu.

15. Một cửa hàng mua vào bốn thùng hàng với giá 120 nghìn đồng/thùng. Số thùng hàng

chưa bán được, khi hết hạn sử dụng được nhà phân phối mua lại với số tiền bằng 3

4 số

tiền cửa hàng đã mua vào. Gọi X là số thùng hàng bán được của cửa hàng, X có phân


X 0 1 2 3 4

P 1

15

2

15

2

15

6

15

4

15

Nếu giá bán ra của mỗi thùng hàng trên như nhau, thì giá đó là bao nhiêu để lợi nhuận kì

vọng đối với 4 thùng hàng này là 40 nghìn đồng/thùng.

16. Thống kê về mức độ hỏng và chi phí sửa chữa của hai loại động cơ A và B, có bảng số

liệu sau:

Mức độ hỏng 1 2 3

Chi phí sửa chữa (triệu

đồng/năm) của một động cơ

A 5,5 7,2 12,5

B 6,0 7,5 10,8

Tỉ lệ hỏng (%/năm) A 2 5 3

B 1 4 5

Một công ty đang sử dụng 6 động cơ loại A và 4 động cơ loại B. Tính chi phí sửa chữa

trung bình hàng năm cho cả hai loại động cơ trên của công ty.


11

17. Cơ quan dự báo khí tượng thủy văn chia thời tiết thành các loại “xấu”, “bình thường”,

“tốt” với xác suất tương ứng là 0,25; 0,45; 0,3. Với tình trạng trên thì khả năng nông

nghiệp được mùa tương ứng là 0,2; 0,6; 0,7. Nếu như sản xuất nông nghiệp được mùa thì

mức xuất khẩu lương thực tương ứng với tình trạng trên là: 2,5 triệu tấn, 3,3 triệu tấn, 3,8

triệu tấn. Hãy tìm mức xuất khẩu lương thực có khả năng nhất.

HD: Gọi H1, H2, H3 tương ứng là các biến cố tình trạng thời tiết năm đó là “xấu”, “bình

thường” và “tốt”.

Gọi A = “sản xuất nông nghiệp được mùa” và X = “mức xuất khẩu lương thực” (triệu

tấn). Khi đó: (X = 2,5) = (H1|A); (X = 3,3) = (H2|A); (X = 3,8) = (H3|A).

18. Tuổi thọ của một loại sản phẩm (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân

phối xác suất dạng

2

0 khi 5

( )1 khi 5

x

F x kx

x

a) Tìm k ? Tính xác suất để trong 5 sản phẩm có ít nhất một sản phẩm hỏng trước 6

năm.

b) Một công ty kinh doanh sản phẩm này khi bán được một sản phẩm lãi 500.000

đồng. Nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì phải bỏ ra 1.000.000 đồng

cho chi phí sửa chữa. Muốn có tiền lãi trung bình là 300.000 đồng cho một sản

phẩm bán được thì công ty phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu năm.

19. Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân


3 2

0 voi 0

F( ) 3 2 voi 0 1

1 voi 1

x

x ax x x x

x

a) Tìm a .

b) Tìm thời gian xếp hàng trung bình.

20. Tuổi thọ của một loại sản phẩm (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ

xác suất:

3

0 khi 5

( ) khi 5

x

f x kx

x

a) Tìm k ? Tính tuổi thọ trung bình của sản phẩm.

b) Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 20% thì phải quy định thời gian bảo hành

là bao nhiêu?


12

21. Tuổi thọ (tính theo năm) của một thiết bị điện tử là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác

suất như sau:

2. voi 0( )

0 voi 0

xk e xf x

x

Xác định k và tính xác suất để thiết bị này sử dụng được ít nhất 2 năm.

22. Cho hàm số

(1 ), 1;0

( ) (1 ), 0;1

0, 1;1

k x x

f x k x x

x

a) Xác định k để ( )f x là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X và tìm hàm

phân phối xác suất.

b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X .

23. Nhu cầu hàng năm về mặt hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

như sau (đơn vị: ngàn sản phẩm):

(30 ), 0;30( )

0, 0;30

k x xf x

x

a) Xác định k ?

b) Tìm xác suất để nhu cầu về loại hàng đó không vượt quá 12 ngàn sản phẩm trong

một năm.

c) Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về mặt hàng A.

24. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất như sau:

k.sin , voi 0;2

( )

0, voi 0;2

x x

f x

x

a) Xác định k.

b) Tính xác suất để khi thực hiện 3 phép thử độc lập X nhận giá trị trong khoảng

;6 3

ít nhất một lần.

25. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

2 , voi 0;1( )

0, voi 0;1

ax bx xf x

x


13

Biết ( ) 0,6E X . Tìm hàm phân phối xác suất của X ; tính 1

12

P X

và ( )V X .

26. Giả sử hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X là:

. voi 0( ) ( 0)

0 voi 0

xAe xf x

x

a) Tìm A .

b) Tìm hàm phân phối của X .

c) Tìm kì vọng và phương sai của X .


14

Chương 3

Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

Phân phối nhị thức – B(n, p)

1. Thống kê cho thấy cứ 3 lần chào hàng thì có một lần bán được hàng. Nếu chào hàng 20

lần và gọi X là số lần bán được hàng thì X tuân theo quy luật gì?

2. Gieo 100 hạt đậu tương. Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là 0,9. Tính xác suất để trong 100

hạt.

a) Có đúng 80 hạt nảy mầm.

b) Có ít nhất 1 hạt nảy mầm.

c) Có nhiều nhất 98 hạt nảy mầm.

3. Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng

đích của mỗi viên là 0,2. Tìm số viên đạn trúng đích với khả năng lớn nhất.

4. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 0,02. Cần phải lấy một mẫu

cỡ bằng bao nhiêu, sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm trong mẫu đó không bé

hơn 0,95.

5. Xác suất để máy bị hỏng trong một ngày hoạt động là 0,01. Mỗi lần máy hỏng chi phí sửa

chữa hết 1 triệu đồng. Vậy có nên kí một hợp đồng bảo dưỡng là 120 ngàn đồng một

tháng để giảm xác suất hỏng của máy đi một nửa hay không và nếu kí thì hiệu quả mang

lại là bao nhiêu.

Phân phối siêu bội – H(N, M, n)

6. Trong 20 giấy báo thuế có 3 giấy mắc sai sót. Lấy ngẫu nhiên 5 giấy để kiểm tra. Tìm

phân phối xác suất; trung bình và phương sai của số giấy mắc sai sót có trong 5 giấy lấy

ra.

7. Để thanh toán 1 triệu đồng tiền hàng, một khách hàng gian lận đã xếp lẫn 5 tờ 50 ngàn

tiền giả với 15 tờ tiền thật. Chủ cửa hàng rút ngẫu nhiên 3 tờ đem đi kiểm tra và giao hẹn,

nếu phát hiện có tiền giả thì cứ mỗi tờ giả khách hàng phải đền hai tờ thật. Tìm số tiền

phạt trung bình mà khách hàng phải trả.

Phân phối Poisson – P(λ)

8. Một cửa hàng có 4 chiếc ô tô cho thuê, số khách có nhu cầu thuê trong một ngày là một

biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với ( ) 2E X .


15

a) Tìm luật phân phối xác suất của số ô tô cửa hàng này cho thuê trong một ngày.

b) Tính số ô tô trung bình mà cửa hàng cho thuê trong một ngày?

9. Số khách hàng vào một siêu thị trong 20 phút là biến ngẫu nhiên phân phối Poisson với

số khách trung bình là 6. Tính xác suất để trong 10 phút nào đó có hơn 2 khách vào siêu

thị.

10. Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 150 cú điện thoại trong 1 giờ. Tìm xác suất

để trung tâm này nhận được không quá 2 cuộc điện thoại trong 1 phút.

11. Một cửa hàng có 3 xe ô tô cho thuê. Hàng ngày phải nộp thuế 50 ngàn đồng/1 xe dù xe có

được thuê hay không. Mỗi chiếc xe được thuê với giá 700 ngàn đồng/1 ngày. Giả sử yêu

cầu thuê xe của cửa hàng là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số

2,8 . Tính số tiền lãi trung bình của trạm thu được trong một ngày.

Phân phối đều – U(a; b)

12. Một xe buýt xuất hiện tại bến đợi lúc 7 giờ sáng, cứ 15 phút một chuyến. Giả sử thời gian

xuất hiện tại bến đợi ( kí hiệu là X ) tại bến đợi của một hành khách có phân phối đều từ

7 giờ đến 7 giờ 30.

a) Viết hàm phân phối xác suất của X .

b) Tìm xác suất để hành khách đó phải đợi ít hơn 5 phút; nhiều hơn 10 phút.

13. Một nhà kinh doanh muốn đầu tư 10 triệu đồng vào một công ty mà nếu trong năm tới

công ty làm ăn thuận lợi có thể sẽ mang lại lãi suất đến 14% còn nếu gặp khó khăn thì lãi

suất có thể giảm đến mức 4%. Trong khi đó nếu gửi tiền vào ngân hàng thì lãi suất đảm

bảo 8%/năm. Vậy nếu dùng tiền để đầu tư thì khả năng có lãi hơn gửi ngân hàng là bao

nhiêu.

Phân phố mũ – E(λ)

14. Thời gian phục vụ mỗi khách hàng (phút/khách hàng) tại một cửa hàng là biến ngẫu

nhiên có phân phối mũ với hàm mật độ xác suất như sau: 55e voi 0

( )0 voi 0

x xf x

x

a) Tìm xác suất để thời gian phục vụ khách hàng nào đó sẽ nằm trong khoảng từ 0,4 đến

1 phút.

b) Tìm thời gian trung bình để phục vụ một khách hàng.

15. Khoảng thời gian mà hai khách hàng kế tiếp nhau đến ngân hàng là biến ngẫu nhiên phân

phối mũ với trung bình là 3 phút. Giả sử vừa có một khách đến. Tìm xác suất để trong

vòng ít nhất 2 phút nữa mới có người khách tiếp theo đến ngân hàng.


16

Phân phối chuẩn – N(μ; σ2)

16. Chiều cao của một người trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 175 cm và độ

lệch chuẩn 4 cm. Hãy xác định:

a) Tỉ lệ người trưởng thành có tầm vóc trên 180 cm.

b) Tỉ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166 cm đến 177 cm.

c) Giá trị m, biết 33% người trưởng thành có chiều cao dưới mức m.

d) Giới hạn biến động chiều cao của 90% người trưởng thành xung quanh giá trị trung

bình.

17. Thời gian (tính bằng tháng) từ lúc vay tới lúc trả tiền của một khách hàng tại một ngân

hàng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 18 tháng, độ lệch tiêu chuẩn 4

tháng.

a) Tính tỉ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàng trong khoảng từ 10 đến 19 tháng;

không ít hơn một năm; ít hơn 9 tháng.

b) Khoảng thời gian tối thiểu là bao nhiêu để tỉ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàng

vượt thời gian đó không quá 1%.

18. Gọi X là lượng điện tiêu thụ (tính bằng kWh) hàng tháng của một hộ gia đình.Giả sử X là

biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn với tham số 70 kWh và 40 kWh. Giá

tiền điện một tháng là 1500 đồng/kWh nếu lượng điện tiêu thụ trong tháng đó không quá

50 kWh. Tháng nào dùng quá mức này sẽ phải trả 700 đồng cho 1 kWh dôi ra. Gọi Y là

tiền điện (nghìn đồng) phải trả hàng tháng của một hộ gia đình. Tính các xác suất:

a) (60 317)P Y b) ( 251)P Y

HD: a) (60 317) (60 Y 75) (75 Y 317) (4 50) (50 160)Y X X .

19. Thời gian hoạt động tốt (không phải sửa chữa) của một máy tính là biến ngẫu nhiên có

phân phối (xấp xỉ) chuẩn với 4300 giờ và 250 giờ. Giả thiết mỗi ngày một chiếc

máy loại này được dùng trong 10 giờ.

a) Tìm tỉ lệ máy tính loại này phải bảo hành, nếu thời gian bảo hành là 360 ngày.

b) Phải nâng chất lượng máy tính loại này bằng cách làm cho thời gian hoạt động tốt

trung bình của sản phẩm lên bao nhiêu để tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành và vẫn

như trên song có thể nâng thời gian bảo hành lên thành 720 ngày.

20. Khi thâm nhập một thị trường mới, doanh nghiệp chỉ dự kiến được rằng doanh số hàng

tháng có thể đạt tuân theo luật phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Khả năng đạt được doanh số

trên 40 triệu là 0,2 và dưới 25 triệu là 0,1.

a) Tìm kì vọng và phương sai của doanh số hàng tháng này.

b) Tìm xác suất để doanh nghiệp đạt được doanh số ít nhất là 32 triệu/tháng.


17

21. Tuổi thọ của một loại bóng đèn (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

trung bình 4,2 năm, phương sai 2,25 (năm)2. Khi bán một bóng đèn thì lãi 100 ngàn

đồng, song nếu đèn phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền lãi trung bình khi

bán một bóng đèn là 30 ngàn đồng thì phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu?

22. Độ dài chi tiết (cm) do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên phân phối (xấp xỉ)

chuẩn với độ lệch chuẩn là 9 cm. Nếu được biết 84,13% chi tiết do máy sản xuất có độ

dài không vượt quá 84 cm thì xác suất để lấy ngẫu nhiên 3 chi tiết được ít nhất 1 chi tiết

có độ dài không dưới 80 cm là bao nhiêu.

23. Đầu tư vào hai thị trường A và B, có lãi suất là các biến ngẫu nhiên độc lập và phân phối

chuẩn.

Lãi trung bình Độ lệch chuẩn

Thị trường A 10% 4%

Thị trường B 9% 3%

a) Muốn có lãi hơn 8%, trong ba phương án sau phương án nào là tốt nhất:

Phương án 1: Đầu tư toàn bộ tiền vào thị trường A.

Phương án 2: Đầu tư toàn bộ tiền vào thị trường B.

Phương án 3: Chia đều vốn vào cả hai thị trường.

b) Muốn rủi ro (phương sai) là nhỏ nhất thì phải đầu tư vào hai thị trường theo tỉ lệ

nào.


18

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO fx – 570VN PLUS


19


20


21

Chương 4

Cơ sở lý thuyết mẫu

1. Tính trung bình mẫu và độ lệch tiêu chuẩn từ mẫu số liệu sau:

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ni 15 30 25 12 41 11 52 8 33 23

2. Tính trung bình mẫu và độ lệch tiêu chuẩn từ mẫu số liệu sau:

X 114 115 116 117 118 119 120

Tần số 22 67 54 73 45 18 13

3. Tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu từ các số liệu sau:

a)

Khoảng 0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90

Tần số 7 15 30 28 42 19 34 18 7

b)

Khoảng 0,5 – 3,5 3,5 – 6,5 6,5 – 9,5 9,6 – 12,5 12,5 – 15,5 15,5 – 18,5 18,5 – 21,5

Tần số 25 30 5 9 3 0 3


22

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO fx – 570VN PLUS


23


24

Chương 5

Ước lượng tham số

Phương pháp ước lượng điểm

1. Cho 1 2 3W ( , , )X X X là một mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể có phân phối chuẩn N(μ, σ2).

Lập các thống kê 1 1 2 3

1 1 1

4 2 4G X X X và

2 1 2 3

1 1 1

3 6 2G X X X .

a) Chứng minh rằng 1 2,G G là các ước lượng không chệch của μ.

b) Trong hai ước lượng trên, ước lượng nào tốt hơn cho μ?

2. Cho 1 2 3W ( , , )X X X là một mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể có phân phối chuẩn N(μ, σ2).

Lập thống kê 1 2 3

1 1 1

3 6 2G X X X .

a) Tính kì vọng và phương sai của G .

b) G có phải là ước lượng hiệu quả của μ không? Tại sao?

3. Từ một mẫu ngẫu nhiên kích thước 5, xét ba thống kê sau:

1 21

2

X XG

, 1 2 3 4 5

2

2 3 4 5

15

X X X X XG

và

3 1 2 3

1 1 1

2 3 6G X X X

Chứng minh ba thống kê trên là các ước lượng không chệch của trung bình tổng thể m.

Ước lượng nào hiệu quả hơn cả?

Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy

4. Trong một cuộc khảo sát 64 khách hàng ở một tiệm ăn nhanh, thời gian đợi trung bình là

3 phút và độc lệch chuẩn là 1,5 phút. Với độ tin cậy , tìm khoảng tin cậy cho thời

gian đợi phục vụ trung bình của tiệm ăn này. Biết thời gian đợi phục vụ là biến ngẫu

nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.

5. Trong một cuộc điều tra 150 người nghiện thuốc lá được chọn ngẫu nhiên. Người ta tính

được số điếu thuốc hút trong một tuần của họ có trung bình là 97 và độ lệch tiêu chuẩn là

36. Tìm khoảng tin cậy 99% cho số điếu thuốc hút trung bình trong 1 tuần của người

nghiện thuốc lá. Biết số điếu thuốc hút trong một tuần của người nghiện thuốc là biến

ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.

6. Tuổi thọ của một loại bóng đèn do một dây chuyền sản xuất ra có độ lệch chuẩn là 95

giờ. Điều tra 50 bóng đèn loại này tính được tuổi thọ trung bình là 350 giờ. Giả thiết tuổi

thọ của bóng đèn là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.

a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình tối đa của loại bóng đèn này.


25

b) Nếu muốn ước lượng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn đạt độ chính xác là 25 giờ

và độ tin cậy 98% thì cần điều tra thêm bao nhiêu bóng nữa?

7. Chỉ tiêu A của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Mẫu

điều tra về chỉ tiêu A (tính bằng %) của sản phẩm này được cho trong bảng

Xi 0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35 35 – 40

ni 7 12 20 25 18 12 5 1

a) Hãy ước lượng trung bình chỉ tiêu A với độ tin cậy 95%.

b) Hãy ước lượng trung bình tối thiểu của chỉ tiêu A với độ tin cậy 95%.

c) Nếu muốn ước lượng trung bình chỉ tiêu A đạt độ tin cậy 95% và độ chính xác 1,2%

thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?

d) Nếu sử dụng mẫu này để ước lượng trung bình các sản phẩm đạt độ chính xác 1% thì

đảm bảo độ tin cậy là bao nhiêu?

e) Những sản phẩm có chỉ tiêu A không quá 10% là loại 2. Hãy ước lượng trung bình chỉ

tiêu A các sản phẩm loại 2 với độ tin cậy 95%, biết rằng chỉ tiêu A các sản phẩm loại

2 là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.

8. Cơ quan cảnh sát giao thông kiểm tra hệ thống phanh của 100 chiếc xe tải trên đường

quốc lộ. Họ phát hiện 35 chiếc có phanh chưa đảm bảo.

a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ xe tải có phanh chưa an toàn.

b) Tìm khoảng tin cậy 98% cho tỉ lệ xe tải có phanh tốt.

9. Điều tra ngẫu nhiên thu nhập/tháng của 100 nhân viên công ty A thu được kết quả sau:

Thu nhập (triệu đồng) 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0

Số nhân viên 5 15 25 30 20 5

a) Ước lượng mức thu nhập/tháng trung bình của nhân viên công ty A với độ tin cậy

0,95.

b) Hãy ước lượng tỉ lệ nhân viên công ty A có thu nhập không quá 3,6 triệu đồng/tháng

với độ tin cậy 0,95.

Biết thu nhập/tháng của nhân viên công ty này là biến ngẫu nhiên có phân phôi (xấpxỉ)

chuẩn.

10. Điều tra doanh thu trong tuần (triệu đồng) của một số cửa hàng bán tạp phẩm ở vùng A,

người ta thu được số liệu sau:

Doanh thu trong tuần 21 22 23 24 25 26

Số cửa hàng 7 17 29 27 15 5

Với độ tin cậy 95% hãy:

a) Tìm khoảng tin cậy cho doanh thu/tuần trung bình tối thiểu của các cửa hàng tạp

phẩm ở vùng A.


26

b) Tìm khoảng tin cậy cho độ phân tán của doanh thu/tuần.

c) Tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ số cửa hàng có doanh thu/tuần dưới 23 triệu đồng.

11. Để nghiên cứu nhu cầu về một loại hàng ở một khu vực, người ta tiến hành khảo sát về

nhu cầu mặt hàng này ở 400 hộ gia đình, kết quả cho trong bảng:

Nhu cầu (kg/tháng) 0 – 1 1 – 2 2 – 3 3 – 4 4 – 5 5 – 6 6 – 7 7 – 8

Số hộ 10 35 86 132 78 31 18 10

Giả sử khu vực nghiên cứu có 4000 hộ và nhu cầu về loại hàng này là biến ngẫu nhiên có

phân phối (xấp xỉ) chuẩn.

a) Ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của khu vực trong một năm với độ tin

cậy 95%.

b) Khi ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực trong một năm,

nếu ta muốn độ tin cậy đạt được 99% và độ chính xác là 4,8 tấn thì cần khảo sát nhu

cầu loại hàng này thêm bao nhiêu hộ gia đình trong vùng này nữa?

12. Lãi suất cổ phiếu của một công ty là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Giá trị

trong 10 năm qua (đơn vị: %) là: 15, 12, 20, 8,10, 16, 14, 22, 18, 19. Với độ tin cậy 95%,

hãy ước lượng:

a) Độ phân tán của lãi suất cổ phiếu này.

b) Độ phân tán tối đa của lãi suất cổ phiếu này.

c) Độ phân tán tối thiểu của lãi suất cổ phiếu này.

13. Một nông dân muốn ước lượng tỉ lệ nảy mầm cho một giống lúa mới. Mẫu điều tra của

ông cho kết quả trong 1000 hạt đem gieo có 640 hạt nảy mầm.

a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ nảy mầm của giống lúa này.

b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm có sai số không vượt quá 2% và đạt độ tin cậy

95% thì cần gieo ít nhất bao nhiêu hạt?

c) Với độ tin cậy 97% hãy ước lượng số hạt giống nảy mầm tối thiểu khi gieo 10000 hạt.

14. Kết quả quan sát về hàm lượng vitamin C của một loại trái cây cho ở bảng sau:

Hàm lượng vitamin C(%) 3 – 7 8 – 10 11 – 13 14 – 16 17 – 19 20 – 24

Số trái cây 5 10 20 35 25 5

Biết hàm lượng vitamin C ở trái cây này là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.

a) Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của hàm lượng vitamin C trung

bình trong mỗi trái;

b) Qui ước những trái cây có hàm lượng vitamin C từ 17% trở lên là loại 1. Nếu muốn

độ chính xác khi ước lượng hàm lượng vitamin C trung bình là 1 0,5 và độ chính


27

xác khi ước lượng tỉ lệ trái cây loại 1 là 2 0,05 với cùng độ tin cậy 95% thì cần

mẫu có kích thước tối thiểu bao nhiêu?

15. Để đánh giá trữ lượng cá trong hồ người ta đánh bắt 2000 con cá, đánh dấu rồi thả xuống

hồ. Sau đó bắt lại 400 con thì thấy có 80 con có dấu.

a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng trữ lượng cá trong hồ.

b) Nếu muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa thì lần sau phải đánh bắt bao nhiêu

con?

16. Để ước lượng số tờ bạc giả của một loại giấy bạc người ta đánh dấu 200 tờ bạc giả loại

này rồi tung vào lưu thông. Sau một thời gian ngắn kiểm tra 600 tờ bạc giả loại này có 15

tờ được đánh dấu. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số tờ bạc giả loại này.


28

Chương 6

Kiểm định giả thuyết thống kê

1. Trọng lượng trung bình của một gói đường do một máy tự động đóng gói theo thiết kế là

500 gam/gói. Nghi ngờ máy đóng gói đường làm việc không bình thường làm cho trọng

lượng của gói đường có xu hướng giảm sút. Người ta lấy ngẫu nhiên 30 gói cân thử được

trong lượng trung bình là 495 gam và độ lệch chuẩn s =10 gam. Với mức ý nghĩa 5%,

hãy kết luận về nghi ngờ trên.

2. Chỉ tiêu chất lượng A của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ)

chuẩn. Một mẫu điều tra được kết quả cho trong bảng:

xi (gam) 200 220 240 260 280

Số sản phẩm 3 7 16 17 7

a) Có tài liệu cho rằng trung bình chỉ tiêu A các sản phẩm loại này là 250 gam. Cho nhận

xét về tài liệu này với mức ý nghĩa 5%.

b) Những sản phẩm có chỉ tiêu A nhỏ hơn 240 gam là loại 2. Có tài liệu cho rằng trung

bình chỉ tiêu A các sản phẩm loại 2 là 220 gam. Hãy cho nhận xét về tài liệu này với

mức ý nghĩa 2%. Giả thiết chỉ tiêu A của sản phẩm loại 2 có phân phối chuẩn.

3. Điều tra doanh số bán hàng X (đơn vị: triệu đồng/tháng) của các hộ kinh doanh một loại

hàng năm nay cho số liệu:

Doanh số

(triệu đồng/tháng) 11 11,5 12 12,5 13 13,5

Số hộ 10 15 20 30 15 10

a) Những hộ có doanh số trên 12,5 triệu đồng/tháng là những hộ có doanh số cao. Có tài

liệu cho rằng tỉ lệ hộ có doanh số cao là 35%. Cho nhận xét về tỉ lệ trong tài liệu đó

với mức ý nghĩa 5%?

b) Năm trước doanh số bán hàng trung bình của các hộ này là 120 triệu/1 năm. Có thể

cho rằng doanh số bán hàng của các hộ này năm nay tăng lên không, với mức ý nghĩa

1%?

4. Nếu áp dụng phương pháp công nghệ thứ nhất thì tỉ lệ phế phẩm là 9%, còn áp dụng

phương pháp công nghệ thứ hai thì trong 100 sản phẩm có 4 phế phẩm. Với mức ý nghĩa

5%, có thể cho rằng áp dụng phương pháp công nghệ thứ hai cho tỉ lệ phế phẩm thấp hơn

không?

5. Lô hàng đủ tiêu chuẩn xuất khẩu nếu tỉ lệ phế phẩm không vượt quá 3%. Kiểm tra ngẫu

nhiên 400 sản phẩm của lô hàng thấy có 14 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 0,05 có cho phép

lô hàng xuất khẩu được không?


29

6. Tỉ lệ phế phẩm do một máy tự động sản xuất là 5%. Kiểm tra một mẫu ngẫu nhiên 300

sản phẩm thấy có 24 sản phẩm là phế phẩm. Từ đó có ý kiến cho rằng tỉ lệ phế phẩm do

máy đó sản xuất có chiều hướng tăng lên. Hãy kết luận ý kiến nêu trên với mức ý nghĩa

0,05.

7. Một nhà máy sản xuất bóng đèn cho rằng chất lượng bóng đèn loại này được coi là đồng

đều nếu tuổi thọ của các bóng đèn có độ lệch chuẩn bằng 1000 giờ hoặc ít hơn. Lấy ngẫu

nhiên 10 bóng để kiểm tra thì tìm được độ lệch chuẩn mẫu s = 1150. Vậy với mức ý

nghĩa 5% có thể coi chất lượng bóng đèn loại này do công ty sản xuất là đồng đều hay

không. Biết tuổi thọ của bóng đèn là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.

8. Trong lượng của con gà lúc mới nở là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Nghi

ngờ độ đồng đều về trọng lượng gà con giảm sút người ta cân thử 12 con và tìm được s2 =

11,41 (gam)2. Với mức ý nghĩa 0,05, hãy kết luận về điều nghi ngờ trên biết rằng độ phân

tán của trọng lượng gà con là σ2 = 10 (gam)

2.

9. Chiều cao thanh niên ở hai vùng A và B là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.

Ở vùng A, chiều cao trung bình của thanh niên là 164 cm và độ lệch chuẩn 5,63 cm. Điều

tra ngẫu nhiên 200 thanh niên ở vùng B, tính được 200

1

32900iB

i

x

, 200

2

1

541840iB

i

x

, trong

đó iBx là chiều cao thanh niên thứ ( 1,200)i i . Có thể cho rằng độ đồng đều về chiều cao

của thanh niên vùng A là hơn vùng B hay không? Kết luận với mức ý nghĩa 5%.

Bài tập tổng hợp phần ước lượng và kiểm định giả thuyết

10. Năng suất lúa của vùng A là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Thu hoạch

ngẫu nhiên 100 ha của vùng trong vụ này tính được năng suất trung bình là 37,9x

(tạ/ha) và 100 2

1

1059i

i

x x

.

a) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng với độ tin cậy 95%.

b) Nếu vụ trước năng suất lúa trung bình của vùng này là 35 (tạ/ha), thì với mức ý nghĩa

5% có thể cho rằng năng suất lúa vụ này cao hơn được không?

11. Năng suất một giống lúa chất lượng cao tại vùng A là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp

xỉ) chuẩn. Thu hoạch ngẫu nhiên 256 ha lúa vùng được các số liệu: 15,027x (tạ/ha),

256 2

1

148,809i

i

x x

.

a) Hãy ước lượng năng suất trung bình tối thiểu của giống lúa trên với độ tin cậy 0,95.


30

b) Khi mới đưa ra sản xuất, phương sai của năng suất giống lúa trên tại vùng A là 5

(tạ/ha)2. Người ta nghi ngờ giống lúa trên đã bị thoái hóa nên nó không ổn định so

với trước đây. Dựa vào mẫu trên hãy kết luận về nghi ngờ trên với mức ý nghĩa 5%.

12. Khảo sát về thu nhập của một số người làm việc ở một công ty, người ta thu được bảng

số liệu:

Thu nhập

(triệu đồng/năm) 20 – 26 26 – 30 30 – 34 34 – 38 38 – 42 42 – 50

Số người 20 50 130 110 60 30

a) Những người có thu nhập không quá 30 triệu đồng/năm là những người có thu nhập

thấp. Với độ tin cậy 96%, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của tỉ lệ người có thu nhập

thấp của công ty.

b) Nếu công ty báo cáo mức thu nhập bình quân của một người là 3 triệu đồng/tháng thì

có tin cậy được không (kết luận với mức ý nghĩa 5%)?

c) Nếu muốn ước lượng thu nhập trung bình của một người ở công ty này với độ chính

xác 0,5 triệu đồng/năm thì độ tin cậy đạt được bao nhiêu?

13. Thu nhập hàng tháng của một công nhân ở xí nghiệp N là biến ngẫu nhiên có phân phối

(xấp xỉ) chuẩn. Năm nay, điều tra ngẫu nhiên 100 công nhân thu được số liệu sau:

Thu nhập

(triệu đồng/tháng) 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Số công nhân 5 15 20 30 15 9 6

a) Biết xí nghiệp N có 1000 công nhân, ước tính thu nhập hàng tháng trung bình của

toàn bộ công nhân ở xí nghiệp này;

b) Với độ tin cậy 95%, ước lượng thu nhập hàng tháng trung bình tối thiểu của 1 công

nhân xí nghiệp N.

c) Nếu trước đó 1 năm tỉ lệ công nhân có thu nhập trên 7 triệu đồng/tháng là 10% thì với

mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng tỉ lệ này năm nay đã tăng lên không?

14. Mẫu điều tra về giá bán X (đơn vị: 1000 đồng) của mỗi cổ phiếu A trên thị trường chứng

khoán trong các phiên giao dịch được cho ở bảng sau:

xi 11 – 13 13 – 15 15 – 17 17 – 19 19 – 21 21 – 23 23 – 25

Số phiên 5 17 23 33 25 16 2

Biết giá bán X là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.

a) Với độ tin cậy 95%, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của doanh thu trung bình khi

bán 10000 cổ phiếu A trên thị trường với độ tin cậy 95%.

b) Nếu muốn ước lượng giá bán của một cổ phiếu A đạt độ chính xác là 500 đồng với độ

tin cậy 95% thì cần điều tra thêm bao nhiêu phiên nữa?


31

c) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ tối thiểu cổ phiếu A có giá bán từ 17 nghìn

đồng trở lên.

d) Với độ tin cậy 90%, hãy tìm khoảng tin cậy của phương sai giá bán một cổ phiếu A.

e) Biết rằng trước kia độ phân tán của giá bán cổ phiếu A là 11 nghìn đồng. Với mức ý

nghĩa 2%, có thể cho rằng độ phân tán về giá bán của loại cổ phiếu này có xu hướng

giảm xuống so với trước đây không?

15. Xét nghiệm 100 chai nước Luvia trong một nhà kho, thấy tỉ lệ chất A trong một chai như

sau:

Tỉ lệ chất A (%) [0; 5) [5; 10) [10; 15) [15; 20) [20; 25) [25; 30) [30; 35) [35; 40)

Số chai 7 12 20 25 18 12 5 1

Biết rằng tỉ lệ chất A (%) ở một chai nước Luvia là biến ngẫu nhiên X có phân phối (xấp

xỉ) chuẩn.

a) Với độ tin cậy 95%, trung bình tỉ lệ chất A trong mỗi chai nước Luvia không bé hơn

bao nhiêu?

b) Nếu dùng mẫu này để ước tính trung bình tỉ lệ chất A của mỗi chai nước Luvia với độ

chính xác là 1% thì độ tin cậy là bao nhiêu? (biết0,11 1,2393u ).

c) Nếu muốn ước tính trung bình tỉ lệ chất A đạt độ tin cậy 96% và độ chính xác là 1,2%

thì phải xét nghiệm thêm bao nhiêu chai nước Luvia nữa?

d) Những chai nước Luvia có lượng chất A nhỏ hơn 10% thì không đạt yêu cầu. Biết

rằng nhà kho có 1000 chai nước Luvia, hãy ước tính số chai Luvia không đạt yêu cầu

cảu kho ấy với độ tin cậy 96%.

e) Với mức ý nghĩa 5%, cho biết tỉ lệ chai nước Louvia đạt yêu cầu trong kho có trên

80% không?

xÁc suẤt thỐng kÊ - nnquan.files.wordpress.com · có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 10...

Documents