XIII SEKCIJA

Taikomoji skaitinė analizė

– 527 –

BAIGTINIŲ SKIRTUMŲ METODO TAIKYMAS BIOJUTIKLIO VEIKSMUI MODELIUOTI

Evelina Gaidamauskaitė, Romas Baronas Vilniaus universitetas

Darbe pateikiamas amperometrinių biojutiklių veikimo matematinis modelis vienmatėje erdvėje. Modelio pagrindas - difuzijos lygtys su netiesiniu nariu, aprašančiu fermento reakcijos Michaelio-Menteno kinetiką. Suformuluotas uždavinys sprendžiamas baigtinių skirtumų metodu. Sudarytos kelios skirtuminės schemos. Skirtingomis schemomis gauti skaitiniai

sprendiniai lyginami tarpusavyje ir su analiziniais sprendiniais.

1. Įvadas Biojutikliai yra įrenginiai, kurie fizikinius ar cheminius pokyčius verčia elektriniu signalu, taikant

biologiškai aktyvias medžiagas, dažniausiai fermentus [8, 10]. Biojutikliais analizuojamos konkrečios terpės ir medžiagos, kurių elementai sąveikauja su fermento molekulėmis. Biojutiklių veikimas aprašomas matematiniu modeliu, kurio pagrindiniai struktūriniai elementai yra medžiagos difuzija ir fermentinė reakcija [1, 2, 4]. Amperometrinių biojutiklių veikimas pagrįstas Faradėjaus srovės matavimu palaikant pastovią elektrodo įtampą. Srovė elektrodo paviršiuje atsiranda dėl fermentinės reakcijos produktų elektrocheminės oksidacijos ar redukcijos. Fermentas sąveikauja su difundavusiu iš tiriamosios aplinkos substratu ir verčia jį produktu. Šis procesas aprašomas Michaelis-Menten fermentinių reakcijų kinetikos lygtimis. Biojutikliai taikomi labai tiksliam biologinių junginių aptikimui (vaistų sintezė, maisto testavimas, pavojingų medžiagų aptikimas ir kt.) [11].

Biojutiklių veiksmą aprašančių matematinių modelių analiziniai sprendiniai egzistuoja tik ypatingaisiais atvejais [3, 5]. Bendruoju atveju biojutiklio veiksmas modeliuojamas skaitmeniškai. Tam plačiai taikomas baigtinių skirtumų metodas [6, 7, 9]. Netiesinėms reakcijos-difuzijos lygtims spręsti galima taikyti įvairias skirtumines schemas [1, 7]. Šio darbo tikslas – palyginti plačiai taikomų skirtuminių schemų tikslumą bei efektyvumą ir pateikti rekomendacijas, kuriomis būtų galima naudotis parenkant uždavinio sprendimo schemą.

2. Matematinis modelis Biojutiklį galima įsivaizduoti kaip plokščią elektrodą, kurio paviršius padengtas fermento sluoksniu.

Fermento sluoksnyje vyksta reakcija, kurios metu substratas (S) virsta produktu (P) [8, 10]: PS E→ . (1)

Vienmatėje erdvėje biojutiklio matematinis modelis gaunamas jungiant fermentinę reakciją su medžiagų difuzija:

TtdxSK

SVxSD

tS

M

maxS ≤<<<

+−

∂∂

=∂∂ 0,0,2

2

, (2)

TtdxSK

SVxPD

tP

M

maxP ≤<<<

++

∂∂

=∂∂ 0,0,2

2

, (3)

čia S yra substrato koncentracija, P – produkto koncentracija, t – laikas, x – erdvės koordinatė, DS ir DP yra substrato bei produkto difuzijos koeficientai, KM – Michaelis-Menten konstanta, Vmax – maksimalusis reakcijos greitis, d – fermento sluoksnio storis, T – biojutiklio tyrimo trukmė.

Tarkime, elektrodo paviršių atitinka x = 0, o išorinį fermento paviršių – x = d. Biojutiklis pradeda veikti, kai jis panardinamas į analizuojamąjį tirpalą:

dxxS <≤= 0,0)0,( , (4)

0)0,( SdS = , (5)

dxxP ≤≤= 0,0)0,( , (6)

kur S(x, t) ir P(x, t) substrato ir produkto koncentracijos erdvės taške x laiko momentu t, o S0 yra substrato koncentracija mėginyje.

Amperometriniuose biojutikliuose dėl elektrodo poliarizacijos reakcijos produkto koncentracija elektrodo paviršiuje išlieka pastovi ir lygi nuliui. Substratas nereaguoja elektrodo paviršiuje. Tarus, kad analizuojamasis tirpalas yra intensyviai maišomas, difuzijos sluoksnis (0 < x < d) išlieka pastovaus storio. Substrato ir produkto koncentracijos fermento ir analizuojamojo tirpalo sandūroje išlieka pastovios visą biojutiklio veikimo laikotarpį. Tai išreiškiama kraštinėmis sąlygomis,

Evelina Gaidamauskaitė, Romas Baronas

– 528 –

Baigtinių skirtumų metodo taikymas biojutiklio veiksmui modeliuoti Biojutiklio atsakas yra elektros srovė. Srovės tankio I(t) išraiška laiko momentu t gaunama iš Faradėjaus ir Fiko dėsnių, naudojant produkto srauto funkciją elektrodo paviršiuje

0

)(=∂

∂=

xPe x

PFDntI , (10)

kur ne yra elektronų skaičius, kurie perneša krūvį elektrodo paviršiuje, F – Faradėjaus konstanta (F = 96485 C/mol).

Tariame, kad sistema (2)-(9) nusistovi, kai t → ∞, )(lim tII

tp ∞→= , (11)

čia Ip yra pusiausviroji biojutiklio srovė.

3. Uždavinio sprendimas Daugeliui diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis, ypač netiesinėms, nepavyksta gauti tikslaus

sprendinio. Amperometrinio biojutiklio matematinio modelio lygtys (2)-(9) taip pat neturi tikslaus sprendinio, todėl būtina naudoti apytikslius sprendimo metodus. Kraštiniam uždaviniui (2)-(9) spręsti mes taikėme baigtinių skirtumų metodą [6, 7].

3.1. Analiziniai sprendiniai Ypatingaisiais substrato koncentracijų atvejais netiesinis reakcijos narys lygtyse (2)-(3) tampa beveik

tiesiniu:

MM

max

M

max KSSKV

SKSV

<<≈+

kai, , (12)

MmaxM

max KSVSK

SV>>≈

+kai, . (13)

Tiesiniais reakcijos nario atvejais yra žinomi kraštinio uždavinio (2)-(9) analiziniai sprendiniai [3, 5]. Juos galima taikyti kompiuterinio modelio korektiškumui patikrinti bei sprendinio tikslumui įvertinti.

Kai tenkinama nelygybė S0 << KM, biojutiklio atsako pusiausvirąją srovę galima apskaičiuoti taip [5]:

−=

)cosh(111

0 σdSFDnI Pep , (14)

kur σ- bedimensinis difuzijos modulis, Damkoehler skaičius,

MS KDdV 2

max2 =σ . (15)

Kai substrato koncentracija yra labai didelė (S0 >> KM), biojutiklio pusiausviroji srovė nepriklauso nuo analizuojamojo tirpalo koncentracijos S0 [3]:

2maxdFVnI e

p = . (16)

Tačiau tarpinėse koncentracijose, t.y., kai S0 ≈ KM, analizinis sprendinys nežinomas, uždaviniui spręsti naudojami skaitiniai metodai.

3.2. Skirtuminės schemos Šiuo metu vienas plačiausiai taikomų yra baigtinių skirtumų (skirtuminis) skaitinis sprendimo metodas. Jis

tinka ir biojutiklio matematinio modelio netiesinėms antros eilės diferencialinėms lygtims dalinėmis išvestinėmis spręsti. Sprendžiant uždavinį baigtinių skirtumų metodu, nagrinėjamoji sritis padengiama tiesių (bendruoju atveju kreivių) tinklu τωω ×h :

{ }dhNNiihxx iih ==== ;,...,0,:ω , (17)

{ }TMMjjtt jj ==== ττωτ ;,...,0,: . (18)

Tinklo linijų susikirtimo taškuose diferencialinė lygtis keičiama skirtumine. Pažymėkime:

.,...,0;,...,0),(),,(),,( MjNitIItxPPtxSS jjjij

ijij

i ===== (19)

3.2.1. Neišreikštinė skirtuminė schema 1 Neišreikštinė skirtuminė schema sudaroma, kai viršutinėje eilutėje (kur reikšmės yra nežinomos) yra

daugiau nei vienas taškas. Neišreikštinės schemos pasižymi stabilumu ir rezultatų tikslumu, naudojant mažiau skaičiavimo žingsnių.

Baigtinių skirtumų metodo taikymas biojutiklio veiksmui modeliuoti

– 529 –

Biojutiklio matematinis modelis gali būti sprendžiamas keliomis neišreikštinėmis skirtuminėmis schemomis. Pirmąją jų pavadinkime „neišreikštine skirtumine schema 1“ ir sudarykime jos lygtis.

Pradinės matematinio modelio sąlygos (4)-(6) skaitiniame modelyje apibrėžiamos taip: NiSi <≤= 0,00 , (20)

00 SSN = , (21)

NiPi ≤≤= 0,00 . (22)

Kraštinės sąlygos (7)-(9) aproksimuojamos taip: jj SS 10 = , (23)

0SS jN = , (24)

MjPP jN

j ≤≤== 1,00 . (25)

Substrato koncentracijos kitimo lygtis (2) keičiama tokia skirtumine lygtimi (0 < i < N, 0 < j ≤ M):

1

1

211

1 2−

−−+

−

+−

+−=

−j

iM

jimax

ji

ji

ji

S

ji

ji

SKSV

hSSS

DSSτ

. (26)

Skaičiuojant produkto koncentracijas, galima pasinaudoti jau apskaičiuotomis substrato koncentracijomis viršutiniame sluoksnyje. Taigi lygtį (3) galima aproksimuoti taip (0 < i < N, 0 < j ≤ M):

jiM

jimax

ji

ji

ji

P

ji

ji

SKSV

hPPPDPP

++

+−=

− −+−

211

1 2τ

. (27)

Biojutiklio srovės tankis (10) aproksimuojamas taip (0 < j ≤ M):

.1

hP

FDnIj

pej = (28)

Biojutiklio pusiausvirąja srove laikysime srovę IR, apskaičiuotą laiko momentu tR,

pRRj

jjjIjR ItII

III

ttj

≈=

<−

= −

>>)(,:min 1

0,0ε

τ. (29)

Skaičiavimams taikėme ε = 10-5.

3.2.2. Neišreikštinė skirtuminė schema 2 Substrato koncentracijos kitimo lygtį (2) galima aproksimuoti labiau neišreikštine schema nei (26).

Reakcijos nario skaitiklyje substrato koncentraciją galima imti aukštesnio lygmens:

1211

1 2−

−+−

+−

+−=

−j

iM

jimax

ji

ji

ji

S

ji

ji

SKSV

hSSS

DSSτ

. (30)

Ši skirtuminė lygtis, kaip ir (26), yra tiesinė. Naujoje skirtuminėje schemoje visos kitos skirtuminės lygtys yra tapačios „neišreikštinei skirtuminei schemai 1“.

3.2.3. Crank-Nicolson schema Pakankamai dažnai difuzijos lygties aproksimavimui yra taikomas Crank-Nicolson metodas [4]. Taikant šį

metodą, reakcijos-difuzijos lygtys (2) ir (3) aproksimuojamos tiesinėmis skirtuminėmis lygtimis:

( ) 1

11

111

1112

1

222 −

−−−

−−+−+

−

+−+−++−=

−j

iM

jimaxj

ij

ij

ij

ij

ij

iS

ji

ji

SKSVSSSSSS

hDSS

τ, (31)

( ) jiM

jimaxj

ij

ij

ij

ij

ij

iP

ji

ji

SKSVPPPPPP

hDPP

+++−++−=

− −−

−−+−+

−1

111

1112

1

222τ

. (32)

Šioje skirtuminėje schemoje visos kitos matematinio modelio lygtys (4)-(10) yra aproksimuojamos taip pat, kaip kitose dviejose skirtuminėse schemose.

4. Rezultatai Skaitiniams sprendiniams gauti buvo sudaryti kompiuteriniai modeliai. Gautųjų tiesinių algebrinių lygčių

sistemų matricos yra triįstrižainės, todėl lygčių sistemos buvo sprendžiamos pakankamai efektyviai [6]. Apibrėžtos skirtuminės schemos buvo lyginamos tarpusavyje atsižvelgiant į schemų paklaidas ir skaičiavimo laiką. Santykinė paklaida skaičiuojama taip:

Evelina Gaidamauskaitė, Romas Baronas

– 530 –

P

RP

IIIe −

= . (33)

Čia IP – analizinio sprendinio pusiausvirosios srovės stipris, IR - pusiausvirosios srovės stipris apskaičiuotas taikant skirtuminę schemą. Matematinio modelio sprendiniai buvo skaičiuojami taikant S0 = 10-10 mol/cm3 ir S0 = 10-4 mol/cm3 reikšmes. Kitų parametrų reikšmės tokios: DS = DP = 3×10-6 cm2/s, KM = 10-7 mol/cm3, ne = 2, Vmax = 10-7 mol/cm3s, T = 10 s, d = 0.01 cm.

1 pav. pateiktos nagrinėtų schemų skaičiavimo paklaidų kreivės, nekeičiant erdvės ir keičiant laiko žingsnių skaičių. Santykinės paklaidos gautos naudojant S0 << KM analizinį sprendinį (14). Iš paveikslo matyti, kad gaunami labai panašūs rezultatai naudojant neišreikštinę schemą 1 ir neišreikštinę schemą 2. Skaičiuojant su Crank-Nicolson tipo schema prie pakankamai mažų žingsnių gaunamos mažiausios paklaidos. Šį dėsningumą patvirtina ir rezultatai gauti fiksuojant laiko ir keičiant erdvės žingsnių kiekį. 2 pav. pateiktos santykinės paklaidos, gautos naudojant analizinį sprendinį (16), kai S0 >> KM. Skaičiuojant su tokia substrato koncentracija santykinė paklaida gaunama keliomis eilėmis didesnė už paklaidą gaunamą naudojant S0 << KM analizinį sprendinį. Tai galima paaiškinti tuo, kad analizinis sprendinys (16) yra mažiau tikslus nei sprendinys (14) [3, 5]. Rezultatai, gauti neišreikštine schema 1 ir neišreikštine schema 2, yra labai panašūs. Esant nepakankamai mažiems laiko žingsniams, Crank-Nicolson schemos santykinė paklaida kinta nemonotoniškai. Pasiekus gana mažus laiko žingsnius, visų trijų nagrinėjamų schemų rezultatai tampa labai panašūs.

0,000055

0,000057

0,000059

0,000061

0,000063

0,000065

0,000067

0,000069

0 100 200 300 400 500

Laiko žingsnių skaičius (M)

San

tyki

nė p

akla

ida

(e)

Neišreikštinė 1Neišreikštinė 2Crank-Nicolson

1 pav. Santykinės paklaidos e priklausomybė nuo laiko žingsnių skaičiaus M; N = 640, S0 = 10-10 (mol/cm3) << KM

0,0026

0,00265

0,0027

0,00275

0,0028

0,00285

0 100 200 300 400 500

Laiko žingsnių skaičius (M)

San

tyki

nė p

akla

ida

(e)

Neišreikštinė 1Neišreikštinė 2Crank-Nicolson

2 pav. Santykinės paklaidos e priklausomybė nuo laiko žingsnių skaičiaus M; N = 640, S0 = 10-4 (mol/cm3) >> KM

Parenkant skirtingas žingsnių reikšmes, sudaryta kompiuterio skaičiavimo laiko lentelė (1 lentelė). Iš pateiktų duomenų matyti, jog skaičiavimas neišreikštinėmis schemomis 1 ir 2 prie įvairių žingsnių skaičiaus trunka panašų laiką. Kadangi lygtis (26) yra sprendžiama šiek tiek paprasčiau nei (30), tai schema 2 yra beveik nenaudotina. Šiek tiek ilgiau nei šiomis schemomis skaičiuojama naudojant Crank-Nicolson schemą. Skaičiavimai buvo atlikti naudojant kompiuterį – „Celeron“ 2,20 GHz, RAM 480MB.

Baigtinių skirtumų metodo taikymas biojutiklio veiksmui modeliuoti

– 531 –

1 lentelė. Schemų skaičiavimo laikas (ms), I – neišreikštinė schema 1, II – neišreikštinė schema 2, III – Crank-Nicolson schema

N = 80 N = 160 N = 320 N = 640 M I II III I II III I II III I II III 80 16 15 16 32 31 31 63 62 78 125 109 172

160 32 31 63 63 46 78 94 109 125 203 188 328 320 78 94 94 110 109 172 203 203 218 391 360 453 640 156 187 187 219 203 235 391 359 578 735 766 890

5. Išvados Visi sudaryti kompiuteriniai modeliai, kuriuose taikomos skirtingos skirtuminės schemos, yra gana tikslūs

esant pakankamai dideliam laiko ir erdvės žingsnių skaičiui. Modelių, realizuojančių neišreikštines schemas 1 ir 2, rezultatai skiriasi labai mažai. Mažiausia paklaida, esant pakankamai mažiems žingsniams, yra gaunama taikant Crank-Nicolson schemą. Ši schema pranašesnė tuomet, kai siekiama gauti pakankamai tikslų sprendinį, naudojant didesnius skaičiavimo žingsnius. Neišreikštinių skirtuminių schemų 1 ir 2 skaičiavimas trunka šiek tiek trumpiau nei Crank-Nicolson schema. Kadangi neišreikštinėmis schemomis 1 ir 2 gaunamų rezultatų tikslumas ir jų gavimo laikas yra labai panašūs, tai tuomet, kai sprendžiant uždavinį (2)-(9) nėra būtinas ypač didelis tikslumas ir siekiama greitai gauti uždavinio sprendinį, yra tikslinga taikyti bene paprasčiausiąją neišreikštinę schemą (20) – (27).

Literatūra [1] R. Aris. The Mathematical Theory of Diffusion and Reaction in Permeable Catalysts. The Theory of the Steady State,

Clarendon Press, Oxford, 1975. [2] R. Baronas, F. Ivanauskas, J. Kulys. The Influence of the Enzyme Membrane Thickness on the Response of

Amperometric Biosensors. Sensors, 3, 2003, p. 248-262. [3] P.W. Carr, L.D. Bowers. Immobilized Enzymes in Analytical and Clinical Chemistry: Fundamentals and Applications,

John Wiley, New York, 1980. [4] J. Crank, P. Nicolson. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the

heat conduction type. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 43, 1947, p. 50–64. [5] J. Kulys. Development of new analytical systems based on biocatalysts. Enzyme and Microbial Technology, 3, 1981, p.

344−352. [6] B. Kvedaras, M. Sapagovas. Skaičiavimo metodai. Mintis, Vilnius, 1974. [7] A.A. Samarskii. The Theory of Difference Schemes, Marcel Dekker, New York-Basel, 2001. [8] F. Scheller, F. Schubert. Biosensors, Elsevier, Amsterdam, Vol. 7, 1992. [9] T. Schulmeister. Mathematical modelling of the dynamic behaviour of amperometric enzyme electrodes. Selective

Electrode Reviews, 12, 1990, p. 203−260. [10] A.P.F. Turner, I. Karube, G.S. Wilson. Biosensors: Fundamentals and Applications, Oxford University Press,

Oxford, 1987. [11] U. Wollenberger, F. Lisdat, F.W. Scheller. Frontiers in Biosensorics 2. Practical Applications, Birkhauser Verlag,

Basel, 1997.

Finite Difference Method for the Modelling of Biosensor This paper presents a one-dimensional-in-space mathematical model of the amperometric biosensors. The

model is based on diffusion equations containing a non-linear term related to Michaelis-Menten kinetics of the enzymatic reactions. Stated problem is solved using finite difference method. Several types of schemes are defined. The numerical results of the different solution methods are compared using analytical solutions.

IŠSKIRČIŲ PAIEŠKA

Vilius Kontrimas, Antanas Verikas Kauno technologijos universitetas

Norint teisingai nustatyti modelio parametrus reikia pašalinti iš imties nesiderinančius su visuma duomenis, vadinamus išskirtimis, arba naudoti tokius parametrų nustatymo metodus, kurie būtų nejautrūs išskirtims. Straipsnyje pirmiausia

apžvelgtas standartizavimas, toliau tokie metodai kaip perrinkimas pagal pusės vidurkius, mažiausias pusės dydis, mažiausias atstumas iki centro, elipsoidinis daugialypis atrinkimas, mažiausias elipsoidas , mažiausias išsibarstymo determinantas,

liekamųjų paklaidų analizė, įtakos matai, atspari regresija ir klasifikavimo metodai.

1. Įvadas Duomenys, nesiderinantys su dauguma, vadinami išskirtimis. Tai tam tikri „įtartini“ duomenų taškai [20].

Dažnai išskirtys turi didelę įtaką modelio parametrams, todėl tokius duomenis iš imties reikia pašalinti. Tik labai svarbu atskirti išskirtis nuo „įtakingų“ duomenų (high influence points), kurie taipogi išsiskiria iš duomenų visumos, tačiau yra svarbūs teisingam modelio parametrų nustatymui. Dalis metodų leidžia atskirti šiuos dviejų tipų taškus, dalis tik išskiria išskirtis. Šio straipsnio tikslas apžvelgti bei kategorizuoti pagrindinius išskirčių paieškos metodus.

2. Išskirčių paieškos metodai Išskirčių paieškos metodus galima skirtyti į keturias dideles grupes:

1. Metodai, pagrįsti duomenų atstumu nuo centro. Čia naudojama X matrica, kurioje saugomos nepriklausomų kintamųjų reikšmės, bei projekcijos matrica, kurių pagalba tiriamas nutolimas tik X erdvėje [2, 14, 20].

2. Metodai, pagrįsti nuspėtų arba prognozuotų (predicted) reikšmių atstumu nuo realių priklausomo kintamojo reikšmių. Čia naudojamos liekamosios paklaidos, liekamųjų paklaidų grafikai, įtakos matai [4, 5, 11, 16].

3. Atsparios regresijos naudojimas – vietoj įprasto mažiausių kvadratų įverčio naudojami įverčiai, mažiau jautrūs išskirtims. Tai mažiausio absoliutaus nuokrypio (LAD – least absolute deviation), M, mažiausių nupjautųjų kvadratų (LTS –least trimmed squares), mažiausių kvadratų medianos (LMS – least median of squares), S, mažiausio M (MM – minimum M) įverčių naudojimas [3, 6, 7, 13, 23].

4. Klasifikavimo metodų naudojimas. Tokiu atveju klasifikatorius turi skirti duomenis į dvi klases – išskirtys ir normalūs duomenys [1, 10].

2.1. Standartizavimas Algoritmų efektyvumui padidinti naudojamas duomenų standartizavimas. Standartizavimas ne tik gali

pagerinti išskirčių paieškos algoritmo efektyvumą, bet ir suteikia informaciją apie duomenų taško padėtį duomenų aibėje [14]. Egzistuoja du standartizavimo tipai: įprastas ir atsparus. Įprastai standartizuojant naudojamas vidurkis x ir standartinis nuokrypis s:

sxxz i

i−

= (1)

Jeigu duomenys pasiskirstę pagal normalinį skirstinį, tai [20]: apytiksliai 68 proc. z reikšmių patenka į intervalą (-1; 1); apytiksliai 95 proc. z reikšmių patenka į intervalą (-2; 2); apytiksliai 99 proc. z reikšmių patenka į intervalą (-3;3);

Jei duomenys nepaklūsta normaliajam skirstiniui, tada naudojama Čebyševo taisyklė [19], pagal kurią: ne mažiau 75 proc. reikšmių patenka į intervalą )2,2( sxsx +− ; ne mažiau 88 proc. reikšmių patenka į intervalą )3,3( sxsx +− ;

Jei duomenų imtyje yra labai nedidelis procentas išskirčių ir jos toli nuo vidurkio, esant nedidelei dispersijai, tai šių taisyklių pakanka išskirtims pašalinti.

Tačiau įprastas standartizavimas yra jautrus išskirtims, dėl jų tiesioginės įtakos vidurkiui ir standartiniam nuokrypiui, todėl naudojami vadinami „atsparūs“ standartizavimo būdai.

Huber pasiūlė atsparų standartizavimo būdą [14], kai vietoj vidurkio yra naudojama mediana, o vietoj standartinio nuokrypio naudojamas standartinio absoliutaus nuokrypio nuo medianos mediana.

|))(med(|med4826.1 jjiiMAD xS x−= (2)

– 532 –

Išskirčių paieška

čia (vidinė mediana) yra j-tojo parametro mediana, o išorinė mediana yra vidinių medianų mediana. Koeficientas 1.4826 užtikrina, kad pagal normalųjį skirstinį pasiskirsčiusiems duomenims, S

)(med jj x

MAD sutapa su normaliojo skirstinio standartiniu nuokrypiu.

Šis standartizavimas yra tinkamas net kai išskirčių dalis siekia 50 proc., tačiau yra neefektyvus asimetrinėms imtims, dėl savo dispersijos simetriškumo. Rousseeuw ir Croux vietoj SMAD pasiūlė naudoti kitus du įverčius – Sn ir Qn, kurie yra tinkami asimetrinėms duomenų imtims.

|))(|(1926.1 jijin xxmedmedS −= (3)

čia vidinė mediana yra mediana absoliučių skirtumų | , kur j kinta nuo 1 iki n, n stebėjimų skaičius. Išorinė mediana yra vidinių medianų mediana, koeficientas 1.1926 naudojamas norint sutapadinti S

|)(| jij xxmed − |ji xx −

n su normaliojo skirstinio standartiniu nuokrypiu. Sn yra tipiško atstumo tarp duomenų įvertis, naudojamas asimetrinėms imtims. Qn yra dar efektyvesnis

įvertis: )(}|),{|2219.2 kjin jixxQ <−= (4)

čia k yra lygus (h 2) darinių arba h(h-1)/2, kai h=[n/2]+1, kur n duomenų skaičius, o [] reiškia sveiką skaičiaus dalį. Grubiai k yra lygus((n 2)/4). Tad Qn yra k-oji eilės statistika (h 2) duomenų taškų skirtumų. koeficientas 2.2219 naudojamas norint sutapadinti Qn su normaliojo skirstinio standartiniu nuokrypiu.

Standartizavimas rekomenduojamas naudoti visuose išskirčių paieškos metoduose, pagrįstuose duomenų atstumu nuo centro. L. H. Chang su kitais publikacijos bendraautoriais [14] siūlo naudoti itin atsparų standartizavimą, kurio nejautrumas išskirtims yra toks kaip naudojant Sn, Qn įverčius, tačiau gaunamas geresnis standartinio nuokrypio įvertinimas. Pirmiausia yra suskaičiuojamas visų duomenų aibės elementų skirtumų nuo medianos modulis:

medianii xxy −= (5) kuris išrikiuojamas didėjimo tvarka. Tada standartinis nuokrypis yra skaičiuojamas tik naudojant pusę mažiausių skirtumų:

22/)(

)(12/)(

1

2

−+

−

=∑

−+

=

nj

yynj

imeani

jδ (6)

Didėjant j, didėja ir standartinis nuokrypis , kol nepasiekiamos išskirtys, didėjimas vyksta

palaipsniui. Staigus padidėjimas rodo, kad nuo tos vietos duomenys yra išskirtys. Kad išvengti grafinės

analizės naudojamas kintamasis :

jδ

jδ

jr

j

jjr

δδ 1+= (7)

kurio pirmas ir staigus pokytis rodo išskirčių pradžią. Autoriai siūlo naudoti ir ketvirtos eilės standartinį nuokrypį, kuris yra jautresnis išskirtims, tad ir pokyčiai yra dar staigesni. Nustačius patikimus stebėjimus, yra skaičiuojamas vidurkis ir standartinis nuokrypis, kurie naudojami standartizavimui.

jδ jr

2.2. Metodai, pagrįsti duomenų atstumu nuo centro Labai svarbu, kad imties įverčiai būtų apsaugoti nuo išskirčių įtakos. Tam yra visa eilė metodų, kuriais

atrenkami besiderinantys su visuma duomenys ir pagal juos nustatomi imties įverčiai: 1. Perrinkimas pagal pusės vidurkius (RHM - resampling by half means) 2. Mažiausias pusės dydis (SHV - smallest half volume) 3. Mažiausias atstumas iki centro (CDC - closest distance to the center) 4. Elipsoidinis daugialypis atrinkimas (EMVT - ellipsoidal multivariate trimming) 5. Mažiausio elipsoido (MVE – minimum volume ellipsoid) 6. Mažiausio išsibarstymo determinanto (MSD – minimum scatter determinant)

Jei naudojamas RHM metodas, tai imama atsitiktinė n/2 imtis, suskaičiuojami vidurkio ir standartinio nuokrypio įverčiai, tada atliekamas standartizavimas. Tada atrenkama 5 proc. šios imties stebėjimų, kurių standartizuotų reikšmės didžiausios ir jos pažymimos kaip „įtartini stebėjimai“. Ši procedūra atliekama bent 2n kartų. Tada skaičiuojami vidurkio ir standartinio nuokrypio įverčiai naudojant tik „neįtartinus“ stebėjimus, jų pagrindu atliekamas standartizavimas, šalinamos išskirtys.

Naudojant SHV metodą duomenų matrica X yra standartizuojama ir apskaičiuojamas Euklidinis atstumas tarp visų stebėjimų porų. Gaunama n eilučių n stulpelių atstumų matrica D, n – stebėjimų skaičius. Kiekvienas D stulpelis išrikiuojamas didėjimo tvarka. Tada ieškoma n/2 pirmų stulpelių reikšmių mažiausia suma. Tai parodo n/2 skaičių duomenų, kurie yra arčiausiai vienas nuo kito. Kadangi išskirtys paprastai yra nutolę nuo didžiosios daugumo duomenų, tai jos lieka likusioje n/2 dalyje. Pagal atrinktas reikšmes yra

– 533 –

Vilius Kontrimas, Antanas Verikas

apskaičiuojami įverčiai, kurie paskui panaudojami visos imties standartizavimui ir išskirčių šalinimui pagal didesnes nei slenkstis di reikšmes.

CDC metodu išskirtys yra atrenkamos pagal stebėjimų euklidinį atstumą nuo vidurkio. Pirmiausia duomenų matrica X yra standartizuojama, tada skaičiuojamas kiekvieno stebėjimo Euklidinis atstumas iki vidurkio. Galima skaičiuoti tik maksimalios komponentės atstumą iki vidurkio. Suskaičiavus atstumus yra atrenkma n/2 stebėjimų, kurių atstumas yra mažiausias iki centro [14]. Pagal atrinktus stebėjimus yra skaičiuojami įverčiai, pagal juos standartizuojama visa imtis, šalinamos išskirtys.

Elipsoidinio daugialypio atrinkimo metodo EMVT atveju pirmiausia skaičiuojamas kiekvieno stebėjimo Mahalanobio atstumas :

)()( 1 xxCOVxx −××−= −Tmd (8)

kur x yra vidurkių vektorius, COV kovariacijos matrica. Pradžioje šie įverčiai yra suskaičiuoti naudojant visą imtį. Tada yra atrenkami n/2 stebėjimų, kurių Mahalanobio atstumas mažiausias ir pagal juos suskaičiuojami

nauji x ir COV. Naudojant naujus įverčius vėl skaičiuojamas Mahalanobio atstumas, tai tesiama tol, kol x ir COV reikšmės stabilizuojasi. Tada pagal likusius stebėjimus skaičiuojami reikalingi įverčiai, standartizuojama visa imtis, šalinamos išskirtys.

Mažiausio elipsoido metodas (MVE – minimum volume ellipsoid) pagrįstas mažiausio elipsoido suradimu, apimančio bent h stebėjimų. Pirmiausia yra imama imties dalis K, kurios dydis m+1, kai m yra

požymių skaičius. Tada skaičiuojamas K imties vidurkis Kx ir kovariacijos matrica COVK. Elipsoidui reguliuoti

naudojamas parametras λK, tad galutinis elipsoido dydis yra proporcingas | . Atlikus šią

procedūrą gaunami optimalūs vidurkio ir kovariacijos įverčiai

pKK )(| 2/1 λCOV

25.0,

2

n

KK

χλ COV

=,K COVxx = . Čia dalinama iš

, kad elipsoidas apimtų visus gerus taškus normalinio pasiskirstymo atveju. 25.0,nχ

Mažiausio išsibarstymo determinanto metodo atveju (MCD – minimum scatter determinat) ieškoma h>n/2 stebėjimų, kurių kovariacijos matricos determinantas yra mažiausias. Šių stebėjimų vidurkis ir kovariacijos matrica naudojami kaip atspartūs populiacijos vidurkio ir kovariacijos matricos įverčiai.

Naudojant šiuos metodus galima naudoti visų tipų standartizavimą, standartizavimas vadinamas atspariu, kai naudojami sMAD, Sn, Qn, δj ar vidurkis x , gautas MVE arba MCD metodais [3].

Įtakingus taškus, nutolusius X erdvėje nuo centro galima aptikti ir projekcijos matricos H pagalba [16]. Taškų atstumas nuo jų centro yra glaudžiai susijęs su H matricos pagrindinės įstrižainės elementų reikšmėmis. Šios reikšmės atspindi santykinį atstumą nuo centro priklausomai nuo taškų išsidėstymo formos. Pavyzdžiui, jei taškai išsidėstę elipsės forma, tai taško x1 H11 reikšmė bus didesnė už taško x2 H22 reikšmę, jei x1 yra tokiu pačiu dydžiu nutolęs nuo centro, tačiau yra trumpesnėje įstrižainėje. Hii reikšmę galima apskaičiuoti ir nesudarant H matricos.

iTT

iiiH xXXx 1)( −= (9) čia xi yra atskiras stebėjimas arba i-toji X matricos eilutė. Reikšmių ribos Hii yra 1 , kur c yra

skaičius sutampančių stebėjimų. Įtakingi taškai yra tie, kurių reikšmė didesnė nei , čia

nHc ii /1/ ≥≥

npii /2> pH ∑=

=n

iiiH

1

2.3. Metodai, pagrįsti nuspėtų reikšmių atstumu nuo realių priklausomo kintamojo reikšmių Antra stambi išskirčių paieškos metodų grupė yra pagrįsta regresijos lygtimi, šie metodai paprastai taikomi

naudojant mažiausių kvadratų metodą regresijos lygties parametrams apskaičiuoti [16]. Juos galima dar skaidyti į sekančias grupes:

1. Metodai, pagrįsti liekamųjų paklaidų analize a. Skaitiniai slenksčiai b. Grafikais pagrįsta analizė

2. Metodai, pagrįsti įtakos matavimais 2.3.1. Liekamųjų paklaidų analizė

Taikant tiesinę regresiją atsitiktinė regresijos paklaida ε yra pasiskirsčiusi pagal normalinį skirstinį, skirstinio vidurkis µ=0 ir dispersija N(0,Iδ2). Liekamoji paklaida e yra ε įvertis, kuris parodo skirtumą tarp stebėjimo reikšmės yi ir regresijos lygties pagalba gautos reikšmės [16]: iy

iii yye ˆ−= (10) Taipogi ją galima išreikšti kaip liekamųjų paklaidų projekcijos matricos M (tai projekcijos matrica, lygi

vienetinės matricos I ir projekcijos matricos H skirtumui) ir y vektoriaus sandauga [12]:

– 534 –

Išskirčių paieška

yHIMye )( −== (11) Norint rasti išskirtis, liekamosios paklaidos standartizuojamos:

se

e iNi = (12)

čia s yra liekamųjų paklaidų standartinis nuokrypis. Standartizuotoms reikšmėms taikoma 3σ taisyklė. Siekiant didesnio jautrumo išskirtims joms taikomas vidinis stjudentizavimas:

ii

iSi

Hs

ee

−×

=

1

(13)

čia Hii yra projekcijos matricos H pagrindinės įstrižainės elementas. Stjudentizuotos liekamosios paklaidos leidžia geriau atpažinti išskirtis, tačiau dažniau yra naudojamos išorinio stjudentizavimo (jackknife) išskirtys:

)(

)1(2

Si

SiJiemn

mnee−−

−−= (14)

čia (n-m-1) yra stjudento skirstinio laisvės laipsnių skaičius, n yra stebėjimų skaičius, m požymių skaičius. Galima šias liekamąsias paklaidas apskaičiuoti naudojant standartinį nuokrypį si, kuris apskaičiuojamas imčiai be i-tojo stebėjimo.

iii

iJi

Hs

ee

−×

=

1

(15)

Kadangi išorinio stjudentizavimo liekamosios paklaidos pilnai atitinka stjudento skirstinį, jos yra vienas dažniausiai naudojamų liekamųjų paklaidų tipų išskirtims aptikti, išskirčių šalinimui paprastai naudojamas 95 proc. reikšmingumo lygmuo.

Kitas liekamųjų paklaidų tipas, naudojamas išskirčių aptikimui yra prognozuotos (predicted) liekamosios paklaidos:

ii

iPi H

ee−

=1

(16)

Rekursyvios liekamosios paklaidos yra svarbios tuo, kad yra nepriklausomai ir identiškai pasiskirsčiusios (independent and identically distributed), tad itin tinka duomenų normališkumo, parametrų stabilumui, autokoreliacijai tirti. Jos yra apskaičiuojamos palaipsniui, pradedant nuo m stebėjimų (m yra parametrų skaičius) ir skaičiuojamos iki n pridedant po vieną stebėjimą.

iiTi

Ti

iiiRi

xXXx

bxye

111

1

)(1 −−−

−

−

−= (17)

čia yra parametrai, nustatyti pagal (i-1) stebėjimų skaičių. Pirmosios m rekursyvios liekamoji paklaidos lygios 0.

1−ib

Išskirčių aptikimui paprastai naudojamos išorinio stjudentizavimo arba prognozuotos liekamosios paklaidos, heteroskedastiškumui nustatyti - vidinio stjudentizavimo, autokoreliacijai, normališkumui – rekursyvios liekamosios paklaidos [12].

Pačio modelio tinkamumą labai patogu tikrinti, braižant grafiką, kuriame ordinačių ašyje atidedamos liekamosios paklaidos arba standartizuotos liekamosios paklaidos, o abscisių ašyje prognozuojamos y reikšmės arba stebėjimo reikšmės.

ieiY

^0 ieiY

^0ie

iY^

0

A) B) C)

1 pav. Grafikas modelio testavimui

– 535 –

Vilius Kontrimas, Antanas Verikas

Variante A pateiktos reikalavimus atitinkančio modelio liekamosios paklaidos, variante B didėja jų dispersija, o variante C liekamųjų paklaidų forma parodo, kad trūksta nepriklausomo kintamojo. Tačiau svarbu atkreipti dėmesį, kad stebėjimas išskirtis nebūtinai turi liekamąją paklaidą išskirtį, todėl tokia grafinė analizė pačių išskirčių aptikimui netinkama. Tam naudojama sudėtingesnė grafinė analizė.

Sudėtingesni grafinės liekamųjų paklaidų analizės metodai leidžia atskirti išskirtis nuo įtakingų taškų. Prognozuotų liekamųjų paklaidų grafike išskirtys yra tieses y=x gale bei pradžioje, įtakingi taškai išsidėstę toli nuo tieses. Ordinačių ašyje atidedamos liekamosios paklaidos, abscisių – prognozuotosios liekamosios paklaidos.

Viljamo (Williams) grafike ordinačių ašyje atidedamos išorinio stjudentizavimo liekamosios paklaidos, o abscisių – projekcijos matricos H pagrindinės įstrižainės nariai. Lygiagrečiai abscisių ašiai brėžiamas slenkstis

, t –Stjudento skirstinys, 0.95 reikšmingumo lygmuo, (n-m-1) laisvės laipsnių skaičius, kuris atskiria išskirtis. Lygiagrečiai ordinačių ašiai atidedamas slenkstis

)1(95.0 −−= mntynmy /2= , kuris atskiria įtakingus taškus.

Pregibono grafike ordinačių ašyje atidedamos standartizuotos liekamosios paklaidos, pakeltos kvadratu, o abscisių ašyje projekcijos matricos H pagrindinės įstrižainės nariai. Brėžiami du slenksčiai nmxy /)1(2 ++−= ir . Jei taškas yra tarp šių slenksčių – jis gali būti tiek išskirtis, tiek įtakingas taškas, jei virš antrojo – išskirtis arba labai įtakingas taškas.

nmxy /)1(3 ++−=

Makulo (McCulloh) ir Myterio (Meeter) grafiko ordinačių ašyje atidedamos vidinio standartizavimo liekamosios paklaidos pakeltos kvadratu natūrinis logaritmas, o abscisių ašyje . Lygiagrečiai abscisių ašiai brėžiamas slenkstis išskirtims, kurio reikšmingumo lygis 90 proc., išraiška

. Slenkstis įtakingiems taškams yra lygiagretus ordinačių ašiai ir lygus

.

))1(/(ln( iiii HmH −

),(ln 9.0 mmnFxy −−−=

(()/(2ln( 95.02×−= ntmny )1−− m

Grėjaus (Gray) L-R grafike ordinačių ašyje yra normalizuotos liekamosios paklaidos kvadratu, o abscisių ašyje projekcijos matricos H pagrindinės įstrižainės elementai. Visi taškai yra tarp koordinačių ašių ir įžambinės, apibrėžtos lygybe . Išskirtys yra apibrėžtos hiperbole , kur

. Konstanta c paprastai būna 2,4 arba 8 [16].

12 =+ Niii eH

m

)1)1(/()12( 2 −−−−= Kxxxy

cmnnK 2/)1( −−=Taipogi yra naudojami indeksų grafikai, kur abscisių ašyje atidedamas liekamosios paklaidos indeksas, o

ordinačių ašyje gali būti atidėtas bet kuris liekamųjų paklaidų tipų. 2.3.2. Įtakos matai

Yra sukurta visa eilė įtakos matavimų, leidžiančių nustatyti išskirtis. Kuko matas (Cook‘s D) atspindi regresijos lygties parametrų pokytį, kai yra išmetamas i-tasis stebėjimas [12].

2))(()(

psD i

TTi

ibbXXbb −−

= (18)

čia bi yra regresijos lygties parametrai, apskaičiuoti, kai i-tasis stebėjimas yra pašalintas, p yra H matricos pagrindinės įstrižainės elementų suma, o s2 yra imties dispersija.

Tačiau Di galima išreikšti ir kitu būdu, kuris leidžia papildomai interpretuoti Kuko matą.

−

×=ii

iiSii H

Hp

eD

1

2 (19)

Taigi Di reikšmė yra didelė, kai gaunama didelė standartizuota liekamoji paklaida ir stebėjimas yra toli nutolęs nuo duomenų centro. Žvelgiant į pirmąją Di išraišką, jį galima išreikšti dar vienu būdu:

2

)ˆˆ()ˆˆ(ps

D iT

ii

yyyy −−= (20)

kas leidžia Kuko matą interpretuoti kaip Euklidinį atstumą tarp prognozuotų y reikšmių, nesant i-tajam stebėjimui ir esant visiems stebėjimams.

Kuko matas matuoja b parametrų pasikeitimą pasikliautinumo elipsoidais. Jei Di reikšmė yra lygi F skirstinio reikšmei , vektorius b),()( pnpF −α i yra 100(1-α) pasikliautinumo elipsoide nuo β apskaičiuotame pagal b. Taškas įtakingas, jei viršija F skirstinio reikšmę, kai α yra 0.5. Galima naudotis ir paprastesne taisykle, kad stebėjimai įtakingi, kurių Di reikšmės viršija 4/n [20].

Labai panašus yra Welšo ir Kucho (Welsh and Kuh) matas WKi, kuriame vietoj standartinio nuokrypio s naudojamas standartinis nuokrypis si, apskaičiuotas, kai nėra i-tojo stebėjimo.

– 536 –

Išskirčių paieška

2

)ˆˆ()ˆˆ(

i

iT

ii ps

WKyyyy −−

= (21)

DFFITS įtakos matas parodo i-tojo stebėjimo pašalinimo įtaką prognozuojamai reikšmei. y

ii

iiJi

iii

i

ii

ii

iii

iiii H

He

Hse

HH

Hs

yyDFFITS

−×=

−×

−=

−=

111

ˆˆ 2)( (22)

čia yra prognozuota reikšmė ir s)(ˆ iiy iy i yra standartinis nuokrypis, kai parametrų apskaičiavimui nenaudotas i-tasis stebėjimas. Standartinį nuokrypį si galima apskaičiuoti iš lygybės:

ii

ii H

espnspn

−−−=−−

1)()1(

222 (23)

Žinant DFFITS reikšmes galima apskaičiuoti Kuko mato reikšmes.

2

22

pss

DFFITSD iii ×= (24)

Išskirtys yra stebėjimai, kurių DFFITS reikšmė yra 2 ar daugiau, taikant slenkstį priklausomą nuo imties dydžio jis lygus np /2 .

Atkinsono įvertis yra glaudžiai susijęs su DFFITS.

ppnDFFITS

HH

ppneA i

ii

iijii

−=

−×

−= ||

1|| 2 (25)

Išskirčių slenkstis yra npn /)(2 − . Atkinsono įvertis, Kuko matas ir DFFITS yra labai panašūs įverčiai, todėl paprastai naudojamas tik vienas iš jų.

Stebėjimų įtaka atskiriems regresijos koeficientams yra nustatoma pagal DFBETAS įvertį.

1)( −

−=

jjT

i

j(i)jji

s

bbDFBETAS

XX (26)

čia bj j-tojo parametro įvertis, bj(i) yra parametro įvertis ir si yra standartinis nuokrypis, kai pašalintas i-tasis stebėjimas, o yra sandaugos pagrindinės įstrižainės j-tasis elementas. 1)( −

jjT XX 1)( −XXT

COVRATIO įtakos matas parodo i-tojo stebėjimo pašalinimo įtaką kovariacijos matricos determinantui.

[ ][ ]

1

2

12

12)1(1

)(det)(det

−

−

−

−

−+

−−−

== ii

p

SiT

iTii

i Hpn

epn

pnXXsXXs

COVRATIO (27)

Stebėjimai, kurių COVRATIO reikšmė yra apie 1 parametrų tikslumui įtakos turi mažai, kurių reikšmė nepatenka į intervalą (1-3m/n; 1+3m/n) yra įtakingi.

Andriaus ir Pregibono (Andrew and Pregibon) statistika parodo i-tojo taško pašalinimo įtaką konfidencialumo elipsoido dydžiui, patogiausia jos išraiška yra tokia [16]:

21 Niiii eHAP −−= (28) Stebėjimai yra įtakingi jei 1 nmAPi /)1(2 +>− . Kuko ir Vaisbergo (Cook and Weisberg) tikėtinumo matas yra skirtumas tikėtinumo funkcijos su visais

taškais maksimalios reikšmės logaritmo ir analogiškos reikšmės, kai pašalintas i-tasis stebėjimas.

))ˆ()ˆ((2 ii LLLD θθ −= (29) Šio mato pagalba galima tirti įtaką tiek regresijos parametrams, tiek liekamųjų paklaidų dispersijai, todėl

vektoriuje gali būti saugomos parametrų arba dispersijų reikšmės. Įtakingų taškų slenkstis yra , čia yra chi kvadratu skirstinys.

θ(m )12

1 +> −LDi αχ 2χ

– 537 –

Vilius Kontrimas, Antanas Verikas

2.4. Atspari regresija Metodai, pagrįsti stebėjimo atstumu nuo centro bei prognozuotų reikšmių atstumu nuo tikrųjų padeda aptikti

ir pašalinti išskirtis, tuo tarpu atsparaus ir mažiau jautraus išskirtims regresijos lygties parametrų apskaičiavimo metodo naudojimas sumažina jų įtaką.

Įprastų mažiausių kvadratų regresijos rezultatus gali iškreipti net viena išskirtis, todėl vienas iš būdų gauti teisingus rezultatus yra atsparios regresijos naudojimas. Čia žinomiausi metodai yra M įverčių, aukšto atsparumo įverčių, bei jų kombinacijų naudojimas [3].

M įverčiai yra generalizuota didžiausio tikėtinumo įverčių versija, pirmąkart pristatyta Huberio (Huber). M įverčių esmė yra tai, kad minimizuojama ne liekamųjų paklaidų kvadratų suma, o lėčiau auganti jų funkcija. Jei standartinis tiesinės regresijos modelis yra toks:

εXβy += (30) čia y yra priklausomų kintamųjų vektorius, X yra 1×n nm× nepriklausomų kintamųjų matrica, β m×1 regresijos parametrų vektorius, ε atsitiktinių paklaidų vektorius, kurios standartinis nuokrypis σ. Ieškant parametrų β įverčių b yra sprendžiama problema:

1×n

)(min bOLSbQ (31)

čia įprastų mažiausių kvadratų atveju (OLS – ordinary least squares). Tokiu būdu surandami

regresijos parametrai b, su kuriais yra mažiausia liekamųjų paklaidų kvadratų suma.

∑=

=n

iiOLS eQ

1

2

Vienas pirmųjų įverčių, priskiriamų atspartiems, buvo mažiausio absoliutaus nuokrypio įvertis (LAD – least absolute deviation), kuris minimizuoja absoliučių liekamųjų paklaidų sumą:

∑=

−=n

i

TiiLAD yQ

1

|| bx (32)

čia xi i-toji X eilutė. Tačiau LAD įvertis kaip ir OLS yra visiškai neatsparus išskirtims. Itin svarbią vietą tarp atsparių įverčių užima M įvertis [7]. Naudojant M įvertį yra minimizuojam p funkcija,

dar kartais vadinama kaštų arba praradimų (cost or loss) funkcija, kuri yra mažiau auganti, simetriška ir pasiekia minimumą prie 0:

∑=

=n

iim eQ

1

)p( (33)

Mažiausių kvadratų atveju . Pažymėję p funkcijos išvestinę 2)p( ee = pψ ′= , kuri dar vadinama įtakos funkcija, gauname sprendimą:

∑=

=n

i

Tiie

1

)ψ( 0x (34)

čia j kinta nuo 1 iki m. Jei pažymėsime svorio funkciją , , tai gausime išraišką, kurią reikia apskaičiuoti:

eee /)ψ()w( = )w(w ii e=

∑=

=n

i

Tiii e

1

)(w 0x (35)

Šios skaičiavimo sprendimas yra svorinių mažiausių kvadratų skaičiavimas, kai minimizuojame .

Naudojant M įvertį regresinėje analizėje , naudojamos standartizuotos liekamosios paklaidos, t.y. padalintos standartizavimo įverčio s

∑=

n

iii e

1

22w

M, paprastai naudojamas absoliutus nuokrypis nuo medianos (MAD – median absolute deviation) arba standartizavimo įvertis nustatomas iteratyviai.. Naudojant standartizuotas liekamąsias sprendimo forma tokia:

∑=

=n

i

TiiSi e

1

)(w 0x (36)

čia

Mi

MiSi

se

se

/

)/ψ(w = . Kai kurie autoriai įverčius, kurie apskaičiuojami naudojant svorius, vadina W įverčiais, o

M įverčių skaičiavimui nurodo formulę (36), tačiau šiame darbe naudojamas vieningas pavadinimas šios klasės įverčių pavadinimas – M įverčiai.

– 538 –

Išskirčių paieška

Visgi M įverčiai yra gana jautrūs stebėjimams, kurie X erdvėje toli nutolę nuo centro. Todėl atsirado aukšto atsparumo slenksčio įverčiai (high breakdown value estimate), kurie yra nejautrūs išskirtims [3]. Pvz. aritmetinio vidurkio atsparumo slenkstis yra 0, nes net vienintelė išskirtis pakeičia jo reikšmę, tuo tarpu medianos yra 0.5, nes jos reikšmė nepasikeis, jei išskirčių dalis imtyje sudarys 50 procentų. M įverčio atsparumo taškas n/m, n –stebėjimų skaičius, m- parametrų skaičius. Pirmieji atsparūs įverčiai, turintys aukštą atsparumo slenkstį yra mažiausių kvadratų medianos (LMS – least median of squares) ir mažiausių nupjautųjų kvadratų (LTS – least trimmed squares) įverčiai. LMS įverčio esmė ta, kad minimizuojama ne mažiausių kvadratų suma, o jos mediana.

hLMS eQ = (37) čia h yra ( , m parametrų skaičius. Tad šio įverčio skaičiavimo metu yra atmetama 50 proc. didžiausių reikšmių ir minimizuojama likusi didžiausia. Atsparumo slenkstis gaunamas (n-h)/2, tačiau prielaida, kad imtyje yra 50 proc. išskirčių duoda trūkumų – jei išskirčių mažiau, parametrų optimizavimui nenaudojami visi geri stebėjimai ir gaunamas mažesnis tikslumas.

4/)13(2/)1 ++<<+ mnhn

Tuo tarpu LTS įverčio metu regresijos parametrų b optimizavimui naudojama dalies mažiausių liekamųjų paklaidų suma, dalies dydis žymimas h.

∑=

=h

iiLTS eQ

1

2 (38)

Reikšmės h parinkimas yra labai svarbus, nes ji apibrėžia kokia dalis stebėjimų bus panaudoti parametrų apskaičiavimui, ir tai galima įvardinti kaip šio įverčio trūkumą. Atsparumo slenkstis yra (n-h)/2, taigi sutampa su LMS. Tačiau šis įvertis šiuo metu yra populiaresnis už LMS, nes greičiau konverguoja, jo tikslo funkcija Q yra glodesnė, atsiradus greitam jo skaičiavimo algoritmui FAST-LTS [9] jis skaičiuojamas ne tik greičiau, bet gaunami tikslesni parametrų įverčiai. Siekant geresnių rezultatų, yra naudojama svorių funkcija w, kaip ir M įverčio atveju, kuri sumažina didelių liekamųjų paklaidų įtaką, tai daroma daugelyje populiarių statistines funkcijas siūlančių paketų, pvz. SAS, Matlab.

Kitas atspartus įvertis, turintis aukštą atsparumo slenkstį, yra S įvertis, laikomas generalizuota LTS ir LMS versija. Jo esmė, kad regresijos parametrai ieškomi minimizuojant jų dispersiją:

Sbsb minarg= (39)

čia, ss yra regresijos parametrų dispersija, o ji gaunama iš šios lygties

Kse

pn

n

i S

i =

− ∑

=1

1 χ (40)

čia K yra konstanta, lygi , kaip χ funkcija paprastai naudojama Tukio bisquare (Tukey‘s bisquare)

arba Johai (Yohai) pasiūlytos funkcijos [3]. ∫ Φ )()( sdsχ

Aukšto atsparumo slenksčio ir M įverčio kombinacija vadinama mažiausiu M arba MM (MM – minimum M) įverčiu. Pirmiausia yra naudojamas aukšto atsparumo slenksčio įvertis, paprastai S arba LTS įvertis ir randami parametrai bS,LTS, sS,LTS. O tada skaičiuojamas M įvertis, standartizavimui naudojant sS,LTS.

∑=

=

n

i LTSS

iMM s

epQ

1 , (41)

Jei QMM turi daug sprendinių, imamas su mažiausia parametrų dispersija s(b).

2.5. Klasifikavimas Klasifikavimo uždavinio esmė yra priskirti duomenų vektorių xi vienai iš klasių Ci: , čia

. Naudojant klasifikavimo metodus išskirtims lieka tik dvi klasės – normalūs duomenys ir išskirtys. Klasifikavimo metodų gama yra nepaprastai plati, todėl egzistuoja visa eilė skirstymų. Galima išskirti penkias dideles grupes:

CXf →:},....,{ 21 nCCCC =

1. Statistiniai metodai. Tai tikimybiniai metodai, kaip Bajeso sprendimo priėmimo taisyklė, Parzeno klasifikatorius; diskriminantine analize grįsti metodai – tiesinė diskrimantinė funkcija, kvadratinė diskriminantinė funkcija, logistinė regresija; vieno arba k arčiausių kaimynų (1-NN, k-NN – x-nearest neighborhood) metodai.

2. Sprendimų medžiai. 3. Branduolio metodai [1,10]. 4. Dirbtiniai neuroniniai tinklai [1]. 5. Įvairių klasifikatorių rezultatų kombinavimas [15].

Klasifikatorių gama yra labai plati, todėl bus apžvelgti ir panaudoti tik branduolio metodai, leidžiantys ir netiesines priklausomybes analizuoti tiesiniais metodais. Branduolio funkcijos pagalba pirminiai duomenys transformuojami į naują erdvę, kurioje netiesinė priklausomybė virsta tiesine.

– 539 –

Vilius Kontrimas, Antanas Verikas

ox

o

o

oo

o x

x x

xx )(oφ

)(oφ

)(oφ

)(oφ)(oφ

)(oφ

)(xφ )(xφ

)(xφ

)(xφ

)(xφ

)(xφ

φ

2 pav. Transformavimo funkcija φ netiesinę priklausomybę transformuoja į tiesinę

Naujoji erdvė, į kurią transformuojami duomenys, vadinama požymių erdve (feature space) ir literatūroje paprastai žymima raide H. Norint operuoti duomenimis savybių erdvėje, naudojama transformavimo funkciją φ :

HXX →×:φ (43) Sprendžiant klasifikavimo uždavinius dažnai tenka vertinti vidinius produktus . Vidinių produktų

įvertinimui požymių erdvėje naudojama speciali funkcija – branduolio funkcija ),( xx

))(),((),( xxxx φφ=k (424) Branduolio matrica, dar vadinama Gramo matrica, yra sudaryta iš branduolio funkcijos reikšmių:

),( jiij k xxK = (435) Naudojant branduolio metodus išskirčių paieškai, galima paprasčiausiai ieškoti hipersferos, kuri apimtų

visus mokymo duomenų taškus, ir išskirtimis laikyti tuos duomenų taškus, kurie nepatenka į hipersferą, gautą mokymo metu. Tačiau toks būdas yra labai neatsparus išskirtims, nes jei bus bent viena išskirtis mokymo imtyje, hipersfera bus sukurta per didelė ir apims ne tik normalius duomenis. Todėl reikia kurti mažesnę hipersferą, kuri apimtų daugumą taškų, bei leisti jos centrui nesutapti su duomenų taškų centru, tada galima su mažiausia hipersfera apimti reikiamą duomenų taškų dalį. Tokio uždavinio esmė yra minimizuoti hipersferos spindulį r ir taškų skaičių liekantį už sferos ribų [10]:

∑=

+n

iir, Cr

1

2, min ξξc (446)

Čia c – hipersferos centras, n- duomenų skaičius, iξ yra papildomas išvesties (slack) kintamasis, kuris yra lygus 0, jei taškas yra hipersferos viduje, ir parodo laipsnį, kuriuo taško atstumo nuo centro kvadratas skiriasi nuo spindulio kvadrato, jei taškas hipersferos išorėje. iξ leidžia dalį taškų palikti hipersferos išorėje, o konstanta C apibrėžia kompromisą tarp spindulio ir išorėje esančių taškų minimizavimo. Šis uždavinys sprendžiamas sudarant Lagranžo funkciją:

....1 ;0 ;1

),(),()(

1

1,1

niC

kkW

i

n

ii

n

jijiji

n

iiii

=≤≤=

−=

∑

∑∑

=

==

αα

αααα xxxx

(457)

Taškas z yra išskirtis jeigu:

∑ ∑= =

≥+−n

i

n

jijijiii rkkk

1 1,

2),(),(2),( xxxzzz ααα (468)

3. Išvados Išskirtys yra su dauguma nesiderinantys stebėjimai arba duomenų taškai, kurie iškraipo modelio parametrus.

Todėl jas būtina pašalinti arba naudoti modelio parametrų nustatymo metodus, kurie būtų atsparūs išskirčių egzistavimui. Taipogi labai svarbu nepriskirti prie išskirčių įtakingų taškų, kurie nors ir išsiskiria iš daugumos, tačiau ne tik neiškraipo modelio parametrų, bet yra labai svarbūs jų nustatymui.

– 540 –

Išskirčių paieška

– 541 –

Išskirčių paieškos metodus galima skirstyti į keturias grupes. Tai metodai, besiremiantys stebėjimo atstumu nuo centro, metodai, besiremiantys nuspėtos priklausomo kintamojo reikšmės skirtumu nuo tikrosios reikšmės ar stebėjimo įtaka šiam nuspėjimui arba skirtumui, taipogi atsparių išskirtims modelio parametrų nustatymo metodų naudojimas bei klasifikavimo metodai, kai duomenys skiriami į dvi klases.

Tolimesniame tyrime bus patikrintas visų metodų efektyvumas bei ieškoma būdų apjungti skirtingų metodų rezultatus.

Literatūra [1] A. Verikas, A. Gelžinis Neuroniniai tinklai ir neuroniniai skaičiavimai, Technologija, Kaunas, 2003, p.175 [2] B. Walczak, D.L. Massart Multiple outlier detection revisited, Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems,

41, 1998, p. 1-15 [3] C. Chen Robust regression and outlier detection with the ROBUSTREG procedure, SAS Institute Inc., Cary,

www2.sas.com/proceedings/sugi27/p265-27.pdf 2005 09 10 [4] C. Wikstro, Ch. Albano, L. Eriksson, H. Friden, E. Johansson, A. Nordahl, S. Rannar, M. Sandberg, N.

Kettaneh-Wold, S. Wold Multivariate process and quality monitoring applied to an electrolysis process. Part I. Process supervision with multivariate control charts, Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 42, 1998, p. 221-231

[5] C.G. Lalor, Ch. Zhang Multivariate outlier detection and remediation in geochemical databases, The Science of the Total Environment, 281, 2001, p. 99-109

[6] D. Pena, J.F. Prieto Multivariate outlier detection and robust covariance matrix estimation, Technometrics, 2001, Vol. 43, No 3

[7] E. Hund, L.C. Massart, J. Smeyers-Verbeke Robust regression and outlier detection in the evaluation of robustness tests with different experimental designs, Analytica Chimica Acta, 463, 2002, p. 53–73

[8] E.C. Malthouse Ridge regression and direct marketing scoring models, Journal of Interactive Marketing, Vol. 13, No 4, 1999, 10-23.

[9] Y. Chen Outliers detection and confdence interval modifcation in fuzzy regression, Fuzzy Sets and Systems, 119, 2001, p. 259-272

[10] J. Shave-Taylor, N. Christianini Kernel methods for pattern analysis, Cambridge University Press, 2004, p. 462 [11] J.A.F. Pierna,F. Wahl, O.E. Noord, D.L. Massart Methods for outlier detection in prediction Chemometrics and

Intelligent Laboratory Systems, 63, 2002, p. 27– 39 [12] J.O. Rawlings, G.S. Pantula, D.A. Dickey Applied regression analysis: A research tool, Secaucus, NJ, USA:

Springer-Verlag New York, 1998, p. 657 [13] K.A. Hoo, K.J. Tvarlapati, M.J. Piovoso, R. Hajare A method of robust multivariate outlier replacement,

Computers and Chemical Engineering, 26, 2002, 17-39 [14] L.H. Chiang, R.J. Pell, M.B. Seasoltz Exploring process data with the use of robust outlier detection algorithms,

Process Control, 2003, 13, p. 437-449 [15] L.I. Kuncheva Combining clasifiers: soft computing solutions, Patterns recognition: from classical to modern

approaches, World Scientitific, 2001, p. 427-451 [16] M. Meloun, J. Militky Detection of single influental points in OLS regression model building, Analytica Chimica

Acta, 2001, No. 439, p. 169-191 [17] N. Billar, A.S. Hadi, P.F. Velleman BACON: blocked adaptive computionally eficient outlier nominators,

Computional Statistics & Data Analysis, 34, 2000, p. 279-298 [18] P. Filzmoser A multivariate outlier detection method, Proceedings of the Seventh International Conference on

Computer Data Analysis and Modeling, Belarusian State University, 2004, p.18 - 22. [19] V. Čekanavičius, G. Murauskas Statistika ir jos taikymas I, TEV, Vilnius, 2003, p. 238 [20] V. Čekanavičius, G. Murauskas Statistika ir jos taikymas II, TEV, Vilnius, 2004, p. 268 [21] V. Roth Sparse kernel regressors, Artificial Neural Networks--ICANN 2001, p. 339-346 , Springer, LNCS 2130,

2001 [22] V. Sakalauskas Statistika su Statistica, Margi raštai, Vilnius, 1998, p.223 [23] W. Zhao, D. Chen, S. Hu Detection of outlier and a robust BP algorithm against outlier, Computers and Chemical

Engineering, 28, 2004, p. 1403-1408

Outlier Detection Observations, which are not consistent with majority, so called outliers, must be detected and removed to

estimate right parameters of model. Other way is to use robust estimates, which are not sensitive to outliers. Article contains review of scaling and such methods as resampling by half means (RHM), smallest half volume (SHV), closest distance to the center (CDC), ellipsoidal multivariate trimming (EMT), minimum volume ellipsoid (MVE), minimum scatter determinant (MCD), also review of residuals analysis, influence measures, robust regression and classification methods.

APVERSTOSIOS ŠVYTUOKLĖS MODELIO OPTIMALUSIS VALDYMAS PANAUDOJANT STABILOGRAMOS DIFUZIJOS

FUNKCIJĄ

Radvilė Krušinskienė Kauno technologijos universitetas,

Straipsnyje nagrinėjamas proporcinguoju, integraliuoju ir diferencijuojančiuoju (PID) reguliatoriumi valdomos apverstosios švytuoklės (VAŠ) tinkamumas modeliuoti stabilogramą – ramiai stovinčio žmogaus kūno masės spaudimo centro judėjimą

atramos plokštumoje. VAŠ modelio parametrai identifikuojami taikant klaidos funkcijos jautrumo valdymo parametrų pokyčiams skaitinio integravimo metodą. Klaidos funkcijos išraiška užrašyta panaudojant stabilogramos difuzijos funkciją.

Atliktas algoritmo verifikavimas. Tyrimo tikslas yra sukurti realios stabilogramos parametrų identifikavimo metodą panaudojant daugelio laisvės laipsnių diskrečių elementų modelį.

1. Įvadas Ramiai stovinčio žmogaus kūno masės spaudimo centro (COP1) judėjimas atramos plokštumoje -

stabilograma - labai populiarus klinikinis tyrimas vertinant stovėsenos stabilumą ([1], [4], [5]). J.J. Collins ir C.J. De Luca [4] pasiūlė stabilogramų vertinimui naudoti difuzijos funkciją (SDF), kuri atspindi, kaip esama COP padėtis priklauso nuo prieš tai buvusių COP padėčių. Autoriai išskiria dvi - „tiesioginio“ ir „atvirkštinio“ - valdymo sritis. Tiesioginio valdymo srityje (nuo 0 iki 1 sekundės) COP padėtis tiesiogiai priklauso nuo prieš tai buvusių padėčių, o atvirkštinio valdymo srityje (nuo 1 iki 10 sekundžių) COP padėtis yra priešinga prieš tai buvusioms COP padėtims. SDF dažnai taikoma stovėsenos stabilumo tyrimuose ([1], [6]). R.J. Peterka [6], naudodamas SDF, pademonstravo, kad realistiškos stabilogramos gali būti gaunamos, jei apverstąją švytuoklę valdo proporcingasis, integralusis ir diferencijuojantysis (PID) reguliatorius. Apverstosios švytuoklės valdymo PID reguliatoriumi modelis yra vertingas, nes juo COP judėjimą galima nusakyti fiziologiškai prasmingais įverčiais: priklausomybe nuo poslinkio (proporcingoji dalis), buvusiųjų COP poslinkių (integralioji dalis) ir greičio (diferencijuojančioji dalis).

R. Barauskas ir R. Krušinskienė [3], naudodami PID reguliatoriumi valdomos apverstosios švytuoklės (VAŠ) modelį, identifikavo realios stabilogramos parametrus. Identifikavimui buvo naudojamas klaidos funkcijos jautrumo nedideliems modelio parametrų pakitimams skaitinio integravimo metodas. Autoriai pastebėjo, kad nors eksperimentų metu buvo gauti realistiški modelio parametrai, tikslinga būtų panagrinėti ir kitokias klaidos funkcijas, kurių pagalba būtų galima tiksliau identifikuoti VAŠ parametrus ir atkurti realią stabilogramą.

Šiame darbe klaidos jautrumo funkcijos išraiška gaunama panaudojus SDF. Pristatomas valdomos apverstosios švytuoklės parametrų identifikavimo algoritmas, naudojant klaidos funkcijų jautrumo valdymo parametrų pokyčiams skaitinio integravimo metodą. Toks metodas lengvai pritaikomas daugelio laisvės laipsnių struktūriniams modeliams.

2. Metodai 2.1. Valdomos apverstosios švytuoklės modelis

Šiame darbe nagrinėjamas R. Barausko ir R. Krušinskienės [3] aprašytas PID reguliatoriumi valdomas apverstosios švytuoklės modelis, kuriame žmogus traktuojamas kaip standus kūnas, kurio kūno masės centras (COM2) svyruoja apie čiurnos sąnarį. Modelis naudojamas aprašyti kūno virpesiams anterio-posteriori (pirmyn-atgal) kryptimi. Tokia sistema aprašoma remiantis kūno kinetinio momento principu:

( ) ( ) ( ) ( )d cIu t mghu t T t T t− = −&& (1) kur: m - kūno masė; I – inercijos momentas; h – atstumas nuo kūno masės centro iki čiurnos; u – kūno

pasvirimo kampas; g – laisvojo kritimo pagreitis; Td – išorinis žadinimas; Tc – švytuoklės valdymas, realizuotas kaip PID reguliatorius - T t , K( ) ( ) ( ) ( )c P I D

t

K u t K u t dt K u t= + +∫ & P, KI, KD – PID valdiklio koeficientai.

Laikoma, kad VAŠ modelis valdomas netiesinių jėgų vektoriaus w:

0

( , ,{ }) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{ } { , , }

t

d c d P I D

P I D

w u u p T t T t T t K u t K u t dt K u t

p K K K

= − = − + +

=

∫& &

(2)

kur {p} – VAŠ modelio parametrų rinkinys.

1 COP - center of pressure (angl.) 2 COM - center of mass (angl.)

– 542 –

Apverstosios švytuoklės modelio optimalusis valdymas panaudojant stabilogramos difuzijos funkciją

COP padėtis nustatoma iš COM padėties pagal R.J. Peterką [6]: ( )( ) ( ) ( ) ( )

;

COPIu tu t hu t au t bu tmg

Ia h bmg

= − = −

= =

&&&&

(3)

2.2. Stabilogramos difuzijos funkcija ir klaidos funkcijos formuluotė

Stabilogramos difuzijos funkcija yra vidutinis skirtumas dviejų signalo reikšmių, kurias skiria laiko tarpas : t∆

( )2

0

( ) ( )( )

T t

COP COP

SDF

u t t u t du t

T t

−∆

+ ∆ −∆ =

− ∆

∫ t (4)

kur: - COP padėtis t laiko momentu, - stabilogramos difuzijos funkcija, T - eksperimento laikas.

( )COPu t SDFu

1 pav. pavaizduota reali stabilograma (kairysis grafikas) ir jos difuzijos funkcija (dešinysis grafikas), kurioje aiškiai išsiskiria tiesioginio ir atvirkštinio valdymo sritys.

0 10 20 30 40 50 60-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

UCOP

t, s

m

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 10

-5

∆t, s

m2

UCOP SDF

Tiesioginio valdymo sritis

Atvirkðtinio valdymo sritis

1 pav. Stabilograma ir jos difuzijos funkcija

Remiantis R. Barausko ir R. Krušinskienės [3] pateiktu VAŠ parametrų identifikavimo metodu, klaidos

funkcija J šiame darbe apibrėžiama kaip modelio generuojamo signalo SDF ir etaloninio (realaus eksperimento) signalo SDF skirtumas:

( 2

_0

1( ) ( ) ( ) ( )2 SDF REF SDF )J t u t u t d

τ

∆ = ∆ − ∆ ∆∫ t (5)

kur: uSDF – VAŠ modelio sugeneruoto COP signalo SDF; uref_SDF – etaloninio COP signalo SDF; τ - maksimali

reikšmė. t∆

Į (5) įstačius (3) ir (4) klaidos funkcija J tampa:

( )

( )

22

0_

0

22

0_

0

( ) ( )1( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )2

T t

COP COP

REF SDF

T t

REF SDF

u t t u t dtJ t u t d t

T t

au t t bu t t au t bu t dtu t d

T t

τ

τ

−∆

−∆

+ ∆ −

∆ = − ∆ ∆ = − ∆

+ ∆ − + ∆ − +

= − − ∆

∫∫

∫∫

&& &&

t∆ ∆

(6)

– 543 –

Radvilė Krušinskienė

Jos pointegralinė dalis ( )uψ užrašoma:

( )2

2

0_

( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( )2

T t

REF SDF

au t t bu t t au t bu t dtu u

T ttψ

−∆ + ∆ − + ∆ − +

= − − ∆

∫ && &&

∆ (7)

Apibrėžkime funkciją z(t), kuri yra dviejų reikšmių, atskirtų laiko tarpu t∆ , skirtumas:

( ) ( ) ( )z t u t t u t= + ∆ − (8) Tada, užrašius bendrąją konstrukcijos dinamikos lygtį laiko momentais t ir t∆ bei radus jų skirtumą:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( );( ) ( ) ( ) ( );

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Mu t Cu t Ku t F tMu t t Cu t t Ku t t F t tM u t t u t C u t t u t K u t t u t F t t F t

+ + =+ ∆ + + ∆ + + ∆ = + ∆

+ ∆ − + + ∆ − + + ∆ − = + ∆ −

&& &

&& &

&& && & &

(9)

Gauname, kad funkcijos z(t) dinamikos lygtis yra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Mz t Cz t Kz t F t t F t+ + = + ∆ −&& & (9.1)

Remiantis šiuo metodu pertvarkoma ir klaidos funkcijos J pointegralinė dalis (7):

( )2

2

0_

( ) ( )1( ) ( )2

T t

REF SDF

az t bz t dtz u

T ttψ

−∆ −

= − − ∆

∫ &&

∆

(10)

Tada klaidos funkcija J (6) taps:

( )2

2

0_

0

( ) ( )1( , ) ( ) ( )2

T t

REF SDF

az t bz t dtJ z z u t d t

T t

τ

−∆ −

= − − ∆

∫∫

&&

&& ∆ ∆ (11)

Kadangi klaidos funkcijos J pointegralinėje dalyje ψ (10) naudojamas ne kampas u(t), o jo pokytis z(t), tai remiantis (9) ir (9.1) VAŠ modelio dinamikos lygtis perrašoma taip:

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))t

d d P I DIz t kz t T t t T t K z t K z t dt K z t− = + ∆ − − + +∫&& &

(12)

Netiesinių jėgų vektorius w (2) įgauna pavidalą:

0

( , ,{ }) ( ) ( ) ( ) ( )t

d P I Dw z z p T t K z t K z t dt K z t

= − + +

∫& & (13)

2.3. Klaidos funkcijos J minimizavimas

2.3.1. Metodas Identifikuojant VAŠ modelio parametrus {p} iškeliamas tikslas nustatyti tokį parametrų {p} rinkinį,

kuris minimizuotų klaidos funkciją J (11). Klaidos funkcijos J minimumas pasiekiamas tada, kai:

0Jp

∂=

∂ (14)

Praktikoje gana sudėtinga išspręsti netiesinę lygčių sistemą (14), todėl dažnai yra pasitelkiami iteraciniai klaidos funkcijos mažinimo metodai, jautrumo lygčių sistemą (14) naudojant kaip paieškos kryptį. R. Barauskas ir V. Ostasevičius [2] išsamiai išdėstė kaip išvedamos jautrumo lygtys, sprendžiant struktūrinių modelių valdymo uždavinius. Klaidos funkcijos pokyčio priklausomybei nuo {p} rasti yra naudojami jungtiniai kintamieji. Bendroji klaidos funkcijos J priklausomybė nuo parametrų rinkinio {p} pokyčio:

JJ pp

δ δ∂=

∂

kur 0

( , , )( )T

T TJ w z z dtp p

λ µ η ∂ ∂

= + + ∂ ∂ ∫

&&&&

p (15)

Jungtiniai kintamieji ( ), ( ), ( )t t tλ µ η randami iš lygčių sistemos:

– 544 –

Apverstosios švytuoklės modelio optimalusis valdymas panaudojant stabilogramos difuzijos funkciją

( )

;

m c k c k ku

m c k c ku

m c ku

;ψλ λ λ µ η

ψµ µ µ η η

ψη η η

∂ − + − − − = ∂∂ − + − + = − ∂

∂ − + = ∂

& &% % %&& & & &% %

&% %&&&& & % %&

%&& & %&&

(16)

Su kraštinėm sąlygom:

1

0;

,

T T T T

T T TT T

ku u

λ λ µ ηϕ ϕµ η −

= = = =∂ ∂

= = −∂ ∂

& &&

%&

(17)

kur: ( , , ) ;

( , , ) .

w u u pu

w u u pk ku

∂= −

∂∂

= −∂

&%

&

&%

c c

2.3.2. Metodo taikymas VAŠ modelio parametrų identifikacijai

VAŠ modelio lygtis (12) nagrinėjama kartu su klaidos funkcija (11):

( )( )

( )( )

2

0_

0

2

0_

0

( ) ( )2 ( ) ( ) (

0;

( ) ( )2 ( ) ( ) (

T t

T t

REF SDF

T t

T t

REF SDF

az t bz t dta az t bz t dt u t

z T t

z

az t bz t dtb az t bz t dt u t

z T t

ψ

ψ

ψ

−∆

−∆

−∆

−∆

−

∂ = − − ∂ − ∆

∂=

∂

− ∂ = − −

∂ − ∆

∫∫

∫∫

&&

&&

&

&&

&&&&

) ;

)

∆

∆

(18)

Įstačius (18) lygtis į (16) lygčių sistemą:

( )( )

( )( )

2

0_

0

2

0

0

( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) ( )

0;

( ) ( )2 ( ) ( )

T t

T t

REF SDF

T t

T t

az t bz t dtm c k c k k a az t bz t dt u t

T t

m c k c k

az t bz t dtm c k b az t bz t dt u

T t

λ λ λ µ η

µ µ µ η η

η η η

−∆

−∆

−∆

−∆

−

− + − − − = − − ∆ − ∆

− + − + =

−− + = − −

− ∆

∫∫

∫∫

&&& &% % %&& & & &% % &&

&% %&&&& & % %

&&%&& & % && _ ( )REF SDF t

∆

;

Su pradinėmis sąlygomis iš (17): 0T T T T T Tλ λ µ µ η η= = = = = =& &&

Išvestinė J

p∂∂ randama panaudojant (15):

( )

( )

0

0 0

0

( ( ) ( ) ( )) ( ) ;

( ( ) ( ) ( )) ( ) ;

( ( ) ( ) ( )) ( )

T

T t

T

t t t z t dt

J t t t z d dtp

t t t z t dt

λ µ η

λ µ η τ τ

λ µ η

− + +

∂ = − + + ∂ − + +

∫

∫ ∫

∫

&&&

&&&

&&& &

(19)

Siekiant minimizuoti tikslo funkciją J ir spręsti lygčių sistemą (19) panaudojamas gradientinio

nusileidimo metodas.

– 545 –

Radvilė Krušinskienė

3. Algoritmo verifikavimas Algoritmas buvo realizuotas naudojant Matlab7 paketą. Kūno inercijos momentas I=76 kg⋅m2, masė

m=60 kg ir COM atstumas iki čiurnos h = 1,13 m parinkti pagal [3]. Algoritmo verifikavimas atliktas pasirinkus du signalus, trunkančius po 3 s. SDF kito nuo 0 iki 2 s. t∆

Pirmasis signalas buvo sugeneruotas pasirinkus tokius VAŠ modelio parametrus: KP=1500 N⋅m⋅rad-1, KI=10 N⋅m⋅rad-1⋅s-1, KD=300 N⋅m⋅rad-1⋅s (2 pav. kairėje, signalas Ref). Parinkus pradinį parametrų priartėjimą KP=1550 N⋅m⋅rad-1, KI=-2 N⋅m⋅rad-1⋅s-1, KD=200 N⋅m⋅rad-1⋅s (2 pav. kairėje, signalas Prieš), klaidos funkcijos reikšmė buvo J=4.29e-4. Identifikavus parametrų reikšmes KP=1474.2956 N⋅m⋅rad-1, KI=-18.3392 N⋅m⋅rad-1⋅s-1, KD=218.6749 N⋅m⋅rad-1⋅s, klaidos funkcijos reikšmė sumažėjo iki J=1.129e-4, o modelio generuojamas signalas priartėjo prie siekiamojo (2 pav. kairė, signalas Po). 2 pav. dešinėje pavaizduota kaip atrodė etaloninio signalo (Ref), signalo prieš identifikavimą (Prieš) ir identifikuotojo signalo (Po) SDF.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

UCOP

t, s

cm

0 0.5 1 1.5 20

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

∆t,s

cm2

SDF

RefPriesPo

RefPriesPo

2 pav. VAŠ modelio sukurtas etaloninis signalas ir jo atkartojimas prieš ir po parametrų identifikavimo

Kitas eksperimentas buvo atliktas norint patikrinti, ar algoritmas gebės identifikuoti VAŠ modelio

parametrus, jei etaloninis signalas (3 pav. kairėje, signalas Ref) negali būti sumodeliuotas naudojant VAŠ. Parinkus pradinius VAŠ modelio parametrus KP=1500 N⋅m⋅rad-1, KI=0 N⋅m⋅rad-1⋅s-1, KD=100 N⋅m⋅rad-1⋅s, klaidos funkcijos reikšmė buvo J=0.082927, kuri po parametrų identifikacijos sumažėjo iki J=0.0011. Identifikuoti tokie modelio parametrai KP=1414.15 N⋅m⋅rad-1, KI=-43 N⋅m⋅rad-1⋅s-1, KD=260.6 N⋅m⋅rad-1⋅s. 3 pav. kairėje pateikti signalai Prieš (prieš parametrų identifikaciją) ir Po (po parametrų identifikacijos), dešinėje pusėje atitinkamai pateiktos šių signalų SDF.

3 pav. VAŠ modelio neatkartojamas etaloninis signalas ir VAŠ modelio bandymas jį atkartoti prieš ir po parametrų identifikacijos

Kaip matyti iš 3 pav. modelis prie identifikuotų parametrų žymiai geriau atkartojo etaloninį signalą.

– 546 –

Apverstosios švytuoklės modelio optimalusis valdymas panaudojant stabilogramos difuzijos funkciją

4. Apibendrinimas VAŠ modelio parametrams identifikuoti panaudota klaidos funkcijos jautrumo nedideliems valdymo

parametrų pokyčiams skaitinio integravimo schema. Klaidos funkcija buvo skaičiuojama vertinant signalo SDF. Atliktas algoritmo verifikavimas parodė, kad algoritmas geba optimizuoti VAŠ modelio parametrus prie tipinių etaloninių signalų. Tikėtina, kad dėl klaidos funkcijoje panaudotos SDF algoritmas gebės tiksliau identifikuoti VAŠ modelio parametrus, kai yra taikomas analizuojant stabilogramas. Šis algoritmas lengvai gali būti pritaikomas daugelio laisvės laipsnių struktūrinių modelių parametrų identifikavimui.

Literatūra [1] L. Baratto, P.G. Morraso, C. Re, G. Spada. A new look at posturographic analysis in the clinical context: sway-

density vs. other parameterization techniques. Motor Control, 2002, 6, 246-270. [2] R. Barauskas, V. Ostasevičius. Tampriųjų vibrosmūginių sistemų analizė ir optimizavimas. Technologija, 1998,

64-68. [3] R. Barauskas, R. Krušinskienė. Development and Validation of Structural Models of Human Posture.

Mathematical Modelling and Analysis 2005 Proceedings of the 10th International Conference MMA2005&CMAM2, 2005, 143-150.

[4] J.J. Collins, C.J. De Luca. Open-loop and closed-loop control of posture: a random-walk analysis of center-of-pressure trajectories. Experimental Brain Research, 1993, 95, 308-318.

[5] V. Juodžbalienė. The dependence of simple and psychomotor reaction and equilibrium maintenance of adolescents on the degree of visual impairment, Summary of Doctoral Dissertation, Kaunas, 2005, 11-13.

[6] R.J. Peterka. Postural control model interpretation of stabilogram diffusion analysis. Biological Cybernetics, 2000, 82, 335-343.

Optimal Control of Inverted Pendulum Model Using Stabilogram Diffusion Function

In the paper controlled inverted pendulum (CIP) governed by PID regulator is used to model a human posture during quite standing. Model parameters identification procedure is based on numerical computation of the sensitivities of the penalty-type function to small variations of model parameters. Since stabilogram diffusion function (SDF) is one of the favorite methods to describe stabilogram in clinical research, the SDF was used as a mean to evaluate model ability to repeat a real stabilogram. The paper describes an algorithm for CIP parameters identification and verification procedure for this algorithm. It is very likely that the algorithm will identify parameters of real stabilograms successfully.

TRIMAČIŲ OBJEKTŲ IDENTIFIKAVIMO SISTEMOS PANAUDOJIMAS ĮVERTINANT VAIKŲ ŽANDIKAULIŲ IR DANTŲ

VYSTYMOSI PARAMETRUS

Rimas Adaškevičiusa, Rimvydas Meškauskasb a UAB Elintos prietaisai, Kaunas

b UAB Elinta, Kaunas Pranešime nagrinėjama galimybė sukurti specializuotą įrenginį, kuris tiksliai nuskenavęs burnos ertmės gipsinę kopiją,

automatiškai pamatuotų dantų lankų plotį ir aukštinių ilgį bei gomurio aukštį. Šie parametrai naudojami įvertinant vaikų žandikaulių ir dantų vystymosi anomalijas bei priimant sprendimus apie reikiamą gydymą. Pateikiami darbo metu atliktų eksperimentinių tyrimų rezultatai, gauti panaudojant trimačių objektų identifikavimo sistemą ir pramoninį trimatį skenerį.

Taip pat šiame pranešime išdėstomi reikalavimai ir numatomi techniniai sprendimai, kurie bus naudojami kuriant specializuotą mažų trimačių objektų skenavimo, analizavimo ir identifikavimo sistemą. Šią sistemą numatoma naudoti

anksčiau išvardintų medicininių uždavinių sprendimui

1. Įvadas Šiuolaikiniuose gamybos procesuose aukštos kokybės užtikrinimui vis dažniau naudojami duomenys

apie gaminamų objektų erdvinius (3D) parametrus. Tokių parametrų matavimai taip pat nepaprastai svarbūs valdant šiuolaikinius mobilius robotus, kuriant gaminių erdvinius modelius, virtualios realybės projektuose ir daugelyje medicininių tyrimų [1].

Atliekant trimačių objektų identifikavimo sistemos kūrimo ir tyrimo darbus buvo išnagrinėta bei eksperimentiškai patikrinta galimybė šią sistemą ir gautus trimačius objektų modelius panaudoti įvairiems pramonės, gamybos ir medicininiams uždaviniams spręsti. Viena iš nagrinėtų krypčių yra trimačių modelių panaudojimas įvertinant vaikų žandikaulių ir dantų vystymosi parametrus.

Pagal medikų paklausimą buvo analizuojama galimybė sukurti specializuotą įrenginį kuris, tiksliai nuskenavęs burnos ertmės gipsinę kopiją, automatiškai pamatuotų dantų lankų plotį ir aukštinių ilgį bei gomurio aukštį, kaip parodyta 1 pav [2].

1 pav. Pagrindiniai parametrai apibudinantys žandikaulio ir dantų vystymąsi

(A) - dantų lankų plotis antrųjų pieninių krūminių dantų distalinių gomurinių kauburų viršūnių srityje. (B) - dantų lankų aukštinių ilgis, nuo kandžių prieanginių paviršių iki linijos, jungiančios antrųjų

pieninių krūminių dantų distalinių gomurinių kauburų viršūnių taškus. (C) - dantų lankų plotis pieninių iltinių dantų kauburų viršūnių srityje. (D) - Statmuo nuo gomurio giliausio taško iki okliuzinės plokštumos ties linija jungiančia antrųjų

pieninių krūminių dantų distalinių gomurinių kauburų matavimo taškus. Šiuo atveju uždavinys apibrėžiamas kaip burnos ertmės gipsinės kopijos trimačio kompiuterinio

modelio suformavimas ir atstumų pamatavimas tarp tam tikrų specifinių šio modelio taškų. Matavimo uždavinys atrodo visai paprastas, jei yra aiškiai apibrėžti matavimo taškai. Tačiau medikai

dažniausiai nagrinėja netaisyklingai besivystančius žandikaulius ir dantis, o tai smarkiai apsunkina atraminių taškų identifikavimą. Todėl darbe daugiau nagrinėjama interaktyvi matavimo sistema.

Tyrimų metu burnos ertmės gipsinės kopijos buvo skenuojamos, atstatomas kompiuterinis trimatis modelis, jis analizuojamas panaudojant skirtingą programinę įrangą ir algoritmus. Trimačiai modeliai išsaugomi planuojant jų panaudojimas platesniems tyrimams.

Šio darbo metu buvo stengiamasi sukurti sistemą, metodiką ir programinę įrangą, leidžiančią efektyviai ir mažomis sąnaudomis atlikti tyrimus, nes rinkoje egzistuojantys užsieniniai analogai yra labai brangūs.

– 548 –

2. Skenavimui naudota techninė įranga Pirmas uždavinio sprendimo etapas tai burnos ertmės gipsinės kopijos skenavimas ir trimatį modelį

aprašančių duomenų suformavimas į atitinkamą bylą. Pagrindiniai skenavimai buvo atliekami UAB “Elinta” ir UAB “Elintos prietaisai” sukurtos trimačių objektų identifikavimo sistemos lazeriniu skeneriu.

Palyginimui buvo atlikti keli skenavimai naudojant industrinį Švedų kompanijos “SICK IVP AB” trimatį skenerį IVC-3D.

Lazeriniai skeneriai veikia trianguliacijos principu. Lazerio spindulys (atskiras taškas, linija ar keletas linijų) projektuojamas ant skenuojamo objekto [3]. Vaizdo kamera, esanti šone nuo lazerio spindulio šaltinio fiksuoja lazerio spindulio vaizdą ant tiriamo objekto. Spindulio taškai ant objekto esančio toliau kameroje matomi perstumti taškų, esančių ant artimesnių objektų atžvilgiu. Skenavimui naudoto lazerinio skenavimo sistemos struktūrinė schema parodyta 2 pav.

Monitorius

Kam

eros

va

ldym

o bl

okas

Kompiuteris

Vaizdo kamera

Fiksuotas zinomas atstumas

Objektas

Linijinis lazeris

Lazerio suformuota linija

Pos

tum

io v

arik

lis

2 pav. Lazerinio skenavimo sistema

3 pav. Trimačių objektų identifikavimo sistemos lazerinis skeneris

Analogiškai veikia ir industrinis skeneris IVC-3D, tik jis skirtas objektams judantiems konvejeriu skenuoti, todėl neturi atskiro į sistemą įeinančio postūmio variklio.

– 549 –

Rimas Adaškevičius, Rimvydas Meškauskas

2.1. Trimačių objektų identifikavimo sistemos lazerinis skeneris Trimačių objektų identifikavimo sistemos lazerinis skeneris susideda iš tokių pagrindinių dalių: linijinio

lazerio, vienos arba dviejų vaizdo kamerų, postūmio stalo su ekranu ir kompiuterio su valdymo bei informacijos įvedimo įranga.

Visa sistemos įranga sukonstruota kaip tyrimams skirtas eksperimentinis prototipas, todėl galima lengvai keisti atskirų mazgų tarpusavio išdėstymą ir optimaliai suderinti įranga skirtingiems tyrimams. Universalus postūmio stalas valdomas kompiuterine dažnine pavara, leidžia tiksliai atlikti mechaninius tiriamo objekto poslinkius. Sistemoje naudojamos Sony XCD-V50 vaizdo kameros jungiamos prie kompiuterio IEEE 1394b prievado, kas netik supaprastina ir atpigina sistemą bet ir leidžia, reikalui esant, ją paprastai ir greitai išplėsti prijungiant papildomas kameras. Naudotos trimačių objektų identifikavimo sistemos vaizdas parodytas 3 pav.

Pasinaudojant sistemos teikiamomis galimybėmis, visos turimos burnos ertmės gipsinės kopijos buvo nuskenuotos dviem skirtingom raiškom. Buvo naudojami 0,5mm ir 0,25mm mechaninio poslinkio žingsneliai. Taip pat skenavimai buvo atliekami ir trim skirtingom kryptim, tokiu būdu paruošiant duomenis kelių vieno objekto kompiuterinių trimačių modelių apjungimo į vieną bandymams. Tai leistų suformuoti pilną 3D modelį ir išspręstų neidentifikuojamų sričių (šešėlių) problemą.

2.2. Pramoninis lazerinis skeneris Pramoninis trimatis skeneris IVC-3D yra pritaikytas dideliu greičiu skenuoti konvejeriu judančius

objektus, juos identifikuoti ir automatiškai spręsti jų rūšiavimo ar brokavimo uždavinius [4]. Bandydami jį panaudoti burnos ertmės gipsinių kopijų skenavimui mes taip pat naudojome konvejerį kurio greitis valdomas dažninės pavaros pagalba.

4 pav. Skenavimas pramoniniu trimačiu skeneriu IVC-3D

Šis skenavimo variantas yra mažiau lankstus ir rezultato kokybė labai priklauso nuo konvejerio greičio ir jo judėjimo stabilumo. Todėl šiuo metodu buvo nuskenuoti tik keli pavyzdžiai tam , kad būtų galima palyginti su mūsų sukurtos sistemos rezultatais.

3. Informacijos įvedimo ir apdorojimo programinė įranga Specialiai trimačių objektų identifikavimo sistemai buvo sukurta programinė įranga skirta vaizdinės

informacijos įvedimui iš vaizdo kamerų, trimačio objekto modelio atstatymui ir jo išsaugojimui. Skenuojant pramoniniu trimačiu skeneriu IVC-3D informacijai įvesti ir apdoroti naudojamas su

skeneriu komplektuojamas programinis paketas IVC Studio.

3.1. Informacijos įvedimo ir 3D modelio atstatymo programinė įranga Be informacijos įvedimo proceso, viena iš būtinų šios programos funkcijų yra sistemos kalibravimo

režimas. Šio proceso rezultate gaunamos kameros padėties ir posūkio matricos bei vertimo vektorius, kurie vėliau, skaičiavimų metu, naudojami kameros padėties tiriamo objekto atžvilgiu įvertinimui. Papildomas matavimas atliekamas lazerio padėties įvertinimui. Tam naudojamas panašaus dydžio kaip tiriamas objektas, etaloninis tiksliai žinomo aukščio, kūnas. Nuo kalibravimo tikslumo tiesiogiai priklauso gauto trimačio modelio tikslumas

Atlikus šiuos kalibravimo veiksmus vykdomas tiriamo objekto skenavimas. Tam objektas tvirtinamas ant slenkamojo stalo, nustatomas reikiamas stalo slinkimo greitis, ir įjungus pavarą tam tikrais intervalais tiriamo objekto vaizdas įvedinėjamas į kompiuterį. Lazeriui praslinkus visą skenuojamą objektą ir gavus reikiamą kiekį vaizdų, skenavimas stabdomas ir iš gautos informacijos atstatomas trimačio objekto kompiuterinis modelis.

– 550 –

Gauta informacija įrašoma į bylą VRML formate ir po to gali būti įvairiai apdorojama, atvaizduojama ar analizuojama. Taip pat numatyta galimybė konvertuoti duomenis į DXF formatą

Programa turi kelis darbinius ir visą eilę pagalbinių langų. Pagrindiniai langai pavaizduoti 5 pav. Be lango, kuriame galima peržiūrėti visus procese naudojamus vaizdus, programa turi galutinio

trimačio objekto modelio atvaizdavimo įvairiomis kryptimis langą bei specialų matavimų langą, kuriame galima tiksliai pamatyti atkurto modelio geometrinius parametrus.

Viršutinėje lango dalyje yra funkciniai klavišai, leidžiantys pasirinkti reikiamą paveikslėlį ir nurodantys vykdyti trimačio objekto modelio skaičiavimus.

5 pav. Programos informacijos įvedimo, trimačio modelio atvaizdavimo ir matavimų langai

Taip pat iš šios programos meniu galima išsikviesti kalibravimo, lazerio padėties kalibravimo ir nustatymų langus. Nustatymų lange parenkamas mechaninio skenavimo žingsnis, binarizavimo lygis ir fono bei gauto objekto modelio taškų spalva.

3.2. Modelio analizės ir matavimo programinė įranga Be specialios programinės įrangos funkcijos, skirtos tiksliai išmatuoti skenuojamo objekto matmenis

skenavimo plokštumoje, modelio analizei ir geometrijos matavimams buvo naudoti dar du būdai. Pirmiausia, panaudojant programinį paketą Matlab buvo automatizuotai atliekamas atraminių taškų

nustatymas ir intervalų matavimas. Dėl labai sudėtingos ir nuo vieno pavyzdžio pereinant prie kito labai kintančios tiriamo objekto formos, bei dėl galimų neapibrėžtumų, kai visai nėra ieškomo objekto (danties), sukurti gerai veikiantį automatinį matavimo algoritmą nepavyko. Todėl buvo naudojamas interaktyvus algoritmas nurodant arba pasirenkant reikiamus taškus. Kuriant programas Matlab aplinkoje taip pat susidurta su suderinamumo su kitų programų naudojamais duomenų standartais problemomis. Burnos ertmės trimačiai modeliai gauti Matlab aplinkoje pavaizduoti 6 pav.

6 pav. Trimatis burnos ertmės modelis Matlab aplinkoje

Kitas būdas - matavimams buvo bandoma panaudoti AutoCAD programą. Tam turimi duomenys VRML formate buvo transformuoti į DXF formatą ir įkelti į programą AutoCAD 2006. Jos aplinkoje galima turimą trimatį modelį kirsti bet kuria reikiama plokštuma, o gautame pjūvyje, panaudojant standartines matavimo funkcijas, išmatuoti bet kuriuos reikiamus geometrinius parametrus. Tai labai dideles galimybes tyrinėjimams suteikiantis metodas [5]. Burnos ertmės trimačiai modeliai gauti AutoCAD aplinkoje pavaizduoti 7 pav.

7 pav. Trimatis burnos ertmės modelis AutoCAD aplinkoje

– 551 –

Rimas Adaškevičius, Rimvydas Meškauskas

– 552 –

Šis matavimų variantas turi labai geras atvaizdavimo, informacijos išsaugojimo ir transformavimo

galimybes tačiau reikalauja brangaus programinio paketo panaudojimo ir efektyviai juo naudotis gali tik didelę darbo su CAD tipo programomis patirti turintys specialistai.

Remdamiesi šiais bandymais mes darome išvadą, kad geriausiai reikiamiems matavimas atlikti tiktų specializuota programa, kuri, turėdama nesudėtingą ir patogią vartotojo sąsaja, leistų atlikti reikiamus trimačio modelio matavimus ir neturinčiam specialaus pasiruošimo specialistui. Šiuo metu tokia programa kuriama ir planuojama ją tobulinti iki pusiau automatinio ar, kai kuriais atvejais, net ir visai automatinio matavimo.

4. Išvados Atlikus pirmuosius eksperimentinius tyrimus paaiškėjo, kad lazerinis skeneris užtikrina reikiamą

atkuriamo modelio tikslumą. Trimačių objektų identifikavimo sistema leidžia taip pat tiksliai skenuoti tiriamus objektus kaip ir pramoninis trimatis skeneris, o vartojimo patogumo atžvilgiu kartais net ir lenkia jį, nes nereikia prisirišti prie gamintojo programinės įrangos ir jo pateikiamos informacijos formatų.

Siekiant pagerinti skenavimo kokybę, būtina naudoti kelių krypčių skenavimą arba skenavimą keliomis kameromis gautus duomenis apjungiant į vieną modelį.

Kuriant specializuotą burnos ertmės gipsinių kopijų skenavimo įrenginį būtina išanalizuoti skenavimo ant sukamojo stalo taikymo galimybes. Tikėtina, kad toks skenavimo būdas leis išvengti “šešėlių” problemos.

Analizuojant galimybę automatiškai identifikuoti atraminius taškus pastebėta, kad galimu variantų yra labai daug ir bent jau pradiniame etape uždavinys tampa perdaug sudėtingas ir neapibrėžtas.

Vietoje atstatyto objekto modelio atraminių taškų automatinis identifikavimo, rekomenduojama naudoti interaktyvų šių taškų parinkimo metodą, kuris derintų automatinį ir rankinį specialisto ekspertinių žinių derinimą. Automatinis ekspertinių žinių panaudojimas taikytinas sukaupus ir susisteminus didelę tiriamų objektų modelių įvairovę.

Siekiant sukurti paprastą pigią ir patogią naudoti sistemą dantų ir žandikaulio parametrų matavimui, reikia pagaminti specializuotą skenerį, tinkamą mažiems objektams skenuoti ir patogią naudojimui interaktyviai veikiančią trimačio modelio parametrų matavimo programinę įrangą.

5. Padėka Dalis šiame straipsnyje minimų darbų buvo vykdomi gavus finansinę Europos Sąjungos PHARE

programos ir Lietuvos Respublikos paramą, už kurią autoriai nuoširdžiai dėkoja.

Literatūra [1] Guhring, J., Brenner, C., Bohm, J., Frtitsch, D. Data processing and calibration of cross-pattern stripe projector.

IAPRS, v. XXXIII, Amsterdam, 2000. [2] Arūnas Vasiliauskas . Lūpos, alveolinės ataugos ir gomurio nesuaugimų paplitimas Lietuvoje ir ortodontinio

gydymo optimizavimas mišriojo sąkandžio laikotarpiu. Daktaro disertacija Kauno Medicinos Universitetas, Kaunas, 2003.

[3] Trucco, E, Fisher, R. B., Fitzgibbon A. W. Calibration, data consistency and model acquisition with laser stripers. Int. J. Computer Integrated Manufacturing, 1998 ,Vol. 11, No. 4, pp. 293-310.

[4] Industrial Vision Camera IVC-3D. Operating Instructions SICK IVP AB, SICK IVP 2005-06-29, 8 011 007. [5] Ellen Finkelstein. AutoCAD 2006 and AutoCAD LT 2006 Bible. Wiley publishing Inc., 2005. Three Dimension Objects Identification System Used to Evaluate Children Jawbone and Tooth

Growth Parameters

In this announcment we are considering a possibility of creating a device that could automatically measure teeth arch witdth and altitude length by scanning mouths gypsium copy. These parameters would be used to evaluate children jawbone and teeth developmental anomalies and accept right decisions on the needed healing. The results of researches shown here, we get by using three dimension identification system and industrial three dimension scanner. Also in this announcment we are forming requirments and intended technical solutions, that will be used to design three dimension scanning, analysing and identification system. This system is intended to be used for medical tasks sollution that are stated above.