xi._vremenske_serije_-_metod_pokretnih_sredina_trend_modeli

11

Vremenske serije:metod pokretnih sredina i trend

modeli

Prof. dr Rabija Somun KapetanoviDoc. dr Emina Resi

2

Sadraj predavanja:

Metode za odreivanje dugorone tendencijeu kretanju vremenske serije

Metod pokretnih prosjeka

Metod najmanjih kvadrata za odreivanje trenda Predvianje Izolacija trenda

3

Nakon ovog predavanja moiete...

Na osnovu niza podataka za vremensku serijuodrediti dugoronu tendenciju grafikommetodom i analitiki odrediti matematskimodel trenda

Na bazi modela trenda predvidjeti kretanjeanalizirane pojave

Izolovati uticaj trenda i sagledati uticajrezidiuma

4

Odreivanje trenda

Trend moemo odrediti iz vremenskih nizova na:godinjem, kvartalnom ili mjesenom nivou.

Trend odreujemo na kvartalnom ili mjesenomnivou ako su varijacije pojave pojaanedjelovanjem sezonske komponente.

Ako podatke analiziramo na godinjem nivou, tadapojavu razlaemo na dva dijela: trend i rezidium(ostatak) koji sadri ostale tri komponentevremenske serije.

5

Metode za odreivanje trenda

Za odreivanje dugorone komponentevremenske serije (trenda) najeekoristimo dva metoda:

empirijski grafiki metod pokretnih sredina analitiki matematski metod najmanjih

kvadrata

6

Metoda pokretnih sredina

Metoda pokretnih sredina se zasniva naizraunavanju aritmetikih sredina iz odreenogbroja podataka u seriji.

Pokretne sredine reda p (p

27

Pokretne sredine neparnog reda

Ako je red pokretne sredine p neparan broj(p=2m+1)

Pokretne sredine neparnog reda sujednostavne i simetrine.

1 1

1( )

... ...

m

p t k tk m

t m t t t t m

PS t y yp

y y y y yp

8

Pokretne sredine parnog reda Ponderisana sredina vrijednosti serije za datume (t-1) i (t+1) sa

koeficijentima ponderacije jednakim 1/2p za dvije ekstremnevrijednosti yt-m i yt+m i jednakim 1/p za (p-2) intermedijarnevrijednosti yt-m+1 do yt+m-1 da bismo odredili datum t.

Sadri (p+1) elemenata za izraunavanje. Moe se izraunati (T-p) pokretnih sredina parnog reda.

1

1

1( )2 2

mt m t m

p t t kk m

y yPS t y yp

9

Prednosti i nedostaci metodepokretnih sredina

Pokretni prosjeci izravnavaju apsolutnevarijacije u seriji tako da se njihovimizraunavanjem eliminie vei dio sluajnihvarijacija date pojave, ime se lake uoavarazvojna tendencija pojave.

Pokretne sredine ne omoguavajupredvianje buduih kretanja pojave i zatoimaju ogranienu analitiku vrijednost.

10

Primjer 1

Za period 2000-2008. poznati su podaci ogodinjem prometu u jednoj robnoj kui:

a) Nacrtati aritmetiki dijagram.b) Grafiki, primjenom metoda pokretnih

prosjeka odrediti trend.

272521242119222018promet080706050403020100godina

11

Rjeenje aritmetiki dijagram

10121416182022242628

00 01 02 03 04 05 06 07 08

godina

prom

et

promet

12

Rjeenje izraunavanjepokretnih sredina neparnog reda

272521242119222018promet

080706050403020100godina3

11 iiii yyyyPokretna sredina treeg reda

PS

2000 2001 20022001 318 20 22 20

3

y y yy

20

2001 2002 20032002 320 22 19 20,3

3

y y yy

20,3

...

20,7 21,3 22 23,3 24,3 //

313

Rjeenje grafiko predstavljanjepokretnih sredina neparnog reda

Dobijene podatke o pokretnim sredinama emoprikazati na grafikonu na kojem su vepredstavljeni orginalni podaci:

10121416182022242628

00 01 02 03 04 05 06 07 08

godina

prom

et

promet PS 14

Rjeenje interpretacijapokretnih sredina

Metoda pokretnih sredina je omoguila daodredimo dugoronu tendenciju ove pojave,koju nije bilo mogue uoiti na osnovu bruto(orginalnih) podataka.

Metodom pokretnih sredina, dobili smoispeglanu liniju trenda - eliminisali smosezonski karakter pojava i moemo zakljuitida je ova pojava dugorono imala rastuikarakter.

15

Primjer 2

Za analiziranu pojavuimamo podatke nakvartalnom nivou(tabela).

Trebamo odreditidugoronutendenciju u kretanjuove pojave metodomPS.

47T412

22T311

26T210

232003-T19

47T48

23T37

26T26

232002-T15

44T44

22T33

21T22

192001-T11

BrutopodaciDatumR.broj

16


151719212325272931333537394143454749

2001-T1

T2 T3 T4 2002-T1

T2 T3 T4 2003-T1

T2 T3 T4

godina

orgi

naln

i - b

ruto

pod

aci

orginalni podaci

17

Rjeenje izraunavanjepokretnih sredina parnog reda

22

03T3

23

03T1

26

03T2

474723262344222119Brutopodaci

03T3

02T4

02T3

02T2

02T1

01T4

01T3

01T2

01T1

period

1, , 11 1 2, 1 4 2

i i i ii i i iii i

y yy y y yy y Pokretna sredina

etvrtog reda

PS

1,2001 2,2001 3,2001 4,2001 2,2001 3,2001 4,2001 1,2002

3,20014 4

219 21 22 44 21 22 44 23

26,5 27,54 4 272 2

T T T T T T T T

T

y y y y y y y y

y

/ 27

...

28,1 28,9 29,4 29,7 29,7 29,6/ 29,5 / /

18

Rjeenje grafiko predstavljanjepokretnih sredina parnog reda

Dobijene podatke o pokretnim sredinama emoprikazati na grafikonu na kojem su vepredstavljeni orginalni podaci:

151719212325272931333537394143454749

2001-T1

T2 T3 T4 2002-T1

T2 T3 T4 2003-T1

T2 T3 T4

godina

orgi

naln

i - b

ruto

pod

aci

orginalni podaci PS

419

Rjeenje interpretacijapokretnih sredina

Dopunjavanjem grafika bruto podataka sagrafikom koji smo dobili na osnovu podatakao izraunatim pokretnim sredinama etvrtogreda uviamo trend porasta pojave uposmatranom periodu.

Predhodni zakljuak nismo mogli donijeti naosnovu bruto podataka.

Serija izraunatih pokretnih sredina ne sadrisezonske varijacije, jer su izraunavanjempokretnih sredina one eliminisane. 20

Aditivni model Ako je periodinost u kretanju pojave

konstatna u odnosu na trend primjenjuje seaditivni model za komponente vremenskeserije koji moemo napisati u sljedeemobliku:

U aditivnom modelu komponente djelujunezavisno i zbog toga se uticaji pojedinihkomponenti vremenske serije sabiraju.

Y T S C N

21

Multiplikativni model

Ako su varijacije vremenske serijeproporcionalne trendu, odnosno rastu iliopadaju sa trendom, primjenjuje semultiplikativni model za komponentevremenske serije koji moemo napisati usljedeem obliku:

U multiplikativnom modelu komponentedjeluju zavisno i stoga se uticaji mnoe.

Y T S C N 22

Matematski model za odreivanjedugorone tendencije

Odreivanje modela koji e izraavati razvojnutendenciju u kretanju pojave znaipronalaenje matematike funkcije koja senajbolje prilagoava vrijednostima analiziranevremenske serije.

Model se bira na osnovu analize aritmetikogdijagrama (oblaka rasipanja za vremenskuseriju)

Najei oblici matematikih funkcija koji sekoriste: linearni, krivolinijski, eksponencijalni...

23

Oblici trenda koje moemoodabrati u Excelu

24

Metoda najmanjih kvadrata kododreivanja trenda

Daje mogunost da se odredi model koji enajadekvatnije izraavati kretanje date pojave i svodise na pronalaenje matematike funkcije ijevrijednosti su najpriblinije vrijednostima vremenskeserije koja je predmet analize.

Polazimo od pretpostavke da posmatranu serijunajbolje aproksimira funkcija ije je odstupanje od teserije minimalno (zbir kvadrata odstupanja jenajmanji):

gdje su - originalni (trendom ocjenjeni) nivopojave u i-toj vremenskoj jedinici (najee godini)

21

1min

n

i tii

y yn

)( tii yy

525

Linearni trend Kada se analizirana pojava mijenja za priblino isti apsolutni

iznos u vremenskim jedinicama opti oblik funkcije kojimmoemo predstaviti to kretanje je linearni oblik

gdje X predstavlja nezavisnu promjenljivu varijablu zavrijeme, Y je zavisna promjenljiva koja predstavljavrijednost trenda, a i b su parametri koje ocjenjujemo.

Parametar a predstavlja konstantni lan, dakle vrijednosttrenda za razdoblje koje prethodi prvom (ako je ).

Parametar b pokazuje za koliko se promijeni trend(vrijednost y) ako se varijabla za vrijeme x povea zajedinicu - apsolutni prirast pojave u toku jedne vremenskejedinice (najee godine)

ti iy a b x

0ix

26

Izrazi za ocjenu parametara a i b linearni trend

Kao kod modela linearne regresije formule zaizraunavanje parametara linearne vezedobijene MNK (na osnovu normalnihjednaina) glase:

1 1, ,

n n

i ii i

y xa y b x y x

n n

1 1 12

2

1 1

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

n x y x yb

n x x

27

Izrazi za ocjenu parametara a i b linearni trend, cont.

Meutim ako centriramo nezavisnu varijabluza vrijeme tako da formule zaizraunavanje parametara linearne veze glase:

1 1, , 0

n n

i ii i

y xa y y x

n n

1

2

1

n

i ii

n

ii

x yb

x

10

n

ii

x

28

Centriranje nezavisne varijable zavrijeme

Varijabla za vrijeme se centrira tako da se izraziodstupanjima od aritmetike sredine. Kako je zbir tihodstupanja jednak nuli izrazi za raunanjeparametara se pojednostavljuju.

Varijabla se centrira ili transformie na sljedeinain:

Centriranje je mogue ukoliko su periodi dati ukontinuitetu.

, neparan broj2 ( ), paran broj

ii

i

x x nx

x x n

29

Utvrivanje reprezentativnostitrenda

Standardna greka trenda pokazujekoliko je prosjeno odstupanje empirijskihvrijednosti serije od trendom procijenjenihvrijednosti:

2t

i tiy

y yn

30

Utvrivanje reprezentativnostitrenda, cont.

Relativna greka trenda je izraenakoeficijentom varijacije trenda:

Koristi se za poreenje serija izraenih urazliitim jedinicama mjere

100tyt

yVk y

631

Pitanje

ta emo od ponuenog koristiti ukolikoelimo odrediti dugoronu tendenciju ukretanju broja upisanih studenata EFSA?

a) koeficijent determinacijeb) odreivanje trenda metodom najmanjih

kvadratac) standardnu devijacijud) iskljuenje sezonske komponente

32

Primjer 3

Pokazatelji produktivnostirada u grani C bili susljedei:

a) Utvrditi odgovarajuujednainu trenda.

b) Ako se nastavi istatendencija u kretanjuposmatrane pojave, kolikinivo produktivnosti radamoemo oekivati u 2010.godini?

25,082007

23,762006

21,122005

18,842004

17,402003

14,762002

12,002001

produktivnostrada (kom.)

godina

33


10,0012,0014,0016,0018,0020,0022,0024,0026,00

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

godine

prod

uktiv

nost

rada

produktivnost rada

Odgovaralinearni model

trenda

yti=a+bxi

34

Rjeenje odreivanje ilicentriranje nezavisne varijable

25,082007suma

23,76200621,12200518,84200417,40200314,76200212,002001

produktivnost rada(kom.) - y

godinax

Neparanbroj

podataka centriramo0 u sredinu

niza0

-1

-2

-3

1

2

3

0

35

Rjeenje radna tabela i ocjenaparametara

0ukupno

325,082007

223,762006

121,122005

018,842004

-117,402003-214,762002

-312,002001

xygodina

iya y

n 2i i

i

x yb

x

132,96 18,997 132,96

61 2,1828

759

474

211

00

-171

-294

-369

xyxx

28 61

36

Rjeenje linearni model

Tumaenje parametara: Oekivana produktivnost za x=0 (2004.

godina) je 18,99 jedinica. Prosjeno godinje produktivnost raste za 2,18

jedinica.

iti xy 18,299,18

737

Rjeenje predvianje

Koliki nivo produktivnosti rada moemo oekivati u2010. godini?

Na osnovu linearnog modela trenda vrimopredvianje.

Kao prvo odreujemo x za 2010. godinu(nastavljamo niz X-a), te uvrstimo u model:

Ako se nastavi ista tendencija u kretanju posmatranepojave, nivo produktivnosti rada koji moemooekivati u 2010. godini je 32,07.

2010. 6ix 18,99 2,18 6 32,07tiy

38

PitanjeZa kretanje broja roene djece od 2000-2005. godineucrtali smo liniju trenda na dijagram rasipanja:

U posmatranom periodu sa protokom vremena, broj roenedjece:

a) se ne mijenjab) rastec) se udvostruiod) opada

'02 '04 '05'01 '03'00

Broj roenedjece

39

Primjer 4

Dati su podaci oizdacima prosjenogdomainstva (u 100KM):

a) Nacrtati oblakrasipanja.b) Ocijeniti i ucrtatilinearni trend.c) Koliki nivo izdatakase moe oekivati 09.godine?

43,52006

42,82005

412004

39,52003

392002

372001

izdacigodina

40

Rjeenje oblak rasipanja


trenda

yti=a+bxi

36

37

38

39

40

41

42

43

44

2001 2002 2003 2004 2005 2006

godina

izda

ci

izdaci

41


43,502006suma

42,80200541,00200439,50200339,00200237,002001

Izdaci - ygodinax

Paran brojpodataka centriramo

-1 i 1 usredinu

niza1

-1

-3

3

5

0

-5

42


0ukupno

543,502006342,802005141,002004

-139,502003-339,002002-537,002001

xIzdaci - ygodina

iya y

n 2i i

i

x yb

x

242,8 40,676 242,8

45,4 0,6570

217,525

128,49

411

-39,51

-1179

-18525

xyxx

70 45,4

843


Tumaenje parametara: Prosjeno polugodinje izdaci rastu za 65 KM. Oekivani izdaci za x=0 (sredina 2003. ili 2004.

godine zavisno da ji su podaci sa poetka ilikraja godine) su 4.067 KM.

40,67 0,65ti iy x

44

Rjeenje predvianje

Koliki nivo izdataka se moe oekivati 09. godine? Na osnovu linearnog modela trenda vrimo

predvianje. Kao prvo odreujemo x za 2009. godinu

(nastavljamo niz X-a), te uvrstimo u model:

Ako se nastavi ista tendencija u kretanju posmatranepojave, nivo izdataka koji moemo oekivati u 2009.godini je 4.782 KM.

2009. 11ix 40,67 0,65 11 47,82tiy

45

Transformacija parametara linearnog trendasa godinjeg na mjeseni/kvartalni nivo

Kod analize sezonskih varijacija potrebno jeodrediti kvartalne ili mjesene nivoe trenda.

Ako raspolaemo podacima sa kvartalnog ilimjesenog nivoa moemo iz originalnevremenske serije odrediti trend.

U praksi se najee na bazi poznatefunkcije trenda na godinjem nivouodreuje trend na kvartalnom ili mjesenomnivou. 46

Transformacija parametara linearnogtrenda sa godinjeg na mjeseni/kvartalninivo, cont.

Mjeseni trend:

Kvartalni trend:

ako su a i b parametri na godinjem nivou, dok seX odnosi na vremenski niz po kvartalima ilimjesecima.

, kvartal ,kvartal' '

' , '

12 144

ti iy a b xa b

a b

, mjesec ,mjesec'' ''

'' , ''

4 16

ti iy a b xa b

a b

47

Primjer 5

Poznata je jednaina linearnog trenda nagodinjem nivou:

Kako glasi jednaina trenda na kvartalnomnivou?

iiti xxbay 703,112,18

48

Rjeenje

Parametre sa godinjeg nivoa preraunavamo nakvartalni nivo:

18,12'' 4,53

4 4a

a

iiti xxbay 703,112,18

1,703'' 0,106

16 16bb

,kvartal , kvartal'' ''ti iy a b x

, kvartal ,kvartal ,kvartal'' '' 4,53 0,106ti i iy a b x x

949

Parabolini trend

Kada kretanje pojave u posmatranomperiodu pokazuje tendenciju krivolinijskograsporeda koristimo parabolini trend.

Jednaina parabolinog trenda glasi:

2ti i iy a b x c x

50

Parabolini trend, ocjenjivanjeparametara

Parametri se ocjenjuju primjenom MNK naosnovu koje dobijamo sistem normalnihjednaina:

Rjeenja ovog sistema tri jednaine sa trinepoznate (a, b i c) su ocjene parametara.

2

2 3

2 3 4 2

i i i

i i i i i

i i i i i

n a b x c x y

a x b x c x x y

a x b x c x x y

51

Parabolini trend, ocjenjivanjeparametara, cont.

Ako smo centrirali varijablu za vrijeme ondapojednostavljene formule glase:

2

2

2 2

4 2 2( )

i

i i

i

i i i i

i i

ca y x

n

x yb

x

n x y y xc

n x x

52

Eksponencijalni trend Kada kretanje pojave u sukcesivnim

vremenskim intervalima pokazuje isturelativnu promjenu

Kada se osnovna tendencija manifestuje kaoeksponencijalna kovarijansa sa vremenom

Jednaina eksponencijalnog trenda glasi:

gdje je: (b 100%) -100% - stopa rastapojave

ix

tiy a b

53

Lineariziranje eksponencijalnogmodela trenda

Nije mogue primjeniti MNK lineariziranje

Nakon lineariziranja zavisna varijabla je logY i modelse svodi na linearni oblik te je:

/ loglog log log

ix

ti

ti i

y a by a x b

2 2

log loglog antilogaritam

log loglog antilogaritam

i i

i i i i

i i

y ya a

n n

x y x yb b

x x

54

Iskljuenje trenda Dinamika pojava je rezultat uticaja niza faktora. Faktori koji odreuju kretanje pojave mogu se podijeliti na

postojane i nepostojane. Postojani faktori su oni koji stalno djeluju i odreuju

dugorono kretanje pojave. Mogue je odrediti postojanostodreenih faktora kroz odreivanje trenda.

Ako iskljuimo uticaj trenda dobiemo uticaj ostalih(nepostojanih) faktora ili uticaj rezidiuma na kretanjepojave.

Iskljuenje trenda se provodi na sljedei nain:

100iti

yy

10

55

Tumaenje rezultata iskljuenjatrenda

pod uticajem rezidijuma pojava je bila ispod prosjeka

pod uticajem rezidijuma pojava je bila u prosjekuneizmjenjena

pod uticajem rezidijuma pojava je bila iznad prosjeka

100 100iti

yy

100100ti

i

yy

100 100iti

yy

56

Primjer 6

Podaci o kretanjuinvesticija (u milionimaKM) za dati periodgodina bili su:

Kada je rezidiumpozitivno djelovao nakretanje investicija?

212007

242006

252004

282002

292001

312000

nivoinvesticija

godina

57

Rjeenje oblak rasipanja


trenda

yti=a+bxi

20

22

24

26

28

30

32

2000 2001 2002 2004 2006 2007

godine

inve

stic

ije

investicije

58


212007suma

242006252004282002292001312000

Izdaci zainvesticije - y

godina

875321x

Preskoeniperiodi, nemoemo

centriranjem usumi x-a postii

0. Stoga za x-oveuzimamo rednebrojeve datih

godina ipreskaemo rednibroj godine koja

nedostaje.

59


ukupno

821200772420065252004328200222920011312000xIzdaci za I. - ygodina

a y b x 2 2

1

1i i

i

x y x ynb

x xn

158 26( 1, 28) 31,886 6

158

2

634 26 1586 6 6 1,28152 26

6 6

16864

16849

12525

849

584

311

xyxx

152 63426

60


Tumaenje parametara: Prosjeno godinje investicije opadaju za 1,28

miliona KM. Oekivane investicije za x=0 (1999. godina) su

31,88 miliona KM.

31,88 1,28ti iy x

11

61

Rjeenje izolacija trenda,analitiki

Kako bismo proveli postupak izolacije trenda prvo za dati niz godinamoramo nai trendom ocijenjene nivoe investicija (primjenomdobijenog modela ):31,88 1, 28ti iy x

21,6212006

22,9242005

25,5252004

28282003

29,3292002

30,6312001

ocijenjeniizdaci -yt

Izdaci zaI. - y

godina

100iti

yy

Izolacijatrenda

97,04

104,71

98,12

99,86

98,91

101,31

y /yt * 100

62

Rjeenje izolacija trenda,grafiki

Podatke sa iskljuenjem trenda predstavljamografiki:

92,00

94,00

96,00

98,00

100,00

102,00

104,00

106,00

2001 2002 2003 2004 2005 2006

godina

y/yt izolacija

"normala"

Rezidiumpozitivno

djelovao, pojavaiznad prosjeka

Rezidiumnegativno

djelovao, pojavaispod prosjeka

63

Rjeenje - Excel Kada odredimo niz za

nezavisnu varijabluvrijeme kreiramoScatterplot sa x i y:

64

Rjeenje Excel, cont.

Kada jegrafikongotov,kliknemo naliniju sapodacima iodaberemoAddTrendline iLinear type:

65

Rjeenje Excel, cont.

Dobiemo novi grafikon gdje je ucrtana linija trenda.Kliknemo na liniju trenda i odaberemo Options Displayequation on chart i Display R-squared value on chart.Rezultat je sljedei:

y = -1,2881x + 31,915R2 = 0,9693

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

izda

ci

66

Izvori

Definicije i formule preuzete iz: R.Somun-Kapetanovi, Statistika uekonomiji i menadmentu, Ekonomskifakultet u Sarajevu, Sarajevo 2006.

Zadatke za vjebu potraite u: E. Resi,Zbirka zadataka iz statistike, Ekonomskifakultet u Sarajevu, Sarajevo 2006.

12

67

Hvala na panji!

xi._vremenske_serije_-_metod_pokretnih_sredina_trend_modeli

Documents