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Mintab V15 Módulo 4. Estadítica Inferencial P. Reyes / Nov. 2007

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MINITAB 15 MÓDULO 4. ESTADÍSTICA INFERENCIAL

MÓDULO 4. ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Se usa para pruebas de hipótesis sobre medias de una y dos poblaciones

Requiere un parámetro adicional de Grados de Libertad (gl) = n -1

Excel =Distr.t( valor de t, gl, colas) Área bajo la curva

=Distr.t.inv( valor de probabilidad, gl) Estadístico t para una cierta áreaEl área siempre se divide entre 2

Minitab Calc > Probablity distributions > tInverse Cumulative probability, Degrees of freedomInput constant (valor de la probabilidad alfa o área bajo la curva)

Estadístico t (valor a partir del cual inicia el área bajo la curva alfa)

Probabilidad alfa (valor del área bajo la curva corresp. A t)

Media = 0 1- Alfa Estadístico t Estadístico t

Datos Alfa Minitab en Minitab Excel10 0.05 0.95 1.83311 1.8331129310 0.1 0.9 1.38303 1.38302874

Distribución F de Fisher (para probar hipótesis de comparación de varianzas entre dos muestras)

Requiere dos parámetros adicionales de Grados de Libertad (gl) = n1 -1 y n2 = 2

Excel =Distr.F( valor de F, gl 1, gl 2)

=Distr.F.inv( valor de probabilidad, gl 1, gl 2)

Minitab Calc > Probablity distributions > FInverse Cumulative probabilityNumerator Degrees of freedom; Denominator Degrees of FreedomInput constant (valor de la probabilidad alfa o área bajo la curva)

Estadístico F (valor a partir del cual inicia el área bajo la curva alfa)

S1 debe ser mayor a S20Sólo valores positivos en eje horizontal

4.1 Cálculo de probabilidades4.2 Pruebas de hipótesis de una población4.3 Pruebas de hipótesis de dos poblaciones4.4 Tamaño de muestra y potencia4.5 Análisis de varianza (ANOVA)4.6 Correlación y Regresión lineal y cuadrática simple4.7 Regresión Múltiple - Matriz de Correlaciones4.8 Aplicaciones

4.1 Cálculo de probabilidades

Distribución t de Student (para número de muestras menor a 30 o sigma desconocida)

Fc=S1

2

S22


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curva no simétrica

Datos de la Datos de la 1- Alfa Estadístico Fmuestra 1 muestra 2 Alfa Minitab en Minitab Excel

10 10 0.05 0.95 3.17889 3.178893110 10 0.1 0.9 2.44034 2.44034044

Distribución Chi Cuadrada (para probar hipótesis de la varianza de una población)

Requiere un parámetro adicional de Grados de Libertad (gl) = n -1

Excel =Distr.Chi( valor de Chi, gl)

=Prueba.Chi.inv( valor de probabilidad, gl)

Minitab Calc > Probablity distributions > Chi SquareInverse Cumulative probabilityDegrees of freedomInput constant (valor de la probabilidad alfa o área bajo la curva)

Estadístico Chi (valor a partir del cual inicia el área bajo la curva alfa)

0Sólo valores positivos en eje horizontalcurva no simétrica

Datos de la 1- Alfa Estadístico Chi Cuadradomuestra Alfa Minitab en Minitab Excel

10 0.05 0.95 16.919 16.918977610 0.1 0.9 14.6837 14.6836566

Referirse a los materiales sobre Pruebas de hipótesis para la teoría de estas pruebasMinitabPruebaHipótesisRes.doc InterConfPruHipo1P.xls Pruebas Hipotesis 2 pob1.xls

Las pruebas de hipótesis permiten probar una afirmación o rechazarla en relacióna parámetros de la población que pueden ser la media, varianza y proporción connivel de confianza que normalmente es del 95% (con 5% de probabilidad de error).

Para las pruebas se toman muestras de las poblaciones y en base a la informaciónque proporcionen se infiere sobre el comportamiento del parámetro en la población.

Caso 1. Prueba de una media poblacional cuando se conoce la varianza de la población (en base a datos históricos)

Ejemplo: Una línea de llenado de paquetes debe llenar 4 kg en cada uno. Se toman20 muestras y se pesan en gramos:

La desviación estándar histórica es de 25 g.

¿Se puede afirmar que el peso promedio es diferente a 4000 g.?

c2

4.2 Pruebas de hipótesis de una población

Ho: Media = valor Ha: Media ¹ Valor

Usar el archivo Pesos.mtw de la hoja Archivos Datos Módulo 4

Ho: Media = 4000 Ha: Media ¹ 4000

Se introducen los valores en una sola columna C1 titulada Pesos del archivo Pesos.mtw anexo:


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Stat > Basic Statistics > 1 - Sample Z

Indicar columna de datos

Esta sección se usa cuando haydatos de media y muestras

Desviación estándar históricaMedia a probar

Nivel de confianza

Hipótesis alternativa, también sepuede probar "Menor que" o"Mayor que"

Permite seleccionar varios tipos de gráficas

Si la Ho queda fuera de la líneaazul, entonces se rechaza la hipótesis nula Ho y se acepta lahipótesis alterna Ha indicandoque los pesos son menores alos 4 Kgs.

One-Sample Z: Pesos Test of mu = 4000 vs not = 4000The assumed standard deviation = 25

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI Z PPesos 20 3985.70 28.18 5.59 (3974.74, 3996.66) -2.56 0.011

Este es el intervalo de confianza del 95% donde se encuentra Él valor P es menorla media del proceso de llenado (población). El 4000 no se a 0.05 por tanto seencuentra en el intervalo por tanto el promedio difiere de lo rechaza la Ho y seque se afirma acepta la alterna en

Pesos4040402040003980396039403920

_X

Ho

Individual Value Plot of Pesos(with Ho and 95% Z-confidence interval for the Mean, and StDev = 25)


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este caso elpromedio difiere delos 4000 g.

Caso 2. Prueba de una media poblacional cuando no se conoce la varianza y el número de datos es menor a 30

Stat > Basic Statistics > 1 - Sample t

Similar al anterior sin requerir el valor de la desviación estándar

One-Sample T: Pesos Test of mu = 4000 vs not = 4000Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T PPesos 20 3985.70 28.18 6.30 (3972.51, 3998.89) -2.27 0.035

Las conclusiones son iguales que en el caso 1

Caso 3. Prueba de hipótesis para una proporción

Ejemplo: Un producto tiene accesorios que se piensa nadie usa, se hace una encuestaa 200 usuarios y 17 si usan los accesorios.

¿Para un 95% de confianza se confirma la sospecha de que menos del 10% deusuarios usan estos accesorios?

Ho: Proporción >= 0.10 Ha: Proporción < 0.10

Stat > Basic Statistics > 1 - ProportionSe usa a mano si np > 5 y n(1-p) > 5

sin embargo Minitab lo calculapor el método exacto

Test and CI for One Proportion Test of p = 0.1 vs p < 0.1 Upper ExactSample X N Sample p Bound P-Value1 17 200 0.085000 0.124771 0.285

No se rechaza Ho ya que la Proporción del 10% de la hipótesis se encuentra en el intervalo de confianza y elP value es mayor a 0.05, no se acepta la hipótesis alterna.

Es válido decir que sólo el 10% de los usuarios utilizan los accesorios

Minitab 15 Caso 4. Prueba de hipotesis para una varianza

Un Pin debe medir 15" en promedio. Su varianza no debe exceder 0.001"2. Su proceso es normal. Se miden 100 pines y se prueba la hipótesis de que su varianza no excede la especificación.

Ho: Media = valor Ha: Media ¹ Valor

1 File > Open worksheet AIRPLANEPIN.MTW.2 Stat > Basic Statistics > 1 Variance.


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Test and CI for One Variance: Pin length Pin length Method

14.99 Null hypothesis Sigma-squared = 0.00115.01 Alternative hypothesis Sigma-squared < 0.00114.96 The standard method is only for the normal distribution.15.00 The adjusted method is for any continuous distribution.15.03 Statistics14.96 Variable N StDev VarianceEtc. Pin length 100 0.0267 0.000715

95% One-Sided Confidence Intervals Upper Bound Upper Bound

Seleccionar el Método Variable Method for StDev for Varianceestándar ya que los datos Pin length Standard 0.0303 0.000919siguen la distribución norma Adjusted 0.0295 0.000869

TestsVariable Method Chi-Square DF P-ValuePin length Standard 70.77 99.00 0.014 Adjusted 112.64 157.57 0.003

Como el valor de la varianza de la hipótesis (0.001 no se encuentra en el intervalo de confianza yel valor P value es menor a 0.05, se acepta la hipótesis Ha de que la varianza es menor a 0.001")

Caso 1. Comparación de dos medias - Muestras independientes

Ejemplo: 10 pieles son curtidas usando el método A y 10 usando el método B, las resistencias a la tracción son las siguientes:

Método A Método B24.3 24.425.6 21.526.7 25.122.7 22.824.8 25.223.8 23.525.9 22.226.4 23.525.8 23.325.4 24.7

¿Se puede decir que los dos métodos producen resistencias a la tracción diferentes?Usar un nivel de confianza del 95%.

Se colocan los valores en dos columnas diferentes C1 y C2 corresp. A Metodos A y B

Paso 1. Se realiza un análisis de comparación de varianzas poblacionales:

Stat > Basic Statistics > 2 Variances

3 En la primera línea del menu, seleccionar Enter variance.3 En Samples en columns, seleccionar 'Pin length '.4 Seleccionar Perform hypothesis test. En Hypothesized variance, poner 0.001.5 Click Options. En Alternative, seleccionar less than. Click OK.6 Click OK.

4.3 Pruebas de hipótesis de dos poblaciones

H: Media A - Media B = 0 Ha: Media A - Media B ¹ 0

Ho: Varianza A = Varianza B Ha: Varianza A ¹ Varianza B


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Test for Equal Variances: Método A, Método B 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviationsF-Test (normal distribution)Test statistic = 1.01, p-value = 0.991

Como el P value es mayor a 0.05 no se rechaza la Hipótesis nula de igualdad devarianzas, por tanto se asume que son iguales. Esta inf. se usará a continuación:

Paso 2. Se realiza un análisis de comparación de medias poblacionales

Stat > Basic Statistics > 2 - Sample t

La gráfica de puntos individuales indica diferencia entre las muestras

Y los resultados de la prueba estadística lo confirman:

Two-sample T for Método A vs Método B N Mean StDev SE MeanMétodo A 10 25.14 1.24 0.39Método B 10 23.62 1.24 0.39

Difference = mu (Método A) - mu (Método B)Estimate for difference: 1.5200095% CI for difference: (0.355, 2.685)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 2.74 P-Value = 0.013 DF = 18

Como el cero no se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia de las dos medias y el valor P value es menor a 0.05se rechaza la hipótesis nula de igualdad de medias y se aceptala alterna afirmando que son diferentes

Caso 2. Muestras pareadas - Prueba si las diferencias entre sujetos son iguales.

H: Media A - Media B = 0 Ha: Media A - Media B ¹ 0

Ho: Media de diferencias = 0 Ha: Media de diferencias ¹ 0

Data

Método BMétodo A

27

26

25

24

23

22

21

Individual Value Plot of Método A, Método B


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Se utilizan cuando se trata de comparar el efecto de dos tratamientos a los mismos sujetos u objetos, por ejemplo el peso de individuos antes y después de una rutina.

También se aplica cuando cuando antes de comparar se hacen parejas de sujetospor ejemplo para comparar los promedios de alumos de dos universidades, primerose forman parejas (dos ingenieros, dos administradores, dos arquitectos, etc.)

Ejemplo: Se hacen dos tratamientos superficiales para lentes A y B, se seleccionan10 personas a las que se les instala uno de esos lentes en cualquier lado al azar.Después de un periodo se mide el deterioro (rayas, desgaste, etc.) de cada lente:

Persona Lente A Lente B1 6.7 6.92 5.0 5.83 3.6 4.14 6.2 7.05 5.9 7.06 4.0 4.67 5.2 5.58 4.5 5.09 4.4 4.310 4.1 4.8

A un 95% de nivel de confianza¿Se puede afirmar que los 2 tratamientos producen diferente deterioro en los lentes?Se colocan los datos en las columnas C1 y C2 para los Lentes A y B.

Stat > Basic Statistics > Paired t

Como el valor de Ho no se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia de lasdos medias, se rechaza Hoy se acepta Ha indicando que eldeterioro es diferentes en los dosmétodos.

Paired T-Test and CI: Lente A, Lente B

Paired T for Lente A - Lente B N Mean StDev SE MeanLente A 10 4.96000 1.02978 0.32564Lente B 10 5.50000 1.13039 0.35746Difference 10 -0.540000 0.343835 0.108730

95% CI for mean difference: (-0.785964, -0.294036)T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = -4.97 P-Value = 0.001

Ho: Diferencia de medias = 0 Ha: Diferencia de medias ¹ 0

Differences0.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0-1.2

_X

Ho

Individual Value Plot of Differences(with Ho and 95% t-confidence interval for the mean)


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Como el cero no se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia de las dos medias y el valor P value es menor a 0.05se rechaza la hipótesis nula de igualdad de medias y se aceptala alterna afirmando que los tratamientos producen deterioros diferentes.

Caso 3. Comparación de dos proporciones

Ejemplo: En una encuesta a 300 clientes de la zona A, 33 estan descontentos En otra zona B se encuestaron a 250 clientes y 22 se mostraron descontentos.A un 95% de nivel de confianza o 5% de nivel de sigfinicancia,¿Hay diferencia en las proporciones de clientes descontentos en las dos zonas?

Stat > Basic Statistics > 2 - Proportions

Se usa la sección de datosresumidos

Use Pooled estimate p for test

Test and CI for Two Proportions Sample X N Sample p1 33 300 0.1100002 22 250 0.088000

Difference = p (1) - p (2)Estimate for difference: 0.02295% CI for difference: (-0.0278678, 0.0718678)Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = 0.86 P-Value = 0.392

Como el cero si se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia de las dos proporciones y el valor P value es mayor a 0.05no se rechaza la hipótesis nula de igualdad de proporcioneso sea que no hay razón para decir que las proporciones sean diferentes.

Minitab 15 Prueba de una muestra por Poisson

Calcula el intervalo de confianza para la tasa de ocurrencia y el número medio de ocurenciasde eventos en una muestra en un proceso de Poisson, y prueba la hipótesis de que la tasa de ocurrencias es igual a un valor especificado.

Un proceso de Poisson describe el número de ocurrencias de un evento en un cierto periodo de tiempoárea, volumen, etc. Por ejemplo:

Por ejemplo:

La empresa A de receptores de TV cuenta el número de unidades con pantallas defectivas que se producen cada trimestre durante los últimos 10 años.Los directivos establecen que 20 defectivos por cuatrimestre es el máximo aceptable, y quierendeterminar si la producción actual cumple este requerimiento.

Ho: Proporción A = Proporción B Ha: Proporción A ¹ Proporción B

Como Options NC = 95%Alternate = Not equal, Test Dif = 0

· El número de llamadas telefónicas diarias a un centro de servicio a clientes· El número de defectos en un tramo de alambre

1 File > Open the worksheet TVDEFECT.MTW.2 Stat > Basic Statistics > 1-Sample Poisson Rate.3 En Samples in columns, Seleccionar 'Defective A '.


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Defective A Defective B18 2018 3521 1914 3019 2614 22

Etc. Etc.

Resultados:Test and CI for One-Sample Poisson Rate: Defective A Test of rate = 20 vs rate < 20 Total Rate of 95% Upper ExactVariable Occurrences N Occurrence BoundComo P value es menorDefective A 713 40 17.8250 18.9628a 0.05, se rechaza Ho y seLength of observation = 1. acepta Ha donde la tasa de

defectos es menor a 20Se puede probar si la empresa A tiene una tasa mayor de defectos que laempresa B. La empresa A mide cada tres meses sus defectos y la empresa B cada seis meses.Se trata de probar cual empresa tiene la menor tasa de defectos mensual.

Test and CI for Two-Sample Poisson Rates: Defective A, Defective B Total "Length" of Rate of MeanVariable Occurrences N Observation Occurrence OccurrenceDefective A 713 40 3 5.94167 17.825Defective B 515 20 6 4.29167 25.750Difference = rate(Defective A) - rate(Defective B)Estimate for difference: 1.6595% CI for difference: (1.07764, 2.22236) Como el valor P valueTest for difference = 0 (vs not = 0): Z = 5.65 P-Va es menor a 0.05, seExact Test: P-Value = 0.000 acepta la hipótesis alterna

que A y B son diferentesDifference = mu (Defective A) - mu (Defective B) donde B tiene la menorEstimate for difference: -7.925 tasa de ocurrencia95% CI for difference: (-10.5053, -5.34474)Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = -6.02 P-Value = 0.000Exact Test: P-Value = 0.000

Potencia: Es la capacidad de una prueba para detectar una diferencia cuando realmente existe.

4 Seleccionar Perform hypothesis test. En Hypothesized rate, poner 20.5 Click Options. En Alternative, seleccionar less than.6 Click OK en cada cuadro de diálogo

1 File > Open the worksheet TVDEFECT.MTW.2 Stat > Basic Statistics > 2-Sample Poisson Rate.3 Samples in different columns, Seleccionar 'Defective A '.4 First 'Defective A'5 Second 'Defective B'6 Click Options. En "Length" of observation [time, items, area, volume, etc], poner '3 6' 7 Click OK en cada cuadro de diálogo

4.4 Tamaño de muestra y potencia


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Hipótesis NulaDesición Verdadera FalsaNo rechazar Desición correcta Error tipo II

Rechazar Error tipo I Desición correcta

PotenciaLa potencia de la prueba es la probabilidad de de rechazar correctamente la hipótesis nula siendo que en realidad es falsa.

El análisis de potencia puede ayudar a contestar preguntas como:

* ¿Cuántas muestras se deben tomar para el análisis?* ¿Es suficiente el tamaño de muestra?* ¿Qué tan grande es la diferencia que la prueba puede detectar?* ¿Son realmente valiosos los resultados de la prueba?

Para estimar la potencia, Minitab requiere de dos de los siguientes parámetros:

* Tamaños de muestra* Diferencias - un corrimiento significativo de la media que se desea detectar* Valores de potencia - La probabilidad deseada de rechazar Ho cuando es falsa

Caso 1. Prueba t de una media poblacional

Ejemplo: Se tiene una población normal con media de 365 y límites de especificaciónde 360 y 370. Si la media se desplaza 2.5 gramos por arriba de la media, el número dedefectos sería inaceptable, la desviación estándar histórica es de 2.403:

Stat > Power and Sample Size > 1 - Sample tCompletar el diálogo como sigue:

Los resultados se muestran a continuación:

Power and Sample Size

p = 1 - a p = b

p = a p = 1 - b

C1

Y-Da

ta

375370365360355

0.18

0.16

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

VariableOriginalCorridaLIE 360 LIE 370

Ho:Meta365

Ha: Corrida367.5

CORRIDA DE 2.5 GRS. EN PROMEDIO


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1-Sample t Test

Testing mean = null (versus not = null)Calculating power for mean = null + differenceAlpha = 0.05 Assumed standard deviation = 2.403

Sample Se tiene un 53.76% de Potencia para detectarDifference Size Power una diferencia de 2.5 si se usan 6 muestras 2.5 6 0.537662 O sea que hay una probabilidad del 46.24%

que no se rechaze Ho y se concluya que no hay diferencia significativa.

¿cuántas muestras se requieren para tener un 80% de probabilidad de detectar el corrimiento, y para 85%, 90% y 95%?

Stat > Power and Sample Size > 1 - Sample t

Se cambia este parámetro


Sample TargetDifference Size Power Actual Power 2.5 10 0.80 0.832695 2.5 11 0.85 0.873928 2.5 12 0.90 0.905836 2.5 15 0.95 0.962487

Si la potencia es demasiado alta por decir 99% se pueden detectar diferenciasque realmente no son significativas.

Caso 2. Prueba t de comparación de dos medias poblacionales

Ejemplo: La potencia de una prueba depende de la diferencia que se quiera detectarrespecto a la desviación estándar, para una sigma poner 1 en diferencia y desviaciónestándar, con valores deseados de Potencia de 0.8 y 0.9.

Stat > Power and Sample Size > 2 - Sample t

Power and Sample Siz 2-Sample t TestTesting mean 1 = mean 2 (versus not =)Calculating power for mean 1 = mean 2 + differenceAlpha = 0.05 Assumed standard deviation = 1

Sample TargetDifference Size Power Actual Power 1 17 0.8 0.807037 1 23 0.9 0.912498

Se requieren tamaños de muestra de entre 17 y 23

Caso 3. Prueba de 1 proporción


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Para estimar la potencia, Minitab requiere de dos de los siguientes parámetros:

* Tamaños de muestra* La proporción - una proporción que se desea detectar con alta probabilidad* Valores de potencia - La probabilidad deseada de rechazar Ho cuando es falsa

Suponiendo que se desea detectar una proporción de 0.04 con el 0.8 y 0.9 de nivelesde Potencia:

Proporción que se desea detectar con altaprobabilidad (0.80, 0.90)

Es la proporción de la Hipótesis nula

Test for One ProportionTesting proportion = 0.02 (versus > 0.02)Alpha = 0.05Alternative Sample Target Proportion Size Power Actual Power 0.04 391 0.8 0.800388 0.04 580 0.9 0.900226

Si se desea saber la Potencia si se utiliza un tamaño de muestra de 500 se tiene:

Stat > Power and Sample Size > 2 - Proportions

Options: Greater ThanSignificance Level = 0.05

Test for One ProportionTesting proportion = 0.02 (versus > 0.02)Alpha = 0.05Alternative Sample Proportion Size Power 0.04 500 0.5828

Por tanto con un tamaño de muestra de 500, la potencia de la prueba para detectarun corrimiento de 2% a 4% es del 86.6%

El Análisis de Varianza es una prueba de hipótesis que trata de probar la igualdad de varias medias al mismo tiempo:

Requiere que las poblaciones sean normales y con varianza similar.

ANOVA de una vía con datos de tratamientos en diferentes columnas:

Proportion 1 value 0.02Sample sizes = 500 Alternative values of p = 0.04

4.5 Análisis de varianza (ANOVA)

Para la teoría revisar el artículo anexo en el archivo ANOVARes.Doc

H0=μ1=μ2=μ3=.. . .=μkH1 : Al menos dos medias son diferentes .


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Ejemplo: Los técnicos de una fábrica de papel hacen un experimento de un factorpara ver que variedad de árbol produce menos fenoles en los desechos de pasta depapel. Se colectan los siguientes datos en porcentajes:

A B C1.9 1.6 1.31.8 1.1 1.62.1 1.3 1.81.8 1.4 1.1

1.1 1.51.1

A un 95% de nivel de confianza, ¿hay alguna variedad que produzca más fenoles que otra?

Se colocan los datos en tres columnas distintas C1, C2 y C3:

Stat > ANOVA > One Way (Unstacked)

Los residuos deben mostrarun comportamiento normaly aleatorio alrededor de la mediapara que el análisis sea válido


One-way ANOVA: A, B, C Como el valor P value es menor

Source DF SS MS F a 0.05 existe una diferencia Factor 2 0.9000 0.4500 8.44 0significativa entre algunas mediasError 12 0.6400 0.0533Total 14 1.5400S = 0.2309 R-Sq = 58.44% R-Sq(adj) = 51.52%

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev A produce más fenoles que B,CLevel N Mean StDev ----+---------+---------+---------+-----A 4 1.9000 0.1414 (-------*--------)B 5 1.3000 0.2121 (------*-------) La media de A esC 6 1.4000 0.2828 (------*------) diferentes a A y B ----+---------+---------+---------+----- 1.20 1.50 1.80 2.10Pooled StDev = 0.2309 Las medias B y CDesviación estándar poblacional son similares

Tukey 95% Simultaneous Confidence IntervalsAll Pairwise Comparisons

Individual confidence level = 97.94% Como el cero no está en el

Residual

Perc

ent

0.500.250.00-0.25-0.50

99

90

50

10

1

Fitted Value

Resi

dual

1.81.61.4

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

Residual

Freq

uenc

y

0.40.30.20.10.0-0.1-0.2-0.3

3

2

1

0

Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values

Histogram of the Residuals

Residual Plots for A, B, C


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intervalo de la diferencia B-A A subtracted from: o C-A, A es diferente de B y C Lower Center Upper -----+---------+---------+---------+----B -1.0130 -0.6000 -0.1870 (---------*---------)C -0.8974 -0.5000 -0.1026 (---------*--------) -----+---------+---------+---------+---- -0.80 -0.40 -0.00 0.40

B subtracted from: Lower Center Upper -----+---------+---------+---------+----C -0.2728 0.1000 0.4728 (---------*--------) -----+---------+---------+---------+---- -0.80 -0.40 -0.00 0.40

El intervalo de la diferencia C-B si incluyeel cero por tanto B no es diferentes de C

ANOVA de una vía con datos de tratamientos en una sola columna Respuesta Factor1.9 A

Los datos del ejemplo anterior arreglados en una 1.8 Asola columna se muestran a continuación 2.1 A

1.8 A1.6 B1.1 B1.3 B1.4 B1.1 B1.3 C1.6 C1.8 C1.1 C1.5 C1.1 C

Stat > ANOVA > One Way

Los resultados son similares a los anterioresexcepto que se obtiene 4 en uno en vez de 3 en uno.

Mintab 15 Tamaño de muestra en ANOVA

Se usa para calcular uno de las pruebas siguientes en prueba de igualdad de medias poblacionales· potencia· tamaño de muestra

Residual

Perc

ent

0.500.250.00-0.25-0.50

99

90

50

10

1

Fitted Value

Resid

ual

1.81.61.4

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

Residual

Freq

uenc

y

0.40.30.20.10.0-0.1-0.2-0.3

3

2

1

0

Observation Order

Resi

dual

151413121110987654321

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4


Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data

Residual Plots for Respuesta


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Se requiere como dato dos de estos valores, Minitab calcula el tercero.

Los resultados son los siguientes:

Power and Sample Size One-way ANOVAAlpha = 0.05 Assumed standard deviation = 1.64 Number of Levels = 4 SS Sample MaximumMeans Size Power Difference 8 5 0.826860 4The sample size is for each level.

Por tanto si se asignan cinco unidades a cada nivel de tratamiento, se tendrá una potencia de 0.83para detectar una diferencia de 4 o más unidades entre las medias de los tratamientos.

Minitab 15 Análisis de varianza de dos vías

Prueba la igualdad de medias poblacionales cuando la clasificación de tratamientos es por variables o factores, las celdas deben estar balanceadas con el mismo núimero de observaciones y los factoresdeben ser fijos.

Para mostrar las medias en las celdas y sus desviaciones estándar utilizar la opción Cross Tabulation and Chi Square.

Si se desea que ciertos factores sean aleatorios, usar ANOVA balanceado o el Modelo lineal general si se desea comparar medias usando comparaciones múltiples.

Por ejemplo:

Se estudia el plancton en dos lagos. Se preparan doce tanques en el laboratorio, seis con agua de cadauno de los lagos, se agrega uno de tres nutrientes en cada tanque y al mes se cuenta el plancton en cada unidad de volumen de agua. Se utiliza el ANOVA de dos vías para este experimento.

Zooplankton Supplement Lake34 1 Rose43 1 Rose57 1 Dennison40 1 Dennison85 2 Rose68 2 Rose67 2 Dennison53 2 Dennison41 3 Rose24 3 Rose42 3 Dennison52 3 Dennison


· diferencia mínima detectable entre la media menor y la mayor (diferencia máxima)

1 Stat > Power and Sample Size > One-way ANOVA.2 En Number of levels, poner 4.3 En Sample sizes, poner 5.4 En Values of the maximum difference between means, poner 4.5 En Standard deviation, poner 1.64. Click OK.

1 File > Open worksheet EXH_AOV.MTW.

2 Stat > ANOVA > Two-Way.3 En Response, seleccionar Zooplankton.4 En Row factor, seleccionar Supplement. Seleccionar Display means.5 En Column factor, seleccionar Lake. seleccionar Display means. Click OK.


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Two-way ANOVA: Zooplankton versus Supplement, Lake

Source DF SS MS F PSupplement 2 1918.50 959.250 9.25 0.015Lake 1 21.33 21.333 0.21 0.666Interaction 2 561.17 280.583 2.71 0.145Error 6 622.00 103.667Total 11 3123.00

S = 10.18 R-Sq = 80.08% R-Sq(adj) = 63.49%

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevSupplement Mean --+---------+---------+---------+-------1 43.50 (-------*-------)2 68.25 (--------*-------)3 39.75 (--------*-------) --+---------+---------+---------+------- 30 45 60 75

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevLake Mean -----+---------+---------+---------+----Dennison 51.8333 (----------------*----------------)Rose 49.1667 (----------------*----------------) -----+---------+---------+---------+---- 42.0 48.0 54.0 60.0

De la tabla de ANOVA se ve que no hay una interacción significativa entre Supplement*Lake o por Lake.Hay evidencia significativa de que el Supplement afecta al crecimiento para un alfa de 0.05.De la gráfica de medias parece que el Supplement 2 es mejor para el crecimiento del plancton.Para examinar comparaciones múltiples de medias, utilizar el modelo lineal general.

Minitab 15 Análisis de medias

Sirve para realizar un análisis de medias (ANOM) para datos normales, binomiales o de Poisson yopcionalmente imprime una tabla resumen para datos normales o binomiales.

Por ejemplo para datos normales:Se evalúa el efecto de tres tiempos de nvieles de proceso y tres niveles de resitencia en la densidad.Se analizan las medias y un diseño de dos vías para identificar interacciones o efectos principalessignificativos.

Density Minutes Strength7 10 38 10 310 10 37 10 31 15 14 15 13 15 12 15 16 15 27 15 28 15 2 Etcétera…



3 En Response, seleccionar Density.4 Seleccionar Normal.5 En Factor 1, seleccionar Minutes. En Factor 2, seleccionar Strength. Click OK.

MinutesStrength

181510321321321

2

0

-2

Effe

ct

-1.578

1.578

0

181510

7

6

5

Minutes

Mea

n

5.300

7.145

6.222

321

8

6

4

2

Strength

Mea

n

5.3007.1456.222

Two-Way Normal ANOM for DensityAlpha = 0.05

Interaction Effects

Main Effects for Minutes Main Effects for Strength


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Se muestra una gráfica de interacción y de efectos principales para los dos factores.La gráfica ANOM tiene una línea central y límites de decisión, si un punto cae fuera de estos límiteses evidente que es diferente de la gran media. Si la interacción fuera significativa, ya no se consideranlos efectos principales por separado, dado que unos dependen de otros. En este caso no es significat.

El punto que representa la media del nivel 3 del factor Minutes se muestra con un asterisco en rojo,indicando que hay evidencia al nivel de alfa = 0.05 de que difiera significativamente de la media gral.

En el caso de Strenght, hay evidencia de que los efectos principales para los niveles 1 y 3 están fuera de los límites de decisión y son diferentes de la media general.

Los puntos que están fuera se pueden investigar.

Ejemplos con datos binomialesSe cuenta el número de soldaduara rechazadas en muestras de tamaño 80 para identificar que proporciones están fuera de la línea con las otras muestras.Como las muestras tienen dos resultados, la proporción de éxitos es constante y son independientesse usa el análisis de medias para datos binomiales.

WeldRejects3681461818101



2 Stat > ANOVA > Analysis of Means.3 En Response, seleccionar WeldRejects.4 Seleccionar Binomial y poner 80 en Sample size. Click OK.

MinutesStrength

181510321321321

2

0

-2

Effe

ct

-1.578

1.578

0

181510

7

6

5

Minutes

Mea

n

5.300

7.145

6.222

321

8

6

4

2

Strength

Mea

n

5.3007.1456.222

Two-Way Normal ANOM for DensityAlpha = 0.05

Interaction Effects

Main Effects for Minutes Main Effects for Strength

1110987654321

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

Sample

Prop

ortio

n

0

0.1547

0.075

One-Way Binomial ANOM for WeldRejectsAlpha = 0.05


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La gráfica muestra la proporción de defectos para cada muestra, la línea central representando la proporción promedio, y los límites superior e inferior.

En este caso la muestra cuatro sale de los límites de decisión y es anormal.

Ejemplo con datos de PoissonUna fábrica de juguetes, quiere monitorear el número de defectos de carros de juguete. Se toman 20 muestras de carros y se crea una carta de medias para examinar el número de defectosen cada muestra.

Defects Defects9 411 42 25 515 513 28 37 25 12 6

La gráfica muestra el número de defectos en cada muestra, la línea central representando el promedio de defectos, y los límites de decisión superior e inferior.

En este caso, el número de defectos de los carros cinco y seis son anormales ya que caen fuera de loslímites de decisión.

Mintab 15 ANOVA Balanceado

Se usa para realizar análisis univariado de varianza para cada una de las variables de respuesta.El diseño debe ser balanceado, con las mismas observaciones por celda.

1 File > Open worksheet TOYS.MTW.

2 Stat > ANOVA > Analysis of Means.3 En Response, seleccionar Defects4 Seleccionar Poisson . Click OK.

1110987654321

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

Sample

Prop

ortio

n

0

0.1547

0.075

One-Way Binomial ANOM for WeldRejectsAlpha = 0.05

2019181716151413121110987654321

16

12

8

4

0

Sample

Defe

cts

0

12.49

5.55

One-Way Poisson ANOM for DefectsAlpha = 0.05


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Los factores pueden ser cruzados o anidados, fijos o aleatorios. Se pueden incluir hasta 50 variables derespuesta con hasta 31 factores al mismo tiempo.

Los factores son predictores (independientes) que se seleccionan a que varien durante el experimentopara determinar su efecto en la variable de respuesta (variable dependiente). Por ejemplo, si se quiere evaluar el acabado superficial de partes metálicas producidas por variasmáquinas y se miden por varios operadores. Tanto "Máquina" como "Operador" son factores en esteexperimento. Los factores pueden ser cruzados o anidados, dependiendo de cómo se colecten los datos.

Factores cruzados:Dos factores son cruzados cuando cada nivel de un factor ocurre en combinación con cada nivel del otro factor. Por ejemplo, los mismos tres operadores evalúan el acabado superficial de las 2 máquinas.

Factores anidados:Dos factores son anidados cuando los niveles de un factor son similares pero no idénticos, y cada unoocurre en combinación con diferentes niveles de otro factor.En este caso, si la máquina 1 está una ciudad y la otra en otra diferente, cada una tendrá diferentes operadores.

Modelo:En la caja de Model solo se especifican las X's no la Y. La opción Make Patterned data, single set ofnumbers puede ayudar a cargar los números de niveles de un factor.

Las reglas para expresar modelos son:

1 * indica un término de interacción, por ejemplo A*B.2 () indica anidado, cuando B está anidado dentro de A, poner B(A). Si C está anidado dentro de A y B poner C(A B). Los términos entre paréntesis son factores del modelo y se separan con espacio.3 Abreviar el modelo con | o ! Para indicar factores cruzados o - para remover términos.

Por ejemplo:Dos factores cruzados: A B A*BTres factores cruzados: A B C A*B A*C B*C A*B*CTres factores anidados: A B(A) C(A B)B anidado dentro de A, y ambos cruzados con C: A B(A) A*C B*C(A)

Para introducir números de niveles para un conjunto de datos:Por ejemplo para un diseño cruzado de tres vías con niveles a, b y c de factores A, B, C, con n observaciones por celda, se tiene:

Ejemplo de ANOVA con dos factores cruzadosSe quiere probar cuanto toma usar una calculadora nueva y una antigua. Seis ingenieros trabajan en ambos un problema estadístico y uno de ingeniería usando cada modelo de calculadora y se tomael tiempo en minutos que toma resolver el problema.Los ingenieros se pueden considerar como bloques del diseño experimental. Hay dos factoresTipo de problema y modelo de calculadora, cada uno con dos niveles. Como cada nivel del factor ocurre en combinación con cada nivel del otro factor, los factores son cruzados.

SolveTime Engineer ProbType Calculator Engineer ProbType Calculator3.1 Jones Stat New Dixon Stat New7.5 Jones Stat Old Dixon Stat Old2.5 Jones Eng New Dixon Eng New

1 Calc>Make Patterned Data > Simple set of numbers, F3 (Reset defaults). Poner A en Store patterned data in. Poner 1 en From first value, niveles de A en To last value. Poner el producto bcn en List the whole sequence. Clik OK

2 Calc>Make Patterned Data > Simple set of numbers, F3 (Reset defaults). Poner B en Store patterned data in. Poner 1 en From first value, niveles de B en To last value. Niveles de A en List each value. Poner el producto cn en List the whole sequence. Clik OK

3 Calc>Make Patterned Data > Simple set of numbers, F3 (Reset defaults). Poner C en Store patterned data in. Poner 1 en From first value, niveles de C en To last value. Producto ab en List each value. Poner el tamaño de muestra n en List the whole sequence. Clik OK



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5.1 Jones Eng Old Dixon Eng Old3.8 Williams Stat New Erickson Stat New8.1 Williams Stat Old Erickson Stat Old2.8 Williams Eng New Erickson Eng New5.3 Williams Eng Old Erickson Eng Old3 Adams Stat New Maynes Stat New

7.6 Adams Stat Old Maynes Stat Old2 Adams Eng New Maynes Eng New

4.9 Adams Eng Old Maynes Eng Old3.47.82.75.53.36.92.55.43.6 Los resultados se muestran a continuación:7.8 ANOVA: SolveTime versus Engineer, ProbType, Calculator 2.44.8 Factor Type Levels Values

Engineer random 6 Adams, Dixon, Erickson, Jones, Maynes, WilliamsProbType fixed 2 Eng, StatCalculator fixed 2 New, Old

Analysis of Variance for SolveTime

Source DF SS MS F PEngineer 5 1.053 0.211 3.13 0.039ProbType 1 16.667 16.667 247.52 0.000Calculator 1 72.107 72.107 1070.89 0.000ProbType*Calculator 1 3.682 3.682 54.68 0.000Error 15 1.010 0.067Total 23 94.518S = 0.259487 R-Sq = 98.93% R-Sq(adj) = 98.36%

Means

ProbType N SolveTimeEng 12 3.8250Stat 12 5.4917

Calculator N SolveTimeNew 12 2.9250Old 12 6.3917

ProbType Calculator N SolveTimeEng New 6 2.4833Eng Old 6 5.1667Stat New 6 3.3667Stat Old 6 7.6167

Se muestran los factores con su tipo (fijos o aleatorios), número de niveles y valores. Después se muestra la tabla de ANOVA, indicando una interacción significativa entre tipo de problema y calculadora.También se muestran las medias de todos los factores y sus combinaciones como efectos principales.Donde se puede observar que el tiempo se reduce al cambiar de la calculadora antigua a la nueva.

Ejemplo de ANOVA con diseño de mediciones repetidas

Se corre un experimento para ver como afectan los factores la exactitud de ajuste de indicadores.Tres personas realizan las pruebas en uno de dos niveles de ruido. En cada uno de los tres periodosde tiempo, las personas monitorean tres diferentes indicadores y realizan ajustes conforme se requiereLa respuesta es una medida de la exactitud. El ruido, tiempo e indicadores son factores fijos y cruzados

2 Stat > ANOVA > Balanced ANOVA.3 En Responses, seleccionar SolveTime.4 En Model, seleccionar Engineer ProbType | Calculator.5 En Random Factors, seleccionar Engineer.6 Click Results. En Display means corresponding to the terms, poner ProbType | Calculator. 7 Click OK en cada cuadro de diálogo.


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La persona en un factor aleatorio, anidado dentro del ruido. El ruido es un factor entre personas, el tiempo e indicadores estan dentro de las personas.

Score Noise Subject ETime Dial45 1 1 1 153 1 1 1 260 1 1 1 340 1 1 2 152 1 1 2 257 1 1 2 328 1 1 3 137 1 1 3 246 1 1 3 335 1 2 1 141 1 2 1 250 1 2 1 3

Los resultados se muestran a continuación:ANOVA: Score versus Noise, ETime, Dial, Subject

Factor Type Levels ValuesNoise fixed 2 1, 2Subject(Noise) random 3 1, 2, 3ETime fixed 3 1, 2, 3Dial fixed 3 1, 2, 3

Analysis of Variance for Score

Source DF SS MS F PNoise 1 468.17 468.17 0.75 0.435Subject(Noise) 4 2491.11 622.78 78.39 0.000ETime 2 3722.33 1861.17 63.39 0.000Noise*ETime 2 333.00 166.50 5.67 0.029ETime*Subject(Noise) 8 234.89 29.36 3.70 0.013Dial 2 2370.33 1185.17 89.82 0.000Noise*Dial 2 50.33 25.17 1.91 0.210Dial*Subject(Noise) 8 105.56 13.19 1.66 0.184ETime*Dial 4 10.67 2.67 0.34 0.850Noise*ETime*Dial 4 11.33 2.83 0.36 0.836Error 16 127.11 7.94Total 53 9924.83

S = 2.81859 R-Sq = 98.72% R-Sq(adj) = 95.76% Variance Error Expected Mean Square for Each Source component term Term (using restricted model) 1 Noise 2 (11) + 9 (2) + 27 Q[1] 2 Subject(Noise) 68.315 11 (11) + 9 (2) 3 ETime 5 (11) + 3 (5) + 18 Q[3] 4 Noise*ETime 5 (11) + 3 (5) + 9 Q[4] 5 ETime*Subject(Noise) 7.139 11 (11) + 3 (5) 6 Dial 8 (11) + 3 (8) + 18 Q[6] 7 Noise*Dial 8 (11) + 3 (8) + 9 Q[7] 8 Dial*Subject(Noise) 1.750 11 (11) + 3 (8) 9 ETime*Dial 11 (11) + 6 Q[9]


2 Stat > ANOVA > Balanced ANOVA.3 En Responses, seleccionar Score4 En Model, seleccionar Noise Subject(Noise) Etime Noise*ETime ETime*Subject Dial Noise*Dial Dial*Subject ETime*Dial Noise*ETime*Dial.5 En Random Factors, seleccionar Subject6 Click Options.7 Seleccionar Use the restricted form of the mixed model, y click OK.8 Click Results.9 Seleccionar Display expected mean squares and variance components. Click OK en diálogos.


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10 Noise*ETime*Dial 11 (11) + 3 Q[10]11 Error 7.944 (11)

Se muestra la tabla de niveles de factores, la tabla de ANOVA y los cuadrados medios esperados.Esto último permite ver los componentes estimados de la varianza y descubrir cuál término de error es usado para probar los diferentes términos del modelo.

El término de error está en fila 11 de la tabla de cuadrados medios esperados. La columna Error Term" indica que el término 11 se usa para probar los términos 2, 5, 8 y 10. Dial*Subject se numera como 8 y se usa para probar el sexto y séptimo términos. Se puede seguir el patrón para otros términos.

Se puede tener alguna idea de cómo afecta el diseño la sensibilidad de las pruebas F observando loscomponentes de la varianza. Los componentes para probar los factores dentro de las personasson más pequeños (7.139, 1.750, 7.994) que la varianza entre personas (68.315). Es típico que para el modelo de mediciones repetidas, pueda detectar diferencias más pequeñas en medias dentrode personas cuando se compara a la varianza entre personas.

De las cuatro interacciones entre los factores fijos, la interacción de Noise*Etime fue la única significativaP-value = 0.029. Implica que la sensibilidad al ruido de las personas cambia en el tiempo.Tambien es significativo el efecto del indicador Dial P value < 0.0005. Entre términos aleatorios,hay evidencia significativa para tiempo por persona (Etime*Subject con P value = 0.013) y persona(Subject P value < 0.0005).

Modelo de ANOVA mezcladoUna empresa corre experimentos para como diversas condiciones afectyan el espesor de un recubrimiento que fabrican. El experimento se corre en la mañana y en la noche. Se seleccionantres operadores al azar. El proceso de manufactura se ajusta en tres puntos 35, 44, y 52. Se hace dosdeterminaciones de espesor para cada operadoren cada tiempo y punto de ajuste.Así los tres factores son cruzados, un factor "Operator" es aleatorio y los otros dos son fijos.

El modelo estadístico y sus términos se muestran a continuación:

Paso 1. Encontrar la forma del modelo restringido

Thickness Time Operator Setting38 1 1 3540 1 1 3563 1 1 4459 1 1 4476 1 1 5278 1 1 5239 1 2 3542 1 2 3572 1 2 4470 1 2 44



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95 1 2 5296 1 2 52

Paso 1. Encontrar la forma del modelo no restringido


Modelo restringidoANOVA: Thickness versus Time, Operator, Setting

Factor Type Levels ValuesTime fixed 2 1, 2Operator random 3 1, 2, 3Setting fixed 3 35, 44, 52

Analysis of Variance for Thickness

Source DF SS MS F PTime 1 9.0 9.0 0.29 0.644Operator 2 1120.9 560.4 165.38 0.000Setting 2 15676.4 7838.2 73.18 0.001Time*Operator 2 62.0 31.0 9.15 0.002Time*Setting 2 114.5 57.3 2.39 0.208Operator*Setting 4 428.4 107.1 31.61 0.000Time*Operator*Setting 4 96.0 24.0 7.08 0.001Error 18 61.0 3.4Total 35 17568.2

S = 1.84089 R-Sq = 99.65% R-Sq(adj) = 99.32%

Expected Mean Square Variance Error for Each Term (using Source component term restricted model)1 Time 4 (8) + 6 (4) + 18 Q[1]2 Operator 46.421 8 (8) + 12 (2)3 Setting 6 (8) + 4 (6) + 12 Q[3]4 Time*Operator 4.602 8 (8) + 6 (4)5 Time*Setting 7 (8) + 2 (7) + 6 Q[5]6 Operator*Setting 25.931 8 (8) + 4 (6)7 Time*Operator*Setting 10.306 8 (8) + 2 (7)8 Error 3.389 (8)

Modelo no restringido ANOVA: Thickness versus Time, Operator, Setting

Factor Type Levels ValuesTime fixed 2 1, 2Operator random 3 1, 2, 3Setting fixed 3 35, 44, 52

Analysis of Variance for Thickness

Source DF SS MS F PTime 1 9.0 9.0 0.29 0.644

2 Stat > ANOVA > Balanced ANOVA.3 En Responses, seleccionar Thickness.4 En Model, seleccionar Time | Operator | Setting.5 En Random Factors, seleccionar Operator.6 Click Options. Seleccionar Use the restricted form of the mixed model. Click OK.7 Click Results. Seleccionar Display expected mean squares and variance components.8 Click OK en cada cuadro de diálogo

1 Repetir pasos 1-8 excepto que, en 6, no seleccionar Use the restricted form of the mixed model.


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Operator 2 1120.9 560.4 4.91 0.090 xSetting 2 15676.4 7838.2 73.18 0.001Time*Operator 2 62.0 31.0 1.29 0.369Time*Setting 2 114.5 57.3 2.39 0.208Operator*Setting 4 428.4 107.1 4.46 0.088Time*Operator*Setting 4 96.0 24.0 7.08 0.001Error 18 61.0 3.4Total 35 17568.2

x Not an exact F-test.

S = 1.84089 R-Sq = 99.65% R-Sq(adj) = 99.32%

Variance Error Expected Mean Square for Each Source component term Term (using unrestricted model)1 Time 4 (8) + 2 (7) + 6 (4) + Q[1,5]2 Operator 37.194 * (8) + 2 (7) + 4 (6) + 6 (4) + 12

-23 Setting 6 (8) + 2 (7) + 4 (6) + Q[3,5]4 Time*Operator 1.167 7 (8) + 2 (7) + 6 (4)5 Time*Setting 7 (8) + 2 (7) + Q[5]6 Operator*Setting 20.778 7 (8) + 2 (7) + 4 (6)7 Time*Operator*Setting 10.306 8 (8) + 2 (7)8 Error 3.389 (8)

* Synthesized Test.

Error Terms for Synthesized Tests

Synthesis ofSource Error DF Error MS Error MS2 Operator 3.73 114.1 (4) + (6) - (7)

La organización de la salida es la misma para el modelo restringido o no restringido: - Una tabla de niveles de factores, la tabla ANOVA, y como se requirió, los cuadrados medios esperados. Las diferencias en la salida se encuentran en los cuadrados medios esperados, y las pruebas F para algunos términos del modelo. En este caso la prueba F para el operador se sintetiza para el Operator en el modelo no restringido dado que no puede ser calculada exactamente.

Al examinar la interacción de los tres factores Time*Operator*Setting, la prueba F es la misma en ambos modelos con un P value de 0.001, por tanto el espesor depende de la combinación de tiempo,operador y ajuste. En algunos casos aquí termina este análisis, no siguiendo con los factores.

En los casos donde los modelos dan diferente salida es en: La prueba F para Operator*Setting esdiferente, asi como Time*Operator*Setting, Time*Operator, Operator, Time*Operator, Oper*Setting.

Modelo Lineal general (GLM)

Se usa para hacer análisis univariados de varianza con diseños balanceados y no balanceados, análisis de covarianza y regresión, para cada una de las variables de respuesta.Los cálculos se realizan con el método de regresión para lo caul se requiere un arreglo completo defactores y covariados para hacer una regresión con cada variable de respuesta.Se puede especificar un modelo jerárquico, si se incluye un término de interacción todas las interaccionesde menor orden y los factores que comprende la interacción deben aparecer en el modelo.Los factores pueden ser cruzados, o anidados, fijos o aleatorios. Los covariados pueden ser cruzadosentre sí o con los factores, o anidados dentro de los factores. Se pueden analizar hasta 50 variables derespuesta con hasta 31 factores y 50 covariados al mismo tiempo.

Los modelos de ANOVA balanceado y modelo lineal general (GLM) son procedimientos de ANOVA paraanalizar datos colectados con diversos diseños experimentales. La selección de estos procedimientos


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depende del diseño experimental y las opciones disponibles. El diseño experimental se refiere a la selección de unidades o sujetos a medir, la asignación de tratamientos a esas unidades o sujetos, y lasecuencia de las mediciones tomadas en las unidades o sujetos. Ambos modelos pueden ajustar modelos univariados para datos balanceados con hasta 31 factores. Algunas opciones son las siguientes:

ANOVA balanceado GLMPuede ajustar datos no balanceados No Si

Puede especificar factores como Si Sialeatorios y obtener cuadrados medios esperados

Ajusta covariados No Si

Realiza comparaciones múltiples No Si

Ajusta modelos mezclados restringidos y Si Solo no restringidosrestringidos

Se puede usar el ANOVA balanceado para analizar datos de diseños balanceados. Se usa GLM para analizar datos de diseños balanceados, a pesar de que no se puede seleccionar el ajuste para el casorestringido del modelo mezclado, el cual solo el ANOVA balanceado puede ajustarlo.

Para clasificar las variables, determinar si los factores son: - Cruzados o anidados: cruzados cuando cada nivel de un factor ocurre combinado con cada nivel del otro.

Anidados cuando los niveles de un factor son similares pero no idénticos y cada uno ocurre en combinación con diferentes niveles de otro factor.

- Fijos o aleatorios: son fijos si se controla su nivel; son aleatorios si se seleccionan aleatoriamente de los niveles de un factor de una población (por ejemplo seleccionar tres operadores de una población).

- Covariados es un predictor continuo, que puede ser controlable o no controlable. Por ejemplo se puedeestar interesado en el efecto del covariado edad en los ingresos de ventas por Internet.

En un DOE es una variable que es observable pero díficil de controlar. Se introduce al modelo para reducir la varianza del error. Por ejemplo, se tiene intenrés en el efecto delcovariado temperatura en el tiempo de secado de dos diferentes tipos de pintura.

Especificación del modelo:

Para especificar los covariados:


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Para especificar modelos abreviados:

Ejemplo de ajuste de efectos lineales y cuadráticos

Se realiza un experimento para probar el efecto de la temperatura y tipo de vidrio en la luminosidad de unosciloscopio. Hay tres niveles en tipos de vidrio y temperatura: 100, 125 y 150 ºF. Son factores fijos (Montgomery 252).

Cuando un factor es cuantitativo con tres o más niveles, es adecuado particionar la suma de cuadrados deese factor en efectos de órdenes polinomiales. Si hay k niveles del factor, se puede particionar en k-1órdenes de polinomios. Es este ejemplo, el efecto de la temperatura se puede particionar en efectoslineales y efectos cuadráticos, de la misma forma se puede hacer con la interacción. Para esto se debe codificar la variable cuantitativa con los valores del tratamiento real (o sea, códigos de niveles detemperatura en 100, 125, y 150ºF), usar el GLM para analizar los datos, y declarar la variable cuantitativaa ser una covariable.

LightOutput Temperature GlassType580 100 1 LightOutput Temperature GlassType1090 125 1 1312 150 21392 150 1 579 100 2568 100 1 1000 125 21087 125 1 1299 150 21380 150 1 546 100 3570 100 1 1045 125 31085 125 1 867 150 31386 150 1 575 100 3550 100 2 1053 125 31070 125 2 904 150 31328 150 2 599 100 3530 100 2 1066 125 31035 125 2 889 150 3

GlassType *Temperature GlassType * Temperature *Temperature.


General Linear Model: LightOutput versus GlassType

Factor Type Levels ValuesGlassType fixed 3 1, 2, 3

Analysis of Variance for LightOutput, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PTemperature 1 1779756 262884 262884 719.21 0.000Temperature*Temperature 1 190579 190579 190579 521.39 0.000GlassType 2 150865 41416 20708 56.65 0.000GlassType*Temperature 2 226178 51126 25563 69.94 0.000GlassType*Temperature*Temperature 2 64374 64374 32187 88.06 0.000


2 Stat > ANOVA > General Linear Model.3 En Responses, seleccionar LightOutput.4 En Model, poner Temperature Temperature *Temperature GlassType

5 Click Covariates. En Covariates, seleccionar Temperature.6 Click OK en cada cuadro de diálogo.


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Error 18 6579 6579 366Total 26 2418330

S = 19.1185 R-Sq = 99.73% R-Sq(adj) = 99.61%

Term Coef SE Coef T PConstant -4968.8 191.3 -25.97 0.000Temperature 83.867 3.127 26.82 0.000Temperature*Temperature -0.28516 0.01249 -22.83 0.000Temperature*GlassType 1 -24.400 4.423 -5.52 0.000 2 -27.867 4.423 -6.30 0.000Temperature*Temperature*GlassType 1 0.11236 0.01766 6.36 0.000 2 0.12196 0.01766 6.91 0.000

Unusual Observations for LightOutput

Obs LightOutput Fit SE Fit Residual St Resid 11 1070.00 1035.00 11.04 35.00 2.24 R 17 1000.00 1035.00 11.04 -35.00 -2.24 R

R denotes an observation with a large standardized residual.

Se muestra la tabla de factores con sus niveles y valores. La segunda tabla da una tabla de ANOVA, seguida por una tabla de coeficientes y una tabla de observaciones no normales.

La suma secuencial de cuadrados se calculan dependiendo de que términos se puedieron primero en el modelo, o sea que depende del orden del modelo. La suma ajustada de cuadrados son las sumas de cuadrados dado que todos los otros términos están en el modelo. Estos valores no dependen del orden en el modelo. Si se selecciona la opción de suma secuencial de cuadrados, estos se usan parala determinación de los valores F.

En el ejemplo, todos los valores P fueron ceo, indicando que hay evidencia significativa de que afectan losfactores de vidrio y temperatura en el brillo así como su interacción lineal y cuadrática.

El valor de R2 indica que el modelo explica el 99.73% de la varianza de la salidad de luz, muy bueno.Las siguientes tablas dan los coeficientes estimados para la covariada, temperatura, y las interacciones,el error estándar, estadísticos t, y valores p. Después se muestran los valores atípicos, con valor estandarizado mayor a 2.

Minitab 15 Ejemplo de comparaciones múltiples con diseños anidados

Cuatro empresas químicas producen insecticidas para mosquitos, pero la composición difiere de empresaa empresa. Se hace un experimento poniendo 400 mosquitos en un contenedor de vidrio y contando losmosquitos vivos cuatro horas después. Se realizan tres réplicas para cada producto. La meta es compararla efectividad del producto de las diferentes empresas. Los factores son fijos. Los factores están anidadosdado que cada uno de los insecticidas de cada empresa es único. Se usa el GLM dado que el diseño no es balanceado y se usan comparaciones múltiples para compararlas respuesta media de cada empresa.

NMosquito Company Product151 A A1135 A A1137 A A1118 A A2132 A A2135 A A2131 A A3137 A A3121 A A3



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140 B B1


General Linear Model: NMosquito versus Company, Product

Factor Type Levels ValuesCompany fixed 4 A, B, C, DProduct(Company) fixed 11 A1, A2, A3, B1, B2, C1, C2, D1, D2, D3, D4

Analysis of Variance for NMosquito, using Adjusted SS for Tests

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PCompany 3 22813.3 22813.3 7604.4 132.78 0.000Product(Company) 7 1500.6 1500.6 214.4 3.74 0.008Error 22 1260.0 1260.0 57.3Total 32 25573.9

S = 7.56787 R-Sq = 95.07% R-Sq(adj) = 92.83%

Tukey 95.0% Simultaneous Confidence IntervalsResponse Variable NMosquitoAll Pairwise Comparisons among Levels of CompanyCompany = A subtracted from:

Company Lower Center Upper --------+---------+---------+--------B -2.92 8.17 19.25 (---*----)C -52.25 -41.17 -30.08 (----*---)D -61.69 -52.42 -43.14 (---*---) --------+---------+---------+-------- -50 -25 0

Company = B subtracted from:

Company Lower Center Upper --------+---------+---------+--------C -61.48 -49.33 -37.19 (----*----)D -71.10 -60.58 -50.07 (---*---) --------+---------+---------+-------- -50 -25 0

Company = C subtracted from:

Company Lower Center Upper --------+---------+---------+--------D -21.77 -11.25 -0.7347 (----*---) --------+---------+---------+-------- -50 -25 0

Tukey Simultaneous TestsResponse Variable NMosquitoAll Pairwise Comparisons among Levels of CompanyCompany = A subtracted from:

Difference SE of AdjustedCompany of Means Difference T-Value P-Value

2 Stat > ANOVA > General Linear Model.3 En Responses, seleccionar NMosquito.4 En Model, seleccionar Company Product(Company).5 Click Comparisons. En Pairwise Comparisons, seleccionar Company en Terms.6 En Method, seleccionar Tukey. Click OK en cada cuadro de diálogo.


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B 8.17 3.989 2.05 0.2016C -41.17 3.989 -10.32 0.0000D -52.42 3.337 -15.71 0.0000

Company = B subtracted from:

Difference SE of AdjustedCompany of Means Difference T-Value P-ValueC -49.33 4.369 -11.29 0.0000D -60.58 3.784 -16.01 0.0000

Company = C subtracted from:

Difference SE of AdjustedCompany of Means Difference T-Value P-ValueD -11.25 3.784 -2.973 0.0329

Se muestra una tabla de niveles de factores, tabla de ANOVA, comparaciones múltiples de Tukey para diferencias entre empresas y las pruebas de hipótesis correspondientes. La prueba F indica que la empresa es significativa.El valor de R2 indica que el modelo explica el 95.07% de la varianza en el número de mosquitos vivos, siendo adecuado el modelo.

De la comparación de diferencias se observa que las empresas A y B son similares (cero incluido), y ambas diferentes de C y D (cero no incluido).

Minitab 15 ANOVA completamente anidado

Se usa para realizar un ANOVA completamente anidado (jerárquico) y para estimar los componentes de lavarianza para cada variable de respuesta. Todos los factores se asumen como aleatorios, Minitab usasumas secuenciales de cuadrados para los cálculos.Se pueden analizar hasta 50 variables de respuesta con hasta 9 factores a un tiempo.Si el diseño no está anidado jerárquicamente o si se tienen factores fijos, usar ANOVA balanceado o GLMSi el diseño no está completamente balanceado, no se calcularán ni los valores F ni los P.

Por ejemplo:

Se intenta comprender la variabilidad en la fabricación de jarras de vidrio. El proceso de hacer vidrio requiere mezclar materiales en hornos pequeños para lo cual se ajusta la temperatura a 475ºC.La empresa tiene varias plantas de jarras, de las cuales se seleccionan cuatro como muestra aleatoria.Se realiza el experimento y se mide la temperatura del horno para cuatro operadores de cuatro turnosdiferentes. Se toman tres mediciones del lote durante cada turno.

Temp Plant Operator Shift Batch481 1 4 3 1477 1 4 3 2475 1 4 3 3470 1 4 4 1475 1 4 4 2474 1 4 4 3484 2 1 1 1477 2 1 1 2481 2 1 1 3477 2 1 2 1482 2 1 2 2 Etcétera…


1 File > Open worksheet FURNTEMP.MTW.

2 Stat > ANOVA > Fully Nested ANOVA.3 En Responses, seleccionar Temp.4 En Factors, seleccionar Plant - Batch. Click OK.


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Nested ANOVA: Temp versus Plant, Operator, Shift, Batch

Analysis of Variance for Temp

Source DF SS MS F PPlant 3 731.5156 243.8385 5.854 0.011Operator 12 499.8125 41.6510 1.303 0.248Shift 48 1534.9167 31.9774 2.578 0.000Batch 128 1588.0000 12.4062Total 191 4354.2448

Variance Components

% ofSource Var Comp. Total StDevPlant 4.212 17.59 2.052Operator 0.806 3.37 0.898Shift 6.524 27.24 2.554Batch 12.406 51.80 3.522Total 23.948 4.894

Expected Mean Squares

1 Plant 1.00(4) + 3.00(3) + 12.00(2) + 48.00(1)2 Operator 1.00(4) + 3.00(3) + 12.00(2)3 Shift 1.00(4) + 3.00(3)4 Batch 1.00(4)

Se muestran tres tablas: 1) ANOVA; 2) Componentes estimados de la varianza; 3) cuadrados medios esprados. Hay cuatro fuentes secuenciales anidadas de variabilidad: Planta, operador, turno y lote.

La tabla ANOVA indica que que hay evidencia significativa de planta y turno para alfa de 0.05.Los estimados de los componentes de la varianza indican que la variabilidad atribuible a lotes, turnos yplantas fue de 52, 27, y 18 porciento resp. De la varianza total.

Si el estimado de un componente de varianza es menor que cero, Minitab lo toma como cero en cálculos.

Minitab 15 Gráficas de intervalos

Se usan las gráficas por intervalos para graficar medias, intervalos de confianza o barras de errores parauna o más variables. La gráfica de intervalos muestra tanto la tendencia central como la variabilidad de losdatos.

Las opciones son las siguientes:

Nota: Por default Minitan muestra los intervalos de confianza para el 95%. Para cambiar el tipo dedespliegue para una gráfica específica, usar el Editor > Edit Interval Bar > Options.Para cambiarlo en todas las gráficas futuras usar Tools > Options > Individual Graphs > Interval Plots.


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Ejemplo de gráfica para un intervalo simple:Se quiere examinar la durabilidad de alfombras. Se instalan muestras en cuatro casas y se mide la durabilidad promedio después de 60 días.

Durability Carpet Composition Durability Carpet Composition18.95 1 A 10.92 3 A12.62 1 B 13.28 3 B11.94 1 A 14.52 3 A14.42 1 B 12.51 3 B10.06 2 A 10.46 4 A7.19 2 B 21.4 4 B7.03 2 A 18.1 4 A14.66 2 B 22.5 4 B


La media se observa colocando el cursor en el punto central y es de 13.785el intervalo de confianza se extiende de 11.3632 to 16.2068

Ejemplo de gráfica de intervalos por gruposSe quiere examinar la durabilidad de alfombras. Se instalan muestras en cuatro casas y se mide la durabilidad promedio después de 60 días. Incluir etiquetas de datos para los proimedios.


1 File > Open worksheet CARPET.MTW.

2 Graph > Interval Plot or Stat > ANOVA > Interval Plot.3 En One Y, seleccionar Simple. Click OK.4 En Graph variables, seleccionar Durability. Click OK.

1 File > Open worksheet CARPET.MTW.2 Graph > Interval Plot or Stat > ANOVA > Interval Plot.3 En One Y, seleccionar With Groups. Click OK.4 En Graph variables, seleccionar Durability.5 En Categorical variables for grouping (1-4, outermost first), seleccionar Carpet.6 Click Labels, y click en la ceja de Data Labels.7 En Label, seleccionar Means. Click OK en cada cuadro de diálogo.

16

15

14

13

12

11

Dura

bilit

y

Interval Plot of Durability95% CI for the Mean

4321

30

25

20

15

10

5

Carpet

Dura

bilit

y

18.115

12.8075

9.735

14.4825



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La media más grande es para la alfombra 4, y todas se traslapan sugieriendo que no son diferentes.El intervalo de confianza corresponde al 95%, se puede cambiar con:

Ejemplo de gráfica de intervalos para Y múltipleSe usa para mostrar gráficas de intervalo de múltiples variables en la misma gráfica.

Una empresa hace tubos de plástico y está preocupada por la consistencia de sus diámetros. Se miden 10 tubos cada semana durante tres semanas, y se crea una gráfica de intervalo para ver las distribuciones.

Week 1 Week 2 Week 3 Machine Operator5.19 5.57 8.73 1 A5.53 5.11 5.01 2 B4.78 5.76 7.59 1 A5.44 5.65 4.73 2 B4.47 4.99 4.93 1 A4.78 5.25 5.19 2 A4.26 7 6.77 1 B5.7 5.2 5.66 2 B4.4 5.3 6.48 1 A5.64 4.91 5.2 2 B

Los resultados se muestran a continuación

En la semana 4 se observa una mayor media y variabilidad. Acercando el cursor se ven los valores.

Ejemplo de gráfica de intervalos para Y múltipleSe usa para mostrar gráficas de intervalos para variables múltiples en grupos.

Editor > Edit Interval Bar > Options.

1 File > Open worksheet PIPE.MTW.

2 Graph > Interval Plot or Stat > ANOVA > Interval Plot.3 En Multiple Y's, seleccionar Simple. Click OK.4 En Graph variables, seleccionar 'Week 1' 'Week 2' 'Week 3'. Click OK.

1 File > Open worksheet PIPE.MTW.2 Graph > Interval Plot or Stat > ANOVA > Interval Plot.

4321

30

25

20

15

10

5

Carpet

Dura

bilit

y

18.115

12.8075

9.735

14.4825


Week 3Week 2Week 1

7.0

6.5

6.0

5.5

5.0

4.5

Data

Interval Plot of Week 1, Week 2, Week 395% CI for the Mean

mk:@MSITStore:C:%5CArchivos%20de%20programa%5CMinitab%2015%5Cresources%5C1033%5CMtbGr.chm::/GR_Common_Graph_Options/Data_View/Editing/Edit_Interval_Bar_Options.htm


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Se observa que: - Para la máquina 1, las medias e intervalos de confianza tienen tendencia creceinte cada semana - Para la máquina 2, las medias e intervalos de confianza son consistentes durante las semanas

Minitab 15 Gráfica de medias de Efectos Principales para factores múltiplesSe usa para comparar las magnitudes de los efectos principales.Los puntos en la gráfica son las medias de la variable de respuesta en los diferentes niveles del factor.Se muestra una línea de referencia dibujada como la gran media de la respuesta.

Por ejemplo:Se siembran seis variedades de alfalfa dentro de cuatro campos diferentes, y se pesa el rendimientode los cortes. Se tiene interés en comparar los diferentes rendimientos de las diferentes variedades,y se considera a los campos como bloques. Se quiere revisar los datos y examinar el rendimiento porvariedad y campo usando la gráfica de efectos principales.

Yield Variety Field Yield Variety Field3.22 1 1 3.26 1 33.04 2 1 3.27 2 33.06 3 1 2.93 3 32.64 4 1 2.59 4 33.19 5 1 3.11 5 32.49 6 1 2.38 6 33.31 1 2 3.25 1 42.99 2 2 3.2 2 43.17 3 2 3.09 3 42.75 4 2 2.62 4 43.4 5 2 3.23 5 42.37 6 2 2.37 6 4


3 En Multiple Y's, seleccionar With Groups. Click OK.4 En Graph variables, seleccionar 'Week 1' 'Week 2' 'Week 3'. 5 En Categorical variables for grouping (1-3, outermost first), seleccionar Machine.6 En Scale Level for Graph Variables, seleccionar Graph variables displayed innermost on scale. 7 Click OK.

1 File > Open worksheet ALFALFA.MTW.

2 Stat > ANOVA > Main Effects Plot.3 En Responses, seleccionar Yield.4 En Factors, seleccionar Variety Field. Click OK.

Machine 21Week 3Week 2Week 1Week 3Week 2Week 1

9

8

7

6

5

4

Data

Interval Plot of Week 1, Week 2, Week 395% CI for the Mean

654321

3.3

3.2

3.13.0

2.9

2.82.7

2.6

2.52.4

4321

Variety

Mea

n

Field

Main Effects Plot for YieldData Means


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Se muestra la media de la respuesta para cada uno de los niveles de los factores en orden si los factores son numéricos o en formato de fecha fecha/hora o en orden alfabético si es texto.Se muestra una línea horizontal como la gran media. Los efectos son las diferencias entre las mediasy la línea de referencia.En este ejemplo los efectos de Variety sobre el rendimiento son grnades comparados con los efectosdel factor Field (la variable de bloqueo):

Minitab 15 Gráfica de interaccionesCrea una gráfica simple de interacción de dos factores, o una matriz de gráficas de interacción para tres a nueve factores.Una interacción se presenta cuando la respuesta en el nivel de un factor, depende de los niveles de otros factores. Las líneas paralelas indican que no hay interacción; entre menos paralelas sean laslíneas mayor será el grado de interacción.

Ejemplo de gráfica de interacciones para dos factoresSe realiza un experimento para probar el efecto de la temperatura y el tipo de vidrio en la luminosidad de un osciloscopio. Hay tres niveles para tipo de vidrio y para temperatura, 100, 125, y 150grados farenheit.

LightOutput Temperature GlassType580 100 11090 125 11392 150 1568 100 11087 125 1 Etcétera…


1 File > Open worksheet EXH_AOV.

2 Stat > ANOVA > Interactions Plot.3 En Responses, seleccionar LightOutput.4 En Factors, seleccionar GlassType Temperature. Click OK.

654321

3.3

3.2

3.13.0

2.9

2.82.7

2.6

2.52.4

4321

VarietyM

ean

Field

Main Effects Plot for YieldData Means

150125100

1400

1300

1200

1100

1000

900

800

700

600

500

Temperature

Mea

n

123

GlassType

Interaction Plot for LightOutputData Means


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Se muestra una posible interacción entre el tipo de vidrio y la temperatura del lado superior (150ºC).

Minitab 15 MANOVA balanceado

Se usa para realizar análisis multivariado de varianza (MANOVA) para diseños balanceados. Se puedetomar ventaja de la estructura de la covarianza de los datos para probar al mismo tiempo la igualdadde medias de diferentes respuestas.

Por ejemplo:Se quieren determinar las condiciones óptimas para extruir capa de plástico. Se miden tres respuestasresistencia, gloss, y opacidad - cinco veces cada combinación de dos factores - tasa de extrusióny cantidad de aditivo -- cada uno es puesto en niveles bajos y altos. Se usa MANOVA dado que el diseño está balanceado.

Tear Gloss Opacity Extrusion Additive6.5 9.5 4.4 1 16.2 9.9 6.4 1 15.8 9.6 3 1 16.5 9.6 4.1 1 16.5 9.2 0.8 1 16.9 9.1 5.7 1 27.2 10 2 1 26.9 9.9 3.9 1 26.1 9.5 1.9 1 26.3 9.4 5.7 1 2 Etcétera….


ANOVA: Tear, Gloss, Opacity versus Extrusion, Additive

MANOVA for Extrusions = 1 m = 0.5 n = 6.0

Test DFCriterion Statistic F Num Denom PWilks' 0.38186 7.554 3 14 0.003Lawley-Hotelling 1.61877 7.554 3 14 0.003Pillai's 0.61814 7.554 3 14 0.003Roy's 1.61877

SSCP Matrix for Extrusion

Tear Gloss OpacityTear 1.740 -1.504 0.855SS Extrusión para las tres respuestasGloss -1.504 1.301 -0.7395Opacity 0.855 -0.739 0.4205

SSCP Matrix for Error

Tear Gloss OpacityTear 1.764 0.0200 -3.0SSE para las tres respuestas

1 File > Open worksheet EXH_MVAR.MTW.

2 Stat > ANOVA > Balanced MANOVA.3 En Responses, seleccionar Tear Gloss Opacity.4 En Model, seleccionar Extrusion | Additive.5 Click Results. En Display of Results, sel. Matrices (hypot., error, partial corr.) y Eigen analysis.6 Click OK en cada cuadro de diálogo

150125100

1400

1300

1200

1100

1000

900

800

700

600

500

TemperatureM

ean

123

GlassType

Interaction Plot for LightOutputData Means


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Gloss 0.020 2.6280 -0.552Opacity -3.070 -0.5520 64.924

Partial Correlations for the Error SSCP Matrix

Tear Gloss OLas correlaciones entre respuestas son débiles y se Tear 1.00000 0.00929 -0pudo haber corrido un ANOVA por separado para cadaGloss 0.00929 1.00000 -0una de las respuestas.Opacity -0.28687 -0.04226 1.00000

EIGEN Analysis for Extrusion

Eigenvalue 1.619 0.00000 0.00000Proportion 1.000 0.00000 0.00000Cumulative 1.000 1.00000 1.00000

Eigenvector 1 2 3Tear 0.6541 0.4315 Aquí la mayor diferencia entre niveles de factores Gloss -0.3385 0.5163 es para Tear, después Gloss y al último OpacityOpacity 0.0359 0.0302 -0.1209

MANOVA for Additives = 1 m = 0.5 n = 6.0

Test DFCriterion Statistic F Num Denom PWilks' 0.52303 4.256 3 14 0.025Lawley-Hotelling 0.91192 4.256 3 14 0.025Pillai's 0.47697 4.256 3 14 0.025Roy's 0.91192

SSCP Matrix for Additive

Tear Gloss OpacityTear 0.7605 0.6825 1.93SS Aditivo para las tres respuestasGloss 0.6825 0.6125 1.732Opacity 1.9305 1.7325 4.901

EIGEN Analysis for Additive


Eigenvector 1 2 3Tear -0.6330 0.4480 -0.1276Gloss -0.3214 -0.4992 -0.1694Opacity -0.0684 0.0000 0.1102

MANOVA for Extrusion*Additives = 1 m = 0.5 n = 6.0

Test DFCriterion Statistic F Num Denom PWilks' 0.77711 1.339 3 14 0.302Lawley-Hotelling 0.28683 1.339 3 14 0.302


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Pillai's 0.22289 1.339 3 14 0.302Roy's 0.28683

SSCP Matrix for Extrusion*Additive

Tear Gloss OpacityTear 0.000500 0.01650 0.04450Gloss 0.016500 0.54450 1.46850Opacity 0.044500 1.46850 3.96050

EIGEN Analysis for Extrusion*Additive


Eigenvector 1 2 3Tear -0.1364 0.1806 0.7527Gloss -0.5376 -0.3028 -0.0228Opacity -0.0683 0.1102 -0.0000

Se observa que el factor extrusión y el factor aditivo son significativos, con P value < 0.05Aquí la mayor diferencia entre niveles de factores es para Tear, después Gloss y al último Opacity

Minitab 15 MANOVA generalSe usa para realizar análisis multivariado de varianza (MANOVA) para diseños balanceados y nobalanceados si se tienen covariados. Se puede tomar ventaja de la estructura de la covarianza de los datos para probar al mismo tiempo la igualdadde medias de diferentes respuestas.

Los cálculos se hacen por el método de regresión, para lo que es necesaria una mtriz de rango completo formada de factores y covariados donde para cada variable se hace una regresión.

Los factores pueden ser cruzados o anidados, pero no pueden ser declarados aleatorios.Los covariados pueden ser cruzados entre ellos o con los factores, o anidados dentro de los factores.Se pueden analizar hasta 50 variables de respuesta con hasta 31 factores y 50 covariados a un tiempo

Coeficiente de Correlación

Establece si existe una relación entre las variables y responde a la pregunta,”¿Qué tan evidente es esta relación?".

La correlación es una prueba fácil y rápida para eliminar factores que no influyen en la predicción, para una respuesta dada.

* Es una medida de la fuerza de la relación lineal entre dos variables x y y.* Es un número entre -1 y 1* Un valor positivo indica que cuando una variable aumenta, la otra variable aumenta* Un valor negativo indica que cuando una variable aumenta, la otra disminuye* Si las dos variables no están relacionadas, el coeficiente de correlación tiende a 0.

4.6 Correlación y Regresión lineal y cuadrática simple

Revisar el archivo anexo sobre Análisis de RegresiónRes.doc para conceptos de teoría.

Correlación PositivaEvidente

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

Correlación NegativaEvidente

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

CorrelaciónPositiva

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

CorrelaciónNegativa

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

Sin Correlación

10

15

20

25

5 10 15 20 25

X

Y

0

5

0


0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y


0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y


0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y


0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

Sin Correlación

10

15

20

25

5 10 15 20 25

X

Y

0

5

0


Página 38 de 51

Ejemplo:Se utiliza el archivo PULSE.MTW campos Peso (Weight) y Altura (Height) File > Open Worksheet > Pulse.M o copiar los datos del archivo anexo

Antes de calcular el coeficiente de correlación se sugiere hacer un diagramabivariante para identificar posibles valores anómalos, relaciones no lineales, etc.

Graph > Scatterplot: Simple Y = Weight y X = Height

Ahora se calcula el coeficiente de Correlación que mide el grado de relación que existeentre dos variables, como sigue:

Stat > Basic Statistics > Correlation


Correlations: Weight, Height Pearson correlation of Weight and Height Coeficiente de correlaciónP-Value = 0.000

Como el P value es menor a 0.05, la correlación si es significativa

Correlations: Weight, Height, Pulse1 Weight HeightHeight 0.785 Correlaciones

0 P values

Pulse1 -0.202 -0.2 Correlaciones 0.053 0.0 P valuesCell Contents: Pearson correlation P-Value

Seleccionar en Variables Weight Height Seleccionar Display P values

Si se agrega la variable "Pulse1":

Height

Wei

ght

767472706866646260

220

200

180

160

140

120

100

Scatterplot of Weight vs Height


0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y


0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y


0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y


0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

Sin Correlación

10

15

20

25

5 10 15 20 25

X

Y

0

5

0


0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y


0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y


0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y


0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

Sin Correlación

10

15

20

25

5 10 15 20 25

X

Y

0

5

0


Página 39 de 51

Minitab 15 Se trata de investigar la correlación entre calificacion de habilidades verbales y de matemáticas

Verbal Math GPA623 509 2.6454 471 2.3643 700 2.4585 719 3719 710 3.1693 643 2.9Etc. Etc. Etc.

Correlations: Verbal, Math, GPA Verbal MathMath 0.275

0GPA 0.322 0.194 0.000 0.006Cell Contents: Pearson correlation

Todas las correlaciones son significativas, ya que su P value es menor a 0.05

Mintab 15 Covarianza entre cada par de variablesCalcula la covarinaza para todos los pares de columnas. Mide la relación entre dos variables, sinembargo la covarianza no ha sido estandarizada como sucede con el coeficiente de correlación.El coeficiente de correlación se estandariza dividiendo por la desviación estándar de las dos variables.

Results for: Grades.MTWCovariances: Verbal, Math, GPA

Verbal Math GPAVerbal 5359.6859Math 1333.9704 4401.9388GPA 13.6995 7.4790 0.3368

Regresión simple por medio de gráfica:File > Open Worksheet > Pulse.MtwStat > Regression > Fitted line Plot

Ecuación deRegresión

S Desv. Estandar delos residuos(valor real-estimadopor la regresión)

R-Sq Coeficientede Determinaciónen porcentaje de variación explicadapor la ecuación deregresión

R-Sq (Adj) - Sólo para regresión múltipleRegression Analysis: Weight versus Height

1 File > Open worksheet GRADES.MTW.2 Seleccionar Stat > Basic Statistics > Correlation.3 En Variables, poner Verbal Math GPA. Click OK.

1 File > Open worksheet GRADES.MTW.2 Seleccionar Stat > Basic Statistics > Covariance.3 En Variables, poner Verbal Math GPA. Click OK.

Seleccionar en Response (Y) Weight y en Predictor (X) HeightSeleccionar modelo Linear aunque puede ser Quadratic o Cubic

Height

Wei

ght

767472706866646260

220

200

180

160

140

120

100

S 14.7920R-Sq 61.6%R-Sq(adj) 61.2%

Fitted Line PlotWeight = - 204.7 + 5.092 Height


Página 40 de 51

The regression equation isWeight = - 204.7 + 5.092 HeightS = 14.7920 R-Sq = 61.6% R-Sq(adj) = 61.2%

Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 31591.6 31591.6 144.38 0.000Error 90 19692.2 218.8Total 91 51283.9 El valor p menor a 0.05 indica que SI

es significativa la Correlación entre Y y X.

Regresión simple:Efectúa un análisis de regresión simple:

Stat > Regression > Regression

Regression Analysis: Weight versus Height

The regression equation isWeight = - 205 + 5.09 Height Ecuación de regresión

Predictor Coef SE Coef T PConstant -204.74 29.16 -7.02 0.000Height 5.0918 0.4237 12.02 0.000

S = 14.7920 R-Sq = 61.6% R-Sq(adj) = 61.2%Coef. De determinación

Analysis of Variance

Source DF SS MS F PRegression 1 31592 31592 144.38 Regresión significativaResidual Error 90 19692 219Total 91 51284

Unusual Observations

Obs Height Weight Fit SE Fit Residual St Resid 9 72.0 195.00 161.87 2.08 33.13 Puntos con un 25 61.0 140.00 105.86 3.62 34.14 residuo estándar 40 72.0 215.00 161.87 2.08 53.13 mayor a 2 84 68.0 110.00 141.50 1.57 -31.50 -2.14R

R denotes an observation with a large standardized residual.

En algunos casos hay puntos que están muy alejados de la mayoría de los puntosse marcan con X y pueden sesgar los resultados, se sugiere investigarlos.

Por ejemplo:

Usando el archivo PUNTOS_RX.MTW anexo:Copiar los datos del archivo a MinitabGraph > Scatterplot: Simple Y = y y X = x

Stat > Regression > Regression

Seleccionar en Response Weight y en Predictors Height

Seleccionar en Response Y y en Predictors X

X

Y

121086420

70

60

50

40

30

20

10

S 3.47429R-Sq 86.6%R-Sq(adj) 86.3%

Fitted Line PlotY = 14.16 + 4.075 X


Página 41 de 51

Unusual Observations

Obs X Y Fit SE Fit Residual St Resid 51 2.5 40.000 24.343 0.483 15.657 4.55R 52 12.0 60.000 63.056 2.178 -3.056 -1.13 X

R denotes an observation with a large standardized residual.X denotes an observation whose X value gives it large influenc

Regresión simple con datos transformados:

En algunos casos el ajuste se mejora mucho si se transforman los datos:

Por ejemplo usando los datos del archivo CEREBRO.MTW anexo que tiene los pesosdel cerebro y los pesos del cuerpo en 62 especies de mamíferos se tiene:

Copiar los datos del archivo a Minitab

Haciendo una gráfica de dispersión bivariada se tiene:

Graph > Scatterplot: Simple Y = Peso cerebro y X = Peso total

En este caso los pesos de los elefantes pueden sesgar la ecuación de la recta no se pueden eliminar como anómalos y se intentará transformarlos en formalogarítmica:

Stat > Regression > Fitted line Plot

Como resultado se obtiene una gráfica mucho más uniforme:

Intervalos deconfianza de Ymediaen base a una X

Seleccionar en Response (Y) Peso Cerebro y en Predictor (X) Peso CuerpoSeleccionar modelo Linear aunque puede ser Quadratic o Cubic

En Options seleccionar lo siguiente:

Peso total (kg)

Peso

cer

ebro

(g)

70006000500040003000200010000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

0

Scatterplot of Peso cerebro (g) vs Peso total (kg)

Peso total (kg)

Peso

cer

ebro

(g)

100000.00

10000.00

1000.00

100.00

10.00

1.00

0.10

0.01

S 0.301528R-Sq 92.1%R-Sq(adj) 91.9%

Regression95% CI95% PI

Fitted Line Plotlogten(Peso cerebro (g)) = 0.9271 + 0.7517 logten(Peso total (kg))


Página 42 de 51

Intervalo de predicción de Y paravalores individualesen base a una X

Coeficiente de determinaciónmuy cercano a uno

Regresión simple cuadrática:

Usar el archivo RESIDUOS.MTW anexo o copiar los datos de las columnas X, Y a MinitabStat > Regression > Fitted line Plot

Aparece la gráfica siguiente de residuos que no varian aleatoriamente alrededor de la media, sino más bien con un patrón que sugiere un modelo cuadrático:

Los residuos aparecen en forma aleatoria indicando un modelo adecuado.

Seleccionar en Response (Y) Y, Predictor (X) XSeleccionar modelo Linear En Options seleccionar Display Confidence Interval y Prediction Interval:En Graphs seleccionar Residuals vs Fits

Repitiendo las instrucciones anteriores pero para modelo Quadratic se tiene:

Peso total (kg)

Peso

cer

ebro

(g)

100000.00

10000.00

1000.00

100.00

10.00

1.00

0.10

0.01

S 0.301528R-Sq 92.1%R-Sq(adj) 91.9%


Fitted Line Plotlogten(Peso cerebro (g)) = 0.9271 + 0.7517 logten(Peso total (kg))

Fitted Value

Resid

ual

3530252015

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

Residuals Versus the Fitted Values(response is Y)

X

Y

543210

35

30

25

20

15

S 0.228822R-Sq 99.9%R-Sq(adj) 99.9%


Fitted Line PlotY = 15.12 + 2.829 X

+ 0.2355 X**2

Fitted Value

Resid

ual

3530252015

0.50

0.25

0.00

-0.25

-0.50

Residuals Versus the Fitted Values(response is Y)


Página 43 de 51

4.7 Regresión múltiple - Matriz de correlaciones

Cargar los datos a Minitab

Stat > Matrix Plot: Simple

Parece que la relación entre Potencia y Velocidad máxima es cuadrática.

Cambiando la escala horizontal del número de cilindros a 4 a 6,se identifica que un coche tiene 5 cilindros, con Brush y Set ID Variables indicando Marca y Modelo se ve que es un VOLVO 850 GLT (renglón 244)

Evaluando la fuerza de la relación entre los predictores por medio de un análisis de correlación se tiene:

Stat > Basic statistics > Correlation

Correlations: Num.Cil., Cil.(cc), Pot.(CV) Num.Cil. Cil.(cc)Cil.(cc) 0.852

0Pot.(CV) 0.829 0.854 0.000 0.000Cell Contents: Pearson correlation

Aquí se observa que hay MULTICOLINEALIDAD entre las variables predictoras.por lo que el modelo puede ser inestable.

Regresión múltipleStat > Regression > Regression

Graphs: Four in One

Se obtienen los siguientes resultados:Regression Analysis: Velo.max versus Num.Cil., Cil.(cc), Pot.(CV) The regression equation isVelo.max = 157 - 5.72 Num.Cil. - 0.00218 Cil.(cc) + 0.521 Pot.(CV)244 cases used, 3 cases contain missing valuesPredictor Coef SE Coef T P

Se utiliza el archivo COCHES.MTW anexo en los Archivos de Datos del Módulo 2.

Graph Variables: Num. Cil.; Cil. (cc); Pot. (CV); Velo.max

Display Variables 'Num.Cil.' 'Cil.(cc)' 'Pot.(CV)'

Response Velo.max Predictors Num.Cil, Cil.(cc), Pot.(CV)Residuals versus variables Pot.(CV)

Options: Prediction intervals for new observations 4 1124 100

Num.Cil.

500025000 32024016012

8

4

5000

2500

0

Cil.(cc)

Pot.(CV)

400

200

0

1284

320

240

160

4002000

Velo.max

Matrix Plot of Num.Cil., Cil.(cc), Pot.(CV), Velo.max


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Constant 157.178 2.562 61.34 0.000Num.Cil. -5.7177 0.9893 -5.78 0.Significativo (P value < 0.05)Cil.(cc) -0.002178 0.001610 -1.35 0.No significativo (Pvalue > 0.05)Pot.(CV) 0.52092 0.01927 27.03 0.Significativo (P value < 0.05)

S = 9.76245 R-Sq = 89.1% R-Sq(adj) = Coef. De determinaciónAnalysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 3 187887 62629 657.14 0.000Residual Error 240 22873 95Total 243 210760

R residuos conSource DF Seq SS más de 2 sigmasNum.Cil. 1 98419Cil.(cc) 1 19841 X residuos muyPot.(CV) 1 69627 alejados del

grupo normalUnusual ObservationsObs Num.Cil. Velo.max Fit SE Fit Residual St Resid 10 6.0 222.000 195.351 1.123 26.649 2.75R 22 4.0 211.000 189.259 0.705 21.741 2.23R 24 8.0 235.000 218.470 2.254 16.530 1.74 X 25 6.0 250.000 291.719 2.707 -41.719 -4.45RX 26 8.0 235.000 218.470 2.254 16.530 1.74 X 28 12.0 250.000 274.371 3.822 -24.371 -2.71RX 46 8.0 295.000 301.772 3.109 -6.772 -0.73 X 47 12.0 302.000 306.890 3.838 -4.890 -0.54 X 48 2.0 127.000 160.358 1.396 -33.358 -3.45R 76 4.0 232.000 248.215 2.335 -16.215 -1.71 X102 8.0 270.000 274.250 2.646 -4.250 -0.45 X106 6.0 216.000 194.581 1.514 21.419 2.22R117 8.0 250.000 267.300 2.249 -17.300 -1.82 X118 12.0 250.000 280.769 3.738 -30.769 -3.41RX129 4.0 150.000 181.879 0.697 -31.879 -3.27R130 4.0 170.000 195.591 0.820 -25.591 -2.63R144 6.0 233.000 205.988 1.059 27.012 2.78R164 4.0 252.000 252.816 2.499 -0.816 -0.09 X165 6.0 280.000 302.562 3.060 -22.562 -2.43RX179 8.0 210.000 213.943 5.300 -3.943 -0.48 X180 8.0 200.000 213.943 5.300 -13.943 -1.70 X

R denotes an observation with a large standardized residual.X denotes an observation whose X value gives it large influence.

Predicted Values for New ObservationsObs Fit SE Fit 95% CI 95% PI 1 183.951 1.161 (181.663, 186.239) (164.584, 203.318)Values of Predictors for New Observations

Obs Num.Cil. Cil.(cc) Pot.(CV) 1 4.00 1124 100

Los residuos muestran un comportamiento normal por lo que el modelo es adecuado

Residual

Perc

ent

40200-20-40

99.999

90

50

10

10.1

Fitted Value

Resi

dual

300250200150

20

0

-20

-40

Residual

Freq

uenc

y

20100-10-20-30-40

80

60

40

20

0Observation Order

Resi

dual

240220200180160140120100806040201

20

0

-20

-40



Residual Plots for Velo.max


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El comportamiento de los residuos vs Potencia sugiere que es necesaria una transformación de variables por ejemplo sacarle raíz cuadrada.

Transformando la variable Pot.(CV) por Pot2 = raiz cuadrada de Pot.(CV) se tiene:

Regression Analysis: Velo.max versus Num.Cil., Cil.(cc), Pot2

The regression equation isVelo.max = 73.5 - 1.42 Num.Cil. - 0.00699 Cil.(cc) + 12.8 Pot2

Predictor Coef SE Coef T PConstant 73.502 2.258 32.56 0.000Num.Cil. -1.4201 0.6770 -2.10 0.037Cil.(cc) -0.006988 0.001202 -5.82 0.Significativo (P value < 0.05)Pot2 12.8232 0.3177 40.36 0.000

S = 7.03547 R-Sq = 94.4% R-Sq(adj) = Mejora el ajuste

Predicted Values for New Observations

Obs Fit SE Fit 95% CI 95% PI 1 1342.286 29.024 (1285.111, 1399.461) (1283.455, 1401.117)XXXX denotes a point that is an extreme outlier in the predictors.

Values of Predictors for New ObservationsObs Num.Cil. Cil.(cc) Pot2 1 4.00 1124 100

Los residuos vs Pot2 ya tienen un mejor comportamiento más aleatorio:

Residual

Perc

ent

40200-20-40

99.999

90

50

10

10.1

Fitted Value

Resi

dual

300250200150

20

0

-20

-40

Residual

Freq

uenc

y

20100-10-20-30-40

80

60

40

20

0Observation Order

Resi

dual

240220200180160140120100806040201

20

0

-20

-40




Pot.(CV)Re

sidu

al5004003002001000

30

20

10

0

-10

-20

-30

-40

-50

Residuals Versus Pot.(CV)(response is Velo.max)

Residual

Perc

ent

200-20-40

99.999

90

50

10

10.1

Fitted Value

Resi

dual

300250200150

20

0

-20

-40

Residual

Freq

uenc

y

15.07.50.0-7.5-15.0-22.5-30.0

40

30

20

10

0Observation Order

Resi

dual

240220200180160140120100806040201

20

0

-20

-40




Pot2

Resi

dual

22.520.017.515.012.510.07.55.0

20

10

0

-10

-20

-30

-40

Residuals Versus Pot2(response is Velo.max)


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Selección de la mejor ecuación: Best Subsets

Permite obtener un "buen modelo" en función de su sencillez o facilidad de interpretación.

Stat > Regression > Stepwise

Variables candidatas a entrar enel modelo

Variables forzadas a entrar en losmodelos

Mínimo numero de variables en el modelo 1

Máximo número de variables en el modelotodas

Número de ecuaciones que aparecen con1, 2, 3.... Variables regresoras


Best Subsets Regression: Velo.max versus Num.Cil., Cil.(cc), ... Response is Velo.max244 cases used, 3 cases contain missing values N C P u i o m l t . . . C ( ( P i c C o Mallows l c V tVars R-Sq R-Sq(adj) C-p S . ) ) 2 1 92.5 92.5 109.0 8.0783 Buenos modelos 1 86.6 86.5 385.3 10.813 X 2 94.3 94.2 29.3 7.0849 Incluye sólo Cil.(cc) y Pot2 2 93.6 93.6 58.0 7.4544 X X 3 94.8 94.8 3.9 6.7261 X X X 3 94.4 94.3 26.5 7.0355 XIncluye Num.Cil, Cil.(Cc), Pot2 4 94.9 94.8 5.0 6.7269 X X X X

Selección de la mejor ecuación: Stepwise

Se usa cuando el número de variables es muy grande mayor a 31, antes da losmismos resultados que el método anterior:

Variable de respuesta

Pot2

Resi

dual

22.520.017.515.012.510.07.55.0

20

10

0

-10

-20

-30

-40

Residuals Versus Pot2(response is Velo.max)


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Variables candidatas a entrar enlós modelos

Criterio para la entrada y salidade variables

El método implica que las variables puedan ir entrando osaliendo. Iniciando con ninguna.

Las variables van entrando pero ya no salen

Las variables van saliendo a partir de tomar todas y no vuelvena entrar

Permite mostrar en cada pasolas mejores opciones además dela seleccionada y el número depasos entre pausas.

Los resultados obtenidos son los siguientes:Stepwise Regression: Velo.max versus Num.Cil., Cil.(cc), Pot.(CV), Pot2 Alpha-to-Enter: 0.15 Alpha-to-Remove: 0.15Response is Velo.max on 4 predictors, with N = 244N(cases with missing observations) = 3 N(all cases) = 247Step 1 2 3 Variables que entran en cadaConstant 78.97 71.48 43.58 paso y su calidad de ajustePot2 10.41 12.69 17.41T-Value 54.66 40.50 18.33P-Value 0.000 0.000 0.000Cil.(cc) -0.00845 -0.00722T-Value -8.58 -7.48P-Value 0.000 0.000Pot.(CV) -0.206T-Value -5.23P-Value 0.000S 8.08 7.08 6.73R-Sq 92.51 94.26 94.85R-Sq(adj) 92.48 94.21 94.78 Modelo adecuadoMallows C-p 109.0 29.3 3.9

4.8 Aplicaciones

Realizar los ejercicios del Módulo 4 incluidos en el archivo CursoTallerMinitabEjercicios

Mapa de archivosPESOS PUNTOS_RX

Ejemplo: Una línea de llenado de paquetes debe llenar 4 kg en cada uno. Se toman20 muestras y se pesan en gramos:

Pesos ARCHIVO PUNTOS_RX.MTW ARCHIVO CEREBRO.MTW40353928 X Y Nombre3974 1.0419 13.023 Zorro blanco 4024 0.2313 16.4953 Búho 3949 3.9113 28.8893 Castor 4017 3.913 32.8623 Vaca 4009 4.1251 35.7745 Lobo gris 3983 0.6399 17.0317 Cabra 3969 4.9837 34.0061 Corzo 3979 2.9609 27.0021 Cobaya 3970 0.1064 10.2112 Vervet 3997 3.2944 21.7729 Chinchilla 3955 1.7959 22.7822 Ardilla 3984 4.4906 29.0109 Ardilla ártica 4034 1.3232 18.524 Rata africana 3964 0.406 17.7324 Musaraña 3969 0.7498 14.1805 Topo 3995 3.7309 31.8958 Armadillo 3991 1.3626 21.8475 Tree Hyrax 3988 0.3194 19.0498 Zarigüeya

4.9198 34.9526 Elefante asiáti4.9699 38.4555 Gran murciélag1.2351 16.9255 Burro 4.3841 30.4883 Caballo 3.0166 25.0134 Erizo 2.0734 22.4536 Patas monkey 4.174 29.1249 Gato

1.7504 21.9985 Galago 3.7985 26.2615 Jineta 4.8115 35.2962 Jirafa 1.439 20.4422 Gorila 4.879 38.1152 Foca gris

4.8717 34.8812 Rock hyrax 3.9591 30.6333 Persona humana4.8814 32.5794 Elefante africa0.1703 8.9585 Zarigüella de 1.2865 19.5526 Rhesus monkey0.8069 18.3349 Canguro 0.8631 17.1237 Marmota 2.8896 27.2717 Hamster 1.2012 22.8602 Ratón 0.1498 15.2259 Pequeño murci

3.7274 29.776 Slow loris 0.9256 13.7623 Okapi 0.6973 12.6159 Conejo 2.1619 23.1912 Oveja 0.2435 18.0998 Jaguar 0.4348 15.423 Chimpance 4.3498 27.8229 Mandril 3.7273 28.1968 Erizo del desie0.911 18.2094 Armadillo gigan

3.8812 30.1827 Rock hyrax 2.5 40 Mapache 12 60 Rata americana

Topo del esteTopo rata Almizcle Cerdo Echidna Tapir Tenrec Phalanger Tree shrew Zorro rojo

ARCHIVO CEREBRO.MTW ARCHIVO RESIDUOS.MTW

Peso total (kg)Peso cerebro (g) X Y3.38 44.5 1.04185 18.08990.48 15.5 0.23129 16.03081.35 8.1 3.9113 29.6501465 423 3.913 29.7359

36.33 119.5 4.12512 30.738427.66 115 0.63987 17.381814.83 98.2 4.98369 35.211.04 5.5 2.96085 25.63144.19 58 0.10635 15.48890.43 6.4 3.29437 27.11890.1 4 1.79592 21.2583

0.92 5.7 4.49059 32.65541 6.6 1.32325 19.18820 0.14 0.406 16.2046

0.06 1 0.74985 17.44623.5 10.8 3.7309 29.27282 12.3 1.36255 19.2741

1.7 6.3 0.31936 15.7932547 4603 4.91976 34.87130.02 0.3 4.96988 34.7539

187.1 419 1.23507 19.2883521 655 4.38413 32.25540.79 3.5 3.01659 25.576610 115 2.07339 21.5863.3 25.6 4.174 31.43370.2 5 1.75039 20.5674

1.41 17.5 3.79849 29.2888529 680 4.81151 33.8393207 406 1.43903 19.329485 325 4.87897 34.5135

0.75 12.3 4.87167 34.038762 1320 3.95905 30.0292

6654 5712 4.88136 34.72713.5 3.9 0.17029 15.42436.8 179 1.28646 18.809835 56 0.8069 17.4371

4.05 17 0.86312 17.73840.12 1 2.88961 25.17720.02 0.4 1.2012 18.81260.01 0.25 0.14982 15.3833

1.4 12.5 3.7274 29.1058250 490 0.92558 17.89782.5 12.1 0.6973 17.6353

55.5 175 2.16195 22.4571100 157 0.24348 15.8191

52.16 440 0.4348 16.829710.55 179.5 4.34982 31.69990.55 2.4 3.72729 29.13760 81 0.91105 17.95043.6 21 3.88122 29.7899

4.29 39.20.28 1.90.08 1.20.12 30.05 0.33192 180

3 25160 1690.9 2.6

1.62 11.40.1 2.5

4.24 50.4

[xls]icicm.comicicm.com/files/mtb15_estadistica_inferencial.xls · web view1 file > open...

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