xrusi tomi.pdf

7/26/2019 Xrusi tomi.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/xrusi-tomipdf 1/27

22/10/20

Χρυσή τομή (Φ) Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο

να αυξηθεί κατά μία μονάδα; Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

Υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε εάν τον ελαττώσεις κατά μίαμονάδα να αντιστραφεί;

Έστω κανονικό δεκάγωνο εγγεγραμμένο

σε κύκλο. Η ακτίνα του κύκλου είναιβέβαια μεγαλύτερη από την πλευράτου. Πόσες φορές;

Να χωριστεί το ευθύγραμμο τμήμα α, έτσιώστε το τετράγωνο και τοπαραλληλόγραμμο να έχουν το ίδιο εμβαδό.



22/10/20

Χρυσή τομή (Φ)

Ο λόγος του όλου προς το μεγάλο, ίσος με το λόγο τουμεγάλου προς το μικρό

a b

a+b

άρα

Κ Α Β

Χρυσή τομή (Φ) Αντικαθιστώντας λαμβάνουμε:



22/10/20

Χρυσή τομή (Φ) Η διακρίνουσα της παραπάνω δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

Επομένως η λύση θα είναι:

Επειδή κρατάμε μόνο τηθετική ρίζα

και με

λαμβάνουμε

Χρυσή τομή (Φ) Ιδιότητες

i. Από την λαμβάνουμε

επομένως το φ μπορεί να γραφεί ως άπειρο διαδοχικόκλάσμα ως εξής:

ii. Επίσης από την



22/10/20


ii. Άρα τελικά το φ μπορεί να γραφεί:

iii. Ισχύει ότι αν ελαττώσουμε τον φ κατά 1, τότεαντιστρέφεται, αφού είναι:


ισχύει δηλαδή:

και

iv. Ισχύει επίσης:



22/10/20

Fibonacci Αναδρομικός τύπος

με

Έτσι οι αριθµοί Fibonacci είναι οι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55, 89, 144,...

Fibonacci

Fibonacci και Χρυσή τομή

A/A aν aν/aν-1

1 1

2 1 1,000000000000000

3 2 2,000000000000000

4 3 1,500000000000000

5 5 1,666666666666670

6 8 1,600000000000000

7 13 1,625000000000000

8 21 1,615384615384620

9 34 1,619047619047620

10 55 1,617647058823530

11 89 1,618181818181820

12 144 1,617977528089890

13 233 1,618055555555560

14 377 1,618025751072960

15 610 1,618037135278510

16 987 1,618032786885250

17 1597 1,618034447821680

18 2584 1,618033813400130

19 4181 1,618034055727550

20 6765 1,618033963166710



22/10/20

Fibonacci Κουνέλια Fibonacci

Υποθέτουµε ότι αφήνουµε σε ένα αγρό ένα ζευγάρι νεογέννητα κουνέλια,ένα αρσενικό και ένα θηλυκό. Τα κουνέλια ενηλικιώνονται σε ένα µήνα .Στο τέλος του δεύτερου µήνα το θηλυκό γεννάει ένα νέο ζευγάρι, ένααρσενικό και ένα θηλυκό.

Υποθέτουµε ακόµα ότι τα κουνέλια δεν πεθαίνουν ποτέ και ότι τα θηλυκά γεννούν στο τέλος κάθε µήνα µετά τον πρώτο και πάντα ένα ζευγάριαρσενικό . θηλυκό. Το ερώτηµα που έθεσε ο Fibonacci ήταν:

Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα υπάρχουν στον αγρό στο τέλος του χρόνου;

Fibonacci Κουνέλια Fibonacci



22/10/20

Fibonacci

Κουνέλια Fibonacci

Κάθε στοιχείοπροκύπτει ωςάθροισμα τωνδύο γειτονικώντου

Τρίγωνο του Pascal



22/10/20

Δίνει τους συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος


όπου

Τα αθροίσματατων

χρωματιστώνδιαγωνίων

δίνουν τουςόρους της

ακολουθίαςFibonacci!




22/10/20

Χρυσή τομή (Φ) i. Κατασκευή χρυσής τομής

Η χρυσή τομή ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ μήκους λ μπορεί να γίνει με κανόνακαι διαβήτη. Κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ΑΒ=λ

και BC = λ/2, οπότε η υποτείνουσα AC θα είναι Με το διαβήτη χαράσσουμε έναν κύκλο κέντρου C και ακτίνας λ/2, οπότε προσδιορίζεται το σημείο D, σημείο τομής του κύκλου και της AC. Με κέντρο το Α χαράσσουμε έναν κύκλο ακτίνας AD,ο οποίος τέμνει την ΑΒ στο σημείο S. Εύκολα αποδεικνύεται ότι

ΑΒ/ΑS = ότι το S δηλαδή τέμνει την ΑΒ με χρυσή τομή.

Χρυσή τομή (Φ) i. Κατασκευή χρυσής τομής



22/10/20

Χρυσή τομή (Φ) Εφαρμογές - Παραδείγματα

i. Χρυσό ορθογώνιο

ii. Χρυσό τρίγωνο

iii. Λογαριθμική σπείρα

iv. Δεκάγωνο

v. Πεντάλφα (πεντάγραμμο)

Κατασκευή χρυσού ορθογωνίου

Κατασκευάζουμε τετράγωνο με πλευρά ίσημε 1.

Το χωρίζουμε σε δύο ίσα μέρη - ορθογώνια.

Σχεδιάζουμε τη διαγώνιο του ενός από τα δύοορθογώνια .

Με κέντρο το μέσο της πλευράς τουτετραγώνου και ακτίνα τη διαγώνιο αυτή γράφουμε κύκλο.

Τέλος κατασκευάζουμε το χρυσό ορθογώνιο.



22/10/20

Ορθογώνια Fibonacci

Χρυσά τρίγωνα

Χρυσό τρίγωνοέχουμε όταν σεισοσκελές τρίγωνοισχύει:



22/10/20

Χρυσά τρίγωνα

Δημιουργία χρυσού γνώμωνα από χρυσότρίγωνο:

Για τον λόγο τωνπλευρών προς τηβάση είναι:

Σπείρα Fibonacci



22/10/20


Ενώνουμε τατεταρτοκύκλιακάθε νέουτετραγώνου




22/10/20


Πεντάγωνο με χρυσό τρίγωνοκαι χρυσό γνώμωνα


Ο εγγεγραμμένος σε πεντάγωνο αστέρας σχηματίζει ομάδες από 5 άνισα μεταξύ τους τρίγωνα, όλα εκ των οποίων αποτελούν "χρυσά τρίγωνα".



22/10/20

Πεντάλφα (ή πεντάγραμμο) Το σύμβολο

τωνπυθαγόρειων

Κατασκευάζεταιαπό το κανονικόπεντάγωνο

φέρνοντας όλεςτις διαγωνίους

Ο λόγος κάθε ευθύγραμμουτμήματος που εμφανίζεται σεαυτή ως προς το αμέσωςμικρότερό του ισούται με τη χρυσή τομή

Δεκάγωνο

Πολύιδιαίτερο

πολύγωνο!



22/10/20

Χρυσή τομή (Φ) - Fibonacci Εφαρμογές - Παραδείγματα

i. Επίδαυρος 34/21=1,619

ii. Οστρακοειδή

iii. Οικογενειακό δέντρο μέλισσας

iv. Πέταλα ανθέων

v. Σπόροι ανθέων vi. κώνοι κουκουναριών

vii. Φύλλα κλαδιών

Ούτι

σχεδιασμένο με

βάση τη χρυσή

τομή



22/10/20

Ο «χρυσός» κανόνας

Είναι όργανο ρυθμισμένο έτσι ώστε νααντιστοιχεί στην αρχή "χρυσής αναλογίας"(1:1.618) και είναι χρήσιμο για να έχουμε

αισθητικά αποτελέσματα.

Χρυσή τομή (Φ) - FibonacciΕφαρμογές - Παραδείγματα



22/10/20

Χρυσή τομή (Φ) - FibonacciΕφαρμογές - Παραδείγματα

Κουνουπίδι

Κοχύλι

Ναυτίλος



22/10/20

Παρθενώνας



22/10/20

Πυραμίδες

Ο Leonardo Da Vinci ζωγράφισε το πρόσωπο της MonaLisa ώστε αυτό να χωράει τέλεια σε ένα χρυσό ορθογώνιοκαι δόμησε τον υπόλοιπο πίνακα γύρω από το πρόσωπο χωρίζοντάς τον επίσης σε χρυσά ορθογώνια.

Ο Mozart διαίρεσε μεγάλο αριθμό από τις σονάτες του σεδύο μέρη, η χρονική αναλογία των οποίων αντιστοιχεί στη

χρυσή τομή, τον αριθμό φ, αν και υπάρχει σημαντικήδιχογνωμία για το κατά πόσο αυτό έγινε σκόπιμα. Πιοπρόσφατα ο Ούγγρος συνθέτης Bela Bartok και ο Γάλλοςαρχιτέκτονας Le Corbusier χρησιμοποίησαν σκόπιμα τη χρυσή αναλογία στα έργα τους. Όμως ακόμα και ο χριστιανικός σταυρός αποτελείται από δύο κάθετες μεταξύτους γραμμές με την αναλογία ανάμεσα στην κατακόρυφηκαι την οριζόντια να μην είναι άλλη από τον αριθμό φ

Χρυσή τομή (Φ) - Fibonacci

Εφαρμογές - Παραδείγματα



22/10/20

Le CorbuSier Ο Le Corbusier δημοσίευσε μια εργασία στην οποία περιέγραφε τηνδημιουργία μιας κατασκευής την οποία ονόμασε Modulor και η οποίαείναι ένα πρότυπο αναλογιών του ανθρωπίνου σώματος. Για τηνκατασκευή των αναλογιών ο Le Corbusier χρησιμοποίησε την χρυσήτομή. Εκκίνησε από τον αριθμό 183, που αντιστοιχεί σε 1,83 cm, ως ένακατάλληλο ύψος για έναν άνδρα (αρχικά είχε επιλέξει ως ιδανικό ύψοςτο 1,75 cm) και σχημάτισε την ακολουθία … 43 70 113 183 296 … που προκύπτει αν χωρίσουμε με χρυσή τομή το 183. Δηλαδή αρχικά θαπροκύψει ο αριθμός 113 και όσο προχωρούμε προς το μηδέν οι υπόλοιποιόροι της ακολουθίας. Αντίστοιχα ανεβαίνοντας προς τα πάνωλαμβάνουμε το 296 κ.ο.κ.. Στην συνέχεια ο Le Corbusier δημιούργησεμία δεύτερη ακολουθία με τον ίδιο ακριβώς τρόπο με προηγουμένως,

αλλά αυτήν τη φορά το σημείο εκκίνησης ήταν ο αριθμός 226, τοδιπλάσιο δηλαδή του 113. Aυτές τις δύο ακολουθίες τις τοποθέτησε στονοριζόντιο και κάθετο άξονα ενός καμβά ώστε να κατασκευάσει έναπλέγμα

Le CorbuSier

Le Modulor



22/10/20

Ο άνθρωπος του Βιτρούβιου

Σημειώσεις του Ντα Βίντσι για τη μελέτη των αναλογιώντου ανθρώπινου σώματοςόπως περιγράφονται σε μιαπραγματεία του Ρωμαίουαρχιτέκτονα Βιτρούβιου

Ο άνθρωπος του Βιτρούβιου μια παλάμη έχει πλάτος τεσσάρων δακτύλων ένα πόδι έχει πλάτος τέσσερις παλάμες ένας πήχυς έχει πλάτος έξι παλάμες το ύψος ενός ανθρώπου είναι τέσσερις πήχεις (και άρα 24 παλάμες) μια δρασκελιά είναι τέσσερις πήχεις Το μήκος των χεριών ενός άντρα σε διάταση είναι ίσο με το ύψος του η απόσταση από την γραμμή των μαλλιών ως την κορυφή του στήθους είναι το ένα -έβδομο

του ύψους του άνδρα η απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού ως τις θηλές είναι το ένα -τέταρτο του ύψους του

άνδρα το μέγιστο πλάτος των ώμων είναι το ένα -τέταρτο του ύψους του άνδρα η απόσταση από το αγκώνα ως την άκρη του χεριού είναι το ένα -πέμπτο του ύψους του

άνδρα η απόσταση από τον αγκώνα ως την μασχάλη είναι το ένα -όγδοο του ύψους του άνδρα το μήκος του χεριού είναι ένα -δέκατο του ύψους ενός άνδρα η απόσταση από την άκρη του πηγουνιού ως την μύτη είναι το ένα -τρίτο του μήκους του

προσώπου η απόσταση της γραμμής των μαλλιών ως τα φρύδια είναι το ένα -τρίτο του μήκους του

προσώπου το μήκος του αυτιού είναι το ένα -τρίτο του μήκους του προσώπου



22/10/20

Η Αφροδίτη της Μήλου



22/10/20

Μάσκα του «τέλειου» προσώπου

Η μάσκα τουMarquardt




22/10/20


Penrose tiles

Δομικάστοιχεία τωνψηφιδωτών

Penrose



22/10/20

Penrose tiles

Ένωση των ψηφίδωνσεβόμενοι τηνσυνέχεια των χρωματισμένων γραμμών

Penrose tiles



22/10/20

Penrose tiles

Έχει ανακλαστικήκαι περιστροφικήσυμμετρία, αλλά όχιμεταφορική. Παρόλα αυτά, κάθεπεπερασμένηπεριοχή φαίνεται ναεπαναλαμβάνεταιεπ’ άπειρο.

xrusi tomi.pdf

Documents