xét hệ phương trình hàm vi phân file4 đó. nghiệm của bài toán mới được tìm...

3

BÀI TOÁN BIÊN CAUCHY NICOLETTI NHIỀU ĐIỂM

CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH ĐỐI SỐ LỆCH

1. GIỚI THIỆU

Khi nghiên cứu nghiệm của các bài toán biên khác nhau cả cho phương trình vi phân

thường và phương trình vi phân hàm, sử dụng các kỹ thuật phù hợp dựa trên phương

pháp xấp xỉ liên tiếp xây dựng trên các các dạng giải tích là rất hữu ích. Đối với các

lớp phương pháp này, nói riêng, phương pháp được đề nghị trong bài báo [22-24] khi

nghiên cứu bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân thường dạng phi

ôtônôm dạng:

, 0,

0

x t f t x t t T

x x T

Các phương pháp khác nhau đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả và có thể sử

dụng trong nhiều bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường phi tuyến bậc 1,

bậc 2; cho phương trình vi tích phân, phương trình với đối số chậm và nhiều phương

trình vi phân hàm dạng tổng quát cũng nhưn là cho các bài toán biên có chứa tham số.

Phương trình đã cho có thể kết hợp với nhiều loại điều kiện biên khác nhau như: điều

kiện biên hai điểm (cả tuyến tính lẫn phi tuyến), điều kiện biên Cauchy Nicoletti dạng:

1,2,...,i i ix t d i n

Với 1 20 ... nt t t T , hoặc điều kiện biên dạng nội suy:

1,2,...,j i ix t d i n

Với 1,2,...,j n và 1 20 ... nt t t T , cũng như nhiều dạng điều kiện biên

nhiều điểm khác và các điều kiện biên dạng hàm tổng quát.

Rõ ràng rằng, dạng phương trình và độ phức tạp của phương trình cũng như điều kiện

biên có ảnh hưởng mạnh đến khả năng xây dựng các xấp xỉ hiệu quả cho nghiệm và

việc phân tích tính giải được của bài toán biên đã cho.

Theo ý tưởng cơ bản của phương pháp được xem xét, bài toán biên đã cho được

thay thế bởi các điều kiện biên có nhiễu (perturbed) chứa một vec tơ tham số nz R ,

với giá trị được xác định sau và theo nghĩa là giá trị đầu của nghiệm tại một điểm nào

4

đó. Nghiệm của bài toán mới được tìm kiếm dưới dạng giải tích bằng quá trình lặp phù

hợp.

Sự có mặt của thuật ngữ “nhiễu loạn” phụ thuộc vào các phương trình ban đầu

và các điều kiện biên, dẫn đến một hệ các phương trình xác định dạng đại số hoặc siêu

việt. Nghiệm của hệ là giá trị của tham số nz R tương ứng với nghiệm của bài toán

biên ban đầu. Thông qua việc nghiên cứu tính giải được của các phương trình xác

định, ta có thể đưa ra các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán ban đầu.

Một số mô hình của phương pháp phân tích dựa trên xấp xỉ liên tục thu được

trong [1,3,5] cho bài toán biên hai điểm của hệ phương trình vi phân trung hòa phi

tuyến sau:

, ,

0

x t f t x t x t

Ax Bx T d

Trong đó , : 0, 0,T T là các hàm cho trước, A và B là các ma trận vuông cấp

n, det 0, nB d R và hàm f được xác định trên 0, n nT R R là hàm liên tục và

thỏa mãn điều kiện Lipschitz

1 1 2 2 1 2 1 2, , , ,f t u v f t u v K u u L v v .

Với K và L là các ma trận hằng không âm. Trong [8] ta ước tính một số ước

lượng liên quan đến việc phân tích hội tụ của xấp xỉ liên tục trong trường hợp bài toán

biên hai điểm tuyến tính cho phương trình vi phân hàm với đối số lệch có các tính chất

đặc biệt.

Trong tiểu luận này, mục tiêu của tôi là mở rộng các kỹ thuật sử dụng trong [8]

để nghiên cứu tính giải được của hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến với điều kiện

biên 3 điểm Cauchy – Nicoletti. Vấn đề khó khăn đối với điều kiện biên dạng này là

do tính kỳ dị (suy biến) của ma trận xác định nó. Để tránh các ma trận suy biến trong

điều kiện biên và để đơn giản hóa việc xây dựng nghiệm dạng giải tích, tôi sử dụng

một số kỹ thuật tham số hóa theo 2 mức độ. Mức đầu tiên, cho phép thay thế điều kiện

biên 3 điểm bởi một họ các điều kiện biên 2 điểm đã được tham số. Mức tham số hóa

thứ 2 được dùng để xây dựng và nghiên cứu hệ nhiễu ở trên. Cuối cùng, bằng cách

nghiên cứu các phương trình xác định dạng đại số hoặc siêu việt ta có khả năng thu

được các giá trị của tham số tương ứng với nghiệm của bài toán biên 3 điểm đã cho.

5

2. KÝ HIỆU

Trong tiểu luận sử dụng các ký hiệu sau đây.

0, , nC T R - không gian Banach các hàm vectơ liên tục 0, R nT với chuẩn

thông thường max :C

x x t t I ;

1 0, , nL T R là không gian Banach các hàm vectơ 0, R nT với các hàm

thành phần khả tích Lebesgue.

nRM là đại số các ma trận vuông cấp n với phần tử là số thực.

r Q là giá trị lớn nhất của module các giá trị riêng của ma trận nQ RM

1m: ma trận đơn vị cấp m n

,0m k

là ma trận không cấp m k

,0 0m m m

3. PHÁT BIỂU BÀI TOÁN

Ta xét bài toán hệ n phương trình vi phân hàm tuyến tính dạng:

0 1 0,x t P t x t P t x t f t t T (3.1)

Với điều kiện biên 3 điểm không thuần nhất dạng Cauchy Nicoletti:

1 10 0

1 1

1 1

0 ..., 0

...,

...,

p p

p p p q p q

p q p q n n

x x x x

x d x d

x T d x T d

(3.2)

Để thuận tiện, ta giới hạn trong trường hợp chỉ có một đối số lệch. Ở đây, ta giả sử

rằng 0,T , các phần tử của hàm ma trận : 0, , 0,1n

jP T R j M đều khả tích

Lebesgue, 1 0, , nf L T R và : 0, 0,T T là hàm đo được Lebesgue, 10 ,x R

0..., px R và , 1, 2,...,id R i p p n

Do đó trong (3.2) ta có p điều kiện tại điểm 0, q điều kiện tại điểm ,0 T và

n p q tại điểm T. Sử dụng các ma trận chéo A, B, C dạng sau:

, ,p

, ,

, ,

1 0 0

0 0 0

0 0 0

p p q n p q

q p q n p q q

n p q p n p q q n p q

A

(3.3)

6

, ,p

, ,

, ,

0 0 0

0 1 0

0 0 0

p p q n p q

q p q n p q q


B

(3.4)

, ,p

, ,

, ,

0 0 0

0 0 0

0 0 1

p p q n p q

q p q n p q q


C

(3.5)

Ta có thể viết lại điều kiện (3.2) dưới dạng ma trận như sau:

. 0 . .A x B x C x T d (3.6)

Trong đó:

10 20 0 1 2 1, ,..., , , ,..., , ,...,p p p p q p q nd col x x x d d d d d (3.7)

Dễ thấy rằng, với mỗi ma trận (3.3), (3.4) và (3.5) xuất hiện trong điều kiện (3.6) đều

suy biến, điều này dẫn đến khó khăn trong việc xây dựng dãy xấp xỉ liên tục phù hợp.

4. THAM SỐ HÓA ĐIỀU KIỆN BIÊN 3 ĐIỂM

Bên cạnh điều kiện biên 3 điểm (3.6) ta xem xét điều kiện biên 2 điểm bổ trợ sau:

. 0 .A x C x T d (4.1)

Với 10 20 0 1, ,..., ,0,0,...,0, ,...,p p q nd col x x x d d . So với điều kiện biên (3.6) điều kiện

biên (4.1) có thể xem là kết quả của việc ta cố định giá trị của hàm số tại điểm .

Để tránh ma trận suy biến C trong (4.1) ta tham số hóa như sau:

1 1 2 2

1 1 2 2

...

...

p p

p p p p p q p q

x T x T x T

x T x T x T

(4.2)

Và thay vì (4.1) ta sử dụng điều kiện biên 2 điểm như sau:

. 0A x x T d (4.3)

Với 1 1,..., , ,..., p q

p p p qcol R

và

10 1 20 2 0 1 1, ,..., x , ,..., , ,...,p p p p q p q nd col x x d d (4.4)

Thay cho bài toán biên ba điểm (3.1), (3.6) ta xem xét bài toán biên hai điểm

(3.1), (4.3).

5. BỔ ĐỀ HỖ TRỢ

7

Trong phần tiếp theo, ta cần một số bổ đề hỗ trợ, liên quan đến tính chất của dãy hàm

0

0,T ,m mC R

xác định theo quan hệ truy hồi:

1

0

1 0,1,2,...

t T

m m m

t

t tt s ds s ds m

T T

(5.1)

Với 0 1, 0,t t T . Cụ thể ta có:

1 2 1 , 0,t

t t t TT

(5.2)

Bổ đề 1. Cho dãy hàm 0

0,T ,m mC R

xác định bởi công thức (5.1). Khi đó ta

có:

(1) Hàm m là đối xứng qua điểm

2

T với mọi 0m có nghĩa là:

0,m mt T t t T (5.3)

0, / 22 2

m m

T Tt t t T

(5.4)

(2) Dãy hàm trong (5.1) có thể biểu diễn dạng

1

0

0

1

1 , 0,

t T t

m m m

t

t T t

m m

T t t

T t t

m m

T t

tt s ds s ds

T

t ts ds s ds

T T

t ts ds s ds t T

T T

(5.5)

(3) Với mọi 1, 0 0m mm T và 0, 0,m t t T

(4) Giá trị lớn nhất của mỗi 0, 0m t m đạt được tại 2

T, ký hiệu như sau:

0,

max2

m mt T

Tt

(5.6)

(5) Với mọi 1,m ta có:

. 0 , 0,2

m

Tt sign t t T

(5.7)

Có nghĩa là hàm m t tang trên 0,2

T

và giảm trên ,2

TT

.

Bổ đề 2. Với mỗi chặn trên đúng tùy ý : 0,u T R đánh giá sau

8

1

0,0,0 0

1sup inf

2

t T

s Ts T

tu u s ds ess u s ess u s

T

(5.8)

Thỏa mãn hầu khắp nơi theo 0,t T và 1 xác định theo công thức (5.2).

Bổ đề 3. Dãy hàm , 1m m được cho bởi (5.1) thỏa mãn bất đẳng thức sau:

1

1 1

3, 2

10

10 3, 0

9 10

m m

m

m

Tt t m

Tt t m

(5.9)

Bổ đề 4. Cho : 0, 0,T T là hàm đo được, thỏa mãn điều kiện:

0,essinf 0

2t T

Tt t sign t

(5.10)

Khi này, các số hạng của dãy (5.1) thỏa mãn ước lượng điểm:

0, , 1, 2,...m mt t t T m (5.11)

Chú ý. Nếu : 0, 0,T T là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện (5.10) thì điều kiện cần

là 0 0, T/ 2 / 2T và T T .

Bổ đề 5. Nếu một hàm đo được : 0, 0,T T thỏa mãn điều kiện

0,

supBs T

t T tk ess

t T t

(5.12)

Thì

1 1 , 0,t k t t T (5.13)

6. TÍNH HỘI TỤ CỦA XẤP XỈ LIÊN TỤC TRONG TRƯỜNG HỢP ĐỐI SỐ

LỆCH TỔNG QUÁT

Để nghiên cứu tính giải được của bài toán biên hai điểm (3.1), (4.3) ta đưa ra chuỗi

hàm sau:

1 0 1

0

0 1

0

, , , , , ,

, , , ,

1

t

m m m

T

m m

n

x t z z P s x s z P s x s z f s ds

tP s x s z P s x s z f s ds

T

td A z

T

(6.1)

Với 00, , , 0, ,m x t z z t T và

9

10 20 0 1, ,..., , z ,..., n

p p nz col x x x z R (6.2)

Và 1 1,..., , ,..., p q

p p p qcol R

là vec tơ tham số và d được xác định bởi

(4.4)

Chú ý. Ta cần nhớ rằng p thành phần đầu tiên trong vec tơ z là cố định và trùng với

các giá trị đầu xuất hiện trong điều kiện biên (3.2), trong khi các thành phần

,kz p k n được xem là tham số tự do. Do đó, nói rằng với mọi z có nghĩa là với mọi

1,...,p nz z.

Ta thiết lập tính hội tụ của dãy (6.1) với hàm lệch ngẫu nhiên : 0, 0,T T

Định lý 1. Cho các phần tử của hàm ma trận P : 0, , 0,1n

i T R i M khả tích

Lebesgue, hàm 1 0, , nf L T R và : 0, 0,T T là hàm đo được Lebesgue. Ngoài

ra, ta giả sử:

0 1

2r K K

T (6.3)

Với

0,

sup 0,1i is T

K ess P s i

(6.4)

Khi đó:

(1) Mọi phần tử của dãy (6.1) đều liên tục tuyệt đối và thỏa mãn các điều kiện biên

hai điểm:

0, , , , , 1,2,...m mAx z x T z d m (6.5)

Với mọi p qR và z có dạng (6.2).

(2) Dãy hàm (6.1) hội tụ đều đến hàm giới hạn * , ,x z với

* t, , lim , ,mm

x z x t z

(6.6)

Với 0,t T , z có dạng (6.2) và p qR

(3) Hàm giới hạn (6.6) thỏa mãn điều kiện đầu:

* 0, ,x z z (6.7)

Và điều kiện biên (4.3)

* *0, , T, ,Ax z x z d (6.8)

Với z có dạng (6.2) và p qR

10

(4) Với mọi giá trị z cố định dạng (6.2) và p qR , hàm giới hạn trong (6.6) là

nghiệm liên tục tuyệt đối duy nhất của phương trình vi tích phân.

0 1

0

0 1

0

1 0,

t

T

n

x t z P s x s P s x s f s ds

tP s x s P s x s f s ds

T

td A z t T

T

(6.9)

(5) Ước lượng sau đây đúng với mọi giá trị cố định z dạng (6.2) và p qR :

1 1

*

0 1 0 1

2, , , , 1 , ,

2

mm

m n

Tx t z x t z K K K K z

T

(6.10)

Với

, 12

n

Tz z d A z (6.11)

Và

0 1 0 10,0,

1sup inf

2 s Ts T

z ess P s z P s z f s ess P s P s f s

(6.12)

Trong (6.10) và quan hệ tương tự, dưới dấu . , , , sup, infess ess đều được hiểu theo

nghĩa từng phần.

Chứng minh.

Khẳng định (1) được suy ra bằng cách tính toán trực tiếp.

Để đưa ra các tính chất như yêu cầu, ta chứng tỏ rằng, dưới các điều kiện đã cho, dãy

(6.1) là dãy Cauchy trong không gian Banach 0, , nC T R được trang bị chuẩn hội tụ

đều. Thật vậy, theo ước lượng (5.8) của Bổ đề 2, cùng với 6.1 , ta thấy với m=0 và với

giá trị cố định tùy ý 1,...,p nz z

và p qR

0 1

1

0 0 1

0

1

, , 1

δ ,

t

Tn

P s z P s z f st

x t z z ds d A ztTP z P z f d

T

t z z

(6.13)

Với vec tơ z có dạng (6.2) và

δ , 1 ,nz d A z (6.14)

11

Và 1 là hàm cho bởi (5.2).

Đặt 1 1, , , , , ,m m mr t z x t z x t z (6.15)

Khi đó, theo công thức (6.1), với mọi 0, , 1, p qt T n R và z ta có:

1 0 1

0

0 1

0

0 1

0

0 1

, , , , , z,

, , , z,

1 , , , z,

, , , z,

t

m m m

T

m m

t

m m

T

m m

t

r t z P s r s z P s r s ds

tP s r s z P s r s ds

T


T


T

(6.16)

Đẳng thức (6.16) có nghĩa rằng với mọi 0, , 1,2,...,t T m và z ta có:

1 0

0

1

0

, , 1 , , , ,

1 , , , , ,

t T

m m m

t

t T

m m

t

t tr t z K r s z ds r s z ds

T T

t tK r s z ds r s z ds

T T

(6.17)

Với 0 1,K K là các ma trận không âm cho bởi (6.4). Từ (6.13) ta thấy:

1 1, , δ , , t 0,r t z t z z T (6.18)

Với và δ cho bởi (6.12) và (6.14). Theo tính chất (5.6) của Bổ đề 1, ước lượng

(6.18) dẫn đến:

1 , , δ , , , t 0,2

Tr t z z z z T (6.19)

Ta đánh giá ước lượng 2 , ,r t z sử dụng (6.17) và (6.19). Ta có:

2 0 1 1

0

1 1 1

0

0

0

1

0

, , 1 , , , ,

1 , , , , ,

1 , ,

1 , , ,

t T

t

t T

t

t T

t

t T

t

t tr t z K r s z ds r s z ds

T T

t tK r s z ds r s z ds

T T

t tK z ds z ds

T T

t tK z ds z ds

T T

(6.20)

12

Với mọi 0,t T . Từ quan hệ (5.1), (5.2) cùng với tính chất (5.6) và từ (6.20) ta có:

2 0 1 1 0 1

0, 0,max , , , max ,

2t T t T

Tr t z K K z t K K z

Bằng quy nạp, ta có:

1

1 1

0 1, , , ,2

mm m

m

Tr t z K K z G z

(6.21)

Với 0 12

TG K K (6.22)

Theo đẳng thức (6.15), đánh giá (6.21) và giả thuyết (6.3) và ký hiệu (6.22) ta có:

1

1 0

1

0

, , , , , , ,

, 1 ,

j jm i

m j m m i

i i

m i m

n

i

x t z x t z r t z G G z

G G z G G z

(6.23)

Với mọi 0, , 1, 2,...t T m

Theo (6.3) ta có lim 0m

nm

G

nên từ (6.23) cho thấy dãy (6.1) là dãy Cauchy trong

không gian Banach 0, , nC T R , nên nó hội tụ đều trong [0,T] đến điềm z cố định

dạng (6.2) và 1pR .

Điều này chứng tỏ khẳng định (2) đúng.

Qua giới hạn, ta cũng có các khẳng định còn lại đúng.

Cho m trong (6.1) và (6.5) ta thấy hàm (6.6) là nghiệm của phương trình (6.9) và

thỏa mãn tính chất (6.8).

Cho j trong (6.23) ta có đánh giá:

1* , , , , 1 ,m

m nx t z x t z G G z

đúng với mọi 0, , 1, 2,..., p qt T m R

và z có dạng (6.2).

Từ đây suy ra khẳng định (5) đúng.

Chú ý. Nếu thay (6.1) bởi biểu thức dưới đay thì ta cũng có kết quả tương tự.

1 0 1

0

0 1

0

, , , , , ,

, , , ,

1

t

m m m

T

m m

n

x t z z P s x s z P s x s z f s ds

tP s x s z P s x s z f s ds

T

td A z

T

13

Với : 0, 0,T T là hàm ngẫu nhiên liên tục thỏa mãn 0 0 và T T .

Mệnh đề 1. Giả sử các giả thuyết của Định lý 1 được thỏa mãn, và giả sử hàm

* ., ,x z thỏa mãn điều kiện:

* *

0 1

0 0

1 , , , ,

T T

nd A z P s x s z P s x s z ds f s ds (6.24)

Với giá trị nào đó của z và , khi đó với z và , nó cũng là nghiệm của bài toán biên

(3.1), (4.3).

Chứng minh của mệnh đề này được suy ra trực tiếp từ định lý phía trên.

7. CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM GIỚI HẠN

Phần này ta thiết lập quan hệ giữa hàm giới hạn của dãy (6.1) và nghiệm của bài

toán bổ sung của bài toán biên hai điểm đã tham số hóa (3.1) và (4.3). Cùng với hệ

(3.1) ta cũng xem xét hệ phương trình với nhiễu được thêm vào vế phải.

0 1 , 0,x t P t x t P t x t f t t T (7.1)

Với điều kiện ban đầu:

0 ,x z (7.2)

Trong đó 1 2, ,..., ncol là tham số kiểm soát. Chúng ta thấy rằng, với z bất kỳ,

vec tơ tham số có thể được chọn sao cho nghiệm ., z,x của bài toán biên ban đầu

(7.1), (7.2) cũng là nghiệm của bài toán biên hai điểm (7.1), (4.3).

Mệnh đề 2. Giả sử rằng hệ phương trình vi phân (3.1) thỏa mãn các điều kiện của định

lý 1. Khi đó, với z bất kỳ dạng (6.2) và giá trị bất kỳ ta có:

* *

0 1

0

1 11 , , , ,

T

nd A z P s x s z P s x s z f s dsT T

(7.3)

Là giá trị duy nhất của vec tơ tham số sao cho nghiệm của bài toán ban đầu (7.1),

(7.2) với cho bởi (7.3) cũng là nghiệm của bài toán biên (7.1), (4.3). Ngoài ra với

các giá trị của :

*, , , , lim , ,mm

x t z x t z x t z

(7.4)

Với 1

., ,m mx z

là dãy hàm xác định dựa theo (6.1)

Chứng minh.

Khẳng định của mệnh đề 2 thu được tương tự như chứng minh định lý 4.2 trong [11].

14

Định nghĩa 1. Với giá trị bất kỳ 1,2,...,k n ta định nghĩa vec tơ hàng n chiều ke như

sau:

1

0,0,...,0,0,1,0,...,0k

k

e

(7.5)

Xét hàm: : n p p q nR R R được cho bởi công thức:

* *

0 1

0

1 1, 1 , , , ,

T

nz d A z P s x s z P s x s z f s dsT T

(7.6)

Trong đó z có dạng (6.2) với 1,...,p nz z

tùy ý và p qR . Công thức (7.6) xác định

đúng khi hàm số giới hạn * ., ,x z của dãy (6.1) tồn tại.

Mệnh đề 3. Giả sử các điều kiện của định lý 1 được thỏa mãn. Khi đó, hàm * ., ,x z

cũng là nghiệm của bài toán biên ba điểm Cauchy Nicoletti (3.1), (3.6) khi và chỉ khi

cặp ,z thỏa mãn hệ gồm n q phương trình:

, 0z (7.7)

* *

1 1, , , ..., , ,p p p q p qe x z d e x z d (7.8)

Chứng minh.

Điều kiện đủ là áp dụng Mệnh đề 2 và chú ý phương trình vi phân có được bằng

cách đạo hàm phương trình (6.9) trùng với (3.1) khi và chỉ khi cặp ,z thỏa mãn

điều kiện (7.7). Mặt khác từ (7.8) ta có điều kiện biên bổ trợ (4.1) trở thành điều kiện

biên (3.6) của bài toán Cauchy Nicoletti.

Mệnh đề 4. Giả sử ta định nghĩa ma trận H bởi:

1

0,

sup 1 1n nt T

H tT A

(7.9)

Dưới các điều kiện của định lý 1, ta có đánh giá

1

* 0 * 1 0 1

0 1

2 2, , , , 1nx t z x t z K K H z z

T T

(7.10)

Với

10 20 0 1 2, ,..., , , ,..., 0,1j j j j

p p p nz col x x x z z z j (7.11)

Đánh giá này đúng với mỗi jz , 1, 2,...,k p p n , 0,1; 0,j t T và p qR .

Chứng minh.

15

Xét chuỗi vec tơ , 1mc m được xác định bằng công thức truy hồi sau:

0 1

0 1 1 , 12

m m

Tc H z z K K c m

Với 0 1

0c z z và ma trận H có dạng (7.9). Ta chứng tỏ rằng hàm :

0

1, , , , 0, , 1m m mu t x t z x t z t T m (7.12)

Thỏa mãn đánh giá

, 0, , 1m mu t c t T m (7.13)

Thật vậy, với m=0, quan hệ (7.13) thỏa mãn dạng của đẳng thức. Giả sử (7.13) được

thỏa mãn với 1m nào đó. Theo (6.1) ta có:

0 1 0 1

1 0 1

0

0 1

0

0 1 0 1

0 1

0

0 1

1

1 1

t

m n m m

T

m m

t

n m m

T

m m

t

tu t z z A z z P s u s P s u s ds

T

tP s u s P s u s ds

T

t tz z A z z P s u s P s u s ds

T T

tP s u s P s u s ds

T

(7.14)

Trong khi đó, từ (7.9),

0 1

1 0 1

0

0 1

1

t

m m m

T

m m

t

tu t H z z P s u s P s u s ds

T

tP s u s P s u s ds

T

(7.15)

Với mọi 0,t T và 1m . Nhớ lại công thức (6.4), (5.1) và do giả sử (7.13) và đẳng

thức (5.6) ta có:

16

0 1

1 0 1

0

0 1

0 1

0 1

0

0 1

1 0 1

0 1

0 1 1

1

1

2

2

t

m m m

T

m m

t

t T

m

t

m

m m

tu t H z z K u s K u s ds

T

tK u s K u s ds

T

tH z z dt ds K K c

T

TH z z K K c

TH z z K K c c

(7.16)

Điều này có nghĩa là (7.13) đúng với m+1 và do đó theo nguyên lý quy nạp ta có biểu

thức đúng với mọi 0m . Xem xét bất đẳng thức (7.13) và lặp trở lại ta có:

0 1

0 1 1

0 1 0 1

0 1 0 1 2

220 1

0 1 0 1 2

2

2 2

12 2

m m

m

n m

Tu t H z z K K c

T TH z z K K H z z K K c

T TK K H z z K K c

Và do đó ta có bất đẳng thức:

1

0 1 0 1

0 1 0 1

0 2 2

i mmi m

m

i

T Tu t K K H z z K K z z

,

Và từ đó ta có ước lượng (7.10).

Bất đẳng thức này đúng với mọi 1,2,...,m và t 0,T . Qua giới hạn khi m và

sử dụng (6.3) và ký hiệu (7.12) ta có bất đẳng thức:

* 0 * 1 0 1

0 1

0

, , , , 0,2

ii

i

Tx t z x t z K K H z z t T

Ta đặt.

1

0 1 0 11nS K K K K

(7.17)

Với mọi giá trị sao cho ma trận nghịch đảo tồn tại.

Mệnh đề 5. Với các điều kiện của Định lý 1, công thức (7.6) xác định một hàm

: n p p q nR R R được xác định tốt và thỏa mãn đánh giá sau:

2

0 1 0 11 2, , 1 .n T

z z A S H z zT T

(7.18)

17

Với ma trận 12TS và H được cho bởi (7.17) và (7.19).

Để chứng minh Mệnh đề trên ta dùng công thức (7.6) và Mệnh đề 3.

8. ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM CHO BÀI TOÁN CAUCHY – NICOLETTI

Từ Định lý 1 và Mệnh đề 3 ta xây dựng thuật toán giải tích để tìm nghiệm của

bài toán biên ba điểm Cauchy Nicoletti (3.1), (3.6) như sau:

(1) Với vec tơ z bất kỳ có dạng (6.2), theo (6.1) ta xây dựng dãy hàm ., ,mx z

phụ thuộc vào tham số 1,...,n p

p nz z R

và 1 1,..., , ,..., p q

p p p qcol R

và thỏa mãn các điều kiện bổ sung (4.3)

(2) Ta tìm giới hạn * ., ,x z của dãy ., ,mx z thỏa mãn điều kiện (4.3)

(3) Ta xây dựng hệ đại số dạng (7.7) và (7.8) theo n+q tham số

1 1,..., , ,..., p q

p p p qcol R

và 1,...,n p

p nz z R

(4) Sử dụng phương pháp phù hợp để xấp xỉ nghiệm cho hệ (7.7), (7.8) dạng sau:

* * * * *

1 1

* *

1

,..., , ,...,

,...,

p q

p p p q

n p

p n

col R

z z R

(8.1)

(5) Thay thế giá trị tìm được trong (8.1) vào * ., ,x z ta có nghiệm của bài toán

biên ba điểm Cauchy Nicoletti (3.1), (3.6) dạng:

* * *., ,x x z (8.2)

Trong đó * * *

10 20 0 1, ,..., , ,...,p p nz col x x x z z . Nghiệm của (8.2) có thể thu được bằng

cách giải bài toán Cauchy cho phương trình (3.1) với điều kiện:

*0x z (8.3)

Điều khó khăn cơ bản trong việc nhận biết phương pháp tiếp cận liên quan đến

việc xây dựng hàm giới hạn * ., ,x z . Tuy nhiên, trong một số trường hợp, điều này

có thể tránh được bởi vì ta có thể chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của bài toán biên ba điểm

Cauchy Nicoletti (3.1), (3.6) dựa trên những tính chất của hàm xấp xỉ ., ,mx z đã có

dạng giải tích.

18

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] A. Augustynowicz and M. Kwapisz, “On a numerical-analytic method of solving

of boundary value problem for functional-differential equation of neutral type,” Math.

Nachr., vol. 145, pp. 255–269, 1990.

[2] M. Farkas, Periodic motions, ser. Applied Mathematical Sciences. New York:

Springer-Verlag, 1994, vol. 104.

[3] M. Kwapisz, “Some remarks on an integral equation arising in applications of

numerical-analytic method of solving of boundary value problems,” Ukrainian Math.

J., vol. 44, no. 1, pp. 115–119, 1992.

[4] M. Kwapisz, “On modifications of the integral equation of Samo˘ılenko’s

numerical-analytic method of solving boundary value problems,” Math. Nachr., vol.

157, pp. 125–135, 1992.

[5] M. Kwapisz, “On integral equations arising in numerical-analytic method of

solving boundary value problems for differential-functional equations,” in

International Conference on Differential Equations, Vol. 1, 2 (Barcelona, 1991).

World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1993, pp. 671–677.

[6] A. Ronto and M. Ronto, “A note on the numerical-analytic method for nonlinear

two-point boundary-value problems,” Nonlinear Oscil., vol. 4, no. 1, pp. 112–128,

2001.

[7] A.Ronto and M.Ronto,“Successive approximation techniques in non-linear

boundary value problems for ordinary differential equations,” in Handbook of

19

differential equations: ordinary differential equations. Vol. IV, ser. Handb. Differ.

Equ. Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2008, pp. 441–592.

[8]A.RontóandM.Rontó,“Successiveapproximationmethodforsomelinearboundaryval

ueproblems for differential equations with a special type of argument deviation,”

Miskolc Math. Notes, vol. 10, no. 1, pp. 69–95, 2009.

[9] A. N. Ronto, “On some boundary value problems for Lipschitz differential

equations,” Nel¯ın¯ ı˘ ın¯ ı Koliv., no. 1, pp. 74–94, 1998.

[10] A. N. Ronto, M. Rontó, A. M. Samoilenko, and S. I. Trofimchuk, “On periodic

solutions of autonomous difference equations,” Georgian Math. J., vol. 8, no. 1, pp.

135–164, 2001.

[11] A. N. Ronto, M. Ronto, and N. M. Shchobak, “On the parametrization of three-

point nonlinear boundary value problems,” Nonlinear Oscil., vol. 7, no. 3, pp. 384–

402, 2004.

[12] A. Ronto and M. Ronto, “On the investigation of some boundary value problems

with non-linear conditions,” Math. Notes (Miskolc), vol. 1, no. 1, pp. 43–55, 2000.

[13] M. Ronto and J. Mészáros, “Some remarks on the convergence of the

numerical-analytical method of successive approximations,” Ukrainian Math. J., vol.

48, no. 1, pp. 101–107, 1996.

[14] M. Ronto and A. M. Samoilenko, Numerical-analytic methods in the theory of

boundary-value problems. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 2000,

with a preface by Yu. A. Mitropolsky and an appendix by the authors and S. I.

Trofimchuk.

[15] N. I. Ronto, A. M. Samoilenko, and S. I. Trofimchuk, “The theory of the

numerical-analytic method: achievements and new directions of development. I,”

Ukrainian Math. J., vol. 50, no. 1, pp. 116–135, 1998.


numerical-analytic method: achievements and new directions of development. II,”



numerical-analytic method: achievements and new directions of development. III,”


20


numerical-analytic method: achievements and new directions of development. IV,”

Ukrainian Math. J., vol. 50, no. 12, pp. 1888–1907 (1999), 1998.


numerical-analytic method: achievements and new directions of development. V,”



numerical-analytic method: achievements and new directions of development. VI,”



numerical-analytic method: achievements and new directions of development. VII,”


[22] A. M. Samoilenko,“A numerical- analytic method for investigation of periodic

systems of ordinary differential equations. I,” Ukrain. Mat. Zh., vol. 17, no. 4, pp. 82–

93, 1965.

[23]A.M.Samoilenko,“Anumerical-analytic method for investigation of periodic

systems of ordinary differential equations. II,” Ukrain. Mat. Zh., vol. 18, no. 2, pp. 50–

59, 1966.

[24] A. M. Samoilenko, “On a sequence of polynomials and the radius of convergence

of its Abel-Poisson sum,” Ukrainian Math. J., vol. 55, no. 7, pp. 1119–1130, 2003.

[25] A. M. Samoilenko and N. I. Ronto, Numerical-analytic methods of investigation

of boundaryvalue problems. Kiev: “Naukova Dumka”, 1986, in Russian, with an

English summary, edited and with a preface by Yu. A. Mitropolskii.

[26] A. M. Samoilenko and N. I. Ronto, Numerical-analytic methods in the theory of

boundary-value problems for ordinary differential equations. Kiev:

“NaukovaDumka”,1992,in Russian, edited and with a preface by Yu. A. Mitropolskii.

xét hệ phương trình hàm vi phân file4 đó. nghiệm của bài toán mới được tìm...

Documents