XXII. Bolyai János Emlékverseny

Csíkszereda – 2014.12.06

VII. osztály

1. Számítsd ki: a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2010 2011 2012 2013 2014+ - - + + - - + + - - + + - - + +K ;

b) 1 1 1 11 1 1 12 3 4 2014

æ öæ öæ ö æ ö- - - -ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷è øè øè ø è ø

K .

2. Tíz ember egy kerek asztal körül ül. Mindenki gondol egy számra, majd

megsúgja azt a két szomszédjának. Ezután valamennyien hangosan kimondják az általuk hallott két szám átlagát. Ennek eredménye látható az ábrán. Melyik számra gondolt az, aki a 6-ost mondta?

3. Az ABCD derékszögű trapézban AB CDP , µ( ) 90m A = ° , µ( ) 60m B = ° , M pedig a BC oldal

felezőpontja. Tudjuk, hogy a kisalap hossza egyenlő a BC oldal hosszának felével. a) Igazold, hogy AC DM^ ;

b) Számítsd ki a DMC

ABCD

TT

arány értékét!

4. Az A-ban derékszögű ABC háromszög B szögének szögfelezője az AC oldalt D-ben, a BC-re emelt merőlegest pedig az E pontban metszi. Tudjuk, hogy EF ACP , ahol F ABÎ . Bizonyítsd be, hogy: a) az FECD négyszög rombusz; b) a BCF háromszög egyenlő szárú!

Sok sikert!

Molnár Klára