Control System(1)

控制系統

‧清雲科技大學電機工程系

• Ya-Fu Peng• February, 2009

1

Control Systems

Control System(1) 2

內容

簡介

頻域模型

時域模型

時間響應

互聯子系統之簡化

穩定度穩定度

穩態誤差

Control System(1)

)()()( l tytyty naturaforced +=

Chapter 6 Stability

系統響應

線性非時變系統穩定度的定義（以自然響應而論）

假如當時間趨近於∞時，其自然響應趨近於0⇒系統為穩定。

假如當時間趨近於∞時，其自然響應趨近於∞⇒系統為不穩定。

若自然響應不衰減也不成長而維持一常數或震盪⇒系統為臨界穩定。

3

Control System(1)

以全響應(BIBO)而論若每一個有範圍的輸入產生一有範圍的輸出，則系統為穩定。

若任何一個有範圍的輸入卻產生一無範圍的輸出，則系統為不穩定。

若閉回路系統極點是在S平面的左半平面且因此有一負實部，則系統為穩定。

Chapter 6

4

Control System(1)

不穩定系統其閉回路轉移函數至少有一極點座落在右半平面且/或一個以上的極點座落在虛軸上。

臨界穩定系統其閉回路轉移函數僅有一虛軸極點，而其他極點位在左半平面上。

Chapter 6

5

Control System(1)

Closed-loop poles and response-stable system

Chapter 6

6

Control System(1)

Closed-loop poles and response-unstable system

Chapter 6

7

Control System(1)

羅斯-赫維滋準則(Routh-Hurwitz Criterion BIBO)

判斷極點位置

步驟 ︰

1.產生資料表格─羅斯表。

2.解析羅斯表以得知有多少個閉回路極點在左半平面上。

決定多項式之右半面(RHP)及虛軸(IA)根數的一種數值程式。

Chapter 6

8

Control System(1)

011

1)( asasasasPn

nn

n +++=−

− LLL

建立羅斯表

3213

3212

5311

42

cccs

bbbs

aaas

aaas

n

nnnn

nnnn

n

−

−

−−−−

−−

1

31

2

1−

−−

−−=

n

nn

nn

aaaaa

b

1

51

4

2−

−−

−−=

n

nn

nn

aaaaa

b1

21

31

1 bbb

aa

c

nn −−−=

1

31

51

2 bbb

aa

c

nn −−−=

Chapter 6

9

Control System(1)

61132

63

1123

652

0

1

2

3

4

s

s

s

ss

−

62532)( 234 ++++= sssssPEX:

P(s)的RHP(右半平面)根數為羅斯表最左行元素的變號個數。

unstableSystemRHP2

⇒⇒

Chapter 6

10

Control System(1)

10372

103010311

0

1

2

3

ssss

−103031101000

)(1)()(

23 +++=

+=

sss

sGsGsT

)5)(3)(2(1000)(

+++=

ssssGEX:

10303110)( 23 +++=∴ ssssq

unstableSystemRHP2

⇒⇒

Chapter 6

Sol:

11

Control System(1)

1432)( 234 ++++= sssssq

12

1142

131

0

1

2

3

4

sssss

StableSystemRHP0

⇒⇒

EX:

Chapter 6

Sol:

12

Control System(1)

0

1

2

3

4

5

70362531

ssssss

35632)( 2345 +++++=∴ ssssssq

發生某列的第一個元素為零(非整列全為零)

3563210)( 2345 +++++

=sssss

sTEX:

Chapter 6

Sol:

13

Control System(1)

35

3413

135263

0

1

2

3

4

5

dddddd

−

143653)(

1

2345 +++++=⇒

=

ddddddqd

s令

unstableSystemRHP2

⇒⇒

Chapter 6

14

Control System(1)

12161182)( 2345 +++++= ssssssq發生整列為零的情況

EX:

0

1

2

3

4

5

004141

121121681

ssssss

Chapter 6

Sol:

15

Control System(1)

結果：0 RHP，其中有兩根落在虛軸上(s=j2,-2j)，其他三根落在LHP。

作法：

1.以整列為零之前一列為輔助方程式A(s)。2.將此輔助方程式微分，以其係數來取代零列。

sds

sdAjssssA

2)(2044)( 22

=⇒

±=⇒=+⇒+=⇒

42

41s41s

12112s1681

0

1

2

3

4

5

ss

s

Chapter 6

16

Control System(1)

結果：無變號，故 0 RHP，其中4 AI，1 LHP。

568426710)( 2345 +++++

=sssss

sT

)3(4124

)86()(

3

3

24

ssss

dsssd

dssdA

+=

+=

++=

EX:

ss

s

0

1

2

3

4

5

s

00s861s861

5684267)( 2345 +++++=∴ ssssssq

81

83s31s

861s861

0

1

2

3

4

5

ss

s

Chapter 6

Sol:

17

Control System(1)

8225 23456 −−++++ ssssss

ssds

ssdds

sdA

816

)844()(

3

24

+=

−+=

872

82816

844211

8251

0

1

2

3

4

5

6

−

−

−−

−

sssssss

∴

EX:

00844211

8251

0

1

2

3

4

5

6

−−

−

sssssss

結果： 1 RHP，2 AI，3 LHP。

Chapter 6

Sol:

18

Control System(1)

ksssT

++=

24)( 2

邊際穩定 0 )2( 0 if ⇒=+⇒= sssk

不穩定 0 if ⇒

Control System(1)

ksssssq ++++= 242)( 234

ks

k-s

kss

ks

3263

2241

0

1

2

3

4

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

>−

0

0326

k

kif no RHP

⇒

⇒

⇒

⇒if 3=k

3 026 − kk

03 >> k

零列 邊際穩定

( )1

033 2 =+s

( )2

js ±=⇒

EX:

⇒

Chapter 6

20