yükseklİk ölçmelerİ - iujfk.files. · pdf fileyildiz teknİk...
TRANSCRIPT
YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT FAKÜLTESİ
JEODEZİ VE FOTOGRAMETRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
YÜKSEKLİK ÖLÇMELERİ
(DERS NOTLARI)
Doç. Dr. Halil ERKAYA Ölçme Tekniği Anabilim Dalı Öğretim Üyesi
İSTANBUL - 2006
İçindekiler
I
İÇİNDEKİLER
1. YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ ……………………………………. 1 1.1. Yükseklik Kavramı ………………………………………………. 1 1.2. Yükseklik Sistemleri ……………………………………………. 3 1.2.1. Bilimsel Yükseklikler ……………………………………………. 3 1.2.1.1. Geopotansiyel Yükseklik ………………………………………. 6 1.2.1.2. Dinamik Yükseklik ..……………………………………………. 7 1.2.1.3. Ortometrik Yükseklik ……………………………………………. 8 1.2.2 Pratik Yükseklikler ………………………………………………. 10 1.2.1.4. Normal yükseklik …………………………………………….… 11 1.2.1.5. Normal Ortometrik Yükseklik (Sferoidik Ortometrik Yükseklik) 12 1.2.1.6. Elipsoidal Yükseklik …………………………………………… 13 1.3. Nivelman Ağları ………………………………………………….. 14 1.3.1. Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı (TUDKA) ………………… 15 1.3.2. Nivelman Ağlarının Derecelendirilmesi ……………………… 17 1.3.3. Nivelman Kapanma Hataları …………………………………. 18 1.3.4. Nivelman Ölçülerinin Değerlendirilmesi ………………………. 19 2. GEOMETRİK NİVELMAN …………………………………… 20 2.1. Nivolar …………………………………………………………… 20 2.1.1. İncelikleri Yönünden Nivelman Aletleri ………………………… 23 2.1.1.1. Düşük İncelikli Nivolar (İnşaat Nivoları) ………………………. 24 2.1.1.2. Orta İncelikli Nivolar …………………………………………… 24 2.1.1.3. Yüksek İncelikli Nivolar …………………………………………. 24 2.1.1.4. Çok Yüksek incelikli Nivolar ……………………………………. 24 2.1.2. Yapıları Bakımından Nivelman Aletleri ……………………… 25 2.1.2.1. Eğim Vidalı Nivolar ……………………………………………… 25 2.1.2.2. Kompensatörlü (Otomatik) Nivolar …………………………… 26 2.1.2.3. Sayısal (Elektronik Sayısal) Nivolar ………………………….. 28 2.1.2.4. Lazer Nivoları ……………………………………………………. 30 2.1.2.5. Optik Mikrometreli Nivolar ……………………………………… 32 2.2. Nivelman Miraları ………………………………………………. 33 2.2.1. Miraların Kontrolü ………………………………………………. 34 2.2.2. Mira Altlıkları (Mira Pabucu, Mira Çarığı) ……………………. 35 2.3. Nivoların Kontrolü ve Eksen Koşulları ………………………… 36 2.3.1. Nivoların Yatay Gözlem Çizgisinin Yataylığının Kontrolü ….. 36 2.3.2. Nivolarda Eksen Koşulları ……………………………………… 36
İçindekiler
II
2.3.2.1. Küresel düzeç ekseni, düşey eksene paralel olmalıdır …….. 37 2.3.2.2. Nivelmanda Teme Koşul, Gözlem Ekseninin Yatay Olması ... 37 2.4. Nivelman Noktalarının Tesisi …………………………………... 40 2.5. Doğrultu (Hat) Nivelmanı ……………………………………… 40 2.5.1. Açık Nivelman …………………………………………………… 41 2.5.2. Dayalı Nivelman ………………………………………………… 42 2.5.3. Kapalı Nivelman ………………………………………………... 43 2.5.4. Gözlem Düzlemi Yüksekliğine Göre Nivelman ……………… 43 2.6. Yüzey Nivelmanı ………………………………………………... 45 2.6.1. Kareler Ağı Yöntemiyle Yüzey Nivelmanı ……………………. 46 2.6.2. Işınsal (Kutupsal) Nivelman …………………………………… 47 2.6.3. Hacim Hesabı …………………………………………………… 49 2.7. Hassas Nivelman ………………………………………………. 50 2.8. Kesit Nivelmanı ………………………………………………… 52 2.8.1. Boy Kesit ………………………………………………………… 52 2.8.2. En Kesit …………………………………………………………. 54 2.8.3. Cross Yöntemine Göre Kesitlerle Alan Hesabı ……………… 57 2.8.4. Kesitlerle Hacim Hesabı ……………………………………….. 57 2.8.4.1. Kesitlerin İkisi de Dolgu ya da Yarma ………………………... 57 2.8.4.2. Kesitlerin Biri Dolgu Diğeri Yarma …………………………… 58 2.8.4.3. Kesitlerin Biri Dolgu ya da Yarma Diğeri Karışık …………… 59 2.8.4.4. Kesitlerin İkisi de Karışık ………………………………………. 60 2.9. Nivelmana Etki Eden Hatalar …………………………………. 61 2.9.1. Düzenli (Sistematik) Hatalar …………………………………... 61 2.9.2. Düzensiz (Tesadüfî) Hatalar …………………………………… 64 3. TRİGONOMETRİK YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ ………………… 65 3.1. Düşey Açı ………………………………………………………... 65 3.1.1. Gösterge (Düşey Kolimasyon) Hatası ………………………… 66 3.1.2. Düşey Açı Ölçümü ve Hesabı …………………………………. 67 3.2. Kısa Mesafede (S<250 m) Trigonometrik Yükseklik Ölçümü .. 68 3.2.1. Kule Yüksekliği Ölçümü ………………………………………… 69 3.2.1.1. S Uzunluğu Ölçülüyor ………………………………………….. 69 3.2.1.2. S Uzunluğu Ölçülemiyor ………………………………………. 70 3.2.2. Trigonometrik Nivelman ……………………………………….. 72 3.2.3. İki Nokta Arasındaki Uzunluğu Ölçmeden Yükseklik Farkının
Bulunması ……………………………………………………….. 73
İçindekiler
III
3.2.4. Kısa Uzunluklarda Trigonometrik Yükseklik Ölçümünde İncelik 74 3.3. Uzun Mesafede (S > 250 m) Trigonometrik Nivelman ……. 75 3.3.1. Işığın Kırılma (Refraksiyon) Katsayısının (k) Belirlenmesi …. 77 3.4. Karşılıklı Gözlemlerle İki Nokta Arasındaki Yükseklik Farkı … 78 3.5.1. Zenit Açılarının Zemin Noktasına İndirgenmesi …………….. 81 4. TAKİMETRİ ………………………………………………..……. 82 4.1. Takimetrik Alımın Yapılışı ……………………………………... 83 4.1.2 Uzunlukların Optik Olarak Ölçülmesi ………………………. 84
Yükseklik Sistemleri
1
1. BÖLÜM
YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ
1.1. Yükseklik Kavramı Yeryüzünün şekli denilince, katı ve sıvı dünya kitlesinin atmosfer ile olan sınırı anlaşılır. Katı kısımlar girinti ve çıkıntılar nedeniyle düzgün bir yüzey değildir. Genel olarak yüzeyler, normalleri yardımıyla incelenebilir. Yeryüzü normalleri, ağırlık kuvveti doğrultusundadır. Ağırlık kuvvetinin doğrultusu uygulamada çekül doğrultusuyla gösterilir. Çekül doğrultusunun ölçmelerdeki rolü çok önemlidir. Ölçme aletlerinin düşey eksenleri çekül doğrultusuna göre düzenlenir (Ulsoy, 1977).
Yeryüzündeki noktaların yüksekliklerini tanımlayabilmek için, bir başlangıç yüzeyi ve bu yüzeye dik doğrultuların saptanması gerekir. Yeryüzünde en kolay belirlenebilen doğrultular, çekül doğrultularıdır. Bilindiği gibi durgun bir sıvı yüzeyi çekül doğrultusuna diktir. Çekül doğrultuları da her noktada denge halindeki deniz yüzeyine diktir. Karaların altında da devam ettiği düşünülen denge halindeki deniz yüzeyi, başlangıç yüzeyi yani sıfır yükseltili yüzey olarak alınabilir ve bu yüzey Geoit olarak adlandırılmıştır. Buna göre yükseklik, yeryüzü noktalarının çekül doğrultusunda başlangıç yüzeyine yani geoide olan uzaklığıdır. Başlangıç yüzeyinin altında bulunan noktaların çekül doğrultusunda geoide olan uzaklıkları da derinlik olarak adlandırılır.
Noktalar arasındaki yükseklik farklarının ölçülmesi işine nivelman denilmektedir. Uygulamada kullanılan nivelman yöntemleri şunlardır:
1. Geometrik Nivelman: Geometrik nivelmanda, noktaların düşey doğrultuda yatay bir düzleme olan uzaklıkları ölçülmekte ve bu uzaklık farklarından iki nokta arasındaki yükseklik farkları elde edilmektedir. Nivelmanda incelik (doğruluk) genel olarak 1 km’lik nivelman yolunda gidiş-dönüş ölçü farklarından bulunan standart sapma değeri ile ifade edilmektedir. Geometrik nivelmanda incelik 1 km’de ±1mm ile ±20 mm arasındadır. Hassas nivelmanda ise incelik, 1 km’de ±0.2 mm ile ±0.5 mm arasındadır.
Yükseklik Sistemleri
2
Geometrik nivelman, her türlü mühendislik uygulamalarında ve teknik hizmetlerde kullanılır. Yüksek incelik istenen köprü, baraj vb. mühendislik yapılarında düşey yöndeki deformasyonların belirlenmesinde ve ülke birinci ve ikinci derece nivelman ağlarının ölçümünde hassas nivelman yöntemi kullanılır.
2. Trigonometrik Nivelman: Trigonometrik nivelmanda yükseklik farkları basit olarak, iki nokta arasındaki uzunluk ile düşey açıdan yararlanılarak elde edilmektedir. Bu yöntemde incelik 1 km’de ±1cm ile ±10 cm arasındadır. Trigonometrik nivelman, daha çok konum koordinatlarının elde edilmesi için oluşturulan jeodezik ağlarda nokta yüksekliklerinin belirlenmesinde, sağladığı incelik yeterli olduğu sürece mühendislik hizmetlerinde ve geometrik nivelmanın uygulanamadığı dağlık arazideki her türlü yükseklik ölçmesinde uygulanır.
Şekil 1.2 Trigonometrik nivelman
3. Barometrik Nivelman: Hava basıncı, deniz seviyesinden yukarılara doğru çıktıkça düşmektedir. Hava basıncı ölçülerek barometrik yükseklik elde edilmektedir. Barometrik nivelmanda iki nokta arasındaki yükseklik farkı ± 1-2 m incelikle bulunur. Barometrik nivelman yalnızca keşif işlerinde kullanılır.
4. Hidrostatik Nivelman: Fizikteki birleşik kaplar ilkesinden yararlanılarak geliştirilen hortumlu su düzeci denilen aletlerle, noktalar arasındaki yükseklik farkları ± 0.01 mm incelikle ölçülebilmektedir. Genel olarak hidrostatik nivelman, hortumlu su düzeçleri ile basit şantiye ölçmelerinde; hassas hortumlu su düzeçleri ile çok yüksek incelik gerektiren makine aplikasyonlarında ve kapalı yerlerde düşey yöndeki deformasyonların ölçülmesi işlerinde başarıyla kullanılmaktadır.
Mira Mira
g i
∆h
A
B
Nivelman düzlemi
∆h= g - i ∆h= HB - HA= geri-ileri= g-i
Şekil 1.1 Geometrik nivelman
∆H
HB = HA + i + h – t h = S*cotZ HB = HA + i +S*cotZ – t
Z h
A
B i
t
s
Yükseklik Sistemleri
3
1.2. Yükseklik Sistemleri Ülke nivelman ağlarının hesabında, önceleri durgun deniz yüzeyinin başlangıç olarak alınabileceği düşünülür; fakat bir çok ülkenin nivelman ağlarının birleştirilmesi ile elde edilen sonuçlar, bu kanının sarsılmasına neden olur. Örneğin, 1862’deki ölçümlere göre Atlantik seviyesi, Akdeniz seviyesinden 64 cm daha yüksek bulunur. Nivelman sonuçlarına normal ağırlık ivmesi ile ortometrik düzeltmeler getirilince iki seviye arasındaki farkın çok daha az olduğu görülür. Yapılan hesaplamalardan çeşitli deniz seviyeleri arasındaki farkın ölçü hataları içinde kaldığı kanaatine varılır. Böylece her ülkenin kendi nivelman ağının en yakın deniz seviyesine bağlanması gereği ortaya çıkar (Ulsoy, 1976). Geoit başlangıç olmak üzere, farklı yollardan gidilerek bir noktanın yüksekliği nivelmanla belirlense, sonuçların eşit olmadığı görülür. Nivo yüzeyleri birbirlerine paralel olmadıkları için nivelman sonuçları yola bağımlıdır. Yüksekliklerin açık ve kesin biçimde tanımlanması için yalnızca yükseklik farklarının ölçülmesi yeterli olmaz; nivelman yolları boyunca ağırlık (yerçekimi ivmesi) değerlerinin de ölçülmesi gerekir. Problemin çözümü için yükseklikler, ya potansiyel değerlerden dönüştürülür ya da ölçülen yükseklik farklarına bir düzeltme getirilerek elde edilir (Demirel, 1983). Geoidin denklemi, ağırlık kuvveti ve onun potansiyeli ile açıklanabilir. Kitle yoğunluğu sürekli olduğu sürece geoidin eğriliği de süreklidir. Yoğunluğun ani değişikliğe uğradığı yerlerde geoidin eğriliği de değişir. Geoidin yeryüzü noktalarına göre konumu kesin olarak bilinmediğinden yüksekliklerin belirlenmesi için çeşitli hipotezler ortaya atılmıştır. Yükseklikler, bilimsel yükseklikler ve pratik yükseklikler olarak sınıflandırılır.
1.2.1. Bilimsel Yükseklikler Yeryüzündeki herhangi bir noktanın geoide olan uzaklığı, noktadan geoide indirilen normal eğrisinin uzunluğu ile veya geoidden noktaya erişmek için kullanılacak iş veya potansiyel yöntemleri ile tanımlanabilir. Sıfır yükseltili yüzey olarak geoidin alındığı daha önceden belirtilmişti. Nokta yüksekliklerini çekül doğrultusunda ölçmek üzere sıfır yükseltili bir yüzey şöyle de tanımlanabilir: Bir m kütlesi yerçekimi kuvveti doğrultusunun ters yönünde, yeryüzünde bir A noktasından dh yüksekliğine çıkarılırsa dA işi yapılır.
dA=m·g·dh [gr·cm2·saniye-2] (1.1)
Yükseklik Sistemleri
4
Burada g, A noktasındaki yerçekimi ivmesi (ağırlık) ve dh, geometrik nivelmanla bulunan yükseklik farkıdır. m kütlesi yerçekimi kuvveti doğrultusuna dik yönde hareket ettirilirse hiçbir iş yapılmış olmaz. Çünkü dh=0 dır. O halde bir m kütlesinin üzerinde taşınmasıyla hiçbir iş yapılmayan yüzey sıfır yükseltili bir yüzeydir. Bu şekilde sonsuz sayıda yüzey bulunabilir ve bunlara nivo yüzeyi de denir. Geoit de bu nivo yüzeylerinden biridir.
m kütlesi, bir nivo yüzeyinden başka bir nivo yüzeyine taşınırsa, hangi yoldan gidilirse gidilsin aynı iş yapılır. Örneğin, aşağıdaki şekilde D noktası, A noktasından geçen nivo yüzeyinde, C noktası da B noktasından geçen nivo yüzeyi üzerinde alınmıştır ve noktalar, BA, CD çekül doğrultuları üzerindedir. Bir m kütlesi önce ABC yoluyla A noktasından C noktasına, sonra da ADC yoluyla A noktasından C noktasına taşınsın.
Yeryüzünde yerçekimi ivmesi sabit olmayıp, coğrafi enlem ve yüksekliğe bağlıdır. Bir nivo yüzeyinin değişik noktalarında yerçekimi ivmeleri farklı yani g1≠g2 olduğundan dh1≠dh2 olur. Bu da bize, iki nivo yüzeyinin birbirine paralel olmadıklarını gösterir. Bu nedenle yüksekliklerin bulunmasında g nin göz önünde bulundurulması gerekir. Buna karşın sarkıtılan çekülün ipi, nivo yüzeylerine diktir ve bu ip bir doğru olmayıp uzay eğrisi olacaktır. Bu eğriye çekül eğrisi denir (Aydın, 1997).
Yeryüzünün herhangi bir noktasındaki yerçekimi ivmesine bağlı olarak o noktanın potansiyeli W olan skaler bir büyüklük tanımlanmıştır. Nokta çekül doğrultusunun tersine yani yüksekliği artarak hareket ettirilirse potansiyeli azalır. Bu durumda iş ve potansiyel ters orantılı kavramlardır. İş ve potansiyel arasındaki ilişki
-m·dW= dA (1.2)
bağıntısıyla verilmektedir. Buna göre;
[ ]2−⋅⋅−=⋅⋅
−=−= sancm dhgm
dhgmmdAdW 2 (1.3)
olur. Bu durumda bir birim kütlenin kaldırılması ile yapılan iş, sayısal değer olarak kaybedilen potansiyele eşittir. İki nivo yüzeyi arasındaki potansiyel farkı sabit olduğundan,
SabitCdhgdhgdhgdW ii ==⋅=⋅=⋅=− 2211 (1.4)
ABC yolundan geçerken yapılan iş dA1=m·g1·dh1 ADC yolundan geçerken yapılan iş dA2=m·g2·dh2
dA1=dA2 olmalıdır. Bu durumda, m·g1·dh1= m·g2·dh2 g1·dh1= g2·dh2
olur. Şekil 1.3 Nivo yüzeyleri
dh1 dh2 g1 g2
A
B C
D
Yükseklik Sistemleri
5
yazılır. Burada, dhi=0 olursa C=0 olur. Halbuki C≠0 olduğundan dhi≠0 olur. Bu da bize, iki nivo yüzeyi arasındaki yükseklik farkının sıfır olmadığını, yani nivo yüzeylerinin kesişmediğini gösterir. Bir nivo yüzeyinde birim kütlenin taşınması ile hiçbir iş yapılmadığına göre hiçbir potansiyel kaybı da olmaz. Yani bir nivo yüzeyinin her noktasında potansiyel değeri sabittir. Bu nedenle nivo yüzeylerine eş potansiyelli yüzeyler de denir.
Sonsuz uzaklıkta bulunan bir noktanın potansiyeli sıfırdır. Bir birim kütlenin sonsuz uzaklıktan bir nivo yüzeyine taşınması ile açığa çıkarılan iş, sayısal değer olarak o nivo yüzeyindeki bir noktanın potansiyeline eşittir∗.
Nivo yüzeyinin genel denklemi, W=C=Sabit biçiminde yazılabilir ve ancak seriye açılımla çözülür. Bu serinin küçük terimleri toplamı T ile gösterilirse W=U+T olur. W yerine potansiyeli U=C=sabit olan bir yüzey düşünülürse bu yüzeye nivo sferoidi denir. Nivo sferoidi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi γ ile gösterilir ve buna normal ağırlık adı verilir. Nivo yüzeyi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi olan g hesap yoluyla bulunamadığı halde nivo sferoidi üzerindeki bir noktanın yerçekimi ivmesi olan γ, yani normal ağırlık hesap yoluyla bulunabilir. Yerçekimi ivmesi, coğrafi enleme ve yüksekliğe bağlıdır.
Pi ve P noktaları arasındaki potansiyel farkı, dW=-gi·dhi idi. Bu eşitliğin her iki tarafının Pi noktasından P noktasına kadar integrali alınırsa,
PiP
P
Pi
P
Pi
WWdhgdW −=⋅−= ∫∫
Pratikte integral hesabı yerine bir toplam ile yetinilmesinden dolayı,
∑∫ ⋅−=⋅−=−P
Piii
P
PiPiP dhgdhgWW (1.5)
∗ Potansiyel enerji, bir sistemi oluşturan bölümlerin birbirlerine göre konumlarına bağlı olan, depolanmış durumdaki enerji. Potansiyel enerji tek bir cisme ya da parçacığa değil, bir sisteme özgü bir niteliktir. Örneğin, top ile Yer’den oluşan bir sistemin potansiyel enerjisi bu iki cisim birbirlerinden uzaklaştırıldıkça artar. Topu yeryüzünden yukarı yükseltmek için yapılan iş, sistemin enerjisine eklenir ve kütle çekimser potansiyel enerji olarak depolanır.
Yer’in yüzeyine yakın bölgelerde kütle çekimsel potansiyel enerji, cismin ağırlığı ile referans noktasına göre yüksekliği çarpılarak hesaplanır. Bağlı sistemlerde, örneğin elektronların çekirdeğin elektriksel çekim kuvvetiyle bağlı tutulmakta olduğu atomlarda, potansiyel enerji için sıfır referans noktası, çekirdeğin elektriksel çekim kuvvetinin algılanamayacak kadar küçüldüğü, çok uzaktaki bir noktadır. Bu durumda, bağlı elektronların potansiyel enerjisi negatiftir; çekirdeğin etkisinden tam kurtulmakta olan hareketsiz bir elektronun potansiyel enerjisi ise sıfırdır (AnaBritannica, cilt:18, s:139, 2000 Ana Yayıncılık A.Ş. İstanbul).
Yükseklik Sistemleri
6
yazılır. γ0 herhangi bir enlemdeki normal ağırlık ivmesi olmak üzere yukarıdaki eşitliğin sağına (-γ0+γ0) eklenir ve eşitliğin her iki tarafı da γ0 ile bölünürse eşitlik bozulmaz. Böylece,
∫+−
−=− P
Pi
PiP dhgWW
0
00
0 γγγ
γ
eşitliği elde edilir. Başlangıç noktasından kalkarak yine başlangıç noktasına dönüldüğünde yukarıdaki eşitlik,
000
0 =−
=+−
∫ ∫ γγγ AA WWdhdh
g
olur. Buradan da ∫ ≠ 0dh olduğu görülür.
∫ ∫−=−
dhdhγγg
0
0 (1.6)
değerine nivelman halkasının (ilmiğinin) kapanması denir (Erbudak ve Tuğluoğlu, 1976). 1.2.1.1. Geopotansiyel Yükseklik (C)
[ ]∫
∫ ∫
⋅=−=⋅−
⋅−=
⋅−=
P
PP
P P
CWWdhg
dhgdW
dhgdW
00
0 0
mkgal
Şekil 1.4 Geopotansiyel yükseklik
eşitliği ile tanımlanan CP sayısına P noktasının geopotansiyel yüksekliği (geopotansiyel sayısı) denilir. Burada, W0 geoidin, WP de yeryüzündeki bir P noktasının potansiyelini ifade etmektedir. Geopotansiyel yükseklik birimi kilogalmetre∗ olup aynı zamanda geopotansiyel birim (g.p.u) de kullanılmaktadır. C geopotansiyel sayı ve G ortalama gravite (ağırlık) yardımıyla yükseklik sistemleri,
GCH = (1.7)
genel formülü ile ifade edilmektedir. G yerine , , γγ0,g … gibi değerler verilerek
değişik yükseklik sistemleri tanımlanır. Noktaların ya da noktalardan geçen nivo
∗ Gal: özellikle kütle çekimi ölçümlerinde kullanılan ivme birimidir. 1 gal, hareket hızında saniye karede 1 cm değişikliğe eşittir (1 gal =1 cm·san-2). 1 kilogalmetre, 450 enlemindeki deniz seviyesinde 1 kg lık bir kütleyi 1 metre yüksekliğe kaldırmak için gerekli işdir.
Yükseklik Sistemleri
7
yüzeylerinin geoide göre durumlarını gösteren, geoit ile bu yüzeyler arasında kilogal·metre biriminde ifade edilen geopotansiyel yükseklikler, geometrik ya da pratik anlamda bir yükseklik olmayıp fiziksel anlamda büyüklüklerdir.
P noktasının geopotansiyel yüksekliği; P0 dan P ‘ye olan geçki üzerinde belirli aralıklı noktalar arasındaki geopotansiyel yükseklik farkları (∆Ci) nın toplamıyla elde edilir.
ii
K
iiP dhg∆C∆C ⋅== ∑
=iC ,
1 (1.8)
dhi, iki nokta arasındaki geometrik nivelman ile bulunan yükseklik farkı, ig söz
konusu iki yeryüzü noktası arasındaki ortalama gerçek gravitedir. Noktaların geopotansiyel yükseklikleri belirlendikten sonra istenen yükseklik sisteminde nokta yükseklikleri belirlenebilir. Ayrıca geometrik nivelman ölçülerine uygun düzeltmeler (ortometrik düzeltme, normal düzeltme, dinamik düzeltme) getirilerek; düzeltmeye karşılık gelen yükseklik sisteminde noktalar arasındaki yükseklik farkları doğrudan da elde edilebilir.
Nivo yüzeylerinden her biri, geopotansiyel yüksekliklerin bir tek sayısal değeriyle bellidir. Geoidin potansiyel yüksekliği sıfıra eşittir. C geopotansiyel kotların hesaplanması için dağlık yörelerde her 0,5-1 km de, engebeli yerlerde 1-2 km de ve düz yerlerde de her 3-5 km de bir g ağırlık ivmesi ölçülür (Erbudak ve Tuğluoğlu, 1976). Geopotansiyel yükseklikler, 1 kgal’e bölünürse metre biriminde sayısal değeri değişmeyen bir büyüklük elde edilir. Geopotansiyel yükseklikleri metre biriminde düşünmek onların fiziksel niteliğini değiştirmez. 1.2.1.2. Dinamik Yükseklik (HD)
Dinamik yükseklik, 0γ
CH = eşitliği ile tanımlanır. γ0, herhangi bir enlemdeki normal
ağırlık ivmesidir. Pratikte 45° enleminde deniz seviyesindeki ivme değeri olan
gal 6294980450 .=γ değeri kullanılır (Aydın, 1997).
0γCH = eşitliği yardımıyla A ve B
noktaları arasındaki H∆ yükseklik farkı,
dhgdhdhgdhgCCHB
A
B
A
B
A
B
AAB ∫ ∫∫ ∫
−+=+−=⋅=−=∆
0
000
000
)(11)(1γγ
γγγγγ
yazılır. Eşitliğin sağındaki ilk terim geometrik nivelmanla elde edilen yükseklik farkını, ikinci terim ise,
dhg
dhg
vB
A
B
AD ∫ ∑ −
≈−
=0
0
0
0
γγ
γγ (1.9)
Yükseklik Sistemleri
8
dinamik yükseklik düzeltmesini ifade eder. Aynı nivo yüzeyi üzerindeki noktaların dinamik yükseklikleri eşittir. Fiziksel boyutu olan geopotansiyel yükseklikler sabit bir sayı 45γ ile bölünerek metrik boyutu olan dinamik yükseklikler elde edilir. Dinamik
yüksekliklerin herhangi bir geometrik anlamı yoktur. Geometrik nivelman ölçülerine dinamik düzeltme getirilerek dinamik yükseklik farkları elde edilebilir. Ağırlık ivmesi*, ekvatordan kutuplara doğru 5 gal büyüklüğünde bir değişmeye uğradığından, yükseklik düzeltmeleri de büyük olabilir. Örneğin, ekvatorda 2000 metrelik yükseklik için,
m...
...E m m m 2652000
6294980580422000
62949806294980049978200045
0
450 −=⋅
−=⋅
−=⋅
−
γγγ
olur. Dinamik yükseklik düzeltmesi özellikle dağlık bölgelerde büyük değerlere ulaştığından, bu yükseklik sistemi uygulama açısından uygun değildir. 1.2.1.3. Ortometrik Yükseklik (H)
Şekil 1.5 Ortometrik yükseklik
Ortometrik yükseklik, Yeryüzündeki bir noktanın çekül eğrisi boyunca geoide olan
uzaklığıdır ve g ortalama ağırlık ivmesi olmak üzere, gCH = eşitliği ile ifade edilir.
Yeryüzündeki bir noktanın ortometrik yüksekliği doğrudan doğruya ölçülemez. Geoit üzerindeki bir A noktasından C noktasına yapılan nivelman sonunda elde edilen yükseklik farkı [∆h], nivelman yoluna ve dolayısıyla g yer çekimi ivmesine bağlıdır. Yine geoit üzerindeki diğer bir B noktasından C noktasına yapılan nivelman sonunda bulunan yükseklik farkı [∆h’] dır. Böylece C noktası için A dan ve B den farklı nivelman yükseklikleri bulunmuş olur. Nivo yüzeyleri birbirlerine paralel olmadıkları için C noktasının nivelmanla bulunan yükseklikleri [∆h] ve [∆h’], bu noktanın ortometrik yüksekliği olan H ‘ya eşit değildir.
* Normal ağırlık ivmesi, ekvatorda gal.γ 0499780
0 = ve kutupta gal 2213983900 .γ = dır.
Yükseklik Sistemleri
9
Yükselti (nivo) yüzeyleri paralel olmadıklarından aynı yükselti yüzeyi üzerindeki noktaların ortometrik yükseklikleri eşit değildir. Çekül eğrilerinin yeryüzü ile geoit arasında kalan noktalarında ağırlıkları ölçmek ya da g ortalama değerini ölçümle
belirlemek olanaksız olduğundan ortalama ağırlık ivmesi, çeşitli yollardan hesaplanabilir. Örneğin, Helmert’e göre;
[ ]km H.gg PP ⋅+= 04240 (1.10)
formülü ile hesaplanır (şekil 1.6). Burada gP, P yeryüzü noktasında ölçülen gravitedir.
Ortometrik Düzeltme (vo) : Ortometrik yükseklikler, geometrik nivelmanla bulunan yükseklik farklarına, bir düzeltme getirilerek bulunur. Deniz seviyesinden oldukça yüksek olan bölgelerde, kuzey-güney doğrultusunda bu düzeltmeler hissedilir derecede büyük değerlere ulaşabilir. Uygulamada ortometrik düzeltmelerin toplam nivelman boyu yerine, iki röper noktası arasındaki her parça için uygulanması uygundur. (Özgen, 1984).
Şekildeki A ve B noktaları arasında yapılan geometrik nivelman sonucunda elde
edilen ∑∆h toplamına getirilecek düzeltmeyi hesaplamak için ∫ = 0dh eşitliğinden
yararlanılır. Böylece,
∫∫∫∫ =⋅+⋅+⋅+⋅′
′
′
′ A
B
B
B
B
A
A
A
dhgdhgdhgdhg 0 (1.11)
denklemi elde edilir. Aynı yükselti yüzeyi üzerinde, ∫′
′
=⋅B
A
dhg 0 olduğundan,
00
00
0
00
0
00 =+−
−+−
++−
− ∫∫∫′′
dhgdhgdhg B
A
B
B
A
A γγγ
γγγ
γγγ
ya da
∫ ∑∫∫ =∆−−
−+−
+−−
−′′
B
A
B
AB
B
BA
A
A
hdhgHdhgHdhg0
0
0
0
0
0
0
γγ
γγ
γγ
elde edilir. Buradan,
Pg
P w=wP B
A
w=w0
h
2h A’ B’
w=w0
w=wP
AA gh , BB gh ,
Şekil 1.6 Ortometrik düzeltme
Yükseklik Sistemleri
10
BB
AA
B
A
B
AAB HgHgdhghHH
0
0
0
0
0
0
γγ
γγ
γγ −
−−
+−
+∆+= ∑∑
yazılarak,
BB
AA
B
AD H
γγg
Hγγg
dhγγg
v0
0
0
0
0
0 −−
−+
−= ∑ (1.12)
düzeltmesi elde edilir. (Erbudak ve Tuğluoğlu, 1976). Düzeltme miktarını hesaplayabilmek için önce, çekül eğrisi boyunca A noktasındaki Ag ve B
noktasındaki Bg ortalama ağırlık ivmesi, örneğin (1.10) ‘a göre hesaplanır.
Gerek geopotansiyel yükseklikler gerekse dinamik yükseklikler, hem düzeltmelerinin büyük olması hem de gerçek anlamda yükseklik ifade etmedikleri için teknik yükseklikler olarak kullanılmaya elverişli değillerdir. Ortometrik yüksekliklere getirilecek düzeltmeler de teknik nivelman sonuçlarının düzeltilmesini zorunlu kılacak kadar büyüktür. 1.2.2. Pratik Yükseklikler Teknik nivelman sonuçlarına düzeltme getirme zorunluluğunu ortadan kaldırmak amacıyla küçük düzeltmeli yükseklik sistemleri araştırılmış ve sonuçta pratik yüksekliklerin bir dizisi geliştirilmiştir. Araştırmalar, bu sistemlerin küçük ya da belli bir topografik yapıya uyan bölgelerde iyi sonuçlar verdiklerini, ama büyük ve dağlık ülkeler için uygun düşmediklerini göstermektedir.
Molodenski tarafından 1945 de tanımlanan normal yükseklikler, teori ve uygulamanın gereksinimlerini karşılayacak niteliktedir. Değişik yükseklik sistemlerini karşılaştırmak amacıyla bazı nivelman poligonlarında yapılan incelemelerde normal yüksekliklere ilişkin düzeltmeler, ötekilere oranla küçük çıkmaktadır. Şekil 1.7 de, çeşitli yükseklik sistemlerinin başlangıç yüzeyleri ve bu yüzeylere göre tanımlanan yükseklikler görülmektedir.
C : Geopotansiyel yükseklik H : Ortometrik yükseklik HN : Normal yükseklik HNO : Normal ortometrik yükseklik h : Elipsoidal yükseklik N : Geoit yüksekliği (N=h-H) ζ : Kuazigeoit yüksekliği (ζ=h-HN)
Şekil 1.7 Yükseklik sistemlerinin başlangıç yüzeyleri ve çeşitli yükseklikler
Yükseklik Sistemleri
11
1.2.2.1. Normal yükseklik (HN)
Yeryüzünün gerçek gravite alanının normal gravite alanı olduğu, yani W=U, g=γ, T=0 olduğu kabul edilsin. İşte bu varsayıma karşılık gelen ortometrik yüksekliklere normal
yükseklik adı verilir ve γCH N = eşitliği ile ifade edilir. γ , çekül eğrisi boyunca olan
ortalama gravitedir ve iteratif olarak aşağıdaki eşitlikten çözülür.
kMbam
])a
H(a
H)sinfmf([NN
⋅⋅=
+⋅⋅⋅−++−⋅=
2
22211
ω
φγγ (1.13)
Burada γ, aynı ϕ enleminde elipsoit üzerindeki normal gravite, ϕ jeodezik enlem, f basıklık, ω Yerin açısal dönme hızı, a ve b elipsoidin büyük ve küçük yarı eksenleri, kM Newton çekim sabiti ile yerin kitlesinin çarpımıdır (Demir ve Cingöz).
Elipsoit üzerinde ζ yükseklik anomalileri de çizilebilir. Bu yolla okyanuslar üzerinde geoitle özdeş olan bir yüzey elde edilir. Çünkü orada Nζ = olup diğer taraflarda da geoide çok yakındır. Bu yüzeye Molodenski tarafından kuazigeoit denmiştir. Normal yüksekliklerin başlangıç yüzeyi, okyanuslarda geoit ile çakışan, karalarda farklılık gösteren kuazigeoit (kogeoit) dir. Kuazigeoitte geoidin dış yüzeyindeki kütle ve bunun yerçekimi ivmesi üzerindeki etkisi dikkate alınmaz. Bununla beraber kuazigeoit bir nivo yüzeyi değildir ve hiçbir fiziksel anlamı da yoktur. Bu, geoide benzer bir yüzeye çağrışım yaptırır (Gürkan, 1984).
Normal potansiyel U basit bir analitik fonksiyon olduğundan bu formüller kolaylıkla değerlendirilebilir. Fiziksel yeryüzündeki bir P noktasının belirli bir WP gerçek potansiyeli ve belirli bir UP normal potansiyeli vardır. Genel anlamda WP ≠ UP dir; fakat P den geçen çekül eğrisi üzerinde UQ=WP olan belirli bir Q noktası vardır. Bir başka deyişle, Q daki U normal potansiyeli P deki W gerçek potansiyele eşittir. P nin HN normal yüksekliği, aynen P nin geoit yüzünden olan ortometrik yüksekliği gibi, Q nun elipsoit yüzünden olan geometrik yüksekliğinden başka bir şey değildir (Gürkan, 1984). Başlangıç elipsoidi ile kuazigeoit arasındaki uzaklık, yükseklik anomalisi (kuazigeoit yüksekliği) ζ=h-HN olarak tanımlanır. Yüksek dağlık yerlerde kuazigeoit ile geoit arasındaki fark (uzaklık) yaklaşık 2 m yi bulur (Möser u.a. 2000).
Elipsoitten HN yüksekliğinde olan noktalar, tellüroit adı verilen Yeryüzünün bir modelini oluştururlar. Şekil 1.8 den görüldüğü gibi P noktasının gerçek çekül eğrisi boyunca geoide olan uzaklığı ortometrik yükseklik, normal çekül eğrisi boyunca
Yükseklik Sistemleri
12
kuazigeoide olan uzaklığı ise normal yüksekliktir. Ortometrik yükseklikler yer yoğunluğu ile ilgili bazı varsayımlara dayanmasına karşın, normal yükseklikler için herhangi bir varsayım söz konusu olmayıp her iki yükseklik sistemi tam diferansiyel ve tek anlamlıdır.
Şekil 1.8 Ortometrik ve normal yükseklik
Dinamik ve ortometrik düzeltmeler gibi, ölçülen yükseklik farkları için de bir normal düzeltme vN vardır. g yerine γ ve H yerine HN konarak,
NB
BNA
AB
AN H
γγγ
Hγγγ
γγg
v ⋅−
−⋅−
+−
= ∑0
0
0
0
0
0 (1.14)
yazılabilir. Böylece,
NABNA
NB
NAB vh∆HHH∆ +=−= (1.15)
olur.
1.2.2.2. Normal Ortometrik Yükseklik (Sferoidik Ortometrik Yükseklik) (HNO)
Gerçek gravite değerinin bilinmediği durumlarda ig yerine ortalama normal gravite iγ
alınarak ∆Ci’ normal geopotansiyel yükseklik farkı elde edilmekte ve böylece normal geopotansiyel yükseklik (CP’) hesaplanmaktadır.
ii
K
i
ıi
ıP dhγ∆C∆C ⋅== ∑
=
ıiC ,
1 (1.16)
Yükseklik Sistemleri
13
Normal geopotansiyel yükseklikten normal ortometrik yükseklikler,
)γG
CHıPNO
2H(0.3086-G ,
NO⋅== (1.17)
eşitlikleriyle elde edilmektedir. Normal geopotansiyel yükseklikler, gerçek gravite alanına dayanmadığı için tam diferansiyel ve tek anlamlı değildir. Bunun anlamı, bir halkayı (lupu) oluşturan normal geopotansiyel yükseklik farklarının toplamı teorik olarak sıfır olmaz. Bu da bir yükseklik sisteminden beklenen temel özellikleri yansıtmamaktadır. Ölçülen geometrik yükseklik farklarına normal graviteden yararla normal ortometrik düzeltme getirilerek normal ortometrik yükseklik farkları elde edilebilmektedir. Normal ortometrik düzeltme (vNO);
φ∆]φcos)αβα([φsinαHv NO
NO 22122 ⋅⋅+⋅⋅= (1.18)
eşitliği ile hesaplanır. Burada NOH ortalama yükseklik α ve β bilinen katsayılar, φ iki
düşey kontrol noktasının ortalama enlemi, φ∆ ise aralarındaki enlem farkıdır.
Türkiye'de mevcut yükseklikler Normal Ortometrik Yükseklik Sistemi’nde olup ölçülen yükseklik farkları; yukarıdaki eşitlikte α=0.002644 ve β=0.000007 (Hayford Elipsoidi) alınarak hesaplanan normal ortometrik düzeltme ile normal ortometrik yükseklik farklarına dönüştürülmüştür (Demir ve Cingöz).
Normal ortometrik yükseklik, NN (“normal sıfır”) yüksekliği olarak da ifade edilir. Sıfır noktası olarak Ülkemizde Antalya Mareograf İstasyonundaki röper noktası alınmıştır. NN-başlangıç yüzeyi, bir elipsoit yüzeyidir. NN-yüzeyi, normal ağırlık ivmesinin etkisinin dikkate alındığı bir vNO normal ortometrik indirgemesiyle NN-yüksekliği belirlenerek elde edilir.
1.2.3. Elipsoidal Yükseklik (h)
Uygulamada, geometrik nivelman ve gravite ölçülerine dayalı olarak hesaplanan ortometrik yükseklikler kullanılır. GPS ölçüleri ile üç boyutlu geosentrik bir koordinat sisteminde seçilen başlangıç elipsoidine göre elipsoidal yükseklik h, belirlenmekte olup elipsoidal yükseklik ile ortometrik yükseklik arasında,
h = H + N (1.19)
ilişkisi bulunur. Burada, H ortometrik yükseklik, h elipsoidal yükseklik ve N geoit yüksekliği (geoit ondülasyonunu) olup geoit ile elipsoit arasındaki uzaklıktır. Ortometrik yükseklik ve elipsoidal yükseklik arasındaki ilişkiler Şekil 1.9’da görülmektedir.
Yükseklik Sistemleri
14
Şekil 1.9 Elipsoidal yükseklik ve ortometrik yükseklik
Elipsoidal yükseklikler, yerin çekim alanından tamamen bağımsızdır. Hâlihazırda komşu GPS noktaları arasındaki 4 ile 10 mm lik yükseklik inceliği, hassas nivelman noktalarının inceliğine yetişemez. Verilen elipsoide ilişkin GPS yükseklikleri ile ağırlık alanında nivelmanla belirlenmiş yüksekliklerin birlikte değerlendirilmesi için geoidin hassas bilgileri gereklidir. GPS gözlemlerinden türetilen ortometrik yükseklikler, elipsoidal ve geoit yükseklikleri arasındaki ilişkilerin hassasiyetine bağlıdır. Yükseklik belirlemesinin doğruluk istemlerine uygun yerel bir geoit kullanılırsa, mühendislik ölçmeleri için GPS yükseklikleri kullanılabilir. 1.3. Nivelman Ağları
Yükseklikleri nivelman yoluyla belirlenmiş noktaların oluşturduğu ağlara nivelman ağları denir. Nivelman ağları değişik incelikle belirlenmiş nivelman geçkilerinden meydana gelir. Nivelman geçkileri, inceliklerine göre çeşitli derecelere ayrılır. I. ve II. derece nivelman ölçmeleri, genellikle ülke nivelman ağlarında ve deformasyon ölçmeleri gibi araştırma işlerinde uygulanır. Diğer derecelerdeki nivelman ölçmeleri, yol inşaatı, su işleri, şehir haritalarının yapımı, yüzey nivelmanı gibi bütün teknik işlerde uygulanır. 1.3.1. Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı (TUDKA)
Türkiye’de Düşey Kontrol (Nivelman) Ağı ile ilgili çalışmalar 1935 yılında Antalya mareograf (deniz seviyesi ölçer) istasyonunun kurulması ile başlamıştır. Ana karayolları ve demiryolları boyunca 2.5–3 km de bir oluşturulan I. ve II. derece
Yükseklik Sistemleri
15
nivelman noktaları arasındaki ölçmeler, Akdeniz, Karadeniz ve Eğe Denizindeki mareograf istasyonlarına bağlı olarak gidiş-dönüş yapılmıştır. I. derece nivelman halkasının çevresi 650–1400 km ve bunların kapanma hataları 10–15 cm’dir. II. derece nivelman noktaları, I. derece geçkilerin aralarını doldurmak ve bunları birbirine bağlamak amacı ile yapılmıştır. III. Derece nivelman noktaları sıklaştırma amacı ile yapılmışlardır. Ölçmeler Wild N3 ve 1988 ‘den itibaren Zeiss Ni 002 nivoları ile invar miralar kullanılarak yapılmıştır. 1955 yılında İstanbul Boğazı’ndan (860 m) ve Çanakkale Boğazı’ndan (1450 m) vadi geçiş nivelmanı ile karşı tarafa geçilmiştir (Şerbetçi, 1995). 1965 yılında ülke nivelman ağı için dengeleme çalışmalarında, mareograf istasyonları arasında çıkan bazı farklılıklar nedeniyle, Ülkenin ortasındaki bir noktaya mareograf istasyonlarından yükseklik taşınarak bunların ortalaması, ülke nivelman ağının başlangıç kotu olarak seçilmiştir (Şerbetçi 1992). Ancak ayrı bölgelerden yükseklik verilen ortak noktalarda önemli farklar olduğu görülerek bu uygulamadan vazgeçilmiştir. Mareograf istasyonları arasındaki yükseklik farklarından dolayı ülke nivelman ağına, Doğu Akdeniz Bölgesi hariç, Antalya Mareograf İstasyonunun 1936–1958 yılları arasındaki 22 yıllık gözlemlerinin aritmetik ortalaması alınarak ortalama deniz seviyesine göre yükseklik değeri verilmiştir.
Dengeleme etütlerinde yerçekimi ölçülerinin önemi anlaşıldığından; I. ve II. derece noktalardan oluşan ülke temel nivelman ağının iyileştirilmesi ve uluslararası standartlara uygun duruma getirilmesi çalışmalarına hız verilmiş ve bu amaçla 1983 yılında eski mareograf istasyonları iptal edilerek bunların yerine başta Antalya, İzmir/Menteş, Bodrum ve Erdek’te olmak üzere yeni istasyonlar kurulmuştur. 158 tane I. derece ve 87 tane II. derece geometrik nivelman geçkisinin ilk faz ölçümleri 1970 yılına kadar yapılarak Düşey Kontrol Ağı tesis edilmiştir. Gravite ağı ile ilgili çalışmalar 1956 yılında başladığından 1970 yılına kadar düşey kontrol noktalarında gravite ölçülmemiştir. 1973 yılından itibaren ikinci faz geometrik nivelman ölçmeleri başlatılmıştır. Bu kapsamda günümüze kadar sürdürülen çalışmalarda daha önce tesis edilen geçki ölçümleri yenilenmiş, alt yapı nedeniyle tahrip olan geçkiler yerine yenileri, gerek duyulan yerlerde ise yeni geçkiler tesis edilmiş ve düşey kontrol noktalarında gravite ölçülmüştür. 1993 yılına kadar gerçekleştirilen ölçme çalışmaları ile 151 adet I. derece ve 39 adet II. derece geçki ölçümü yenilenmiş, 2 yeni II. derece geçki tesis edilerek ölçülmüştür. 1985–1992 yıllarında yapılan çalışmalarla, 1973–1991 yıllarında ölçümü yenilenen 151 adet I. derece ve 35 adet II. derece geçki ile 1970 yılından önce ölçülen 5 adet I. derece geçkinin, gravite değerleri ile birlikte ilk değerlendirmesi yapılarak Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı–1992 (TUDKA92) oluşturulmuştur. Ölçümü yenilenmemiş 52 II. derece geçki bu değerlendirmeye alınmamıştır (Demir ve Cingöz).
Yükseklik Sistemleri
16
TUDKA92 oluşturulurken dengeleme sonrası yapılan istatistik analizde, uyuşumsuz olduğu saptanan üç adet geçki değerlendirme dışı bırakılmıştır. Sonraki yıllarda, uyuşumsuz bulunan üç geçkiden iki tanesi (biri tamamen, diğerinin bir bölümü) ölçülmüştür. Ayrıca 1993 yılında dört eski ve iki yeni olmak üzere altı adet II. derece geçki ölçümü yapılmıştır. Diğer taraftan daha önce değerlendirme dışı bırakılan 52 adet II. derece geçkiden 44 ‘ünün ağa bağlantısı gerçekleştirilmiş ve bu geçkilerdeki noktaların tamamında gravite değerleri prediksiyonla kestirilmiştir. Ağa bağlantısı sağlanamayan diğer 8 adet eski II. derece geçki değerlendirme dışı tutulmuştur. Daha sonra tüm geçkilerdeki noktaların koordinatları (enlem ve boylam) 1/25000 ölçekli haritalardan sayısallaştırılarak elde edilmiş ve mevcut tüm veriler (gravite, enlem, boylam, geometrik yükseklik farkı, uzaklık) kontrol edilmiştir. Yukarıda sözü edilen kontrol işlemleri tamamlandıktan sonra, yapılan ek ölçülerin de katılımı ile TUDKA dengelemesi yeniden yapılarak, TUDKA99 oluşturulmuştur. Bu değerlendirmeye 1970 yılından sonra ölçülen 151 adet I. derece ve 41 adet II. derece ile 1970 yılından önce ölçülen 7 adet I. derece ve 44 adet II. derece geçki olmak üzere toplam 243 adet I. ve II. derece geçki dahil edilmiştir. TUDKA99 toplam 29316 km uzunluğunda, 243 geçki ve 25680 noktadan oluşan ağın dengelenmesiyle oluşturulmuştur.
Şekil 1.10 Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı-1999 (TUDKA-99)
TUDKA99 için düşey datum Antalya mareograf istasyonunda 1936–1971 yıllarında elde edilen anlık deniz seviyesi ölçülerinin ortalamasıyla belirlenmiştir. Dengelemede ölçü olarak geopotansiyel yükseklikler alınmış ve tüm noktalarda geopotansiyel yükseklik, Helmert ortometrik yüksekliği ve
Yükseklik Sistemleri
17
Molodenski normal yüksekliği hesaplanmıştır. Geopotansiyel yükseklik hesabında, düzenlenmiş Potsdam datumundaki gravite değerleri kullanılmıştır. Dengeleme sonucunda datuma bağlı nokta yüksekliklerinin duyarlılıkları 0.3 cm ile 9 cm arasında bulunmuştur. TUDKA99’un sıklaştırılması amacıyla, TUDKA99'un I. ve II. derece noktalarına dayalı III. derece nivelman ağı (Ana Nivelman Ağı=ANA) oluşturulur. TUDKA99 noktaları geçki kontrolü yapılarak kullanılır. TUDKA99 noktalarına dayalı olarak daha önceden oluşturulan ağlardaki yüksek dereceli noktaları, dayanak noktası olarak almak için ilgili idarenin onayı alınır. Sıklaştırma alanında TUDKA99'un I. veya II. derece noktaları yoksa bu ağa bağlantıyı sağlayacak ‘bağlantı nivelmanı’ yapılır. Bağlantı nivelmanı, hassas geometrik nivelman veya GPS nivelmanı yöntemiyle yapılabilir. 1.3.2. Nivelman Ağlarının Derecelendirilmesi 15 Temmuz 2005’te Bakanlar Kurulu’nca onaylanarak yürürlüğe giren “Büyük Ölçekli Harita ve Harita Bilgileri Üretim Yönetmeliği”ne göre Türkiye Ulusal Düşey Kontrol (Nivelman) Ağı ve bu ağa dayalı olarak oluşturulan düşey kontrol ağlarının derecelendirilmesi aşağıdaki gibidir:
I. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: Ülke Nivelman Ağı ve Noktaları II. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: Ülke Nivelman Ağı ve Noktaları III. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: En çok 40 km uzunluğundaki luplarla üst dereceli ağlara dayalı sıklaştırma ağları ve noktaları. Ana Nivelman Ağı IV. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: I., II. ve III. Derece noktalara dayalı en çok 10 km uzunluğundaki luplarla (halkalarla) sıklaştırma ağı ve noktaları. Ara Nivelman Ağı V. Derece Nivelman Ağı ve Noktaları: Poligon ve tamamlayıcı nivelman ağı ve noktaları
Ana nivelman ağı, proje alanını kapsayacak şekilde, çevresi 40 km’yi aşmayan luplar biçiminde düzenlenir. Nivelman geçkileri hassas geometrik nivelman yapılabilecek yollar üzerindeki C3 ve daha yüksek dereceli noktalar ve poligon noktaları ile bölgede önceden tesis edilen nivelman ağlarının yüksek dereceli noktalarını içerecek şekilde seçilir. Geçki üzerindeki nokta sıklığı en çok 1.5 km olmalıdır. Seçimi yapılan noktalar için bir seçim kanavası düzenlenir. Seçim kanavası onaylandıktan sonra, yeni noktalar tesis edilir ve röperlenir. Ara nivelman ağı, başı ve sonu ana nivelman ağı noktalarına bağlı toplam uzunluğu 10 km'yi geçmeyen nivelman geçkileri veya en az iki ana nivelman noktasını içeren
Yükseklik Sistemleri
18
ve toplam uzunluğu 10 km’yi geçmeyen luplar biçiminde plânlanır. Geçki üzerindeki nokta sıklığı 750 m -1000 m olmalıdır. Seçimi yapılan ana nivelman noktaları, seçim kanavasında gösterilir. Yardımcı nivelman noktaları, Proje alanı içinde, her dereceden nivelman noktalarının yoğunluğu yerleşim bölgelerinde ortalama 400–500 m aralıklarla ve diğer bölgelerde ortalama 700–800 m aralıklarla olmalıdır. Bu yoğunluğu yeterince sağlamak için yardımcı nivelman noktaları (RS) tesis edilir. Bu noktalar seçim kanavasında gösterilir. Proje alanındaki yatay koordinatları hassas olarak belirlenmemiş nivelman noktalarının koordinatları ± 15 cm doğrulukta belirlenir. 1.3.3. Nivelman Kapanma Hataları Nivelman kapanma hataları, bağlantı nivelmanı, ana ve ara nivelman ağındaki yükseklik farklarının belirlenmesinde, gidiş-dönüş nivelmanı yapılır ve gidiş-dönüş nivelmanıyla yükseklik farkının ± 1.5 mm/km veya daha iyi duyarlıkla belirleyebilen nivo ve miralar kullanılır. Yardımcı nivelman noktalarının yükseklikleri, ana ve ara nivelman noktalarına bağlı nivelman geçkilerinde gidiş-dönüş nivelmanı ile olabildiğince poligon noktalarından geçilerek belirlenir. Bu nivelmanda, gidiş-dönüş nivelmanıyla yükseklik farkını ± 2.5 mm/km veya daha iyi doğrulukla belirleyebilen nivo ve miralar kullanılır. Nivelman yolunun uzunluğu bağlantı noktaları arasındaki geometrik uzunluğun 2 katını geçemez.
Gidiş – dönüş nivelmanında bulunan kapanma değeri (w),
Ana ve bağlantı nivelmanında : w[ mm ] ≤ 12 S [km]
Ara nivelmanda : w[ mm ] ≤ 15 S [km]
Yardımcı nivelmanda : w [mm ] ≤ 20 S [km] + 0.0002 ∆H
olmalıdır. Burada S, km biriminde nivelman yolunun uzunluğu, ∆H iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır. Nivelman yolu üzerindeki ardışık noktalar arasında bu kontrol yapılır. Gidiş–dönüş yükseklik farklarının ortalamalarından hesaplanan lup kapanmaları (wL),
Ana nivelmanda : [ ] [ ]kmL L15wmm
≤
Yükseklik Sistemleri
19
Ara nivelmanda : [ ] [ ]kmL L18wmm
≤
olmalıdır. Burada L, km biriminde nivelman lup uzunluğudur.
1.3.4. Nivelman Ölçülerinin Değerlendirilmesi
Ana, ara ve yardımcı nivelman ağı, ayrı ayrı veya birlikte uygun ağırlıklandırma ile gidiş-dönüş yükseklik ortalamaları ölçü ve bir nokta değişmez alınarak, zorlamasız veya serbest dengelenir ve uygun testlerle uyuşumsuz ölçüler ayıklanır. İstatistik güven düzeyi 1-α=0.95 alınmalıdır. Ağda uyuşumsuz ölçü kalmayıncaya kadar dengeleme, uyuşumsuz ölçü testi ve ölçü tekrarına devam edilir. TUDKA99 noktalarının, oluşturulan nivelman ağı ile uyuşumlu olup olmadığı test edilir ve uyuşumlu TUDKA99 noktalarının yükseklikleri değişmez alınarak, topluca veya ana, ara ve yardımcı nivelman ağları ayrı ayrı dengeleme ile bu ağlardaki noktaların Helmert ortometrik yükseklikleri hesaplanır. İstatistik güven düzeyi 1-α=0.95 alınmalıdır.
Geometrik Nivelman
20
2. BÖLÜM
GEOMETRİK NİVELMAN Geometrik nivelmanda∗ noktalar arasındaki yükseklik farkları, bu noktaların yatay bir düzleme olan düşey uzaklıkları ölçülerek, bunların farkı alınmak suretiyle bulunur (Bakınız Şekil 1.1). Noktaların yatay düzlemden düşey doğrultudaki uzaklıklarını ölçmek için, noktalar üzerine düşey olarak mira tutulur ve nivelman düzleminin bu miraları kestiği yerde mira okumaları yapılır.
Nivelmanla noktalar arasındaki yükseklik farkları ölçülür. Ölçülen yükseklik farkları, yüksekliği önceden belli olan noktaların yüksekliklerine eklenerek yeni noktaların yükseklikleri bulunur. Yöntemine uygun olarak tesis edilmiş, yapılan ölçme ve hesaplamalarla, yükseklikleri belirlenmiş olan noktalara nivelman noktası denilir.
2.1. Nivolar
Nivelman aletlerinin esası, yatay bir gözlem düzlemini gerçekleştirecek bir düzenden ibarettir. Geometrik nivelmanda yatay bir gözlem düzlemi oluşturmak amacıyla genellikle nivo; noktaların yatay gözlem düzleminden olan uzaklığını ölçmek için de mira kullanılır. Nivoda yataylığı sağlamak için düzeç ve miradaki okumaları kolaylaştırmak için de dürbün kullanılır. Aleti istenilen yöne çevirmeye yarayan bir düşey ekseni ve yataylanması için de üçayak ile donatılmıştır. Nivolarda yatay düzlem, dürbünün optik ekseninin yataylanması ile sağlanır. Bir de aleti taşımaya yarayan sehpası vardır.
∗ Uygulamada “geometrik nivelman” yerine kısaca “nivelman” kavramı da kullanılmaktadır.
Geometrik Nivelman
21
Nivolar alt ve üst yapı olmak üzere iki kısımdan oluşur. Alt yapıda düşey eksen ile üçayak bulunur. Ayrıca yatay az hareket ve yatay genel hareket vidaları vardır. Bazı nivolarda yatay hareket sürtünme esasına göre olduğundan yatay genel hareket vidaları yoktur. Üst yapı ise dürbün ve silindirsel (boru) düzeçten oluşur. Dürbün:
Basit bir dürbünün şematik kesiti Şekil 2.1 de görülmektedir. 1 objektifine giren ışınlar, görüntü düzleminde miranın ters bir görüntüsünü verir. Görüntü 4 oküleri yardımıyla önemli ölçüde büyütülür. Aynı görüntü düzleminde bir cam plaka üzerine kazınmış gözlem çizgileri vardır (Şekil 2.2). Dürbün oküleri, gözlem çizgileri net ve keskin görününceye kadar hareket ettirilir. Yatay ve düşey çizgilerin kesim noktası ile objektif merkezi dürbünün gözlem doğrultusunu oluşturur. Bazı nivolarda ters görüntüyü düz görüntü haline getirmek için 2 ile 3 arasına bir prizma sistemi yerleştirilir.
Mira üzerinde yapılacak okuma ve tahmin etme inceliği, dürbünün büyütme gücüne bağlıdır. Nivelman miraları genellikle santimetre bölümlü olduklarından milimetre bölümlerinin tahmin edilmesi gerekir. Bir A dürbünü, B dürbününün iki katı büyütüyorsa, A dürbünü ile milimetreler iki kat daha incelikli tahmin edilir. Bir dürbünün büyütmesi yaklaşık olarak objektif ve oküler odak uzaklıklarının oranına eşittir.
a) Normal nivolarda b) Hassas nivolarda (kama şeklinde)
Şekil 2.2 Nivolarda kullanılan gözlem çizgileri
Oküler
1
Şekil 2.1 Basit bir dürbünün şematik kesiti
2 3 4
Objektif Görüntü netleştirme merceği Gözlem çizgileri
Geometrik Nivelman
22
Düzeçler: Nivoların kaba yataylanmasında küresel düzeç, hassas yataylanmasında da silindirsel (boru) düzeç kullanılır. Bir nivonun inceliği, silindirsel düzecin duyarlığı ve dürbünün büyütme gücüne bağlıdır. Düzeç duyarlığı ise silindirsel düzecin eğrilik yarıçapına bağlıdır. Şekilde değişik eğrilik yarıçaplı iki düzeç görülmektedir. Her iki düzecin bir uçlarının yataydan α miktarı kadar kaldırılması durumunda A düzecinin kabarcığı, eğrilik yarıçapının B den büyük olması nedeniyle, B düzecinin kabarcığından daha fazla miktarda hareket eder. Bu şekilde kabarcığın ortadan ayrılması daha iyi saptanır.
Şekil 2.3 Düzeç duyarlığı
Nivelman aletlerinde düzeç duyarlıkları, kabarcığın 2 milimetrelik bölümü kadar yer değiştirmesine karşılık olan açı büyüklüğü ile verilmektedir. Çakıştırma prizma sistemli düzeçler, bir koruyucu içinde olup dış etkenlerden ve güneş ışınlarından korunmaktadır.
Açık bir skalada düzeç kabarcığının ortalanma inceliği mm0.4 5mm2
=
Çakıştırma prizma sisteminde, kabarcığının ortalanma inceliği mm 0.05 mm =
402 dir.
Şekil 2.4 Düzeç kabarcığının ortalanması
Kabarcığı ortalanmış açık skalalı düzeç
Ayarlanmamış Ayarlanmış
Düzeç kabarcığının prizma ile yansıtılması (çakıştırma prizma sistemli)
αα2R
α
α
A
B
A
2a a
R
Geometrik Nivelman
23
Nivoların Kurulması ve Düzeçlenmesi:
Işınsal (kutupsal) nivelman işlemi dışında nivoların belirli bir nokta üzerine merkezlendirilerek kurulması zorunluluğu olmadığından, nivolar kurulurken genellikle nokta üzerine merkezlendirme işlemi yapılmaz. Öncelikle nivoyu kullanan kişi (operatör), alet sehpasını boyuna göre açar ve sehpa tablası yaklaşık yatay olacak şekilde sehpayı kurar. Nivo kutusundan çıkartılır ve sehpanın üzerine yerleştirilerek alttan sehpaya vidalanır. Sehpa ayaklarına el ile (ayakla değil) bastırılarak sehpanın zemine iyice yerleşmesi sağlanır. Her iki yöndeki hareket alanını geniş tutabilmek için, düzeç ayak vidalarının yaklaşık olarak ortada olmasına dikkat edilir (düzeç ayak vidalarının bazıları çok aşağıda, bazıları da çok yukarıda olmamalıdır). Küresel düzeç, sehpa ayaklarıyla yaklaşık olarak; düzeç ayak vidalarıyla da tam olarak ortalanır. Silindirsel düzeç, önce iki düzeç ayağına paralel hale getirilir ve düzeç ayaklarının ikisi de içe veya dışa çevrilerek kabarcık ortalanır. Düzeç 90o döndürülerek kullanılmayan üçüncü ayak vidası ile kabarcık yine ortalanır. Kontrol amacıyla işlem tekrarlanır. Düzeçleme işlemi tamamlandıktan sonra, düzeç hatası yoksa alet ne tarafa çevrilirse çevrilsin kabarcık ortada kalır. Düzecin hatalı olup olmadığı düzeç kontrolüyle belirlenir. Düzeç Kontrolü:
Nivo kurulup düzeçlendikten sonra silindirsel düzeç, iki düzeç ayağına paralel hale getirilir. Düzeç kabarcığı tam ortada olmalıdır. Düzeç 200g döndürülür; kabarcık ortada ise düzeçte hata yoktur; kabarcık ortadan kaymışsa, kayma miktarı hatanın iki katıdır. Bu kayma miktarının yarısı düzeç ayak vidaları yardımıyla, diğer yarısı da düzeç ayar vidası yardımıyla giderilir. Kontrol için işlem yinelenir.
Küresel düzeç Silindirsel düzeç
Şekil 2.5 Düzeçler ve düzeç hatasının giderilmesi
2.1.1 İncelikleri Yönünden Nivelman Aletleri
Nivelman aletleri, sağladıkları incelik bakımından birbirlerinden farklıdırlar. Bu nedenle belirli işlerde istenilen inceliği sağlayacak olan çeşitli aletlere ihtiyaç duyulur. Nivelmanda incelik, 1 kilometrelik nivelman yolunda gidiş-dönüş ölçü farklarından
Ayar vidası
1.Durum 2.Durum
Yataylanmış düzeç Ayarlanmış düzeç
Geometrik Nivelman
24
hesaplanan standart sapma (karesel ortalama hata) ile ifade edilmektedir. Nivelmanda incelik aşağıdaki koşullara bağlıdır (Möser, Müler, Schlemmer, Verner, 2000):
• Alet ve sehpasına, • Mira bölümlendirmelerinin doğruluğuna ve mira altlığına, • Ölçme yöntemi ve ölçme sürecindeki sistematik hataların elimine edilmesine, • Çevre koşullarına (atmosferik, aydınlık, yeraltı).
Nivelman aletleri incelik yönünden 4 grupta ele alınabilir.
2.1.1.1 Düşük İncelikli Nivolar (İnşaat Nivoları)
Bu nivolar genel olarak inşaat alanlarında, inşaat noktalarına kot verilmesinde, kısa bağlantı nivelmanında, basit enine ve boyuna kesit çıkarma işlerinde kullanılır. İnceliği ±10–20 mm, dürbün büyütmeleri 15–20 ve düzeç duyarlıkları 30”-60” dir. Yüzey nivelmanında kullanılabilmeleri için yatay açı bölüm daireleri vardır.
2.1.1.2 Orta İncelikli Nivolar
Bu tür nivelman aletleri de genel olarak inşaat işleri ve yakın yerler arasında yeni nivelman noktalarının tesisi işlerinde kullanılır. Dürbün büyütmeleri 20-25, düzeç duyarlıkları 20”-30”, düzecin yataylama hatası 1”-3”, inceliği 5-10 mm arasındadır.
2.1.1.3 Yüksek İncelikli Nivolar
Bu tür nivolar, III. Derece nivelman ölçümlerinde, yüzey nivelmanında, hacim hesapları için yapılan enine ve boyuna kesitlerin çıkarılmasında kullanılır. İnceliği ±1–2 mm, dürbün büyütmeleri 25-30 ve düzeç duyarlıkları 10”-30” arasındadır. Düzeçleri genellikle çakıştırma prizma sistemlidir. Kompensatörlü nivolarda küresel düzeç duyarlığı 10’ civarındadır. Kompensatörün ortalama yataylama hatası ±0,5” kadardır. Bu gruptaki nivolar, eğim vidalı, kompensatörlü veya elektronik (sayısal) olabilir. Uygulamada, genellikle kompensatörlü ve elektronik nivolar kullanılır. Eğim vidalı nivoların kullanımı ise oldukça azalmıştır.
2.1.1.4 Çok Yüksek incelikli Nivolar
Bu aletler I.ve II. derece nivelman ağlarının ölçümünde, köprü, baraj, vb. yapılardaki deformasyon ölçmelerinde kullanılır. İnceliği ≤0.5 mm, dürbün büyütmeleri 35–50 ve düzeç duyarlıkları 5”-10” arasındadır. Düzeçleri, çakıştırma prizma sistemli olup görüntüleri, genellikle okülere yansıtılır. Bu tip aletlerde yatay açı bölüm dairesi yoktur. Ölçmelerde çift bölümlü ve payandalı invar miralar kullanılır. Gözlem çizgileri kama şeklindedir. Düzlem paralel camlı mikrometre düzenleri vardır. Kompensatörlü olanlarda Kompensatörün hassasiyeti 0.2” dir.
Geometrik Nivelman
25
2.1.2. Yapıları Bakımından Nivelman Aletleri Nivelman aletleri, yatay bir ölçme düzlemi oluşturmak için geliştirilmiş aletlerdir. Bu yatay düzlem, her tarafa dönebilen dürbünün yatay duruma getirilmiş optik ekseni (gözlem ekseni) yardımıyla sağlanır. Dürbünün her yöne döndürülebilmesi bir düşey eksen yardımıyla, optik eksenin yatay duruma getirilmesi ise bir silindirsel düzeç yardımıyla ya da kompensatör sistemiyle olmaktadır. Günümüzde kullanılan nivolar, yapıları ve çalışma sistemleri açısından 4 grupta ele alınabilir*:
1. Eğim vidalı nivolar 2. Kompensatörlü (otomatik) nivolar 3. Sayısal (elektronik sayısal) nivolar 4. Lazer nivoları
2.1.2.1. Eğim Vidalı Nivolar
Şekil 2.6 Eğim vidalı nivo
Eğim vidalı nivolarda dürbün, bir eğim vidası yardımıyla bir miktar aşağı-yukarı hareket ettirilebilir. Aletin gözlem ekseni (NN), düzeç ekseni (DD), düşey ekseni (VV) ve küresel düzeç ekseni (KK) olmak üzere dört ekseni vardır. Silindirsel düzeç dürbünün yan tarafında olup, güneş ışınlarına karşı korunmalıdır. Düzeçler optik çakıştırmalı olup, görüntü oküler yanındaki büyütece yansıtılmıştır. Ölçüme başlamadan önce, alet küresel düzeç yardımıyla kabaca yataylanır. Her mira okumasından önce silindirsel düzecin kabarcığı eğim vidası yardımıyla ortalanır.
* Günümüzde artık pek kullanılmayan sabit dürbünlü nivolarla, tersinir nivolar gruplandırmaya dahil
edilmemiştir.
Geometrik Nivelman
26
2.1.2.2. Kompensatörlü (Otomatik) Nivolar Kompensatörlü nivoların dürbünlerinde gözlem doğrultusunu otomatik olarak yatay duruma getiren düzenler bulunmaktadır. Bu aletlerde gözlem ekseninin otomatik olarak yataylanmasını sağlayan düzen; düzeç ve kompensatör sisteminden oluşmaktadır. Küresel düzeç değişik tip aletlerde 8’-15’ arasında bir yataylama inceliğine sahipse kompensatör otomatik olarak faaliyete geçer. Kompensatör yatay doğrultuyu sağlayan mekanik bir düzendir. Zeiss Ni 2 de kompensatör, sarkaç, prizma, salınım yapan bir ayna ve bir optik kamadan oluşur.
Şekil 2.7 Kompensatörün çalışma ilkesi
Gözlem ekseni yataylanmış bir dürbünün, gözlem ekseninin uzantısı üzerinde bulunan bir noktadan gelen hedef ışınları, objektifin arka odak noktasında kesişirler. Doğru bir ayarlama yapıldığında gözlem çizgilerinin kesişme noktası, odak noktası ile çakışır. Eğer dürbün α kadar yukarı doğru eğikse, görüntü yine odak noktasında fakat αfs ⋅= kadar yukarıda oluşur. Görüntü noktası, gözlem çizgilerinin kesişme noktasından yukarıdadır. Görüntüyü gözlem çizgilerinin kesişme noktasına indirmek için, noktadan gelen ışınlar odak noktasının önünde a uzaklıkta bulunan K noktasındaki ayna veya prizma sistemi ile βaαf ⋅=⋅ olacak şekilde β açısı kadar
saptırılırlar. Zeiss Ni 2 de otomatik yataylamayı sağlayan kompensatör üç prizmadan oluşur. Kompensatörün iki kenar prizması sabit, ortadaki prizma ise hareketlidir. Orta prizma 4 tel ile dürbünün tavanına asılı olup, cisim yönünden gelen ışınları dürbünün eğik durumunda daima, gözlem çizgilerinin kesişme noktasına saptırır. Kompensatör (dolayısıyla kırılma noktası) gözlem çizgilerine yaklaştırılarak α ile β arasında istenilen oran sağlanabilir.
Kompensatörlü nivolarda küresel düzeç kabarcığı ortalanınca kompensatör çalışır duruma gelir. İlk kompensatörlü nivo, 1950 yılında Carl-Zeiss Oberkochen firması tarafından üretilen Ni2 dir. Kompensatör olarak eklemli dörtgen kullanılmıştır. Kompensatörlü nivolarda çeşitli türde Kompensatör sistemleri kullanılmaktadır.
Geometrik Nivelman
27
Şekil 2.8 Zeiss Ni2 nivosu ve kompensatörü
Kompensatörlü Nivolarda Ufuk Hatası
Şekil 2.9 Kompensatörlü nivolarda ufuk hatası
Özellikle mekanik olarak çalışan kompensatörlerde, gözlem ekseninin yataylanmasında küçük hata kalıntıları varsa buna gözlem ekseninin ufuk hatası denir. Kompensatörlü bir nivoda ufuk hatası kompensatörün tipine, düşey eksenin eğimine ve objektif optik merkezinin düşey eksene olan uzaklığına bağlıdır. Eğer düşey eksen tam düşey durumda değilse, eğiklik derecesine göre gözlem ekseni tam yataylanamaz. Dürbün yataya göre α kadar eğikse, Kompensatör gözlem eksenini yataya göre α’ kadar yaklaştırır ve yatayla arada α-α’ kadar bir fark kalır. Dürbün, yukarı doğru eğikken bu fark da yukarı doğrudur; aşağıya doğru eğikse aynı fark aşağıya doğrudur. 5’ lık bir yataylama hatası, objektif optik merkezi ile düşey eksen arasındaki uzaklık 15 cm ise yükseklikte 0.4 mm kadar hata meydana getirebilir. Bu hata ileri ve geri okumalar farkı alınarak giderilemez.
Düş
ey
ekse
n
Düş
ey
ekse
n
α’ α
α α’
Geometrik Nivelman
28
2.1.2.3. Sayısal (Elektronik Sayısal) Nivolar İlk sayısal nivo olan WILD NA2000, 1990 yılında Leica Firması tarafından üretilmiştir. Bu aletle, özel olarak yapılmış barkodlu bir miranın görüntüsü, sayısal görüntü işleme ve korelasyon yöntemine göre değerlendirilmektedir. Burada insan gözünün görevini, sıralı dedektörler üstlenmişti (Uzel, Gülal 1997). Sayısal nivo ile yapılan nivelman, verileri işleyen ve depolayan programlar ve kontrol hesaplamaları ile desteklenmiştir.
Video
Sinyali
Şekil 2.10 Sayısal nivoların çalışma ilkesi
Sayısal nivoların yapısı, bir sayısal kamera ile bir Kompensatörlü nivonun kombinasyonu ilkesine dayanır. Sayısal nivolar, optik ve mekanik yapı elemanları bakımından normal nivolara benzer ve klasik optik nivo olarak da kullanılabilir. Sayısal nivo ile yükseklik ölçümlerinin yanı sıra, 1-2 cm incelikle mira ile nivo arasındaki uzunluklar da ölçülebilmektedir. Sayısal nivoların elektronik olarak çalışma ilkesi şekil 2.10 ‘da görülmektedir. Miranın üzerinde bulunan barkod çizgilerinin görüntüsü, bir sıralı dedektör (CCD kamera) üzerine yansır. 25 µm aralıklarla düzenlenmiş 256 ışık alıcılı fotodiyoddan oluşan sıralı dedektör, miranın üzerinde bulunan barkod çizgilerinin görüntüsünü analog bir video sinyaline dönüştürür. Bir elektronik okuyucu, bu video sinyalini güçlendirerek A/S (Analog/Sayısal) dönüştürücüsüne iletir. Ölçü verilerinin değerlendirilmesi, mikro işlemcide yapılır. Mira değerleri, elektro optik olarak üretilen miranın sayısal ölçü sinyaliyle referans sinyalinin korelasyon yöntemine göre karşılaştırılmasıyla elde edilir. Referans sinyali, ölçü sinyali ile aynı kurallara göre üretilir ve aletin görüntü işleme kısmında saklanır. Bu karşılaştırmayla, miradan elde edilen sinyalin miranın başlangıç noktasından ne kadar kaydığı saptanır (Uzel, Gülal, 1997).
Nivo optiğinin açılım açısı, üretici firma verilerine göre 2o dir. Buna göre nivo ile alet arasındaki uzaklığa bağlı olarak farklı büyüklükteki mira kesitinin görüntüsü, dedektörler üzerine yansır. Sinyalin bar kodlu mira üzerinde taradığı bölge, alet ile
Netleştirme Konumu
Barkod Görüntüsü
Netleştirme Çözümü
Kompensatör Kontrolü
Sıralı Dedektör
Elektronik Okuyucu
Akü 500 mAh
Kayıt Birimi
Mikro İşlemci
Ekran
A S
Klavye
Geometrik Nivelman
29
mira arasındaki uzaklığın bir fonksiyonu olduğundan, yüksekliklerin belirlenmesinde, ek olarak bu bilgiye de gereksinim duyulur. Miraya olan uzaklık, netleştirme
merceğinin konumuna göre yaklaşık olarak elde edilebilir. Bu uzaklık, skd =
bağıntısı ile mikro işlemci tarafından hesaplanır. Burada, d netleştirme uzaklığı, k optik sabiti ve s netleştirme merceğinin durumunu gösterir. Bu uzaklık değeri, yükseklik ile birlikte ekranda sayısal olarak gösterilir veya kaydedici üniteye aktarılır (Uzel, Gülal, 1997).
Şekil 2.11 Dürbünün görüş alanı ve mira görüntüsü sınırları
Sayısal nivoların geliştirilmesiyle ona uygun barkodlu miralar da üretilmiştir. Wild NA 3000 için önerilen miralar, GPCL3 mira tipidir. Bu miralar, 3.05 m boyunda, alüminyumdan yapılmış ve ortasından invar şerit geçen miralardır. İnvar şeridin genleşme katsayısı, 1 ppm/oC den küçüktür ve invar şeridin üzerine 5 cm eninde bar kod çizgileri işaretlenmiştir. Başka bir mira tipi ise, 1.35 m lik 3 parçadan oluşan GKLN4 tipi mika cinsi malzemeden yapılan miradır. Bunun genleşme katsayısı 10 ppm/oC den küçüktür. Bu tip miralar, daha az duyarlılıkla çalışan NA 2000 sayısal nivoları ile birlikte kullanılır. Barkodlu miraların arka yüzü, normal nivelmanda kullanılabilmeleri için, metrik birimde bölümlendirilmiştir.
Sayısal nivolarda ölçme işlemi, aletin ölçüye hazır hale getirilmesinden sonra yaklaşık olarak 4 saniye süren 4 aşamadan oluşmaktadır. İlk aşamada miradan gelen sinyal, dedektör tarafından okunur ve kaydedilir. İkinci aşama olan kaba optimizasyonda, hedef yüksekliği ve yansıma ölçeği yaklaşık olarak belirlenir. İnce optimizasyon olan üçüncü aşamada mirada okunanın kesin değeri ve miraya olan uzaklık hesaplanır. Son aşamada ise elde edilen bu değerler ekranda gösterilerek kayıt birimi üzerine kaydedilir. Kayıt birimine kaydedilen bu ölçüler, daha sonraki değerlendirme işlemlerinde kullanılmak üzere bilgisayara aktarılabilir. Böylece arazide ölçümlerin yapılması, ölçülerin bilgisayara aktarılması, değerlendirilmesi ve
100 m
2° 63 mm 3500 mm
0 1.8
MiraMira
Dedektör
Geometrik Nivelman
30
arşivlenmesine kadar uzanan bir otomasyon ağı kurulur. Sayısal nivolarda ölçme sonuçlarını etkileyen faktörler:
• Yöneltme ve netleştirme doğruluğu • Atmosferik değişim, titreşim ve mira bölümlerinin etkisi • Aydınlatma • Gölgeleme, Miranın örtülmesi
olarak sıralanır. Sayısal nivolarla ölçüm yapabilmek için miranın %30 da fazlasının kapalı olmaması gerekir. 2.1.2.4. Lazer Nivoları
Klasik jeodezik yöntemlere pasif gözlem ışınları egemendir. Yani gözlemci, hedefi dürbünün gözlem çizgileriyle çakıştırır. Lazer tekniği ile aktif hedef ışınlarının yararları ortaya çıkar. Özellikle üretim akışı içinde, yerinde doğrudan doğruya ölçmeyi sağlar. Mühendislik ölçmelerinde lazer ışınlarının yönlendirilmesi çok önemlidir. Görülebilir lazer ışınları bir doğrultu boyunca yayılır ve bunlar uygulamada nivelman için uygundur. Düşey yönlendirmede lazer çeküllemesi ele alınabilir. Lazer ışınları, silindirsel mercekler yardımıyla yelpazelenebilir ve böylece uzayda arzu edilen konumda düzlem oluşabilir.
1960’lı yılların sonlarına doğru, lazer ışınlarının özelliklerinden nivelmanda da yararlanmak üzere çalışmalar yoğunlaştırılmıştır. Bu çalışmaların sonucunda,
• Fotoelektrik lazer nivosu • Değiştirilmiş lazer nivosu • Entegre merkezleme dedektörleri
geliştirilmiştir. Lazer nivoları, geometrik nivelmanda geri ve ileri okuma aralıklarını 50 metreden 100 metreye kadar çıkarmıştır (Uzel, 1984).
Şekil 2.12 Lazer nivolarının oluşturdukları doğrultu ve düzlemler.
Günümüzde yararlanılan merkezleme dedektörleri, kısa mesafelerde lazer ışığının enerji merkezini büyük bir incelikle saptayabilmektedir. 100 metreden daha uzakta, merkezleme inceliği hızla düşmektedir. Dedektörler, bir referans çizgisi ile lazer ışık spotunun merkezi arasındaki aralığı 0.01 mm incelikle ölçebilir ve bunu sayısal olarak
Geometrik Nivelman
31
verir. Bunun için klasik nivelmanda kullanılan miraya benzer özel biçimli bir mira kullanılır ve buna bir dedektör bağlanır (Şekil 2.13).
Şekil 2.13 Lazer nivosu ve mira üzerinde okuma
Çekül Lazerleri, çekül hattı gerektiren işlerde örneğin, yüksek binalarda yüzey kaplamalarında, aks çıkılmasında, asansör boşluğu yapımında (ray aliymanında), kuyu açımında, yüksek baca yapımında vb. yerlerde büyük kolaylıklar sağlar. TOPCON PL-1 çekül lazeri ±3o aralığında kendi kendini düzeçleme özelliği bulunan aletle yukarıya doğru 100m ve daha fazla (ortamın aydınlığına bağlı olarak), aşağıya doğru ise 5 metrelik çekül doğrultusu oluşturur.
Dönen Lazerler, 360o’lik bir açıda devamlı gözle görülebilir lazer ışını yayan bu aletler, yatay ve düşey uygulamalarda hatasız bir referans yüzeyi oluştururlar. Bina içi ve bina dışı uygulamalarda düşük maliyetli gözle görülebilir lazer ışını kullanılır. Maksimum görünebilirlik sağlamak için tarama özelliklidir. Yatay lazer hattı ve düşey çekül doğrultusu oluştururlar. Opsiyonel sensörler ile basit eğim seviyeleme mekanizmaları bulunur. Kullanım alanları:
Düşey aliyman olarak; • Duvar yapımı, • Hareketli bölme (sürgülü kapı) yapımı, • Asansör rayı aliymanı, • Çevre duvarı
Yatay seviyeleme;
• Asma tavan sistemleri ve asma giriş katı, • Mutfak dolaplarının, pencerelerin, yangın söndürme fıskiyelerinin vb. montaj
işleri, • Eğimli tavan yapımında
Geometrik Nivelman
32
• Dört köşe yapma, Kaplama; • Konstrüksüyon montajı, • Bilgisayar döşeme montajı, • Çeşitli çekül hattı uygulamaları, • İlgili sensörlerin kullanımı ile 200m çaplı bir alanda eğim seviyeleme ve beton
dökme işi, eğimli çatı ve eğimli duvar yapımı.
Kendini otomatik olarak düzeçleyip gözle görülür lazer ışını yayan dönerli lazerler, devamlı rotasyon halindeki lazer ışını, bir ışık düzlemi oluşturup yatay ve düşey aliyman işlerinde referans sağlarlar. Bu lazerler aynı zamanda aşağı ve yukarı doğrultuda çekül hattı oluşturur.
Boru Hattı Lazerleri, Görülebilen kırmızı veya yeşil ışıklı, otomatik aliymanlı, eğim ve seviyeleme sistemli 3 ışınlı boru hattı lazerinde yatay ışın boru eğimini kontrol ederken, düşey ışın çekül hattı oluşturur. Otomatik merkezleme ve sıfırlama özelliği bulunur. Işın yanıp sönebilir, eğim ve hat için uzaktan kumandalı kilit sistemi, uzun mesafeden algılama ve uzaktan kumanda ile eğim girişi yapılabilir.
Genel inşaat lazerleri, geleneksel optik seviyeleme yöntemleriyle karşılaştırıldığında kullanıcıya büyük yararlar sağlar.
• İnşaat alanı seviyelemesi, • Temel kazıları ve beton dökümü, • Drenaj, peyzaj işlerinde, • Kazıların kontrolü, • Havuz, çit, avlu, kısaca optik seviyeleme yapılan her yerde
Kullanılabilir. Lazerler, iş gücünden %50 ye varan oranlarda tasarruf sağlar. Optik okuyucu ile rodu (çubuğu) tutan kişi arasındaki irtibatlaşma problemini ortadan kaldırır. İş yapımını hızlandırıp hataları azaltır. 2.1.2.5. Optik Mikrometreli Nivolar Yüksek incelikli nivelman aletlerinde gözle yapılan mm tahminleri yeterli değildir. Bu amaçla kullanılan nivolar, ek bir düzenle donatılmışlardır. Objektif önüne takılan paralel yüzlü cam plakanın hareket ettirilmesi ile hedef (gözlem) noktasından gelen ışınlar, bir mira bölümünün tamamı (genellikle 1 cm) kadar kendisine paralel olarak kayabilmektedir. Düzeç kabarcığı ortalanmış bir aletle, gözlem çizgileri ile miranın bir sonraki bölümü arasında kalan parçayı ölçmek mümkün olmaktadır. Gözlem doğrultusunun mira bölüm çizgisine kadar kaydırılması bir mikrometre vidasının döndürülmesi ile sağlanmaktadır. Mikrometre vidasının dönme miktarı, cam bir skala üzerine aktarılmakta ve skala üzerinde milimetreler, milimetrenin onda birleri
Geometrik Nivelman
33
doğrudan doğruya okunabilmekte ve milimetrenin yüzde birleri de tahmin edilmektedir. Camın kalınlığı d, kırılma indisi n ve camın dönme açısı α ise, gözlem
doğrultusunun kayma miktarı αtan1⋅⋅
−= d
nne dır.
Şekil 2.14 Optik mikrometreli nivoların çalışma ilkesi ve mira üzerinde okuma
2.2. Nivelman Miraları
Mira, noktaların nivelman düzleminden olan uzaklığını ölçmek için kullanılan,
fırınlanmış ahşaptan ya da metalden yapılmış cetvellerdir. Bazı ahşap miralarda,
eğilmeyi önlemek için miranın arka tarafına veya yan taraflarına destek parçaları
eklenir. Miranın alt uç kısmına çelikten yapılmış bir parça eklenir. Miranın
bölümlemesi bu levhanın alt kısmından başlar. Nivelman miraları tek parçalı,
katlanabilir ya da sürgülü olabilirler. Uzaktan iyi seçilebilmeleri için 1 metrelik ara ile
siyah-beyaz ve kırmızı-beyaz şeklinde bölümlendirilmiştir. Miralar, genellikle 4 m
uzunluğunda ve cm bölümlüdür. 2 adet tutamağı olan miraların düşeyliğini
sağlayabilmek için, bir küresel düzeçle donatılmışlardır. Hassas nivelmanda
kullanılan miralar ise, 3 m boyunda tek parçalı olup 1 cm ya da yarım cm aralıklarla
bölümlendirilmiştir. Bu miralar ahşaptan olup, bölümlendirmeler ahşap üzerine
yerleştirilen invar şerit üzerine yapılmıştır ve tam düşey tutulabilmeleri için de
payandalarla desteklenmiştir. Kullanılmadıkları zaman bir kutu içinde korunurlar.
Geometrik Nivelman
34
a) Normal mira b) Hassas nivelman mirası ve payandası
Şekil 2.15 Nivelman miraları
Nivelman miralarının boyları, sıcaklık ve nemin etkisiyle zamanla değişebilir. Bu nedenle miraların boyları sık sık bir normal metre ile ya da komparator aletiyle karşılaştırılarak kontrol edilmelidir. Ahşap miralar yaklaşık 10 oC lik bir sıcaklık değişiminde boyları 0.1- 0.2 mm kadar değişebildiği halde invar miralarda bu değişim ancak 0.04 mm kadardır. İnvar miraların bölümleri çizgi şeklindedir. Çizgi aralıkları 1 cm veya 0.5 cm olabilir. 2.2.1. Miraların Kontrolü
Miralarda şu hatalar olabilir:
1. Düzeç Hatası: Düşey olarak duran miranın yanına bir çekül asılır ve mira çekülün ipine paralel olarak tutulur. Mira düzecinin kabarcığı ortada değilse düzeç hatası vardır. Bu hata düzeç ayar vidalarıyla giderilir.
Geometrik Nivelman
35
2. Bölümleme Hatası: Basit miralarda iyi bir cetvel ile, invar miralarda komparatorlar yardımıyla mira bölümleri kontrol edilebilir. Özenle yapılmış basit miralarda bölüm hatası ± 0.1 mm den, invar miralarda ise ± 0.03 mm den fazla olmamalıdır.
3. Bölüm Başlangıç Hatası: Bu hata bölümlemenin, miranın tam yere konulan ucundan başlamamasından ileri gelir. Bu hata geri ve ileri okumalarda etkisiz hale gelir. Ancak geri ve ileri okumalarda değişik miralar kullanılıyorsa bölüm başlangıç hatası, yükseklik farkına etki eder. Hatanın saptanması için farklı yükseklikte birkaç noktaya, örneğin bir merdivenin basamaklarına mira altlıkları konur ve iki mira ayrı ayrı tutularak nivo ile okumalar yapılır. Aynı noktalara ait okumalar arasındaki fark bölüm başlangıç hatasıdır. Çeşitli noktalar için bulunan hataların ortalaması alınarak hata miktarı belirlenir. Bu hatanın etkisini ortadan kaldırmak için, ölçmelere hangi mira ile başlanmışsa, ölçümler yine aynı mira ile bitirilmelidir.
4. Mira Tabanının Eğiklik Hatası: Mira tabanındaki çelik levhanın alt yüzeyinin mira bölüm çizgisine tam paralel olmamasından ileri gelir. Bu hatanın belirlenmesi için mira ucundaki çelik levha ortadan itibaren sağa ve sola doğru eşit parçalara bölünüp işaretlenir. Bir mira altlığına işaretlenen noktalar ayrı ayrı tutularak nivo ile okumalar yapılır. Okumalar arasında fark varsa hata var demektir. Hatanın etkisiz duruma getirilmesi için mira altlığı üzerine daima miranın ortası tutulmalıdır.
5. Katlanma Yeri Hatası: Kalitesiz miralarda görülen bir hatadır. Mira açıldığı zaman katlanan parçalar arasında hiç boşluk kalmamalıdır. Ayrıca katlanma noktasından ön ya da arkaya doğru kırılmamalıdır. 2.2.2. Mira Altlıkları (Mira Pabucu, Mira Çarığı)
Sağlam olmayan zeminlerde ve hassasiyet aranan nivelman işlerinde, miraların çökmesini önlemek, geri ve ileri okumalarda mira döndürülürken yüksekliğin değişmemesi için kullanılan pik demirden yapılmış bir alettir. Ortasında küresel başlı bir çıkıntı vardır. Mira bu çıkıntıya tutulur. Ayrıca toprağa iyi gömülebilmesi için üç sivri ayağı vardır. Yumuşak zeminde üzerine basılarak toprağa sağlamca oturması sağlanır. Taşınmasını kolaylaştırmak amacıyla bir kulpu vardır.
Şekil 2.16 Mira altlığı
Geometrik Nivelman
36
2.3. Nivoların Kontrolü ve Eksen Koşulları
Nivolarla ölçmelere başlamadan önce nivoların, kontrol edilmeleri gerekir. Hatalı bir aletle yapılan ölçmelerin hiçbir işe yaramayacağı açıktır. Böyle bir durumla karşılaşmamak için nivoların belli aralıklarla kontrol edilmeleri gerekir. Aynı şekilde ilk defa kullanılacak aletlerin eski veya yeni olmasına bakılmaksızın kontrol edilmeleri gerekir. Eksen koşullarına geçmeden önce nivoların yatay gözlem çizgisinin yatay olup olmadığının kontrolünü ele alalım.
2.3.1. Nivoların Yatay Gözlem Çizgisinin Yataylığının Kontrolü
Alet ayarlanarak düşey eksen tam düşey duruma getirildikten sonra yatay gözlem çizgisinin bir ucu, arazide net ve keskin görünen bir noktaya yöneltilir. Sonra dürbün yatay yönde yavaş yavaş döndürülerek yatay gözlem çizgisi üzerindeki noktanın, çizginin öteki ucuna kayması sağlanır. Eğer nokta, yatay çizgi üzerinden ayrılmadan hareket ediyorsa, yatay gözlem çizgisinin yatay olduğu anlaşılır. Eğer nokta, yatay gözlem çizgisinin diğer ucuna alındığında çizgiden ayrılmış ise ayrılma miktarı hatanın iki katıdır. Hata, gözlem çizgileri ayar vidası yardımıyla giderilir. Yatay gözlem çizgisinin yatay duruma getirilmesi genellikle yandaki ayar vidasının (3 numaralı) gevşetilerek gözlem çizgilerinin, kayma miktarının yarısı kadar döndürülmesiyle sağlanır. 1 ve 2 numaralı vidalar, gözlem çizgilerinin aşağı–yukarı kaydırılması içindir. Mira okumaları, gözlem çizgilerinin kesiştiği yerden yapılırsa bu hata etkisiz kalır.
Şekil 2.17 Yatay gözlem çizgisinin yataylığının kontrolü
2.3.2. Nivolarda Eksen Koşulları
Genel olarak bir nivoda 4 eksen bulunur ve bu eksenler arasında şu koşullar sağlanmalıdır:
D D
N N
V K
V K
DD : Silindirsel düzeç ekseni
NN : Gözlem(nişan, optik) ekseni
VV : Düşey (asal) eksen
KK : Küresel düzeç ekseni
2d d
2
3
1
Geometrik Nivelman
37
2.3.2.1. Küresel düzeç ekseni, düşey eksene paralel olmalıdır ( KK // VV ).
Küresel düzeç, üçayak vidası ile ortalanır ve sonra nivo 200g döndürülür. Eğer kabarcık ortada ise küresel düzeç ekseninin düşey eksene paralel olduğu anlaşılır. Kabarcık kaymışsa, kayma miktarı hatanın iki katıdır. Hatanın yarısı üçayak vidaları yardımıyla, diğer yarısı da küresel düzecin ayar vidaları yardımıyla giderilir.
2.3.2.2. Nivolarda temel koşul, gözlem ekseninin yatay olmasıdır. Bu koşul, eğim vidalı nivolarda; gözlem ekseni, düzeç eksenine paralel olmalıdır (NN // DD) biçiminde ifade edilirken otomatik (kompensatörlü) nivolarda; gözlem ekseni, kompensatörün çalışma alanı içinde yatay olmalıdır biçiminde ifade edilir. Bu koşulun kontrolü ve sağlanması 3 şekilde yapılabilir:
1. Yöntem
Şekil 2.18 Nivolarda gözlem ekseninin yataylığının kontrolü – 1. yöntem
Kontrol edilecek alet, oldukça düz bir arazide aralarındaki uzaklık 60m ̴ 100m olan A ve B noktalarının ortasına kurulur. Alet ayarlandıktan sonra A ve B noktalarındaki miralara bakılarak 1b ,a ′′1 okumaları yapılır. Alet hatasız olsaydı a1 ve b1 değerlerinin
okunması gerekirdi. A ve B noktalarındaki mira okumalarında yapılan hata miktarları birbirine eşittir. İki nokta arasındaki yükseklik farkı,
11111111 )( bacbcacbcabah ′−′=+′−−′=−′−−′=−=∆
ile hatasız olarak elde edilir.
Alette hata olup olmadığını anlamak için B noktasının 2-5 m uzağına alet kurulur. A ve B noktalarındaki miralara bakılarak 2b ve a ′′2 okumaları yapılır. B noktası alete çok
yakın olduğundan B noktasındaki hatasız kabul edilebilir yani 22 bb ′= alınır. Alet
hatasız olsaydı,
11222 babhba ′−′+=∆+=
okumasının yapılması gerekirdi. Hatanın giderilmesi için gözlem çizgileri, A noktasında a2 değeri okununcaya kadar kaydırılır. Gözlem çizgilerinin kaydırılması,
β
β β
e e
60 ̴ 100 m
a1’
BA A
B
a1 b1
b1’ b2b2’ a2’
a2
2-5m
c c
Mira MiraMira
Mira
Geometrik Nivelman
38
eğim vidalı nivolarda eğim vidası döndürülerek yapılır. Bu durumda silindirsel düzeç kabarcığı kayacaktır; kayan düzeç kabarcığı da düzeç ayar vidaları yardımıyla ortalanır. Kompensatörlü nivolarda gözlem çizgilerinin kaydırılması farklı aletlerde değişik şekillerde olabilir. Bazı aletlerde gözlem çizgileri kaydırılmak suretiyle, bazılarında objektifin önündeki prizmatik bir camın döndürülmesiyle, bazılarında ise Kompensatörün ayar vidası ile bazılarında da optik eksen üzerindeki bir prizmanın kaydırılmasıyla sağlanır. En iyisi, kontrol edilen nivonun kullanım kitapçığında belirtildiği şekilde gözlem çizgilerinin kaydırılmasıdır. Kontrol için işlem, değişik alet yüksekliklerinde tekrarlanır.
2. Yöntem
Mira Mira a’4 a’3
a4 a3 a’1 a’2 a1 a2
B C D A s s s
Şekil 2.19 Nivolarda gözlem ekseninin yataylığının kontrolü – 2. yöntem a4 - a1 = a3 - a2 a’3 den a’1 a’2 ye paralel çizilirse, bu paralel B mirasını a4 de keser. a4 - a’1 = a’3 - a’2 a4 = a’1 - a’2 + a’3 Örnek: a’1=1.998 a’3=1.456 a’2=0.890 a’4=2.574 a’1 - a’2=1.108
a’3 =1.456
a4 = a’1 - a’2 + a’3=2.564 Nivo D noktasında iken B noktasındaki mirada 2.564 değeri okununcaya kadar gözlem çizgileri kaydırılır.
Geometrik Nivelman
39
3. Yöntem (Kukkamäki Yöntemi)
Şekil 2.20 Nivolarda gözlem ekseninin yataylığının kontrolü – 3. yöntem
)()(
2)2(
2
22)
2(
2
22112211
2211
22222222
22
22
11111111
2211
babad dbabaidi, baba
dbadbdadbdaba
dbbdaa
badbdadbdaba
baba
′−′−′−′=⇒+′−′=′−′−=−
+′−′=+′−−′=−′−−′=−
−′=−′=
′−′=+′−−′=−′−−′=−
−=−
d nin bulunan bu değeri, yukarıda a2 ve b2 yi veren eşitliklerde yerine konulursa,
))()[(22)]()[(
2211222
2211222
bababdbbbabaadaa
′−′−′−′⋅−′=−′=
′−′−′−′−′=−′=
elde edilir.
Örnek:
270.1)020.0(250.12682.1)010.0(672.1
010.0422.0412.0)()(422.0412.0
250.1425.1672.1837.1
22
22
211
211
21
21
=−−=−′==−−=−′=
−=−=′−′−′−′==′−′=′−′
=′=′=′=′
dbbdaa
babadba ba
b b a a
2
2
A noktasındaki mirada a2=1.682 veya B noktasındaki mirada ise b2=1.270 değeri okununcaya kadar gözlem çizgileri kaydırılır. A veya B noktasındaki miraların birinde okunması gereken değere okununcaya kadar gözlem çizgileri kaydırılır; diğer noktada ise kontrol yapılır.
BA
a’1 a1
b’1 b1
b’2 b2
a’2
a2 2d
s
d
d/2 d/2
s/2 s/2
Geometrik Nivelman
40
2.4. Nivelman Noktalarının Tesisi
Yerleşim alanları dışında (kırsal kesimde) ve sağlam bina, köprü gibi yapıların bulunmadığı durumlarda nivelman noktaları, şekil 2.21a daki biçim ve özelliklerde zemin tesisi olarak yapılır. Yerleşim alanlarında ise, binaların sağlam temel duvarlarına ya da kolonlarına, sağlam duvar ve yapıların uygun yerlerine şekil 2.21b deki biçim ve özelliklerde duvar tesisi olarak yapılır.
Şekil 2.21 a) Kırsal alanda nivelman zemin tesisi, b) Yerleşim alanında nivelman duvar tesisi
2.5. Doğrultu (Hat) Nivelmanı
Bir geçki boyunca iki ya da daha fazla nokta arasındaki yükseklik farklarını
belirlemeye yönelik olarak yapılan nivelmana doğrultu (hat) nivelmanı denilir.
Yükseklik farkı belirlenecek A ve B noktaları birbirlerine yakın ve aralarında fazla
yükseklik farkı yoksa yaklaşık her iki noktaya da eşit uzaklıkta ortada bir yere, alet bir
kere kurularak bu iki nokta arasındaki yükseklik farkı belirlenir. A ve B noktalarında
düşey olarak tutulan miralara bakılarak, nivonun gözlem çizgilerinden ortadaki yatay
çizgiye rastlayan mira bölüm değerleri okunur. İşlem yönüne göre gerideki mirada
yapılan okuma değerine, geri okuma (g), ilerideki mirada yapılan okuma değerine de
ileri okuma (i) adı verilir. Bir noktada alet kaldırılmadan ikiden fazla mira okuması
yapılmışsa, ilk okuma geri, son okuma ileri, aradaki tüm okumalar da orta okuma
olarak adlandırılır.
Geometrik Nivelman
41
iB ∆hA1 = ga - i1 gA i4 ∆h12 = g1 - o2 ∆h23 = o2 –o3 ∆h34 = o3 – i4 ∆h4B = g4 - iB [∆h]=[g]+[o]-[i]-[o]=[g]-[i] A 1 2 3 4 B
Şekil 2.22 Orta okumalı doğrultu (hat) nivelmanı
2.5.1. Açık Nivelman
Yüksekliği bilinen bir noktadan nivelman işlemine başlanır, fakat yüksekliği bilinen başka bir noktaya bağlanılmazsa bu tür nivelmana açık nivelman diyoruz. Açık nivelmanda yapılan ölçümün kontrolü olmadığı için nivelman ve poligon noktalarının yüksekliklerinin belirlenmesinde kullanılmaz.
Örnek:
Gidiş Nivelmanı
Nokta Mira Okumaları (m)
Geri Orta İleri Yükseklik Farkları (∆h)
+ ( m ) - A 1.815 1 2.372 0.817 0.998 2 1.783 1.561 0.811 3 2.563 2.158 0.375 4 1.218 1.345
[g]= [i]=
8.533 5.754
[i]= 5.754 3.154 -0.375
-0.375
[g]-[ i]= 2.779 [∆h] = 2.779 m
o3o2
A B
1 2 3 4
i1g1
g4
Geometrik Nivelman
42
Dönüş Nivelmanı
Nokta Mira Okumaları
( m ) Geri Orta İleri
Yükseklik Farkları ∆h + ( m ) -
4 1.361 3 1.879 2.702 1.341 2 2.124 1.502 0.377 1 1.543 2.932 0.808 A 2.546 1.003
[g]= [i]=
6.9079.682
[i]= 9.682 0.377 3.152
-3.152
[g]-[ i]= -2.775 [∆h] = -2.775 m Gidiş - Dönüş ortalamasıyla Kesin Yükseklikler
Nokta
Yükseklik Farkları (∆h) Gidiş Dönüş Ortalama
Yükseklik H
A 95.740 m 1 0.998 1.003 1.000 96.740 2 0.811 0.808 0.810 97.550 3 - 0.375 - 0.377 - 0.376 97.174 4 1.345 1.341 1.343 98.517
Gidiş – dönüş ölçüleriyle elde edilen yükseklik farklarının ortalaması alınırken, dönüş ölçüleriyle elde edilen yükseklik farklarının işareti ters alınır. 2.5.2. Dayalı Nivelman
Yüksekliği bilinen bir noktadan nivelmana başlanır ve yüksekliği bilinen başka bir noktaya bağlanılır. Dayalı nivelmanda yapılan ölçümler kontrol edilebilir. Noktalar arasındaki yükseklik farklarının ölçülmesinde en çok kullanılan yöntemdir.
Nokta
Uzunluk
( m )
Mira Okumaları ( m )
Geri Orta İleri
Yükseklik Farkları (∆h)
+ ( m ) -
Yükseklik H
( m )
Kroki ve
AçıklamaA - 1.375+4 203.125 1 - 2.934 1.555 201.570 2 - 1.861 1.073 202.643 3 - 2.238+4 2.747 0.886 201.757 4 - 1.657+4 1.915 0.327 202.084 5 - 2.545 0.884 201.200 B - 0.995 1.550 202.750 [g] = 5.270
[i] = 5.657 [i] = 5.657 2.950
3.325 -3.325 -0.375
[g] - [i] = -0.387 [∆h] = -0.375 m HB -HA = - 0.375 Kapanma hatası = - 0.012 m = -12 mm
Geometrik Nivelman
43
2.5.3. Kapalı Nivelman
Bir noktadan nivelmana başlanır ve bir halka oluşturularak aynı noktaya bağlanılır.
Nokta Uzunluk
( m ) Mira Okumaları
( m ) Geri Orta İleri
Yükseklik Farkları ∆h + ( m ) -
Yükseklik H
( m )
Kroki ve
AçıklamaA - 1.371+3 100.000 1 - 1.864 0.490 99.510 2 - 1.615+3 2.718 0.854 98.656 3 - 1.399+2 0.985 0.633 99.289 4 - 2.078 0.677 98.612 A - 0.690 1.388 100.000 [g] = 4.385
[i] = 4.393 [i] = 4.393 2.021
2.021 2.021 0.000
[g] - [i] = -0.008 [∆h] = 0.000 HB -HA = 0.000 Kapanma hatası = - 0.008 m = -8 mm 2.5.4. Gözlem Düzlemi Yüksekliğine Göre Nivelman
Gözlem düzlemi kotuna göre nivelman hesabı, orta okuma sayısı fazla olduğunda hesap kolaylığı sağlar.
Nokta No
Geri
Orta
İleri
Gözlem Düzlemi Yüksekliği
Yükseklik H
A 2.146+2 102.148 m 100.000 m 1 2.062 100.086 2 1.854 100.294 3 1.250 100.898 4 2.695+2 0.985-2 103.862 m 101.165 5 2.443 101.419 6 2.321 101.541 7 2.056 101.806 8 1.875 101.987 B 1.654-2 102.210 m
[g] = 4.841 [i] = 2.639 HB - HA = 2.210 m [i] = 2.639 [g]-[i] = 2.202 [g]-[i] = 2.202 Düzeltme miktarı =+0.008 m = 8 mm
A 1 2 3 4 5 6 7 8 B
gA o1 o2 o3
i4
g4 o5 o6 o7 o8iB
Şekil 2.23 Gözlem düzlemi yüksekliğine göre nivelman
Geometrik Nivelman
44
GİDİŞ NİVELMANI
Nokta
Uzunluk ( m )
Mira Okumaları ( m )
Geri Orta İleri
Yükseklik Farkları (∆h)
+ ( m ) -
Yükseklik H
( m )
Ortalama Yükseklik
( m )
Kroki ve
AçıklamaRs.285 12 - 0.524-2 72.568 72.568 15 - 16 0.460 3.806 3.284 P.1 13 - 17 0.520-2 2.844 2.384 66.900 66.900 20 - 16 0.646 2.968 2.450 8 - 21 0.455 2.972 2.326 P.2 7 - 10 0.559-2 2.263 1.808 60.316 60.310 15 - 12 0.459 3.313 2.756 20 - 18 0.789 3.089 2.630 P.3 16 - 25 0.504-2 2.589 1.800 53.130 53.124 18 - 20 0.218 3.622 3.120 15 - 16 0.840 2.780 2.562 P.4 17 - 13 2.898-1 1.912 1.072 46.376 46.370 21 - 24 0.820 2.389 0.508 22 - 25 0.945 3.386 2.566 P.5 26 - 30 1.184-1 2.645 1.700 42.618 42.618 25 - 34 0.951 1.882 0.699 Rs.344 - 20 12.772 2.334 1.383 40.536 40.536 [L]= 587 m 42.794 44.794 0.508 -32.540 -32.032 [g]-[i]= -32.022 -32.540 m H344-H285 = -32.032 [∆h] = -32.032 m [|h|]=33.048 m Hata miktarı=+0.010m=10 mm Hoşgörü sınırı: d=0.02√ [L] +0.0003∗[|h|] =0.02√ 0.587 +0.0003 ∗ 33.048 =0.025 m =25 mm Hata miktarı < Hoşgörü sınırı (10 mm < 25 mm ) olduğu için hata dağıtımı yapılır.
DÖNÜŞ NİVELMANI
Nokta
Uzaklık ( m )
Mira Okumaları ( m )
Geri Orta İleri
Yükseklik Farkları (∆h)
+ (m) -
Yükseklik H
( m )
Ortalama Yükseklik
( m )
Kroki ve
AçıklamaRs.344 - 2.492+2 40.536 - 1.900 1.102 1.392 P.5 - 1.576+2 1.211 0.689 42.617 - 3.211 1.840 0.262 - 2.209 0.751 2.460 P.4 - 2.224+3 0.660 1.549 46.364 - 3.527 0.420 1.807 - 2.832 0.655 2.872 P.3 - 2.482+3 0.757 2.075 53.118 - 3.274 0.572 1.913 - 3.032 0.441 2.833 P.2 - 3.253+3 0.592 2.440 60.304 - 2.662 0.465 2.791 - 2.262 0.633 2.029 P.1 - 2.435+3 0.487 1.775 66.899 - 2.775 0.788 1.650 - 2.693 0.492 2.283 Rs.285 44.839 0.957 1.736 72.568 [g]= 12.823 12.823 32.294 0.262 32.032m [g]-[i] = 32.016 -0.262 32.016 H285-H344= 32.032 32.032 +0.016 m =+16 mm Hata miktarı =- 0.016 m =-16 mm
Geometrik Nivelman
45
Poligon noktalarının yükseklikleri, genellikle iki nivelman noktasına dayalı olarak yapılan gidiş - dönüş nivelmanıyla belirlenir. Yukarıda böyle bir örnek görülmektedir. Ara nivelman noktalarının yükseklikleri aşağıdaki çizelgede görüldüğü gibi hesaplanabilir. Düzeltme değerleri, nivelman yolu uzunluğu ile orantılı olarak verilir.
NİVELMAN HESAP ÇİZELGESİ Ölçülen Yükseklik Farkları ∆h Ortalama ∆h
Bilinen Nokta
Yeni Nokta
Nivelm. Def. No Say. No
Rs.ler Arası
Mesafe Gidiş Dönüş + -
Yükseklik
Açıklama
m m m m m m Rs 5 122.514 G.13 572 +13.874 +13.882 13.878+3 Rs 12 D.29 136.395 G.14 461 -21.613 -21.605 21.609+2 Rs 21 D.26 114.788 G.18 695 -11.988 -11.982 11.985+3 Rs 14 D.32 102.806 G.16 880 +34.396 +34.388 34.392+4 Rs 2 D.34 137.202 2608 48.270 33.594 14.688 33.594 14.676 14.676 Düzeltme +12 mm 81 121.349 G.1/7 -13.750 -13.756 13.753+3 Ortalama 88 D.2/16 107.599 107.600 G.1/8 -35.853 -35.857 35.855+2 83 D.2/7 71.746 49.608 -49.603 -49.608 Düzeltme + 5 mm
82 97.815 G.1/21 +9.783 +9.790 +9.786 88 D.2/20 107.601
2.6. Yüzey Nivelmanı
İnşaat işleri, arazi tesviyesi, spor alanları gibi projelerin uygulanmasında, özellikle kazılacak ve doldurulacak toprak miktarlarının hesaplanması için arazinin eşyükseklik
Geometrik Nivelman
46
eğrili planına ihtiyaç duyulur. Bunun için, arazinin topografik yapısı çok engebeli değilse ya kareler ağı yöntemiyle ya da ışınsal yöntemle yüzey nivelmanı yapılır.
2.6.1. Kareler Ağı Yöntemiyle Yüzey Nivelmanı
Şekil 2.24 Kareler ağı yöntemine göre yüzey nivelmanı krokisi
Yüzey nivelmanı yapılacak arazide bir ölçü doğrusu belirlenir ve bu doğru üzerinde belirli aralıklarla, takeometre, nivo ya da prizmalarla dikler çıkılır. Sonra aynı işlem bu dikler üzerinde tekrarlanarak arazi karelere bölünür. Kareler ağı yönteminde karelerin kenar uzunluğu, arazinin topografik yapısı ve ihtiyaca göre 5–30 m arasında seçilebilir. Kare köşelerine ve kare kenarlarının arazi detaylarını kestiği noktalara kot verilir. Parselin çizimi için, kare uzantılarının arazi sınırını kestiği noktaya olan mesafelerden gerekli olanları çelik şerit ile ölçülür. Arazinin yakınındaki yüksekliği bilinen bir noktaya dayalı olarak nivelman yapılır. Plan çiziminde karelerin kesim noktasına, ölçülen yükseklik değerleri yazılır. Yükseklik değerlerinin metre ve alt birimlerini ayıran “.” işareti, aynı zamanda karelerin kesim noktası olacaktır.
Geometrik Nivelman
47
Nokta Mira Okumaları Gözlem Düzlemi Yükseklik No Geri Orta İleri Yüksekliği H P1 1.415+2 74.320 72.903 m 1 1.618 72.702 2 1.871 72.449 3 1.999 72.321 4 2.365 71.955 5 2.583 71.737 6 2.612 71.708 7 2.649 71.671 8 2.670 71.650 9 2.720 71.600 10 2.656 71.664 11 2.343 71.977 12 2.019 72.301 13 1.871 72.449 14 1.637 72.683 15 1.592 72.728 16 1.817 72.503 17 1.968 72.352 18 2.045 72.275 19 2.375 71.945 20 1.671+2 2.789 73.204 71.531 21 1.813 71.391 22 1.941 71.263 23 1.716 71.488 24 1.584 71.620 25 1.532 71.672 26 1.497 71.707 27 1.385 71.819 28 1.290 71.914 29 1.365 71.839 30 1.444 71.760 31 1.615 71.589 32 1.743 71.461 33 1.861 71.343 34 1.714+2 1.957 72.963 71.247 P2 2.650 70.313
[g]= 4.800 [i]= 7.396 HP2-HP1 = -2.590 [i]= 7.396 [g]-[i] = -2.596 [g]-[i]= -2.596 Düzeltme Miktarı= +0.006 m= +6 mm HP2-HP1 = -2.590 Hata miktarı= -0.006 m = - 6 mm
2.6.2. Işınsal (Kutupsal) Nivelman
Yatay açı bölüm dairesi bulunan nivelman aletleri ile yapılır. Nivelman aleti, ölçme alanındaki poligon noktası gibi konumu ve yüksekliği bilinen bir noktaya kurularak,
Geometrik Nivelman
48
konumu ve yüksekliği bilinen başka 2 noktaya bakılarak mirada alt, orta, üst çizgi okumaları ile yatay açı okumaları yapılır. Ayrıca alet yüksekliği ölçülür. Işınsal nivelmanda mira okumaları cm biriminde yapılır. Yüzey nivelmanı yapılacak alanın kırık noktalarına, arazinin karakteristik noktalarına ve belli aralıklarla arazi taranarak mira tutulur. Bakılan tüm noktalarda miradaki alt, orta, üst çizgi okumaları ile yatay açı değerleri okunur. Üst-orta çizgi okuması farkı ile orta-alt çizgi okuması farkının birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca, bu iki farkın toplamı ile üst çizgi-alt çizgi okumaları farkının eşit olması gerekir. Üst-alt çizgi okumalarının cm birimindeki farkı, 100 ile çarpılarak alet ile mira arasındaki uzunluklar cm biriminde bulunur. Ya da başka bir deyişle, cm birimindeki üst çizgi-alt çizgi okumaları farkı, m biriminde aletle mira arasındaki uzunluğu verir. 2 5 3 1 P2 P3 P1 Şekil 2.25 Işınsal nivelman
Mira Mira Yatay Yükseklik DN BN Yatay Açı Okumaları Farkları Uzaklık H
144 P2 P1 0g.00 181 37 cm 74.0 m 135.17 m
i = 1.55 m 218 37 HP2=135.43 m 198 136.98 m P3 248,50 243.4 45.4 90.8 134.55
288.8 45.4 316.8
1 46,75 338.3 21.5 43.0 133.60 359.8 21.5 90 2 85,60 115.5 25.5 51.0 135.82 141 25.5 205.2 3 112,40 221.0 15.8 31.6 134.77 236.8 15.8
Yatay açı ve uzunluklarla, bakılan noktaların konumları kutupsal olarak belirlenir. Alet kurulan noktanın yüksekliğine, alet yüksekliği eklenince aletin gözlem düzleminin yüksekliği elde edilir. Aletin gözleme düzleminin yüksekliğinden, orta çizgi okumaları (m biriminde) çıkartılırsa, bakılan noktanın yüksekliği m biriminde bulunur.
Geometrik Nivelman
49
2.6.3. Hacim Hesabı
Yüzey nivelmanı yapılan yerde çoğunlukla bir kazı ya da dolgu işlemi vardır. Kazı
veya dolgu miktarının (kazılacak ya da doldurulacak toprağın hacminin) bulunması
kareler ağı yönteminde daha kolay olmaktadır. Oluşturulan her bir kare için, kare
köşelerindeki kazı ya da dolgu yüksekliği hesaplanır; hacim hesabında ise bu kare
köşelerindeki kazı ve dolgu yüksekliklerinin ortalaması alınmak suretiyle her kare için
bir ortalama kazı ya da dolgu yüksekliği bulunur. Problem, tabanı ve tavanı kare,
yüksekliği ortalama kazı ya da dolgu yüksekliği olan bir kare prizmanın hacminin
bulunmasına dönüşür. Bu kare prizmanın hacmi, karenin alanı ile ortalama kazı veya
dolgu yüksekliğinin çarpılması ile bulunur.
Hâlbuki ışınsal nivelmanda ölçüm yapılan noktalar, kare veya dikdörtgen gibi alanı
kolay hesaplanabilir bir geometrik şekil oluşturmadıkları için alan hesabında temel
şekil olarak üçgen alınır. Hâlbuki bu üçgenlerin hiç bir elemanı doğrudan
ölçülmemiştir. Dolayısıyla alan ve hacim hesabı direkt yapılamaz. Alan ve hacim
hesabı için dolaylı yollara başvurulur. Örneğin, ölçülen tüm noktaların önce
koordinatları, sonra da bu koordinatlardan üçgenlerin alanı bulunur veya yapılan
ölçümlere göre ölçekli bir çizim yapılır ve oluşturulacak üçgenlerin kenarları grafik
olarak ölçülerek alan hesabı yapılabilir. Daha sonra bu üçgenlerin ortalama kazı
yüksekliği bulunarak üçgen prizmaların hacmi hesaplanır. Fakat burada işlemler
oldukça uzun olmaktadır. Hesaplama işlemi bilgisayar yardımıyla bir programa dayalı
olarak yapılmayacaksa yüzey nivelmanı için ışınsal nivelman tercih edilmemelidir. ÖRNEK: Şekildeki alan, 95.000 m yüksekliğine kadar kazılacaktır. Verilenler, P noktasının yüksekliği ve mira okumaları olduğuna göre kazı miktarını bulunuz.
Mira Okumaları Gözleme Yükseklik Kazı
Nokta Geri Orta İleri Düzlemi Kotu H Yüksekliği (h)
P 2.345 102.345 100.000 1 1.954 100.391 5.391 m 2 2.312 100.033 5.033 3 2.564 99.781 4.781 4 1.988 100.357 5.357 5 1.999 1.492 102.852 100.853 5.853 6 2.550 100.302 5.302 7 2.300 100.552 5.552 8 1.640 101.212 6.212
1 2 3
4
5 6
8 7
P
10m 10m
10m 10m
10m
I II
III IV
Geometrik Nivelman
50
5.68867m3
17.0663
6.2125.5525.3023
8h7h6hIVh
5.516m4
22.0644
5.5525.3025.8535.3574
7h6h5h4hIIIh
5.18075m4
20.7234
5.5525.3574.7815.0334
7h4h3h2hIIh
5.547m4
22.1884
6.2125.5525.0335.3914
8h7h2h1hIh
==++
=++
=
==+++
=+++
=
==+++
=+++
=
==+++
=+++
=
3IVIIIIIIToplam
3IVIVIV
3IIIIIIIII
3IIIIII
3III
2IV
2IIIIII
m808.1908VVVVVV
m433.2845068867.5hFV
m600.551100516.5hFV
m075.51810018075.5hFV
m700.554100547.5hFV
m502/1010F
m1001010FFF
=+++==
=∗=∗=
=∗=∗=
=∗=∗=
=∗=∗=
=∗=
=∗===
2.7. Hassas Nivelman Hassas nivelman, birinci ve ikinci derece ülke nivelman ağlarının ölçülmesinde, köprü, baraj, gökdelen gibi mühendislik yapıları ve yakın çevresindeki düşey yöndeki hareketlerin belirlenmesinde kullanılır. Hassas nivelmanda kullanılan nivoların dürbün büyütmeleri 40–50, silindirsel düzecin duyarlığı ya da kompensatörün çalışma duyarlığı 10” den az olmalıdır. Optik mikrometre düzeni bulunan nivolar kullanılır. Aletin sehpası sağlam ve tek parça (sürgüsüz) olmalıdır. Genellikle tek parçalı ve 3 m boyunda invar miralar kullanılır. Miraların çift bölümlü olanları yeğlenir. Hassas nivelmanda daima çift mira kullanılır. Miralar yarım santimetre ya da bir santimetre bölümlü olurlar. Miranın düşeyliği mira üzerindeki bir küresel düzeçle kontrol edilir ve miranın sallanmadan durması için mira destekleri kullanılır. Hassas nivelman mutlaka gidiş-dönüş olarak ve olanaklıysa farklı zamanlarda yapılmalıdır. Bu şekilde eşit atmosfer koşullarından doğabilecek düzenli hatalardan sakınılmış olunur. Hassas nivelmanda yüksek bir doğruluk elde etmek için ölçmeler sırasında şu hususlara dikkat etmek gerekir: 1. Alet, ölçme yaparken sallanmayacak şekilde kurulmalıdır. 2. Miralar, mutlaka mira altlıkları üzerine tutulmalıdır. 3. Aletle mira arasındaki uzaklık 35 metreden fazla olmamak üzere eşit olarak
alınmalıdır. Geri ve ileri uzaklıklar arasındaki fark 0.50 metreden fazla olmamalıdır.
Geometrik Nivelman
51
4. Işığın kırılmasının (refraksiyonun) etkilerini önlemek amacıyla alet mümkün olduğunca yüksek kurulmalı ve gözlem ışını yerden en az 70 cm yüksekten geçmelidir.
5. Mira bölüm başlangıç hatasının etkisini önlemek amacıyla, ölçmeye hangi mira ile başlanmışsa o mira ile bitirilmelidir. Gidiş-dönüş ölçmelerine farklı miralarla başlanmalı.
6. Düzenli hataların etkisini azaltmak için gidiş ve dönüş ölçmeleri mutlaka aynı yol üzerinde yapılmalıdır.
7. Ölçmeler, bulutlu havalarda ya da sabah ve akşam saatlerinde yapılmalıdır. Hiçbir zaman güneşli havalarda ve öğle saatlerinde nivelman yapılmamalıdır.
8. Miralar daima mira payandaları ile desteklenmeli ve mira düzeci yardımıyla tam düşey durumda tutulmalıdır.
9. Her mira okumasında eğim vidası yardımıyla silindirsel düzeç, yeniden ve çok iyi ayarlanmalıdır.
10. Mira okumalarında önce gerideki mirada sol bölüm (gı), sonra ilerideki mirada sol bölüm (iı), daha sonra yine ilerdeki mirada sağ bölüm (iıı) ve son olarak da gerideki mirada sağ bölüm (gıı) okunur.
11. Otomatik (kompensatörlü) nivolarda ufuk hatasının etkisini azaltmak için daha dikkatli olunmalı ve alet sürekli aynı miraya doğru yöneltilerek küresel düzeç ortalanmalı ve ilk mira okuması hep aynı mirada yapılmalıdır (iı gı gıı iıı).
12. Ölçmeler ne kadar çabuk yapılırsa o kadar iyi sonuç alınır. 13. Miranın ucu ve mira altlığı daima temiz tutulmalıdır.
Hassas nivelmanda hesap şu formüllere göre yapılır.
[ ] [ ]2
ıııAB
ıııııı
ııı hhHHhig
hig +=−
=−
=−
Kontroller ise, [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]ıııııı
ıııııı
ııı
hhhh
hig
hig
−=−
=−
=−
formüllerine göre yapılır. Bulunan değer mira bölümü birimindendir. Nivelmanda tek bölümlü mira kullanılmış ise geri ve ileri okumalar yapıldıktan sonra, aletin üçayağı oynatılmak suretiyle alet yüksekliği biraz değiştirilip ikinci bir okuma yapılarak çift bölümlü miralarla olduğu gibi ölçmeler yapılabilir.
Geometrik Nivelman
52
Nokta
No
Mira No
Uzaklık
Bakılan
Yön
gı iı
(cm)
gı - iı = hı[hı]
(cm)
gıı iıı
(cm)
gıı - iıı = hıı [hıı] (cm)
f=hı-hıı [f]
A 1 34 m g 115.32 448.83 1 2 34 i 178.27 -62.95 511.79 -62.96 1 1 2 30 g 193.86 527.33 2 1 30 i 177.41 16.45 510.89 16.44 1 -46.50 -46.52 2 2 1 32 g 138.74 472.26 3 2 32 i 221.28 -82.54 554.77 -82.51 -3 -129.04 -129.03 -1 3 2 27 g 193.11 526.62 4 1 27 i 200.24 -7.13 533.73 -7.11 -2 -136.17 -136.14 -3 4 1 25 g 218.47 551.99 5 2 25 i 116.82 101.65 450.34 101.65 0 -34.52 -34.49 -3 5 2 30 g 167.45 500.95 B 1 30 i 136.54 30.91 470.05 30.90 1 350 [g] 1026.95 -3.61 3027.98 -3.59 -2 [i] 1030.56 3031.57 [g]-[i]= -3.61 -3.59
[ ] [ ] cm 6032
5936132
...hhHH ıııAB −=
+−=
+=−
2.8. Kesit Nivelmanı Yol, kanal, yüksek gerilim hattı vb. tesislerin yapımında arazinin boyuna ve enine kesitleri çıkarılır. Boy kesitler güzergâh yönünde, en kesitler de bu yöne dik doğrultuda çıkarılırlar. İşin amacına ve arazinin topografik yapısına göre, boy kesit için okumalar 20, 50 ya da 100 m de bir ve ayrıca eğimin değiştiği noktalarda yapılır. En kesitlerde ise eksen üzerinde, yolun sol ve sağ bitim noktalarında ve ayrıca eğimin değiştiği noktalarda okumalar yapılır. Uzaklıklar, çelik şerit metre ile ölçülürler.
2.8.1. Boy Kesit
Şekil 2.26 Boy kesit nivelman krokisi
Geometrik Nivelman
53
Boy kesit nivelmanı Mira Okumaları
Nokta
Uzaklık Geri Orta İleri Gözlem
Düzlemi KotuYükseklik
H
Açıklama P6 33 - 1.806+2 124.808 m 123.000 m A 41 - 35 3.125+2 2.594 125.341 122.214
1+440 - 40 3.186+2 1.335 127.194 124.006 1+460 1.487 125.707 1+480 1.306+2 0.696 127.806 126.498 1+500 2.545 125.261 1+513.25 2.740 125.066 1+520 1.445+2 0.637 128.616 127.169 1+540 0.791 127.825 1+560 34 - 2.865+2 1.979 129.504 126.637
B 40 - 34 3.203+2 0.722 131.987 128.782 P19 - 43 1.473 130.514 m
16.936 9436 7.514 9.436 7.500 7.500 Düzeltme miktarı : 0.014 m = 14 mm
128
127
126
125 Referans Kotu 124 m Başlangıca uzaklıklar
1+44
0
1+46
0
1+48
0
1+50
0
1+51
3.25
1+52
0
1+54
0
1+56
0
Siyah Kot
124.
006
125.
707
126.
498
125.
261
125.
066
127.
169
127.
825
126.
637
Kırmızı Kot
124.
90
125.
33
125.
77
126.
20
126.
49
126.
63
127.
07
127.
50
Şekil 2.27 Boy kesit çizimi
1/1000
1/10
0
Geometrik Nivelman
54
220216667000120
60200120
9012450127
501279012400120
.%..
..
..s
HHαtanm
?m.Hm.Hm.s
:Önek
AB
ABAB
B
A
AB
===−
=−
==
=
===
ABm
Aliyman şeklindeki kırmızı çizginin ilk (1+440 m) ve son (1+560) noktalarının yükseklikleri boy kesitten alınır. Yatay uzunlukla kırmızı çizginin eğiminin çarpımı ile iki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanır. İlk noktaya göre hesaplanan yükseklik farkları, ilk nokta yüksekliğine eklenerek ara noktalardaki kırmızı kotlar elde edilir.
m H m
m H m
4801
4601
771258709012486704002170
331254309012443302002170
24401
2
14401
1
...hH..h
...hH..h
smh ii
=+=+==⋅=
=+=+==⋅=
⋅=
++
++
∆∆
∆∆∆
2.8.2. En Kesit
En kesitler genellikle hacim hesapları için kullanılır. En kesit için yapılan yükseklik ve uzunluk ölçümleri genelikle bir kroki üzerine yazılır. Eğer nivonun bir kez kurulmasıyla tüm kesit noktaları ölçülemez ve alet ikinci bir kez daha kurulmuşsa, kroki buna göre düzenlenir. En kesitlerde yatay ve düşey ölçekler aynı ve genellikle de 1/100 ya da 1/200 alınır.
Şekil 2.28 En kesit nivelman krokisi
α
s
∆h
uzunluk yatay farkı yükseklikEğim
shαtanm ∆
====
Geometrik Nivelman
55
En Kesit Nivelmanı Ölçüm ve Hesap Çizelgesi Eksenden Mira Okumaları Gözlem Düzlemi Yükseklik
Uzaklık Geri Orta İleri Yüksekliği H Açıklama 10.00 3.242 124.408 8.64 2.853 124.797 Sol 5.26 2.945 124.705 0.00 1.152 127.650 126.498 3.36 2.594 1.075 129.169 126.575 5.85 1.872 127.297 Sağ
10.00 1.385 127.784
En kesitler, tip en kesite uygun olarak ölçü değerlerine göre çizilir. Aşağıdaki şekilde
bir tip en kesit örneği görülmektedir.
Yarmada şev eğimi, zeminin cinsine göre değişik değerler alır. Dolguda şev eğimi, dolgunun h yüksekliğine göre değişir. Karayollarının kabul ettiği değerler:
3/1 için m3.0 h 1.54/1 için
<≤< mh 5.1
3/2 için m5.0 h 2/1 için m5.0 h 3
≥<≤0.
%2%2
1/1 1/1 4/1
Tip En Kesit
2.269−− 0450.
00007280
..
%2 4/1
36038050
.. 8505
5271..
75068700
..
−
00061200
..
−
26050651
..
−−
64089730
..
−− 124.000 m
124.
408
3.38 5.26 3.36 2.49 1.36 4.15
124.
797
124.
705
126.
498
126.
575
127.
297
127.
784
Uzaklık
Siyah Kot
000103621
.
.−−
000101201
.
.−−
00061200..
−−
000102
..014
00000
.
.000
1/10
0
1/100
1/1 %2
Şekil 2.29 En kesit çizimi
K.K
. 125
.77
5859966
..1
α== cotdhseğimi Şev
Geometrik Nivelman
56
Arazi Eğimi ve Şev Eğimi Aynı Yönde
Arazi Eğimi ve Şev Eğimi Ters Yönde
11735085050001052710142 .....ma =
−−
=
s
26920450..
−−
26050651..
−−
00007280
.
.
ma mş 0000
0000..
x
p
x
mş ma
s
x p s
ma
mş
p
s. ++
75061 x.633
0006. 0.120-
75066331
..
85055271..
58591..966
ℓ k
mş
x s ma
mş=1/1
000100142
.
.
7506. 0.870-
aaşaş
şa
m)mm(smsmsp
pmsms
ps
px)Şevin
sx
−=→−⋅=⋅−⋅=
−⋅=⋅
−⋅=→⋅=+→+
=
⋅=→=
ş
şşş
aa
mps
ms x msp x (m eğimi
ms x )(m eğimi Arazi
aaaş
ş
a
mpsmssmpsm
ssxm
sxpss
xpm
+=→=⋅+⋅→⋅−=⋅
⋅=→=
⋅=→−=⋅→−
=
şş
ş
aa
mps m
m x
m-p x m
m
045026920202692
3208707280
3408700207280
34087026057931
260506517280
020
...smxm.s
..
...
mmps
...
.).(.m
.m
ş
aş
a
ş
=⋅=⋅==
−=
−=
−=
==−−
=
=
m 9.5852.8356.750s6.750m 1.9660.3331.633x1.633
(kontrol) m m
mm
ps
m 2.503(-0.870)-1.633pm 1.6330.1061.5271.527
m m
aş
=+=+=+=+
=−=−⋅==⋅=⋅=
==−
=−
=
===+=+
=⋅==−=
==
332050328352333083532117350
835328826505032
11735015032
10601173509000900085057506
111
...pmsx...smx
...
..
......k
m
ş
a
ş
l
l
Geometrik Nivelman
57
2.8.3. Cross Yöntemine Göre Kesitlerle Alan Hesabı
Şekil 2.30 Kesitlerle alan hesabı
Her hangi bir noktadan başlanarak saat ibresinin ters yönünde sırayla tüm koordinat değerleri yazıldıktan sonra, ilk noktanın koordinatları tekrar yazılır. + yönündeki okların çarpımlarının toplamından – yöndeki okların çarpımlarının toplamı çıkartılır.
=−−−
−−
−−
−−
=000000
507150
2010281
152321
815401
509251
507150
0000002
.
...
..
..
..
.
...
.
.FI
2I m F 72435214487433865170622262 ..).(.FI =⇒=−−=
=−−−
−−
−−
−−
=000000
507150
1210231
746121
951361
056221
759271
507150
0000002
.
...-
..
..
..
.
...
.
...FII
2II m F 3073206146409588226558172 ..).(.FII =⇒=−−=
2.8.4. Kesitlerle Hacim Hesabı 2.8.4.1. Kesitlerin İkisi de Dolgu ya da Yarma Yukarıda alanları hesaplanan kesitlerin ikisi de dolgudur ve aralarındaki uzaklık s=20 m olsun. Bu iki kesit arasındaki hacim (dolgu miktarı),
3m 316542000200158252100202
30732072435212
......sFFV III =⋅=⋅+
=⋅+
=
olarak hesaplanır.
-1.40 -5.81
-0.15 7.50
-0.15 -7.50
-0.15 -7.50 -0.15
7.50
0.00 0.00
0.00 0.00
-1.27 -9.75
-1.22 -6.05 -1.36
1.95-1.12 6.74
-1.23 10.12
-1.28 10.20 -1.32
2.15
-1.25 -9.50
II
I
h x
+ -
Saat ibresinin ters yönünde
-
-
Geometrik Nivelman
58
2.8.4.2. Kesitlerin Biri Dolgu Diğeri Yarma Kesitin biri dolgu diğeri yarma ise, dolgudan yarmaya geçilen nokta bulunarak; dolgu ve yarma hacimleri ayrı ayrı hesaplanır.
Yukarıda alanları hesaplanan kesitlerin birisi dolgu diğeri yarmadır ve aralarındaki uzaklık s=20 m olsun. Bu iki kesit arasındaki kazı ve dolgu miktarı,
2
2
m 66718 334377495215845152
000000
606130
7.35-0.88-
758900
153041
109850
507900
756130
0000002
m 985514 9712995151809511
000000
706130
108950
104151
957051
506130
0000002
.F.).(.F
.
...
..
..
.
...
..
.
.F
.F.).(.F
.
...
..
..
.
...
.
.F
yy
y
dd
d
=→=−−=
−−
−−−−
=
=→=−−=
−−−−−
−−
=
A
NO
Fd O
D
C’
B
CA’
D’
B’
M Fd
Fy
Fy
ℓ
k
MN=s=İki kesit arasındaki uzaklık
2
2l
l
l
⋅==
⋅==
−=
+⋅
=
⋅=+⋅
⋅−⋅=⋅
−==
yy
dd
dy
d
ddy
ddy
y
d
FV
kFV
ks
FFFs
k
Fs)FF(k
FkFsFk
kskk
FF
hacmi Yarma
hacmi Dolgu
0.00 0.00 -0.13
-6.60 -0.13 6.75
-1.15 4.10
0.00 0.00
-0.13 6.70
-0.95 8.10
-0.13 -6.50
-1.05 -7.95
1.04 -3.15 0.90
-8.75
-0.88 -7.35
0.85 9.10
-0.90 7.50
Yarma
Dolgu
Geometrik Nivelman
59
m11.094 8.906-20.000k-s
m
===
==+∗
=+⋅
=
l
906.86525.33
71.299667.189855.1400.209855.14
yd
d
FFsF
k
miktarı kazı m
miktarıdolgu m
3
3
546.1032
094.11667.182
730.662
906.89855.142
=∗
=∗
=
=∗
=∗
=
lyy
dd
FV
kFV
2.8.4.3. Kesitlerin Biri Dolgu ya da Yarma Diğeri Karışık a DOLGU
YARMA
DOLGU
b a-b çizgisinin solunda kalan yerlerdeki hacim hesabı, kesitlerin her ikisinin de aynı olması durumuna göre; sağında kalan yerlerdeki hacim hesabı ise kesitlerden birinin dolgu, diğerinin yarma olması durumuna göre yapılır.
Fd1 ve Fd2 alanlarının hesabı için öncelikle C noktasının koordinat değerlerinin hesaplanması gerekir.
0205012250
5012000250 .
..
...mAB −=
−=
−−=
C noktasının eksene uzaklığı, D noktasının eksene uzaklığı olan 3.85 m değerine eşittir. C noktasının yüksekliği ve koordinat değerleri,
m m 08.0077.0077.000.0)02.0(85.300.085.3 −≅−=−=−∗+=∗+= ABAC mHH
853080
..
−
şeklinde bulunur.
206450
.. 853
061..−
1215300..
8012260
.
.−
2214051
.
.−−
7014940
.
.−−
4013280
.
.−− 853
080..
−
5613121
.
.−
759341..
−−
5013290
.
.−−
958421
..
−−
853070
..
−
000000
.
.
000000
.
.
Fd1 Fd2
Fd3
Fy
5012250
.
.−
2014181
.
.−
A
BC
D
Geometrik Nivelman
60
2
2
23
23
22
22
21
21
432256
8645127635178994853070
206450
1215300
5613121
8012260
3.85 0.072
35512
712420239912333000000
853070
759341
2214051
5013290
0000002
94928
m 89851707253117413 853080
5012250
2014181
853061
8530802
83419
m 66839981264942000000
853080
853061
958421
7014940
4013280
0000002
m.F
m.).(...
.
...
..
..F
m.F
m.....
..
.
..
...
.
.F
m.F
.).(...
..
..
..
..F
m.F
.....
..
..
.
...
..
.
.F
y
y
d
d
d
d
d
d
=
=−−−=−−−−
=
=
=−=−
−−
−−
−−
=
=
=−−−=−−−−−
=
=
=−=−−
−−
−−
−−
=
miktarı dolgu Toplam
miktarı Kazı
32d1dd
32d2d
33d1d1d
3yy
m97.37308.5289.321VVV
m08.5264.112
9492.8k2
FV
m89.32100.202
355.12834.1900.202
FFV
m89.2636.82
43225.62
FV
=+=+=
=⋅=⋅=
=⋅+
=⋅+
=
=⋅=⋅= l
2.8.4.4. Kesitlerin İkisi de Karışık
1+560
1+540
Fd1
Fy1
Fd2
Fy2
a
b
Fd2 O
Fy
ℓ
k
mk
mFFF
kyd
d
36.864.1100.2000.20
64.1143225.69492.89492.800.2000.20
2
2
=−=−=
=+∗
=+⋅
=
l
Her iki kesitin solunda ve sağında kalan alanlar aynı tür ise (yandaki şekilde olduğu gibi), sol ve sağ taraf için ayrı ayrı 1. durumda açıklandığı şekilde yarma ve dolgu hacimleri hesaplanır. Aksi takdirde 2. durumda açıklandığı şekilde hesap yapılır.
Geometrik Nivelman
61
Örnek: Fd1=6.14 m2 Fy1=13.48 m2 Vd=?
Fd2=8.25 m2 Fy2=14.72 m2 Vy=?
İki kesit arasındaki uzaklık=1560–1540=20 m
321
21
00.28200.202
72.1448.132
390.14300.202
25.814.62
msFF
V
msFF
V
yyy
ddd
=⋅+
=⋅+
=
=⋅+
=⋅+
=
2.9. Nivelmana Etki Eden Hatalar
2.9.1. Düzenli (Sistematik) Hatalar 1. Küreselliğin (Yerin Eğriliğinin) Etkisi
'ii dhdh = eşitliği sağlandığı anda hata giderilmiş olur. Bunun için de alet, miraların
ortasına kurulmalıdır (si=si’ olmalıdır). si nin bazı değerleri için bu hatanın etkisi hesaplanırsa, aşağıdaki çizelgede verilen değerler elde edilir.
si 50 m 100 m 250 m 500 m 1 km dhi 0.2 mm 0.78 mm 4.9 mm 1.96 cm 7.85 cm
2. Gözlem Ekseninin Kırılması (Simetrik Kırılma) Gözlem ışını, geçtiği ortamın etkisiyle küçük bir sapmaya uğrar. Bu nedenle gözlem ışını, bir doğru olmayıp eğri olur. Bu eğrinin yarıçapı R’,
kRRı =
O
R R
si’ si
dhi’ii
dh
dhi gi
gi = Geri okuma ii=İleri okuma
2222
222
2 ii
i
dhdhRRsR
)dhR(sR
+⋅⋅+=+
+=+
Dünyanın yarıçapı R ve s uzaklığına göre,
dhi çok küçük olduğundan 2idh ihmal
edilebilir. Bu durumda,
Rsdhi ⋅
≅2
2
olur.
Geometrik Nivelman
62
bağıntısı ile hesaplanır. Burada, R dünyanın yarıçapı, k ışığın kırılma katsayısıdır. Türkiye için ortalama kırılma katsayısı k=0.13 olarak alınır. Işığın kırılmasının her bir mira okumasına etkisi, küreselliğin etkisine benzer şekilde,
kR
s
kR
sR
sdh ık ⋅=⋅
=⋅
=222
222
hesaplanır. Alet ortaya kurulmak suretiyle hatanın etkisi ortadan kaldırılabilir. Işığın kırılmasının etkisini azaltmak için gözlem ışınları, yerden en az 70 cm yüksekten geçmelidir. 3. Simetrik Olmayan Kırılma
Bu hatanın etkisini azaltmak için, nivelman yolu, sabit eğimli arazi olarak seçilmemelidir. 4. Artık Eğim Hatası Bu hata düzeç kabarcığının iyi ortalanmamasından ileri gelir. Bundan dolayı ortaya çıkacak hatayı e ile gösterirsek, bunun geri ve ileri okumalara etkisi,
esdhe
esdhe
ii
gg
⋅=
⋅=
A düzeç duyarlığı olmak üzere, hata miktarı, cc
)m(i)mm( Asdhe ⋅⋅= − 310 4
eşitliği ile verilmektedir. Hatanı giderilmesi için alet, iki miranın ortasına kurulmalıdır. Örnek:
mm 0.075dhe
mm 0750501502550310dhe
ım.hesaplayal hatasını eğim artık dhe göre everildiğin olarak 25 A 50
4(mm)
cc
=
=⋅=⋅⋅⋅=
==
− ..
,ms
)m(
5 . Alet ve Miranın Yere Batmasının Etkisi Hatanın etkisini azaltmak için mira, mümkün olduğunca sabit ve sert zeminlere tutulmalı ve alet de sert zeminlere kurulmalıdır.
dhg
B
dhi
A dhg≠dhi
Arazinin eğiminin fazla olduğu durumlarda,ışığın kırılması farklı ortamlarda olmakta ve bu hata ortaya çıkmaktadır.
ig
ii
gg
dhdhk
Rsdh
kR
sdh≠→
⋅⋅
=
⋅⋅
=
2
22
2
dhe
s e
Geometrik Nivelman
63
6. Miranın Eğik Tutulmasından Doğan Hata Mira dα kadar eğik tutulursa, okunması gereken değerden dr kadar fazla bir değer okunur.
da’nın bu değeri (1) eşitliğinde yerine konulursa,
22221dr 2 αα drdrrdr ⋅⋅=→⋅=⋅
olur. Örnek 1: r=3.5 m, dα=1E için dr=?
mm 50 0005330295857153
21153
21
21 222 .m.)
.(.)(.drdr o
o==⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=
ρα
Örnek 2: r=3.5 m, dα=20.5 için dr=?
mm 33 00330295857
5253215253
21
21 222 .m.)
..(.).(.drdr o
o==⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=
ρα
Mira, dikkatlice dik tutulursa, mira eğikliğinin etkisi ihmal edilebilir. Bir mira, Çıplak gözle ±20.5 (=0.952 mm/m), Çekülle ±10.5 (=0.343 mm/m), Küresel düzeçle ±00.5 ∼10 (=0.038 ∼ 0.152 mm/m) Küresel düzeç ve mira destekleri ile ±0E.1 (=0.002 mm/m) lik bir hata ile dik tutulabilir (Banger, 1981). 7. Paralaks Hatası
p
Düzeç camı Düzeç kabarcığı
Kabarcık ucu
dr C
A
r
dα
O
da’ da
Gözlem ekseni
r
Mira
B
αdrda üçgeninde OCB
(1) 2da
2dr
dadrda' üçgeninde ABC
drdr2rda'
2
222
222
22
222
⋅=→
⋅=
+⋅=+
+=→
+⋅=
+=+→
drr
drdrrda
)drr('darüçgenindeOAB
Düzece yandan bakılırsa kabarcık, p kadar kaymış görülür. n noktada hata, geri-ileri okumalarında çift etki göstereceğinden bu kaymanın etkisi, nsp i ⋅⋅2 dir. Hata
sistematiktir. Bu hatanın yok edilmesi için düzece tam karşıdan; kontrol için bir kere sağdan bir kere de soldan bakılmalıdır.
Geometrik Nivelman
64
Eğer düzece, bazen sağdan bazen de soldan bakılırsa hata tesadüfidir. Bu durumda
hata, SspsSspnsp i
iii ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ 2
222 olur.
2.9.2. Düzensiz (Tesadüfi) Hatalar 1. Mira bölümlerinin tesadüfi ortalama hatası, 2. Mira üzerinde tesadüfi ortalama okuma hatası, 3. Nivelman yolunun değişik eğimde olması dolayısıyla ışığın kırılmasının ortalama
hatası, 4. Düzeçlemeden doğan ortalama hata, 5. Eşit olmayan hedef uzaklıklarından doğan ortalama hatalardır.
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
65
3. BÖLÜM
TRİGONOMETRİK YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ Yükseklikler genellikle geometrik nivelmanla belirlenir. Minare kule gibi yanına gidilemeyen ya da arazinin çok engebeli olduğu durumlarda ve geometrik nivelman inceliği istenmeyen işlerde, noktaların yükseklikleri trigonometrik nivelmanla belirlenir. Trigonometrik nivelman, daha çok nirengi noktaları ile takimetrik alımda ve total station benzeri elektronik aletlerle yapılan üç boyutlu kutupsal alımda nokta yüksekliklerinin belirlenmesinde kullanılır. Trigonometrik yükseklik belirlemesi için yüksekliği bilinen bir noktaya teodolit ya da total station kurularak, düşey açı okunur, alet yüksekliği ve işaret yüksekliği ölçülür. Ayrıca iki nokta arasındaki uzaklığın da bilinmesi veya ölçülmesi gerekir.
3.1. Düşey Açı
Şekil 3.1 Düşey açı
İki çeşit düşey açı vardır. Bunlar zenit (başucu) açısı ve eğim açısıdır. Teodolitlerde düşey açı ölçme düzenleri genellikle zenit açısı ölçülecek şekilde yapılmıştır. Düşey açı bölüm dairesi, daire merkezi yatay eksenle çakışacak şekilde ve düşey durumda dürbüne bağlanmıştır. Dürbün aşağı yukarı hareket ettirildiği zaman düşey açı bölüm dairesi de dürbünle birlikte hareket eder.
P
Z
Zenit (Başucu)
Yatay
Z : Zenit (başucu) açısı α : Eğim açısı Z+α = 100g
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
66
3.1.1. Gösterge (Düşey Kolimasyon) Hatası Düşey açı bir gösterge çizgisiyle okunuyorsa, optik eksen tam yatay durumda iken gösterge çizgisinin de tam 100 gradı göstermesi gerekir. Optik eksen yatay durumda iken düşey açı düzeci ayarlandığında gösterge çizgilerini birleştiren doğru ile bölüm dairesinin 100 ve 300 grad çizgileri çakışmıyorsa açı 100 gradtan biraz farklı olacaktır. Bu fazla ya da az okunan miktara gösterge hatası veya düşey kolimasyon hatası denir. Gösterge çizgilerinin yataylanması düşey açı düzeci yardımıyla veya kompensatörlerle otomatik olarak sağlanmaktadır. Gösterge hatası, ya optik eksen ile bölüm dairesinin 100g-300g çizgilerini birleştiren doğru, ya da düzeç ekseni ile gösterge ekseni birbirlerine paralel değilse oluşur. Şekilde birinci hata δ1, ikinci hata ise δ2 ile gösterilmiştir. Açı ölçümünde bu iki hatanın toplamı bir tek hata olarak görünür. Düşey kolimasyon hatası, düşey açı bölüm dairesinin zenit doğrultusundan kayıklığı olarak düşünülürse aşağıdaki şekilde gösterilebilir.
Şekil 3.2 Düşey kolimasyon hatası
α1+ α2 = 400g +2δ δ=( α1+ α2 - 400g) / 2
Eğer alet hatalı değilse dürbünün iki durumunda ölçülen zenit açılarının toplamı 400g olur. 400 gradtan fazla olan miktar, gösterge hatasının iki katıdır. Bunun yarısı α1 den çıkarılarak hatasız zenit açısı bulunur. Gösterge hatası her alet kurulan noktada ölçülen bütün açılar için yaklaşık olarak eşittir. Bir aletle iki dürbün durumunda yapılan ölçümlerle hatasız zenit açısı elde edilir. Hata büyük olursa hesapta zorluk yaratacağı ve bir dürbün durumunda yapılan ölçümler hatalı olacağından alet ayarlanarak bu hata giderilir. Alette hatanın giderilmesi şöyle yapılır: δ hata miktarı birinci dürbün durumunda okunan açıdan çıkarılarak hatasız zenit açısı Z bulunur.
δα −= 1Z
δδ2 δ1
OO
0
200
300
100
Zenit (başucu)
100100
200200
300
300
00
Zenit Zenit
PP
Z
α1
δ
α2
δ Z
α1= Z+δZ =α1-δ
α2=400g - Z+δZ =400g-(α2-δ)
Birinci dürbün durumu İkinci dürbün durumu
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
67
Sonra alet birinci dürbün durumunda P noktasına yöneltilir ve mikrometre vidası ile okunması gereken Z açı değeri ayarlanır. Düşey açı bölüm dairesinin bölüm (taksimat) çizgileri, düşey açı düzeçleme vidası yardımıyla çakıştırılır ve kayan düzeç kabarcığı düzeç ayar vidası yardımıyla ortalanarak aletin hatası giderilmiş olur. Hata giderildikten sonra kontrol için işlem yinelenir. Örnek: α1=97g.6586 α2=302g.3458
6564.970022.06586.97
0022.02
0044.02
4000044.4002
400
1
21
ggg
gg
Z =−=−=
==−
=−+
=
δα
ααδ
3.1.2. Düşey Açı Ölçümü ve Hesabı
Düşey açı ölçümü genellikle refraksiyonun (ışığın kırılmasının) az olduğu öğle saatlerinde yapılmalıdır. Düşey açılar genellikle 2 silsile olarak ölçülürler. Bir silsile düşey açı ölçümü şöyle yapılır: Alet nokta üzerine kurulup düzeçlendikten sonra bir P noktasına yöneltilir ve yatay gözlem çizgisinin ortaya yakın bir yeri dürbünün düşey az hareket vidası yardımıyla noktaya tatbik edilir. Düşey açı düzeci yataylanır ve düşey açı okunur. Eğer alet otomatik ise yani gösterge çizgisinin yataylanması bir kompensatör yardımıyla otomatik olarak yapılıyorsa düzecin ayarlanmasına gerek yoktur. Dürbün ikinci duruma getirilir ve yatay gözlem çizgisi tekrar noktaya tatbik edilip, düzeç ayarlandıktan sonra düşey açı okunur. İkinci silsileye başlarken yatay açı ölçümündeki gibi başlangıç doğrultusunun kaydırılması söz konusu değildir. DN BN Silsile
No Dürbün Durumu
Okunan Düşey Açı
δ Z 400g-Z
Ortalama Z
vδ Vδ2
A B 1 I 95g.7718 -30cc 95g.7688 95g.7689 -3 9 II 304.2342 -30cc 304.2312 400.0060 400.0000 2 I 95.7730 -40cc 95.7690 +7 49 II 304.2350 -40cc 304.2310 400.0080 400.0000 C 1 I 107.3641 -35cc 107.3606 107.3601 +2 4 II 292.6429 -35cc 292.6394 400.0070 400.0000 2 I 107.3623 -27cc 107.3596 -6 36 II 292.6431 -27cc 292.6404 400.0054 δort=-33 400.0000
Bir istasyonda s tane noktaya bakılarak n silsile düşey açı ölçülmüşse, ölçü sayısı n·s olur.
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
68
[ ]
hatası ortalama açının ölçülen silsile n
hatası ortalama açının ölçülen silsile Bir
nm
M
1sn]v[
m
δδδsn
δv
zz
2δ
z
iortii
iδ
±=
−⋅±=
−=−⋅
=
hatası ortalama açının bir ölçülen silsile2 .04 2
5.72
hatası ortalama açının bir ölçülen silsile Bir.72
cczz
cc2δ
z
4n
mM
5122
981sn]v[
m
±=±=±=
±=−⋅
±=−⋅
±=
Refraksiyon katsayısı, havanın sıcaklık derecesine, yoğunluğuna, rutubetine ve
basıncına göre değişir. En büyük değişmeler sabah ve akşam saatlerinde, en küçük
değişmeler öğle saatlerinde olmaktadır. Bu nedenle trigonometrik yükseklik
ölçümünde düşey açı ölçümleri öğle saatlerinde yapılmalıdır. Bundan başka, yere ve
su yüzeylerine yakın geçen ışınlar daha fazla kırıldıklarından, açı ölçümünde ışınların
mümkün mertebe yere ve su yüzeyine yakın olmamasına dikkat edilmelidir. k değeri,
Türkiye’nin çeşitli bölgeleri için Harita genel Komutanlığınca 1/200 000 ölçekli 27
pafta için hesaplanmış olan 27 değerin ortalaması alınarak 0.13 bulunmuştur. (C.
Songu, Ölçme Bilgisi, ikinci Cilt, 1975).
3.2. Kısa Mesafede (S<250 m) Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
D
t
Yatay i ∆h S
Şekil 3.3 Trigonometrik nivelman
Şekil 3.3 den, HB = HA + i + h – t (3.1) h = S cotZ Yatay uzunluğa göre h = D cosZ Eğik uzunluğa göre
yazılabilir. h’ın değeri yukarıdaki (3.1) eşitliğinde yerine konursa, HB = HA + i + S cotZ – t (3.2) HB = HA + i + D cosZ – t
Z h
A
B
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
69
eşitlikleri elde edilir. İki nokta arasındaki yükseklik farkının trigonometrik olarak hesaplanabilmesi için, bu noktalardan birine teodolit kurularak, diğer noktadaki işarete bakılır ve düşey açı ile birlikte yatay ya da eğik uzunluk ölçülür. Ayrıca durulan noktada alet yüksekliği (yatay eksene kadar), bakılan noktada da işaret yüksekliği ölçülür. Yerin küreselliğinin ve refraksiyonun (ışığın kırılmasının) etkisi 250 metreye kadar uzunluklarda 1 cm nin altında kaldığı için bu iki faktörün etkisi, 250 metreye kadar olan uzunluklarda dikkate alınmaz. Trigonometrik yükseklik hesabında 250 metreye kadar olan uzunluklar, kısa mesafe olarak adlandırılır.
3.2.1. Kule Yüksekliği Ölçümü
Kule Yüksekliği belirlemesi, alet kurulan nokta ile kule arasındaki S uzunluğunun doğrudan ölçülüp ölçülmemesine bağlı olarak iki şekilde ele alınır.
3.2.1.1. S Uzunluğu Ölçülüyor
Şekil 3.4 S uzunluğunun ölçülmesi durumunda kule yüksekliği hesabı
h kule yüksekliği, şekilden de görüldüğü üzere h = HT - HT’ bağıntısı ile hesaplanır. Öncelikle verilenlere göre HT ve HT’ nün hesaplanması gerekir.
HT = HA +i+ S cotZ1 HT’ = HA +i+ S cotZ2
h = HT – HT’ = S (cotZ1 – cotZ2)
Örnek: Z1 = 95g.3674 S = 75.14 m Z2 = 102g.1826 h = ? h = S (cotZ1 – cotZ2) = 75.14 * (cot95.3674 – coot102.1826) = 8.0546 m h = 8.05 m
Eğer kulenin tabanı olan T’ noktasının yüksekliği önceden biliniyorsa ya da geometrik nivelmanla belirlenmişse, trigonometrik olarak yalnızca kulenin tepesinin yüksekliğinin (HT) hesaplanması yeterlidir. Yine h=HT-HT’ bağıntısı kullanılarak h hesaplanır. Bu durumda Z2 nin ölçülmesine ihtiyaç yoktur; fakat i alet yüksekliğinin ölçülmesi gerekir.
T Z1
Z2 h
S A
T’i
Bilinen: HA Ölçülen: Z1, Z2, S İstenen: h = ?
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
70
Örnek : Z = 93g.7853 S = 86.55 m
HA = 125.82 m i = 1.50 m
HT’ = 127.39 m h = ?
HT = HA + i + S cotZ = 125.82 + 1.50 + 86.55 * cot93.7853 = 125.82 + 1.50 + 8.48 =
135.80 m
h = HT – HT’ = 135.80 – 127.39 = 8.41 m
3.2.1.2. S Uzunluğu Ölçülemiyor
a) Yatayda Oluşturulan iki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı Bilinenler : HA, HT’ yükseklikleri İstenen: h = ? Ölçülenler : Z düşey açısı α, β, γ, δ yatay açıları a ve b kenarları T
T
T’
A S
Şekil 3.5 Yatayda oluşturulan iki üçgen yardımıyla kule yüksekliği hesabı
δ)sin(γsinδbSATC
β)sin(αsinαaSABT
+⋅=→
+⋅=→
Buradan ortalama S bulunur ve bu değerle de HT
yüksekliği hesaplanır. HT = HA + i + S ∗ cotZ h = HT – HT’
Örnek : a = 28.15 m α = 75g.1428 b = 23.90 m β = 67.3920 Z = 95g.1686 γ = 71.2675 i = 1.50 m δ = 80.4750 HA = 101.00 m HT’=101.95 m
h = ?
Z αa
b
S
A
B
C
β
γδ
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
71
m )sin(
sin bS
m33.162 β)sin(α
sinαaS
142.33δγ
δ=
+⋅=
=+
⋅= Sort = 33.152 m
HT = HA + 1.50 + S * cotZ = 101.00 + 1.50 + 33.152 * cot95g.1686 =
= 101.00 + 1.50 + 2.52 = 105.02 m h = HT –HT’ = 105.02 -101.95 = 3.07 m
b) Düşey Düzlemde Oluşturulan İki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı
Bu yöntemde A, B ve T noktaları, aynı düşey düzlem içinde olacak şekilde seçilir.
Bilinenler: HA, HB, HT’
Ölçülenler :
ZA, ZB düşey açıları
d uzaklığı
ia, ib alet yükseklikleri
İstenen: h = ? Şekil 3.6 Düşey düzlemde iki üçgen oluşturulması
HT = HA + ia + (d + e) cotZA HT = HB + ib + e cotZB
HA +ia + (d+e) cotZA = HB + ib + e cotZB e cotZA - e cotZB = HB + ib - HA - ia - d cotZA
BA
AabAB
cotZcotZcotZdiiHH
e−
⋅−−+−=
T noktasının yüksekliğinin incelikli olarak hesaplanabilmesi için şu noktalara dikkat edilmelidir:
1. B noktası, ZB açısı yaklaşık 50g olacak şekilde seçilmelidir. 2. d uzunluğu, kule yüksekliğinin yaklaşık iki katı olmalıdır. Bunun için de ZA, 80g
civarında olur. 3. A noktasındaki zenit açısı ZA, ZB ye göre daha hassas ölçülmelidir. 4. d uzunluğu hassas bir şekilde ölçülmelidir. 5. Kulenin yüksekliği, A noktasındaki ölçümlere göre hesaplanmalıdır. B
noktasındaki hesap kontrol için yapılmalıdır. Hesap : HT = HA + ia + (d+e) * cotZA Kontrol: HT = HB + ib + e * cotZB 6. A ve B noktalarının en uygun konumu, kulenin ayrı ayrı tarafında seçilmeleridir.
ZB
A d
ZA
T’ e
h
T
ia ibB
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
72
Örnek: ZA= 82g.1694 ia =1.55 m ZB= 53g.4961 ib =1.42 m HA = 100.00 m d = 42.76 m HB = 102.15 m h = ? HT’ = 105.24 m
m 13.47105.24118.71HHhm 118.709cot53.496116.901.42102.15HKontrol
m118.712 cot82.169416.90)(42.761.55100.00HHesap
m16.903 920.60814156210.2796382
cot53.4961cot82.1694cot82.169442.761.551.42100.00102.15
cotZcotZcotZdiiHH
e
cotZeiHcotZe)(diHcotZeiHH
cotZe)(diHH
TT
T
T
BA
AabAB
BbBAaA
BbBT
AaAT
=−=−==⋅++=→
=⋅+++=→
=−−
=
−⋅−−+−
=−
⋅−−+−=
⋅++=⋅+++⋅++=
⋅+++=
′
e
3.2.2. Trigonometrik Nivelman
Şekil 3.7 Trigonometrik nivelman
Trigonometrik nivelmanla iki nokta arasındaki yükseklik farkının bulunmasında, geometrik nivelmandaki geri - ileri bağıntısından yararlanılır.
BAAaBbAB
BbBAaAAB
BBAAABAB
cotZscotZsHHcotZscotZsHH
)h()h(ilerigeriHH∆H
ll
ll
ll
−+⋅−⋅+=⋅+−⋅−=−
−−−=−=−=
Yukarıdaki bağıntı∗, şu şekilde de elde edilebilir: Alet kurulan P noktasına göre, A ve B noktalarının yüksekliklerini veren bağıntılar yazılır ve sonra bu bağıntılardan HB -HA oluşturulur.
∗ Bu bağıntı çıkartılırken ZA ve ZB nin değerleri ne olursa olsun, ZA ve ZB nin 100g dan küçük, yani hA ve hB nin pozitif olduğu şekil 3.7 esas alınır. ZA ve ZB nin tüm değerleri için yukarıdaki eşitlik geçerlidir.
hA hB
ℓB
ℓA
sa sb
ZA ZB
A
Bgeri
ileri
P
Bilinen : HA
Ölçülenler: ZA, ZB, sa, sb, ℓA, ℓBİstenen : HB = ?
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
73
BAAaBbAB
BAAaBbAB
AAaPA
BBbPB
ZcotsZcotsHHZcotsZcotsHH
ZcotsiHHZcotsiHH
ll
ll
l
l
−+⋅−⋅+=−+⋅−⋅=−
−⋅++=−⋅++=
Örnek :
mHAHH
ZsZsHHZsZsHHH
A
A
BABbAaBA
BbBAaAABAB
66.979m 661.979339.2000.100046.320.1782.8817.1300.1000
46.320.13943.95cot17.1211871.106cot72.14100.1000cotcot
)cot()cot(
=
=−=+−−−=+−−+=
+−−+=
−−−=−=Δ
ll
ll
3.2.3. İki Nokta Arasındaki Uzunluğu Ölçmeden Yükseklik Farkının Bulunması
Şekil 3.8 Uzunluk ölçülmeden yükseklik farkının hesaplanması
l
l
ll
=−⋅⋅=−⋅
=⋅−⋅=⇒+=⋅
)ZcotZ(cotsZcotsZcots
mZcotsZcotsmmZcots
21
21
2
11
tiZcotsHHh∆)t(iZcotsHHh∆
ZcotZcots
2ABAB
1ABAB
21
−+⋅=−=+−+⋅=−=
−=
l
l
hA
hB
ℓB
ℓA
141.72 m 121.17 m
ZA ZB
A
BP
Bilinen : HB=1000.00 m Ölçülenler : ZA=106g.1871
ZB=95g.3943 ℓA=1.20 m ℓB=3.46 m
İstenen : HA = ?
Z1 Z2
A
B
s
m
ℓ
t
∆hABi
Ölçülenler : Z1, Z2, i, t, l İstenen : ∆hAB=?
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
74
Örnek:
mHHmHH
mZZ
s
AB
AB
57.10490.19122.97cot89.10550.157.10490.100.27120.96cot89.10550.1
89.1050188869.0
00.29122.97cot7120.96cot
00.2cotcot 21
=−⋅++==−−⋅++=
==−
=−
=l
3.2.4. Kısa Uzunluklarda Trigonometrik Yükseklik Ölçümünde İncelik
Ölçülen büyüklükler, s uzunluğu, Z düşey açısı, i alet yüksekliği ve t işaret yüksekliği ile bunların ortalama hataları da ms, mz, mi, mt olmak üzere kısa uzunluklarda trigonometrik yükseklik ölçümündeki inceliği bulmak için,
∆hAB=HB -HA=s cotZ+i-t
formülüne hata yayılma kanunu uygulanırsa;
222
2
4
2222
2
sincot
sincot
tiz
sh mmmZ
smZm
dtdidzZ
sdsZdh
++⋅+⋅=
−+−⋅=
ρ∆
elde edilir.
Örnek :
mmmmmZZ
mmmmsmZmmm
mmmmmmmmmm
mmmZ
smZmm
hh
hgg
h
hg
t
hi
hs
tiz
shcc
z
3
3
4.4
7.?6099.13445544.50555.09990
9.1009796.1444586.53936.1952
2478.1944834.5644.515
sincot15
2
2
2
222
2
4
2222
±==
=+++=⇒==
±==
=+++=⇒=±=
±=±=
=+++=±=
++⋅+⋅=±=
∆∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆ρ
Z1 Z2
A
B
s
m
ℓ
t
∆hABi
Ölçülenler :Z1=96g.7120 Z2 =97g.9122 İ= 1.50 m t=1.90 m ℓ= 2.00 m
Bilinen : HA =101.50 m İstenen : HB=?
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
75
3.3. Uzun Mesafede (S > 250 m) Trigonometrik Nivelman
Noktalar arasındaki uzaklık 250 metreden fazla ise, yerin küreselliğinin ve ışığın kırılmasının (refraksiyonun) etkisi hesaba katılır.
Şekil 3.9 Uzun mesafede trigonometrik nivelman
edilir.
h
konulursa, yerineeeşitliğind (1) değerBu
,olduğundan açı küçük
üçgeninde AOC
(1) üçgeninde
k
eldeR2
sR2ss
R2s
2γtan
2γ
Rsγtanγ
γRsγtan
2γtansh
sh
2γtanAEC
2
kk
=⋅=
==⇒==
=
⋅=⇒=
Işın yayı, bir daire yayı olarak alınabilir ve yarıçapı R‘ ile gösterilirse, ışığın kırılmasının etkisi de, yerin küreselliğinin etkisine benzetilerek
R2ks
kR2
sR2
sh222
r⋅
==′
=
R = 6373394 m (Dünyanın yarıçapı), R’= R/k (Işın yayının yarıçapı), k = Kırılma (refraksiyon) katsayısı, hk = Yerin küreselliğinin etkisi, hr =Refraksiyonun (ışığın kırılmasının) etkisi, ∆H = A ve B noktaları arasındaki yükseklik farkı,
Z = 100g – α h = s * tan α = s * cot Z
O
O’
RR’
A
B
F
E
C
γ
2δ
s
δ h hr
∆hhk
2γ
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
76
yazılabilir. Şekilden görüldüğü gibi, küreselliğin etkisi daima (+),ışığın kırılmasının etkisi ise eksi daima (-) dir. Refraksiyon (kırılma) katsayısı verilmezse ya da bilinmiyorsa, ülkemizde k=0.13 ortalama değeri kullanılır.
2Rsk)(1sH
2Rks
2Rs sH
hhh∆H
2
22rk
⋅−+⋅=
⋅−+⋅=
−+=
Zcot∆
Zcot∆
Alet ve işaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,
tis2R
k)(1s∆H 2 −+⋅−
+⋅= Zcot
olarak elde edilir. Alet kurulan noktanın yüksekliği biliniyorsa, bakılan noktanın yüksekliği aşağıdaki eşitlik ile bulunur.
tisR2
)k1(ZcotsHH∆HH 2AAB −+⋅
−+⋅+=+=
Yerin küreselliğinin ve ışığın kırılmasının etkisi k=0.13, R=6373394 m alınarak, belirli uzunluklar için hesaplanmış ve aşağıdaki çizelgede verilmiştir.
si 50 m 100 m 250 m 500 m 1 km hk 0.20 mm 0.78 mm 4.90 mm 9.61 mm 78,45 mm hr -0,03 mm -0.10 mm -0.64 mm -2.54 mm 10.20 mm Hk+hr 0.17 mm 0.68 mm 4.26 mm 7.07 mm 68.25 mm
Örnek 1:
HA = 2000.00 m HB = ?
m 45.220310.350.1414.0634.20400.2000H
10.350.1)36.2462(63733942
)13.01(7215.94cot36.246200.2000H
tisR2
)k1(ZcotsHH
B
2B
2AB
=−+++=
−+⋅⋅−
+⋅+=
−+⋅−
+⋅+=
94g.7215
1.50
3.10 m
s=2462.36mA B
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
77
Örnek 2:
m755.305m755.105Hm755.105HH
85.150.1)14.34594.762(R2
13.014715.103cot14.3457524.92cot94.762
)ss(R2k1ZcotsZcotsHH
sR2k1ZcotsiHH
sR2k1ZcotsiHH
AAB
22gg
212A
2BAABBAB
12AAACA
22BBBCB
H B =+=→=−
−+−−
+⋅−⋅=
−+−⋅−
+⋅−⋅=−
−⋅−
+⋅++=
−⋅−
+⋅++=
ll
l
l
Işığın Kırılma (Refraksiyon) Katsayısının (k) Belirlenmesi
Şekil 3.10 Işığın kırılma katsayısı k nın belirlenmesi
ZA
ZB
s'
α
β1
β2
δ2
δ1
C
O
B
A
R R'
R'
s
γ
i CA
B ℓ2=1.85 m
ℓ1=1.50 m
103g.4715 92g.7524
sA=345.14 m sB=762.94 m
HA=200.00 m HB = ?R=6373 394 m
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
78
γδδγδδ
δβδβ
γββ
+=+++
=+−−+−−
+−=+−=
=++⇒
200ZZ (2)
konulursa, e yerlerinde (1) yukarıdadeğer
(1) 200 üçgeninden
21BA
2
1
g2
200Z200Z200ikiBu
Z200Z200
AOB
2B1Ag
2B
1A
1
)()(
elde edilir. AB ışın yayı bir daire yayı olarak alınırsa, δ1= δ2 olur. İnceliğe bir etkisi olmadığından s’=s alınabilir. Bu durumda,
2γkk
R2s
kR2
s'R2
sδδ 21 =⋅=⋅
=⋅
==
olur. Bu değerler (2) de yerlerine konulursa,
γ200ZZk1)k1(γγkγ200ZZ
γ200γkZZg
BAgBA
gBA
−+=−⇒−⋅=⋅−=−+
+=⋅++
ρRsγ ⋅= değeri yerine radyan cinsinden karşılığı yazılırsa,
ρρ
gBA
gBA 200ZZ
sR1k
Rs
200ZZk1 −+⋅−=→
⋅
−+=−
3.4. Karşılıklı Gözlemlerle İki Nokta Arasındaki Yükseklik Farkı Günümüzde hesaplama araçlarının gelişmiş olması nedeniyle ZA ve ZB açıları; yaklaşık olarak değil kesin olarak hesaplanmalıdır.
Şekil 3.11 Karşılıklı gözlemlerle iki nokta arasındaki yükseklik farkının belirlenmesi
A
B
C
γ/2 β1
ZA
ZB
D
α
β2
δ2
δ1
O
R
s
γ
Deniz yüzeyi
HB
h
HA
A
B Z’A
s
tA
iA
∆ZB
tB
iB
Z’B ∆ZA
ZA
ZB
DAB
DBA
L
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
79
Z’ : Ölçülen zenit açısı Z : İşaret tepesine indirgenmiş zenit açısı
∆ZA ve ∆ZB nin yaklaşık hesabı:
BBB
AA
ZZ'Z
Z'Z
∆ρs
itZ∆
Z∆ρs
itZ∆
BBB
AAA
A
+=⋅−
=
+=⋅−
=
ZA ve ZB nin Kesin hesabı:
DAB ve DBA eğik uzunlukları ölçülmemiş ve s yatay uzunluğu verilmişse öncelikle bu eğik uzunluklar,
; '' sinsin BABA
ABAB Z
sDZsD ==
eşitlikleri ile hesaplanır. Sonra tanjant teoremine göre yazılan aşağıdaki eşitlikten ∆ZA hesaplanır.
2Z200Z2
2Z200
2ZZ200Z
2ZZ200Z
DaDa
Ag
A
Ag
AAg
A
AAg
A
AB
AB'
'
'
'
tan
tan
)(tan
)(tan
+−
−
=−−−
−−+
=−+
ΔΔΔ
ΔΔ
2Z200
DaDa
2Z200Z2 A
g
AB
ABAg
A''
tantan −⋅
+−
=+−Δ
⎟⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=+−
2Z200
DaDaatn
2Z200Z2 A
g
AB
ABAg
A''
tanΔ
⎟⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=−
−2
Z200DaDaatn
2Z200
2Z2 A
g
AB
ABAg
A''
tanΔ
2Z200
2Z200
DaDaatnZ A
gA
g
AB
ABA
''
tan −+⎟⎟
⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=Δ
Benzer şekilde
2200
2200tan
''B
gB
g
BA
BAB
ZZDbDbatnZ −
+⎟⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=Δ
yazılır. Bir üçgende bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğundan, şekle göre
BBBA
AAAB
ZZZZZZ
Δ
Δ
+=
+='
'
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
80
yazılarak ZA ve ZB hesaplanır.
Tanjant teoremine göre OAB üçgeninden,
2ββtan
2ββtan
)HR()HR()HR()HR(
21
21
AB
AB+
−
=++++−+ ( 1 )
yazılabilir.
2γcot)
2γ
2πtan(
2ββtan
2γ
2π
2γ200
2ββ
21
g21
=−=+
−=−
=+
2δZδZtan
2ββtan
δZδZδZ200δZ2002β1β)δZ(200β
)δZ(200β
1A2B21
1A2B2B1A
2Bg
2
1Ag
1
−−+=
−−−+=++−−−=−
+−=
+−=
yazılabilir.
2ββ
tanve2ββ
tan 2121 −+ değerleri, yukarıda (1) no lu eşitlikte yerlerine konulursa,
2γcot
2δZδZtan
HAHBR2HAHB
1A2B −−+
=++
−
olur. Buradan ∆hAB = HB - HA çekilirse,
2δZδZtan)
R2HH1(
2γtanR2HHH∆
2γcot
2δZδZtan
)R2
HH1(R2HHH∆
1A2BBAABAB
1A2BBA
ABAB
−−+⋅
++⋅⋅=−=
−−+
⋅+
+⋅=−=
γ küçük açı olduğundan
sγR2s
R2s
2γtan =⋅⇒==
2tan2R
yazılabilir. Öte yandan AB ışın yayı bir daire yayı olarak kabul edilirse δ1= δ2 olur.
Ayrıca, mBA H
2HH
=+
denilir ve A ile B noktalarındaki işaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
81
BAABm
ABAB tt2
ZZtan)R
H1(sHHH∆ −+−
⋅+⋅=−=
şeklini alır. Noktalar arasındaki s uzaklığı ya da ortalama yükseklik Hm küçük ise parantez içindeki terim ihmal edilebilir. Bu durumda,
BAAB
ABAB tt2
ZZtansHHH∆ −+−
⋅=−= ( 2 )
olur. Formüldeki ZA ve ZB açıları işaret tepesine indirgenmiş zenit açılarıdır. A noktasının yüksekliği biliniyorsa, B noktasının yüksekliği;
BAABm
AABAB tt2
ZZtan)R
H1(sHH∆HH −+−
⋅+⋅+=+= ( 3 )
şeklinde yazılabilir.
ABH∆ yükseklik farkı şu formülle de hesaplanabilir: işaret yükseklikleri dikkate
alınmadan A ve B noktaları arasındaki yükseklik farklar ∆HAB ve ∆hBA ,
BBA
AABZcotsH∆ZcotsH∆
⋅=⋅=
biçiminde yazılabilir. Bu iki değerin ortalaması alınmak suretiyle,
2ZcotZcots
2ZcotsZcots
2H∆H∆
2)H∆(H∆H∆ BABABAABBAAB
AB−
⋅=⋅−⋅
=−
=−+
=
elde edilir. İşaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,
BABA
ABAB tt2
ZcotZcotsHHH∆ −+−
⋅=−= ( 4 )
Yatay uzunluk yerine eğik uzunluk kullanılırsa (4 ) numaralı eşitlik yerine,
BABA
ABAB tt2
ZcosZcosDHHH∆ −+−
⋅=−= (5)
olur. (4) numaralı eşitlikten elde edilen sonuçla, (2) numaralı eşitlikten elde edilen sonuçlar aynıdır. İki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanırken, önce (2) veya (4) numaralı eşitliklerden birine göre aranan nokta yüksekliği hesaplanır ve daha sonra, (3) numaralı eşitlikten noktanın kesin yüksekliği elde edilir.
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
82
3.5.1. Zenit Açılarının Zemin Noktasına İndirgenmesi
Şekil 3.12 Zenit açılarının zemin noktasına indirgenmesi
Z’A, Z’B : Ölçülen zenit açıları, ZA, ZB : Zemin noktasına indirgenmiş zenit açıları, D’, D’’ : Ölçülen eğik uzunluklar, D : Zemin noktaları arasındaki eğik uzunluk, S : Zemin noktaları arasındaki yatay uzunluk, iA, iB : Alet yükseklikleri, tA, tB : İşaret yükseklikleri olmak üzere;
a = tA-iB, b = tB-iA kısaltmaları ile ve uzun mesafede DDD ≅′′≅′ kabulüyle,
ıAsinZ
sD =→⋅= ıAZsinDs
BBB
AAA
BB
AA
Z∆ZZZ∆ZZ
ZsinDaZ∆Sin
ZsinDbZ∆Sin
+′=+′=
′⋅=′⋅=
′⋅=′⋅=
B2
A2
Zsin sa
Zsin sb
yazılır. 1ZsinsinZ arasında 2 ≅≅−= gg 11090Z alınabilir. BZ ve ∆Z∆ A nin küçük
açılar olduğu da dikkate alınırsa;
ρsaρ
DaZ∆
ρsbρ
DbZ∆
B
A
⋅=⋅=
⋅=⋅=
yazılabilir.
A
B
s
D
D
D
D’
tA
iA
a
b tB
iB
Z’B
Z’A ZA
Z’AZB Z’B
D”
∆ZA
∆ZB
ZA
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
83
ÖRNEKLER: 1- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılmıştır. Aşağıdaki verilere göre; a) k kırılma (refraksiyon) katsayısını hesaplayınız.
b) HA=2500.00 m verildiğine göre, B noktasının yüksekliğini hesaplayınız.
0483.06620.6338.4745
40.100.5S
itZ
0402.06620.6338.4745
50.150.4S
itZ
gBBB
gAAA
=⋅−
=⋅−
=Δ
=⋅−
=⋅−
=Δ
ρ
ρ
5856.960483.05373.96Z5373.96Z
4518.1030402.04116.103Z4116.103Zg
BB
gAA
=+=Δ+=
=+=Δ+=
a) 6620.630374.0
38.474563733941
6620.632005856.964518.103
SR1
200ZZSR1k
gBA ⋅−=
−+⋅−=
−+⋅−=
ρ
21.0789.01k =−=
b) BAAB
AB tt2
ZZtanSHH −+
−∗+=
00.550.42
4518.1035856.96tan38.44745HH AB −+−
∗+=
m 347.224350.01525.25600.2500HB =−−=
BAABm
AB tt2
ZZtan)
RH
1(SHH −+−
∗+⋅+=
m 674.23712
347.224300.25002
HHH BA
m =+
=+
=
=−+−
∗+⋅+= 00.550.42
4518.1035856.96tan)6373394
674.23711(38.474500.2500HB
m 25.224350.0248.25600.2500HB =−−=
ΔZB
ZA
103g.4116
5.00 m
1.40 1.50
4.50 m 96g.5373
S= 4745.38 m
A
B
ZB
ΔZA
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
84
2- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. HA=2000.00 m olduğuna göre; B noktasının yüksekliğini ve k kırılma (refraksiyon) katsayısını bulunuz (R=6373394 m alınacaktır).
0158.06620.6334.4785
35.054.1S
tiZ
0121.06620.6334.478505546.1
Sti
Z
gBBB
gAAA
=⋅−
=⋅−
=Δ
=⋅−
=⋅−
=Δ
ρ
ρ
8691.930158.08849.93Z5373.96Z
1715.1060121.01836.106Z1836.106Zg
BB
gAA
=−=Δ−=
=−=Δ−=
a) 6620.630406.0
34.478563733941
6620.632008691.931715.106
SR1
200ZZSR1k
gBA ⋅−=
−+⋅−=
−+⋅−=
ρ
15.0849.01k =−=
b) BAAB
AB tt2
ZZtanSHH −+
−∗+=
35.055.02
1715.1068691.93tan34.4785HH AB −+−
∗+=
m 38.153620.0817.46300.2000HB =+−=
BAABm
AB tt2
ZZtan)
RH
1(SHH −+−
∗+⋅+=
m 19.17682
38.153600.20002
HHH BA
m =+
=+
=
35.055.02
1715.1068691.93tan)6373394
19.17681(34.478500.2000HB −+−
∗+⋅+=
m 25.153620.0946.46300.2000HB =+−=
ΔZA
106g.1836 93g.8849
S=4785.34 m
ΔZB ZB
ZA 1.46
1.54 m0.35
0.55
A
B
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
85
3- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. HB=3000.00 m olduğuna göre; B noktasının yüksekliğini ve k kırılma katsayısını bulunuz (R=6373394 m alınacaktır). 108g.3685 91g.7007 1.60 0.45 A 1.50 m 0.65 S = 6666.66 m B a) İşaret Tepesine İndirgenmiş Açılarla Çözüm
00810662063666666
650501S
tiZ
01100662063666666
450601S
tiZ
gBBB
gAAA
...
..
...
..
=∗−
=⋅−
=
=∗−
=⋅−
=
ρΔ
ρΔ
69269100810700791ZZZ3575108011003685108ZZZ
gBBB
gAAA
......
'
'
=−=−=
=−=−=
Δ
Δ
4506502
6926913575108666666tt2
ZZSHHH ABBA
BABA ....tan.tan −+−
∗=−+−
⋅=−=Δ
m788877450650588877HH BA .... =−+=−
m 7883877788877003000788877HH BA .... =+=+=
m8934382
000300078838772
HHH BAm ...
=+
=+
=
2000628784506502
69269135751086373394
8934381666666HH
tt2
ZZR
H1SHH
BA
ABBAm
BA
......tan).(.
tan)(
+=−+−
∗+∗=−
=−+−
⋅+⋅=−
m3878.26 878.2623000.000878.262HH m BA =+=+=→=− 262878HH BA .
m263878HA .=
ΔZA
108g.3685 91g.7007
S=6666.66 m
ΔZB ZB
ZA 1.60
1.50 m0.65
0.45
A
B
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
86
66206305010
66666663733941
6620632006926913575108
SR1200ZZ
SR1k
gBA
..
....
⋅−=−+
⋅−=−+
⋅−=ρ
24802476507523501k ... ≅=−= b) Zemin Noktasına İndirgenmiş Açılarla Çözüm
108g.3685 1.60 1.50 m 0.65 S = 6666.66 m B
00910662063666666
950662063666666
650601Sb
StiZ gBA
A ...
...
..=⋅=⋅
−=⋅=⋅
−= ρρΔ
01000662063666666
051662063666666
450501Sa
StiZ gAB
B ...
...
..=⋅=⋅
−=⋅=⋅
−= ρρΔ
69089100990700791ZZZ
3596108008903685108ZZZ
0099062400015483850700791666666
051ZSin
398000140051903685108ZSin
gBBB
gAAA
g2B
2A
......
...sin.
.
..sin
=−=−′=
=−=−′=
=→=⋅=′⋅=
=→=⋅=′⋅=
Δ
Δ
ΔΔ
ΔΔ
BB2
gAA
2
Z Zsin Sa
.00890Z 6666.66
0.95 Zsin Sb
m 7968772
69089135961086666662
ZZSHHH BA
BABA ...tan.tan =−
∗=−
⋅=−=Δ
m 7963877796877003000796877HH BA .... =+=+=
m9034382
000300079638772
HHH BAm ...
=+
=+
=
26908913596108
63733949034381666666
2ZZ
RH
1SHH BAmBA
..tan).(.tan)( −∗+∗=
−⋅+⋅=−
m 3878.27878.2703000.000878.270HH m BA =+=+=→=− 270878HH BA .
66206305040
66666663733941
6620632006908913596108
SR1200ZZ
SR1k
gBA
..
....
⋅−=−+
⋅−=−+
⋅−=ρ
243024310756901k ... ≅=−=
91g.7007
∆ZB ZA A ZB
b=1.60-0.65=0.95
a=1.50-0.45=1.05
∆ZA
0.45
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
87
Elektronik Takeometrelerle Yapılan Karşılıklı Gözlemlerle Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
Aralarındaki yükseklik farkı belirlenecek iki noktada da, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi üzerine reflektör yerleştirilmiş birer elektronik takeometre (total station) olmalıdır. Bu iki noktada eş zamanlı karşılıklı gözlemlerle düşey açı ve eğik uzunluklar ölçülürse, iki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanabilir. Elektronik takeometrenin yatay ekseni ile üzerindeki reflektör arasındaki a mesafesinin her alet için, bir kez incelikli olarak ölçülmesi yeterlidir. Daha sonra ölçüm anında yalnızca elektronik takeometrelerin yatay ekseninin zemindeki noktadan olan mesafesinin ölçülmesi yeterli olur. Düşey açı ölçümünde, yatay gözlem çizgisinin hedef levhasındaki > < işaretlerinin ortasına tatbik edilmesi yerinde olur.
Neper Formüllerine Göre Çözüm:
Yukarıdaki şekil ve notasyonlara göre Neper formüllerine göre,
2Z200Z∆2tan
2Z200tan
2)Z∆Z200(Z∆tan
2)Z∆Z200(Z∆tan
DaDa
'AB
gA
'AB
g
A'AB
gA
A'AB
gA
AB
AB
+−
−
=−−−
−−+
=−+
2Z200tan
DaDa
2Z200Z∆2tan
'AB
g
AB
AB'AB
gA −
⋅+−
=+−
⎟⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=+−
2Z200tan
DaDaatn
2Z200Z∆2 '
ABg
AB
AB'AB
gA
⎟⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=−
−2
Z200tanDaDaatn
2Z200
2Z∆2 '
ABg
AB
AB'AB
gA
ΔZB
ZAB
Z’AB
tB
iBiA
tA Z’BA
SA
B
ZBA
ΔZA
L
DAB DBAa
a a
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
88
2Z200
2Z200tan
DaDaatnZ∆
'AB
g'AB
g
AB
ABA
−+⎟
⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=
Benzer şekilde
2Z200
2Z200tan
DaDaatnZ∆
'BA
g'BA
g
BA
BAB
−+⎟
⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=
yazılır.
B'BABA
A'ABAB
Z∆ZZ
Z∆ZZ
+=
+=
2LLL
sinZsinZDBAL
sinZsinZDL
BAAB
BA
'BA
BA
AB
'AB
ABAB+
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⋅=→=
⋅=→=
BA
BA'BA
BA
AB
AB'AB
AB
ZsinD
ZsinL
ZsinD
ZsinL
BABAABAB tt)ZcosZ(cos2LH∆ −+−⋅=
Kosinüs Teoremine Göre Çözüm Bu çözüm yolunda düşey açının 100 grad civarında olması durumunda, a kenarının çok kısa olması nedeniyle ölçülerin formüllerde yerine konmasıyla anlamsız sonuçlara ulaşılabilmektedir. Bu nedenle düşey açının 100g civarında olduğu durumlarda Neper formüllerine göre çözüm yapılması daha doğru olacaktır.
BABAABABAB tt)ZcotZ(cotS21HHH∆ −+−⋅=−= Yatay uzunluğa göre
BABAABABAB tt)ZcosZ(cosL21HHH∆ −+−⋅=−= Eğik uzunluğa göre
2LLL
ZcosDa2DaL
ZcosDa2DaLBAAB
'BABA
2BA
2BA
'ABAB
2AB
2AB +
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⋅⋅⋅−+=
⋅⋅⋅−+=
Sinüs teoremine göre,
'AB
AB'AB
AB
AB ZsinL
DLZsin
DZsin
⋅=→= ABsinZ
)ZsinL
Darcsin(Z
)ZsinL
Darcsin(Z
'BA
BABA
'AB
ABAB
⋅=
⋅=
BABAABAB tt)ZcosZ(cos2LH∆ −+−=
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
89
Örnek: A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. Aşağıdaki verilere göre B noktasının yüksekliğini bulunuz.
?......
'
'
====
====
ABBBA
AAB
H m t m D m0.22 a m t m D
Δ81147557571895Z801450579388103Z
gBA
gAB
a) Neper formüllerine göre çözüm:
2Z200
2Z200tan
DaDaatnZ∆
'AB
g'AB
g
AB
ABA
−+⎟
⎟⎠
⎞−⋅⎜⎜
⎝
⎛+−
=
2432602
93881032002
93881032004505722045057220atnZ g
gg
A ...tan....
=−
+⎟⎟⎠
⎞−⋅⎜
⎝⎛
+−
=Δ
2431602
5718952002
5718952004755722047557220atnZ g
gg
B ...tan....
=−
+⎟⎟⎠
⎞−⋅⎜
⎝⎛
+−
=Δ
8149695243160571895ZZZ182411042432609388103ZZZ
gBBABA
gAABAB
......
'
'
=+=+=
=+=+=
Δ
Δ
m4625746074647
m46057814969557189547557
2
55L
sinZsinZDBAL
m57.464 41sin104.1828sin103.93857.450
sinZsinZDL
BA
'BA
BA
AB
'AB
ABAB
...
..sin.sin.
=+
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
( ) 811801814969518241104246257ttZZ
2LH BABAABAB ...cos.cos.)cos(cos −+−⋅=−+−⋅=Δ
m 7833HAB .−=Δ
b) Kosinüs teoremine göre çözüm:
m LLL
m 0.22L
m L0.22
BAAB
2
AB
2
462572
46057464572
46057L57189547557220247557ZDa2Da
46457938810345057220245057ZDa2DaL
BA
2BABA
2BA
2BA
2ABAB
2AB
2AB
....
.cos...cos
..cos...cos
'
'
=+
=+
=
=
∗∗∗−+=⋅⋅⋅−+=
=
∗∗∗−+=⋅⋅⋅−+=
7823955718954625747557Z
LDZ
149110493881034625745057Z
LDZ
gBA
BABA
gAB
ABAB
.).sin..arcsin()sinarcsin(
.).sin..arcsin()sinarcsin(
'
'
===⋅=
=⋅=⋅=
=−+−⋅=−+−= 8118017823951491104246257ttZZ
2LH BABAABAB ..).cos.(cos.)cos(cosΔ
m 7833HAB .−=Δ
Trigonometrik Yükseklik Ölçümü
90
Aralarındaki yüksek farkı belirlenecek olan A ve B gibi iki noktanın deniz seviyesinden yükseklikleri fazla değilse veya aralarındaki uzunluk çok büyük değilse, eş zamanlı karşılıklı gözlemlerden iki nokta arasındaki yükseklik farkı şu şekilde de belirlenebilir.
ABBABBABA
BAABAABAB
tiDRkZDH
tiDRkZDH
−+−
+⋅=Δ
−+−
+⋅=Δ
2
2
21cos
21cos
ABBABBABAABAABBAAB tiDRkZDtiD
RkZDHH +−
−−⋅−−+
−+⋅=Δ−Δ 22
21cos
21cos
22
21
21
BAAB DRkD
Rk −
≈−
ifadeleri birbirine eşit alınabilir. Bu durumda,
ABBBABAAABBAAB tiZDtiZDHH +−⋅−−+⋅=Δ−Δ coscos
olur. Ayrıca
BAAB HH Δ−=Δ
olduğundan
ABBABBAAABABABABBAAB titiZDZDHHHHH +−−+⋅−⋅=Δ=Δ+Δ=Δ−Δ coscos2
)()(coscos2 BABABBAAABAB ttiiZDZDH −+−+⋅−⋅=Δ
2)()(
2coscos BABABBAAAB
ABttiiZDZDH −+−
+⋅−⋅
=Δ
elde edilir.
ZAB
tB
iBiA
tA ZBA
SA
B
DAB DBA
Takimetri
82
4. BÖLÜM TAKİMETRİ
Takimetri yönteminde bir noktanın yatay konumu ile yüksekliği birlikte belirlenir. Koordinatları ve yüksekliği bilinen bir noktaya (örneğin, poligon noktası) takeometre aleti kurularak ölçülecek noktaların konumları kutupsal koordinat yöntemine göre, yükseklikleri de trigonometrik olarak belirlenir. Kutupsal alım yönteminde, ölçülecek noktaların bilinen bir doğrultuyla yaptığı yatay açılar ve alet kurulan noktadan olan uzaklıkları optik olarak ölçülürler.
Takimetri yöntemi, genel olarak yol ve demiryolu projelerinin yapımında, havai nakil hatları etütlerinde, konut, fabrika inşaatı alanlarında, yükseklik eğrili haritaların alımı işlerinde uygulanır.
Şekil 4.1 Takimetrik alım krokisi
Takimetri
83
4.1. Takimetrik Alımın Yapılışı
Takimetri ekibi, 1 krokici, 1 operatör (takeometreyi kullanan), 1 yazıcı ve yeterince miracıdan oluşur. Ekibi, krokici yönlendirir. Takimetrik alım için operatör takeometreyi, konumu ve yüksekliği bilinen (genelde poligon) bir noktaya kurar ve alet yüksekliğini (aletin üzerine kurulduğu zemin noktası ile aletin yatay ekseni arasındaki düşey uzaklık) çelik şerit ya da mira ile ölçer. Öncelikle konumu ve yüksekliği bilinen başka bir noktaya bakılarak yatay ve düşey açı okumaları ile birlikte mira okumaları yapılır. Matematiksel olarak bilinen tek bir noktaya bakmak yeterlidir. Fakat kontrol amacıyla bilinen ikinci bir noktaya daha bakılarak aynı okumalar orada da yapılır. Yapılan okumaları, yazıcı takimetrik ölçüm çizelgesine kaydeder. Krokici, miracılarla birlikte ölçülecek yeri dolaşarak, detayı yerinde çizer ve miracılara, mirayı tutacakları yerleri gösterir. Her mira tutulan noktaya bir numara verilir ve ölçü krokisinde “x” işaretiyle (elektrik direği, sokak lambası vb. Özel gösterimi olan noktalar hariç) gösterilir. Kontrol amacıyla 10 noktada bir, yazıcı ile numaralar karşılaştırılır ve bir hata varsa düzeltilir. Nokta numarası, haritası yapılacak bölge için 1 den başlar ve birbirini izleyerek devam eder. Takimetrik olarak yollar, elektrik, telefon direkleri, büyük ağaçlar, duvar, dere, tepe, şev gibi arazinin karakteristik özellik gösteren yerleri ile yükseklik eğrilerinin çizimini sağlayacak şekilde belli aralıklarla mira tutularak arazi taranır. Bir poligon noktasından alınabilen tüm detayın ölçümleri yapılır. Alet (takeometre) bilinen başka bir noktaya kurularak aynı işlemler tekrarlanır. Noktaların numaralanması kaldığı yerden devam eder. Takeometre miraya yöneltilince, gözlem çizgilerinin alt çizgisi (küçük okuma değerin olduğu çizgi) mirada 100 cm değerine tatbik edilir. Eğer 100 değeri okunamıyorsa, 200 değerine, o da okunamıyorsa 300 değerine tatbik edilir. Onlar da görülemiyorsa özellikle ağaçlık bölgelerde desimetre başlangıçlarına da tatbik yapılabilir. Mira üzerinde alt, orta ve üst çizgi okumaları yapılır. Daha sonra yatay açı ve düşey açı okunur. Yazıcı, operatörün okuduğu değerleri takimetrik ölçü çizelgesine kaydeder. Yazıcı, orta-alt çizgi okuma farkı ile üst-orta çizgi okuma farkını alarak bunların birbirine eşit olup olmadığını kontrol eder. Eğer farklar, birbirine eşit değilse operatörü uyararak mira okumalarını yeniden yapmasını sağlar. Bu iki farkın toplamı, aynı zamanda üst çizgi - alt çizgi okuma farkına eşit olması gerekir. Miralar, nokta üzerine küresel düzeci yardımıyla düşey olarak tutulurlar.
Takimetri
84
4.1.2. Uzunlukların Optik Olarak Ölçülmesi : Yatay eksen Objektif
δ f D’
Şekil 4.2 Uzunlukların optik olarak ölçülmesi
ll
l
l
ll
⋅=⋅===
+⋅=
=
+⋅=+=
+=
⋅=→=
100kSdurumda,Bu dür.100 k ve0 C Aletlerde olur.
CkS
denilirse, kpf
CpfC'DS
fδCpf'D
fp
'D
olur. Burada k=100 katsayısı, cm biriminde bulunan mira farklarının m birimine dönüştürülmesini sağlar. Yalnız bu formül, optik eksen yatay, yani miraya dik olduğu zaman geçerlidir. Hâlbuki eğimli arazide optik eksen miraya dik değildir.
t
h
B
Z
α S
A
Şekil 10.3 Takimetrik alımda yatay uzunluğun ve yükseklik farkının belirlenmesi
sC
ℓ p
Mira Alt çizgi okuması
Üst çizgi okuması
p
i
ℓ’ℓ
α
s’Üst çizgi
Alt çizgi
α
Takimetri
85
ℓN = ℓ cosα SN = C+ k ℓN = C+ k ℓ cosα S = SN cosα = C cosα + k ℓ cos2α cosα ≈cos2α alınabilir (C küçük bir değer ve cosα da 1 ‘e yakın). S = C cos2α +k ℓ cos2α = (c+k ℓ) cos2α C = 0 ise, yatay uzunluk, S = k ℓ cos2α = k ℓ sin2Z
olur. h = S’ sinα = (c + k ℓ cosα) sinα = c sinα + k ℓ sinα cosα sinα ≈ sinα = cosα alınabilir. h = c sinα cosα + k ℓ sinα cosα = (C + k ℓ) sinα cosα h =½ (C+ k ℓ ) sin2α
C = 0 ise,
h = ½ k ℓ sin2α = ½ k ℓ sin2Z
olur. Ya da S yatay uzunluğu bilindiğine göre h,
h = S cotZ = S / tanZ
şeklinde hesaplanabilir. Durulan noktadaki alet yüksekliği i, miradaki orta çizgi okuması (işaret yüksekliği) t ise, bakılan noktanın yüksekliği;
HB = HA + i + h –t Ya da h yerine karşılığı yazılırsa,
HB = HA + i + ½ k ℓ sin2Z – t HB = HA + i + S / tanZ – t
formülleri ile bulunur. Örnek :
Yatay Düşey Mira Orta-Alt Üst-Alt Yatay YükseklikDN BN Açı Açı Okuması Üst-Orta ℓ Uzunluk h H
100 P2 P1 0g.000 101g.380 172.3 72.3 144.6 144.53 m -3.134 96.59 m i=1.45 244.6 72.3 HP2=100.00 100 101.45 P3 221.150 96.410 151.4 51.4 102.8 102.47 5.785 105.72 202.8 51.4 100 1 21.452 98.483 114 14 28 27.98 0.667 100.98 128 14 200 2 75.765 103.550 241.5 41.5 83 82.74 -4.619 94..42 283 41.5 100 3 125.360 102.130 122.4 22.4 44.8 44.75 -1.498 98.73 144.8 22.4
Kaynaklar
86
KAYNAKLAR
Aydın, Ö. : Ölçme Bilgisi 2, Yıldız Teknik Üniversitesi Basım-Yayın Merkezi, Üniversite yayın no: YTÜ. İN. DN–97.0318, 1997.
Banger, G. : Hassas Nivelmanda Hata Kaynakları. İ.Ü. Orman Fakültesi Dergisi, Seri A, 2/1981, Ayrı Baskı.
Baumann, E. : Vermessungskunde, Lehr-und Übungsbuch für Ingenieure, Band I, ISBN 3-427-79041-x, Ferd. Dümmler Verlag. Bonn-1986.
Baumann, E. :Vermessungskunde, Lehr-und Übungsbuch für Ingenieure, Band II, ISBN 3-427-79051-7, Ferd. Dümmler Verlag. Bonn-1985.
Demirel, H. : Harita ve Kadastro Mühendisliği, sayı:44, 1983 Demir, C.; : Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı (TUDKA-99), Cingöz, A. http://www.hgk.mil.tr
Erbudak, M. :Tuğluoğlu, A. : Fiziksel Geodezi. İDMMA yayınları Sayı:129, Özarkadaş Matbaası, İstanbul–1976.
Gürkan, O. : Fiziksel Jeodezi, Weikkoa Heiskanen ve Helmut Moritz’den çeviri, Karadeniz Üniversitesi Basımevi, Trabzon–1984.
Heck, B. : Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung. 2. auflage, Herbert Wichmann Verlag, Heidelberg 1995.
Kahmen, H. : Vermessungskunde I, Walter de Gruyter, Berlin . New York-1988.
Kahmen, H. : Vermessungskunde III, Walter de Gruyter, Berlin . New York-1988.
Koç, İ. :Ölçme Bilgisi I, ISBN 975-95964, İstanbul – 1988.
Möser, M.; : Handbuch Ingenieurgeodaesie, Grundlagen. Herbert Wichmann Müller, G.; Verlag, Heidelberg - 2000. Schlemmer, H.; Verner, H.
Özbenli, E.; : Ölçme Bilgisi. Pratik Jeodezi. Matbaa Teknisyenleri Basımevi, Tüdeş, T. İstanbul -1972.
Özgen, M.G. : Topoğrafya (Ölçme Bilgisi), İstanbul -1984
Songu, C. : Ölçme Bilgisi, İkinci cilt, Ankara -1975.
Kaynaklar
87
Şerbetçi, M. :Ülke Temel Jeodezik Ağın Tarihçesi, Nirengi, Nivelman ve Gravite Ağları, Harita ve Kadastro Mühendisliği 1992 sayı 72).
Şerbetçi, M. : Türk Haritacılığı Tarihi s:65, Trabzon 1995
Ulsoy, E. :Matematiksel Geodezi, İDMMA Yayınları Sayı:144, İstanbul 1977
Ulsoy, E. :Ülke Jeodezi Ağları, Ders Notu, İTÜ Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği bölümü, Jeodezi Kürsüsü Yayınları No:2, İstanbul 1976.
Uzel, T. : Mimarlık Ölçme Bilgisi, Klasik ve Fotogrametrik Yöntemler, Rölöve Örüklü, E. Çalışmaları. İDMMA Yayınları Sayı:140
Uzel, T. : Harita ve Kadastro Mühendisliği. Sayı:83, 1997. Gülal, E.
Uzel, T. :Jeodezik Amaçlı Elektromagnetik Ölçmeler C:II. YÜ, İstanbul-1984.
AnaBritannica, cilt:18, s:139, Ana Yayıncılık A.Ş. İstanbul, 2000.
Açıklamalı-Örneklemeli Büyük Ölçekli Haritaların Yapım Yönetmeliği, TMMOB Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası –İstanbul Şubesi, 1992.
Büyük Ölçekli Harita ve Harita Bilgileri Üretim Yönetmeliği, 2005