Z-score and Expected Valueคะแนนมาตรฐานและคาความคาดหวง

Chapter 5

2 เรองสมพนธกนอยางไร? น าไปใชอยางไร?

คะแนนมาตรฐาน (Standard Score or Z-score)

• ใชกบทฤษฎการบรหารธรกจหลายเรอง• การประยกตใชคะแนนมาตรฐานในเชงการบรหาร มกจะมการผสมดวยเรองความนาจะเปน

• ขอมลทน ามาวเคราะหโดยคะแนนมาตรฐานนน จะมลกษณะเปนแบบกราฟปกต (Normal Curve หรอ Normal Distribution)

• วตถประสงคเพอใชในการแปลง (Transform) ขอมลทตองการวเคราะหในเรองเดยวกนหรอตางกน ใหเปนมาตรฐานเดยวกน คอ คา Z (Z-score)

สตรคะแนนมาตรฐาน (Z-score Equation)

โดยท

Z คอ คาคะแนนมาตรฐาน

x คอ ตวขอมลทจะแปลงใหเปนคะแนนมาตรฐาน

x หรอ m คอ คาเฉลยของขอมลท x อย

s หรอ s (Sigma) คอ คาเบยงเบนมาตรฐานขอมล (ท x อย )

sxx

Z -= =

x - ms

ตความสตร (Z-Score Equation Meaning)

• คะแนนมาตรฐาน (Z-Score) เปนตวเลขทไมมหนวย (Dimensionless Quantity) เพราะเกดจากขอมลทม หนวยเดยวกนหารกน

• คะแนนมาตรฐาน คอ การวดขอมลวาหางจากคาเฉลยเปนกเทาของคาเบยงเบนมาตรฐาน (SD หรอ S หรอ sหรอ Standard Deviation)

• คาพนทใตกราฟของกราฟปกตทใชเปนคาความนาจะเปนดไดจากทายเลมทภาคผนวก E (Appendix E)

sxxZ -

=

ตวอยางท 5.1 ผบรหารแหงหนงสอบขอเขยนในการเรยนปรญญาโทภาคท 1 ไดคะแนนสอบและมขอมลเรยงตามล าดบดงตอไปน

วชา คะแนนทสอบได คะแนนเฉลย SD1. วชาเศรษฐศาสตรฯ 75 80 102. วชาการตลาดชนสง 75 70 53. วชาองคกรและการจดการ 75 65 10ใหเปรยบเทยบวา วชาใดจะไดผลสอบออกมาดกวากน

• หากดเฉพาะคะแนนสอบแตละวชา จะพบวาทกวชาไดคะแนนเทากนหมดคอ 75

• คา Z ของแตละวชา = (75 – 80)/10 , (75 - 70)/5 , (75 - 65)/10= -0.5 , 1, 1 ตามล าดบ

• ดงนน วชาท 2 และ 3 ดเทากน สวนวชาท 1 ดอยกวา 2 และ 3(ในกรณน คาคะแนนมาตรฐาน z ยงมากยงด)

โดยทx = คาของขอมลs = Standard Deviation (สญลกษณ อานวา ซกมา) m = Mean หรอ คาเฉลย (สญลกษณ อานวา มว)p = 3.141592654…... (สญลกษณ อานวา พาย)e = 2.718281828...… (เปนตวเลขคงท)[ รปแบบสมการน าไปวาดรปกราฟ Normal Curve เพอแสดงความสมพนธ พนทใตกราฟกบความนาจะเปน ]

22 s/ )(

2

1)(

m

ps =

x -exf2

สตรคะแนนมาตรฐานน าไปวาดกราฟปกต

รปท 5.1 เปรยบเทยบ Normal Curve ท อยบนแกน x และ z

แกนนอนสามารถมองไดเปน 2 ระบบ คอ- ใชเปนระบบขอมลหรอคา x (กราฟปกตบนแกน x)- ระบบคา Z-score (กราฟปกตบนแกน Z)- คาตรงกลางของกราฟ คอ

- คาเฉลย เมอมองเปนแกน x- คา Z = 0 เมอมองเปนแกน Z

กราฟปกต (Normal Curve)

รปท 5.2 ภาพ Normal Curve เปรยบเทยบแกนเดยวกนแตตางคา x, z

เปรยบเทยบกราฟปกต (Normal Curve)

คาบนแกน xคาบนแกน z

x - 3s-3

x - 2s-2

x - s-1

x0

x + s1

x + 2s2

x + 3s3

(50%)(50%)

รปท 5.3 ภาพ Normal Curve ทแสดงความสมมาตรกนตรงแนวดงตรงกลาง

พนทใตกราฟปกต (Normal Curve)

พท.ใตกราฟ (ความนาจะเปน) 0.6827 0.9545 0.9973

ชวงบนแกน x x + 2s x + 3sx + sชวงบนแกน z + 2 + 3+ 1

รปท 5.4

คาความนาจะเปนของกราฟปกตชวง m + s

พนทใตกราฟชวงระหวาง x + s หรอ Z = + 1

รปท 5.5

คาความนาจะเปนของกราฟปกตชวง m + 2s

พนทใตกราฟชวงระหวาง x + 2s หรอ Z = + 2

รปท 5.6

คาความนาจะเปนของกราฟปกตชวง m + 3s

พนทใตกราฟชวงระหวาง x + 3s หรอ Z = + 3

The Concept of "Six Sigma" at Motorola

Different numbers of Opportunities ...

Manufacturing Processes

Customers or Suppliers

Administrative Areas

6s

= A structural approach to continuous improvement

1 - Identify the product or service you provide

2 - Identify your customers & their requirements3 - Determine your needs & suppliers

4 - Define the process for doing work

5 - Eliminate defect sources / optimize the process

6 - Continuously improve the Sigma level

( or “ Six steps toward excellence” )

A Bit of Statistics ...

-7.0

-6.0

-5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

0.0 1.0

2.0

3.0

4.0

5.0 6.0

7.0

upper spec limitLower spec limit

+1.5 Sigma-1.5 Sigma

3.4 ppmor Zero

+

Normal Distribution - Gaussian Curve

Sigma = s = Deviation

(Square root of variance)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Axis graduated in Sigma

68.27 %

95.45 %

99.73 %

99.9937 %

99.999943 %

99.9999998 %

between m + 1s

s

(n is sampling no.)

between m + 2s

between m + 3s

between m + 4s

between m + 5s

between m + 6s

1

)( 2

-

-= S

n

xxis

Appendix E-1พนทใตกราฟปกต จาก 0 ถง Z(Areas under the Standard Normal Curve form o to z)Period 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0754

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2258 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2518 0.2549

0.7 0.2580 0.2612 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2996 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

ตวอยาง 5.2 การผลตหลอดไฟฟาชนดหนงของ 2 โรงงาน พบวาอายการใชงานจากทง 2 แหงเปนแบบ Normal Distribution มขอมลดงตารางตอไปน

คาเฉลยอายการใชงาน (ชวโมง) คาเบยงเบนมาตรฐาน (ชวโมง)โรงงาน A 3,200 250โรงงาน B 3,000 175

ใหวเคราะหขอมลดงตอไปน 1. เปรยบเทยบคณภาพของหลอดไฟจากโรงงาน A และ B จากขอมล

ในตารางวา จากโรงงานใดดกวากน2. โอกาสทหลอดไฟจะมอายการใชงานตงแต 3,200 ชวโมงขนไป

จากโรงงานทง 2 วา จากโรงงานใดมมากกวากน3. โอกาสทหลอดไฟจะมอายการใชงานจากชวง 3,000-3,200

ชวโมง จากโรงงานทง 2 วา โรงงานใดมมากกวากน4. โอกาส 90% ของหลอดไฟจากโรงงานทง 2 จะมอายการใชงาน

กชวโมง ของโรงงานใดมอายการใชงานกวางกวากนในชวง 90%

Normal Curve ของหลอดไฟจากโรงงาน A Normal Curve ของหลอดไฟจากโรงงาน B1. เปรยบเทยบคณภาพ• หากพจารณาจากอายการใชงานเฉลย พบวาหลอดไฟจากโรงงาน

A จะดกวาหลอดไฟจากโรงงาน B(อายเฉลยการใชงานของ A และ B = 3,200 และ 3,000 ชวโมงตามล าดบ)

• หากพจารณาจาก SD พบวา หลอดไฟจากโรงงาน A จะมความผนผวนมากกวาจากโรงงาน B (อายการใชงานมชวงแปรผนมากกวา)

• สปส. การเบยงเบน ของหลอดไฟจากโรงงาน A และ B คอ (250/3,200) , (175/3,000) = 0.078 , 0.058 ตามล าดบหมายถงทการใชงาน 1 ชวโมงเทากน A จะมความผนผวนมากกวา B

พนทใตกราฟ Z = 0 ถง 1.14 และ Z > 1.14พนทใตกราฟ Z > 0 มคาเทากบ 0.5

2. โอกาสทหลอดไฟจากโรงงานทง 2 มอายใชงานตงแต 3,200 ชม. ขนไป คอจากสตร Z = (x – m)/s

โรงงาน A Z = (3,200 – 3,200)/250 = 0ดงนน P(x > 3,200) หรอ P(Z > 0) = 0.50 (50%)

โรงงาน B Z = (3,200 – 3,000)/175 = 1.14ดงนน P(x > 3,200) หรอ P(z > 1.14) = 0.50 - 0.3729

= 0.1271 หรอ 12.71%ดงนน หลอดไฟ A มโอกาสมากกวา B ทจะอายนานกวา 3,200 ชวโมงขนไป

Normal Curve ของหลอดไฟจากโรงงาน A Normal Curve ของหลอดไฟจากโรงงาน B

3. โอกาสทหลอดไฟทง 2 โรงงานจะมอายการใชงานชวง 3,000-3,200 ชวโมง คอจากสตร Z = (x – m)/s

โรงงาน A ท 3,000 ชวโมง Z = (3,000 - 3,200)/250 = -0.8ท 3,200 ชวโมง Z = (3,200 – 3,200)/250 = 0

ดงนน P(3,000 < x > 3,200) หรอ P(-0.8 < Z > 0) = 0.2881 หรอ 28.81%

โรงงาน B ท 3,000 ชวโมง Z = (3,000 – 3,000)/175 = 0ท 3,200 ชวโมง Z = (3,200 – 3,000)/175 = 1.14

ดงนน P(3,000 < x > 3,200) หรอ P(0 < z > 1.14) = 0.3729 หรอ 37.29%ดงนน หลอดไฟ B มโอกาสมากกวา A ทจะอายนานกวา 3,000-3,200 ชวโมง

Normal Curve ของหลอดไฟจากโรงงาน A Normal Curve ของหลอดไฟจากโรงงาน B

พนทใตกราฟ Z (0 ถง 0.8) มคาเทากบ 0.2881 พนทใตกราฟ Z (0 ถง 1.14) มคาเทากบ 0.3729

4. โอกาส 90% ทหลอดไฟจากทง 2 โรงงานจะมอายการใชงานกชวโมงและของโรงงานใดมอายการใชงานกวางกวากนในชวงโอกาส 90%

จากสตร Z = (x – m)/s

โรงงาน A ท 90% คอ พนทใตกราฟ 0.9 หรอ 0.45 ในกราฟปกต เมอเปดตาราง Z คา 0.45 จะได Z = 1.645 เพราะฉะนน ชวง 90% คอ ชวงทคา Z = + 1.645

จากสตร -1.645 = (x – 3,200)/250 x = 2,788.75 ชวโมง1.645 = (x – 3,200)/250 x = 3,611.25 ชวโมง

ดงนน หลอดไฟจากโรงงาน A มโอกาส 90% ทจะมอายการใชงานจาก2,788.75 ถง 3,611.25 ชวโมง

เปดตารางคาพนทใตกราฟ 0.45 คอ คา Z = 1.645

โรงงาน B ชวง 90% คอ ชวงทคา Z = + 1.645 (เหมอนกนทงของ 2 โรงงาน)จากสตร -1.645 = (x – 3,000)/175 x = 2,712.12 ชวโมง

1.645 = (x – 3,000)/175 x = 3,287.87 ชวโมงดงนน หลอดไฟจากโรงงาน B มโอกาส 90% ทจะมอายการใชงานจาก

2,712.12 ถง 3,287.87 ชวโมง

เปรยบเทยบหลอดไฟจากโรงงาน A และ Bโอกาส 90% ทหลอดไฟจะมอายใชงาน ดงตอไปน:- โรงงาน A ชวง 2,788.75 ถง 3,611.25 ชวโมง- โรงงาน B ชวง 2,712.12 ถง 3,287.87 ชวโมง

ดวยรปกราฟ Normal Curve แกน Z จะเหมอนกนทงของโรงงาน A และ B คา Z = 1.645

โดยท x = คาขอมลp = คาความนาจะเปนของขอมลแตละตว N = จ านวนของขอมลทงหมด

EV = S pi xi หรอ S pxi=1

N

ความหมายสตรคาความคาดหวง • Expected Value คอ ผลรวมของผลคณระหวาง คาความนาจะเปน กบ คาของขอมลแตละตว

• ขอมลแตละตวจะมคาความนาจะเปนของตวเอง• EV ค านวณครบถวน คอ ดจากผลรวม p = 1

คาความคาดหวง (Expected Value หรอ EV)

ความหมายทเหมอนของคาความคาดหวงกบคาเฉลย • ทางคณตศาสตร คาความคาดหวง คอ การค านวณ

สตรเดยวกบเฉลยของขอมล เพยงแตความคาดหวงใชความนาจะเปน แทนจ านวนขอมลในสตรคาเฉลย

• บทพสจนดไดจากตวอยางท 5.4 และ 5.5• ความหมายทไดจากการค านวณคาความคาดหวง

สามารถตความหมายเปนคาเฉลยไดทนท• m อานวามว เปนสญญลกษณหนงทนยมใชกน

คาความคาดหวง คอ คาเฉลยในทางสถต

EV = x = m

ก าไร (x) จ านวนบรษท (f) f/N (ความถสมพทธ = ความนาจะเปน)

-20 ถง -11 20 20/150 = 0.1333

-10 ถง -1 30 30/150 = 0.2

0 5 5/150 = 0.0333

1 ถง 10 35 35/150 = 0.2333

11 ถง 20 40 40/150 = 0.2666

21 ถง 30 20 20/150 = 0.1333.

รวม N = 150 150/150 = 1.00

ตวอยาง 5.5 จากการส ารวจผลประกอบการปทผานมาของบรษทขนาดกลางในจงหวดหนงพบขอมล ก าไร (ลานบาท) และ จ านวนบรษท ดงตอไปน

-20 - -11 -10 - -1 0 1 - 10 11 - 20 21 - 3020 30 5 35 40 20

เปรยบเทยบการหาคาเฉลยโดยใชคา Probability กบสตรเดม

ก าไร (x) p

-15.5 0.1333 -2.0661

-5.5 0.2 -1.1000

0 0.0333 0

5.5 0.2333 1.2833

15.5 0.2666 4.1323

25.5 0.1333 3.3991.

1.00 5.6486

px

[2] [3] [4]=[2][3]

f x fx

20 -15.5 -310

30 -5.5 -165

5 0 0

35 5.5 192.5

40 15.5 620

20 25.5 510

150 847.5

x = 847.5/150

= 5.65 ลานบาท

ความนาจะเปน คอ • จ านวนของขอมลแตละกลม ตอจ านวนขอมลท งหมด

• ความถสมพทธ (Relative Frequency)

จากตวอยาง 5.5

ความนาจะเปน หรอ p = f/N

ความนาจะเปน (Probability) • บอกถงโอกาสเกดเหตการณน น มคามากนอยเพยงใด สามารถวดคาไดเปนตวเลข (0-1 หรอ คณดวย 100 อานเปน %)

• ความนาจะเปนอยในสตรการค านวณบางเรอง

ตวอยาง 5.4 ใหพสจนความหมายของคาความคาดหวง (Expected Value) กบคาเฉลยวาเปนคาเดยวกน

สงส าคญ คอ ความถสมพทธ = คาความนาจะเปน

คาความคาดหวง กบ คาเฉลย (EV & x)

2++ N

xfN

xfN

xf 33211

=

=

=

=

Spx

SN

xf

++ xpxpxp 332211

++

N

xfxfxf 332211

x

=

++N N

2fN

x3f3x2x1

f1=

= EV (Expected Value)

ER (Expected Return) = 0.30x(-30%) + 0.50x10% + 0.20x50%= -9% + 5% + 10% = 6%

ตวอยาง 5.6 หาคาความคาดหวงในผลตอบแทน จากขอมลผลตอบแทน (%) ของการลงทนในโครงการหนงมดงน

ภาวะเศรษฐกจ ความนาจะเปน ผลตอบแทนถดถอย 0.30 - 30%ปกต 0.50 10%ด 0.20 50%

วเคราะหตวอยาง 5.6

• คาความนาจะเปนของภาวะเศรษฐกจ คอ 0.30 + 0.50 + 0.20 = 1 หมายถง การค านวณครบทกกรณทเปนไปไดแลว

• หากเศรษฐกจถดถอยจะ -30% แตมโอกาสเกด 0.30 หรอ 30% ดงนน คาตอบแทนจงเทากบ 0.30x(-30%) = -9% เทานน

• หากเศรษฐกจปกตจะก าไร 10% แตมโอกาสเกด 0.50 หรอ 50% ดงนน คาตอบแทนจงเทากบ 0.50x(10%) = 5% เทานน

• หากเศรษฐกจดจะก าไร 50% แตมโอกาสเกด 0.20 หรอ 20% ดงนน คาตอบแทนจงเทากบ 0.20x(50%) = 10% เทานน

• เมอน าคาทง 3 กรณมารวมกน เปนคาเฉลย (คาความคาดหวง) ของผลตอบแทนจากการลงทนของโครงการน = 6%

• 6% ใหความหมายวา คาเฉลยของผลตอบแทน หรอ คาความคาดหวงของผลตอบแทนในการลงทนของโครงการนเทากบ 6%

จากตวอยาง 5.5 คาเฉลยเลขคณตแปลงตวแปรภายในสตร (f/N) ใหเปนคาความนาจะเปน (p) แลวเรยกใหมวา คาความคาดหวง (Expected Value)

• สตร S (Standard Deviation) สามารถแปลงตวแปรในสตร (f/N) ใหเปนคาความนาจะเปน (p) ไดเชนกน

• ในทางเศรษฐศาสตรและการเงนเรยก s วา ความเสยง

แปลงสตรคาเบยงเบนมาตรฐาน

จาก Var. หรอ S2 = SN

2f(x- x)

SN

2f(x- x)S2 = = N

2f (x -x)1 12f (x -x)2 2

2f (x -x)3 3+ +

= N 2f (x -x)1 1

2f (x -x)2 22f (x -x)3 3+ +N N

S2 = N 2f (x -x)1 1

2f (x -x)2 22f (x -x)3 3+ +N N

= N 1 2(x -x)1 +f

N 2 2(x -x)2 +f

N 3 2(x -x)3f

= + + 3

2(x -x)3p1

2(x -x)1p2

2(x -x)2p

S2p(x - x)=

S2p(x - EV)=

Var.S == S2p(x - EV)

อยในตวอยางท 5.7

คาความคาดหวงกบ Normal Curves > 1 โครงการ

• s of A < s of B (ฐานยงกวาง ขอมลยงกระจายมาก)

• Expected Return of A < Expected Return of B

• บนแกนกราฟเดยวกน แกนนอนเปนคา ER