zad przygotowawcze do egzaminu 2004-5 skrócone

7/25/2019 Zad Przygotowawcze Do Egzaminu 2004-5 Skrcone

1/7

Zadania przygotowawcze do egzaminu lato 2004/2005(Jest to skrt z innego zestawu dlatego numeracja zada jest nieci!g"a#$

%# Z&ada' czy wektory )%* (%2+$ )2* (45,$ )+* (-.$ w + s! liniowo zale1ne#

dp#3 ak np# )% 2)2 )+ * 0 jest nietrywialn! zale1no6ci! liniow! mi7dzy tymi

wektorami (otrzymuje si7 np# przez rozwi!zanie uk"adu rwna liniowyc8 9 o&szernyprzyk"ad na rozwi!zywanie uk"adu rwna liniowyc8 zo&acz w nast7pnym zadaniu$#

2:# ozwi!za' uk"ad rwna liniowyc8

0

0

0

0

0

54%

,+2

,52%

,42

5+%

=+

=+

=+

=+

=+

xxx

xxx

xxxx

xxx

xxx

dp#

+

+

=

%

0

0

0

%

0

0

%

0

0

0

%

0

0

%

0

0

%

,

5

4

+

2

%

x

x

x

x

x

x

#

+# ;ykaza' 1e (=%=2=+$3 =%=2=+*%?;*>(=%=2=+$3 =%=2

2*%? ;*>(=%=2=+$3 =%jest licz&! wymiern!?#

.# Z&ir wszystkic8 macierzy antysymetrycznyc8 n na n (tzn# takic8 1e G * G$ 9wykaza' (analogicznie jak dla macierzy symetrycznyc8 na wyk"adzie$ 1e z&ir ten jest

podprzestrzeni! przestrzeni wszystkic8 macierzy n na n@ poda' (skonstruowa'$ przyk"ad

&azy 9 najpierw w szczeglnym przypadku n*+ a nast7pnie oglnie 9 jaki jest wymiar tejprzestrzeniA dp#3 n(n%$/2 #

Htr# % z -


2/7

# Z&ada' czy wszystkie ci!gi nieskoczone postaci (###$ gdzie tworz! podprzestrze przestrzeni wszystkic8 ci!gw nieskoczonyc8 (=% =2 =+ ###$ zezwyk"ymi dzia"aniami# Je1eli tak to poda' przyk"ad jakiejkolwiek &azy rozwa1anej

podprzestrzeni# (dp3 jest podprzestrzeni!@ &aza sk"ada si7 z + wektorw#$

%0# Iiec8 G &7dzie dan! macierz! n na n i niec8 ;*>3 G*G? tzn# ; jest z&ioremwszystkic8 macierzy kwadratowyc8 n na nprzemiennych z macierz G# ;ykaza' 1e ;

jest podprzestrzeni! przestrzeni wszystkic8 macierzy kwadratowyc8 n na n# ; przypadku

n*2 i gdy G jest konkretn! macierz! 2 na 2 np#

=

4+

2%A poda' przyk"ad &azy

przestrzeni ; (to ostatnie znowu sprowadza si7 do rozwi!zania uk"adu czterec8 rwnaliniowyc8 z czterema niewiadomymi$#

%%# Kodo&nie niec8 &7dzie ustalonym wektorem kolumnowym i rozwa1amy z&ir ;wszystkic8 macierzy kwadratowyc8 takic8 1e G*0# ;ykaza' 1e jest to podprzestrze

przestrzeni wszystkic8 macierzy kwadratowyc8 n na n# ; szczeglnym przypadku gdy n*2i *E%2F znaleB' (poda' przyk"ad$ &az7 przestrzeni ;#

%2# Iiec8 wektory mvvv (###(( 2% &7d! liniowo niezale1ne# worzymy (nieco podo&nie jakprzy ortogonalizacji Lrama Hc8midta zo pBniej$ wektory

mmmmmmmmmmmmm

mmmmmmmmmm

mmmmmmm

vvvvvvu

vvvvvuvvvvu

vvvu

vvu

vu

++++++=

+++++=++++=

++=

+=

=

%%22++22%%

%22%++%22%%%%%

2++2222%%22

+2+2%+%+

2%2%2

%%

#########################################

;ykaza' 1e otrzymane w ten spos& wektory s! rwnie1 liniowo niezale1ne#

%+# Jak wiadomo przestrze wielomianw stopnia n posiada za &az7 np# uk"ad wektorw%@=@=2###=n tak 1e jej wymiar wynosi n%# ;ykaza' 1e inny uk"ad n% wektorw amianowicie

%@ =@ =(=%$@ =(=%$(=2$@ ### @ =(=%$(=2$###(=n%$

jest rwnie1 &az! tej przestrzeni#;sk# ;ystarczy z&ada' liniow! niezale1no6'# Kodstawia' kolejno szczeglne punkty =*0=*% =*2 itd# co pozwoli otrzyma' kolejno 1e wsp"czynniki kom&inacji liniowej przy %@=@ =2itd# musz! &y' rwne zeru#

%4 a$ ;ykaza' 1e wektory (%%00$(%0%0$(%00%$ stanowi! &az7 podprzestrzeni

;*>(=%=2=+=4$343 =% =2 =+ =4*0?#

%5# a$ ; przestrzeni rozpi7tej na wektorac8 % cos = sin = tzn# % cos = sin =?#

Htr# 2 z -


3/7

&$ o samo dla podprzestrzeni rozpi7tej na % = cos = = cos = sin = = sin =#c$ o samo dla podprzestrzeni rozpi7tej na % = e= =e=#

%,# ozwa1amy przestrze N*2E=F wielomianw stopnia 2 o wsp"czynnikac8rzeczywistyc8# ;iadomo 1e jedn! z &az w tej przestrzeni jest O*>% = =2?# ozwa1amy

uk"ad wektorw P*>=% =2

= =2

%?#a$ ;ykaza' 1e P jest &az! przestrzeni N# &$ Iiec8 Q3NN &7dzie dany wzorem (Qw$(=$*(=w(=$$R# Hprawdzi' 1e Q jest operatorem liniowym# c$ Iapisa' SO

O(Q$#

%-# ; przestrzeni N*2E=F wielomianw stopnia 2 o wsp"czynnikac8 rzeczywistyc8rozwa1amy uk"ad wektorw P*>= =2% =2=?#a$ ;ykaza' 1e P jest &az! tej przestrzeni#

&$ perator Q3NN dany jest wzorem (Qw$(=$*w(%$E=2w(=$FT# ;ykaza' 1e Q jestliniowy#

c$ ZnaleB' macierz tego operatora w TstandardowejT &azie O*(%@=@=2

$#

%# O*(e%e2$ 9 &aza N# Iiec8 OU*(e%U e2U$ gdzie e%U*2e%+e2 e2U*2e%e2# (Pzyli e%U majako kolumn7 wsp"rz7dnyc8 macierz E2+F za6 e2U 9 macierz E2%F

#$ a$ Hprawdzi' 1e OUjest rwnie1 &az! przestrzeni N#$ &$ ;ektor ) ma w &azie OU wsp"rz7dne E2+F# Jakiewsp"rz7dne ma ten wektor w &azie OA c$ ;ektor ) ma w &azie O wsp"rz7dne E%45F#Jakie wsp"rz7dne ma ten wektor w &azie OUAdp# a$ wynika np# z


4/7

2-# ZnaleB' warto6ci w"asne i wektory w"asne operatora o macierzy

40%%

0%22

%22+

%2+2

#

Jaki jest wymiar podprzestrzeni w"asnej odpowiadaj!cej warto6ci w"asnej %A Pzy operator

ten mo1na zdiagonalizowa' przez przej6cie do innej &azyA

2.# Pzy nast7puj!ce macierze mo1na zdiagonalizowa' przez przej6cie do innej &azyA

a$

=

000%

00%0

0%00

%000

A &$

=

%++

%5+

%+%

A

2# Iiec8 Q &7dzie operatorem liniowym takim 1e Q2*V# ;ykaza' 1e warto6ciamiw"asnymi Q mog! &y' tylko % lu& %#

+0# Je1eli vjest wektorem w"asnym macierzy G odpowiadaj!cym warto6ci w"asnej lam&dato co mo1na stwierdzi' o vw zwi!zku z macierz! a$ G2&$ G% o ile istniejeA

+%# ; przypadku macierzy G*EaijF + na + przeliczy' 1e w wielomianie c8arakterystycznym

tej macierzy zapisanym w postaci +22

%

+$($($($det( cccIA +++= wsp"czynnik cj

jest sum! minorw g"wnyc8 macierzy G stopnia j tzn# podwyznacznikw symetrycznyc8w stosunku do przek!tnej macierzy G# ak wi7c

Ac

aa

aa

aa

aa

aa

aacaaac det(( +

+++2

2+22

+++%

%+%%

222%

%2%%

2++22%%% =

+

+

=++= #

Konadto (wniosek ze wzorw NieteUa dla n*+$ dla warto6ci w"asnyc8 mamy wtedyAccc det(( ++2%2%++22%%+2% ===++=++ #

+2# ;ykaza' (przeliczy'$ 1e norma w przestrzeni z iloczynem skalarnym spe"nia tzw#warunek rwnoleg"o&oku

2222WWWW2WWWW2WWWWWWWW vuvuvu +=++

++# ;ykaza' (przeliczy'$ 1e iloczyn skalarny wyra1a si7 poprzez norm7 zwi!zan! z tym

iloczynem skalarnym w spos& nast7puj!cy3RKvuvuvu =+= $WWWWWW(WW

4

%

22

#$WWWWWWWWWWWWW(WW4

% 2222 CKivuiivuivuvuvu =+++=

H! to tzw# wzory (


5/7

40# Mla danej zespolonej macierzy 8ermitowskiej

=

%00

0+4

04+

i

i

A znaleB' macierz

unitarn! P tak! a&y ACCACC T=% &y"o rzeczywist! macierz! diagonaln! # (Jak

wiadomo P jest tu macierz! przej6cia od &azy pierwotnej (np# standardowej$ do &azyortonormalnej z"o1onej z wektorw w"asnyc8 operatora za6 w na przek!tnej wyst7puj!warto6ci w"asne operatora#$

42# Sacierze G i O (n na n$ s! 8ermitowskie# ;ykaza' 1e wtedy macierz i(GOOG$ jest8ermitowska (i 9 jednostka urojona$#

4+# Iiec8 G &7dzie macierz! 8ermitowsk!# Pzy G% o ile istnieje musi &y' 8ermitowskaA

44# perator liniowy Q w n9wymiarowej przestrzeni N z iloczynem skalarnym posiada nrzeczywistyc8 warto6ci w"asnyc8 (licz!c krotno6ci$ oraz istnieje &aza ortonormalna

przestrzeni N z"o1ona z wektorw w"asnyc8 operatora Q# ;ykaza' 1e Q jest 8ermitowski#

45# perator liniowy Q w n9wymiarowej przestrzeni N z iloczynem skalarnym posiadawszystkie warto6ci w"asne o module rwnym % oraz istnieje &aza ortonormalna przestrzeniN z"o1ona z wektorw w"asnyc8 operatora Q# ;ykaza' 1e Q jest unitarny#

4.# Iiec8

=

%+%2

%2%+A # ZnaleB' macierz 8ermitowsk! O tak! 1e O2*G i O ma nieujemne

warto6ci w"asne# (;skazwka3 Mla operatora o macierzy G wpewnej bazie ortonormalnej(np# 9 standardowej &azie ortonormalnej w 2 znaleB' &az7 9 najlepiej ortonormaln! wktrej jego macierz ma posta' diagonaln!@ w tej &azie pro&lem staje si7 trywialny 9rozwi!za' go i wrci' do pocz!tkowej &azy$#

4# ZnaleB' &az7 ortonormaln! przestrzeni z"o1on! z wektorw w"asnyc8 operatora o

macierzy a$

.220

2540

2450

000/

&$

.40%

4-04

00/0

%40.

#

50# Iiec8 X 9 operator unitarny Y 9 8ermitowski Q*XY# Hprawdzi' 1e tak otrzymanyoperator Q jest normalny wtedy i tylko wtedy gdy XY*YX#

52# ZnaleB' poziomy energetyczne i ortonormalne uk"ady or&itali molekularnyc8 dlanast7puj!cyc8 cz!steczek alternuj!cyc8 (podana jest cz!steczka i o&ok macierzstrukturalna$# ; c8arakterze cz76ciowej odpowiedzi s! podane warto6ci w"asne#

---o 0 12---1 1 0Wartoci wasne: 1, 1

Htr# 5 z -


6/7

*---o---* 0 1 1

2 1 3 1 0 0

1 0 0

Wartoci wasne: 0, 2, 2

*---o---*---o 0 0 1 0

4 2 3 1 0 0 1 1

1 1 0 0

0 1 0 0

Wartoci wasne: (15)/2 (cztery ko!inac"e znak#w)

1 3 0 0 1 1

o * 0 0 1 1

$ $ 1 1 0 0

* o 1 1 0 0

4 2

Wartoci wasne: 0, 0, 2

*5 0 0 1 1 1

$ 0 0 1 1 0

$ 1 1 0 0 0

1 o--* 4 1 1 0 0 0

$ $ 1 0 0 0 03 * o 2

Wartoci wasne: 0, ((51%)/2) (cztery o&'iwe ko!inac"eznak#w)

1o 0 0 1 1 1

/$ 0 0 1 1 1

3* * *5 1 1 0 0 0

$/ 1 1 0 0 0

2o 1 1 0 0 0Wartoci wasne: 0, 0, 0,

+w+, a'e cztery atoy * na rokowy ozioie

Wartoci wasne: 0, 0, 0, 0, 22. 'iczy si !+ anie

*

$

1o 0 0 1 1 1 1

/$ 0 0 1 1 1 0

3* * *5 1 1 0 0 0 0

$/ 1 1 0 0 0 0

Htr# , z -


7/7

2o 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

Wartoci wasne: 0, 0, ((%3%)/2)

1o o2

/ *

$

3o

/

5* *

Wartoci wasne: 0, 0, 1, 2

1o--*

$ $

5*--o2

$ $

3o--4*

waa+ ierwiastkie kwaratowy z 322 "est 21Wartoci wasne: 1, (21)+ iczy si o anie+

+w+, 's o6czenie ato 1 z 4

Wartoci wasne: 0, 0, (31)

+w+, 's o6czenie ato 3 z

Wartoci wasne: 0, 0, 0, 0, 3

Htr# - z -

zad przygotowawcze do egzaminu 2004-5 skrócone

Documents