UNIVERZITET U TUZLIPRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTETODSJEK MATEMATIKA

PARADOKSI(1.ZADAĆA )

POPULARNA MATEMATIKA

DARIJA RAJKOVIĆ U Tuzli,18. 03.2013.

GALILEOV PARADOKS

Galileo Galilei (1564.-1642.) talijanski matematičar,fizičar i astronom u svom znanstvenom radu:“ Two New Sciences“ proučava osobine beskonačnih skupova i dolazi do zaključka kojeg mnogi smatraju paradoksalnim:

„Dio beskonačnog skupa je jednako velik kao čitav skup“ili„Postoji toliko savršenih kvadrata koliko i prirodnih brojeva“.

Promatrajmo skup od n prirodnih brojeva i skup koji se sastoji od kvadrata tih brojeva:

{1,2,4,5,6,7,8,9 ,…}{1,4,16,25,36,49,64,81 , …}

Budući da većina prirodnih brojeva nisu savršeni kvadrati, očigledno je skup savršenih kvadrata manji od skupa prirodnih brojeva.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 ...1 4 9 16 25

Primjetimo da ima puno prirodnih brojeva u prazninama između njihovih odgovarajućih kvadrata, te da, kako se povećeva broj elemenata u skupu, te praznine postaju sve veće i veće.

Kako su onda ta dva skupa jednako velika? Kako je svaki prirodni broj tačno drugi korijen od svog savršenog kvadrata, prirodnih brojeva ima onoliko koliko ima i njihovih savršenih kvadrata. Naime, to se može pokazati tako da svaki prirodni broj iz prvog skupa uparimo sa njegovim kvadratom koji pripada drugom skupu. Na taj način je uspostavljena jedan-na-jedan korespodencija između tih skupova:

Dakle, prvi i drugi skup imaju jednak broj elemenata.

Galileo je zaključio da pojmovi manje, veće i jednako, mogu biti primjenjeni isključivo na konačne skupove jer njihova primjena na skupove sa beskonačnim brojem elemenata, nema baš puno smisla.

U 19.st. je, matematičar Georg Cantor, koristeći se istim metodama, dokazao da je Galileov zaključak bio tačan ako su u pitanju cijeli i racionalni brojevi.

Zaključak: Galileov paradoks u stvari nije paradoks jer se, koristeći se osobinama beskonačnih skupova, može matematičkim putem dokazati.

DJEČAK ILI DJEVOJČICA PARADOKS(The Boy or Girl Paradox)

o Ako neka obitelj ima dva djeteta i starije dijete je dječak, kolika je vjerojatnost da je mlađe dijete – djevojčica?

o Ako neka obitelj ima dva djeteta i barem jedno od njih je dječak, kolika je vjerojatnost da je i djevojčica u toj obitelji?

Paradoks u ovom slučaju se sastoji u tome da bi većina nas ponudila isti odgovor na ova pitanja, tj. intuitivno pomislimo da je odgovor na oba pitanja ½, ali to nije tačno rješenje ovog problema.

Označimo dječaka sa B a djevojčicu sa G.

Nađimo odgovor na prvo pitanje..

Kombincije za dvoje djece su: BB, BG, GB, GG. U prvom slučaju znamo da je starije dijete dječak, pa u obzir dolaze samo dvije kombinacije: BB i BG. Dakle, vjerojatnost da je mlađe dijete djevojčica je 1/2., tj. 50 %.

Vratimo se drugom pitanju i uvjetu da je bar jedno od djece – dječak. Dakle, u obzir ne dolazi jedino GG kombincija. Kako u pitanju nije precizirano da li je taj dječak starije ili mlađe dijete u obitelji, imamo u razmatranju tri slučaja: BB, BG i GB.

GB – mlađe dijete je dječak koji ima stariju sestruBG – starije dijete je dječak koji ima mlađu sestruTe dvije situacije su očigledno različite i predstavljaju dvije razne mogućnosti.

BB - mlađe dijete je dječak koji ima starijeg brataBB - starije dijete je dječak koji ima mlađeg brataU ovom slučaju BB predstavlja istu situaciju ovisno o tome na kojeg dječaka se gornja rečenica odnosi.

Dakle, u drugom slučaju, vjerojatnost da je jedno od djece djevojčica je 2/3.

Zaključak: posmatrani problem se naziva paradoksom (iako to nije) zato što je njegovo rješenje prilično kontra–intuitivno. Pročitavši prvo pitanje i zaključivši da je odgovor na to pitanje ½, prosječna osoba bi zaključila da nema prave razlike između ta dva pitanja, te da je analogno tome, odgovor i na drugo pitanje ½.