1

Rastavljanje polinoma na proste faktore - zadaci ( II )

Z.1. Rastaviti na faktore sledee izraze koristei se osnovnim algebarskim identitetima, grupisanjem i izvlaenjem zajednikog faktora:

a) = = ( ) b) + = + = ( + ) c) ( + )( ) + ( + )( ) ( ) ( )( ) = ( + )( ) + ( + )( ) ( ) + ( )( ) = ( )[ + + + ( ) + ] = ( )( ) = ( )( ) d) = = ( ) e) ( ) + = ( ) ( ) = ( )( ) f) ( + + ) = ( + ) ( + ) = ( + )( + ) g) ( ) = ( )( + + ) ( ) ( ) = ( )[ + + ( ) ] = ( )( + + + ) = ( ) h) + ( + ) = [( ) + ] ( + ) = ( ) ( + ) = [( )( + )] ( + ) = ( ) ( + ) ( + ) = ( + ) [( ) ] = ( + ) ( )( + ) = ( )( + )

2

) ( )( + ) ( ) ( + ) = ( + )[( ) ( ) ] = ( + )[ + ] = ( + )( ) = ( )( + ) j) + = ( + ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) k) = ( ) = ( ) ( ) = ( )( + ) = ( ) ( ) ( ) + ( ) = ( )(( ) + + ( ) )( + )(( ) + ( ) ) = ( )( + )( + + )( + )

3

Z.2. Rastaviti na faktore sledee izraze korisrei se OAI i grupisanjem lanova:

a) ( + ) = ( ) ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + )( + + ) = ( + ) ( + + ) = ( ) ( + ) = ( ) ( + )( + )( + + )

b) ( ) ( ) = [ ( )][ + ] = [ + ][ + ] = ( )( + ) = ( ) ( + ) = ( )( + ) c) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) = [( + ) ( + )][( + ) + ( + )] + [( + ) ( + )][( + ) + ( + )] = [ + ][ + + + ] + [ + ][ + + + ] = [ + + + ] [ + + + ] = [ + + + ][ ] = ( )( + + + )

4

d) ( ) ( + ) = [( ) ] [( + ) ] = ( ) ( + ) [( ) + ( + ) ] = [ ( + )][ + + ][( ) + ( + ) ] = [ ][ ][ + + + + ] = ( )( )( + ) = ( + )( )( + ) e) + + = (grupiemo sabirke) [ + ] [ + ] = ( ) + ( ) ( ) + ( ) = [ ] [ ] = [ ( )] [ + ] = [ + ] [ + ] f) Za samostalan rad (rastaviti na faktore):

+ g) Za samostalan rad (rastaviti na faktore):

( ) h) Za samostalan rad:

+ i ) Za samostalan rad:

( + ) ( ) =

5

Prije nego se primijeni metoda grupisanja ponekad neki lan izraza treba rastaviti kao sumu dva prikladno odabrana sabirka.

Ako se radi o polinomu drugog stepena + + onda linearni lan bx treba napisati kao sumu dva sabirka, ali tako da proizvod koeficijenata ta dva sabirka bude jednak slobodnom lanu ,c, polinoma.

Takoer, vrijedi: + + = ( )( ), gdje su nule tog polinoma koje odreujemo pomou formule:

, = Z.3. Rastaviti na faktore metodom grupisanja:

a) + = + = ( ) ( ) = ( ) . . ( ) = ( )( + ) ( ) = ( )[ ( + ) ] = ( )( + ) b) + + Ovdje nam treba da bi bilo + + = ( + ) Zbog toga emo uzeti = . Imamo: + + = ( + + ) = ( + ) ( ) = = ( + )( + + ) c) + = + = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ( )( + ) d) = + = ( ) + ( ) = = ( )( + )

6

e) + = + = ( + ) ( + ) = ( + )( ) f) Za samostalan rad: + + ; g) Za sam. rad: + ( + ) = Z.4. Rastaviti na faktore metodom grupisanja i koristei OAI:

a) + + = ( + + ) = ( + + ) = ( + ) ( ) . . = ( + )( + + ) b) + + = ( ) + + ( ) Vidimo da nam ovdje treba da bi bilo ( ) + + ( ) = ( + ) Zbog toga emo uzeti = . Imamo: + + = ( ) + + ( ) = [( ) + + ( ) ] = ( + ) ( ) = ( + )( + + ) Izraz + + ve smo faktorizirali (vidi Z.3 (b)), pa konano ,imamo: + + = ( + )( + )( + + ) c) + = ( ) + Ovde nam treba = da bi bilo: ( ) + + = ( + ) Zbog toga, imamo:

+ = [( ) + + ] = ( + ) ( ) = ( + ) ( + + )

7

d) + Slino kao i u predhodnom zadatku.

+ = ( ) + ( ) = [( ) + + ( ) ] = ( + ) = ( + ) ( ) = ( + ) ( + + ) e) + + = ( ) + ( ) Ovde nam treba = da bi bilo: + + = ( + ) .Zbog toga, imamo: [ + + ] = ( + ) ( ) = [ + ] [ + + ] Z.5. Rastaviti na faktore metodom grupisanja:

a) + + I nain:

Ovde nam treba da bi bilo + + = ( + ) Zbog toga emo uzeti = . Imamo: + + = + + = (( ) + + ) = ( + ) . . = ( + )( + + ) II nain:

8

Osnovna ideja je da se iskoristi razlika kubova:

+ + = ( ) + + + = ( ) + + + = ( )( + + ) + ( + + ) = ( + + )( ( ) + ) = ( + + )( + ) b) + + Osnovna ideja je da se iskoristi razlika kubova. Naime, datom izrazu emo

dodati i oduzeti . Slino kao u predhodnom zadatku: + + = + ( + + ) = ( ) + ( + + ) = ( )( + + ) + ( + + ) = ( + + )( ( ) + ) = ( + + )( + ) c) + + Ovde je situacija malo sloenija nego u predhodna dva primjera.Naime, ovde emo iskoristiti zbir kubova i razliku kvadrata i to tako to emo datom izrazu dodati i oduzeti 8. Imamo:

+ + = ( + ) + ( + ) = + + . . = ( + )( + ) + ( )( + ) = ( + )( + + ) = ( + )( + ) d) Za samostalan rad:

+ + Uputa: Koristiti i rjeenje z.5 (b).

9

Z.6. Koristei se OAI i metodom grupisanja faktorizirati sledee izraze:

a) + + = Ovde grupiemo po dva sabirka (kako je oznaeno bojama):

( ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) = ( )( + ) ( )( + + ) + ( ) = ( )[ ( + ) ( + + ) + ] = ( )[ + + ] = U srednjoj zagradi grupiemo sabirke na nain kako je oznaeno bojama:

= ( )[( ) + ( ) ( )] = ( )[ ( ) + ( ) ( )] = ( )[ ( ) + ( ) ( )( + )] = ( )( )[ + ( + )] = ( )( )[ + ] Sada u srednjoj zagradi grupiemo po dva sabirka:

= ( )( )[( ) + ( )] = ( )( )[ ( ) + ( )] = ( )( )[ ( ) + ( )( + )] = ( )( )( )[ + ( + )] = ( )( )( )( + + ) b) ( + ) ( + ) + ( ) = + + =

10

Grupiemo po dva sabirka:

( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( )( + ) + ( ) + ( ) = ( )[ ( + ) + + ] = ( )[ + + + ] = Sada grupiemo sabirke u srednjoj zagradi:

( )[( + ) + ( + )] = ( )[ ( + ) + ( + )] = ( )( + )( + ) c) ( ) ( ) + ( ) = + + = Grupiemo po dva sabirka:

( ) + ( + ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) = ( ) ( )( + ) + ( ) = ( )[ ( + ) + ] = ( )[ + ] = Sada grupiemo sabirke u srednjoj zagradi:

( )[( ) + ( + )] = ( )[ ( ) ( )] = ( )( )( )

11

d) ( ) + ( ) + ( ) = [( ) + ( )] [( ) ( )( ) + ( ) ] + ( ) = [ ] [ + + + + + ] + ( )( ) = = [ ][ + + + + + + ] = = ( )[ +