1

Zadatak 1: Ispitivanjem 10 jednakih elemenata, pod istim uslovima, registrovana su sledea vremana do pojave otkaza (u asovima): 2000, 3000, 4500, 5300, 7400, 14000, 17000, 22000, 24000 i 30000. Za date vrednosti: a) odrediti verovatnou rada bez otkaza i verovatnou otkaza za svaki element

i b) nacrtati grafik dobijenih verovatnoa u funkciji datih vremena.

Reenje: n=10

N(t1)=1,....................... N(t10)=10

t1 =2000,...................... t10 =30000h

a) Verovatnoa rada bez otkaza: Verovatnoa otkaza:

)(1)()()( tRtFn

tNntR ==

1,09,01)2000(9,0109

10110)2000( ===== FR

2,08,01)2880(8,0108)2880( ==== FR

3,07,01)4500(7,0107)4500( ==== FR

. .

. .

. .

101)30000(0100)30000( ==== FR

b)

Slika 1 Grafik verovatnoe rada bez otkaza i verovatnoe otkaza

2

Zadatak 2: Odrediti srednje vreme do otkaza, intenzitet neoekivanog otkaza, verovatnou bezotkaznog rada, verovatnou otkaza i uestalost otkaza 19 filtra, ako su njihova vremena do otkaza raspodeljena po eksponencijalnoj raspodeli. Ocenu izvriti na osnovu sledeih vrednosti vremena: 850, 920, 1010, 1060, 2000, 2030, 3000, 3100, 3070 (h).

Reenje:

( ) ( ) ( ) ??;?;?;?; ===== tftFtRT n=19; m=9; t1 =850, .................... t9 =tm=3070h

U ovom sluaju srednje vreme do otkaza 19 filtra treba odrediti na osnovu vrednosti vremena otkaza prvih 9.

1

1 ( )m

i mi

T t n m tm

=

= + 9

91

1 ( )ii

T t n m tm

=

= +

[ ][ ]

1 850 920 1010 ... 3070 (19 9)30709

5304.44

T

T h

= + + + + +

=

Srednje vreme do otkaza, svih 19 filtra ima procenjenu vrednost 5304,44 (h).

Intenzitet neoekivanog otkaza:

1

1

4 1

1

15304,441,89 10

hT

h

h

=

= =

Verovatnoa bezotkaznog rada, kod eksponencijalne raspodele:

41,89 10

( )

( )

t

t

R t e

R t e

==

Verovatnoa otkaza, kod eksponencijalne raspodele:

41,89 10

( ) 1 ( )( ) 1

( ) 1

t

t

F t R tF t e

F t e

= = =

Uestalost otkaza, kod eksponencijalne raspodele:

3

( )44 1,89 10

( )( )

( ) 1,89 10

t

t

f t ef t R t

f t e

===

Komentar:

Na osnovu vrednosti intenziteta neoekivanog otkaza zakljuuje se da u toku 10000 radnih sati moe doi do priblino 2 otkaza, t.j. da treba izvriti 2 zamene filtra, ako radi samo jedan ureaj ili 38192 = zamena, ako rade svih 19 ureaja.

Zadatak 3: Odrediti verovatnou, intenzitet i uestalost otkaza elementa, iji vek trajanja ima Vejbulovu raspodelu sa parametrima = 2000 i .5,1=

Reenje:

Verovatnoa otkaza:

)(1)( tRtF =

( ) 1t

F t e

=

( ) 1,520001 tF t e = Intenzitet otkaza:

1)( = t

1,5 11,52000 2000

t =

5 0.51,68 10 t = Uestalost otkaza:

=

t

ettf1

)( = ( )1,51,5 1

20001,52000 2000

ttf t e =

( )1,5

45 0,58,9 101,68 10t

f t e t =

4

Zadatak 4: Odrediti funkciju uestalosti otkaza, za 5000 radnih sati, ako vremena pojave sistematske greke pojedinih psihrometara pripadaju normalnoj raspodeli i imaju sledee vrednosti: 4200, 4250, 5000, 5520, 5890 i 5930 (h).

Reenje:

( ) ??; == tf t=5000h

n=6

t1 =4200, .............., t6 =5930h

Funkcija uestalosti (gustine) kod normalne raspodele izraava se sledeim izrazom:

22)(

21)(

Tt

etf=

Iz datog izraza se vidi da treba odrediti vrednost disperzije, standardnog odstupanja i srednjeg vremena rada psihrometra, da bi mogla da se odredi funkcija gustine normalne raspodele.

Srednje vreme rada psihrometra:

[ ]

1

1

1 (4200 4250 5000 ...... 5930)65131,67

n

ii

T tn

T

T h

==

= + + + +=

Disperzija rezultata merenja vremena rada psihrometra:

( )=

=n

ii Ttn 1

2

02

11

( ) ( ) ( )6 2 2 221

2 2

1 4200 5131,67 4200 5131,67 ....... 5931 5131,676 1605176.7 h

= + + + =

Standardno odstupanje:

[ ]2

777.9 h

==

5

Funkcija gustine normalne raspodele izraunava se na osnovu predhodno dobijenih vrednosti:

( )

( )7.605176267,51315000

2

2

2

2

29.7771)5000(

21)(

==

=

etf

etfTt

41005,5)5000( =f

6

PARETO METODA

Pareto metoda spada u sedam osnovnih alata kvaliteta (Q7). Dobila je ima po Vilfredu Paretu, italijanskom ekonomisti i sociologu, poznatom po primeni matematikih metoda u ekonomskoj analizi. Po ovom velikanu nazvan je i Pareto princip, odnosno princip 80/20, koji kae da postoji vitalna manjina i upotrebljiva veina. 20% uzroka prouzrokuje 80% pojava. 20% kupaca jedne organizacije pravi 80% prihoda, 20% greaka u organizaciji troi 80% novca, 20% aktivnosti koje rade u organizaciji troe 80% vremena, itd.

Pareto dijagram dobio je ima po Pareto principu i to je niz pravougaonika ija visina reflektuje uestalost uticaja problema. Pravougaonici su rasporeeni u opadajuem nizu po svojoj visini, s leva na desno. To znai da su kategorije, koje su predstavljene pravougaonicima, koji su blii levoj osi, relativno su znaajniji od onih koji su blii desnoj. Ono to ovaj dijagram razlikuje od svih ostalih je vornovata linija kumulativna kriva koja se nalazi iznad vertikalnih pravougaonika koji predstavljaju podatke. Ta linija u svakom voru predstavlja zbir svih stavki ispod i levo od vora ka koordinatnom poetku. Vrednost krajnjeg vora u dijagramu predstavlja zbir svih stavki dijagrama. Poto Pareto dijagrami predstavljaju informacije na nain koji omoguava da se jasno vide izbori koji su na raspolaganju, oni se mogu iskoristiti za predstavljanje prioriteta u mnogim praktinim aplikacijama u organizacijama. Neki od primera primene Pareto dijagrama su:

Odreivanje aktivnosti koje stvaraju najvee trokove, Odreivanje vitalne manjine greaka, Odreivanje 20% aspekata koji ine 80% tetnog uticaja na ivotnu sredinu, Odreivanje 20% hazarda koji dovode do 80% povreda, Odreivanje najznaajnijih kupaca, Odreivanje najznaajnijih procesa, Odreivanje najvanijih potreba kupaca, Odreivanje najboljih prilika za investiranje, Odreivanje dunika sa najveim dugovanjima, Odreivanje vetina koje su potrebne zaposlenima, Odreivanje mesta sa najveim gubicima. Za konstruisanje Pareto dijagrama potrebno je realizovati nekoliko koraka

[Stojiljkovi, et al.,2006 ]. Koraci su: Korak 1 Prikupite neobraene podatke. Navedite svaku kategoriju i njoj

odgovarajui broj. Korak 2 Sredite podatke. Pripremite papir za analizu i poreajte kategorije u

opadajuem nizu s leva na desno. Korak 3 Obeleite vertikalnu osu ordinatu. Osigurajte da su labele

razmaknute jednakim intervalima, od 0 do zaokruenog broja jednakog ili veeg od broja, koji predstavlja zbir brojeva koji su asocirani uz sve kategorije.

Korak 4 Obeleite horizontalnu osu apcisu. Osigurajte da su irine svih pravougaonika jednake i oznaite kategorije od najvee ka najmanjoj. Kategorija ostalo moe da iskoristi da se u njoj prikae nekoliko manjih skupova podataka. Ako su imena kategorija suvie dugaka, oznaite ih sa A, B, C itd. i obezbedite legendu kojom ete objasniti njihovo znaenje.

Korak 5 Nacrtajte pravougaonik za svaku od kategorija. Visina svakog pravougaonika treba da bude jednaka broju koji odgovara svakoj kategoriji. irine pravougaonika treba da budu identine.

Korak 6 Izraunajte kumulativni broj za svaku od kategorija. Kumulativni broj za svaku od kategorija predstavlja zbir brojeva koji je pridruen toj kategoriji i brojeva koji su pridrueni svim veim kategorijama.

7

Korak 7 Nacrtajte kumulativnu krivu. Za svaku od kategorija postavite taku koja oznaava kumulativni broj za tu kategoriju i koja se nalazi iznad pravougaonika koji predstavlja broj pridruen toj kategoriji. Poveite te kumulativne take linijom.

Korak 8 Dodajte naslov, legendu i datum. Korak 9 Analizirajte dijagram. Potraite prekidnu taku na kumulativnoj

krivoj. Ona moe da se identifikuje kao mesto na kome se javlja znaajna promena u toku dijagrama. Ta taka razdvaja vitalnu manjinu od trivijalne veine

PRIMER U tabeli 1 prikazani su podaci koji su sakupljeni u jednoj organizaciji, a koji se odnose

na gubitak radnog vremena iz raznovrsnih razloga, zbog kanjenja na posao, neoekivanog odsustva, tue na poslu, upotebe droge/alkohola na poslu, nepropisnog parkiranja, vandalizma i prekraja u oblaenju. Za sve kategorije su prikupljeni podaci i prikazani u drugoj koloni u tabeli.

Tabela 1. Kategorije i uestalost podataka Kategorija Uestalost

Kanjenje 47 Neoekivano odsustvo 35 Klasini perkidi 19 Tua 10 Droge/alkohol 7 Nepropisno parkiranje 4 Vandalizam 2 Prekraj 1 Ukupno 125

REENJE Kumulativna uestalost, dobija se tako to se vrednosti za prvu kategoriju doda

vrednost za drugu kategoriju, pa se potom toj vrednosti doda vrednost tree kategorije i tako redom.

Relativna kumulatiivna uestalost se dobija tako to se apsolutna vrednost kumulativne uestalosti podeli zbirom vrednosti svih kategorija (u razmatranom sluaju to je 125) i pomnoi sa 100. Tabela 2 Proraun kumulativne i relativne uestalosti

Kategorija Uestalost Kumulativna uestalost

Relativna kumulativna uestalost (%)

Kanjenje 47 47 47/125 = 37.6 Neoekivano odsustvo 35 82 65.6 Klasini perkidi 19 101 80.8 Tua 10 111 88.8. Droge/alkohol 7 118 94.4 Nepropisno parkiranje 4 122 97.6 Vandalizam 2 124 99.2 Prekraj 1 125 100.0 Ukupno 125 Mora da je jednako Mora da bude 100%

8

Iz tabele se vidi da se vrednost kumulativne uestalosti poveava od poetne vrednosti 47, koja je jednaka vrednosti prve kategorije, do vrednosti 125, to je zapravo zbir vrednosti svih kategorija.

Realizacijom svih koraka potrebnih za konstrukciju Pareto dijagrama, za razmatrani primer dobija se Pareto dijagram prikazan na sledeoj slici.

Slika 2 Prikaz Pareto dijagrama za razmatrani primer [Stojiljkovi, et al.,2006 ]. Sa Pareto dijagrama jasno se vide 3 kateorije koje dovode do 80% gubitaka radnog

vrema. Ostalih 5 kategorija dovode do gubitka radnog vremena od svega 20%. Organizacija treba da istrai uzroke prve tri kategorije i da ih otkloni. Kada to uini, smanjie gubitke radnog vremena za 80%. U sluaju da se fokusira na iznalaenje i otklanjanje uzroka za 5 kategorija koje dovode do 20% gubitka radnog vremena, organizacija e utedeti samo 20% ukupnog gubitka radnog vremena. Iz ovog primera jo jednom moemo zakljuiti zato je vano da se izdvoji vitalna manjina. Za vitalnu manjinu se troi 20% resursa a dobija 80% uinka. To je najbolji povraaj investicije i to potvruje Crosby-jev stav: Kvalitet je besplatan, ali se ne dobija na poklon.

Runa obrada podataka i crtanje Pareto dijagrama oduzima dosta vremena. Danas je

malo ko spreman da nepotrebno troi vreme. Zato je razumljivo da isti posao moe i treba da se uradi korienjem nekog od softvera za Pareto metodu.