zadaci za vjezbu matematika 3

7/25/2019 Zadaci Za Vjezbu matematika 3

1/5

1

III oblast: Povrsinski integrali I vrste1

1. Izracunati integral

S

(3x y+z) d S, ako je Sdio ravni 3x+ 2y+ 12z 24 = 0 u I oktantu.


S

(4x+ 4y+ 4z) d S,ako je Skocka odredjena sa 0 x 2, 0 y 2, 0 z 2.


S

(x2 +z2) d S, ako je Ssfera x2 +y2 +z2 = 9.


S

(y2 +z2) d S, ako je Sdio eliptickog konusa x2 =y2 +z2,1 x 0.


S

d S

(1 +x+y)2, ako je Sdio ravni x+y+z 2 = 0 u I oktantu.


S

d S

x2 +y2 +z2,ako jeSdio eliptickog cilindrax2+ z2 = 9 koji je ogranicen ravnima

y= 0, y= 3, x= 0, z= 0.


Sx d S, ako je Sdio helikoida x = v, y= u cos v, z= u sin v, u[0, 1], v[0, 2].8. Izracunati povrsinu torusa datog sa

r(u, v) = (b sin , (a+b cos )cos , (a+b cos )sin ), a,b >0, a+b cos 0.


S

x d S, ako je S dio sfere x2 +y2 +z2 = 4 koji se nalazi u I oktantu.


S

d S

(x2 +y2 +z2)2, ako je Selipticki cilindar x2 + y2 =R2 ogranicen ravnima z = 0

i z = h.


S

x2 +y2 d S, ako je Sdio konusa x

2

a2+ y

2

b2 = z

2

c2, 0 z c.

12. Zadaci sa proslih rokova

(a) Izracunati integral

S

x d s, ako je S dio helikoide x = v, y = u sin v, z = u cos v, u [0, a], v[0, 2].

(b) Izracunati povrsinu torusa datog sa r = (a sin , (b+ a cos )cos , (b+ a cos )sin ), a,b > 0, b+a cos 0.

(c) Izracunati

S

y d s,ako je Sdio helikoide x= u cos v, y = v, z = u sin v, u[0, 4], v[0, 2].

(d) Izracunati povrsinu torusa datog sa r= 3 sin i+ (4 + 3 cos)cos j+ (4 + 3 cos )sin k,

(e) Izracunati povrsinu sfere x2 +y2 +z2 = 9 unutar cilindra x2 +y2 = 1 za z 0

(f ) Izracunati integral

S

d Sx2 +y2 +z2

,gdje jeSdio cilindrax2+ y2 = 1 ogranicen ravnima x = 0, y=

0, z= 0, z= 2.

(g) Izracunati integral

S

x d S, gdje je Shelikoidax = v, y = u sin v, z = u cos v, u[0, 1], v[0, 2].

(h) Izracunati integral

S

x2y2 d S, gdje je S gornja polovina sfere x2 +y2 +z2 =R2.

1Sve uocene greske mozete javiti na [email protected]. Hvala!


2/5

2

IV oblast: Povrsinski integrali II vrste

1. Izracunati integrali

S

2x+ 3y z

3

d x d y, gdje je Sdio ravni x +y+ 2z 6 = 0 u prvom oktantu.


S

xyz d x d y, gdje je Sdio ravni 2x+y+ 3z 12 = 0 u prvom oktantu.


S

x d y d z+z d x d y+y d x d z, gdje je Svanjska strana kocke ogranicene ravnima

x= 0, y = 0, z= 0, x= 1, y= 1 i z= 1.


S

(x2 +y2) d y d z+ sin z d x d yz +ex+y d x d y,gdje jeSvanjska strana kocke ogranicene

ravnimax = 0, y= 0, z = 0, x= 1, y= 1 i z = 1.


S

xy d x d y+xz d x d z+yz d y d z, gdje je Svanjska strana tetraedra ogranicenog

ravnimax = 0, y= 0, z = 0 i x +y+z 4 = 0.


S

yz d x d y+xz d y d z+xy d x d z,gdje jeSspoljna strana tijela ogranicenog eliptickim

cilindromx2

+y2

=R2

, ravnima x = 0, y= 0, z = 0 i z = Hu prvom oktantu.


S

z2 d x d y, gdje je svanjska strana elipsoida x2

a2 +

y2

b2 +

z2

c2 = 1.


S

z2 d x d y+y2 d x d z+x2 d y d z, gdje je Svanjska strana sfere x2 +y2 +z2 = 9.


S

xyz d x d y, gdje je Sspoljna strane sfere x2 +y2 +z2 = 1 i x 0, y 0.

Zadaci sa starih rokova

1. Izracunati povrsinski integral S

x2y2z d x d y, gdje je S gornja polusfera x2 +y2 +z2 = 4.

2. Izracunati povrsinski integral

S

yz d x d z+xy d y d z+xz d x d y, gdje je vanjski tetraedar ogranicena

ravnimax = 0, y= 0, z = 0, x+y+z = 2.


S

z d x d y, gdje je Svanjska strana elipsoida x2

4 +

y2

9 +

z2

4 = 1.


S

xy d x d z+xy d y d z+yz d x d z, gdje je vanjski tetraedar ogranicena

ravnimax =, y = 0, z= 0, x+y+z = 3.

5. Izracunati povrsinski integral S

yz d x d z+xy d y d z+xz d x d y, gdje je vanjski tetraedar ogranicena

ravnimax = 0, y= 0, z = 0, x+y+z = 2.

V oblast: Elementi vektorske analize

1. Odrediti ekviskalarne povrsi (nivo-povrsi) sljedecih skalarnih polja

(a) f(x,y,z) =

x2 +y2 +z2;

(b) f(x,y,z) = arcsin xy2 +z2

;

(c) f(x,y,z) = 2x

x2 +y2 +z2.

2. Za dato skalarno polje (ili data skalarna polja)

(a) f(x,y,z) =x2yz +xy4 z3 izracunati vrijednost gradijenta u tacki A(0, 1,4);


3/5

3

(b) f(x,y,z) = ln

x+

1

y

odrediti tacku u kojoj je grad f= i 16

9j.

(c) f(x,y,z) = x3 +y3 +z3 3xyz odrediti gradijent u A(2, 1, 1). U kojoj tacki je gradijent normalanna zosu, a u kojoj tacki je jednak nuli?

(d) f1(x,y,z) =

x2 +y2 i f2(x,y,z) = x 3y+

3xy odrediti ugao izmedju njihovih gradijenata utacki A(3, 4, 0).

(e) f(x,y,z) = lny

x odrediti ugao sto ga zatvaraju gradijenti datog polja u tackamaA12 , 14

i B(1, 1).

3. Odrediti vektorske linije (krive) sljedecih vektorskih polja

(a) v= ai+bj+ck;

(b) v=i+j+hk, ( i h su konstante);(c) v= (y+z,x, x);

(d) v= grad(x2 +y2 +z2);

(e) v= xi+yj+zk;

(f) v= x2yzi+xy2zj+xyz2k.

4. Za dato skalarno polje

(a) f(x,y,z) = arctg xy izracunati izvod u tacki A(1, 1, 0) u pravcu vektoraa= (1, 1,3).(b) f(x,y,z) =x2 4xyz4 + 3yz2 izracunati izvod u tacki A(2, 1,5) u smjeru od tacke A prema tacki

B(2, 4,1).(c) f(x,y,z) =xy2 + 2z3 xyz u tacki A(1, 1, 2) u smjeru vektora koji zatvara sa koordinatnim osama

x i y uglove = 3

i = 4

, a sa z osom zatvara tup ugao.

(d) f(x,y,z) = xy x2 + 2yz4 u tacki u smjeru vektora koji zatvara iste uglove sa svim koordinatnimosama.

5. Odrediti uglove izmedju datih povrsi

(a) x2

+y2

=a2

ibz

=xy

u tackiA

(x1, y1, z1

).

(b) x2 +y2 +z2 ax= 0 i x2 +y2 +z2 bx= 0 u proizvoljnoj taki.6. Izracunati divergenciju i rotor sljedecih vektroskih polja

(a) v= yzi+xzj+xyk.

(b) v= grad(x2 +y2 +z2).

7. Ispitati postoji li potencijal U, ako postoji odrediti ga za sljedeca vektorska polja

(a) v= (5x2y 4xy)i+ (3x2 2y)j.(b) v= yzi+xzj+xyk.

(c) v= (y+z)i+ (x+z)j+ (x+y)k.

8. Odrediti cirkulaciju

(a) Vektorskog polja v= xi yj duz kruznice x2 +y2 = 4;(b) Vektorskog polja v=2yi+ 2xj duz

(i) Kruznice x2 +y2 = 1;(ii) Kruznice (x 2)2 +y2 = 2;

(c) Vektorskog polja vx2y3i+ j+zk duz kruznice x2 +y2 = 4, z = 0.

9. Odrediti fluks

(a) Vektorskog polja v= xyi+yzj+xzk kroz spoljni dio sfere x2 +y2 +z2 = 9 koji je u I oktantu;

(b) Vektorskog polja v= xi+yy+zk kroz bazu kupe x

2

+y2

=z2

, 0 z 4.


4/5

4


1. Dato je skalarno polje f(x,y,z) = 4xy2 yz2, vektora= 16

, 26

, 16

i tacka P(2, 0, 3). Izracunati

(a) grad fu tacki P; (b) Izvod polja fu tacki P u smjeru vektora a.

2. Dato je skalarno polje f(x,y,z) = xyz 2x2z, vektor a = 18

, 28

,38

i tacka P(4,1, 0). Izracunati

(a) grad fu tacki P; (b) Izvod polja fu tacki P u smjeru vektora a.

3. Izracunati fluks vektorskog poljaa= (xy,yz,zx), kroz dio sfere x2 +y2 +z2 = 9 u I oktantu.

4. Dato je skalarno poljef(x,y,z) =xy4xy22yz2,vektor a= 1, 2,7 i tacka P(0,1, 3).Izracunati(a) grad fu tacki P; (b) Izvod polja fu tacki P u smjeru vektora a; (c) U kom smjeru je izvod na jveci iizracunati tu vrijednost.

5. Dato je skalarno polje f(x,y,z) = x2 yz + 2x2z, vektor a = 3, 1,2 i tacka P(2, 1,1). Izracunati(a) grad fu tacki P; (b) Izvod polja fu tacki P u smjeru vektora a; (c) U kom smjeru je izvod na jveci iizracunati tu vrijednost.

6. Za dato vektorsko poljev= (x 2y+ cz)i + (ax 2y+ 3z)j+ (2x by z)k, odrediti konstante a, bi c,tako da polje bude potencijalno, te izracunati njegov potencijal.

7. Odrediti fluks vektorskog polja F =xy i+yz j+xz k, kroz dio sfere x2

+y2

+z2

= 4 u I oktantu.

8. Za dato vektorsko poljev= (x + 2y az)i + (bx + 6y+ 2z)j+ (3x + cy 4z)k, odrediti konstante a, bictako da polje bude potencijalno.

9. Izracunati fluks polja F =xi+yj+zk kroz dio sfere x2 +y2 +z2 = 1 u I oktantu.

10. Za dato vektorsko poljev= (3ax + 2y+ 3z)i + (x + 6by z)j+ (x 2y+ 2cz)k, odrediti konstante a, bi c tako da polje bude potencijalno.

Oblast VI: Elementi kompleksne analize

1. Pokazati da funkcijaf(z) =

z2

|z|2 nema granicnu vrijednost kadaz0.

2. Izracunati limz0

z Re(z)

|z| .

3. Izracunati limz0

z Re(z)

|z|2 .

4. Ispitati da li je funkcija f(z) =

xy3(x iy)x2 +y6

, z= 00, z = 0,

diferencijabilna u koordinatnom pocetku.

5. Data je funkcija f(z) =z Re z. Izracunati f(0).

6. Izracunati analiticku funkciju f(z), ako je

(a) u(x, y) =x2 +y2 2y uz uslov f(0) = 0.(b) u(x, y) =ex cos y.

(c) v(x, y) = 3ex sin y.

(d) v(x, y) = arctgy

x, uz uslov f(1) = 0;

(e) u(x, y) = 1

2ln(x2 +y2), uz uslov f(1) = 0.


5/5

5


1. Odrediti analiticku funkciju f(z) ako je u(x, y) = 12

ln(x2 +y2) uz uslov f(1) = 0.

2. Odrediti analiticku funkciju f(z) =u+iv, ako je u = x2 +y2 xy i f(0) = 0.

3. Ispitati da li je funkcija f(z) =

x3y(y+ix)

x6 +y2 , z= 0

0, z= 0

diferencijalbilna u koordinatnom pocetku.

4. Odrediti analiticku funkciju f(z) =u+iv, ako je u = x2 +y2 xy i f(0) = 0.u koordinatnom pocetku.

5. Odrediti analiticku funkciju f(z) ako je u(x, y) =ex(y sin y x cos y) uz uslov f(0, 0) = 0.6. Odrediti analiticku funkciju f(z) ako je u(x, y) = ln(x2 +y2) +x 2y uz uslov f(1, 0) = 1.

zadaci za vjezbu matematika 3

Documents