1

Zadatak 121 (Vesna strukovna škola)

Određenu količinu šećera treba spremiti u pripremljene pakete Stavi li se u svaki paket 18 kg

šećera ostat će 10 praznih paketa Ako se u svaki paket stavi 14 kg šećera ostat će 180 kg šećera koji

nije spakiran Koliko paketa imamo na raspolaganju Kolika je ukupna količina šećera

Rješenje 121 Ponovimo Kako zapisati da je broj b za n veći od broja a

b n a b a n b a nminus = = + minus =

Neka je

bull x ukupna količina šećera

bull y ukupan broj paketa

Ukupna količina šećera je x Kada se u svaki paket stavi 18 kg šećera to je

18

x

paketa Još ostane 10 praznih paketa pa vrijedi

1018

xy minus =

Ukupan broj paketa je y Kada se u svaki paket stavi 14 kg šećera to je

14 ysdot

kilograma šećera Još ostane 180 kg šećera pa vrijedi

14 180x yminus sdot =

Riješimo sustav jednadžbi

metoda suprotnih 18

koef

10 10 1018 18 18

14 180 14 180 14 1icijenata

80

x x xy y y

x y x y x y

minus = minus + = minus + =rArr rArr rArr rArr

minus sdot = minus sdot =

sdot

minus sdot =

18 1804 360 4 360 9 0

14 1804

x yy y y

x y

minus + sdot =rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

minus sdot =

Računamo x

14 18014 90 180 1260 180 180 1260 1440

90

x yx x x x

y

minus sdot =rArr minus sdot = rArr minus = rArr = + rArr =

=

Paketa je 90 šećera 1440 kg

Vježba 121 Određenu količinu šećera treba spremiti u pripremljene pakete Stavi li se u svaki paket 18 kg

šećera ostat će 20 praznih paketa Ako se u svaki paket stavi 14 kg šećera ostat će 360 kg šećera koji

nije spakiran Koliko paketa imamo na raspolaganju Kolika je ukupna količina šećera

Rezultat Paketa 180 šećera 2880 kg

Zadatak 122 (Petra gimnazija)

Marin je išao kupiti školski pribor Trećinu novca potrošio je za bilježnice onda je četvrtinu

ostatka potrošio za olovke i na kraju je polovicu onoga što je ostalo potrošio za pernicu Preostalo mu

je 18 kuna Koliko je novaca Marin ponio sa sobom

68 72 90 102A kn B kn C kn D kn

Rješenje 122 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a c b a bn a

b d b d b d b d c c

sdot minus sdot sdot sdot= minus = sdot = sdot =

sdot sdot

2

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Označimo slovom x iznos novca koji je Marin imao prije kupovine

1inačica

Trećinu novca

1

3xsdot

Marin je potrošio za bilježnice pa mu je ostalo

1 3 2 2

3 1 3 3 3 3

x x x x xx x x

sdot minus sdotminus sdot = minus = = = sdot

Četvrtinu ostatka

1 2 1 2 1 1 1 1

4 3 4 3 3 2 3

2

4 6x x x x xsdot sdot = sdot sdot = sdot sdot = sdot sdot = sdot

potrošio je za olovke i ostalo mu je

2 1 4 3 3

6

1

3 6 6 6 2 2

x x x x xx x x

sdot minus sdot sdotsdot minus sdot = = = = = sdot

Polovicu onog što je ostalo

1 1 1 1 1

2 2 2 2 4x x xsdot sdot = sdot sdot = sdot

potrošio je za pernicu pa mu je preostalo

1 1 2 1

2 4 4 4 4

x x xx x x

sdot minussdot minus sdot = = = sdot

Budući da je nakon kupovine preostalo 18 kn vrijedi

1 118 18 72

4 4 4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Marin je imao 72 kn Odgovor je pod B

2inačica

Trećinu novca

1

3xsdot

Marin je potrošio za bilježnice pa mu je ostalo

1 3 2 2

3 1 3 3 3 3

x x x x xx x x

sdot minus sdotminus sdot = minus = = = sdot

Četvrtinu ostatka

1 2 1 2 1 1 1 1

4 3 4 3 3 2 3

2

4 6x x x x xsdot sdot = sdot sdot = sdot sdot = sdot sdot = sdot

potrošio je za olovke i ostalo mu je

2 1 4 3 3

6

1

3 6 6 6 2 2

x x x x xx x x

sdot minus sdot sdotsdot minus sdot = = = = = sdot

Polovicu onog što je ostalo

3

1 1 1 1 1

2 2 2 2 4x x xsdot sdot = sdot sdot = sdot

potrošio je za pernicu pa mu je preostalo 18 kn

Od x kuna koje je imao Marin je potrošio

bull 1

za bilježnice3

xsdot

bull 1

za olovke6

xsdot

bull 1

za pernicu4

xsdot

bull još je preostalo 18 kn

pa vrijedi jednadžba

1 1 1 1 1 118 18

3 6 412

6 4

3x x x x x x x x= sdot + sdot + sdot + rArr = sdot + sdot + sdot+ sdot rArr

12 4 2 3 216 12 4 2 3 216 3 216 3 216 7 3 2x x x x x x x x x x xsdot = sdot + sdot + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot minus sdot = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Marin je imao 72 kn Odgovor je pod B

Vježba 122 Marin je išao kupiti školski pribor Trećinu novca potrošio je za bilježnice onda je četvrtinu

ostatka potrošio za olovke i na kraju je polovicu onoga što je ostalo potrošio za pernicu Preostalo mu

je 30 kuna Koliko je novaca Marin ponio sa sobom

90 150 120 180A kn B kn C kn D kn

Rezultat C

Zadatak 123 (MMMMDDDD maturant)

Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijeg 5 florina Ukoliko se

kupi urna vina za 8 florina koliko je od toga bolje a koliko lošije vino

Rješenje 123 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Jednostavni račun smjese

Imamo dvije vrste robe

bull prve x mjernih jedinica po cijeni a

bull druge y mjernih jedinica po cijeni b pritom je a gt b

Ako ih pomiješamo dobit ćemo smjesu od (x + y) mjernih jedinica po cijeni c Dakle imamo

( )a x b y c x ysdot + sdot = sdot +

Traženi omjer miješanja prve i druge vrste robe može se naći pomoću sheme

a c ndash b c

b a ndash c 1inačica

Označimo slovom x količinu boljeg a slovom y količinu lošijeg vina

Ukoliko se kupi urna (približno 13 litara) vina vrijedi jednadžba

4

x + y = 13

Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijega 5 florina Budući da je kupljena

urna vina za 8 florina valjana je sljedeća jednadžba

10 5 8 13 10 5 104x y x ysdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =

Iz sustava jednadžbi izračunamo x količinu boljeg i y količinu lošijeg vina

( )13 13

10 5 13 10410 5 104 10 5 104

metoda

supstitucije

x y y xx x

x y x y

+ = = minusrArr rArr rArr sdot + sdot minus = rArr

sdot + sdot = sdot + sdot =

10 65 5 104 10 5 104 65 5 39 5 39 5 78x x x x x x xrArr sdot + minus sdot = rArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

1378 13 13 78 52

78

x yy y y

x

+ =rArr + = rArr = minus rArr =

=

Boljega vina je 78 litara a lošijeg 52 litre

2inačica

Neka je x količina kupljenog boljeg vina Budući da je urna približno 13 litara lošijeg vina bit će

13 ndash x

Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijeg 5 florina Budući da je kupljena

urna vina za 8 florina valjana je sljedeća jednadžba

( ) ( )10 5 13 8 13 10 5 13 104 10 65 5 104 10 5 104 65x x x x x x x xsdot + sdot minus = sdot rArr sdot + sdot minus = rArr sdot + minus sdot = rArr sdot minus sdot = minus rArr

5 39 5 3 9 785x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Boljeg vina ima 78 litara a lošijeg

13 ndash x = 13 ndash 78 = 52

litre

3inačica

Postavimo shemu

10 8 ndash 5 = 3 8

5 10 ndash 8 = 2 5

Sada urnu vina tj 13 litara podijelimo s 5

13 5 = 26

Kupljeno je

bull boljeg vina 26 3 = 78 litara

bull lošijeg vina 26 2 = 52 litre

=

Vježba 123 Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijeg 5 florina Ukoliko se

kupe dvije urne vina za 8 florina koliko je od toga bolje a koliko lošije vino

Rezultat 156 litara 104 litre

Zadatak 124 (Davor srednja škola)

Ako aritmetička sredina deset brojeva x 3 1 4 1 5 1 4 1 5 iznosi 3 onda je

2 3 4 5A x B x C x D x= = = =

Rješenje 124 Ponovimo

5

Neka je zadano n pozitivnih brojeva a1 a2 a3 hellip an Tada je aritmetička sredina A brojeva a1 a2 a3

hellip an definirana izrazom

1 2 3

a a a anA

n

+ + + +=

Računamo x

3 1 4 1 5 1 4 1 5 10

25 253 3 3 25 30 30 25 5

10 10 10

x x xx x x

+ + + + + + + + + + += rArr sdot= rArr = rArr + = rArr = minus rArr =

Odgovor je pod D

Vježba 124 Ako aritmetička sredina deset brojeva x 3 1 2 1 7 2 3 1 5 iznosi 3 onda je

2 3 4 5A x B x C x D x= = = =

Rezultat D

Zadatak 125 (Ana gimnazija)

Trećina nekog broja je za 12 veća od četvrtine tog broja Koji je to broj

Rješenje 125 Ponovimo

Kako zapisati n ndash ti dio od broja x

1ili

xx

n nsdot

Kako zapisati da je broj a za n veći od broja b

ili ili a n b a b n a b nminus = = + minus =

Označimo slovom x traženi broj Tada

bull njegova trećina iznosi

3

x

bull njegova četvrtina iznosi

4

x

Budući da je trećina tog broja za 12 veća od njegove četvrtine vrijedi jednadžba

1inačica

12 12 4 1 44 3 4 3 144 1443 4 3 4

12x x x x

x x x x xminus = rArr minus = rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

2inačica

12 12 4 3 144 4 3 144 1443 4 3 4

12x x x x

x x x x x= + rArr = + rArr sdot = sdot + rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

3inačica

1212 12 4 3 144 1443 4 3 4

x x x xx x xminus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

Vježba 125

Polovica nekog broja je za 36 veća od četvrtine tog broja Koji je to broj

Rezultat 144

6

Zadatak 126 (Darko srednja škola)

U putničkome zrakoplovu ima 108 mjesta Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno

Ako devetinu putnika čine djeca koliko je odraslih osoba u zrakoplovu

64 76 82 88A B C D

Rješenje 126 Ponovimo

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

1

n b a bn a

c c

sdot= sdot =

1inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno znači da su dvije trećine od

108 mjesta popunjena putnicima

2 2 108 216108 72

3 3 1 3sdot = sdot = =

Devetinu putnika čine djeca što iznosi

1 1 72 7272 8

9 9 1 9sdot = sdot = =

Odraslih osoba u zrakoplovu je 72 8 64minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno znači da su dvije trećine od

108 mjesta popunjena putnicima

2 2 108 216108 72

3 3 1 3sdot = sdot = =

Ako devetinu putnika čine djeca onda su osam devetina putnika odrasli a to iznosi

728 8 72 8 8 8 6472 64

9 9 1 1 1 1 19sdot = sdot = sdot = sdot = =

Odgovor je pod A

3inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno računamo broj trojki

108 3 36=

U svakoj su trojci dva putnika 36 2 72sdot =

Ako devetinu putnika čine djeca onda su osam devetina putnika odrasli a to iznosi

728 8 72 8 8 8 6472 64

9 9 1 1 1 1 19sdot = sdot = sdot = sdot = =

Odgovor je pod A

Vježba 126

U putničkome zrakoplovu ima 216 mjesta Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno

Ako devetinu putnika čine djeca koliko je odraslih osoba u zrakoplovu

7

128 138 180 120A B C D

Rezultat A

Zadatak 127 (Ana gimnazija)

Jedan je komad žice dulji od drugog 54 metra Kad od svakog komada odrežemo 12 m veći

će komad biti četiri puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rješenje 127 Ponovimo

Kako zapisati da je broj b za n veći od broja a

b n a b a n b a nminus = = + minus =

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

1inačica

Neka je x duljina prve (kraće) žice Druga je od nje dulja 54 m pa je dugačka x + 54 Kad od svakog

komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

x + 54 ndash 12 = x + 42

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )42 4 12 42 4 48 4 48 42 3 90x x x x x x x+ = sdot minus rArr + = sdot minus rArr minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( ) 3 9 3030x xrArr minus rArrminussdot = minus =

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

54 30 54 84 x m+ = + =

2inačica

Neka je x duljina kraće a y duljina dulje žice Veća je od kraće dulja 54 m pa vrijedi jednadžba

54y xminus =

Kad od svakog komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

y ndash 12

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )12 4 12 y xminus = sdot minus

Iz sustava jednadžbi odredimo x i y

( ) ( )( )

54 5 metoda

su

454 12 4 12

12 4 12 12 4 12 pstitucije

y x y xx x

y x y x

minus = = +rArr rArr rArr + minus = sdot minus rArr

minus = sdot minus minus = sdot minus

( )54 12 4 48 4 48 54 12 3 90 3 90 30 3x x x x x x xrArr + minus = sdot minus rArr minus sdot = minus minus + rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =minus

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

5430 54 54 30 84

30

y xy y y m

x

minus =rArr minus = rArr = + rArr =

=

8

Vježba 127

Jedan je komad žice dulji od drugog 27 metara Kad od svakog komada odrežemo 6 m veći

će komad biti dva puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rezultat 33 m 60 m

Zadatak 128 (Mimi Ivonchy HTT)

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 3 cm x 2 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Koliko se takvih oblika leda može napraviti od 1 litre vode (Napomena 1 litra = 1 dm3)

Rješenje 128 Ponovimo

3 31 1 1000litra dm cm= =

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Kvadar je uspravna prizma kojoj je baza pravokutnik Ako su a b i c duljine bridova kvadra iz jednog

vrha obujam kvadra jednak je

V a b c= sdot sdot

Led oblika kvadra ima obujam

35 3 2 335 3 2 21

a cm b cm c cmV cm cm cm V cm

V a b c

= = =rArr = sdot sdot rArr =

= sdot sdot

Označimo slovom x obujam vode potrebne za jedan takav oblik leda obujma 21 cm3 Budući da se pri

smrzavanju obujam vode poveća za 5 vrijedi jednadžba

1005 5

21 21 100 5 2100 105 2100100 100

x x x x x x xsdot+ sdot = rArr + sdot = rArr sdot + sdot = rArr sdot = rArr

105 210 0 20105x xrArr sdot = rArr =

Potrebno je 20 cm3 vode

Obujam 1 litre vode iznosi

3 31 1 1000 V litra dm cm= = =

Pri smrzavanju obujam vode poveća se za 5 pa obujam dobivenog leda ima vrijednost

5 5 31000 1000 1000 50 1050

100 100V V cm+ sdot = + sdot = + =

Računamo koliko se kvadara leda obujma 21 cm3 može dobiti iz obujma 1050 cm3

31050

503

21

cmn n

cm

= rArr =

9

Vježba 128

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 6 cm x 1 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Rezultat 20 cm3

Zadatak 129 (Mimi Ivonchy HTT)

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti prije poskupljenja Kolika je cijena jedne čokolade nakon

poskupljenja

Rješenje 129 Ponovimo

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x broj čokolada prije poskupljenja a y cijena jedne čokolade također prije poskupljenja Iz

uvjeta zadatka slijedi

120x ysdot =

Budući da se nakon poskupljenja od 25 moglo kupiti dvije čokolade manje vrijedi jednadžba

( ) ( ) ( ) ( )25

2 120 2 025 120 2 125 120100

x y y x y y x yminus sdot + sdot = rArr minus sdot + sdot = rArr minus sdot sdot =

Broj čokolada Cijena čokolade

Prije poskupljenja x y

Nakon poskupljenja x ndash 2 125 y

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )( ) ( )

metoda

komparacije

1202 125 2 125

2 125 120

x yx y x y x y yx y

x y

sdot =rArr rArr sdot = minus sdot sdot rArr sdot = minus sdot sdot rArr

minus sdot sdot =

( ) ( )2 125 125 2 125 250 125 250x x x x x x x xrArr = minus sdot rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr

025 250 0 02525 250 10x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Prije poskupljenja moglo se kupiti deset čokolada

Računamo cijenu jedne čokolade prije poskupljenja

12010 120 10 120 12

10 10

x yy y y

x

sdot =rArr sdot = rArr sdot = rArr =

=

Cijena čokolade nakon poskupljenja iznosi 15 kn

125 125 12 15ysdot = sdot =

Vježba 129

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti nakon poskupljenja

10

Rezultat 8

Zadatak 130 (Mimi Ivonchy HTT)

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima otac

44 32 52 48A B C D

Rješenje 130 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Neka je

bull x broj godina oca

bull y broj godina starijeg sina

bull z broj godina mlađeg sina

Broj godina

oca

Broj godina starijeg

sina

Broj godina mlađeg

sina

x y z Prije 4 godine x ndash 4 x ndash 4 Prije 10 godina x ndash 10 z ndash 10

Budući da otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno vrijedi jednadžba

x y z= +

Prije 4 godine imao je

bull otac x ndash 4 godine

bull stariji sin y ndash 4 godine

Otac je bio dvaput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )4 2 4 x yminus = sdot minus

Prije 10 godina imao je

bull otac x ndash 10 godina

bull mlađi sin z ndash 10 godina

Otac je bio triput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )10 3 10 x zminus = sdot minus

Dobije se sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice iz kojega se izračuna x broj godina oca

( )

( )

4 2 4 4 2 8 2 8 4 2 4 8

10 3 30 3 30 10 3 10 3010 3 10

x y z x y z x y z x y z

x y x y y x y x

x z z x z xx z

= + = + = + = +

minus = sdot minus rArr minus = sdot minus rArr sdot minus = minus rArr sdot = minus + rArr

minus = sdot minus sdot minus = minus sdot = minus +minus = sdot minus

42 4 2 4

23 20 3 20

metoda 2

supstitucije

3

320

x y zx y z x y z

xy x y x y

z x z xx

z

= += + = +

+rArr sdot = + rArr sdot = + rArr = rArr rArr

sdot = + sdot = ++

=

( ) ( )4 20 4 2

0

6 3 4 2 202 3 3

62

x x x xx x x x x

+ + + +rArr = + rArr = + rArr sdot = sdot + + sdot +sdot rArr

11

6 3 12 2 40 6 3 2 12 40 52x x x x x x xrArr sdot = sdot + + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot = + rArr =

Odgovor je pod C

Vježba 130

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima mlađi sin

24 25 26 19A B C D

Rezultat A

Zadatak 131 (Ante srednja škola)

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 2 kg kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rješenje 131 Ponovimo

1 1000 1 10 1 1 1000 10 100 1kg g l dl kg l g dl g dl= = = rArr = rArr =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Neka je x količina vode izražena u kilogramima koju moramo doliti u 2 kg kupljene zemlje da se

dobije zemlja sa 18 vode Tada vrijedi jednadžba

( ) ( )12 100 18 12 100 18

2 2 2 2100 100 100 100 100 10

1000

x x x xsdot + sdot = + sdot sdotrArr sdot + sdot = + sdot rArr

( ) ( )2 12 100 18 2 24 100 18 2 24 100 36 18x x x x x xrArr sdot + sdot = sdot + rArr + sdot = sdot + rArr + sdot = + sdot rArr

12100 18 36 24 82 12 82 12

82 82x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

0146 0146 x x kgrArr = rArr =

U 2 kg kupljene zemlje treba uliti 0146 kg vode Preračunato u decilitre to iznosi

0146 146 146 x kg g dl= = =

Odgovor je pod C

Vježba 131

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 200 dag kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rezultat C

Zadatak 132 (Žac srednja škola)

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je bilo učenika u razredu Koliko je učenika dobilo ocjenu dobar iz matematike

12

Rješenje 132 Ponovimo

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N

1 2 3 4 5 1 N n n= +

Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem Prirodni broj ima beskonačno

mnogo višekratnika

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Neka je x broj učenika u razredu a y broj učenika sa ocjenom dobar iz matematike Iz uvjeta zadatka

dobije se jednadžba

3 6 2 18 186 3 9 6 3 9

18x x x x x x

y x y x x x x y xsdot+ + + = rArr + + + = rArr sdot + sdot + sdot + sdot = sdot rArr

711 18 18 18 18 11 18 7 18 7

1 1

88x y x y x x y x y x y xrArr sdot + sdot = sdot rArr sdot = sdot minus sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Budući da su x i y prirodni brojevi broj učenika x mora biti višekratnik broja 18 Zbog uvjeta zadatka

slijedi

20 40 21 22 23 38 39x xlt lt rArr isin

pa je 36 2 18x = = sdot

Tada je

77 7

36 36 7 2 1418

1818

36

y xy y y y

x

= sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =

=

U razredu je 36 učenika

Ocjenu dobar dobilo je 14 učenika

3 =

Vježba 132

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je učenika dobilo ocjenu vrlo dobar iz matematike

Rezultat 6

Zadatak 133 (Mario HTT)

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine

dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

5 6 7 8A B C D

Rješenje 133 Ponovimo

a a c

cb b

sdotsdot =

Kako zapisati od a

xb

13

a

xb

sdot

Neka je x broj učenika u razredu Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje

bull petina učenika razreda dobila je odličan

1

5xsdot

bull trećina učenika razreda dobila je vrlo dobar

1

3xsdot

bull tri desetine učenika razreda dobila je dobar

3

10xsdot

bull desetina učenika razreda dobila je dovoljan

1

10xsdot

bull dva učenika iz razreda dobila su negativnu ocjenu 2

Sada možemo napisati jednadžbu

1 1 3 1 1 1 3 12 2

5 3 10 10 50

10 10 3

3x x x x x x x x x xsdot + sdot + sdot + sdot + = rArr sdot + sdot + sdot sdot = sdot+ + rArr

6 10 9 3 60 30 28 60 30x x x x x x xrArr sdot + sdot + sdot + sdot + = sdot rArr sdot + = sdot rArr

( )28 30 60 2 60 2 60 2 3 0x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot rArr =minus= minus

Računamo koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

1 1 3030 6

5 5 5xsdot = sdot = =

Odgovor je pod B

Vježba 133

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu

vrlo dobar 7 8 9 10A B C D

Rezultat D

Zadatak 134 (Maturant gimnazija)

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve je izvađeno 7 kuglica a u drugu je

stavljeno 5 kuglica pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rješenje 134 Ponovimo

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

2

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Označimo slovom x iznos novca koji je Marin imao prije kupovine

1inačica

Trećinu novca

1

3xsdot

Marin je potrošio za bilježnice pa mu je ostalo

1 3 2 2

3 1 3 3 3 3

x x x x xx x x

sdot minus sdotminus sdot = minus = = = sdot

Četvrtinu ostatka

1 2 1 2 1 1 1 1

4 3 4 3 3 2 3

2

4 6x x x x xsdot sdot = sdot sdot = sdot sdot = sdot sdot = sdot

potrošio je za olovke i ostalo mu je

2 1 4 3 3

6

1

3 6 6 6 2 2

x x x x xx x x

sdot minus sdot sdotsdot minus sdot = = = = = sdot

Polovicu onog što je ostalo

1 1 1 1 1

2 2 2 2 4x x xsdot sdot = sdot sdot = sdot

potrošio je za pernicu pa mu je preostalo

1 1 2 1

2 4 4 4 4

x x xx x x

sdot minussdot minus sdot = = = sdot

Budući da je nakon kupovine preostalo 18 kn vrijedi

1 118 18 72

4 4 4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Marin je imao 72 kn Odgovor je pod B

2inačica

Trećinu novca

1

3xsdot

Marin je potrošio za bilježnice pa mu je ostalo

1 3 2 2

3 1 3 3 3 3

x x x x xx x x

sdot minus sdotminus sdot = minus = = = sdot

Četvrtinu ostatka

1 2 1 2 1 1 1 1

4 3 4 3 3 2 3

2

4 6x x x x xsdot sdot = sdot sdot = sdot sdot = sdot sdot = sdot

potrošio je za olovke i ostalo mu je

2 1 4 3 3

6

1

3 6 6 6 2 2

x x x x xx x x

sdot minus sdot sdotsdot minus sdot = = = = = sdot

Polovicu onog što je ostalo

3

1 1 1 1 1

2 2 2 2 4x x xsdot sdot = sdot sdot = sdot

potrošio je za pernicu pa mu je preostalo 18 kn

Od x kuna koje je imao Marin je potrošio

bull 1

za bilježnice3

xsdot

bull 1

za olovke6

xsdot

bull 1

za pernicu4

xsdot

bull još je preostalo 18 kn

pa vrijedi jednadžba

1 1 1 1 1 118 18

3 6 412

6 4

3x x x x x x x x= sdot + sdot + sdot + rArr = sdot + sdot + sdot+ sdot rArr

12 4 2 3 216 12 4 2 3 216 3 216 3 216 7 3 2x x x x x x x x x x xsdot = sdot + sdot + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot minus sdot = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Marin je imao 72 kn Odgovor je pod B

Vježba 122 Marin je išao kupiti školski pribor Trećinu novca potrošio je za bilježnice onda je četvrtinu

ostatka potrošio za olovke i na kraju je polovicu onoga što je ostalo potrošio za pernicu Preostalo mu

je 30 kuna Koliko je novaca Marin ponio sa sobom

90 150 120 180A kn B kn C kn D kn

Rezultat C

Zadatak 123 (MMMMDDDD maturant)

Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijeg 5 florina Ukoliko se

kupi urna vina za 8 florina koliko je od toga bolje a koliko lošije vino

Rješenje 123 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Jednostavni račun smjese

Imamo dvije vrste robe

bull prve x mjernih jedinica po cijeni a

bull druge y mjernih jedinica po cijeni b pritom je a gt b

Ako ih pomiješamo dobit ćemo smjesu od (x + y) mjernih jedinica po cijeni c Dakle imamo

( )a x b y c x ysdot + sdot = sdot +

Traženi omjer miješanja prve i druge vrste robe može se naći pomoću sheme

a c ndash b c

b a ndash c 1inačica

Označimo slovom x količinu boljeg a slovom y količinu lošijeg vina

Ukoliko se kupi urna (približno 13 litara) vina vrijedi jednadžba

4

x + y = 13

Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijega 5 florina Budući da je kupljena

urna vina za 8 florina valjana je sljedeća jednadžba

10 5 8 13 10 5 104x y x ysdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =

Iz sustava jednadžbi izračunamo x količinu boljeg i y količinu lošijeg vina

( )13 13

10 5 13 10410 5 104 10 5 104

metoda

supstitucije

x y y xx x

x y x y

+ = = minusrArr rArr rArr sdot + sdot minus = rArr

sdot + sdot = sdot + sdot =

10 65 5 104 10 5 104 65 5 39 5 39 5 78x x x x x x xrArr sdot + minus sdot = rArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

1378 13 13 78 52

78

x yy y y

x

+ =rArr + = rArr = minus rArr =

=

Boljega vina je 78 litara a lošijeg 52 litre

2inačica

Neka je x količina kupljenog boljeg vina Budući da je urna približno 13 litara lošijeg vina bit će

13 ndash x

Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijeg 5 florina Budući da je kupljena

urna vina za 8 florina valjana je sljedeća jednadžba

( ) ( )10 5 13 8 13 10 5 13 104 10 65 5 104 10 5 104 65x x x x x x x xsdot + sdot minus = sdot rArr sdot + sdot minus = rArr sdot + minus sdot = rArr sdot minus sdot = minus rArr

5 39 5 3 9 785x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Boljeg vina ima 78 litara a lošijeg

13 ndash x = 13 ndash 78 = 52

litre

3inačica

Postavimo shemu

10 8 ndash 5 = 3 8

5 10 ndash 8 = 2 5

Sada urnu vina tj 13 litara podijelimo s 5

13 5 = 26

Kupljeno je

bull boljeg vina 26 3 = 78 litara

bull lošijeg vina 26 2 = 52 litre

=

Vježba 123 Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijeg 5 florina Ukoliko se

kupe dvije urne vina za 8 florina koliko je od toga bolje a koliko lošije vino

Rezultat 156 litara 104 litre

Zadatak 124 (Davor srednja škola)

Ako aritmetička sredina deset brojeva x 3 1 4 1 5 1 4 1 5 iznosi 3 onda je

2 3 4 5A x B x C x D x= = = =

Rješenje 124 Ponovimo

5

Neka je zadano n pozitivnih brojeva a1 a2 a3 hellip an Tada je aritmetička sredina A brojeva a1 a2 a3

hellip an definirana izrazom

1 2 3

a a a anA

n

+ + + +=

Računamo x

3 1 4 1 5 1 4 1 5 10

25 253 3 3 25 30 30 25 5

10 10 10

x x xx x x

+ + + + + + + + + + += rArr sdot= rArr = rArr + = rArr = minus rArr =

Odgovor je pod D

Vježba 124 Ako aritmetička sredina deset brojeva x 3 1 2 1 7 2 3 1 5 iznosi 3 onda je

2 3 4 5A x B x C x D x= = = =

Rezultat D

Zadatak 125 (Ana gimnazija)

Trećina nekog broja je za 12 veća od četvrtine tog broja Koji je to broj

Rješenje 125 Ponovimo

Kako zapisati n ndash ti dio od broja x

1ili

xx

n nsdot

Kako zapisati da je broj a za n veći od broja b

ili ili a n b a b n a b nminus = = + minus =

Označimo slovom x traženi broj Tada

bull njegova trećina iznosi

3

x

bull njegova četvrtina iznosi

4

x

Budući da je trećina tog broja za 12 veća od njegove četvrtine vrijedi jednadžba

1inačica

12 12 4 1 44 3 4 3 144 1443 4 3 4

12x x x x

x x x x xminus = rArr minus = rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

2inačica

12 12 4 3 144 4 3 144 1443 4 3 4

12x x x x

x x x x x= + rArr = + rArr sdot = sdot + rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

3inačica

1212 12 4 3 144 1443 4 3 4

x x x xx x xminus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

Vježba 125

Polovica nekog broja je za 36 veća od četvrtine tog broja Koji je to broj

Rezultat 144

6

Zadatak 126 (Darko srednja škola)

U putničkome zrakoplovu ima 108 mjesta Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno

Ako devetinu putnika čine djeca koliko je odraslih osoba u zrakoplovu

64 76 82 88A B C D

Rješenje 126 Ponovimo

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

1

n b a bn a

c c

sdot= sdot =

1inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno znači da su dvije trećine od

108 mjesta popunjena putnicima

2 2 108 216108 72

3 3 1 3sdot = sdot = =

Devetinu putnika čine djeca što iznosi

1 1 72 7272 8

9 9 1 9sdot = sdot = =

Odraslih osoba u zrakoplovu je 72 8 64minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno znači da su dvije trećine od

108 mjesta popunjena putnicima

2 2 108 216108 72

3 3 1 3sdot = sdot = =

Ako devetinu putnika čine djeca onda su osam devetina putnika odrasli a to iznosi

728 8 72 8 8 8 6472 64

9 9 1 1 1 1 19sdot = sdot = sdot = sdot = =

Odgovor je pod A

3inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno računamo broj trojki

108 3 36=

U svakoj su trojci dva putnika 36 2 72sdot =

Ako devetinu putnika čine djeca onda su osam devetina putnika odrasli a to iznosi

728 8 72 8 8 8 6472 64

9 9 1 1 1 1 19sdot = sdot = sdot = sdot = =

Odgovor je pod A

Vježba 126

U putničkome zrakoplovu ima 216 mjesta Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno

Ako devetinu putnika čine djeca koliko je odraslih osoba u zrakoplovu

7

128 138 180 120A B C D

Rezultat A

Zadatak 127 (Ana gimnazija)

Jedan je komad žice dulji od drugog 54 metra Kad od svakog komada odrežemo 12 m veći

će komad biti četiri puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rješenje 127 Ponovimo

Kako zapisati da je broj b za n veći od broja a

b n a b a n b a nminus = = + minus =

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

1inačica

Neka je x duljina prve (kraće) žice Druga je od nje dulja 54 m pa je dugačka x + 54 Kad od svakog

komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

x + 54 ndash 12 = x + 42

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )42 4 12 42 4 48 4 48 42 3 90x x x x x x x+ = sdot minus rArr + = sdot minus rArr minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( ) 3 9 3030x xrArr minus rArrminussdot = minus =

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

54 30 54 84 x m+ = + =

2inačica

Neka je x duljina kraće a y duljina dulje žice Veća je od kraće dulja 54 m pa vrijedi jednadžba

54y xminus =

Kad od svakog komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

y ndash 12

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )12 4 12 y xminus = sdot minus

Iz sustava jednadžbi odredimo x i y

( ) ( )( )

54 5 metoda

su

454 12 4 12

12 4 12 12 4 12 pstitucije

y x y xx x

y x y x

minus = = +rArr rArr rArr + minus = sdot minus rArr

minus = sdot minus minus = sdot minus

( )54 12 4 48 4 48 54 12 3 90 3 90 30 3x x x x x x xrArr + minus = sdot minus rArr minus sdot = minus minus + rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =minus

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

5430 54 54 30 84

30

y xy y y m

x

minus =rArr minus = rArr = + rArr =

=

8

Vježba 127

Jedan je komad žice dulji od drugog 27 metara Kad od svakog komada odrežemo 6 m veći

će komad biti dva puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rezultat 33 m 60 m

Zadatak 128 (Mimi Ivonchy HTT)

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 3 cm x 2 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Koliko se takvih oblika leda može napraviti od 1 litre vode (Napomena 1 litra = 1 dm3)

Rješenje 128 Ponovimo

3 31 1 1000litra dm cm= =

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Kvadar je uspravna prizma kojoj je baza pravokutnik Ako su a b i c duljine bridova kvadra iz jednog

vrha obujam kvadra jednak je

V a b c= sdot sdot

Led oblika kvadra ima obujam

35 3 2 335 3 2 21

a cm b cm c cmV cm cm cm V cm

V a b c

= = =rArr = sdot sdot rArr =

= sdot sdot

Označimo slovom x obujam vode potrebne za jedan takav oblik leda obujma 21 cm3 Budući da se pri

smrzavanju obujam vode poveća za 5 vrijedi jednadžba

1005 5

21 21 100 5 2100 105 2100100 100

x x x x x x xsdot+ sdot = rArr + sdot = rArr sdot + sdot = rArr sdot = rArr

105 210 0 20105x xrArr sdot = rArr =

Potrebno je 20 cm3 vode

Obujam 1 litre vode iznosi

3 31 1 1000 V litra dm cm= = =

Pri smrzavanju obujam vode poveća se za 5 pa obujam dobivenog leda ima vrijednost

5 5 31000 1000 1000 50 1050

100 100V V cm+ sdot = + sdot = + =

Računamo koliko se kvadara leda obujma 21 cm3 može dobiti iz obujma 1050 cm3

31050

503

21

cmn n

cm

= rArr =

9

Vježba 128

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 6 cm x 1 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Rezultat 20 cm3

Zadatak 129 (Mimi Ivonchy HTT)

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti prije poskupljenja Kolika je cijena jedne čokolade nakon

poskupljenja

Rješenje 129 Ponovimo

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x broj čokolada prije poskupljenja a y cijena jedne čokolade također prije poskupljenja Iz

uvjeta zadatka slijedi

120x ysdot =

Budući da se nakon poskupljenja od 25 moglo kupiti dvije čokolade manje vrijedi jednadžba

( ) ( ) ( ) ( )25

2 120 2 025 120 2 125 120100

x y y x y y x yminus sdot + sdot = rArr minus sdot + sdot = rArr minus sdot sdot =

Broj čokolada Cijena čokolade

Prije poskupljenja x y

Nakon poskupljenja x ndash 2 125 y

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )( ) ( )

metoda

komparacije

1202 125 2 125

2 125 120

x yx y x y x y yx y

x y

sdot =rArr rArr sdot = minus sdot sdot rArr sdot = minus sdot sdot rArr

minus sdot sdot =

( ) ( )2 125 125 2 125 250 125 250x x x x x x x xrArr = minus sdot rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr

025 250 0 02525 250 10x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Prije poskupljenja moglo se kupiti deset čokolada

Računamo cijenu jedne čokolade prije poskupljenja

12010 120 10 120 12

10 10

x yy y y

x

sdot =rArr sdot = rArr sdot = rArr =

=

Cijena čokolade nakon poskupljenja iznosi 15 kn

125 125 12 15ysdot = sdot =

Vježba 129

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti nakon poskupljenja

10

Rezultat 8

Zadatak 130 (Mimi Ivonchy HTT)

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima otac

44 32 52 48A B C D

Rješenje 130 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Neka je

bull x broj godina oca

bull y broj godina starijeg sina

bull z broj godina mlađeg sina

Broj godina

oca

Broj godina starijeg

sina

Broj godina mlađeg

sina

x y z Prije 4 godine x ndash 4 x ndash 4 Prije 10 godina x ndash 10 z ndash 10

Budući da otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno vrijedi jednadžba

x y z= +

Prije 4 godine imao je

bull otac x ndash 4 godine

bull stariji sin y ndash 4 godine

Otac je bio dvaput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )4 2 4 x yminus = sdot minus

Prije 10 godina imao je

bull otac x ndash 10 godina

bull mlađi sin z ndash 10 godina

Otac je bio triput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )10 3 10 x zminus = sdot minus

Dobije se sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice iz kojega se izračuna x broj godina oca

( )

( )

4 2 4 4 2 8 2 8 4 2 4 8

10 3 30 3 30 10 3 10 3010 3 10

x y z x y z x y z x y z

x y x y y x y x

x z z x z xx z

= + = + = + = +

minus = sdot minus rArr minus = sdot minus rArr sdot minus = minus rArr sdot = minus + rArr

minus = sdot minus sdot minus = minus sdot = minus +minus = sdot minus

42 4 2 4

23 20 3 20

metoda 2

supstitucije

3

320

x y zx y z x y z

xy x y x y

z x z xx

z

= += + = +

+rArr sdot = + rArr sdot = + rArr = rArr rArr

sdot = + sdot = ++

=

( ) ( )4 20 4 2

0

6 3 4 2 202 3 3

62

x x x xx x x x x

+ + + +rArr = + rArr = + rArr sdot = sdot + + sdot +sdot rArr

11

6 3 12 2 40 6 3 2 12 40 52x x x x x x xrArr sdot = sdot + + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot = + rArr =

Odgovor je pod C

Vježba 130

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima mlađi sin

24 25 26 19A B C D

Rezultat A

Zadatak 131 (Ante srednja škola)

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 2 kg kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rješenje 131 Ponovimo

1 1000 1 10 1 1 1000 10 100 1kg g l dl kg l g dl g dl= = = rArr = rArr =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Neka je x količina vode izražena u kilogramima koju moramo doliti u 2 kg kupljene zemlje da se

dobije zemlja sa 18 vode Tada vrijedi jednadžba

( ) ( )12 100 18 12 100 18

2 2 2 2100 100 100 100 100 10

1000

x x x xsdot + sdot = + sdot sdotrArr sdot + sdot = + sdot rArr

( ) ( )2 12 100 18 2 24 100 18 2 24 100 36 18x x x x x xrArr sdot + sdot = sdot + rArr + sdot = sdot + rArr + sdot = + sdot rArr

12100 18 36 24 82 12 82 12

82 82x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

0146 0146 x x kgrArr = rArr =

U 2 kg kupljene zemlje treba uliti 0146 kg vode Preračunato u decilitre to iznosi

0146 146 146 x kg g dl= = =

Odgovor je pod C

Vježba 131

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 200 dag kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rezultat C

Zadatak 132 (Žac srednja škola)

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je bilo učenika u razredu Koliko je učenika dobilo ocjenu dobar iz matematike

12

Rješenje 132 Ponovimo

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N

1 2 3 4 5 1 N n n= +

Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem Prirodni broj ima beskonačno

mnogo višekratnika

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Neka je x broj učenika u razredu a y broj učenika sa ocjenom dobar iz matematike Iz uvjeta zadatka

dobije se jednadžba

3 6 2 18 186 3 9 6 3 9

18x x x x x x

y x y x x x x y xsdot+ + + = rArr + + + = rArr sdot + sdot + sdot + sdot = sdot rArr

711 18 18 18 18 11 18 7 18 7

1 1

88x y x y x x y x y x y xrArr sdot + sdot = sdot rArr sdot = sdot minus sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Budući da su x i y prirodni brojevi broj učenika x mora biti višekratnik broja 18 Zbog uvjeta zadatka

slijedi

20 40 21 22 23 38 39x xlt lt rArr isin

pa je 36 2 18x = = sdot

Tada je

77 7

36 36 7 2 1418

1818

36

y xy y y y

x

= sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =

=

U razredu je 36 učenika

Ocjenu dobar dobilo je 14 učenika

3 =

Vježba 132

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je učenika dobilo ocjenu vrlo dobar iz matematike

Rezultat 6

Zadatak 133 (Mario HTT)

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine

dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

5 6 7 8A B C D

Rješenje 133 Ponovimo

a a c

cb b

sdotsdot =

Kako zapisati od a

xb

13

a

xb

sdot

Neka je x broj učenika u razredu Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje

bull petina učenika razreda dobila je odličan

1

5xsdot

bull trećina učenika razreda dobila je vrlo dobar

1

3xsdot

bull tri desetine učenika razreda dobila je dobar

3

10xsdot

bull desetina učenika razreda dobila je dovoljan

1

10xsdot

bull dva učenika iz razreda dobila su negativnu ocjenu 2

Sada možemo napisati jednadžbu

1 1 3 1 1 1 3 12 2

5 3 10 10 50

10 10 3

3x x x x x x x x x xsdot + sdot + sdot + sdot + = rArr sdot + sdot + sdot sdot = sdot+ + rArr

6 10 9 3 60 30 28 60 30x x x x x x xrArr sdot + sdot + sdot + sdot + = sdot rArr sdot + = sdot rArr

( )28 30 60 2 60 2 60 2 3 0x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot rArr =minus= minus

Računamo koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

1 1 3030 6

5 5 5xsdot = sdot = =

Odgovor je pod B

Vježba 133

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu

vrlo dobar 7 8 9 10A B C D

Rezultat D

Zadatak 134 (Maturant gimnazija)

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve je izvađeno 7 kuglica a u drugu je

stavljeno 5 kuglica pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rješenje 134 Ponovimo

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

3

1 1 1 1 1

2 2 2 2 4x x xsdot sdot = sdot sdot = sdot

potrošio je za pernicu pa mu je preostalo 18 kn

Od x kuna koje je imao Marin je potrošio

bull 1

za bilježnice3

xsdot

bull 1

za olovke6

xsdot

bull 1

za pernicu4

xsdot

bull još je preostalo 18 kn

pa vrijedi jednadžba

1 1 1 1 1 118 18

3 6 412

6 4

3x x x x x x x x= sdot + sdot + sdot + rArr = sdot + sdot + sdot+ sdot rArr

12 4 2 3 216 12 4 2 3 216 3 216 3 216 7 3 2x x x x x x x x x x xsdot = sdot + sdot + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot minus sdot = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Marin je imao 72 kn Odgovor je pod B

Vježba 122 Marin je išao kupiti školski pribor Trećinu novca potrošio je za bilježnice onda je četvrtinu

ostatka potrošio za olovke i na kraju je polovicu onoga što je ostalo potrošio za pernicu Preostalo mu

je 30 kuna Koliko je novaca Marin ponio sa sobom

90 150 120 180A kn B kn C kn D kn

Rezultat C

Zadatak 123 (MMMMDDDD maturant)

Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijeg 5 florina Ukoliko se

kupi urna vina za 8 florina koliko je od toga bolje a koliko lošije vino

Rješenje 123 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Jednostavni račun smjese

Imamo dvije vrste robe

bull prve x mjernih jedinica po cijeni a

bull druge y mjernih jedinica po cijeni b pritom je a gt b

Ako ih pomiješamo dobit ćemo smjesu od (x + y) mjernih jedinica po cijeni c Dakle imamo

( )a x b y c x ysdot + sdot = sdot +

Traženi omjer miješanja prve i druge vrste robe može se naći pomoću sheme

a c ndash b c

b a ndash c 1inačica

Označimo slovom x količinu boljeg a slovom y količinu lošijeg vina

Ukoliko se kupi urna (približno 13 litara) vina vrijedi jednadžba

4

x + y = 13

Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijega 5 florina Budući da je kupljena

urna vina za 8 florina valjana je sljedeća jednadžba

10 5 8 13 10 5 104x y x ysdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =

Iz sustava jednadžbi izračunamo x količinu boljeg i y količinu lošijeg vina

( )13 13

10 5 13 10410 5 104 10 5 104

metoda

supstitucije

x y y xx x

x y x y

+ = = minusrArr rArr rArr sdot + sdot minus = rArr

sdot + sdot = sdot + sdot =

10 65 5 104 10 5 104 65 5 39 5 39 5 78x x x x x x xrArr sdot + minus sdot = rArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

1378 13 13 78 52

78

x yy y y

x

+ =rArr + = rArr = minus rArr =

=

Boljega vina je 78 litara a lošijeg 52 litre

2inačica

Neka je x količina kupljenog boljeg vina Budući da je urna približno 13 litara lošijeg vina bit će

13 ndash x

Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijeg 5 florina Budući da je kupljena

urna vina za 8 florina valjana je sljedeća jednadžba

( ) ( )10 5 13 8 13 10 5 13 104 10 65 5 104 10 5 104 65x x x x x x x xsdot + sdot minus = sdot rArr sdot + sdot minus = rArr sdot + minus sdot = rArr sdot minus sdot = minus rArr

5 39 5 3 9 785x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Boljeg vina ima 78 litara a lošijeg

13 ndash x = 13 ndash 78 = 52

litre

3inačica

Postavimo shemu

10 8 ndash 5 = 3 8

5 10 ndash 8 = 2 5

Sada urnu vina tj 13 litara podijelimo s 5

13 5 = 26

Kupljeno je

bull boljeg vina 26 3 = 78 litara

bull lošijeg vina 26 2 = 52 litre

=

Vježba 123 Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijeg 5 florina Ukoliko se

kupe dvije urne vina za 8 florina koliko je od toga bolje a koliko lošije vino

Rezultat 156 litara 104 litre

Zadatak 124 (Davor srednja škola)

Ako aritmetička sredina deset brojeva x 3 1 4 1 5 1 4 1 5 iznosi 3 onda je

2 3 4 5A x B x C x D x= = = =

Rješenje 124 Ponovimo

5

Neka je zadano n pozitivnih brojeva a1 a2 a3 hellip an Tada je aritmetička sredina A brojeva a1 a2 a3

hellip an definirana izrazom

1 2 3

a a a anA

n

+ + + +=

Računamo x

3 1 4 1 5 1 4 1 5 10

25 253 3 3 25 30 30 25 5

10 10 10

x x xx x x

+ + + + + + + + + + += rArr sdot= rArr = rArr + = rArr = minus rArr =

Odgovor je pod D

Vježba 124 Ako aritmetička sredina deset brojeva x 3 1 2 1 7 2 3 1 5 iznosi 3 onda je

2 3 4 5A x B x C x D x= = = =

Rezultat D

Zadatak 125 (Ana gimnazija)

Trećina nekog broja je za 12 veća od četvrtine tog broja Koji je to broj

Rješenje 125 Ponovimo

Kako zapisati n ndash ti dio od broja x

1ili

xx

n nsdot

Kako zapisati da je broj a za n veći od broja b

ili ili a n b a b n a b nminus = = + minus =

Označimo slovom x traženi broj Tada

bull njegova trećina iznosi

3

x

bull njegova četvrtina iznosi

4

x

Budući da je trećina tog broja za 12 veća od njegove četvrtine vrijedi jednadžba

1inačica

12 12 4 1 44 3 4 3 144 1443 4 3 4

12x x x x

x x x x xminus = rArr minus = rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

2inačica

12 12 4 3 144 4 3 144 1443 4 3 4

12x x x x

x x x x x= + rArr = + rArr sdot = sdot + rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

3inačica

1212 12 4 3 144 1443 4 3 4

x x x xx x xminus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

Vježba 125

Polovica nekog broja je za 36 veća od četvrtine tog broja Koji je to broj

Rezultat 144

6

Zadatak 126 (Darko srednja škola)

U putničkome zrakoplovu ima 108 mjesta Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno

Ako devetinu putnika čine djeca koliko je odraslih osoba u zrakoplovu

64 76 82 88A B C D

Rješenje 126 Ponovimo

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

1

n b a bn a

c c

sdot= sdot =

1inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno znači da su dvije trećine od

108 mjesta popunjena putnicima

2 2 108 216108 72

3 3 1 3sdot = sdot = =

Devetinu putnika čine djeca što iznosi

1 1 72 7272 8

9 9 1 9sdot = sdot = =

Odraslih osoba u zrakoplovu je 72 8 64minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno znači da su dvije trećine od

108 mjesta popunjena putnicima

2 2 108 216108 72

3 3 1 3sdot = sdot = =

Ako devetinu putnika čine djeca onda su osam devetina putnika odrasli a to iznosi

728 8 72 8 8 8 6472 64

9 9 1 1 1 1 19sdot = sdot = sdot = sdot = =

Odgovor je pod A

3inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno računamo broj trojki

108 3 36=

U svakoj su trojci dva putnika 36 2 72sdot =

Ako devetinu putnika čine djeca onda su osam devetina putnika odrasli a to iznosi

728 8 72 8 8 8 6472 64

9 9 1 1 1 1 19sdot = sdot = sdot = sdot = =

Odgovor je pod A

Vježba 126

U putničkome zrakoplovu ima 216 mjesta Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno

Ako devetinu putnika čine djeca koliko je odraslih osoba u zrakoplovu

7

128 138 180 120A B C D

Rezultat A

Zadatak 127 (Ana gimnazija)

Jedan je komad žice dulji od drugog 54 metra Kad od svakog komada odrežemo 12 m veći

će komad biti četiri puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rješenje 127 Ponovimo

Kako zapisati da je broj b za n veći od broja a

b n a b a n b a nminus = = + minus =

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

1inačica

Neka je x duljina prve (kraće) žice Druga je od nje dulja 54 m pa je dugačka x + 54 Kad od svakog

komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

x + 54 ndash 12 = x + 42

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )42 4 12 42 4 48 4 48 42 3 90x x x x x x x+ = sdot minus rArr + = sdot minus rArr minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( ) 3 9 3030x xrArr minus rArrminussdot = minus =

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

54 30 54 84 x m+ = + =

2inačica

Neka je x duljina kraće a y duljina dulje žice Veća je od kraće dulja 54 m pa vrijedi jednadžba

54y xminus =

Kad od svakog komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

y ndash 12

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )12 4 12 y xminus = sdot minus

Iz sustava jednadžbi odredimo x i y

( ) ( )( )

54 5 metoda

su

454 12 4 12

12 4 12 12 4 12 pstitucije

y x y xx x

y x y x

minus = = +rArr rArr rArr + minus = sdot minus rArr

minus = sdot minus minus = sdot minus

( )54 12 4 48 4 48 54 12 3 90 3 90 30 3x x x x x x xrArr + minus = sdot minus rArr minus sdot = minus minus + rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =minus

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

5430 54 54 30 84

30

y xy y y m

x

minus =rArr minus = rArr = + rArr =

=

8

Vježba 127

Jedan je komad žice dulji od drugog 27 metara Kad od svakog komada odrežemo 6 m veći

će komad biti dva puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rezultat 33 m 60 m

Zadatak 128 (Mimi Ivonchy HTT)

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 3 cm x 2 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Koliko se takvih oblika leda može napraviti od 1 litre vode (Napomena 1 litra = 1 dm3)

Rješenje 128 Ponovimo

3 31 1 1000litra dm cm= =

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Kvadar je uspravna prizma kojoj je baza pravokutnik Ako su a b i c duljine bridova kvadra iz jednog

vrha obujam kvadra jednak je

V a b c= sdot sdot

Led oblika kvadra ima obujam

35 3 2 335 3 2 21

a cm b cm c cmV cm cm cm V cm

V a b c

= = =rArr = sdot sdot rArr =

= sdot sdot

Označimo slovom x obujam vode potrebne za jedan takav oblik leda obujma 21 cm3 Budući da se pri

smrzavanju obujam vode poveća za 5 vrijedi jednadžba

1005 5

21 21 100 5 2100 105 2100100 100

x x x x x x xsdot+ sdot = rArr + sdot = rArr sdot + sdot = rArr sdot = rArr

105 210 0 20105x xrArr sdot = rArr =

Potrebno je 20 cm3 vode

Obujam 1 litre vode iznosi

3 31 1 1000 V litra dm cm= = =

Pri smrzavanju obujam vode poveća se za 5 pa obujam dobivenog leda ima vrijednost

5 5 31000 1000 1000 50 1050

100 100V V cm+ sdot = + sdot = + =

Računamo koliko se kvadara leda obujma 21 cm3 može dobiti iz obujma 1050 cm3

31050

503

21

cmn n

cm

= rArr =

9

Vježba 128

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 6 cm x 1 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Rezultat 20 cm3

Zadatak 129 (Mimi Ivonchy HTT)

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti prije poskupljenja Kolika je cijena jedne čokolade nakon

poskupljenja

Rješenje 129 Ponovimo

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x broj čokolada prije poskupljenja a y cijena jedne čokolade također prije poskupljenja Iz

uvjeta zadatka slijedi

120x ysdot =

Budući da se nakon poskupljenja od 25 moglo kupiti dvije čokolade manje vrijedi jednadžba

( ) ( ) ( ) ( )25

2 120 2 025 120 2 125 120100

x y y x y y x yminus sdot + sdot = rArr minus sdot + sdot = rArr minus sdot sdot =

Broj čokolada Cijena čokolade

Prije poskupljenja x y

Nakon poskupljenja x ndash 2 125 y

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )( ) ( )

metoda

komparacije

1202 125 2 125

2 125 120

x yx y x y x y yx y

x y

sdot =rArr rArr sdot = minus sdot sdot rArr sdot = minus sdot sdot rArr

minus sdot sdot =

( ) ( )2 125 125 2 125 250 125 250x x x x x x x xrArr = minus sdot rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr

025 250 0 02525 250 10x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Prije poskupljenja moglo se kupiti deset čokolada

Računamo cijenu jedne čokolade prije poskupljenja

12010 120 10 120 12

10 10

x yy y y

x

sdot =rArr sdot = rArr sdot = rArr =

=

Cijena čokolade nakon poskupljenja iznosi 15 kn

125 125 12 15ysdot = sdot =

Vježba 129

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti nakon poskupljenja

10

Rezultat 8

Zadatak 130 (Mimi Ivonchy HTT)

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima otac

44 32 52 48A B C D

Rješenje 130 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Neka je

bull x broj godina oca

bull y broj godina starijeg sina

bull z broj godina mlađeg sina

Broj godina

oca

Broj godina starijeg

sina

Broj godina mlađeg

sina

x y z Prije 4 godine x ndash 4 x ndash 4 Prije 10 godina x ndash 10 z ndash 10

Budući da otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno vrijedi jednadžba

x y z= +

Prije 4 godine imao je

bull otac x ndash 4 godine

bull stariji sin y ndash 4 godine

Otac je bio dvaput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )4 2 4 x yminus = sdot minus

Prije 10 godina imao je

bull otac x ndash 10 godina

bull mlađi sin z ndash 10 godina

Otac je bio triput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )10 3 10 x zminus = sdot minus

Dobije se sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice iz kojega se izračuna x broj godina oca

( )

( )

4 2 4 4 2 8 2 8 4 2 4 8

10 3 30 3 30 10 3 10 3010 3 10

x y z x y z x y z x y z

x y x y y x y x

x z z x z xx z

= + = + = + = +

minus = sdot minus rArr minus = sdot minus rArr sdot minus = minus rArr sdot = minus + rArr

minus = sdot minus sdot minus = minus sdot = minus +minus = sdot minus

42 4 2 4

23 20 3 20

metoda 2

supstitucije

3

320

x y zx y z x y z

xy x y x y

z x z xx

z

= += + = +

+rArr sdot = + rArr sdot = + rArr = rArr rArr

sdot = + sdot = ++

=

( ) ( )4 20 4 2

0

6 3 4 2 202 3 3

62

x x x xx x x x x

+ + + +rArr = + rArr = + rArr sdot = sdot + + sdot +sdot rArr

11

6 3 12 2 40 6 3 2 12 40 52x x x x x x xrArr sdot = sdot + + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot = + rArr =

Odgovor je pod C

Vježba 130

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima mlađi sin

24 25 26 19A B C D

Rezultat A

Zadatak 131 (Ante srednja škola)

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 2 kg kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rješenje 131 Ponovimo

1 1000 1 10 1 1 1000 10 100 1kg g l dl kg l g dl g dl= = = rArr = rArr =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Neka je x količina vode izražena u kilogramima koju moramo doliti u 2 kg kupljene zemlje da se

dobije zemlja sa 18 vode Tada vrijedi jednadžba

( ) ( )12 100 18 12 100 18

2 2 2 2100 100 100 100 100 10

1000

x x x xsdot + sdot = + sdot sdotrArr sdot + sdot = + sdot rArr

( ) ( )2 12 100 18 2 24 100 18 2 24 100 36 18x x x x x xrArr sdot + sdot = sdot + rArr + sdot = sdot + rArr + sdot = + sdot rArr

12100 18 36 24 82 12 82 12

82 82x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

0146 0146 x x kgrArr = rArr =

U 2 kg kupljene zemlje treba uliti 0146 kg vode Preračunato u decilitre to iznosi

0146 146 146 x kg g dl= = =

Odgovor je pod C

Vježba 131

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 200 dag kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rezultat C

Zadatak 132 (Žac srednja škola)

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je bilo učenika u razredu Koliko je učenika dobilo ocjenu dobar iz matematike

12

Rješenje 132 Ponovimo

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N

1 2 3 4 5 1 N n n= +

Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem Prirodni broj ima beskonačno

mnogo višekratnika

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Neka je x broj učenika u razredu a y broj učenika sa ocjenom dobar iz matematike Iz uvjeta zadatka

dobije se jednadžba

3 6 2 18 186 3 9 6 3 9

18x x x x x x

y x y x x x x y xsdot+ + + = rArr + + + = rArr sdot + sdot + sdot + sdot = sdot rArr

711 18 18 18 18 11 18 7 18 7

1 1

88x y x y x x y x y x y xrArr sdot + sdot = sdot rArr sdot = sdot minus sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Budući da su x i y prirodni brojevi broj učenika x mora biti višekratnik broja 18 Zbog uvjeta zadatka

slijedi

20 40 21 22 23 38 39x xlt lt rArr isin

pa je 36 2 18x = = sdot

Tada je

77 7

36 36 7 2 1418

1818

36

y xy y y y

x

= sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =

=

U razredu je 36 učenika

Ocjenu dobar dobilo je 14 učenika

3 =

Vježba 132

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je učenika dobilo ocjenu vrlo dobar iz matematike

Rezultat 6

Zadatak 133 (Mario HTT)

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine

dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

5 6 7 8A B C D

Rješenje 133 Ponovimo

a a c

cb b

sdotsdot =

Kako zapisati od a

xb

13

a

xb

sdot

Neka je x broj učenika u razredu Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje

bull petina učenika razreda dobila je odličan

1

5xsdot

bull trećina učenika razreda dobila je vrlo dobar

1

3xsdot

bull tri desetine učenika razreda dobila je dobar

3

10xsdot

bull desetina učenika razreda dobila je dovoljan

1

10xsdot

bull dva učenika iz razreda dobila su negativnu ocjenu 2

Sada možemo napisati jednadžbu

1 1 3 1 1 1 3 12 2

5 3 10 10 50

10 10 3

3x x x x x x x x x xsdot + sdot + sdot + sdot + = rArr sdot + sdot + sdot sdot = sdot+ + rArr

6 10 9 3 60 30 28 60 30x x x x x x xrArr sdot + sdot + sdot + sdot + = sdot rArr sdot + = sdot rArr

( )28 30 60 2 60 2 60 2 3 0x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot rArr =minus= minus

Računamo koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

1 1 3030 6

5 5 5xsdot = sdot = =

Odgovor je pod B

Vježba 133

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu

vrlo dobar 7 8 9 10A B C D

Rezultat D

Zadatak 134 (Maturant gimnazija)

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve je izvađeno 7 kuglica a u drugu je

stavljeno 5 kuglica pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rješenje 134 Ponovimo

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

4

x + y = 13

Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijega 5 florina Budući da je kupljena

urna vina za 8 florina valjana je sljedeća jednadžba

10 5 8 13 10 5 104x y x ysdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =

Iz sustava jednadžbi izračunamo x količinu boljeg i y količinu lošijeg vina

( )13 13

10 5 13 10410 5 104 10 5 104

metoda

supstitucije

x y y xx x

x y x y

+ = = minusrArr rArr rArr sdot + sdot minus = rArr

sdot + sdot = sdot + sdot =

10 65 5 104 10 5 104 65 5 39 5 39 5 78x x x x x x xrArr sdot + minus sdot = rArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

1378 13 13 78 52

78

x yy y y

x

+ =rArr + = rArr = minus rArr =

=

Boljega vina je 78 litara a lošijeg 52 litre

2inačica

Neka je x količina kupljenog boljeg vina Budući da je urna približno 13 litara lošijeg vina bit će

13 ndash x

Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijeg 5 florina Budući da je kupljena

urna vina za 8 florina valjana je sljedeća jednadžba

( ) ( )10 5 13 8 13 10 5 13 104 10 65 5 104 10 5 104 65x x x x x x x xsdot + sdot minus = sdot rArr sdot + sdot minus = rArr sdot + minus sdot = rArr sdot minus sdot = minus rArr

5 39 5 3 9 785x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Boljeg vina ima 78 litara a lošijeg

13 ndash x = 13 ndash 78 = 52

litre

3inačica

Postavimo shemu

10 8 ndash 5 = 3 8

5 10 ndash 8 = 2 5

Sada urnu vina tj 13 litara podijelimo s 5

13 5 = 26

Kupljeno je

bull boljeg vina 26 3 = 78 litara

bull lošijeg vina 26 2 = 52 litre

=

Vježba 123 Urna (približno 13 litara) boljega vina košta 10 florina a urna lošijeg 5 florina Ukoliko se

kupe dvije urne vina za 8 florina koliko je od toga bolje a koliko lošije vino

Rezultat 156 litara 104 litre

Zadatak 124 (Davor srednja škola)

Ako aritmetička sredina deset brojeva x 3 1 4 1 5 1 4 1 5 iznosi 3 onda je

2 3 4 5A x B x C x D x= = = =

Rješenje 124 Ponovimo

5

Neka je zadano n pozitivnih brojeva a1 a2 a3 hellip an Tada je aritmetička sredina A brojeva a1 a2 a3

hellip an definirana izrazom

1 2 3

a a a anA

n

+ + + +=

Računamo x

3 1 4 1 5 1 4 1 5 10

25 253 3 3 25 30 30 25 5

10 10 10

x x xx x x

+ + + + + + + + + + += rArr sdot= rArr = rArr + = rArr = minus rArr =

Odgovor je pod D

Vježba 124 Ako aritmetička sredina deset brojeva x 3 1 2 1 7 2 3 1 5 iznosi 3 onda je

2 3 4 5A x B x C x D x= = = =

Rezultat D

Zadatak 125 (Ana gimnazija)

Trećina nekog broja je za 12 veća od četvrtine tog broja Koji je to broj

Rješenje 125 Ponovimo

Kako zapisati n ndash ti dio od broja x

1ili

xx

n nsdot

Kako zapisati da je broj a za n veći od broja b

ili ili a n b a b n a b nminus = = + minus =

Označimo slovom x traženi broj Tada

bull njegova trećina iznosi

3

x

bull njegova četvrtina iznosi

4

x

Budući da je trećina tog broja za 12 veća od njegove četvrtine vrijedi jednadžba

1inačica

12 12 4 1 44 3 4 3 144 1443 4 3 4

12x x x x

x x x x xminus = rArr minus = rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

2inačica

12 12 4 3 144 4 3 144 1443 4 3 4

12x x x x

x x x x x= + rArr = + rArr sdot = sdot + rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

3inačica

1212 12 4 3 144 1443 4 3 4

x x x xx x xminus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

Vježba 125

Polovica nekog broja je za 36 veća od četvrtine tog broja Koji je to broj

Rezultat 144

6

Zadatak 126 (Darko srednja škola)

U putničkome zrakoplovu ima 108 mjesta Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno

Ako devetinu putnika čine djeca koliko je odraslih osoba u zrakoplovu

64 76 82 88A B C D

Rješenje 126 Ponovimo

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

1

n b a bn a

c c

sdot= sdot =

1inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno znači da su dvije trećine od

108 mjesta popunjena putnicima

2 2 108 216108 72

3 3 1 3sdot = sdot = =

Devetinu putnika čine djeca što iznosi

1 1 72 7272 8

9 9 1 9sdot = sdot = =

Odraslih osoba u zrakoplovu je 72 8 64minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno znači da su dvije trećine od

108 mjesta popunjena putnicima

2 2 108 216108 72

3 3 1 3sdot = sdot = =

Ako devetinu putnika čine djeca onda su osam devetina putnika odrasli a to iznosi

728 8 72 8 8 8 6472 64

9 9 1 1 1 1 19sdot = sdot = sdot = sdot = =

Odgovor je pod A

3inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno računamo broj trojki

108 3 36=

U svakoj su trojci dva putnika 36 2 72sdot =

Ako devetinu putnika čine djeca onda su osam devetina putnika odrasli a to iznosi

728 8 72 8 8 8 6472 64

9 9 1 1 1 1 19sdot = sdot = sdot = sdot = =

Odgovor je pod A

Vježba 126

U putničkome zrakoplovu ima 216 mjesta Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno

Ako devetinu putnika čine djeca koliko je odraslih osoba u zrakoplovu

7

128 138 180 120A B C D

Rezultat A

Zadatak 127 (Ana gimnazija)

Jedan je komad žice dulji od drugog 54 metra Kad od svakog komada odrežemo 12 m veći

će komad biti četiri puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rješenje 127 Ponovimo

Kako zapisati da je broj b za n veći od broja a

b n a b a n b a nminus = = + minus =

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

1inačica

Neka je x duljina prve (kraće) žice Druga je od nje dulja 54 m pa je dugačka x + 54 Kad od svakog

komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

x + 54 ndash 12 = x + 42

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )42 4 12 42 4 48 4 48 42 3 90x x x x x x x+ = sdot minus rArr + = sdot minus rArr minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( ) 3 9 3030x xrArr minus rArrminussdot = minus =

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

54 30 54 84 x m+ = + =

2inačica

Neka je x duljina kraće a y duljina dulje žice Veća je od kraće dulja 54 m pa vrijedi jednadžba

54y xminus =

Kad od svakog komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

y ndash 12

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )12 4 12 y xminus = sdot minus

Iz sustava jednadžbi odredimo x i y

( ) ( )( )

54 5 metoda

su

454 12 4 12

12 4 12 12 4 12 pstitucije

y x y xx x

y x y x

minus = = +rArr rArr rArr + minus = sdot minus rArr

minus = sdot minus minus = sdot minus

( )54 12 4 48 4 48 54 12 3 90 3 90 30 3x x x x x x xrArr + minus = sdot minus rArr minus sdot = minus minus + rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =minus

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

5430 54 54 30 84

30

y xy y y m

x

minus =rArr minus = rArr = + rArr =

=

8

Vježba 127

Jedan je komad žice dulji od drugog 27 metara Kad od svakog komada odrežemo 6 m veći

će komad biti dva puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rezultat 33 m 60 m

Zadatak 128 (Mimi Ivonchy HTT)

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 3 cm x 2 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Koliko se takvih oblika leda može napraviti od 1 litre vode (Napomena 1 litra = 1 dm3)

Rješenje 128 Ponovimo

3 31 1 1000litra dm cm= =

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Kvadar je uspravna prizma kojoj je baza pravokutnik Ako su a b i c duljine bridova kvadra iz jednog

vrha obujam kvadra jednak je

V a b c= sdot sdot

Led oblika kvadra ima obujam

35 3 2 335 3 2 21

a cm b cm c cmV cm cm cm V cm

V a b c

= = =rArr = sdot sdot rArr =

= sdot sdot

Označimo slovom x obujam vode potrebne za jedan takav oblik leda obujma 21 cm3 Budući da se pri

smrzavanju obujam vode poveća za 5 vrijedi jednadžba

1005 5

21 21 100 5 2100 105 2100100 100

x x x x x x xsdot+ sdot = rArr + sdot = rArr sdot + sdot = rArr sdot = rArr

105 210 0 20105x xrArr sdot = rArr =

Potrebno je 20 cm3 vode

Obujam 1 litre vode iznosi

3 31 1 1000 V litra dm cm= = =

Pri smrzavanju obujam vode poveća se za 5 pa obujam dobivenog leda ima vrijednost

5 5 31000 1000 1000 50 1050

100 100V V cm+ sdot = + sdot = + =

Računamo koliko se kvadara leda obujma 21 cm3 može dobiti iz obujma 1050 cm3

31050

503

21

cmn n

cm

= rArr =

9

Vježba 128

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 6 cm x 1 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Rezultat 20 cm3

Zadatak 129 (Mimi Ivonchy HTT)

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti prije poskupljenja Kolika je cijena jedne čokolade nakon

poskupljenja

Rješenje 129 Ponovimo

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x broj čokolada prije poskupljenja a y cijena jedne čokolade također prije poskupljenja Iz

uvjeta zadatka slijedi

120x ysdot =

Budući da se nakon poskupljenja od 25 moglo kupiti dvije čokolade manje vrijedi jednadžba

( ) ( ) ( ) ( )25

2 120 2 025 120 2 125 120100

x y y x y y x yminus sdot + sdot = rArr minus sdot + sdot = rArr minus sdot sdot =

Broj čokolada Cijena čokolade

Prije poskupljenja x y

Nakon poskupljenja x ndash 2 125 y

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )( ) ( )

metoda

komparacije

1202 125 2 125

2 125 120

x yx y x y x y yx y

x y

sdot =rArr rArr sdot = minus sdot sdot rArr sdot = minus sdot sdot rArr

minus sdot sdot =

( ) ( )2 125 125 2 125 250 125 250x x x x x x x xrArr = minus sdot rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr

025 250 0 02525 250 10x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Prije poskupljenja moglo se kupiti deset čokolada

Računamo cijenu jedne čokolade prije poskupljenja

12010 120 10 120 12

10 10

x yy y y

x

sdot =rArr sdot = rArr sdot = rArr =

=

Cijena čokolade nakon poskupljenja iznosi 15 kn

125 125 12 15ysdot = sdot =

Vježba 129

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti nakon poskupljenja

10

Rezultat 8

Zadatak 130 (Mimi Ivonchy HTT)

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima otac

44 32 52 48A B C D

Rješenje 130 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Neka je

bull x broj godina oca

bull y broj godina starijeg sina

bull z broj godina mlađeg sina

Broj godina

oca

Broj godina starijeg

sina

Broj godina mlađeg

sina

x y z Prije 4 godine x ndash 4 x ndash 4 Prije 10 godina x ndash 10 z ndash 10

Budući da otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno vrijedi jednadžba

x y z= +

Prije 4 godine imao je

bull otac x ndash 4 godine

bull stariji sin y ndash 4 godine

Otac je bio dvaput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )4 2 4 x yminus = sdot minus

Prije 10 godina imao je

bull otac x ndash 10 godina

bull mlađi sin z ndash 10 godina

Otac je bio triput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )10 3 10 x zminus = sdot minus

Dobije se sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice iz kojega se izračuna x broj godina oca

( )

( )

4 2 4 4 2 8 2 8 4 2 4 8

10 3 30 3 30 10 3 10 3010 3 10

x y z x y z x y z x y z

x y x y y x y x

x z z x z xx z

= + = + = + = +

minus = sdot minus rArr minus = sdot minus rArr sdot minus = minus rArr sdot = minus + rArr

minus = sdot minus sdot minus = minus sdot = minus +minus = sdot minus

42 4 2 4

23 20 3 20

metoda 2

supstitucije

3

320

x y zx y z x y z

xy x y x y

z x z xx

z

= += + = +

+rArr sdot = + rArr sdot = + rArr = rArr rArr

sdot = + sdot = ++

=

( ) ( )4 20 4 2

0

6 3 4 2 202 3 3

62

x x x xx x x x x

+ + + +rArr = + rArr = + rArr sdot = sdot + + sdot +sdot rArr

11

6 3 12 2 40 6 3 2 12 40 52x x x x x x xrArr sdot = sdot + + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot = + rArr =

Odgovor je pod C

Vježba 130

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima mlađi sin

24 25 26 19A B C D

Rezultat A

Zadatak 131 (Ante srednja škola)

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 2 kg kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rješenje 131 Ponovimo

1 1000 1 10 1 1 1000 10 100 1kg g l dl kg l g dl g dl= = = rArr = rArr =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Neka je x količina vode izražena u kilogramima koju moramo doliti u 2 kg kupljene zemlje da se

dobije zemlja sa 18 vode Tada vrijedi jednadžba

( ) ( )12 100 18 12 100 18

2 2 2 2100 100 100 100 100 10

1000

x x x xsdot + sdot = + sdot sdotrArr sdot + sdot = + sdot rArr

( ) ( )2 12 100 18 2 24 100 18 2 24 100 36 18x x x x x xrArr sdot + sdot = sdot + rArr + sdot = sdot + rArr + sdot = + sdot rArr

12100 18 36 24 82 12 82 12

82 82x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

0146 0146 x x kgrArr = rArr =

U 2 kg kupljene zemlje treba uliti 0146 kg vode Preračunato u decilitre to iznosi

0146 146 146 x kg g dl= = =

Odgovor je pod C

Vježba 131

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 200 dag kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rezultat C

Zadatak 132 (Žac srednja škola)

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je bilo učenika u razredu Koliko je učenika dobilo ocjenu dobar iz matematike

12

Rješenje 132 Ponovimo

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N

1 2 3 4 5 1 N n n= +

Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem Prirodni broj ima beskonačno

mnogo višekratnika

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Neka je x broj učenika u razredu a y broj učenika sa ocjenom dobar iz matematike Iz uvjeta zadatka

dobije se jednadžba

3 6 2 18 186 3 9 6 3 9

18x x x x x x

y x y x x x x y xsdot+ + + = rArr + + + = rArr sdot + sdot + sdot + sdot = sdot rArr

711 18 18 18 18 11 18 7 18 7

1 1

88x y x y x x y x y x y xrArr sdot + sdot = sdot rArr sdot = sdot minus sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Budući da su x i y prirodni brojevi broj učenika x mora biti višekratnik broja 18 Zbog uvjeta zadatka

slijedi

20 40 21 22 23 38 39x xlt lt rArr isin

pa je 36 2 18x = = sdot

Tada je

77 7

36 36 7 2 1418

1818

36

y xy y y y

x

= sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =

=

U razredu je 36 učenika

Ocjenu dobar dobilo je 14 učenika

3 =

Vježba 132

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je učenika dobilo ocjenu vrlo dobar iz matematike

Rezultat 6

Zadatak 133 (Mario HTT)

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine

dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

5 6 7 8A B C D

Rješenje 133 Ponovimo

a a c

cb b

sdotsdot =

Kako zapisati od a

xb

13

a

xb

sdot

Neka je x broj učenika u razredu Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje

bull petina učenika razreda dobila je odličan

1

5xsdot

bull trećina učenika razreda dobila je vrlo dobar

1

3xsdot

bull tri desetine učenika razreda dobila je dobar

3

10xsdot

bull desetina učenika razreda dobila je dovoljan

1

10xsdot

bull dva učenika iz razreda dobila su negativnu ocjenu 2

Sada možemo napisati jednadžbu

1 1 3 1 1 1 3 12 2

5 3 10 10 50

10 10 3

3x x x x x x x x x xsdot + sdot + sdot + sdot + = rArr sdot + sdot + sdot sdot = sdot+ + rArr

6 10 9 3 60 30 28 60 30x x x x x x xrArr sdot + sdot + sdot + sdot + = sdot rArr sdot + = sdot rArr

( )28 30 60 2 60 2 60 2 3 0x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot rArr =minus= minus

Računamo koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

1 1 3030 6

5 5 5xsdot = sdot = =

Odgovor je pod B

Vježba 133

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu

vrlo dobar 7 8 9 10A B C D

Rezultat D

Zadatak 134 (Maturant gimnazija)

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve je izvađeno 7 kuglica a u drugu je

stavljeno 5 kuglica pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rješenje 134 Ponovimo

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

5

Neka je zadano n pozitivnih brojeva a1 a2 a3 hellip an Tada je aritmetička sredina A brojeva a1 a2 a3

hellip an definirana izrazom

1 2 3

a a a anA

n

+ + + +=

Računamo x

3 1 4 1 5 1 4 1 5 10

25 253 3 3 25 30 30 25 5

10 10 10

x x xx x x

+ + + + + + + + + + += rArr sdot= rArr = rArr + = rArr = minus rArr =

Odgovor je pod D

Vježba 124 Ako aritmetička sredina deset brojeva x 3 1 2 1 7 2 3 1 5 iznosi 3 onda je

2 3 4 5A x B x C x D x= = = =

Rezultat D

Zadatak 125 (Ana gimnazija)

Trećina nekog broja je za 12 veća od četvrtine tog broja Koji je to broj

Rješenje 125 Ponovimo

Kako zapisati n ndash ti dio od broja x

1ili

xx

n nsdot

Kako zapisati da je broj a za n veći od broja b

ili ili a n b a b n a b nminus = = + minus =

Označimo slovom x traženi broj Tada

bull njegova trećina iznosi

3

x

bull njegova četvrtina iznosi

4

x

Budući da je trećina tog broja za 12 veća od njegove četvrtine vrijedi jednadžba

1inačica

12 12 4 1 44 3 4 3 144 1443 4 3 4

12x x x x

x x x x xminus = rArr minus = rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

2inačica

12 12 4 3 144 4 3 144 1443 4 3 4

12x x x x

x x x x x= + rArr = + rArr sdot = sdot + rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

3inačica

1212 12 4 3 144 1443 4 3 4

x x x xx x xminus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr =sdot

Vježba 125

Polovica nekog broja je za 36 veća od četvrtine tog broja Koji je to broj

Rezultat 144

6

Zadatak 126 (Darko srednja škola)

U putničkome zrakoplovu ima 108 mjesta Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno

Ako devetinu putnika čine djeca koliko je odraslih osoba u zrakoplovu

64 76 82 88A B C D

Rješenje 126 Ponovimo

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

1

n b a bn a

c c

sdot= sdot =

1inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno znači da su dvije trećine od

108 mjesta popunjena putnicima

2 2 108 216108 72

3 3 1 3sdot = sdot = =

Devetinu putnika čine djeca što iznosi

1 1 72 7272 8

9 9 1 9sdot = sdot = =

Odraslih osoba u zrakoplovu je 72 8 64minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno znači da su dvije trećine od

108 mjesta popunjena putnicima

2 2 108 216108 72

3 3 1 3sdot = sdot = =

Ako devetinu putnika čine djeca onda su osam devetina putnika odrasli a to iznosi

728 8 72 8 8 8 6472 64

9 9 1 1 1 1 19sdot = sdot = sdot = sdot = =

Odgovor je pod A

3inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno računamo broj trojki

108 3 36=

U svakoj su trojci dva putnika 36 2 72sdot =

Ako devetinu putnika čine djeca onda su osam devetina putnika odrasli a to iznosi

728 8 72 8 8 8 6472 64

9 9 1 1 1 1 19sdot = sdot = sdot = sdot = =

Odgovor je pod A

Vježba 126

U putničkome zrakoplovu ima 216 mjesta Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno

Ako devetinu putnika čine djeca koliko je odraslih osoba u zrakoplovu

7

128 138 180 120A B C D

Rezultat A

Zadatak 127 (Ana gimnazija)

Jedan je komad žice dulji od drugog 54 metra Kad od svakog komada odrežemo 12 m veći

će komad biti četiri puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rješenje 127 Ponovimo

Kako zapisati da je broj b za n veći od broja a

b n a b a n b a nminus = = + minus =

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

1inačica

Neka je x duljina prve (kraće) žice Druga je od nje dulja 54 m pa je dugačka x + 54 Kad od svakog

komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

x + 54 ndash 12 = x + 42

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )42 4 12 42 4 48 4 48 42 3 90x x x x x x x+ = sdot minus rArr + = sdot minus rArr minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( ) 3 9 3030x xrArr minus rArrminussdot = minus =

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

54 30 54 84 x m+ = + =

2inačica

Neka je x duljina kraće a y duljina dulje žice Veća je od kraće dulja 54 m pa vrijedi jednadžba

54y xminus =

Kad od svakog komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

y ndash 12

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )12 4 12 y xminus = sdot minus

Iz sustava jednadžbi odredimo x i y

( ) ( )( )

54 5 metoda

su

454 12 4 12

12 4 12 12 4 12 pstitucije

y x y xx x

y x y x

minus = = +rArr rArr rArr + minus = sdot minus rArr

minus = sdot minus minus = sdot minus

( )54 12 4 48 4 48 54 12 3 90 3 90 30 3x x x x x x xrArr + minus = sdot minus rArr minus sdot = minus minus + rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =minus

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

5430 54 54 30 84

30

y xy y y m

x

minus =rArr minus = rArr = + rArr =

=

8

Vježba 127

Jedan je komad žice dulji od drugog 27 metara Kad od svakog komada odrežemo 6 m veći

će komad biti dva puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rezultat 33 m 60 m

Zadatak 128 (Mimi Ivonchy HTT)

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 3 cm x 2 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Koliko se takvih oblika leda može napraviti od 1 litre vode (Napomena 1 litra = 1 dm3)

Rješenje 128 Ponovimo

3 31 1 1000litra dm cm= =

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Kvadar je uspravna prizma kojoj je baza pravokutnik Ako su a b i c duljine bridova kvadra iz jednog

vrha obujam kvadra jednak je

V a b c= sdot sdot

Led oblika kvadra ima obujam

35 3 2 335 3 2 21

a cm b cm c cmV cm cm cm V cm

V a b c

= = =rArr = sdot sdot rArr =

= sdot sdot

Označimo slovom x obujam vode potrebne za jedan takav oblik leda obujma 21 cm3 Budući da se pri

smrzavanju obujam vode poveća za 5 vrijedi jednadžba

1005 5

21 21 100 5 2100 105 2100100 100

x x x x x x xsdot+ sdot = rArr + sdot = rArr sdot + sdot = rArr sdot = rArr

105 210 0 20105x xrArr sdot = rArr =

Potrebno je 20 cm3 vode

Obujam 1 litre vode iznosi

3 31 1 1000 V litra dm cm= = =

Pri smrzavanju obujam vode poveća se za 5 pa obujam dobivenog leda ima vrijednost

5 5 31000 1000 1000 50 1050

100 100V V cm+ sdot = + sdot = + =

Računamo koliko se kvadara leda obujma 21 cm3 može dobiti iz obujma 1050 cm3

31050

503

21

cmn n

cm

= rArr =

9

Vježba 128

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 6 cm x 1 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Rezultat 20 cm3

Zadatak 129 (Mimi Ivonchy HTT)

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti prije poskupljenja Kolika je cijena jedne čokolade nakon

poskupljenja

Rješenje 129 Ponovimo

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x broj čokolada prije poskupljenja a y cijena jedne čokolade također prije poskupljenja Iz

uvjeta zadatka slijedi

120x ysdot =

Budući da se nakon poskupljenja od 25 moglo kupiti dvije čokolade manje vrijedi jednadžba

( ) ( ) ( ) ( )25

2 120 2 025 120 2 125 120100

x y y x y y x yminus sdot + sdot = rArr minus sdot + sdot = rArr minus sdot sdot =

Broj čokolada Cijena čokolade

Prije poskupljenja x y

Nakon poskupljenja x ndash 2 125 y

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )( ) ( )

metoda

komparacije

1202 125 2 125

2 125 120

x yx y x y x y yx y

x y

sdot =rArr rArr sdot = minus sdot sdot rArr sdot = minus sdot sdot rArr

minus sdot sdot =

( ) ( )2 125 125 2 125 250 125 250x x x x x x x xrArr = minus sdot rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr

025 250 0 02525 250 10x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Prije poskupljenja moglo se kupiti deset čokolada

Računamo cijenu jedne čokolade prije poskupljenja

12010 120 10 120 12

10 10

x yy y y

x

sdot =rArr sdot = rArr sdot = rArr =

=

Cijena čokolade nakon poskupljenja iznosi 15 kn

125 125 12 15ysdot = sdot =

Vježba 129

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti nakon poskupljenja

10

Rezultat 8

Zadatak 130 (Mimi Ivonchy HTT)

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima otac

44 32 52 48A B C D

Rješenje 130 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Neka je

bull x broj godina oca

bull y broj godina starijeg sina

bull z broj godina mlađeg sina

Broj godina

oca

Broj godina starijeg

sina

Broj godina mlađeg

sina

x y z Prije 4 godine x ndash 4 x ndash 4 Prije 10 godina x ndash 10 z ndash 10

Budući da otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno vrijedi jednadžba

x y z= +

Prije 4 godine imao je

bull otac x ndash 4 godine

bull stariji sin y ndash 4 godine

Otac je bio dvaput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )4 2 4 x yminus = sdot minus

Prije 10 godina imao je

bull otac x ndash 10 godina

bull mlađi sin z ndash 10 godina

Otac je bio triput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )10 3 10 x zminus = sdot minus

Dobije se sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice iz kojega se izračuna x broj godina oca

( )

( )

4 2 4 4 2 8 2 8 4 2 4 8

10 3 30 3 30 10 3 10 3010 3 10

x y z x y z x y z x y z

x y x y y x y x

x z z x z xx z

= + = + = + = +

minus = sdot minus rArr minus = sdot minus rArr sdot minus = minus rArr sdot = minus + rArr

minus = sdot minus sdot minus = minus sdot = minus +minus = sdot minus

42 4 2 4

23 20 3 20

metoda 2

supstitucije

3

320

x y zx y z x y z

xy x y x y

z x z xx

z

= += + = +

+rArr sdot = + rArr sdot = + rArr = rArr rArr

sdot = + sdot = ++

=

( ) ( )4 20 4 2

0

6 3 4 2 202 3 3

62

x x x xx x x x x

+ + + +rArr = + rArr = + rArr sdot = sdot + + sdot +sdot rArr

11

6 3 12 2 40 6 3 2 12 40 52x x x x x x xrArr sdot = sdot + + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot = + rArr =

Odgovor je pod C

Vježba 130

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima mlađi sin

24 25 26 19A B C D

Rezultat A

Zadatak 131 (Ante srednja škola)

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 2 kg kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rješenje 131 Ponovimo

1 1000 1 10 1 1 1000 10 100 1kg g l dl kg l g dl g dl= = = rArr = rArr =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Neka je x količina vode izražena u kilogramima koju moramo doliti u 2 kg kupljene zemlje da se

dobije zemlja sa 18 vode Tada vrijedi jednadžba

( ) ( )12 100 18 12 100 18

2 2 2 2100 100 100 100 100 10

1000

x x x xsdot + sdot = + sdot sdotrArr sdot + sdot = + sdot rArr

( ) ( )2 12 100 18 2 24 100 18 2 24 100 36 18x x x x x xrArr sdot + sdot = sdot + rArr + sdot = sdot + rArr + sdot = + sdot rArr

12100 18 36 24 82 12 82 12

82 82x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

0146 0146 x x kgrArr = rArr =

U 2 kg kupljene zemlje treba uliti 0146 kg vode Preračunato u decilitre to iznosi

0146 146 146 x kg g dl= = =

Odgovor je pod C

Vježba 131

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 200 dag kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rezultat C

Zadatak 132 (Žac srednja škola)

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je bilo učenika u razredu Koliko je učenika dobilo ocjenu dobar iz matematike

12

Rješenje 132 Ponovimo

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N

1 2 3 4 5 1 N n n= +

Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem Prirodni broj ima beskonačno

mnogo višekratnika

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Neka je x broj učenika u razredu a y broj učenika sa ocjenom dobar iz matematike Iz uvjeta zadatka

dobije se jednadžba

3 6 2 18 186 3 9 6 3 9

18x x x x x x

y x y x x x x y xsdot+ + + = rArr + + + = rArr sdot + sdot + sdot + sdot = sdot rArr

711 18 18 18 18 11 18 7 18 7

1 1

88x y x y x x y x y x y xrArr sdot + sdot = sdot rArr sdot = sdot minus sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Budući da su x i y prirodni brojevi broj učenika x mora biti višekratnik broja 18 Zbog uvjeta zadatka

slijedi

20 40 21 22 23 38 39x xlt lt rArr isin

pa je 36 2 18x = = sdot

Tada je

77 7

36 36 7 2 1418

1818

36

y xy y y y

x

= sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =

=

U razredu je 36 učenika

Ocjenu dobar dobilo je 14 učenika

3 =

Vježba 132

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je učenika dobilo ocjenu vrlo dobar iz matematike

Rezultat 6

Zadatak 133 (Mario HTT)

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine

dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

5 6 7 8A B C D

Rješenje 133 Ponovimo

a a c

cb b

sdotsdot =

Kako zapisati od a

xb

13

a

xb

sdot

Neka je x broj učenika u razredu Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje

bull petina učenika razreda dobila je odličan

1

5xsdot

bull trećina učenika razreda dobila je vrlo dobar

1

3xsdot

bull tri desetine učenika razreda dobila je dobar

3

10xsdot

bull desetina učenika razreda dobila je dovoljan

1

10xsdot

bull dva učenika iz razreda dobila su negativnu ocjenu 2

Sada možemo napisati jednadžbu

1 1 3 1 1 1 3 12 2

5 3 10 10 50

10 10 3

3x x x x x x x x x xsdot + sdot + sdot + sdot + = rArr sdot + sdot + sdot sdot = sdot+ + rArr

6 10 9 3 60 30 28 60 30x x x x x x xrArr sdot + sdot + sdot + sdot + = sdot rArr sdot + = sdot rArr

( )28 30 60 2 60 2 60 2 3 0x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot rArr =minus= minus

Računamo koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

1 1 3030 6

5 5 5xsdot = sdot = =

Odgovor je pod B

Vježba 133

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu

vrlo dobar 7 8 9 10A B C D

Rezultat D

Zadatak 134 (Maturant gimnazija)

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve je izvađeno 7 kuglica a u drugu je

stavljeno 5 kuglica pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rješenje 134 Ponovimo

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

6

Zadatak 126 (Darko srednja škola)

U putničkome zrakoplovu ima 108 mjesta Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno

Ako devetinu putnika čine djeca koliko je odraslih osoba u zrakoplovu

64 76 82 88A B C D

Rješenje 126 Ponovimo

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

1

n b a bn a

c c

sdot= sdot =

1inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno znači da su dvije trećine od

108 mjesta popunjena putnicima

2 2 108 216108 72

3 3 1 3sdot = sdot = =

Devetinu putnika čine djeca što iznosi

1 1 72 7272 8

9 9 1 9sdot = sdot = =

Odraslih osoba u zrakoplovu je 72 8 64minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno znači da su dvije trećine od

108 mjesta popunjena putnicima

2 2 108 216108 72

3 3 1 3sdot = sdot = =

Ako devetinu putnika čine djeca onda su osam devetina putnika odrasli a to iznosi

728 8 72 8 8 8 6472 64

9 9 1 1 1 1 19sdot = sdot = sdot = sdot = =

Odgovor je pod A

3inačica

Budući da je u zrakoplovu na svaka dva popunjena mjesta jedno prazno računamo broj trojki

108 3 36=

U svakoj su trojci dva putnika 36 2 72sdot =

Ako devetinu putnika čine djeca onda su osam devetina putnika odrasli a to iznosi

728 8 72 8 8 8 6472 64

9 9 1 1 1 1 19sdot = sdot = sdot = sdot = =

Odgovor je pod A

Vježba 126

U putničkome zrakoplovu ima 216 mjesta Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno

Ako devetinu putnika čine djeca koliko je odraslih osoba u zrakoplovu

7

128 138 180 120A B C D

Rezultat A

Zadatak 127 (Ana gimnazija)

Jedan je komad žice dulji od drugog 54 metra Kad od svakog komada odrežemo 12 m veći

će komad biti četiri puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rješenje 127 Ponovimo

Kako zapisati da je broj b za n veći od broja a

b n a b a n b a nminus = = + minus =

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

1inačica

Neka je x duljina prve (kraće) žice Druga je od nje dulja 54 m pa je dugačka x + 54 Kad od svakog

komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

x + 54 ndash 12 = x + 42

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )42 4 12 42 4 48 4 48 42 3 90x x x x x x x+ = sdot minus rArr + = sdot minus rArr minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( ) 3 9 3030x xrArr minus rArrminussdot = minus =

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

54 30 54 84 x m+ = + =

2inačica

Neka je x duljina kraće a y duljina dulje žice Veća je od kraće dulja 54 m pa vrijedi jednadžba

54y xminus =

Kad od svakog komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

y ndash 12

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )12 4 12 y xminus = sdot minus

Iz sustava jednadžbi odredimo x i y

( ) ( )( )

54 5 metoda

su

454 12 4 12

12 4 12 12 4 12 pstitucije

y x y xx x

y x y x

minus = = +rArr rArr rArr + minus = sdot minus rArr

minus = sdot minus minus = sdot minus

( )54 12 4 48 4 48 54 12 3 90 3 90 30 3x x x x x x xrArr + minus = sdot minus rArr minus sdot = minus minus + rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =minus

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

5430 54 54 30 84

30

y xy y y m

x

minus =rArr minus = rArr = + rArr =

=

8

Vježba 127

Jedan je komad žice dulji od drugog 27 metara Kad od svakog komada odrežemo 6 m veći

će komad biti dva puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rezultat 33 m 60 m

Zadatak 128 (Mimi Ivonchy HTT)

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 3 cm x 2 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Koliko se takvih oblika leda može napraviti od 1 litre vode (Napomena 1 litra = 1 dm3)

Rješenje 128 Ponovimo

3 31 1 1000litra dm cm= =

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Kvadar je uspravna prizma kojoj je baza pravokutnik Ako su a b i c duljine bridova kvadra iz jednog

vrha obujam kvadra jednak je

V a b c= sdot sdot

Led oblika kvadra ima obujam

35 3 2 335 3 2 21

a cm b cm c cmV cm cm cm V cm

V a b c

= = =rArr = sdot sdot rArr =

= sdot sdot

Označimo slovom x obujam vode potrebne za jedan takav oblik leda obujma 21 cm3 Budući da se pri

smrzavanju obujam vode poveća za 5 vrijedi jednadžba

1005 5

21 21 100 5 2100 105 2100100 100

x x x x x x xsdot+ sdot = rArr + sdot = rArr sdot + sdot = rArr sdot = rArr

105 210 0 20105x xrArr sdot = rArr =

Potrebno je 20 cm3 vode

Obujam 1 litre vode iznosi

3 31 1 1000 V litra dm cm= = =

Pri smrzavanju obujam vode poveća se za 5 pa obujam dobivenog leda ima vrijednost

5 5 31000 1000 1000 50 1050

100 100V V cm+ sdot = + sdot = + =

Računamo koliko se kvadara leda obujma 21 cm3 može dobiti iz obujma 1050 cm3

31050

503

21

cmn n

cm

= rArr =

9

Vježba 128

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 6 cm x 1 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Rezultat 20 cm3

Zadatak 129 (Mimi Ivonchy HTT)

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti prije poskupljenja Kolika je cijena jedne čokolade nakon

poskupljenja

Rješenje 129 Ponovimo

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x broj čokolada prije poskupljenja a y cijena jedne čokolade također prije poskupljenja Iz

uvjeta zadatka slijedi

120x ysdot =

Budući da se nakon poskupljenja od 25 moglo kupiti dvije čokolade manje vrijedi jednadžba

( ) ( ) ( ) ( )25

2 120 2 025 120 2 125 120100

x y y x y y x yminus sdot + sdot = rArr minus sdot + sdot = rArr minus sdot sdot =

Broj čokolada Cijena čokolade

Prije poskupljenja x y

Nakon poskupljenja x ndash 2 125 y

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )( ) ( )

metoda

komparacije

1202 125 2 125

2 125 120

x yx y x y x y yx y

x y

sdot =rArr rArr sdot = minus sdot sdot rArr sdot = minus sdot sdot rArr

minus sdot sdot =

( ) ( )2 125 125 2 125 250 125 250x x x x x x x xrArr = minus sdot rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr

025 250 0 02525 250 10x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Prije poskupljenja moglo se kupiti deset čokolada

Računamo cijenu jedne čokolade prije poskupljenja

12010 120 10 120 12

10 10

x yy y y

x

sdot =rArr sdot = rArr sdot = rArr =

=

Cijena čokolade nakon poskupljenja iznosi 15 kn

125 125 12 15ysdot = sdot =

Vježba 129

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti nakon poskupljenja

10

Rezultat 8

Zadatak 130 (Mimi Ivonchy HTT)

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima otac

44 32 52 48A B C D

Rješenje 130 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Neka je

bull x broj godina oca

bull y broj godina starijeg sina

bull z broj godina mlađeg sina

Broj godina

oca

Broj godina starijeg

sina

Broj godina mlađeg

sina

x y z Prije 4 godine x ndash 4 x ndash 4 Prije 10 godina x ndash 10 z ndash 10

Budući da otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno vrijedi jednadžba

x y z= +

Prije 4 godine imao je

bull otac x ndash 4 godine

bull stariji sin y ndash 4 godine

Otac je bio dvaput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )4 2 4 x yminus = sdot minus

Prije 10 godina imao je

bull otac x ndash 10 godina

bull mlađi sin z ndash 10 godina

Otac je bio triput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )10 3 10 x zminus = sdot minus

Dobije se sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice iz kojega se izračuna x broj godina oca

( )

( )

4 2 4 4 2 8 2 8 4 2 4 8

10 3 30 3 30 10 3 10 3010 3 10

x y z x y z x y z x y z

x y x y y x y x

x z z x z xx z

= + = + = + = +

minus = sdot minus rArr minus = sdot minus rArr sdot minus = minus rArr sdot = minus + rArr

minus = sdot minus sdot minus = minus sdot = minus +minus = sdot minus

42 4 2 4

23 20 3 20

metoda 2

supstitucije

3

320

x y zx y z x y z

xy x y x y

z x z xx

z

= += + = +

+rArr sdot = + rArr sdot = + rArr = rArr rArr

sdot = + sdot = ++

=

( ) ( )4 20 4 2

0

6 3 4 2 202 3 3

62

x x x xx x x x x

+ + + +rArr = + rArr = + rArr sdot = sdot + + sdot +sdot rArr

11

6 3 12 2 40 6 3 2 12 40 52x x x x x x xrArr sdot = sdot + + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot = + rArr =

Odgovor je pod C

Vježba 130

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima mlađi sin

24 25 26 19A B C D

Rezultat A

Zadatak 131 (Ante srednja škola)

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 2 kg kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rješenje 131 Ponovimo

1 1000 1 10 1 1 1000 10 100 1kg g l dl kg l g dl g dl= = = rArr = rArr =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Neka je x količina vode izražena u kilogramima koju moramo doliti u 2 kg kupljene zemlje da se

dobije zemlja sa 18 vode Tada vrijedi jednadžba

( ) ( )12 100 18 12 100 18

2 2 2 2100 100 100 100 100 10

1000

x x x xsdot + sdot = + sdot sdotrArr sdot + sdot = + sdot rArr

( ) ( )2 12 100 18 2 24 100 18 2 24 100 36 18x x x x x xrArr sdot + sdot = sdot + rArr + sdot = sdot + rArr + sdot = + sdot rArr

12100 18 36 24 82 12 82 12

82 82x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

0146 0146 x x kgrArr = rArr =

U 2 kg kupljene zemlje treba uliti 0146 kg vode Preračunato u decilitre to iznosi

0146 146 146 x kg g dl= = =

Odgovor je pod C

Vježba 131

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 200 dag kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rezultat C

Zadatak 132 (Žac srednja škola)

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je bilo učenika u razredu Koliko je učenika dobilo ocjenu dobar iz matematike

12

Rješenje 132 Ponovimo

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N

1 2 3 4 5 1 N n n= +

Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem Prirodni broj ima beskonačno

mnogo višekratnika

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Neka je x broj učenika u razredu a y broj učenika sa ocjenom dobar iz matematike Iz uvjeta zadatka

dobije se jednadžba

3 6 2 18 186 3 9 6 3 9

18x x x x x x

y x y x x x x y xsdot+ + + = rArr + + + = rArr sdot + sdot + sdot + sdot = sdot rArr

711 18 18 18 18 11 18 7 18 7

1 1

88x y x y x x y x y x y xrArr sdot + sdot = sdot rArr sdot = sdot minus sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Budući da su x i y prirodni brojevi broj učenika x mora biti višekratnik broja 18 Zbog uvjeta zadatka

slijedi

20 40 21 22 23 38 39x xlt lt rArr isin

pa je 36 2 18x = = sdot

Tada je

77 7

36 36 7 2 1418

1818

36

y xy y y y

x

= sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =

=

U razredu je 36 učenika

Ocjenu dobar dobilo je 14 učenika

3 =

Vježba 132

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je učenika dobilo ocjenu vrlo dobar iz matematike

Rezultat 6

Zadatak 133 (Mario HTT)

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine

dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

5 6 7 8A B C D

Rješenje 133 Ponovimo

a a c

cb b

sdotsdot =

Kako zapisati od a

xb

13

a

xb

sdot

Neka je x broj učenika u razredu Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje

bull petina učenika razreda dobila je odličan

1

5xsdot

bull trećina učenika razreda dobila je vrlo dobar

1

3xsdot

bull tri desetine učenika razreda dobila je dobar

3

10xsdot

bull desetina učenika razreda dobila je dovoljan

1

10xsdot

bull dva učenika iz razreda dobila su negativnu ocjenu 2

Sada možemo napisati jednadžbu

1 1 3 1 1 1 3 12 2

5 3 10 10 50

10 10 3

3x x x x x x x x x xsdot + sdot + sdot + sdot + = rArr sdot + sdot + sdot sdot = sdot+ + rArr

6 10 9 3 60 30 28 60 30x x x x x x xrArr sdot + sdot + sdot + sdot + = sdot rArr sdot + = sdot rArr

( )28 30 60 2 60 2 60 2 3 0x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot rArr =minus= minus

Računamo koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

1 1 3030 6

5 5 5xsdot = sdot = =

Odgovor je pod B

Vježba 133

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu

vrlo dobar 7 8 9 10A B C D

Rezultat D

Zadatak 134 (Maturant gimnazija)

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve je izvađeno 7 kuglica a u drugu je

stavljeno 5 kuglica pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rješenje 134 Ponovimo

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

7

128 138 180 120A B C D

Rezultat A

Zadatak 127 (Ana gimnazija)

Jedan je komad žice dulji od drugog 54 metra Kad od svakog komada odrežemo 12 m veći

će komad biti četiri puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rješenje 127 Ponovimo

Kako zapisati da je broj b za n veći od broja a

b n a b a n b a nminus = = + minus =

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

1inačica

Neka je x duljina prve (kraće) žice Druga je od nje dulja 54 m pa je dugačka x + 54 Kad od svakog

komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

x + 54 ndash 12 = x + 42

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )42 4 12 42 4 48 4 48 42 3 90x x x x x x x+ = sdot minus rArr + = sdot minus rArr minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( ) 3 9 3030x xrArr minus rArrminussdot = minus =

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

54 30 54 84 x m+ = + =

2inačica

Neka je x duljina kraće a y duljina dulje žice Veća je od kraće dulja 54 m pa vrijedi jednadžba

54y xminus =

Kad od svakog komada odrežemo 12 m bit će duljina

bull prve (kraće) žice

x ndash 12

bull druge (dulje) žice

y ndash 12

Budući da je veći komad žice četiri puta dulji od kraćeg vrijedi jednadžba

( )12 4 12 y xminus = sdot minus

Iz sustava jednadžbi odredimo x i y

( ) ( )( )

54 5 metoda

su

454 12 4 12

12 4 12 12 4 12 pstitucije

y x y xx x

y x y x

minus = = +rArr rArr rArr + minus = sdot minus rArr

minus = sdot minus minus = sdot minus

( )54 12 4 48 4 48 54 12 3 90 3 90 30 3x x x x x x xrArr + minus = sdot minus rArr minus sdot = minus minus + rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =minus

Kraća žica dugačka je 30 m a dulja

5430 54 54 30 84

30

y xy y y m

x

minus =rArr minus = rArr = + rArr =

=

8

Vježba 127

Jedan je komad žice dulji od drugog 27 metara Kad od svakog komada odrežemo 6 m veći

će komad biti dva puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rezultat 33 m 60 m

Zadatak 128 (Mimi Ivonchy HTT)

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 3 cm x 2 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Koliko se takvih oblika leda može napraviti od 1 litre vode (Napomena 1 litra = 1 dm3)

Rješenje 128 Ponovimo

3 31 1 1000litra dm cm= =

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Kvadar je uspravna prizma kojoj je baza pravokutnik Ako su a b i c duljine bridova kvadra iz jednog

vrha obujam kvadra jednak je

V a b c= sdot sdot

Led oblika kvadra ima obujam

35 3 2 335 3 2 21

a cm b cm c cmV cm cm cm V cm

V a b c

= = =rArr = sdot sdot rArr =

= sdot sdot

Označimo slovom x obujam vode potrebne za jedan takav oblik leda obujma 21 cm3 Budući da se pri

smrzavanju obujam vode poveća za 5 vrijedi jednadžba

1005 5

21 21 100 5 2100 105 2100100 100

x x x x x x xsdot+ sdot = rArr + sdot = rArr sdot + sdot = rArr sdot = rArr

105 210 0 20105x xrArr sdot = rArr =

Potrebno je 20 cm3 vode

Obujam 1 litre vode iznosi

3 31 1 1000 V litra dm cm= = =

Pri smrzavanju obujam vode poveća se za 5 pa obujam dobivenog leda ima vrijednost

5 5 31000 1000 1000 50 1050

100 100V V cm+ sdot = + sdot = + =

Računamo koliko se kvadara leda obujma 21 cm3 može dobiti iz obujma 1050 cm3

31050

503

21

cmn n

cm

= rArr =

9

Vježba 128

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 6 cm x 1 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Rezultat 20 cm3

Zadatak 129 (Mimi Ivonchy HTT)

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti prije poskupljenja Kolika je cijena jedne čokolade nakon

poskupljenja

Rješenje 129 Ponovimo

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x broj čokolada prije poskupljenja a y cijena jedne čokolade također prije poskupljenja Iz

uvjeta zadatka slijedi

120x ysdot =

Budući da se nakon poskupljenja od 25 moglo kupiti dvije čokolade manje vrijedi jednadžba

( ) ( ) ( ) ( )25

2 120 2 025 120 2 125 120100

x y y x y y x yminus sdot + sdot = rArr minus sdot + sdot = rArr minus sdot sdot =

Broj čokolada Cijena čokolade

Prije poskupljenja x y

Nakon poskupljenja x ndash 2 125 y

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )( ) ( )

metoda

komparacije

1202 125 2 125

2 125 120

x yx y x y x y yx y

x y

sdot =rArr rArr sdot = minus sdot sdot rArr sdot = minus sdot sdot rArr

minus sdot sdot =

( ) ( )2 125 125 2 125 250 125 250x x x x x x x xrArr = minus sdot rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr

025 250 0 02525 250 10x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Prije poskupljenja moglo se kupiti deset čokolada

Računamo cijenu jedne čokolade prije poskupljenja

12010 120 10 120 12

10 10

x yy y y

x

sdot =rArr sdot = rArr sdot = rArr =

=

Cijena čokolade nakon poskupljenja iznosi 15 kn

125 125 12 15ysdot = sdot =

Vježba 129

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti nakon poskupljenja

10

Rezultat 8

Zadatak 130 (Mimi Ivonchy HTT)

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima otac

44 32 52 48A B C D

Rješenje 130 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Neka je

bull x broj godina oca

bull y broj godina starijeg sina

bull z broj godina mlađeg sina

Broj godina

oca

Broj godina starijeg

sina

Broj godina mlađeg

sina

x y z Prije 4 godine x ndash 4 x ndash 4 Prije 10 godina x ndash 10 z ndash 10

Budući da otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno vrijedi jednadžba

x y z= +

Prije 4 godine imao je

bull otac x ndash 4 godine

bull stariji sin y ndash 4 godine

Otac je bio dvaput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )4 2 4 x yminus = sdot minus

Prije 10 godina imao je

bull otac x ndash 10 godina

bull mlađi sin z ndash 10 godina

Otac je bio triput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )10 3 10 x zminus = sdot minus

Dobije se sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice iz kojega se izračuna x broj godina oca

( )

( )

4 2 4 4 2 8 2 8 4 2 4 8

10 3 30 3 30 10 3 10 3010 3 10

x y z x y z x y z x y z

x y x y y x y x

x z z x z xx z

= + = + = + = +

minus = sdot minus rArr minus = sdot minus rArr sdot minus = minus rArr sdot = minus + rArr

minus = sdot minus sdot minus = minus sdot = minus +minus = sdot minus

42 4 2 4

23 20 3 20

metoda 2

supstitucije

3

320

x y zx y z x y z

xy x y x y

z x z xx

z

= += + = +

+rArr sdot = + rArr sdot = + rArr = rArr rArr

sdot = + sdot = ++

=

( ) ( )4 20 4 2

0

6 3 4 2 202 3 3

62

x x x xx x x x x

+ + + +rArr = + rArr = + rArr sdot = sdot + + sdot +sdot rArr

11

6 3 12 2 40 6 3 2 12 40 52x x x x x x xrArr sdot = sdot + + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot = + rArr =

Odgovor je pod C

Vježba 130

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima mlađi sin

24 25 26 19A B C D

Rezultat A

Zadatak 131 (Ante srednja škola)

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 2 kg kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rješenje 131 Ponovimo

1 1000 1 10 1 1 1000 10 100 1kg g l dl kg l g dl g dl= = = rArr = rArr =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Neka je x količina vode izražena u kilogramima koju moramo doliti u 2 kg kupljene zemlje da se

dobije zemlja sa 18 vode Tada vrijedi jednadžba

( ) ( )12 100 18 12 100 18

2 2 2 2100 100 100 100 100 10

1000

x x x xsdot + sdot = + sdot sdotrArr sdot + sdot = + sdot rArr

( ) ( )2 12 100 18 2 24 100 18 2 24 100 36 18x x x x x xrArr sdot + sdot = sdot + rArr + sdot = sdot + rArr + sdot = + sdot rArr

12100 18 36 24 82 12 82 12

82 82x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

0146 0146 x x kgrArr = rArr =

U 2 kg kupljene zemlje treba uliti 0146 kg vode Preračunato u decilitre to iznosi

0146 146 146 x kg g dl= = =

Odgovor je pod C

Vježba 131

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 200 dag kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rezultat C

Zadatak 132 (Žac srednja škola)

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je bilo učenika u razredu Koliko je učenika dobilo ocjenu dobar iz matematike

12

Rješenje 132 Ponovimo

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N

1 2 3 4 5 1 N n n= +

Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem Prirodni broj ima beskonačno

mnogo višekratnika

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Neka je x broj učenika u razredu a y broj učenika sa ocjenom dobar iz matematike Iz uvjeta zadatka

dobije se jednadžba

3 6 2 18 186 3 9 6 3 9

18x x x x x x

y x y x x x x y xsdot+ + + = rArr + + + = rArr sdot + sdot + sdot + sdot = sdot rArr

711 18 18 18 18 11 18 7 18 7

1 1

88x y x y x x y x y x y xrArr sdot + sdot = sdot rArr sdot = sdot minus sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Budući da su x i y prirodni brojevi broj učenika x mora biti višekratnik broja 18 Zbog uvjeta zadatka

slijedi

20 40 21 22 23 38 39x xlt lt rArr isin

pa je 36 2 18x = = sdot

Tada je

77 7

36 36 7 2 1418

1818

36

y xy y y y

x

= sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =

=

U razredu je 36 učenika

Ocjenu dobar dobilo je 14 učenika

3 =

Vježba 132

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je učenika dobilo ocjenu vrlo dobar iz matematike

Rezultat 6

Zadatak 133 (Mario HTT)

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine

dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

5 6 7 8A B C D

Rješenje 133 Ponovimo

a a c

cb b

sdotsdot =

Kako zapisati od a

xb

13

a

xb

sdot

Neka je x broj učenika u razredu Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje

bull petina učenika razreda dobila je odličan

1

5xsdot

bull trećina učenika razreda dobila je vrlo dobar

1

3xsdot

bull tri desetine učenika razreda dobila je dobar

3

10xsdot

bull desetina učenika razreda dobila je dovoljan

1

10xsdot

bull dva učenika iz razreda dobila su negativnu ocjenu 2

Sada možemo napisati jednadžbu

1 1 3 1 1 1 3 12 2

5 3 10 10 50

10 10 3

3x x x x x x x x x xsdot + sdot + sdot + sdot + = rArr sdot + sdot + sdot sdot = sdot+ + rArr

6 10 9 3 60 30 28 60 30x x x x x x xrArr sdot + sdot + sdot + sdot + = sdot rArr sdot + = sdot rArr

( )28 30 60 2 60 2 60 2 3 0x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot rArr =minus= minus

Računamo koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

1 1 3030 6

5 5 5xsdot = sdot = =

Odgovor je pod B

Vježba 133

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu

vrlo dobar 7 8 9 10A B C D

Rezultat D

Zadatak 134 (Maturant gimnazija)

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve je izvađeno 7 kuglica a u drugu je

stavljeno 5 kuglica pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rješenje 134 Ponovimo

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

8

Vježba 127

Jedan je komad žice dulji od drugog 27 metara Kad od svakog komada odrežemo 6 m veći

će komad biti dva puta dulji od kraćeg Koliko su dugački komadi žice

Rezultat 33 m 60 m

Zadatak 128 (Mimi Ivonchy HTT)

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 3 cm x 2 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Koliko se takvih oblika leda može napraviti od 1 litre vode (Napomena 1 litra = 1 dm3)

Rješenje 128 Ponovimo

3 31 1 1000litra dm cm= =

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Kvadar je uspravna prizma kojoj je baza pravokutnik Ako su a b i c duljine bridova kvadra iz jednog

vrha obujam kvadra jednak je

V a b c= sdot sdot

Led oblika kvadra ima obujam

35 3 2 335 3 2 21

a cm b cm c cmV cm cm cm V cm

V a b c

= = =rArr = sdot sdot rArr =

= sdot sdot

Označimo slovom x obujam vode potrebne za jedan takav oblik leda obujma 21 cm3 Budući da se pri

smrzavanju obujam vode poveća za 5 vrijedi jednadžba

1005 5

21 21 100 5 2100 105 2100100 100

x x x x x x xsdot+ sdot = rArr + sdot = rArr sdot + sdot = rArr sdot = rArr

105 210 0 20105x xrArr sdot = rArr =

Potrebno je 20 cm3 vode

Obujam 1 litre vode iznosi

3 31 1 1000 V litra dm cm= = =

Pri smrzavanju obujam vode poveća se za 5 pa obujam dobivenog leda ima vrijednost

5 5 31000 1000 1000 50 1050

100 100V V cm+ sdot = + sdot = + =

Računamo koliko se kvadara leda obujma 21 cm3 može dobiti iz obujma 1050 cm3

31050

503

21

cmn n

cm

= rArr =

9

Vježba 128

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 6 cm x 1 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Rezultat 20 cm3

Zadatak 129 (Mimi Ivonchy HTT)

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti prije poskupljenja Kolika je cijena jedne čokolade nakon

poskupljenja

Rješenje 129 Ponovimo

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x broj čokolada prije poskupljenja a y cijena jedne čokolade također prije poskupljenja Iz

uvjeta zadatka slijedi

120x ysdot =

Budući da se nakon poskupljenja od 25 moglo kupiti dvije čokolade manje vrijedi jednadžba

( ) ( ) ( ) ( )25

2 120 2 025 120 2 125 120100

x y y x y y x yminus sdot + sdot = rArr minus sdot + sdot = rArr minus sdot sdot =

Broj čokolada Cijena čokolade

Prije poskupljenja x y

Nakon poskupljenja x ndash 2 125 y

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )( ) ( )

metoda

komparacije

1202 125 2 125

2 125 120

x yx y x y x y yx y

x y

sdot =rArr rArr sdot = minus sdot sdot rArr sdot = minus sdot sdot rArr

minus sdot sdot =

( ) ( )2 125 125 2 125 250 125 250x x x x x x x xrArr = minus sdot rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr

025 250 0 02525 250 10x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Prije poskupljenja moglo se kupiti deset čokolada

Računamo cijenu jedne čokolade prije poskupljenja

12010 120 10 120 12

10 10

x yy y y

x

sdot =rArr sdot = rArr sdot = rArr =

=

Cijena čokolade nakon poskupljenja iznosi 15 kn

125 125 12 15ysdot = sdot =

Vježba 129

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti nakon poskupljenja

10

Rezultat 8

Zadatak 130 (Mimi Ivonchy HTT)

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima otac

44 32 52 48A B C D

Rješenje 130 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Neka je

bull x broj godina oca

bull y broj godina starijeg sina

bull z broj godina mlađeg sina

Broj godina

oca

Broj godina starijeg

sina

Broj godina mlađeg

sina

x y z Prije 4 godine x ndash 4 x ndash 4 Prije 10 godina x ndash 10 z ndash 10

Budući da otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno vrijedi jednadžba

x y z= +

Prije 4 godine imao je

bull otac x ndash 4 godine

bull stariji sin y ndash 4 godine

Otac je bio dvaput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )4 2 4 x yminus = sdot minus

Prije 10 godina imao je

bull otac x ndash 10 godina

bull mlađi sin z ndash 10 godina

Otac je bio triput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )10 3 10 x zminus = sdot minus

Dobije se sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice iz kojega se izračuna x broj godina oca

( )

( )

4 2 4 4 2 8 2 8 4 2 4 8

10 3 30 3 30 10 3 10 3010 3 10

x y z x y z x y z x y z

x y x y y x y x

x z z x z xx z

= + = + = + = +

minus = sdot minus rArr minus = sdot minus rArr sdot minus = minus rArr sdot = minus + rArr

minus = sdot minus sdot minus = minus sdot = minus +minus = sdot minus

42 4 2 4

23 20 3 20

metoda 2

supstitucije

3

320

x y zx y z x y z

xy x y x y

z x z xx

z

= += + = +

+rArr sdot = + rArr sdot = + rArr = rArr rArr

sdot = + sdot = ++

=

( ) ( )4 20 4 2

0

6 3 4 2 202 3 3

62

x x x xx x x x x

+ + + +rArr = + rArr = + rArr sdot = sdot + + sdot +sdot rArr

11

6 3 12 2 40 6 3 2 12 40 52x x x x x x xrArr sdot = sdot + + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot = + rArr =

Odgovor je pod C

Vježba 130

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima mlađi sin

24 25 26 19A B C D

Rezultat A

Zadatak 131 (Ante srednja škola)

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 2 kg kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rješenje 131 Ponovimo

1 1000 1 10 1 1 1000 10 100 1kg g l dl kg l g dl g dl= = = rArr = rArr =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Neka je x količina vode izražena u kilogramima koju moramo doliti u 2 kg kupljene zemlje da se

dobije zemlja sa 18 vode Tada vrijedi jednadžba

( ) ( )12 100 18 12 100 18

2 2 2 2100 100 100 100 100 10

1000

x x x xsdot + sdot = + sdot sdotrArr sdot + sdot = + sdot rArr

( ) ( )2 12 100 18 2 24 100 18 2 24 100 36 18x x x x x xrArr sdot + sdot = sdot + rArr + sdot = sdot + rArr + sdot = + sdot rArr

12100 18 36 24 82 12 82 12

82 82x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

0146 0146 x x kgrArr = rArr =

U 2 kg kupljene zemlje treba uliti 0146 kg vode Preračunato u decilitre to iznosi

0146 146 146 x kg g dl= = =

Odgovor je pod C

Vježba 131

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 200 dag kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rezultat C

Zadatak 132 (Žac srednja škola)

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je bilo učenika u razredu Koliko je učenika dobilo ocjenu dobar iz matematike

12

Rješenje 132 Ponovimo

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N

1 2 3 4 5 1 N n n= +

Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem Prirodni broj ima beskonačno

mnogo višekratnika

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Neka je x broj učenika u razredu a y broj učenika sa ocjenom dobar iz matematike Iz uvjeta zadatka

dobije se jednadžba

3 6 2 18 186 3 9 6 3 9

18x x x x x x

y x y x x x x y xsdot+ + + = rArr + + + = rArr sdot + sdot + sdot + sdot = sdot rArr

711 18 18 18 18 11 18 7 18 7

1 1

88x y x y x x y x y x y xrArr sdot + sdot = sdot rArr sdot = sdot minus sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Budući da su x i y prirodni brojevi broj učenika x mora biti višekratnik broja 18 Zbog uvjeta zadatka

slijedi

20 40 21 22 23 38 39x xlt lt rArr isin

pa je 36 2 18x = = sdot

Tada je

77 7

36 36 7 2 1418

1818

36

y xy y y y

x

= sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =

=

U razredu je 36 učenika

Ocjenu dobar dobilo je 14 učenika

3 =

Vježba 132

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je učenika dobilo ocjenu vrlo dobar iz matematike

Rezultat 6

Zadatak 133 (Mario HTT)

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine

dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

5 6 7 8A B C D

Rješenje 133 Ponovimo

a a c

cb b

sdotsdot =

Kako zapisati od a

xb

13

a

xb

sdot

Neka je x broj učenika u razredu Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje

bull petina učenika razreda dobila je odličan

1

5xsdot

bull trećina učenika razreda dobila je vrlo dobar

1

3xsdot

bull tri desetine učenika razreda dobila je dobar

3

10xsdot

bull desetina učenika razreda dobila je dovoljan

1

10xsdot

bull dva učenika iz razreda dobila su negativnu ocjenu 2

Sada možemo napisati jednadžbu

1 1 3 1 1 1 3 12 2

5 3 10 10 50

10 10 3

3x x x x x x x x x xsdot + sdot + sdot + sdot + = rArr sdot + sdot + sdot sdot = sdot+ + rArr

6 10 9 3 60 30 28 60 30x x x x x x xrArr sdot + sdot + sdot + sdot + = sdot rArr sdot + = sdot rArr

( )28 30 60 2 60 2 60 2 3 0x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot rArr =minus= minus

Računamo koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

1 1 3030 6

5 5 5xsdot = sdot = =

Odgovor je pod B

Vježba 133

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu

vrlo dobar 7 8 9 10A B C D

Rezultat D

Zadatak 134 (Maturant gimnazija)

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve je izvađeno 7 kuglica a u drugu je

stavljeno 5 kuglica pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rješenje 134 Ponovimo

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

9

Vježba 128

U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 35 cm x 6 cm x 1 cm

Pri smrzavanju obujam vode poveća se 5 Koliko je vode potrebno za jedan takav oblik leda

Rezultat 20 cm3

Zadatak 129 (Mimi Ivonchy HTT)

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti prije poskupljenja Kolika je cijena jedne čokolade nakon

poskupljenja

Rješenje 129 Ponovimo

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Kako zapisati da je broj x povećan za p

100

px x+ sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x broj čokolada prije poskupljenja a y cijena jedne čokolade također prije poskupljenja Iz

uvjeta zadatka slijedi

120x ysdot =

Budući da se nakon poskupljenja od 25 moglo kupiti dvije čokolade manje vrijedi jednadžba

( ) ( ) ( ) ( )25

2 120 2 025 120 2 125 120100

x y y x y y x yminus sdot + sdot = rArr minus sdot + sdot = rArr minus sdot sdot =

Broj čokolada Cijena čokolade

Prije poskupljenja x y

Nakon poskupljenja x ndash 2 125 y

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )( ) ( )

metoda

komparacije

1202 125 2 125

2 125 120

x yx y x y x y yx y

x y

sdot =rArr rArr sdot = minus sdot sdot rArr sdot = minus sdot sdot rArr

minus sdot sdot =

( ) ( )2 125 125 2 125 250 125 250x x x x x x x xrArr = minus sdot rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr

025 250 0 02525 250 10x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Prije poskupljenja moglo se kupiti deset čokolada

Računamo cijenu jedne čokolade prije poskupljenja

12010 120 10 120 12

10 10

x yy y y

x

sdot =rArr sdot = rArr sdot = rArr =

=

Cijena čokolade nakon poskupljenja iznosi 15 kn

125 125 12 15ysdot = sdot =

Vježba 129

Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25

Koliko se čokolada moglo kupiti nakon poskupljenja

10

Rezultat 8

Zadatak 130 (Mimi Ivonchy HTT)

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima otac

44 32 52 48A B C D

Rješenje 130 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Neka je

bull x broj godina oca

bull y broj godina starijeg sina

bull z broj godina mlađeg sina

Broj godina

oca

Broj godina starijeg

sina

Broj godina mlađeg

sina

x y z Prije 4 godine x ndash 4 x ndash 4 Prije 10 godina x ndash 10 z ndash 10

Budući da otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno vrijedi jednadžba

x y z= +

Prije 4 godine imao je

bull otac x ndash 4 godine

bull stariji sin y ndash 4 godine

Otac je bio dvaput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )4 2 4 x yminus = sdot minus

Prije 10 godina imao je

bull otac x ndash 10 godina

bull mlađi sin z ndash 10 godina

Otac je bio triput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )10 3 10 x zminus = sdot minus

Dobije se sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice iz kojega se izračuna x broj godina oca

( )

( )

4 2 4 4 2 8 2 8 4 2 4 8

10 3 30 3 30 10 3 10 3010 3 10

x y z x y z x y z x y z

x y x y y x y x

x z z x z xx z

= + = + = + = +

minus = sdot minus rArr minus = sdot minus rArr sdot minus = minus rArr sdot = minus + rArr

minus = sdot minus sdot minus = minus sdot = minus +minus = sdot minus

42 4 2 4

23 20 3 20

metoda 2

supstitucije

3

320

x y zx y z x y z

xy x y x y

z x z xx

z

= += + = +

+rArr sdot = + rArr sdot = + rArr = rArr rArr

sdot = + sdot = ++

=

( ) ( )4 20 4 2

0

6 3 4 2 202 3 3

62

x x x xx x x x x

+ + + +rArr = + rArr = + rArr sdot = sdot + + sdot +sdot rArr

11

6 3 12 2 40 6 3 2 12 40 52x x x x x x xrArr sdot = sdot + + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot = + rArr =

Odgovor je pod C

Vježba 130

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima mlađi sin

24 25 26 19A B C D

Rezultat A

Zadatak 131 (Ante srednja škola)

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 2 kg kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rješenje 131 Ponovimo

1 1000 1 10 1 1 1000 10 100 1kg g l dl kg l g dl g dl= = = rArr = rArr =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Neka je x količina vode izražena u kilogramima koju moramo doliti u 2 kg kupljene zemlje da se

dobije zemlja sa 18 vode Tada vrijedi jednadžba

( ) ( )12 100 18 12 100 18

2 2 2 2100 100 100 100 100 10

1000

x x x xsdot + sdot = + sdot sdotrArr sdot + sdot = + sdot rArr

( ) ( )2 12 100 18 2 24 100 18 2 24 100 36 18x x x x x xrArr sdot + sdot = sdot + rArr + sdot = sdot + rArr + sdot = + sdot rArr

12100 18 36 24 82 12 82 12

82 82x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

0146 0146 x x kgrArr = rArr =

U 2 kg kupljene zemlje treba uliti 0146 kg vode Preračunato u decilitre to iznosi

0146 146 146 x kg g dl= = =

Odgovor je pod C

Vježba 131

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 200 dag kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rezultat C

Zadatak 132 (Žac srednja škola)

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je bilo učenika u razredu Koliko je učenika dobilo ocjenu dobar iz matematike

12

Rješenje 132 Ponovimo

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N

1 2 3 4 5 1 N n n= +

Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem Prirodni broj ima beskonačno

mnogo višekratnika

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Neka je x broj učenika u razredu a y broj učenika sa ocjenom dobar iz matematike Iz uvjeta zadatka

dobije se jednadžba

3 6 2 18 186 3 9 6 3 9

18x x x x x x

y x y x x x x y xsdot+ + + = rArr + + + = rArr sdot + sdot + sdot + sdot = sdot rArr

711 18 18 18 18 11 18 7 18 7

1 1

88x y x y x x y x y x y xrArr sdot + sdot = sdot rArr sdot = sdot minus sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Budući da su x i y prirodni brojevi broj učenika x mora biti višekratnik broja 18 Zbog uvjeta zadatka

slijedi

20 40 21 22 23 38 39x xlt lt rArr isin

pa je 36 2 18x = = sdot

Tada je

77 7

36 36 7 2 1418

1818

36

y xy y y y

x

= sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =

=

U razredu je 36 učenika

Ocjenu dobar dobilo je 14 učenika

3 =

Vježba 132

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je učenika dobilo ocjenu vrlo dobar iz matematike

Rezultat 6

Zadatak 133 (Mario HTT)

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine

dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

5 6 7 8A B C D

Rješenje 133 Ponovimo

a a c

cb b

sdotsdot =

Kako zapisati od a

xb

13

a

xb

sdot

Neka je x broj učenika u razredu Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje

bull petina učenika razreda dobila je odličan

1

5xsdot

bull trećina učenika razreda dobila je vrlo dobar

1

3xsdot

bull tri desetine učenika razreda dobila je dobar

3

10xsdot

bull desetina učenika razreda dobila je dovoljan

1

10xsdot

bull dva učenika iz razreda dobila su negativnu ocjenu 2

Sada možemo napisati jednadžbu

1 1 3 1 1 1 3 12 2

5 3 10 10 50

10 10 3

3x x x x x x x x x xsdot + sdot + sdot + sdot + = rArr sdot + sdot + sdot sdot = sdot+ + rArr

6 10 9 3 60 30 28 60 30x x x x x x xrArr sdot + sdot + sdot + sdot + = sdot rArr sdot + = sdot rArr

( )28 30 60 2 60 2 60 2 3 0x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot rArr =minus= minus

Računamo koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

1 1 3030 6

5 5 5xsdot = sdot = =

Odgovor je pod B

Vježba 133

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu

vrlo dobar 7 8 9 10A B C D

Rezultat D

Zadatak 134 (Maturant gimnazija)

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve je izvađeno 7 kuglica a u drugu je

stavljeno 5 kuglica pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rješenje 134 Ponovimo

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

10

Rezultat 8

Zadatak 130 (Mimi Ivonchy HTT)

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima otac

44 32 52 48A B C D

Rješenje 130 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Neka je

bull x broj godina oca

bull y broj godina starijeg sina

bull z broj godina mlađeg sina

Broj godina

oca

Broj godina starijeg

sina

Broj godina mlađeg

sina

x y z Prije 4 godine x ndash 4 x ndash 4 Prije 10 godina x ndash 10 z ndash 10

Budući da otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno vrijedi jednadžba

x y z= +

Prije 4 godine imao je

bull otac x ndash 4 godine

bull stariji sin y ndash 4 godine

Otac je bio dvaput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )4 2 4 x yminus = sdot minus

Prije 10 godina imao je

bull otac x ndash 10 godina

bull mlađi sin z ndash 10 godina

Otac je bio triput stariji od njega pa vrijedi jednadžba

( )10 3 10 x zminus = sdot minus

Dobije se sustav od tri jednadžbe sa tri nepoznanice iz kojega se izračuna x broj godina oca

( )

( )

4 2 4 4 2 8 2 8 4 2 4 8

10 3 30 3 30 10 3 10 3010 3 10

x y z x y z x y z x y z

x y x y y x y x

x z z x z xx z

= + = + = + = +

minus = sdot minus rArr minus = sdot minus rArr sdot minus = minus rArr sdot = minus + rArr

minus = sdot minus sdot minus = minus sdot = minus +minus = sdot minus

42 4 2 4

23 20 3 20

metoda 2

supstitucije

3

320

x y zx y z x y z

xy x y x y

z x z xx

z

= += + = +

+rArr sdot = + rArr sdot = + rArr = rArr rArr

sdot = + sdot = ++

=

( ) ( )4 20 4 2

0

6 3 4 2 202 3 3

62

x x x xx x x x x

+ + + +rArr = + rArr = + rArr sdot = sdot + + sdot +sdot rArr

11

6 3 12 2 40 6 3 2 12 40 52x x x x x x xrArr sdot = sdot + + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot = + rArr =

Odgovor je pod C

Vježba 130

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima mlađi sin

24 25 26 19A B C D

Rezultat A

Zadatak 131 (Ante srednja škola)

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 2 kg kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rješenje 131 Ponovimo

1 1000 1 10 1 1 1000 10 100 1kg g l dl kg l g dl g dl= = = rArr = rArr =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Neka je x količina vode izražena u kilogramima koju moramo doliti u 2 kg kupljene zemlje da se

dobije zemlja sa 18 vode Tada vrijedi jednadžba

( ) ( )12 100 18 12 100 18

2 2 2 2100 100 100 100 100 10

1000

x x x xsdot + sdot = + sdot sdotrArr sdot + sdot = + sdot rArr

( ) ( )2 12 100 18 2 24 100 18 2 24 100 36 18x x x x x xrArr sdot + sdot = sdot + rArr + sdot = sdot + rArr + sdot = + sdot rArr

12100 18 36 24 82 12 82 12

82 82x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

0146 0146 x x kgrArr = rArr =

U 2 kg kupljene zemlje treba uliti 0146 kg vode Preračunato u decilitre to iznosi

0146 146 146 x kg g dl= = =

Odgovor je pod C

Vježba 131

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 200 dag kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rezultat C

Zadatak 132 (Žac srednja škola)

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je bilo učenika u razredu Koliko je učenika dobilo ocjenu dobar iz matematike

12

Rješenje 132 Ponovimo

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N

1 2 3 4 5 1 N n n= +

Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem Prirodni broj ima beskonačno

mnogo višekratnika

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Neka je x broj učenika u razredu a y broj učenika sa ocjenom dobar iz matematike Iz uvjeta zadatka

dobije se jednadžba

3 6 2 18 186 3 9 6 3 9

18x x x x x x

y x y x x x x y xsdot+ + + = rArr + + + = rArr sdot + sdot + sdot + sdot = sdot rArr

711 18 18 18 18 11 18 7 18 7

1 1

88x y x y x x y x y x y xrArr sdot + sdot = sdot rArr sdot = sdot minus sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Budući da su x i y prirodni brojevi broj učenika x mora biti višekratnik broja 18 Zbog uvjeta zadatka

slijedi

20 40 21 22 23 38 39x xlt lt rArr isin

pa je 36 2 18x = = sdot

Tada je

77 7

36 36 7 2 1418

1818

36

y xy y y y

x

= sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =

=

U razredu je 36 učenika

Ocjenu dobar dobilo je 14 učenika

3 =

Vježba 132

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je učenika dobilo ocjenu vrlo dobar iz matematike

Rezultat 6

Zadatak 133 (Mario HTT)

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine

dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

5 6 7 8A B C D

Rješenje 133 Ponovimo

a a c

cb b

sdotsdot =

Kako zapisati od a

xb

13

a

xb

sdot

Neka je x broj učenika u razredu Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje

bull petina učenika razreda dobila je odličan

1

5xsdot

bull trećina učenika razreda dobila je vrlo dobar

1

3xsdot

bull tri desetine učenika razreda dobila je dobar

3

10xsdot

bull desetina učenika razreda dobila je dovoljan

1

10xsdot

bull dva učenika iz razreda dobila su negativnu ocjenu 2

Sada možemo napisati jednadžbu

1 1 3 1 1 1 3 12 2

5 3 10 10 50

10 10 3

3x x x x x x x x x xsdot + sdot + sdot + sdot + = rArr sdot + sdot + sdot sdot = sdot+ + rArr

6 10 9 3 60 30 28 60 30x x x x x x xrArr sdot + sdot + sdot + sdot + = sdot rArr sdot + = sdot rArr

( )28 30 60 2 60 2 60 2 3 0x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot rArr =minus= minus

Računamo koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

1 1 3030 6

5 5 5xsdot = sdot = =

Odgovor je pod B

Vježba 133

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu

vrlo dobar 7 8 9 10A B C D

Rezultat D

Zadatak 134 (Maturant gimnazija)

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve je izvađeno 7 kuglica a u drugu je

stavljeno 5 kuglica pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rješenje 134 Ponovimo

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

11

6 3 12 2 40 6 3 2 12 40 52x x x x x x xrArr sdot = sdot + + sdot + rArr sdot minus sdot minus sdot = + rArr =

Odgovor je pod C

Vježba 130

Otac ima onoliko godina koliko i oba sina zajedno Prije četiri godine imao je dvaput više od

starijeg a prije deset godina triput više od mlađeg Koliko godina ima mlađi sin

24 25 26 19A B C D

Rezultat A

Zadatak 131 (Ante srednja škola)

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 2 kg kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rješenje 131 Ponovimo

1 1000 1 10 1 1 1000 10 100 1kg g l dl kg l g dl g dl= = = rArr = rArr =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Stoti dio nekog broja naziva se postotak Piše se kao razlomak s nazivnikom 100

Na primjer 9 81 45 03

9 81 45 03 100 100 100

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa p od x

100

pxsdot

Neka je x količina vode izražena u kilogramima koju moramo doliti u 2 kg kupljene zemlje da se

dobije zemlja sa 18 vode Tada vrijedi jednadžba

( ) ( )12 100 18 12 100 18

2 2 2 2100 100 100 100 100 10

1000

x x x xsdot + sdot = + sdot sdotrArr sdot + sdot = + sdot rArr

( ) ( )2 12 100 18 2 24 100 18 2 24 100 36 18x x x x x xrArr sdot + sdot = sdot + rArr + sdot = sdot + rArr + sdot = + sdot rArr

12100 18 36 24 82 12 82 12

82 82x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

0146 0146 x x kgrArr = rArr =

U 2 kg kupljene zemlje treba uliti 0146 kg vode Preračunato u decilitre to iznosi

0146 146 146 x kg g dl= = =

Odgovor je pod C

Vježba 131

Zemlja tek kupljena u cvjećarnici sadrži 12 vode Koliko vode treba uliti u 200 dag kupljene

zemlje ako se sadi biljka koja zahtijeva 18 vode u zemlji

126 126 136 136 146 146 156 156A g dl B g dl C g dl D g dl= = = =

Rezultat C

Zadatak 132 (Žac srednja škola)

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je bilo učenika u razredu Koliko je učenika dobilo ocjenu dobar iz matematike

12

Rješenje 132 Ponovimo

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N

1 2 3 4 5 1 N n n= +

Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem Prirodni broj ima beskonačno

mnogo višekratnika

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Neka je x broj učenika u razredu a y broj učenika sa ocjenom dobar iz matematike Iz uvjeta zadatka

dobije se jednadžba

3 6 2 18 186 3 9 6 3 9

18x x x x x x

y x y x x x x y xsdot+ + + = rArr + + + = rArr sdot + sdot + sdot + sdot = sdot rArr

711 18 18 18 18 11 18 7 18 7

1 1

88x y x y x x y x y x y xrArr sdot + sdot = sdot rArr sdot = sdot minus sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Budući da su x i y prirodni brojevi broj učenika x mora biti višekratnik broja 18 Zbog uvjeta zadatka

slijedi

20 40 21 22 23 38 39x xlt lt rArr isin

pa je 36 2 18x = = sdot

Tada je

77 7

36 36 7 2 1418

1818

36

y xy y y y

x

= sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =

=

U razredu je 36 učenika

Ocjenu dobar dobilo je 14 učenika

3 =

Vježba 132

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je učenika dobilo ocjenu vrlo dobar iz matematike

Rezultat 6

Zadatak 133 (Mario HTT)

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine

dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

5 6 7 8A B C D

Rješenje 133 Ponovimo

a a c

cb b

sdotsdot =

Kako zapisati od a

xb

13

a

xb

sdot

Neka je x broj učenika u razredu Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje

bull petina učenika razreda dobila je odličan

1

5xsdot

bull trećina učenika razreda dobila je vrlo dobar

1

3xsdot

bull tri desetine učenika razreda dobila je dobar

3

10xsdot

bull desetina učenika razreda dobila je dovoljan

1

10xsdot

bull dva učenika iz razreda dobila su negativnu ocjenu 2

Sada možemo napisati jednadžbu

1 1 3 1 1 1 3 12 2

5 3 10 10 50

10 10 3

3x x x x x x x x x xsdot + sdot + sdot + sdot + = rArr sdot + sdot + sdot sdot = sdot+ + rArr

6 10 9 3 60 30 28 60 30x x x x x x xrArr sdot + sdot + sdot + sdot + = sdot rArr sdot + = sdot rArr

( )28 30 60 2 60 2 60 2 3 0x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot rArr =minus= minus

Računamo koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

1 1 3030 6

5 5 5xsdot = sdot = =

Odgovor je pod B

Vježba 133

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu

vrlo dobar 7 8 9 10A B C D

Rezultat D

Zadatak 134 (Maturant gimnazija)

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve je izvađeno 7 kuglica a u drugu je

stavljeno 5 kuglica pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rješenje 134 Ponovimo

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

12

Rješenje 132 Ponovimo

Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N

1 2 3 4 5 1 N n n= +

Višekratnici prirodnog broja su svi brojevi koji su djeljivi s tim brojem Prirodni broj ima beskonačno

mnogo višekratnika

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Neka je x broj učenika u razredu a y broj učenika sa ocjenom dobar iz matematike Iz uvjeta zadatka

dobije se jednadžba

3 6 2 18 186 3 9 6 3 9

18x x x x x x

y x y x x x x y xsdot+ + + = rArr + + + = rArr sdot + sdot + sdot + sdot = sdot rArr

711 18 18 18 18 11 18 7 18 7

1 1

88x y x y x x y x y x y xrArr sdot + sdot = sdot rArr sdot = sdot minus sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Budući da su x i y prirodni brojevi broj učenika x mora biti višekratnik broja 18 Zbog uvjeta zadatka

slijedi

20 40 21 22 23 38 39x xlt lt rArr isin

pa je 36 2 18x = = sdot

Tada je

77 7

36 36 7 2 1418

1818

36

y xy y y y

x

= sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =

=

U razredu je 36 učenika

Ocjenu dobar dobilo je 14 učenika

3 =

Vježba 132

U nekom razredu na kraju školske godine nitko nije dobio ocjenu odličan iz matematike Svaki

šesti učenik bio je vrlo dobar svaki treći dovoljan a svaki deveti nedovoljan Broj učenika je između

20 i 40 Koliko je učenika dobilo ocjenu vrlo dobar iz matematike

Rezultat 6

Zadatak 133 (Mario HTT)

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine

dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

5 6 7 8A B C D

Rješenje 133 Ponovimo

a a c

cb b

sdotsdot =

Kako zapisati od a

xb

13

a

xb

sdot

Neka je x broj učenika u razredu Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje

bull petina učenika razreda dobila je odličan

1

5xsdot

bull trećina učenika razreda dobila je vrlo dobar

1

3xsdot

bull tri desetine učenika razreda dobila je dobar

3

10xsdot

bull desetina učenika razreda dobila je dovoljan

1

10xsdot

bull dva učenika iz razreda dobila su negativnu ocjenu 2

Sada možemo napisati jednadžbu

1 1 3 1 1 1 3 12 2

5 3 10 10 50

10 10 3

3x x x x x x x x x xsdot + sdot + sdot + sdot + = rArr sdot + sdot + sdot sdot = sdot+ + rArr

6 10 9 3 60 30 28 60 30x x x x x x xrArr sdot + sdot + sdot + sdot + = sdot rArr sdot + = sdot rArr

( )28 30 60 2 60 2 60 2 3 0x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot rArr =minus= minus

Računamo koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

1 1 3030 6

5 5 5xsdot = sdot = =

Odgovor je pod B

Vježba 133

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu

vrlo dobar 7 8 9 10A B C D

Rezultat D

Zadatak 134 (Maturant gimnazija)

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve je izvađeno 7 kuglica a u drugu je

stavljeno 5 kuglica pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rješenje 134 Ponovimo

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

13

a

xb

sdot

Neka je x broj učenika u razredu Zapišimo pomoću matematičkih izraza sljedeće tvrdnje

bull petina učenika razreda dobila je odličan

1

5xsdot

bull trećina učenika razreda dobila je vrlo dobar

1

3xsdot

bull tri desetine učenika razreda dobila je dobar

3

10xsdot

bull desetina učenika razreda dobila je dovoljan

1

10xsdot

bull dva učenika iz razreda dobila su negativnu ocjenu 2

Sada možemo napisati jednadžbu

1 1 3 1 1 1 3 12 2

5 3 10 10 50

10 10 3

3x x x x x x x x x xsdot + sdot + sdot + sdot + = rArr sdot + sdot + sdot sdot = sdot+ + rArr

6 10 9 3 60 30 28 60 30x x x x x x xrArr sdot + sdot + sdot + sdot + = sdot rArr sdot + = sdot rArr

( )28 30 60 2 60 2 60 2 3 0x x x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot rArr =minus= minus

Računamo koliko je učenika dobilo ocjenu odličan

1 1 3030 6

5 5 5xsdot = sdot = =

Odgovor je pod B

Vježba 133

U jednome razredu petina je učenika dobila ocjenu odličan trećina vrlo dobar tri desetine dobar a desetina dovoljan Dva su učenika dobila negativnu ocjenu Koliko je učenika dobilo ocjenu

vrlo dobar 7 8 9 10A B C D

Rezultat D

Zadatak 134 (Maturant gimnazija)

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve je izvađeno 7 kuglica a u drugu je

stavljeno 5 kuglica pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rješenje 134 Ponovimo

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

14

a

b ab

sdot =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Kako zapisati da je broj b en puta veći od broja a

ili ili b b

b n a a nn a

= sdot = =

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot 1inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Budući da

je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica

pa vrijedi jednadžba

3 7 5 3 5 7 2 1 2 2 12 62 x x x x x x xsdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji 3 3 6 18xsdot = sdot =

bull u drugoj kutiji 6x =

2inačica

Neka su x i y brojevi kuglica u prvoj i drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj

pa vrijedi jednadžba 3 x y= sdot

Budući da je iz prve kutije izvađeno 7 kuglica a u drugu stavljeno 5 kuglica u obje kutije je jednaki broj kuglica pa vrijedi jednadžba

7 5x yminus = +

Iz sustava jednadžbi dobijemo početni broj kuglica

metoda

supstituc

33 7 5 3 5 7 2

7 i e12

5 j

x yy y y y y

x y

= sdotrArr rArr sdot minus = + rArr sdot minus = + rArr sdot = rArr

minus = +

2 212 6y yrArr sdot = rArr =

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

33 6 18

6

x yx x

y

= sdotrArr = sdot rArr =

=

bull u drugoj kutiji 6y =

3inačica

Neka je x broj kuglica u drugoj kutiji U prvoj je kutiji 3 puta više kuglica pa to iznosi 3 middot x Dakle

ukupan broj kuglica iznosi 3 4 x x x+ sdot = sdot

Nakon premještanja u obje je kutije bio jednaki broj kuglica

42

2

xx

sdot= sdot

Riješit ćemo zadatak računajući unatrag

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

15

Ako u prvu kutiju dodamo 7 kuglica u njoj će biti

2 7 x kuglicasdot +

Ako iz druge kutije izvadimo 5 kuglica u njoj će ostati

2 5 x kuglicasdot minus

Sada u prvoj kutiji ima 3 puta više kuglica nego u drugoj pa vrijedi jednadžba

( )2 7 3 2 5 2 7 6 15 2 6 15 7 4 22x x x x x x xsdot + = sdot sdot minus rArr sdot + = sdot minus rArr sdot minus sdot = minus minus rArr minus sdot = minus rArr

( )2 22

42 11

4 22 4 24

x x x xrArr minus sdot = minus rArr = =minus = rArr rArr

Na početku je bilo kuglica

bull u prvoj kutiji

211 11

2 7 2 7 7 11 7 1822

xsdot + = sdot + = sdot + = + =

bull u drugoj kutiji

211 11

2 5 2 5 5 11 5 622

xsdot minus = sdot minus = sdot minus = minus =

Vježba 134

U jednoj je kutiji 3 puta više kuglica nego u drugoj Iz prve su izvađene 3 kuglice a u drugu su

stavljene 3 kuglice pa je u obje kutije jednaki broj kuglica Koliko je kuglica bilo na početku u svakoj

kutiji

Rezultat 9 i 3

Zadatak 135 (Ivana srednja škola)

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

12 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta Za koliko će se vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 3 minute za 4 minute za 8 minuta za 9 minutaA B C D

Rješenje 135 Ponovimo

a c a d b c a c

a d b cb d b d b d

sdot + sdot+ = = rArr sdot = sdot

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Probleme ovog tipa svodimo na promatranje količine događaja u jedinici vremena

U ovom slučaju zadatak rješavamo svodeći ga na jedinicu vremena 1 minutu

1inačica

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je 12 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

12 bačve

Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor B potrebno je 6 minuta da se isprazni pa se za 1 minutu

isprazni 1

6 bačve

Ako se istodobno otvore oba otvora A i B onda se za 1 minutu isprazni

1 1 1 2 3 1

12 6 12

3

112 42

++ = = = =

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

16

bačve

Cijela bačva ispraznit će se za x minuta

1 11 1 4

44

4x x xsdot = rArr sdot = rArr =sdot

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

2inačica

Kroz otvor A za 1 minutu isprazni se 1

12 bačve Kroz otvor B za 1 minutu isprazni se

1

6 bačve Ako

bi oba otvora A i B bila istodobno otvorena bačva bi se ispraznila za x minuta pa bi za 1 minutu bio

ispražnjen 1

tix

minus dio bačve Stoga mora biti

1 1 1 1 2 1 3 13 12 3 12 4

12

6 123

12x x x

x x x

++ = rArr = rArr = rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Ako se istodobno otvore oba otvora bačva će se isprazniti za 4 minute Odgovor je pod B

Vježba 135

Na bačvi se nalaze dva otvora A i B Ako se puna bačva prazni samo kroz otvor A potrebno je

6 minuta da se isprazni a ako se prazni samo kroz otvor B potrebne su 3 minute Za koliko će se

vremena isprazniti bačva ako se istodobno otvore oba otvora

za 2 minute za 3 minute za 4 minute za 5 minutaA B C D

Rezultat A

Zadatak 136 (Marija srednja škola)

Sestra je starija od brata 4 godine Za godinu dana omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rješenje 136 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera Ako je

a b = k i c d = k

tada je razmjer ili proporcija

a b = c d

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c a b c d a d b c= rArr sdot = sdot

Kako zapisati da je broj x za n veći od broja y

ili ili x n y x y n x y nminus = = + minus =

Neka je x broj bratovih godina Sestra je starija 4 godine pa pišemo x + 4

Nakon godinu dana

bull brat ima x + 1 godinu

bull sestra ima x + 4 + 1 = x + 5 godina

Iz razmjera njihovih godina izračunamo x

( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 4 4 1 3 5 4 4 3 15x x x x x x+ + = rArr sdot + = sdot + rArr sdot + = sdot + rArr

4 3 15 4 11x x xrArr sdot minus sdot = minus rArr =

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

17

Brat ima 11 godina a sestra 15 godina

Vježba 136

Sestra je starija od brata 5 godina Za 5 godina omjer njihovih godina bit će 3 4 Koliko je

godina sestri a koliko bratu

Rezultat 15 god 10 god

Zadatak 137 (Mario srednja škola)

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 22500 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rješenje 137 Ponovimo

1

n a c a d b c a c a cn

b d b d b d b d

sdot + sdot sdot= + = sdot =

sdot sdot

Kako izračunati od a

xb

a

xb

sdot

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je x prvotna cijena proizvoda Njezino povećanje za četvrtinu iznosi

1 1 1 1 4 1 51

4 4 1 4 4 4x x x x x x

++ sdot = + sdot = + sdot = sdot = sdot

Nova cijena ponovno je povećana za svoju četvrtinu pa vrijedi

5 1 5 5 5 5 5 20 5 25

4 4 4 4 16 4 16 16 16x x x x x x x

+sdot + sdot sdot = sdot + sdot = + sdot = sdot = sdot

Budući da je konačna cijena 22500 kn dobije se jednadžba

25 2522500 2

162500 14 400

16 16 25x x xsdotsdot = rArr sdot = rArr =

Prvotna cijena bila je 14400 kn

Vježba 137

Prodajna cijena proizvoda u jednoj godini povećala se dva puta po četvrtinu prethodne

prodajne cijene i na kraju godine iznosila je 45000 kn Kolika je bila prvotna cijena

Rezultat 28800 kn

Zadatak 138 (Vedran srednja škola)

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 36 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rješenje 138 Ponovimo

1 60 minh =

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je t vrijeme u minutama koje je tvornica trošila za obradu jednog detalja prije obnove Za 27

detalja trebalo je

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

18

27 tsdot

minuta

Poslije obnove tvornica za obradu jednog detalja treba 40 minuta manje

40t minus

pa će za obradu 36 detalja trebati ukupno

( )36 40tsdot minus

minuta

Budući da se 36 detalja sada obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 27 detalja vrijedi

jednadžba

( )36 40 27 36 1440 27 36 27 1440 9 1440t t t t t t tsdot minus = sdot rArr sdot minus = sdot rArr sdot minus sdot = rArr sdot = rArr

9 91440 160t trArr sdot = rArr =

Za obradu jednog detalja sada je potrebno

40 160 40 120t minus = minus =

minuta (ili 2 sata)

Vježba 138

Poslije obnove neka tvornica troši za obradu jednog detalja 40 minuta manje nego prije U

tvornici se sada 72 detalja obradi za isto vrijeme za koje se prije obradilo 54 Koliko je vremena sada

potrebno za obradu jednog detalja

Rezultat 2 h

Zadatak 139 (Vedran srednja škola)

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja vode

Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se put iz

druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri posljednjem

prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj posudi Na

kraju je u svakoj posudi bilo po 160 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda na

početku

Rješenje 139 Ponovimo

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Neka je u početku u prvoj posudi bilo x litara a u drugoj y litara vode

Kod prvog prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima

Nakon prvog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi x yminus

bull u drugoj posudi 2 y y y+ = sdot

Kod drugog prelijevanja iz druge se posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u

prvoj posudi

Nakon drugog prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( ) ( ) 2 2x y x y x y x y x yminus + minus = minus + minus = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

19

( )2 2 3 y x y y x y x ysdot minus minus = sdot minus + = minus + sdot

Kod trećeg prelijevanja iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi

Nakon trećeg prelijevanja vode bit će

bull u prvoj posudi

( )2 2 3 2 2 3 3 5x y x y x y x y x ysdot minus sdot minus minus + sdot = sdot minus sdot + minus sdot = sdot minus sdot

bull u drugoj posudi

( )3 3 3 3 2 6 x y x y x y x y x yminus + sdot + minus + sdot = minus + sdot minus + sdot = minus sdot + sdot

Pomoću tablice to izgleda ovako

Prva posuda Druga posuda

Početno stanje x y

Prvo prelijevanje

x yminus

2y y y+ = sdot

Drugo prelijevanje ( )2 x ysdot minus ( )2 y x ysdot minus minus

Treće prelijevanje

( ) ( )( )2 2x y y x ysdot minus minus sdot minus minus =

( )2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot minus + =

2 2 2x y y x y= sdot minus sdot minus sdot + minus =

3 5x y= sdot minus sdot

( )( )2 2 y x ysdot sdot minus minus =

( )2 2 y x y= sdot sdot minus + =

4 2 2y x y= sdot minus sdot + sdot =

2 6x ysdot= minus + sdot

Budući da je na kraju prelijevanja u svakoj posudi bilo 160 litara vode dobije se sustav od dvije

linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice

3 5 160 3metoda suprotnih 2

koeficijenat

5 160 6 10 320

2 6 160 2 6 160 6 18 480a 3

x y x y x y

x y x y x y

sdot minus sdot = sdot minus sdot = sdot minus sdot =rArr

sdotrArr rArr rArr

minus sdot + sdot = minus sdot + sdot = minus sdot + sdotsdot =

8 800 8 8 00 10 8 0y y yrArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo x

3 5 1603 5 100 160 3 500 160 3 160 500

100

x yx x x

y

sdot minus sdot =rArr sdot minus sdot = rArr sdot minus = rArr sdot = + rArr

=

3 660 3 6 60 22 3 0x x xrArr sdot = rArr sdot = rArr =

U prvoj posudi bilo je 220 litara vode a u drugoj 100 litara

Vježba 139

U svakoj od dviju posuda nalaze se određene količine vode Izvršena su tri prelijevanja

vode Prvi se put iz prve posude prelije u drugu onoliko vode koliko u drugoj već ima vode Drugi se

put iz druge posude prelije u prvu onoliko vode koliko je u tom trenutku ima u prvoj posudi Pri

posljednjem prelijevanju iz prve se posude prelije u drugu onoliko vode koliko je već ima u drugoj

posudi Na kraju je u svakoj posudi bilo po 320 litara vode Koliko je vode bilo u svakoj od tih posuda

na početku

Rezultat U prvoj posudi bilo je 440 litara vode a u drugoj 200 litara

Zadatak 140 (Ana gimnazija)

Vlak prolazi kroz tunel dug 220 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 19 sekundi Na kraju 42 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 1 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

20

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rješenje 140 Ponovimo

1 0 100km m a b b a= = rArr =

s v t put brzina vrijeme= sdot harr = sdot

19 s

d 220 m

1000 - d

42 s

d

1000

Zbog jednostavnosti računanja sve duljine izrazimo u metrima Neka je v brzina vlaka a d njegova

duljina Za vrijeme od 19 sekundi vlak je brzinom v prešao put

19 vsdot

koji je jednak zbroju duljine tunela i duljine vlaka

220 d+

pa zato vrijedi jednadžba

19 220 v dsdot = +

Za daljnje 42 sekunde vlak je brzinom v prešao put

42 vsdot

koji iznosi 1 km (1000 m) umanjen za duljinu vlaka pa vrijedi jednadžba

42 1000 v dsdot = minus

Iz sustava jednadžbi dobije se v i d

metoda suprotnih 61

koeficijenata

19 22061 1220 61 1220 20

42 1000

v dv v v

v d

sdot = +rArr rArr sdot = rArr sdot = rArr =

sdot = minus

Računamo d

19 22019 20 220 380 220 220 380 380 220 160

20

v dd d d d d

v

sdot = +rArr sdot = + rArr = + rArr + = rArr = minus rArr =

=

Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m

Vježba 140

Vlak prolazi kroz tunel dug 440 m Od trenutka u kojem lokomotiva upravo ulazi u tunel do

trenutka kada je posljednji vagon izašao iz tunela prošlo je 38 sekundi Na kraju 84 sekunde

lokomotiva je bila udaljena 2 km od kraja tunela Cijelo se vrijeme vlak gibao stalnom brzinom

Izračunajte brzinu i duljinu vlaka

Rezultat Brzina vlaka je 20 ms a duljina vlaka je 160 m