Zasnivanje skupova N,Z,Q,R,C1. Dokazite sljedece tvrdnje pomocu matematicke indukcije:

(a)n∑

k=1

1

(2k − 1)(2k + 1)=

n

2n+ 1

(b)n∑

k=1

k(k + 1)(k + 2) =n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

4

(c)n∑

k=1

1√k≥ 1√

n

(d) (1 + h)n ≥ 1 + hn,

gdje su n ∈ N i h > −1.

2. Nadite gresku u sljedecem dokazu. Pokazimo matematickom indukcijom da su usvakom konacnom skupu svi elementi jednaki.

(i) Baza indukcije: ako se skup sastoji samo od jednog elementa, tada tvrdnjaocito vrijedi.

(ii) Korak indukcije: pretpostavimo da su u svakom skupu od n elementa svielementi jednaki. Uzmimo sada proizvoljni skup koji sadrzi n+ 1 elemenata.Ako odaberemo proizvoljnih n elemenata, tada su prema pretpostavci induk-cije oni jednaki. Preostali element sada zamijenimo sa proizvoljnim elemen-tom iz odabranih, prema pretpostavci indukcije tada je on jednak preostalimelementima iz grupe. Slijedi da svi skupovi od n+ 1 elemenata imaju jednakeelemente.

Prema principu matematicke indukcije slijedi da se svi konacni skupovi sastoje odjednakih elemenata!

3. Na skupu N × N definirajmo relaciju ∼ sa (n,m) ∼ (p, q) ako je n + q = m + p.Pokazite da je ∼ relacija ekvivalencije. Objasnite zasto dobivenu particiju na N×Nmozemo poistovjetiti sa skupom cijelih brojeva Z.

4. Dokazite da√

2 +√

3 /∈ Q. (Uputa: Dovoljno je pokazati da√

6 nije racionalanbroj.)

5. Pokazite da postoji realan broj x takav da je x2 = 2.Uputa:

(i) Definirajte skup S = {x ∈ R : x2 < 2}. Pokazite da je skup S ogranicen idefinirajte x = supS;

(ii) pokazite da ako je x2 < 2 da x nije gornja meda;

(iii) pokazite da ako je x2 > 2 da x nije najmanja donja meda.

U (ii) i (iii) dodajte ili oduzmite 1n

za dovoljno veliki n i iskoristite Arhimedovaksiom kako biste dobili kontradikciju.

6. Odredite (ako postoje) infimume i supremume skupova:

(a)

{nx2 − 4nx+ 2

n: n ∈ N, x ∈ 〈0, 3]

};

(b)

{n+ 1

2n· 3m+ 2

m: n,m ∈ N

};

(c)

{n−√n

n+ 1· m

2 + 1

3m2: n,m ∈ N

};

(d)

{n

3n+ 2· (2 + cos (mπ)) : n,m ∈ N

}7. Pokazite da za proizvoljne podskupoveA,B skupa realnih brojeva R koji su omedeni

odozdo vrijedi:

(a) inf (A+B) = inf A+ inf B;

(b) inf (A ∪B) = min{inf A, inf B};(c) inf (A ·B) = inf A · inf B (uz inf A, inf B ≥ 0).

8. Neka je dan skup A ⊂ R koji je omeden odozdo, definirajmo skup B = {b :b je donja meda od A}. Pokazite da je supB = inf A.

9. Nadite primjer ogranicenog niza (an) u R cija slika {an : n ∈ N} nema ni minimumni maksimum.