Lech Kujawski*

Zastosowanie danych o różnej częstotliwości w prognozowaniu

makroekonomicznym

Wstęp Dostępność on-line do obszernych baz danych makroekonomicznych rodzi naturalną

chęć wykorzystania zawartych w niej danych. W typowych modelach prognostycznych typu

ARIMA wykorzystuje się pojedynczy szereg czasowy, w modelach VAR z reguły

wykorzystuje się co najwyżej kilka zmiennych. Jedną z technik umożliwiających jednoczesne

korzystanie z informacji pochodzącej z kilkudziesięciu czy nawet kilkuset zmiennych jest

opracowane i spopularyzowane przez J. Stocka, M. Watsona [Stock, Watson, 2002]

modelowanie i prognozowanie za pomocą dynamicznych modeli czynnikowych (DFM).

Możliwość jednoczesnego uwzględnienia znacznej liczby zmiennych (w literaturze notuje się

przypadki jednoczesnego wykorzystania kilkuset zmiennych [Forni i inni, 2005]) jest

niewątpliwe ogromną zaletą modeli klasy DFM, tłumaczącą rosnącą popularność tego typu

modeli, przejawiającą się w rosnącej liczbie publikacji i badań z wykorzystaniem

wspomnianego narzędzia [Artis i inni, 2003; Schneider, Spitzer, 2004; Boivin, Ng, 2006].

Jednakże w każdym z przypadków modele DFM (jak i ARIMA, VAR) konstruowane

i estymowane są na podstawie danych o jednolitej częstotliwości1; w zastosowaniach

makroekonomicznych z reguły miesięcznych lub kwartalnych.

Badacz zajmujący się analizą makroekonomiczną w zasadzie „skazany” jest na

posługiwanie się szeregami czasowymi o niskiej częstotliwości. Do wyjątków zaliczyć należy

próby szacowania np. produktu krajowego brutto o częstotliwościach szeregów PKB

wyższych niż roczne czy kwartalne [Chow, Lin, 1971] lub modelowania kwartalnego PKB

przy użyciu danych o wyższych częstotliwościach [Miller, Chin, 1996; Marcellino i inni,

2006].

Szacowanie PKB (również innych zmiennych makroekonomicznych)

o częstotliwościach wyższych niż kwartalne można zaliczyć do technik interpolacji, nie będą

one przedmiotem zainteresowania w niniejszej publikacji. Uwaga zostanie skupiona na

rodzaju regresji, w której zmienna objaśniana obserwowalna jest w postaci szeregu

czasowego niskiej częstotliwości (kwartalnej), natomiast regresory dostępne są,

i bezpośrednio w regresji wykorzystane, zarówno w postaci szeregów danych kwartalnych,

jak i danych o częstotliwości wyższej, miesięcznej.

Jednym z narzędzi ekonometrycznych pozwalającym łączyć w jednym modelu dane

o zróżnicowanej częstotliwości jest regresja oznaczona skrótem MIDAS (Mixed Data

Sampling) [Ghysels i inni, 2004 a; 2004 b]. W zastosowaniach makroekonomicznych i

dodatkowo prognostycznych jednoczesne użycie w modelu zmiennych niskiej i wysokiej

częstotliwości niesie ze sobą przynajmniej dwie korzyści w porównaniu do modeli

tradycyjnych: 1) brak utraty informacji spowodowanej agregacją zmiennych o częstotliwości

* Dr, Katedra Ekonometrii, Wydział Zarządzania, Uniwersytet Gdański,

mkujawski@wzr.pl 1 [Stock, Watson, 2002, 2005] do modelowania np. kwartalnego PKB używają zmiennych o częstotliwości

miesięcznej, jednakże zmienne miesięczne, przed wprowadzeniem do modelu, poddawane są procedurom

agregacji do częstotliwości kwartalnej.

wysokiej; 2) możliwość śródokresowej korekty prognozy wraz z napływem informacji

pochodzącej z szeregu (szeregów) o częstotliwości wysokiej.

Druga z wymienionych przesłanek wydaje się szczególne atrakcyjna nie tylko w

odniesieniu do zastosowań makroekonomicznych, lecz wszędzie tam, gdzie występują i

znaczenie mają dane o wysokiej i bardzo wysokiej częstotliwości, czyli w praktyce na

rynkach finansowych, z których model MIDAS się [Chen, Ghysels, 2009; Andreou i inni,

2010].

Wymienione zalety regresji MIDAS są na tyle ważne, że celowe wydaje się

empiryczne sprawdzenie jakości prognoz makroekonomicznych uzyskiwanych na

podstawie tychże modeli i porównanie ich z prognozami uzyskiwanymi z „typowych”

modeli (szeregów czasowych) stosowanych w prognozowaniu makroekonomicznym.

Celem publikacji jest empiryczna weryfikacja tezy: bezpośrednie (tj. bez agregacji)

zastosowanie w modelu zmiennych o wysokiej częstotliwości poprawia dopasowanie

prognoz makroekonomicznych.

W celu weryfikacji tezy (na podstawie danych czasu rzeczywistego) oszacowane

zostały modele MIDAS, ARIMA, DFM i VAR produktu krajowego brutto w USA. Następnie

dokonano porównania krótkookresowych prognoz PKB uzyskanych na podstawie

wymienionych modeli. Porównanie jakości prognoz i testowanie ich identyczności pozwoliło

na sformułowanie wniosków odnoszących się do weryfikowanej tezy.

W przypadku regresji MIDAS zaproponowana została ponadto modyfikacja

umożliwiająca – na wzór modeli DFM – jednoczesne wykorzystanie wielu danych z

obszernych baz danych makroekonomicznych. Natomiast dla modeli DFM zaproponowana

została modyfikacja oryginalnej [Stock, Watson, 2002] procedury doboru modelu

prognostycznego.

Artykuł podzielony został na trzy zasadnicze części. Pierwsza część (sposób badania)

zawiera opisy ogólnych modeli MIDAS i DFM, sposobów prognozowania na ich podstawie

oraz wyjaśnia istotę zaproponowanych przez autora modyfikacji. Część druga (dane)

zawiera opis wykorzystanych w badaniu danych czasu rzeczywistego, ponadto przybliża

istotę i sens prognozowania na podstawie danych czasu rzeczywistego. W trzeciej części

(wyniki) przedstawiono wyniki oszacowań modeli i prognoz, porównań jakości tych

ostatnich, oraz sformułowano wnioski odnoszące się do weryfikowanej tezy.

1. Sposób badania Jak wspomniano we wstępie, badanie (porównanie prognoz) przeprowadzone

zostanie na podstawie prognoz pochodzących z czterech typów modeli. Ponieważ modele

ARIMA i VAR należą do „kanonu” modelowania makroekonomicznego, nie będą

przedmiotem opisu. Z uwagi na fakt niewielkich zmian zaproponowanych przez autora

uwaga zostanie skupiona na modelach klasy MIDAS i DFM.

Podstawowy jednorównaniowy model MIDAS o horyzoncie prognozy h=1 można

zapisać następująco [Clemens, Galvao, 2006]:

mt

mt

mt xLBy 1

/110 );( (1)

mmst

mt

ms xxL /11/

(2)

K

k

mkm LkbLB1

/)1(/1 );();( (3)

K

k

kk

kkkb

1

221

221

)exp(

)exp();(

(4)

Równanie (1) definiuje model MIDAS, w równaniu (2) zdefiniowano operator

opóźnienia zmiennych wysokiej częstotliwości, równanie (3) tłumaczy jak na potrzeby

modelu MIDAS rozumiany jest wielomian skalarny względem operatora opóźnień

zmiennych wysokiej częstotliwości, równanie (4) wskazuje na wykładniczy (zgodny z

metodą S. Almon) schemat zmienności parametrów przy zmiennych wysokiej częstotliwości

z rozłożonymi opóźnieniami.

Ponadto: indeks t jest nazywany indeksem podstawowym, tj. indeksem zmiennych

niskiej częstotliwości (w przypadku niniejszego badania jest to indeks zmiennych

kwartalnych); m jest stałą określającą liczbę obserwacji wysokiej częstotliwości w

podstawowej jednostce czasu niskiej częstotliwości (na potrzeby tego badania m=3, trzy

miesiące w kwartale), nie jest to zatem oznaczenie wykładnika potęgi stopnia m; K

determinuje stopień rozłożonych opóźnień szeregu zmiennej o częstotliwości wysokiej.

Przykładowo, przyjmując m=3 i K=12, model MIDAS można zapisać:

333/24

33/11

3110 ]);12(...);2();1([ ttttt xbxbxby (1a)

Jeśli przyjmie się, że indeks t identyfikuje obserwację, np. z pierwszego kwartału roku 2013

(2013q1), wówczas 31tx jest obserwacją dokonaną na zmiennej o częstotliwości miesięcznej

2012m12, 33/11tx jest obserwacją z okresu 2012m11, 3

3/24tx z okresu 2012m01.

Równanie (1) wskazuje postać modelu pozwalającego formułować prognozy przy

założeniu horyzontu prognozy h=1. MIDAS dla ogólnego h (h≠1) zdefiniowany został

następująco:

mt

mht

mt xLBy );( /1

10 (5)

Równanie (5) wskazuje na sposób formułowania prognoz kwartalnych na podstawie

tylko i wyłącznie opóźnionych w czasie obserwacji miesięcznych. Zdaniem autora

najciekawszą wersją prostego modelu MIDAS jest ta, która pozwala formułować prognozy

kwartalne na podstawie danych miesięcznych dostępnych w tymże kwartale; odpowiedni

model przybiera wówczas postać:

mt

mt

mt xLBy 3/2

/110 );( (6)

Horyzont prognozy ustalony jest wówczas na h=2/3, czyli wskazuje na dostępność danych

pochodzących z pierwszego miesiąca danego kwartału2.

W prezentowanym badaniu zaproponowany i użyty został następujący model

MIDAS3:

mt

l ggtig

j

mtjj

mi

i

mtii

mit wzLBxLBy

4

0

4

1lg,

4

01,

/14

03/2,

/10 );();( (7)

W porównaniu do modelu podstawowego pozwala on na: 1) uwzględnienie do

czterech zmiennych (i=0,1,..,4) miesięcznych pochodzących z pierwszego miesiąca danego

kwartału; 2) uwzględnienie do czterech zmiennych miesięcznych (j=0,1,..,4) pochodzących z

okresów poprzedzających; 3) uwzględnienie do czterech opóźnionych zmiennych (l=0,1,..,4)

o częstotliwości kwartalnej, o maksymalnym stopniu opóźnienia wynoszącym 4 (g=1,2,3,4).

Stosując model (7), możliwe jest zatem wykorzystanie danych miesięcznych

odnoszących się do bieżącego kwartału oraz opóźnionych w czasie danych miesięcznych i

2 Podobnie h=1/3 wskazuje na dostępność danych pochodzących z dwóch pierwszych miesięcy danego kwartału. 3 De facto jest to połączenie modelu MIDAS i DL.

kwartalnych. Ograniczenia nałożone na maksymalne liczby poszczególnych zmiennych i

stopień rozłożonych opóźnień zmiennych kwartalnych przyjęte zostały arbitralnie, tak by

zachowana była wysoka liczba stopni swobody pozwalająca wiarygodnie testować

własności struktury stochastycznej modeli4.

W literaturze wykazano [Ghyseles i inni, 2004 a], że przy typowych założeniach

odnoszących się do składnika zakłócającego i zmiennych modelu, estymator nieliniowej

MNK jest co najmniej zgodny. Tenże estymator zastosowano na potrzeby niniejszego

badania.

Podstawowym modelem DFM zaproponowanym przez J. Stocka, M. Watsona [Stock,

Watson, 2002] jest:

ththhthht yLFLy )()( (8)

gdzie: yt jest zmienną będącą przedmiotem modelowania (prognozowania); tF jest macierzą

czynników (w praktyce, uzyskaną metodą głównych składowych) oszacowaną na podstawie

dużego zbioru zmiennych makroekonomicznych mających potencjalny wpływ na

kształtowanie się zmiennej prognozowanej, h wyznacza horyzont prognozy. Pozostałe

elementy modelu to parametry strukturalne i składnik zakłócający spełniające typowe

założenia.

Zakładając skończony charakter rozkładów opóźnień, oszacowaną wersją modelu

służącą do wyznaczania prognoz jest:

hthhthht yLFLy )(ˆ)(ˆˆ (9)

Oryginalna procedura Stocka i Watsona (SW) wyboru optymalnego modelu zakłada

wykorzystanie kryteriów pojemności informacyjnej (BIC) do ustalenia rzędów procesu AR

(proces AR reprezentowany przez hth yL )(̂ ) i rzędu rozłożonych opóźnień DL (proces DL

reprezentowany przez hth FL )(̂ ). Wybrawszy model postaci (8), co przejawia się przez

ustalenie rzędów procesów AR, DL i liczby czynników F, parametry modelu (8) szacowane5

są osobno dla każdego horyzontu prognozy h, a następnie, stosując model (9), liczone są h-

okresowe prognozy. Prognoza dla h=1,2,…,max(h) powstaje więc na podstawie modelu (9) o

parametrach szacowanych specyficznie dla danego h, oraz ustalonym rzędzie AR, DL i raz

ustalonej liczbie czynników F.

W toku badań empirycznych autor stwierdził, że faktycznie nie istnieje „najlepszy

model” postaci (8), który jednakowo efektywnie dostarczałby prognoz dla różnych

horyzontów prognozy h. Modele prognoz krótkookresowych (h=1,2), charakteryzowały się

niższym rzędem procesu AR niż modele prognoz średniookresowych (h=3,4), tendencję tę

naśladował rząd procesu DL.

Zaproponowana została modyfikacja procedury SW polegająca na innej strategii

doboru modeli prognostycznych. Dwustopniowe podejście obejmuje: 1) oszacowanie

wszystkich możliwych modeli DFM dla założonych wartości rzędów AR, DL i liczby

czynników F (rzędy i liczby zmieniają się od 0 do górnych arbitralnie ustalonych granic); 2)

na podstawie kryterium BIC wybór modelu, tj. de facto wybór rzędów AR, DL i liczby

czynników F dla danego horyzontu prognozy h.

4 Więcej na temat w części dotyczącej zastosowanych w badaniu danych. 5 W literaturze przedmiotu [Stock, Watson, 1999] wykazano, że przy spełnieniu typowych warunków estymator

MNK jest nieobciążony i najefektywniejszy; ten właśnie estymator zastosowano w niniejszym badaniu. Stock i

Watson wykazali ponadto, iż same prognozy są asymptotycznie efektywne w tym sensie, że błąd MSE zmierza

do optymalnego MSE, o ile N,T→ ∞.

Oznacza to, że dopuszcza się zmianę rzędów wymienionych procesów wraz ze

zmianą horyzontu prognozy h. Zmienności rzędów AR i DL oraz zmian liczby czynników F

nie uwzględniała oryginalna procedura SW. Kosztem ponoszonym przy stosowaniu opisanej

procedury wyboru modelu prognostycznego jest konieczność wykonania dużo większej

liczby oszacowań modeli DFM, procedura oryginalna SW była w tym względzie

oszczędniejsza. W zamyśle autora modyfikacja powinna doprowadzić do polepszenia

dopasowania modeli stosowanych przy prognozowaniu bezpośrednim6, z uwagi na

specyfikę wpływ modyfikacji na prognozowanie iteracyjne7 będzie raczej znikomy i

procedura zmodyfikowana nie była wówczas stosowana.

2. Dane Dane użyte w badaniu pochodzą z Banku Rezerwy Federalnej w Filadelfii (RTDS-Real

Time Data Set) [http://www.philadelphiafed.org…]. Z bazy wybrano 39 zmiennych o

częstotliwości kwartalnej, obserwacje pochodzą z okresu 1995q1–2012q4, wśród nich

zmienna prognozowana, tj. annualizowane PKB w USA. W bazie dostępne są również

zmienne miesięczne. Zmienne o tej częstotliwości podzielone zostały na dwie kategorie.

Pierwsza grupa objęła 20 zmiennych miesięcznych pochodzących z okresu 1995m1–

2012m10, dla tych danych pod koniec każdego kwartału dostępna jest pierwsza obserwacja

miesięczna dotycząca tegoż kwartału. Druga grupa objęła 7 zmiennych pochodzących z

okresu 1995m1–2012m9, są to zmienne, dla których nie dysponujemy obserwacjami

miesięcznymi pochodzącymi z najnowszego kwartału8. Należy zaznaczyć, że dane

pochodzące z bazy RTDS są danymi czasu rzeczywistego.

Danymi typu real-time określa się w literaturze zbiór danych (o charakterze

ekonomicznym) zawierających szeregi czasowe obserwacji o zróżnicowanej w czasie

wiarygodności informacji. Dane wczesne mogą podlegać okresowym rewizjom

uwzględniającym niedostępne uprzednio informacje, rewizjom dokonywanym na skutek

doskonalenia metod pozyskiwania danych statystycznych, a często na skutek obu

wymienionych czynników. Dokonanie rewizji jest zatem związane z uwzględnieniem

dodatkowej niedostępnej wcześniej informacji lub zastosowaniem innej technologii

przetwarzania danych, w zamyśle prowadzącej do polepszenia jakości danych. Jest

oczywiste, że najnowsze dostępne dane nie mogą uwzględniać owej dodatkowej informacji,

gdyż ta dostępna będzie dopiero w przyszłości.

Zwyczajowo struktura danych czasu rzeczywistego pojedynczego szeregu czasowego

ma formę macierzy; każdej kolumnie odpowiadają dane pochodzące z innego momentu

publikacji, każdemu wierszowi odpowiada data określająca, jakiego okresu dotyczy

informacja. Stąd, odczytując wartości w określonym wierszu, użytkownik może sprawdzić,

jak zmieniały się oceny zmiennej będącej przedmiotem zainteresowania otrzymywane w

kolejnych momentach publikacji. Natomiast każda kolejna kolumna odzwierciedla najlepszą

(najnowszą) wiedzę o kształtowaniu się zmiennej dostępną użytkownikom w danym

momencie. Elementy diagonalne (główna przekątna) dostarczają informacji o wartościach

6 Ang. multi-step, direct, tj. prognozowaniu z okresu t na t+h. 7 Ang. iterated forecast, tj. krokowe prognozowanie za każdym razem na okres t+1 aż do t+h. 8 Wszystkie dane użyte w badaniu twórcy bazy RTDS pozbawili cech sezonowości. Przed modelowaniem

zmienne zostały doprowadzone do stacjonarności. Stopień integracji zmiennych nie był testowany,

przekształcenia sprowadzające do stacjonarności (różnicowanie, różnicowanie logarytmów itp.) konieczne do

doprowadzenia określonej zmiennej do stacjonarności zaczerpnięto z pracy [Stock, Watson, 2002].

zmiennej podawanych jako pierwsze publikacje, czyli publikacje bez jakichkolwiek rewizji

[http://www.philadelphiafed.org].

W literaturze przedmiotu [Clemens, Galvao, 2010; Koenig i inni, 2003] wyróżnia się

przynajmniej dwie ważne przyczyny rewizji danych:

1) hipotezę błędu pomiaru (noise hypothesis),

2) hipotezę prognoz efektywnych (news hypothesis).

Niech sty oznacza ocenę zmiennej odnoszącą się do okresu t dokonaną w okresie s

(t=1,…,T; s≥t). Ocena sty składa się z prawdziwej wartości zmiennej, oznaczonej ty~ , zakłóceń

st i innowacji s

tv . Zatem:

st

stt

st vyy ~ (10)

Rewizje uznaje się za zgodne z hipotezą prognoz efektywnych, jeśli pierwotnie

dokonane oceny zmiennej są optymalnymi prognozami bieżących ocen, czyli jeśli innowacje

nie są skorelowane z bieżącymi ocenami, co zachodzi jeśli 0),cov( st

st yv .

Korzystając z powyższych oznaczeń, rewizje uznaje się za zgodne z hipotezą błędu

pomiaru jeśli 0)~,cov( tst y .

Formuła (10) służy de facto do wyrażenia rewizji mieszanych; wymienione hipotezy

błędu pomiaru i prognoz efektywnych w swoich „czystych” postaciach zakładają, że rewizją

jest odpowiednio: stt

st yy ~ , lub s

ttst vyy ~ . W literaturze przedmiotu nie znajduje się

przekonujących przykładów na jednoznaczne poparcie którejkolwiek z hipotez. C.

Richardson [2003], J. Faust, J. Rogers, J. Wright [2005] twierdzą, że rachunki narodowe

Wielkiej Brytanii zachowują się zgodnie z hipotezą prognoz efektywnych. N.G. Mankiw,

M.D. Shapiro [1986], G. Kapetanios, T. Yates [2004] wskazują, że rachunki narodowe

amerykańskiego i brytyjskiego PNB zachowują się zgodnie z hipotezą błędu pomiaru.

Ustalenie (lub aprioryczne założenie), czy rewizje zachowują się zgodnie z hipotezą

błędu pomiaru, hipotezą prognoz efektywnych, czy wykazują mieszany charakter ma

kluczowe znaczenie dla strategii konstrukcji modelu, na podstawie którego badacz zamierza

formułować prognozy. W przypadku hipotezy prognoz efektywnych rewizje są

nieprognozowalne. W przypadku hipotezy błędu pomiaru można podjąć próbę estymacji

błędu na podstawie oceny obciążenia sty , ewentualnie oszacować błąd, korzystając z

dodatkowych danych [Chamberlin, 2007, 2010]. Jeśli uwzględni się wpływ czynników

mieszanych, tj. błędów i innowacji, można, jak wykazali [Jacobs, van Norden, 2011] zapisać

model (10) uwzględniający całą historię rewizji w postaci modelu przestrzeni stanów i

stosując filtr Kalmana próbować ocenić czynniki nieobserwowalne. Prognozowanie rewizji

ma jednak zawsze charakter przeniesienia przeszłych rewizji i ewentualnych związków

rewizji z danymi będącymi przedmiotem zainteresowania na rewizje faktycznie jeszcze

niedokonane. Oczywistym celem takiego działania jest zmiana jakości danych. Efektywność

prognozowania rewizji jest jednak co najmniej problematyczna w świetle wyników badań

[Patterson, 2002; Brown i inni, 2010]. Wymienieni autorzy, korzystając z bardzo długich

szeregów czasowych, wykazali, że rewizje są niestabilne w czasie. W badaniach wykazano

istnienie wielu trendów stochastycznych rewizji zależnych od daty publikacji szeregu

czasowego. W konsekwencji trzeba raczej skłonić się ku stwierdzeniu, że różne rewizje

(pochodzące z różnych okresów) nie podlegają wspólnemu wzorcowi zmienności, a zatem

próby zastosowania prognoz rewizji mogą pogorszyć zamiast polepszyć jakość danych, a

tym samym pogorszyć jakość prognoz.

W literaturze przedmiotu [Stark, Croushore, 2002; Croushore, 2010] wymienia się

trzy możliwe sposoby wpływania rewizji na jakość prognoz:

1. Bezpośrednio, poprzez zmianę wartości zmiennej (zmiennych) będącej przedmiotem

zainteresowania, wówczas ten sam model w różnych okresach dostarcza prognoz

różniących się precyzją.

2. Pośrednio, prowadząc do zmiany oszacowań parametrów strukturalnych modelu.

3. Pośrednio, prowadząc do zmiany specyfikacji modelu polegającej na zmianie wyboru

zmiennych objaśniających lub ich (zmiennych objaśniających) struktury opóźnień.

Wspomniani autorzy sugerują jednocześnie, że błędem jest nieposłużenie się danymi

czasu rzeczywistego i użycie do estymacji modelu jedynie najnowszych dostępnych danych.

Takie postępowanie stawia badacza w uprzywilejowanej pozycji, wobec osób posługujących

się danymi czasu rzeczywistego. Standardowy sposób postępowania z danymi najnowszymi

polega bowiem na skróceniu próbki, tak by najnowsze dostępne dane użyć do weryfikacji

własności, poprawności i efektywności prognoz. Model użyty do sformułowania prognoz

szacowany jest zatem na podstawie danych, które podlegały wcześniejszym rewizjom, co

potencjalnie umożliwia skonstruowanie lepszego narzędzia niż mogliby to uczynić badacze

formułujący modele w przeszłości, a niedysponujący danymi po rewizjach. Mechanizm ten

jest doskonale znany, chociażby w postaci porównania błędów RMSE (średnich błędów

prognoz ex post) modeli formułowanych w przeszłości i budowanych współcześnie. Z reguły

te drugie charakteryzują się niższymi błędami, wskazując jak precyzyjnie w chwili obecnej

jesteśmy w stanie prognozować przeszłość, jednak jak uczy doświadczenie, nie wykazując

nadzwyczajnych własności do formułowania precyzyjnych prognoz ex ante.

Dostęp do bazy RTDS wykorzystanej w niniejszym badaniu oferowany jest przez

Banku Rezerwy Federalnej nieodpłatnie, to z kolei ograniczyło pole badawcze do

amerykańskiego (a nie np. krajowego) PKB. Jak zaznaczono, w bazie RTDS dostępne są dane

czasu rzeczywistego, co wobec uwag zawartych w niniejszym rozdziale ma zdaniem autora

kluczowe znaczenie dla sensowności porównań prognoz sporządzonych na potrzeby

niniejszego badania.

3. Wyniki

Badanie zostało zaplanowane jako symulacja czterech sesji prognostycznych (stąd

dane czasu rzeczywistego pozwalające symulować sesje prognoz ex ante) obejmujących

okresy: 2011q2–2012q1, 2011q3–2012q2, 2011q4–2012q3, 2012q1–2012q4. Jak można

zaobserwować, w przypadku każdej sesji założono prognozy z wyprzedzeniem czasowym

h=1,2,3,4.

Procedura prognozowania (w każdej z symulowanych sesji) na podstawie modelu

MIDAS obejmowała:

1. Oszacowanie wszystkich możliwych modeli dla założonych i,j,l=0,1,…,4, g=1,2,3,4, m=3,

k=12 lub k=24.

2. Testowanie autokorelacji składników zakłócających modeli i wybór do dalszego

badania tych spośród nich, dla których nie znaleziono podstaw do odrzucenia hipotezy

o braku autokorelacji (testowano autokorelację do rzędu 4 włącznie).

3. Na podstawie kryterium BIC wybór „najlepszego” modelu [por. procedura wyboru

najlepszego modelu Stock, Watson, 2006].

4. Na podstawie modelu najlepszego, oszacowanie prognoz dla h=1,2,3,4.

Analogicznie przebiegały symulacje sesji prognostycznych dla pozostałych klas

modeli.

W przypadku modeli DFM w punkcie pierwszym założono maksymalnie cztery

procesy DL, każdy z nich maksymalnie czwartego rzędu, ponadto maksymalnie cztery

procesy AR, każdy z nich maksymalnie czwartego rzędu.

Wykorzystując modele ARIMA(p,d,q), założono maksymalne rzędy p=6 i q=6,

podobnie jak dla modeli wcześniejszych szacowano każdą możliwą kombinację.

W modelu VAR wykorzystano zmienne zaproponowane w wielorównaniowym modelu

gospodarki amerykańskiej FAIRMODEL [Fair, 2013], w skład wektora zmiennych weszły:

PKB, zyski przed opodatkowaniem, wartość produkcji sektora cywilnego i sektora

militarnego, liczba przepracowanych roboczogodzin w tychże sektorach. W przypadku

modelu VAR założono maksymalny rząd opóźnienia wynoszący 4.

Po wyznaczeniu prognoz, liczone były błędy ex post i miary RMSE (por. tablica 1).

Minimalny błąd RMSE wskazywał prognozy uznane za najlepsze w danej sesji. Następnie

parami testowano identyczność prognoz najlepszych z prognozami pozostałymi tejże sesji;

posługiwano się testem Diebolda-Mariano z poprawką małopróbkową [Diebold, 2012].

Procedury estymacji, prognozowania, porównania jakości prognoz zostały napisane

samodzielnie w programie R.

Z zestawienia zawartego w tablicy 1 wynika, że w pierwszej sesji prognostycznej

najmniejszy błąd RMSE uzyskano z prognoz modelu VAR, w sesjach drugiej i trzeciej

minimalne błędy RMSE uzyskano na podstawie prognoz modelu DFM po modyfikacjach

zaproponowanych przez autora, w sesji czwartej najmniejszym błędem obarczone były

prognozy obliczone w sposób iteracyjny na podstawie modelu DFM. Zestawiając wszystkie

prognozy łącznie, najmniejszym błędem RMSE wykazały się prognozy uzyskane z modelu

VAR.

Tablica 1. Błędy RMSE z czterech sesji prognostycznych, oraz RMSE łączne

Sesja MIDAS

(k=12)

MIDAS

(k=24)

DFM

(mod)

DFM

(dir)

DFM

(iter)

ARIMA VAR

2011q2-2012q1 10.65 12.74 1.341 2.018 1.628 1.458 1.062

2011q3-2012q2 7.060 6.653 1.229 1.653 1.698 1.365 1.364

2011q4-2012q3 5.812 5.966 1.325 2.394 2.675 1.630 1.494

2012q1-2012q4 4.025 2.805 1.546 1.350 1.336 2.814 1.498

2011q2-2012q4 6.889 7.043 1.360 1.854 1.834 1.817 1.354

Skróty (mod), (dir), (iter) odnoszą się odpowiednio do metody DFM: ze zmodyfikowaną procedurą wyboru

modelu, bezpośredniej, iteracyjnej.

Źródło: Obliczenia własne.

Zestawienie z tablicy 1 pozwala na sformułowanie trzech wstępnych wniosków: 1)

modele MIDAS dostarczyły najgorzej dopasowanych prognoz; 2) modyfikacja klasycznej

procedury doboru modelu DFM zaproponowana przez autora okazała się sensowna w tym

sensie, że w trzech sesjach prognostycznych prognozy DFM(mod) okazały się lepiej

dopasowane od innych prognoz DFM, w dwóch sesjach prognozy DFM(mod) były ogólnie

najlepiej dopasowane; 3) w trakcie całego eksperymentu model VAR dostarczył przeciętnie

najlepiej dopasowane prognozy.

Tablica 1 jest prostym zestawieniem średnich błędów prognoz pozwalającym

formułować jedynie wstępne wnioski. Kolejny etap badania polegał na testowaniu

identyczności precyzji prognoz najlepszych w danej sesji z prognozami pozostałymi tejże

sesji (predictive accuracy Diebold-Mariano test). W tablicy 2 zebrano wartości statystyk oraz w

nawiasach kwadratowych empiryczne prawdopodobieństwa odrzucenia hipotezy zerowej o

identycznej dokładności prognoz.

Tablica 2. Wyniki testu Diebolda-Mariano (z poprawką małopróbkową)

Sesja MIDAS

(k=12)

MIDAS

(k=24)

DFM

(mod)

DFM

(dir)

DFM

(iter)

ARIMA VAR

2011q2-2012q1 2.271

[0.011]

1.807

[0.035]

1.732

[0.041]

1.590

[0.054]

1.103

[0.134]

1.123

[0.130] -

2011q3-2012q2 3.395

[0.000]

3.402

[0.000]] -

0.996

[0.160]

3.094

[0.000]

0.255

[0.400]

1.620

[0.052]

2011q4-2012q3 1.491

[0.049]

1.528

[0.064] -

1.716

[0.043]

3.098

[0.000]

2.302

[0.010]

1.514

[0.066]

2012q1-2012q4 1.324

[0.093]

0.772

[0.219]

0.915

[0.179]

0.056

[0.478] -

1.067

[0.143]

1.775

[0.038]

2011q2-2012q4 3.222

[0.000]

2.554

[0.005]

0.073

[0.470]

1.868

[0.031]

2.433

[0.007]

1.166

[0.121] -

Źródło: Obliczenia własne.

Wyniki testów Diebolda-Mariano (DM) zebrane w tablicy 2 pozwalają na

sformułowanie następujących wniosków (przyjęto poziom istotności 10%):

1. W pierwszej sesji prognostycznej najlepiej dopasowane prognozy pochodziły z modelu

VAR; z testu DM wynika, że ich precyzja była nieodróżnialna od precyzji prognoz

uzyskanych z modeli ARIMA i DFM(iter), pozostałe modele dostarczyły prognoz o

statystycznie gorszej precyzji.

2. W drugiej sesji najbardziej precyzyjne prognozy zostały obliczone na podstawie modelu

DFM(mod), precyzja tych prognoz była nieodróżnialna od prognoz wynikających z

modelu DFM(dir), prognozy z pozostałych modeli były mniej dokładne.

3. W trzeciej sesji prognostycznej najwyższą precyzję prognoz zapewnił model DFM(mod),

pozostałe prognozy tej sesji były statycznie istotnie mniej precyzyjne.

4. W czwartej sesji najbardziej precyzyjnych prognoz dostarczył model DFM(iter),

statystycznie gorzej dopasowane były jedynie prognozy z modeli VAR i MIDAS(k=12).

5. Łącząc wszystkie prognozy, najlepszą precyzję prognoz zapewnił model VAR, przy

czym precyzja prognoz pochodzących z modeli DFM(mod) i ARIMA okazała się

statystycznie nieodróżnialna od precyzji prognoz VAR.

Wyniki przedstawione w tablicach 1 i 2 wskazują jednoznacznie na brak poparcia dla

weryfikowanej w artykule tezy. Należy stwierdzić, że bezpośrednie (tj. bez agregacji)

zastosowanie w modelu zmiennych o wysokiej częstotliwości nie polepszyło dopasowania

prognoz makroekonomicznych przy założonym maksymalnym horyzoncie prognozy

wynoszącym h=4.

Dopasowanie prognoz modeli MIDAS okazało się najgorsze spośród wszystkich

poddanych porównaniu. Uzyskane wyniki okazały się sporym zaskoczeniem, gdyż

konstrukcja modeli MIDAS pozwalająca uwzględnić najnowszą informację miesięczną w

danym kwartale wydawała się preferować tę klasę modeli do prognozowania

makroekonomicznego przynajmniej w krótkim okresie.

W celu zbadania własności prognoz stricte krótkookresowych dokonano porównania

prognoz wszystkich czterech sesji, dla których h=1 (prognoz z jednookresowym

wyprzedzeniem). Wyniki zawarto w tablicy 3. W wierszu tablicy umieszczono: błąd RMSE,

statystykę testu Diebolda-Mariano, empiryczne prawdopodobieństwa odrzucenia hipotezy

zerowej o identycznej precyzji prognoz.

Z zestawienia zawartego w tablicy 3 wynika, iż najlepszą precyzję prognoz

krótkookresowych (na okres następny, tj. dla h=1) uzyskano w przypadku modelu

MIDAS(k=12). Wynik testu DM sugeruje, że precyzja tych prognoz jest nieodróżnialna od

precyzji prognoz krótkookresowych pochodzących z modeli MIDAS(k=24), DFM(mod),

DFM(iter) i VAR.

Tablica 3. Błędy RMSE, statystyka testu Diebolda-Mariano (z poprawką małopróbkową),

[empiryczne prawdopodobieństwo odrzucenia H0], h=1

Sesja MIDAS

(k=12)

MIDAS

(k=24)

DFM

(mod)

DFM

(dir)

DFM

(iter)

ARIMA VAR

wszystkie sesje,

h=1

0.389

-

-

0.395

0.024

[0.488]

1.208

0.949

[0.171]

2.547

1.511

[0.065]

1.614

1.075

[0.141]

2.360

3.113

[0.000]

1.241

0.977

[0.165]

Źródło: Obliczenia własne.

Rysunek 1. Zmienna prognozowana i najlepiej dopasowane prognozy krótkookresowe (h=1)

Źródło: Opracowanie własne.

Zmienną prognozowaną, prognozy dla h=1 z modelu MIDAS(k=12) oraz najbardziej

precyzyjne prognozy dla h=1 pochodzące z innych badanych modeli zobrazowano na

rysunku 1.

Z wykresu można odczytać, że w okresach 2011q3, 2011q4, 2012q1 wystąpiły tzw.

punkty zwrotne w kształtowaniu się zmiennej objaśnianej (linia czarna). W każdym

przypadku zostały one prawidłowo prognozowane na podstawie modelu MIDAS(k=12)

(linia szara ciemna), prawdopodobnie na skutek uwzględnienia najnowszej pochodzącej z

danego kwartału informacji miesięcznej. Najlepiej dopasowane prognozy pochodzące z

innych modeli (linia szara jasna) nie wykazały zdolności do prawidłowego prognozowania

punktów zwrotnych, wyższość modelu MIDAS w okresie objętym badaniem jest wyraźnie

zauważalna.

Zakończenie

Podsumowując wyniki, można stwierdzić, iż w toku badań stwierdzono najlepsze

dopasowanie prognoz stricte krótkookresowych (h=1) uzyskanych na podstawie modeli

MIDAS. Modele tej klasy dostarczyły również prognoz prawidłowo reagujących na punkty

zwrotne zmiennej prognozowanej. Przypuszcza się, że cecha ta wynika ze zdolności modelu

MIDAS do uwzględniania w prognozie najnowszej informacji pochodzącej ze zmiennej

wysokiej częstotliwości niedostępnej w innych porównywanych modelach (VAR, DFM,

ARIMA). Zauważono również znaczące pogorszenie własności prognoz pochodzących z

Zm

ian

y P

KB

[%]

2010q1

2010q2

2010q3

2010q4

2011q1

2011q2

2011q3

2011q4

2012q1

2012q2

2012q3

2012q4

-0.140

0.698

1.536

2.374

3.212

4.050 Annualizowana zmiana PKB[%], zmienna prognozowanaprognozy MIDAS(12) dla h=1inne najlepsze prognozy dla h=1

modeli MIDAS wraz ze wzrostem horyzontu prognozy w taki sposób, że dla wyprzedzenia

czterookresowego modele tej klasy dostarczają prognoz najmniej precyzyjnych spośród

wszystkich porównanych. Z badań wynika, iż należy rekomendować wykorzystanie modeli

MIDAS do prognoz typu now-casting i unikać ich stosowania w dłuższych horyzontach

prognozy. Wynik taki stanowi jednocześnie jedynie częściowe poparcie weryfikowanej tezy.

Literatura

1. Andreou E., Ghysels E., Kourtellos A. (2010), Forecasting with mixed-frequency data,

“Oxford Handbook on Economy Forecasting”, Clements M.P., Hendry D.F. (red.).

2. Artis M., Banerjee A., Marcelino M. (2003), Factor forecast for the UK, “Bacconi University

Working Paper”, Vol. 203.

3. Boivin J., Ng S. (2006), Are more data always better for factor analysis? “Journal of

Econometrics”, No. 132(1).

4. Brown G., Buccellato T., Chamberlin G., Dey-Chowdhury D., Youl R. (2010),

Understanding the quality of early estimates of Gross Domestic Product, “Economic & Labour

Market Review”, Vol. 4(6).

5. Chamberlin G. (2007), Forecasting GDP using external data sources, “Economic and Labour

Market Review”, Vol. 1, No. 8.

6. Chamberlin G. (2010), Real time data, “Economic and Labour Market Review”, Vol. 4(12).

7. Chen X., Ghysels E. (2009), News – good or bad – and its impact on predicting future volatility,

“Review of Financial Studies”.

8. Chow G., Lin A. (1971), Best linear unbiased interpolation, distribution and extrapolation of

time series by related time series, ”Review of Economics and Statistics”, No. 53.

9. Clemens M.P., Galvao A.B. (2010), Real-time Forecasting of Inflation and Output growth in

the Presence of Data Revisions, “Warwick Economic Research Papers”, No. 953.

10. Clements M.P., Galvao A.B. (2006), Macroeconomic Forecasting with Mixed Frequency Data:

Forecast of US output growth and inflation, “Warwick Economic Research Papers”, 773.

11. Croushore D. (2005), Forecasting with Real-Time Data Vintages, “University of Richmond

Working Paper”.

12. Diebold F. (2012), Comparing Predictive Accuracy, Twenty Years Later: A Personal Perspective

on the Use and Abuse of Diebold-Mariano Test, “University of Pennsylvania Working

Paper”, Vol. 7.

13. Fair R. (2013), Macroeconometric Modeling, http://fairmodel.econ.yale.edu/mmm/mm.pdf.

14. Faust J., Rogers J., Wright J. (2005), News and noise in G7 announcements, “Centre for

Economic Policy Research”, No. 12.

15. Forni M., Hallin M., Lippi M., Reichlin L. (2005), The Genaralized Dynamic Factor Model,

“Journal of the American Statistical Association”, No. 100.

16. Ghysels E., Santa-Clara P., Valkanov R. (2004 a), The MIDAS touch: Mixed Data Sampling

regression models, Chapel Hill, N.C.

17. Ghysels E., Santa-Clara P., Valkanov R. (2004 b), Predicting volatility: Getting the most out of

return data sampled at different frequencies, “Journal of Econometrics”.

18. Jacobs J., van Norden S. (2011), Modeling data revisions: Measurement error and dynamics of

“true” values, “Journal of Econometrics”, No. 161.

19. Kapetanios G., Yates T. (2004), Estimating time-variation in measurement error from data

revision; an application to forecasting in dynamic models, “Bank of England Working Papers”,

No. 238.

20. Koenig E.F., Domas S., Piger J. (2003), The use and abuse of real-time data on economic

forecasting, “The Review of Economic and Statistics”, Vol. 85(3).

21. Mankiw N.G., Shapiro M.D. (1986), News of noise. An analysis of GNP revision, “Survey of

Current Business”.

22. Marcellino M., Stock J., Watson M. (2006), A comparison of direct and iterated multistep AR

methods for forecasting macroeconomic time series, “Journal of Econometrics”, Vol. 135(1-2).

23. Miller P.J., Chin D.M. (1996), Using monthly data to improve quarterly model forecasts,

“Federal Reserve Bank Minneapolis Quarterly Review”, 20.

24. Patterson K. (2002), The data measurement process for UK GNP: stochastic trends, long memory

and unit roots, “Journal of Forecasting”, 21.

25. Richardson C. (2003), Revision analysis: a time series approach, “Economic Trends”, Vol. 12.

26. Schneider M., Spitzer M. (2004), Forecasting Austrian GDP using the generalized dynamic

factor model, “Oesterreichische Nationalbank Working Paper”, Vol. 89.

27. Stark T., Croushore D. (2002), Forecasting with a real time data set for macroeconomists,

“Journal of Macroeconomics”, Vol. 24.

28. Stock J., Watson M. (1999), Forecasting Inflation, “Journal of Monetary Economics”, Vol.

44.

29. Stock J., Watson M. (2002),.Macroeconomic Forecasting Using Diffusion Indexes, “Journal of

Business and Economic Statistic”, Vol. 20(2).

30. Stock J., Watson M. (2005), Implications of Dynamic Factor Models for VAR Analysis, “NBER

Working Papers”, 11467.

31. Stock J., Watson M. (2006), Forecasting with Many Predictors, “Handbook of Economic

Forecasting”, Vol. 1.

Streszczenie Celem badania było sprawdzenie, czy zastosowanie w modelu danych o zróżnicowanej

częstotliwości w postaci najnowszych dostępnych danych o częstotliwości miesięcznej jest w stanie

polepszyć dokładność kwartalnych prognoz wybranych kategorii makroekonomicznych. Narzędziem

badawczym były modele klasy MIDAS, DFM, ARIMA i VAR, przedmiotem porównań prognozy

wyliczone na podstawie wymienionych modeli. Badanie zaplanowane zostało jako symulacja czterech

sesji, każda o horyzoncie prognozy czterookresowym, każda dostarczająca prognoz ex ante. W tym

celu konieczne było użycie zmiennych czasu rzeczywistego, co z uwagi na ograniczony dostęp do

nieodpłatnych baz danych czasu rzeczywistego wymusiło badanie amerykańskiego PKB.

Z przeprowadzonych badań wynika, że modele klasy MIDAS, w których możliwe jest

bezpośrednie uwzględnienie najnowszych informacji miesięcznych, dostarczają bardziej precyzyjnych

prognoz PKB jedynie dla prognoz formułowanych z jednookresowym wyprzedzeniem czasowym.

Wraz ze wzrostem wyprzedzenia precyzja prognoz MIDAS maleje i jest statystycznie istotnie gorsza

od prognoz uzyskanych z modeli VAR i DFM.

Słowa kluczowe prognoza, zmienne zróżnicowanej częstotliwości, MIDAS, DFM

Mixed Frequency Data in Macroeconomic Forecasting (Summary) The aim of the study was to find out whether the use of mixed frequency data models can

improve the accuracy of quarterly forecasts of selected macroeconomic variables. The research tools

were the MIDAS, DFM, ARIMA and VAR models with quarterly forecasts as reference points. The

study used a simulation of four (ex ante) forecasting sessions. To that end, it was necessary to use

variables from the real-time database. Yet, due to the limited access to such databases, the study

focused on U.S. GDP.

The results indicate that the MIDAS class models, which directly incorporate the latest

available monthly information, provide more accurate forecasts of GDP only if the forecasts are

formulated one-step ahead. With an increase in step-ahead, precision of MIDAS forecasts decreases,

and four step-ahead forecasts are significantly worse than those obtained from the VAR and DFM

models.

Keywords data frequency, real-time forecasting, MIDAS, DFM