zavrxni ispit iz matematike 3 - university of …...ovaj test sadri 10 pitanja, na koja je potrebno...
TRANSCRIPT
Gra�evinski fakultet 19.2.2014.Univerziteta u Beogradu
ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3
Prezime i ime: Broj bodova:
Broj indeksa:
Ovaj test sadr�i 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u predvi�enom pro-storu. Svako pitanje se vrednuje odre�enim brojem poena, koji je dat pored svakogpitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne�e se vrednovati. Maksimalan broj poenana ovom testu je 50.
1. Definisati graniqnu vrednost (limes) funkcije dve promenljive. (3 poena)
2. Data je funkcija f(x, y) = xy3. Na�i po definiciji ∂f∂y(−1, 2). (4 poena)
3. Lokalni ekstremumi funkcije dve promenljive (definicije i formulacijeosnovnih teorema). (6 poena)
4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda∑∞
n=0 anxn. Dati pri-
mer stepenog reda koji konvergira: a) u svakoj taqki x ∈ R, b) samo u taqkix = 0, v) na intervalu (−1, 1). (5 poena)
5. Formulisati teoremu o diferenciranju stepenog reda. Da li se red∑∞
n=0 2nxn
mo�e diferencirati qlan po qlan na intervalu (−1, 1)? (4 poena)
6. Neka je S(x) suma Furijeovog reda funkcije f(x) =
{0, −π ≤ x ≤ 01
x+2, 0 < x ≤ π
na
intervalu [−π, π]. Qemu je jednako S(0)+S(π)? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)
7. Definisati rexenje diferencijalne jednaqine y′ = f(x, y). Da li je funkcijay = x2 opxte rexenje diferencijalne jednaqine xy′ − 2y = 0? (3 poena)
8. Definisati pojam linearne nezavisnosti funkcija i determinantu Vronskog.Formulisati teoremu koja povezuje ova dva pojma. Dati primer dve linearnozavisne i dve linearno nezavisne funkcije. (5 poena)
9. Definisati povrxinski integral druge vrste, kao i pojmove i oznake kojese pojavljuju u toj definiciji. (7 poena)
10. Grinova formula–formulacija teoreme i dokaz. (7 poena)
Gra�evinski fakultet 15.7.2014.Univerziteta u Beogradu
ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3
Prezime i ime: Broj bodova:
Broj indeksa:
Ovaj test sadr�i 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u predvi�enom pro-storu. Svako pitanje se vrednuje odre�enim brojem poena, koji je dat pored svakogpitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne�e se vrednovati. Maksimalan broj poenana ovom testu je 50.
1. Hajneova definicija graniqne vrednosti (limesa) funkcije dve promenljive.
Da li postoji lim(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2? Obrazlo�iti odgovor. (5 poena)
2. Da li je egzistencija parcijalnih izvoda funkcije f(x, y) u taqkiM dovoljanuslov za diferencijabilnost funkcije u toj taqki? Obrazlo�iti. (3 poena)
3. Formula za diferencijal n-tog reda dnz funkcije dve promenljive z = z(x, y).Izvo�enje formule za sluqaj n = 3. (5 poena)
4. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) =∑∞
n=1(−1)n−1
nxn
neprekidna sleva u taqki x = 1? (5 poena)
5. Formulisati teoremu o integraciji stepenog reda. Da li se red∑∞
n=0 4nx2n
mo�e integraliti qlan po qlan na intervalu (−1/2, 1/2)? (4 poena)
6. Neka je S(x) suma Furijeovog reda funkcije f(x) =
{0, −π ≤ x ≤ 0
ex2, 0 < x ≤ π
na
intervalu [−π, π]. Qemu je jednako S(0)+S(π)? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)
7. Linearna diferencijalna jednaqina prvog reda. Izvo�enje formule za njenoopxte rexenje. (5 poena)
8. Neka je L[y] = y′′ + p1(x)y′ + p2(x)y i neka su y1(x) i y2(x) linearno nezavisna
rexenja homogene linearne diferencijalne jednaqine L[y] = 0. Opisati postu-pak rexavanja diferencijalne jednaqine L[y] = arctg x. (3 poena)
9. Definisati povrxinski integral prve vrste, kao i pojmove i oznake koje sepojavljuju u toj definiciji. (7 poena)
10. Formula Gausa - Ostrogradskog (formulacija). Ilustrovati na primeru∫∫Sxdydz + zdxdy, gde je S spoljna strana sfere x2 + y2 + z2 = 2z. (7 poena)
Gra�evinski fakultet 29.9.2014.Univerziteta u Beogradu
ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3
Prezime i ime: Broj bodova:
Broj indeksa:
Ovaj test sadr�i 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u pred-vi�enom prostoru. Svako pitanje se vrednuje odre�enim brojem poena,koji je dat pored svakog pitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne�ese vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50.
1. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije dve promenljive. (3 poena)
2. Formulisati teoremu koja daje potreban i dovoljan uslov za diferencija-bilnost funkcije vixe promenljivih u datoj taqki. (3 poena)
3. Definisati slede�e pojmove; A: M(x0, y0) je stacionarna taqka funkcijef(x, y), B: M(x0, y0) je taqka lokalnog ekstremuma funkcije f(x, y). Da li jetaqna neka od implikacija A ⇒ B, B ⇒ A? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)
4. Formulisati teoremu o integraciji stepenog reda. Da li se red∑∞
n=0 πn+1xn
mo�e integraliti qlan po qlan na (−1/2, 1/2)? Obrazlo�iti odgovor. (4 poena)
5. Dat je funkcionalni niz (fn), n ∈ N. Definisati pojmove fn → f i fn ⇒ f naD. (4 poena)
6. S(x) je suma kosinusnog Furijeovog reda funkcije f(x) =
{tg x, 0 ≤ x ≤ π
4
2, π4
< x ≤ πna
intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(π) + S(−1)? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)
7. Definisati pojam rexenja diferencijalne jednaqine y′ = f(x, y). Da li jefunkcija y = ln x opxte rexenje diferencijalne jednaqine xy′ = 1? (4 poena)
8. Liuvilova formula. Formulacija i dokaz. (7 poena)
9. Definisati trojni integral, kao i pojmove i oznake koje se pojavljuju u tojdefiniciji. (7 poena)
10. Zapremina sfere x2 +y2 +z2 = z primenom trojnog integrala. Uvesti sfernekoordinate. (6 poena)
Gra�evinski fakultet 6.10.2014.Univerziteta u Beogradu
ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3
Prezime i ime: Broj bodova:
Broj indeksa:
Ovaj test sadr�i 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u pred-vi�enom prostoru. Svako pitanje se vrednuje odre�enim brojem poena,koji je dat pored svakog pitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne�ese vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50.
1. Koriste�i se Hajneovom definicijom graniqne vrednosti funkcije dve pro-
menljive ispitati postojanje limesa lim(x,y)→(0,0)
y2
x2 + y2. (4 poena)
2. Data je funkcija u = xyz. Na�i po definiciji uy(e2, 2, 3). (4 poena)
3. Formulisati Fermaovu teoremu za funkcije vixe promenljivih. (3 poena)
4. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o unifomnoj konvergenciji funkcio-nalnog reda. Ispitati uniformnu konvergenciju reda
∑∞n=1
sinnxn3 koriste�i ovu
teoremu. (5 poena)
5. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) =∑∞
n=1(−1)n
n2+1xn
neprekidna zdesna u taqki x = −1? (4 poena)
6. S(x) je suma kosinusnog Furijeovog reda funkcije f(x) =
{tg x, 0 ≤ x ≤ π
3
1, π3< x ≤ π
na
intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(−π3) + S(π) + S(−1)? Obrazlo�iti odgovor.
(6 poena)
7. Formulisati pojam linearne nezavisnosti funkcija y1(x), y2(x), y3(x) naintervalu (0, 1). Dati karakterizaciju linearne nezavisnosti ovih funkcijapreko Vronskijana. (4 poena)
8. Liuvilova formula. Formulacija i dokaz. (7 poena)
9. Cilindriqne i sferne koordinate u trojnom integralu. Parametrizovatitelo T (deo konusa) odre�eno nejednakostima
√x2 + y2 ≤ z ≤ 1 uvode�i a) ci-
lindriqne; b) sferne koordinate. (8 poena)
10. Povrxina sfere x2 + y2 + z2 = R2 primenom dvojnog integrala. (5 poena)
Gra�evinski fakultet 23.9.2014.Univerziteta u Beogradu
ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3
Prezime i ime: Broj bodova:
Broj indeksa:
Ovaj test sadr�i 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u pred-vi�enom prostoru. Svako pitanje se vrednuje odre�enim brojem poena,koji je dat pored svakog pitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne�ese vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50.
1. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati parcijalni izvod∂u
∂z. (3 poena)
2. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati diferencijabilnost funkcije u utaqki (0, 1, 2). Dati primer jedne funkcije koja zadovoljava taj uslov. (4 poena)
3. Napisati Tejlorov polinom tre�eg stepena za funkciju f(x, y) = ex cos y uokolini taqke (0, 0). (4 poena)
4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda∑∞
n=0 an(x − 1)n. Datiprimer stepenog reda koji konvergira: a) samo u taqki x = 1, b) na intervalu(0, 2). (4 poena)
5. Razviti funkcije u stepeni red i napisati kada va�e ti razvoji. (4 poena)
x
3 + x=
sh x =
6. S(x) je suma kosinusnog Furijeovog reda funkcije f(x) =
{2, −π ≤ x ≤ 11x, 1 < x ≤ π
na
intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(π) + S(−1)? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)
7. Formulisati Koxijevu teoremu o egzistenciji i jedinstvenosti rexenjadiferencijalne jednaqine prvog reda. (4 poena)
8. Liuvilova formula. Formulacija i dokaz. (7 poena)
9. Definisati krivolinijski integral druge vrste, kao i pojmove i oznake kojese pojavljuju u toj definiciji. (7 poena)
10. Zapremina sfere x2 +y2 +z2 = z primenom trojnog integrala. Uvesti sfernekoordinate. (7 poena)
Gra�evinski fakultet .06.2014.Univerziteta u Beogradu
ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2
Prezime i ime: Broj bodova:
Broj indeksa:
Ovaj test sadr�i 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u predvi�enom pro-storu. Svako pitanje se vrednuje odre�enim brojem poena, koji je dat pored svakogpitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne�e se vrednovati. Maksimalan broj poenana ovom testu je 50.
1. Definisati graniqnu vrednost (limes) funkcije dve promenljive. (3 poena)
2. Data je funkcija f(x, y) = xy3. Na�i po definiciji ∂f∂y(−1, 2). (4 poena)
3. Lokalni ekstremumi funkcije dve promenljive (definicije i formulacijeosnovnih teorema). (6 poena)
4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda∑∞
n=0 anxn. Dati pri-
mer stepenog reda koji konvergira: a) u svakoj taqki x ∈ R, b) samo u taqkix = 1, v) na intervalu [−1, 1). (5 poena)
5. Formulisati teoremu o diferenciranju stepenog reda. Da li se red∑∞
n=0 2nxn
mo�e diferencirati qlan po qlan na intervalu (−1, 1)? Obrazlo�iti odgo-vor.(4 poena)
6. Neka je S(x) suma Furijeovog reda funkcije f(x) =
{0, −π ≤ x ≤ 01
x+2, 0 < x ≤ π
na
intervalu [−π, π]. Qemu je jednako S(0)+S(π)? Obrazlo�iti odgovor. (4 poena)
7. Izvesti formule za koeficijente Furijeovog reda na [−π, π]. (5 poena)
8. Glavna normala i rektifikaciona ravan. (5 poena)
9. Izvesti Freneove formule. (7 poena)
10. Fleksija i torzija u opxtoj parametrizaciji. (7 poena)
Gra�evinski fakultet .06.2014.Univerziteta u Beogradu
ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2
Prezime i ime: Broj bodova:
Broj indeksa:
Ovaj test sadr�i 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u predvi�enom pro-storu. Svako pitanje se vrednuje odre�enim brojem poena, koji je dat pored svakogpitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne�e se vrednovati. Maksimalan broj poenana ovom testu je 50.
1. Definisati graniqnu vrednost (limes) funkcije dve promenljive. (3 poena)
2. Data je funkcija f(x, y) = xy3. Na�i po definiciji ∂f∂y(−1, 2). (4 poena)
3. Lokalni ekstremumi funkcije dve promenljive (definicije i formulacijeosnovnih teorema). (6 poena)
4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda∑∞
n=0 anxn. Dati pri-
mer stepenog reda koji konvergira: a) u svakoj taqki x ∈ R, b) samo u taqkix = 1, v) na intervalu [−1, 1). (5 poena)
5. Formulisati teoremu o diferenciranju stepenog reda. Da li se red∑∞
n=0 2nxn
mo�e diferencirati qlan po qlan na intervalu (−1, 1)? Obrazlo�iti odgo-vor.(4 poena)
6. Neka je S(x) suma Furijeovog reda funkcije f(x) =
{0, −π ≤ x ≤ 01
x+2, 0 < x ≤ π
na
intervalu [−π, π]. Qemu je jednako S(0)+S(π)? Obrazlo�iti odgovor. (4 poena)
7. Izvesti formule za koeficijente Furijeovog reda na [−π, π]. (5 poena)
8. Glavna normala i rektifikaciona ravan. (5 poena)
9. Izvesti Freneove formule. (7 poena)
10. Fleksija i torzija u opxtoj parametrizaciji. (7 poena)
Gra�evinski fakultet 24.06.2014.Univerziteta u Beogradu
ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2
Prezime i ime: Broj bodova:
Broj indeksa:
Ovaj test sadr�i 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u predvi�enom pro-storu. Svako pitanje se vrednuje odre�enim brojem poena, koji je dat pored svakogpitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne�e se vrednovati. Maksimalan broj poenana ovom testu je 50.
1. Definisati pojam metriqkog prostora. Dati primer jedne metrike u pro-storu R3. (3 poena)
2. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije vixe promenljivih. Dali postoji lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2? Obrazlo�iti odgovor. (5 poena)
3. Formulisati teoremu o izvodu slo�ene funkcije dve promenljive. Ako jez = f(xy2, x+ y) odrediti zxy. (6 poena)
4. Definisati pojam ravnomerno konvergentnog funkcionalnog reda∑∞
n=1 fn.Dati primer jednog takvog reda. (5 poena)
5. Formulisati teoremu o integraciji stepenog reda. Da li se red∑∞
n=0 en+1xn
mo�e integraliti qlan po qlan na (−1, 1)? Obrazlo�iti odgovor. (4 poena)
6. Neka je S(x) suma Furijeovog reda funkcije f(x) =
{3, −π ≤ x ≤ 0
ex2, 0 < x ≤ π
na
intervalu [−π, π]. Qemu je jednako S(0)+S(π)? Obrazlo�iti odgovor. (4 poena)
7. Definisati ortonormirani sistem funkcija i dati jedan primer. (5 poena)
8. Prirodna parametrizacija krive. (6 poena)
9. Odrediti krivinu krive xyz = 1, z = 2x− y2 u taqki M(1, 1, 1). (6 poena)
10. Izvesti Freneove formule. (6 poena)
Gra�evinski fakultet 23.9.2014.Univerziteta u Beogradu
ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2 (Geodezija)
Prezime i ime: Broj bodova:
Broj indeksa:
Ovaj test sadr�i 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u pred-vi�enom prostoru. Svako pitanje se vrednuje odre�enim brojem poena,koji je dat pored svakog pitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne�ese vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50.
1. Definisati pojam taqke nagomilavanja skupa S ⊂ R2. (3 poena)
2. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati diferencijabilnost funkcije uu taqki (0, 1, 2). Dati primer funkcije koja zadovoljava taj uslov. (4 poena)
3. Definisati pojam lokalnog maksimuma. Formulisati Fermaovu teoremu zafunkcije vixe promenljivih. (6 poena)
4. Dat je funkcionalni niz (fn), n ∈ N. Definisati pojmove fn → f i fn ⇒ fna D. (5 poena)
5. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda∑∞
n=0 an(x− 1)n. Datiprimer stepenog reda koji konvergira: a) samo u taqki x = 1, b) na intervalu(0, 2). (4 poena)
6. Razviti funkcije u stepeni red i napisati kada va�e ti razvoji. (6 poena)
x√3 + x
=
cos2 x =
7. S(x) je suma kosinusnog Furijeovog reda funkcije f(x) =
{2, −π ≤ x ≤ 11x, 1 < x ≤ π
na
intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(π) + S(−1)? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)
8. Ortogonalan i ortonormiran sistem funkcija. Definisati Furijeov redza ortonormiran sistem funkcija fn, n ∈ N. (6 poena)
9. Definisati fleksiju i torziju krive. Zatim dati primere (u vektorskomobliku): 1. krive qija je fleksija jednaka nuli u svakoj taqki, 2. krive qija jetorzija jednaka nuli u svakoj taqki. (7 poena)
10. Napisati formule za prirodni triedar u opxtoj parametrizaciji.(3 poena)
Gra�evinski fakultet 29.9.2014.Univerziteta u Beogradu
ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2 (Geodezija)
Prezime i ime: Broj bodova:
Broj indeksa:
Ovaj test sadr�i 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u pred-vi�enom prostoru. Svako pitanje se vrednuje odre�enim brojem poena,koji je dat pored svakog pitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne�ese vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50.
1. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije dve promenljive. (3 poena)
2. Data je funkcija u = u(x, y, z, t). Definisati parcijalni izvod∂u
∂z(0, 1, 2, 0).
(3 poena) (3 poena)
3. Definisati slede�e pojmove; A: M(x0, y0) je stacionarna taqka funkcijef(x, y), B: M(x0, y0) je taqka lokalnog ekstremuma funkcije f(x, y). Da li jetaqna neka od implikacija A ⇒ B, B ⇒ A? Obrazlo�iti odgovor. (7 poena)
4. Dat je funkcionalni niz (fn), n ∈ N. Definisati pojmove fn → f i fn ⇒ fna D. (5 poena)
5. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda∑∞
n=0 an(x + 1)n. Datiprimer stepenog reda koji konvergira: a) samo u taqki x = −1, b) na intervalu(−2, 0). (4 poena)
6. Razviti funkcije u stepeni red i napisati kada va�e ti razvoji. (6 poena)
1
x2 − 3x + 2=
sin2 x =
7. S(x) je suma kosinusnog Furijeovog reda funkcije f(x) =
{tg x, 0 ≤ x ≤ π
4
2, π4
< x ≤ πna
intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(π) + S(−1)? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)
8. Ortogonalan i ortonormiran sistem funkcija. Definisati Furijeov redza ortonormiran sistem funkcija fn, n ∈ N. (6 poena)
9. Definisati fleksiju i torziju krive. Zatim dati primere (u vektorskomobliku): 1. krive qija je fleksija konstantna u svakoj taqki; 2. krive qija jetorzija jednaka nuli u svakoj taqki. (7 poena)
10. Napisati Freneove formule. (3 poena)
Gra�evinski fakultet 15.7.2014.Univerziteta u Beogradu
ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2
Prezime i ime: Broj bodova:
Broj indeksa:
Ovaj test sadr�i 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u predvi�enom pro-storu. Svako pitanje se vrednuje odre�enim brojem poena, koji je dat pored svakogpitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne�e se vrednovati. Maksimalan broj poenana ovom testu je 50.
1. Definisati pojam otvorenog i zatvorenog skupa u metriqkom prostoru.Dati primer jednog zatvorenog skupa u R2. (4 poena)
2. Data je funkcija u = xy2z3. Na�i po definiciji uy(1, 2,−1). (4 poena)
3. Formula za diferencijal n-tog reda dnz funkcije dve promenljive z = z(x, y).Izvo�enje formule za sluqaj n = 3. (6 poena)
4. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) =∑∞
n=1(−1)n−1
nxn
neprekidna sleva u taqki x = 1? (5 poena)
5. Formulisati teoremu o integraciji stepenog reda. Da li se red∑∞
n=0 4nx2n
mo�e integraliti qlan po qlan na intervalu (−1/2, 1/2)? Obrazlo�iti odgovor.(4 poena)
6. Razvoj funkcije u stepeni red. Izvesti razvoje za funkcije f(x) = arctg x ig(x) = 1
2+x. (4 poena)
7. Neka je S(x) suma Furijeovog reda funkcije f(x) =
{0, −π ≤ x ≤ 0
ex2, 0 < x ≤ π
na
intervalu [−π, π]. Qemu je jednako S(0)+S(π)? Obrazlo�iti odgovor. (5 poena)
8. Funkcija f(x) = sin 3x4razvijena je u sinusni Furijev red na [0, π]. Izraqu-
nati koeficijent b2. (6 poena)
9. Na�i prirodnu parametrizaciju kru�nice x2 + y2 = a2. (6 poena)
10. Krivina krive u ravni. (6 poena)
Gra�evinski fakultet 5.10.2014.Univerziteta u Beogradu
ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2
Prezime i ime: Broj bodova:
Broj indeksa:
Ovaj test sadr�i 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u pred-vi�enom prostoru. Svako pitanje se vrednuje odre�enim brojem poena,koji je dat pored svakog pitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne�ese vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50.
1. Definisati pojam metriqkog prostora. Dati jedan primer. (5 poena)
2. Koriste�i se Hajneovom definicijom graniqne vrednosti funkcije dve pro-
menljive ispitati postojanje limesa lim(x,y)→(0,0)
y2
x2 + y2. (5 poena)
3. Formulisati Fermaovu teoremu za funkcije vixe promenljivih. (4 poena)
4. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) =∞∑n=1
(−1)n
n√nxn
neprekidna zdesna u taqki x = −1? (4 poena) (5 poena)
5. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o unifomnoj konvergenciji funkcio-nalnog reda. Ispitati uniformnu konvergenciju reda
∑∞n=1
cosnxn5 koriste�i ovu
teoremu. (6 poena)
6. Razviti funkcije u stepeni red i napisati kada va�e ti razvoji. (6 poena)
x
2x2 + 3x+ 1=
sin2 2x =
7. S(x) je suma kosinusnog Furijeovog reda funkcije f(x) =
{tg x, 0 ≤ x ≤ π
3
1, π3< x ≤ π
na
intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(−π3) + S(π) + S(−1)? Obrazlo�iti odgovor.
(6 poena)
8. Formulisati Dirihleovu teoremu za sinusni Furijev red na intervalu [0, 5].(4 poena)
9. Na�i prirodnu parametrizaciju kru�nice x2 + y2 = a2. (6 poena)
10. Napisati Freneove formule. (3 poena)
Gra�evinski fakultet 5.9.2014.Univerziteta u Beogradu
ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2
Prezime i ime: Broj bodova:
Broj indeksa:
Ovaj test sadr�i 10 pitanja, na koja je potrebno odgovoriti u predvi�enom pro-storu. Svako pitanje se vrednuje odre�enim brojem poena, koji je dat pored svakogpitanja. Neqitki i neuredni odgovori ne�e se vrednovati. Maksimalan broj poenana ovom testu je 50.
1. Bolcano-Vajerxtrasova teorema (iskaz). (4 poena)
2. Data je funkcija u = xyz. Na�i po definiciji uy(e2, 2, 3). (4 poena)
3. Napisati Tejlorov polinom tre�eg stepena za funkciju f(x, y) = ex cos y uokolini taqke (0, 0). (6 poena)
4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda. Dati primer stepe-nog reda qiji je polupreqnik konvergencije jednak π. (4 poena)
5. Formulisati teoremu o diferenciranju stepenog reda. Da li se red∑∞
n=0x4n
4n
mo�e diferencirati qlan po qlan na intervalu (−2, 2)? Obrazlo�iti odgovor.(4 poena)
6. Razviti funkcije f(x) = ch2x i g(x) = x3+x
u stepeni red. Kada va�e dobijenirazvoji? (6 poena)
7. Neka je S(x) suma Furijeovog reda funkcije f(x) =
{−1, −π ≤ x ≤ 1
ex2, 1 < x ≤ π
na
intervalu [−π, π]. Qemu je jednako S(π)−S(1)? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)
8. Funkcija f(x) = e−x razvijena je u sinusni Furijev red na [0, 1]. Izraqunatikoeficijent b2. (6 poena)
9. Definisati fleksiju i torziju krive. Napisati zatim formule za fleksijui torziju ako je kriva data u opxtoj parametrizaciji. (6 poena)
10. Krivina krive u ravni. (4 poena)