Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 · 2015

Rafał Kucharski

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Zarządzania Katedra Statystyki rafal.kucharski@ue.katowice.pl

ZBIEŻNOŚĆ STRATEGII OPTYMALNYCH NA RYNKACH FINANSOWYCH

Z OGRANICZENIAMI PŁYNNOŚCI Streszczenie: W pracy rozważamy model rynku finansowego opisanego przez Çetina i Rogersa [2007], w którym ściśle wypukłe koszty transakcyjne służą do modelowania efektów związanych z ograniczeniami płynności. Udaje się wzmocnić rezultaty tej pra-cy, dowodząc jedyności strategii optymalnych, oraz wykazać ich ciągłość względem preferencji inwestorów. Słowa kluczowe: koszty transakcyjne, strategie optymalne, ryzyko płynności, wycena instrumentów. Wprowadzenie

Ryzyko płynności jest jednym z najważniejszych typów ryzyka, z jakim mamy do czynienia na rynkach finansowych. Dotychczasowe badania związane z modelowaniem ryzyka płynności i jego wpływu na zachowanie się inwestorów i rynków finansowych nie są jednak zbyt zaawansowane, być może z powodu braku zgody w sprawie definicji płynności, nawet w kategoriach jakościowych. Efekty związane z płynnością można najprościej opisać jako trudności lub ko-nieczność poniesienia dodatkowych kosztów w sytuacji, gdy chcemy w krótkim czasie sprzedać lub kupić większą ilość pewnych aktywów.

Występują dwa podejścia do modelowania efektów związanych z płynno-ścią. Według pierwszego z nich transakcje dużego inwestora mają wpływ na cenę rynkową. Znane są udokumentowane przypadki, gdy duży inwestor (lub grupa inwestorów) wpływał na rynek, co zwykle objawiało się znacznym wzro-

stem cen,na rynku 48,70 dolczas nastędany walostorzy, ktsą do zakudziałania

Istniewa na cenczyni moinwestor mna jakie zstawione szy o prem

Çetinrym efektgo rynku cena płacopisany foptymalnypracy prosię nam wstrategii o

Opis rów obecnje bogactwtematyce wyceny inokreślającwanie inwrametrów praktycznmentalną

Probcji badali pełnego zruch Browcesów opt

Zbieżność

po którym srebra w la

ara za uncjęępujący: nalor, a następnórzy zajęli kupów, co na z użyciem opeją wady tegnę, to cena p

odel niemal bmoże wystaw

zostały wystaopcje bezwamię, za jaką sn i Rogers [2t działalnościma jedynie ona przez te

funkcją wypuych dla probwadzimy rozwzmocnić zaoptymalnych

strategii inwnych na niepewo w sposóbfinansowej. nstrumentówcego preferenwestora i jeg

rynku finannej implemenrolę przy oblem stabilnojako pierws

z czasem ciągwna. Dowiedtymalnego b

ć strategii opt

następował atach 1979-1ę [Rogers i Sleży zająć dnie dokonać krótkie pozyrynku z obnpcji można p

go podejścia.powinna uwzbezużytecznwić opcje typawione opcjeartościowymisprzedał opc2007] stosująi dużego inwkrótkookres

ego inwestorukłą. Autoroblemu maksyzważania w tawarte w cyoraz wykaza

westycyjnychewnych rynkb optymalny,Optymalność

w finansowycncje inwesto

go optymalnonsowego. Pyntacji modelliczeniach nu

ości strategii si Jouini i Nagłym, na któdli oni zbieżnbogactwa i k

tymalnych na

krach. Przyk1980, która sSingh, 2004].długą pozycjdużych zakucje, wraz z w

niżoną podażpodjąć na ryn. Po pierwszzględniać dz

nym. Drugi apu down-ande, co spowodi. Po odkupi

cje, więc osiąą inne podej

westora w obsowy, „lokalnra różni się om udaje sięymalizacji użtym samym

ytowanej praać ich zbieżn

h, które powikach finansow, jest typowyć ta może doch, jak i makora. Naturalność zależą o

ytanie to ma lu, gdyż stabumerycznychoptymalnycapp [2004], rym ceny akność prawie

konsumpcji o

rynkach finan

kładem jest dspowodował. Schemat poę w kontrak

upów na rynwygasaniemżą skutkuje wnku akcji. e, jeśli pojed

ziałania wszyargument to d-out, a nastęduje spadek iieniu aktywóąga zysk bez ście: opisują

bliczu ograniny” wpływ nod rynkoweję dowieść mżyteczności modelu rynk

acy rezultatyność. inny być wywych, a pragnym problemeotyczyć zarówksymalizacjine jest równid tych prefeszczególne

bilność rozwh. h i cen wzglktórzy rozw

kcji opisane sna pewno or

oraz zbieżnoś

nsowych…

działalność bła wzrost ceostępowania ktach termin

nku pierwotnm kontraktówwzrostem cen

dynczy inweystkich inwes

tzw. free rępnie sprzedaich kursu, cz

ów inwestor jryzyka. ą model rynkczonej płynnna cenę: w tj o koszt tra

m.in. istnienina takim rynku finansowey, dowodząc

ybierane przenących pomn

em rozważanywno najkorz pewnego fuież pytanie, jerencji oraz iznaczenie p

wiązań odgry

lędem zmianważali model są przez geomraz w , ść optymalny

29

braci Hunt ny z 9 do jest wów-

nowych na nym. Inwe-w zmuszeni n. Podobne

estor wpły-storów, co

round trip: ać aktywa, zyniąc wy-jest bogat-

ku, na któ-ności owe-tym ujęciu ansakcyjny ia strategii nku. W tej ego. Udaje

jedyności

ez inwesto-nażać swo-ym w ma-

zystniejszej unkcjonału jak zacho-innych pa-rzy próbie

ywa funda-

n preferen-rynku zu-

metryczny , pro-

ych strate-

30

gii w dodatkowrozszerzytyngałamibilności d[Kardaras

W czinwestoróżeniami dgii optymteczności ograniczocyjnych i 1. Model

RozpÇetina i Rdelem rynkretną filtnia w obakoncie baCeny akc

, felu z

gdzie przez inwmiast pro

rze, na któ

Potrz

w ogólnymwych założenł te rozważai, obejmującdla modeli fis i Žitković, 2zasie dyskretów zajmowaldotyczącymi

malnych na ryokreślonym

onymi do półz kosztami z

l rynku

poczniemy oRogersa [200nku finansowtracją rczoną ryzyk

ankowym, ktcji opisuje ś

do pow

westora w chocesy i

zórym jest sko

zebny nam b

R

m przypadku niach na procania na klasę c w ten sposfinansowych 2011] i [Larstnym problemli się Carassuregularnośc

ynku, na któmi na całej prłosi podobnezawierają odp

od omówien07], który będwego jest tu

. Inwestorzkiem akcję ortórego stopaściśle dodatn

. Pomiędzywoduje zmia

. Zakhwili , więc

są adaptozakładamy, żończona, ora

ędzie równie

Rafał Kuchars

i ich prawieces cen i funmodeli, w kób również z czasem ci

sen i Žitkovimem ciągłejus i Rásonyi i dowiedli z

órym inwestorostej. Dla pre rozważaniapowiednio p

nia najbardzdzie podstaw

przestrzeń pzy obecni na raz lokowania procentowatni, adaptowy momentamianę ilości got

kładamy, że c proces owane. O fuże jest ściśle az spełnia wa

eż techniczny

ki

e pewną zbinkcje użytecktórych cenyrynki niezupiągłym zajmć, 2007]. zależności s[2007], którbieżności prorzy posługuroblemu z fua dla rynkówprace [Kucha

ziej istotnycwą naszych daprobabilistycrynku mają

ia gotówki naa jest, dla u

wany proces i t i t + 1 zmitówki z do

wielkość jest

unkcji opisujrosnąca i śc

arunki:

y warunek:

ieżność przyczności. Larsy są ciągłymipełne. Proble

mują się równ

strategii od przy pod pewnrawie na pewują się funkcunkcjami uży

w bez kosztówarski, 2006, 2

h elementówalszych rozwczna możliwość ina pozbawion

uproszczenia, o

iana liczby ako

jest wprognozowaącej koszty

ciśle wypukł

y pewnych sen [2009] i semimar-emem sta-nież prace

preferencji nymi zało-wno strate-cjami uży-yteczności w transak-

2008].

w modelu ważań. Mo-

z dys-nwestowa-

nym ryzyka , równa 0.

własności kcji w port-

wyznaczana alny, nato-

płynności ła na zbio-

gdzie funmamy tu

Celemtówki tak aby wteczności ściśle rosn

Ponadla pewne 2. Istnien

Inwebędzie od

z g

Defin

gdzie oces nie i całko

Za prLemat 2.1Lemat 2.2

Lemat 2.3

gdzie s

Zbieżność

nkcja

m inwestora, prz

w chwili

nąca, ściśle w

adto zakładamego fu

nie i jedyno

estor, który wdtąd stosowagotówką

niujemy funk

oznacza rodz jest p

owalne dla w

racą [Çetin i 1. Funkcje 2. Dla

3. Dla

są wypukłym

ć strategii opt

) jest wypua jest maksymzy czym w ch

posiadać opis

wklęsła oraz

my, że unkcja

ość strategi

w chwili pał strategię

kcje wartośc

zinę tych proprognozowa

wszystkich

Rogers, 200 są wklęsłe i

fun

ora

mi sprzężenia

tymalnych na

okukłym sprzężmalizacja użhwili inwjedynie gotó

sująca prefespełnia waru

j

ii optymaln

posiada kwot

i

ocesów, dla kalny, dla

. Z

07] przytaczai rosnące ze wkcje wartośc

az

mi zdefini

rynkach finan

kreślona dlażeniem funkcżyteczności k

westor likwiduówkę. Zakła

erencje inweunki Inady:

, dla dowest rosnąca.

nych

tę gotówk, zakończy

których . F

Zauważmy, ż

amy następujwzględu na ci spełniają r

, ,

iowanymi jak

nsowych…

a (dcji .

końcowego zuje pozycję w

adamy, że funstora jest ni

olnych

ki i sztuk y inwestycje

, Funkcje te sąże

jące wyniki. i prawie

równanie Bel

, ma

ko

31

dla

zasobu go-w akcjach, nkcja uży-iedodatnia,

, oraz

akcji oraz w chwili

(1)

oraz pro-ą niedodat-

na pewno. llmana

(2)

amy

32

W szczegóLemat 2.malne dla

Musistrategii ofunkcje ww dowodzLemat 2.wklęsłe i śDowód. Śskorzystamściśle wklkłości :

Ustal

. Oz

sowymi, dmy:

co oznaczLemat 2.wyznaczo

ólności, 4. Dla dowo

a problemu (1imy wzmocnoptymalnych

wartości są śzie jedyności.5. Dla ściśle rosnącŚcisła monotmy z indukclęsła dzięki dla

lmy teraz o

znaczając pr

dla których o

za ścisłą wklę6. Dla każdena jednozna

R

. olnych (1). nić nieco powh, potrzebujściśle rosnąci strategii op

, fuce ze względutoniczność jcji wstecznejścisłej wklęs

,

oraz załóżmyrzez

, gdzosiągnięte je

ęsłość i naego cznie.

Rafał Kuchars

istni

wyższe wyniemy ich jed

ce i ściśle wptymalnych.unkcje wartou na obie wspest oczywistj. Funkcja słości i mon

, y, że zdołaliś

zie są est supremum

a mocy induk optyma

ki

eją prognozo

iki, ponieważdyności. Na

wklęsłe, co n

ości są prpółrzędne. ta. W dowod

otoniczności,

, śmy już wyk

, prognozowa

m w (2) dla

kcji kończy dlna strategia

owalne strat

ż dowodząc zajpierw pokanastępnie pom

rawie na pew

dzie ścisłej w

i oraz ścis,

, kazać ścisłą

alnymi zmie,

dowód. a dla problem

tegie opty-

zbieżności ażemy, że może nam

wno ściśle

wklęsłości jest

słej wypu-, mamy:

,

wklęsłość oraz

ennymi lo-, ma-

mu (1) jest

Dowód. WPrzypuśćmdwie strat

jest ściś

gdzie ściśle rosn

na zbiorzestrategii o 3. Zbieżn

Chcąra będziemcjami użyśniej nał

, pnych w pznacznie sjak strategdamy war

RozpLemat 3.mi, że

punktami,

Zbieżność

Wystarczy pomy więc, iż tegie optymaśle wklęsła, d

nąca ze wzgl

e o dodatnimoptymalnych

ność strate

ąc rozważać my rozważaćyteczności ożyliśmy na

liczb poprawnie zdoprzedniej czstrategie optygie optymalnerunek:

poczniemy od1. Niech

, że

ć strategii opt

okazać jedyndla pewnego

alne , dla każdego

lędu na , ot

m prawdopod.

gii optyma

zbieżność stć ciąg inwes

, , a . Używnaturalnych

definiowane szęści własno

ymalne makse zachowują

d następując,

dla

tymalnych na

ność optymao

, że m

. Stąd, oratrzymujemy:

dobieństwie.

alnych

trategii optymstorów, któryspełniającym

wamy tu jaz dodaną ni

są funkcje wościach, jak rymalizujące się przy zbie

cego technicz, będą

, . Niech

rynkach finan

alnej strategi oraz

e mamy:

az korzystają

Ta sprzeczno

malnych, zamych preferencmi te same zako indeksóieskończonoś

wartości , również istniwyrażenie

eżnych prefer

znego lematuą takimi fun

oraz ponadto

nsowych…

i w rów m

.

ąc z faktu, że

ość dowodzi

miast jednegocje będą opiszałożenia, ktw elementóścią. Stąd, dl

eją wyznacz

rencjach, a za

u. nkcjami ściśl

, , bę

33

wnaniu (2). mamy takie

Ponieważ

e jest

i jedyności

o inwesto-sane funk-tóre wcze-ów zbioru la każdego

, o opisa-one jedno-. Pytamy,

atem zakła-

(3)

e wklęsły-

ędą takimi

34

Wówczas Dowód. U

jest prcym . Pniemal jeddostatecznwszystkic

więc zatem

W do

pracy Kabzbieżnego

roLemat 3.giem zmieciąg ciągu

Oto gLemat 3.problemu

Dowód. Zindukcją w

Dla upros

Zauważmstrony ma

istnieje taki pUstalmy rzedziałem zPonieważ cidnostajnie [Rnie dużych ch . St

. .

owodzie głóbanova i Strio podciągu ozumiemy zb.2. [Kabanovennych losow

, że.

główny wyni3. Niech (1) z funkcja

Zaczniemy owsteczną ze

szczenia zapi

my, że funkcjamy:

R

przedział zwa i niech

zwartym. Nieąg , jako Rockafellar i

warunektąd, dla takic

Biorąc pod

ównego twierickera [2001

zmiennych biór wszystkv i Stricker, wych, że e dla wszyst

ik pracy. or

ami użyteczn

od wykazaniwzględu na

isu definiujem

je te posiada

Rafał Kuchars

arty , że

ech będziciąg ciągłyc

i Wets, 1998k

ch oraz

uwagę wklę

rdzenia wyk], mówiący

losowych, kich zmienny

2001]. Niec

tkich ciąg

raz ności ,

ia zbieżnośc

my losowe,

ają ściśle wk

ki

dla d

e przedziałech funkcji w8; Corollary

m

ęsłość, mam

korzystamy to możliwośc

który cytuych losowychch

. g jest

oznaczają st. Wówcz

i funkcji wa. Dla

-mierzalne

klęsłe wersje

dostatecznie d

m zwartym wklęsłych, zb

7.18, s. 254] spełniony

amy

my także

także słynnyci mierzalnegujemy poniżh o wartościa

będzie Wówczas iszbieżnym p

trategie optyzas

artości. Posłu jest oczyw

e funkcje:

e. Dla

dużych . . Zbiór

zawierają-biega do ], więc dla y jest dla

,

y rezultat z go wyboru żej. Przez ach w . takim cią-

stnieje taki odciągiem

ymalne dla

użymy się wiste, że:

z jednej

Przecwprost, żedopodobie

de

Z naszegonatomiast

Ta sprzeczprzednio Indukcja d

Przej

wklęsłe fuprawdziw

Zdef. Z

Pokazbieżny dmamy taki losow

zmiennej optymalna

Ponieże z ciągu zbieżny d

Zbieżność

ciwna nierówe eństwie.

efiniujemy zd

o przypuszct na zbiorach

zność pokazuwykazaną n

dowodzi zbiejdziemy tera

oraz zaunkcje ,

wy jest warun

finiujmy -auważmy, że

ażemy, że z do . Nie

dla dowy podciąg

losowej . a dla inwesto

eważ strateg

wybrać podo na

ć strategii opt

wność będz

Określmy

darzenia:

zenia oraz zh , dla

uje, że nierównościeżności funkaz do dowodauważmy, ż, zatem na m

nek

mierzalne zde dowolnego

ech będziostatecznie d

,

Z pierwszejora oraz z

gia optymaln. Powtarzająodciąg z

itd. Jako

tymalnych na

zie wymagał na z

y nieuj, któr

założenia ind mamy:

ą mamy kcji wartości du zbieżnoścże skoro zmimocy lematu

darzenia oraz

podciągu cie dowolnymdużych , wże ciąg

j części twieniemal jedn

na jest wyznaąc powyższe

zbieżny do rezultat otrzy

rynkach finan

ła więcej przbiorze emną ra jest dodatn

dukcyjnego

dla ci strategii oienne 3.1. dla praw

ągu m

m podciągiemwięc z lematu

jest zbi

erdzenia, tegostajnej zbie

aczona jednoe rozumowa

na ymamy pew

nsowych…

racy. Przypu o dodat

zmienną nia na . Dl

mamy

p.n., więc

. optymalnych

maksymalizwie wszystki

, . można wybram . Na zu 3.2. możemieżny na

go, że strategeżności otrzy

oznacznie, oanie, możem, z niego p

wien podciąg

35

uśćmy nie tnim praw-

losową la każdego

,

wraz z po- p.n.

h. Ustalmy zują ściśle ich

dla

ać podciąg zbiorze my wybrać do pewnej

gia jest ymujemy:

oznacza to, my kolejno podciąg

zbież-

36

ny prawienego poddo ,

i kończy d

4. Wynik

W tejrycznych.ważamy toraz cenadopodobie

. ZaPrzyjmujeuważmy, kosztów t

gdzie Przypadek(funkcji użwzględna wartość b

W tainwestorapejskiej o

. Z[Çetin i Rchoćby rórynku beztrajektorii

e na pewno dciągu ciągu oznacza to, ż

dowód twier

ki numeryc

ej części zilus. W dalszymtrzyokresow

a akcji w eństwem (statakładamy, żeemy parameże

transakcyjny

jest parak graniczny

). Rozpoczżyteczności awersja do

ezwzględnej

abelach 1 i 2 a chcącego zopcji sprzedaZwracamy uwRogers, 2007óżne wartoścz kosztów trai cen.

R

do na z możem

że:

dzenia.

czne

strujemy powm ciągu, wzorwy ( )

chwilach tystycznym)

e rachunek pietry

, a więc mch. Przyjmuj

ametrem, a im odp

zynamy nasztypu CARAryzyka) [Fö

j awersji do r

przedstawiozabezpieczyćaży (put) z cewagę, iż war]. Zawarte taci w kolumnansakcyjnych

Rafał Kuchars

zbiorze my wybrać p

wyższe rozwrując się na model dwum

m lub spaść

ieniężny rośn,

model nie dopjemy funkcję

m większa jepowiada rynkze rozważan

A (constant aöllmer i Schiryzyka:

ono wartości ć w sposób oeną wykonanrtości te różnam wartości nach orah zabezpiecz

ki

pełnej mpodciąg zbie

ważania rezulpracy [Çetinmianowy. Z

może w wzrosdo z

nie w każdym,

puszcza arbitę kosztów tra

ego wartość, kowi bez konia od jednoabsolute riskied, 2004], g

optymalnej optymalny knia inią się od tysą niepopraw

az dla zenie opcji n

miary. Skoroeżny prawie

ltatami obliczn i Rogers, 2

Zakładamy, żsnąć do prawdopodo

m okresie o c,

trażu nawet pansakcyjnych

tym wyższe osztów transoparametrowk aversion – gdzie

ilości akcji krótką pozycji terminem wych podanycwne, o czym

, podcznie powinno z

o z dowol-na pewno

zeń nume-2007], roz-że

z praw-obieństwem czynnik .

. Za-przy braku h postaci:

są koszty. sakcyjnych ej rodziny stała bez-wyznacza

w portfelu ję w euro-wykonania ch w pracy m świadczą zas gdy na zależeć od

Tabela 1. α

0,05 5·10-5

0

Tabela 2.

α 0,05

5·10-5 0

Użyt

funkcją uż

dla niedodatnimodelowaotrzymujeakcji w oopcji sprznowej funprzez Tabela 3.

β 0,1 0,5 0,9 0,99

1 Tabela 4.

β 0,1 0,5 0,9 0,99

1 Niech

nansowym

Zbieżność

Optymalne zat = 0

-0,200 -0,337 -0,337

Optymalne zat = 0

-0,160 -0,768 -0,772

teczność typżyteczności p

, ią funkcją użać dużo szeremy model zeoptymalnym zedaży z cennkcji użytec

.

Optymalne zat = 0

-0,165 -0,194 -0,200 -0,200 -0,200

Optymalne zat = 0

-0,147 -0,153 -0,158 -0,159 -0,160

h C oznaczam. Definiując

ć strategii opt

abezpieczenie u

-0,186 -0,216 -0,216

abezpieczenie u

-0,190 -0,630 -0,629

pu CARA zapostaci:

. Jest to kżyteczności. rszy wachlare stałą awersportfelu zab

ną wykonanzności, na r

abezpieczenie u

-0,163 -0-0,184 -0-0,186 -0-0,186 -0-0,186 -0

abezpieczenie u

-0,189 -0-0,190 -0-0,190 -0-0,190 -0-0,190 -0

a wypłatę losc:

tymalnych na

dla d u

-0,415 -0,0-0,725 -0,0-0,726 -0,0

dla d u

-0,258 -0,1-1,228 -0,4-1,231 -0,4

astąpimy ter

kombinacja wMając do d

rz zachowań sją do ryzykabezpieczającynia i rynku z kosz

dla , d uu

0,295 -0,110,386 -0,100,411 -0,090,414 -0,090,415 -0,09

dla , d uu

0,210 -0,130,233 -0,130,253 -0,130,258 -0,130,258 -0,12

sową związan

rynkach finan

u ud 095 -0,239098 -0,594098 -0,595

uu ud 129 -0,167489 -1,065491 -1,075

raz nieco ba

wypukła funkdyspozycji trz

inwestora, pa. Tabele 3 iym krótką p

terminem wztami transak

u ud 11 -0,17402 -0,22296 -0,23795 -0,23995 -0,239

u ud 38 -0,14934 -0,15830 -0,16530 -0,16729 -0,167

ną z wycenia

nsowych…

du 9 -0,319 4 -0,594 5 -0,595

du 7 -0,198 5 -1,069 5 -1,075

ardziej skom

kcji typu CARzy parametryprzy czym d4 przedstaw

pozycję w euwykonania kcyjnymi ok

du -0,224 -0,297 -0,316 -0,318 -0,319

du -0,159 -0,178 -0,195 -0,198 -0,199

anym instrum

37

dd -0,450 -1,144 -1,146

dd -0,228 -1,715 -1,732

mplikowaną

RA z inną, y, możemy dla

wiają liczbę uropejskiej

dla kreślonymi

dd -0,280 -0,410 -0,445 -0,450 -0,450

dd -0,168 -0,197 -0,222 -0,228 -0,228

mentem fi-

38

za cenę inbę rzeczyw

Rys. w funkcji Kolejne ktość , oopcji. Zauspełnia wrametrach

Rys. 1. Cen

nstrumentu fiwistą

1 i 2 przedparametru

krzywe odpoodpowiadającuważmy, że

wymaganych h rynku nawe

na opcji put jako

R

finansowego , która speł

dstawiają wyk, przy

owiadają ca mniejszej

w przypadkprzez nas w

et wówczas z

o funkcja param

Rafał Kuchars

(utility inłnia warunek

kresy cen ,

awersji do ku graniczny

warunków Inzachowanie c

metru β: γ = 5

ki

ndifference pk:

europ oraz odpow

, prryzyka, odp

ym onady, jednakżcen opcji poz

price) przyjm

ejskiej opcji wiednio rzy czym wypowiada niżotrzymana fuże przy przyzostaje regul

miemy licz-

sprzedaży i .

yższa war-ższej cenie unkcja nie

yjętych pa-larne.

Zbieżność strategii optymalnych na rynkach finansowych… 39

Rys. 2. Cena opcji put jako funkcja parametru β: γ = 1 Podsumowanie

Wykorzystanie wypukłej funkcji kosztów transakcyjnych, zaproponowane przez Çetina i Rogersa [2007], jest interesującym i efektywnym sposobem mo-delowania efektów związanych z ograniczeniami płynności. Głównym wyni-kiem niniejszej pracy jest twierdzenie 3.3 pokazujące, że w modelu tym strategie optymalne zmieniają się w sposób ciągły wraz z preferencjami inwestorów. Wynik ten uzasadnia możliwość stosowania technik aproksymacji numerycznej w wyzna-czaniu strategii optymalnych oraz wycenie instrumentów finansowych opartej na funkcji użyteczności. Literatura

Carassus L., Rásonyi M. (2007), Optimal strategies and utility-based prices converge when agents’ preferences do, „Mathematics of Operations Research”, Vol. 32 (1).

Çetin U., Rogers L.C.G. (2007), Modeling liquidity effects in discrete time, „Mathemati-cal Finance”, Vol. 17 (1).

Föllmer H., Schied A. (2004), Stochastic Finance. An Introduction in Discrete Time, 2nd edition, „De Gruyter Studies in Mathematics”, No. 27, Walter de Gryter & Co., Berlin.

Jouini E., Napp C. (2004), Convergence of utility functions and convergence of optimal strategies, „Finance and Stochastics”, Vol. 8 (1).

Rafał Kucharski

40

Kabanov Y., Stricker C. (2001), A teachers’ note on no-arbitrage criteria, [w:] Séminai-re de Probabilités, XXXV, „Lecture Notes in Math”, Vol. 1755, Springer, Berlin.

Kardaras C., Žitković G. (2011), Stability of the utility maximization problem with ran-dom endowment in incomplete markets, „Mathematical Finance”, Vol. 21 (2).

Kucharski R. (2006), Convergence of optimal strategies in a discrete time market with finite horizon, „Applicationes Mathematicae”, Vol. 33 (1).

Kucharski R. (2008), Convergence of optimal strategies under proportional transaction costs [w:] Ł. Stettner (ed.), Advances in mathematics of finance, No. 83 in Banach Center Publications, Polish Academy of Sciences, Institute of Mathematics, Warsaw.

Larsen K. (2009), Continuity of utility-maximization with respect to preferences, „Ma-thematical Finance”, Vol. 19 (2).

Larsen K., Žitković G. (2007), Stability of utility-maximization in incomplete markets, „Stochastic Processes and their Applications”, Vol. 117 (11).

Rockafellar R.T., Wets, R.J.-B. (1998), Variational analysis, Vol. 317 of „Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften” [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], Springer-Verlag, Berlin.

Rogers L.C.G., Singh S. (2004), Modelling liquidity and its effects on price, Technical Report, Cambridge University.

CONVERGENCE OF OPTIMAL STRATEGIES ON FINANCIAL MARKETS WITH LIQUIDITY CONSTRAINTS

Summary: In this paper we consider the model of financial market described by Çetin and Rogers [2007], where strictly convex transaction costs are used to model the effects of liquidity constraints. We were able to improve results of that paper, proving uniqu-eness of optimal strategies and their continuity with respect to investors’ preferences. Keywords: transaction costs, optimal strategies, liquidity, pricing.