zbierka Úloh - web.tuke.skweb.tuke.sk/fei-km/sites/default/files/prilohy/10/zbierka-dm.pdf ·...

ZBIERKA ÚLOH

Z

DISKRÉTNEJ MATEMATIKY

ŠTEFAN BEREŽNÝ

EMÍLIA DRAŽENSKÁ

A

DANIELA KRAVECOVÁ

Obsah

1 Úvod 3

2 Množíny a relácie 4

2.1 Množiny a množinové operácie 4 2.2 Binárne relácie 6 2.3 Ekvivalencie 8 2.4 Zobrazenia 10 2.5 Neriešené úlohy 12 2.6 Výsledky neriešených úloh 21

3 Boolovská algebra 27

3.1 Čiastočne usporiadané množiny 27 3.2 Zväzy 29 3.3 Boolovské funkcie 31 3.4 Neriešené úlohy 36 3.5 Výsledky neriešených úloh 43

4 Algebraické štruktúry 49

4.1 Grupy 49 4.2 Cyklické grupy 56 4.3 Podgrupy a rozklady grúp 60 4.4 Okruhy, telesá a polia 62 4.5 Neriešené úlohy 68 4.6 Výsledky neriešených úloh 74

5 Neorientované grafy 76

5.1 Definícia a základné typy grafov, izomorfizmus grafov 76 5.2 Stupne vrcholov, súvislosť a vzdialenosť v grafe 79 5.3 Maticové reprezentácie grafov 81 5.4 Eulerovskosť, hamiltonovskosť a planárnosť grafov 85 5.5 Stromy a kostry 89 5.6 Neriešené úlohy 92 5.7 Výsledky neriešených úloh 107

Zbierka úloh z Diskrétnej matematiky

Štefan BEREŽNÝ,Emília DRAŽENSKÁ

aDaniela KRAVECOVÁ

Katedra matematiky,Fakulta elektrotechniky a informatiky

Technickej univerzity v Košiciach,Boženy Němcovej 32, 040 01 Košice, Slovakia

6. októbra 2005

RECENZOVALI: doc. RNDr. Marián KLEŠČ, PhD.RNDr. Vladimír LACKO, PhD.

c© RNDr. Štefan BEREŽNÝRNDr. Emília DRAŽENSKÁRNDr. Daniela KRAVECOVÁ

ISBN: 80-8073-364-3

3

Úvod

Predkladaný učebý text vychádza ako zbierka riešených a neriešenýchúloh z predmetu Diskrétna matematika. Opiera sa o pojmy a značenia uve-dené v učebnici teoretickej časti tohto predmetu. Učebný text je adresovanýštudentom Fakulty elektrotechniky a informatiky TU v Košiciach na prvomstupni štúdia. Zbierka je rozdelená na štyri kapitoly: Množiny a relácie,Booleovská algebra, Algebraické štruktúry a Neorientované grafy. Každákapitola je rozdelená na podkapitoly obsahujúce riešené príklady a vždy po-sledné dve podkapitoly obsahujú neriešené úlohy a ich výsledky. Zbierka úlohz Diskrétnej matematiky nepokrýva celú šírku diskrétnej matematiky, ale jeto učebný text, ktorý nadväzuje na témy jednotlivých cvičení z predmetuDiskrétna matematika.

Zbierka je k dispozícii len v elektronickom formáte.

Košice, 30. marca 2005 Autori.

1 MNOŽINY A RELÁCIE 4

1 Množiny a relácie

1.1 Množiny a množinové operácie

Riešené príklady:

Príklad 1.1.1 Vypíšte všetky prvky množiny M = {x ∈ N : x ≤ 100, x jeprvočíslo, 9|(x + 1)} (symbol a|b znamená a delí b ).Riešenie:

Pretože 9|(x+ 1), je x+ 1 = 9k pre nejaké k ∈ N, čo znamená, že x = 9k− 1pre nejaké k ∈ N. Vypíšeme všetky prirodzené čísla s touto vlastnosťou:8,17,26,35,44,53,62,71,80,89,98. Z nich prvočíslami sú práve čísla 17,53,71,89.Potom M = {17, 53, 71, 89}. √

Príklad 1.1.2 Nech A,B sú podmnožiny množiny X. Zistite, či platí A − B =A ∪ B.Riešenie:

Túto matematickú rovnosť dokážeme tak, že overíme inklúzie A − B ⊆ A∪Ba A − B ⊇ A ∪ B.Ukážeme overenie prvej inklúzie. x ∈ A − B ⇒ x /∈ A − B ⇒ x /∈ A alebox ∈ B ⇒ x ∈ A alebo x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B.Inklúzia A − B ⊇ A ∪ B sa overí analogicky (obrátením implikácii).Uvedenú rovnosť môžeme dokázať aj využitím známych vzťahov, ktoré platiapre množiny. Využijúc rovnosť A−B = A∩B, dostávame A − B = A ∩ B =A ∪ B.Ďalší spôsob dôkazu je overenie množinovej rovnosti pomocou Vennovýchdiagramov. Tu ukážeme, že prvky patriace množine A − B sú tie isté akoprvky patriace A ∪ B. Tento spôsob použijeme v jednom z nasledujúcichpríkladov. √

Príklad 1.1.3 Nech A = {♦,♥}, B = {♣,♠}. Určte A × B,A2, A3.Riešenie:

Priamo podľa definície karteziánskeho súčinu množín dostávame:A × B = {(♦,♣)(♦,♠), (♥,♣), (♥,♠)},A2 = {(♦,♦), (♦,♥), (♥,♥), (♥,♦)},A3 = {(♦,♦,♦), (♦,♦,♥), (♦,♥,♦), (♦,♥,♥), (♥,♥,♥), (♥,♥,♦),(♥,♦,♥), (♥,♦,♦)}. √


Príklad 1.1.4 Pomocou Vennových diagramov ukážte, že pre ľubovoľnémnožiny A,B,C platí A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).Riešenie:

Porovnaním Vennových diagramov ukážeme, že daná rovnosť platí. Ak Ven-nove diagramy pre ľavú a pravú stranu rovnice budú obsahovať rovnaké ob-lasti, tak množiny ľavej a pravej strany rovnice sa zhodujú. Najprv na-kreslíme pomocou Vennového diagramu oblasť odpovedajúcu ľavej strane,t.j.A∪(B∩C). Urobme to postupne. Vyšrafujeme oblasť B∩C vertikálnymičiarami a množinu A horizontálnymi čiarami (obrázok 1 vľavo). Ich zjedno-tením je každá oblasť, ktorá je nejako vyšrafovaná. A teraz zakreslíme Ven-novým diagramom oblasť odpovedajúcu pravej strane, t.j.(A∪B)∩ (A∪C).Vyšrafujeme oblasť (A ∪ B) vertikálnymi čiarami a oblasť (A ∪ C) horizon-tálnymi čiarami (obrázok 1 vpravo). Ich prienikom je oblasť, ktorá je vyšra-fovaná vertikálnymi aj horizontálnymi čiarami súčasne.

Obrázok 1

A B

U C

Vidíme, že oblasti odpovedajúce ľavej a pravej strane rovnice sú totožné,teda daná rovnosť platí.

√


1.2 Binárne relácie


Príklad 1.2.1 Nech A = {1, 2, 3} a B = {0, 1}. Nájdite a graficky aj ma-ticovo popíšte reláciu R ⊂ A × B, ktorá je definovaná nasledovne: xRy ⇔x + y ≤ 2. Vypíšte prvky inverznej relácie R−1.Riešenie:

Výpočtom zistíme, že R = {(1, 0), (2, 0), (1, 1)}. Grafická interpretácia je naobrázku 2.

Obrázok 2

-1

-1 1

1

x

y

2 3 4 5

2

3

Plné krúžky sú prvkami množiny R, všetky krúžky sú prvkami karteziánskehosúčinu A × B. Maticová reprezentácia relácie R je určená maticou:

1 11 00 0

, kde riadky odpovedajú prvkom množiny A a stĺpce prvkom

množiny B.Jednoduchou výmenou prvých a druhých zložiek prvkov z množiny R získameprvky relácie R−1. R−1 = {(0, 1), (0, 2), (1, 1)}. √

Príklad 1.2.2 Majme reláciu R na množine M = {1, 2, 3, 4} definovanú na-sledovne: xRy ⇔ x ≥ y − 1. Vymenujte prvky relácie R a zistite, či jereflexívna, symetrická, antisymetrická, tranzitívna.Riešenie:


Ľahko nahliadneme, že prvkami množiny R sú nasledujúce usporiadané dvo-jice. R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1),(4, 2), (4, 3), (4, 4)}. Keďže každý prvok z množiny M je v relácii sám sosebou, daná relácia je reflexívna. Relácia nie je symetrická, lebo napr.(3, 1) ∈ R, ale (1, 3) /∈ R. Nie je ani antisymetrická, lebo (1, 2) ∈ R aj(2, 1) ∈ R, ale 2 6= 1. R nie je ani tranzitívna, lebo (2, 3) ∈ R aj (3, 4) ∈ R,ale (2, 4) /∈ R.

√

Príklad 1.2.3 Zistite, či relácia ϕ definovaná na množine N2 je reflexívna,symetrická, antisymetrická, tranzitívna, ak (a, b)ϕ(c, d) ⇔ a − c ≤ b.Riešenie:

Popíšme dané vlastnosti pre našu reláciu ϕ.Relácia ϕ je reflexívna, ak platí:∀(a, b) ∈ N2 : (a, b)ϕ(a, b).To je práve vtedy, ak a−a ≤ b, t.j. 0 ≤ b. Táto nerovnica platí pre ľubovoľnéb ∈ N. Relácia je reflexívna.Relácia ϕ je symetrická, ak platí:∀(a, b), (c, d) ∈ N2 : (a, b)ϕ(c, d) ⇒ (c, d)ϕ(a, b)To znamená, že ak platí a − c ≤ b, tak c − a ≤ d. Vezmime a=2, b=1,c=5 a d=1. Keďže pre tieto konštanty táto implikácia neplatí, relácia nie jesymetrická.Relácia ϕ je antisymetrická, ak platí:∀(a, b), (c, d) ∈ N2 : (a, b)ϕ(c, d) ∧ (c, d)ϕ(a, b) ⇒ (a, b) = (c, d),čo znamená, že z a − c ≤ b a zároveň c − a ≤ d vyplýva a = c a zároveňb = d. Pre (a, b) = (5, 6), (c, d) = (2, 3) je predpoklad splnený, ale záver nie.Relácia nie je antisymetrická.Relácia ϕ je tranzitívna, ak platí:∀(a, b), (c, d), (e, f) ∈ N2 : (a, b)ϕ(c, d) ∧ (c, d)ϕ(e, f) ⇒ (a, b)ϕ(e, f).To je práve vtedy, ak z a − c ≤ b a zároveň c − e ≤ d vyplýva a − e ≤ b. Zpredpokladov dostávame a − e ≤ b + d. Teda ešte nemusí byť splnený záverimplikácie (napr. pre (a, b) = (13, 11), (c, d) = (4, 5), (e, f) = (1, 3)). Relácianie je ani tranzitívna.Relácia ϕ je iba reflexívna.

√


1.3 Ekvivalencie


Príklad 1.3.1 Na množine M = {1, 2, 3, 4, 5} je daná relácia R = {(1, 2),(2, 3), (4, 4), (5, 5)}. Určte, či R je reflexívna, symetrická, antisymetrická,tranzitívna. Nájdite najmenšiu ekvivalenciu ε na množine M , ktorá obsahu-je reláciu R a určte rozklad množiny M určený reláciou ε, t.j. M/ε.Riešenie:

Relácia R nie je reflexívna, lebo napr. pre 1 ∈ M je (1, 1) /∈ R. Relácianie je ani symetrická, keďže (1, 2) ∈ R, ale (2, 1) /∈ R. Pretože podmienka(x, y) ∈ R a (y, x) ∈ R nie je splnená pre žiadne navzájom rôzne x, y ∈ M ,implikácia z (x, y) ∈ R a zároveň (y, x) ∈ R vyplýva x = y platí pre ľu-bovoľné x, y ∈ M , takže relácia je antisymetrická. Nakoniec, relácia nie jeani tranzitívna, lebo (1, 2) ∈ R aj (2, 3) ∈ R, ale (1, 3) /∈ R. Relácia Rnie je ekvivalencia, lebo nie je reflexívna, symetrická ani tranzitívna. Naj-menšiu ekvivalenciu ε nájdeme pridaním minimálneho počtu usporiadanýchdvojíc tak, aby vzniknutá relácia mala vlastnosti ekvivalencie. Relácia Rbude reflexívna, ak do R pridáme usporiadané dvojice (1, 1), (2, 2), (3, 3). Popridaní dvojíc (2, 1), (3, 2) bude vzniknutá relácia aj symetrická. A nakoniecpridaním usporiadanej dvojice (1, 3) je relácia aj tranzitívna. Teda reláciaε = R ∪ {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 2), (1, 3)} je reflexívna, symetrická atranzitívna a navyše je to najmenšia relácia s týmito vlastnosťami obsahujúcareláciu R. Nakoniec nájdeme triedy rozkladu množiny M podľa ekvivalencieε. Triedu rozkladu [1]ε prislúchajúcu prvku 1 tvoria všetky prvky množi-ny M , ktoré sú s prvkom 1 v relácii. Teda [1]ε = {1, 2, 3} = [2]ε = [3]ε.Keďže prvok 4 je v relácii iba sám so sebou a to isté platí aj o prvku5, [4]ε = {4}, [5]ε = {5}. Rozklad množiny M určený ekvivalenciou ε jeM/ε = {{1, 2, 3}, {4}, {5}}. √

Príklad 1.3.2 Zistite, či binárna relácia R je ekvivalencia na danej množine.Ak áno, nájdite triedy ekvivalencie.

a) na Z : xRy ⇔ x ≡ y(mod4),

b) na Z : xRy ⇔ x/y,

c) na R2 : (x, y)R(u, v) ⇔ 2xv = yu.


Riešenie:

Ak máme zistiť, či relácia je ekvivalencia, tak musíme overiť, či daná reláciaje reflexívna, symetrická a tranzitívna. Ak relácia nemá niektorú z týchtovlastností, nie je ekvivalenciou.

a) Takto definovaná relácia znamená, že x a y majú rovnaký zvyšok podelení štyrmi.Nech x ∈ Z. Relácia je reflexívna, lebo x a x majú rovnaký zvyšok podelení štyrmi.Nech x, y ∈ Z. Ak x a y majú rovnaký zvyšok po delení štyrmi, tak ajy a x majú rovnaký zvyšok po delení štyrmi. Relácia je symetrická.Nech x, y, z ∈ Z. Ak x a y majú rovnaký zvyšok po delení štyrmi a ya z majú rovnaký zvyšok po delení štyrmi, tak aj x a z majú rovnakýzvyšok po delení štyrmi. Keďže táto implikácia platí, relácia je tranzi-tívna.Teda relácia R je ekvivalencia. Trieda ekvivalencie prislúchajúca neja-kému celému číslu x je množina všetkých celých čísel, ktoré sú s danýmprvkom v relácii, čo znamená, že majú rovnaký zvyšok po delení štyrmiako x. Teda rozklad množiny Z určený ekvivalenciou R tvorí množinazvyškových tried po delení štyrmi.Z/R = {{...,−8,−4, 0, 4, 8, ...}, {...,−7,−3, 1, 5, 9, ...},{...,−6,−2, 2, 6, 10, ...}, {...,−5,−1, 3, 7, 11, ...}} = {0, 1, 2, 3} = Z4.

b) Relácia nie je ekvivalencia, lebo nie je symetrická (napr. 1 delí 2, ale 2nedelí 1).

c) Relácia nie je ekvivalencia, lebo nie je reflexívna (napr. (7, 3)R(7, 3),keďže 2.7.3 6= 3.7).

√


1.4 Zobrazenia


Príklad 1.4.1 Zistite, či relácia f ⊂ A2, A = {1, 2, 3, 4} je zobrazenie:

a) f = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)},

b) f = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)}.

Riešenie:

Relácia f z časti a) nie je zobrazenie, lebo f(2) = {3, 4}.V časti b) relácia f nie je zobrazením množiny {1, 2, 3, 4} do množiny {1, 2, 3, 4},lebo f(4) je prázdna množina. Relácia f určuje zobrazenie množiny {2, 3, 4}do množiny {1, 2, 3, 4}. Zobrazenie je dané predpisom f(x) = x − 1.

√

Príklad 1.4.2 Ktorú z vlastností: injektívnosť, surjektívnosť, bijektívnosťmá zobrazenie f : R → R? V prípade, že je bijekciou, nájdite k nemuinverzné zobrazenie.

a) f(x) = |x| + 1,

b) f(x) = 3x − 5.

Riešenie:

a) Zobrazenie nie je injektívne, lebo f(1) = f(−1) = 2. Navyše nie je anisurjektívne, lebo žiadne reálne číslo menšie ako 1 nemá v zobrazení f vzor.A teda sa nejedná ani o bijekciu.b)Zvoľme ľubovoľné x1, x2 ∈ R. Potom x1 6= x2 ⇒ 3x1 6= 3x2 ⇒ 3x1 − 5 6=3x2 − 5 ⇒ f(x1) 6= f(x2). Zobrazenie je injektívne.Ďalej ukážeme, že je surjektívne. Vezmime ľubovoľné y ∈ R. Hľadámex ∈ R také, že f(x) = y. Teda 3x − 5 = y. Z toho vyplýva, že x = 1

3(y + 5).

Číslo x = 1

3(y + 5) je vzor čísla y v zobrazení f . Zobrazenie f je surjektívne.

Zobrazenie, ktoré je injektívne aj surjektívne, je bijektívne. Navyše, ak vrovnosti x = 1

3(y + 5) zameníme x za y a naopak, dostaneme predpis y =

1

3(x + 5) inverzného zobrazenia k f .

√


Príklad 1.4.3 Ktoré z nasledujúcich štyroch množín sú ekvivalentné? A ={x ∈ Z : x je párne }, B = {1, 2, 3, ..., 7}, C = {x ∈ N : x je prvočíslo,x ≤ 20} a množina prirodzených čísel N.Riešenie:

Dve množiny sú ekvivalentné, ak majú rovnakú mohutnosť. Množiny A, Nsú nekonečné a množiny B,C sú konečné. Konečná množina nemôže byťekvivalentná s nekonečnou. Najprv vymenujeme prvky množiny C. C ={3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Teda |C| = |B| = 7, a teda množina C je ekvivalentnás množinou B. Prvky množiny A sú A = {... − 4,−2, 0, 2, 4, ...}. Definujmezobrazenie f z množiny N do množiny A nasledovne:

f(x) =

{

x, ak x je párne,1 − x, ak x je nepárne.

Čitateľ ľahko nahliadne, že takto definovaná funkcia je injektívna aj sur-jektívna, je to bijektívne zobrazenie. Teda |A| = |N|, množiny A a N súekvivalentné.

√


1.5 Neriešené úlohy

1.1 Ktoré dvojice množín sa rovnajú?

a) A = {a, b, c}, B = {a, c, b},

b) E = {x ∈ R : 0 < x ≤ 2}, F = {1, 2},

c) G = {x ∈ N : 0 < x ≤ 2}, H = {1, 2}.

1.2 Sú nasledujúce tvrdenia pravdivé?

a) {1, 2} = (1, 2),

b) C ∈ {a, b, c, ...z},

c) ∅ je prázdna množina,

d) 0 je prázdna množina,

e) 95 ∈ {5, 10, 15, ...},

f) 2 ∈ {2, 4, 6},

g) 2 ⊂ {2, 4, 6},

h) {2} ∈ {2, 4, 6},

i) {2} ⊂ {2, 4, 6},

j) x ∈ {x},

k) {x} ⊆ {x},

l) {x} ∈ {x},

m) {x} ∈ {{x}},

n) ∅ ⊆ {x},

o) ∅ ∈ {x},

p) {∅} je prázdna množina.

1.3 Vypíšte prvky množín:


a) {x ∈ N : x + 3 = 5},

b) {x ∈ N : x + 1 = x},

c) {x ∈ N : x + 7 ≥ 1},

d) {x ∈ Z : −3 ≤ −2x + 1 ≤ 7}.

1.4 Nech A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {x ∈ N : x je párne, }, C = {1, 2, 3, 4, 5}.Nájdite prvky množiny (A ∩ B) ÷ C.

1.5 Nech A = {1, 2, 3}, B = {a, b}. Utvorte A × B,B × A,A × A,B × B.

1.6 Nájdite prvky potenčnej množiny P(A), ak:

a) A = {2, 4},

b) A = {x, y, z}.

1.7 Nech U = {0, 1, 2, ...9} je základná množina. Nájdite prvky množín{0, 1, 2}, U, ∅.

1.8 Nech U = {a, e, i, o, u} je základná množina, A = {a, e, u}, B = {i, o, u}.Nájdite prvky množín A ∩ B,A ∩ B,A ∪ B,A ∪ B.

1.9 Pomocou Vennových diagramov demonštrujte platnosť:

a) distribučného zákona A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),

b) DeMorganových zákonov A ∪ B = A ∩ B,A ∩ B = A ∪ B.

1.10 Pomocou Vennových diagramov sa presvedčte o platnosti rovnice(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A) = (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) ∩ (C ∪ A).

1.11 Zistite, či platí (A ∩ B ∩ C) ∪ [(A ∩ B) − C] = A ∩ B.

1.12 Zistite, či platia nasledujúce rovnice. Ak áno, dokážte. Ak nie, uveďtekontrapríklad.

a) X ∩ (Y − Z) = (X ∩ Y ) − (X ∩ Z),

b) X − (Y ∪ Z) = (X − Y ) ∪ Z,


c) (X ÷ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z) ÷ (Y ∩ Z).

1.13 Aký je počet prvkov množín A = {a}, B = {{a}}, C = {a, {a}}, D ={a, {a}, {a, {a}}}?

1.14 Nájdite všetky rozklady množín

a) {1, 2},

b) {a, b, c}.

1.15 Koľko prvkov obsahuje potenčná množina množiny {1, 2, 3, 4, 5}?

1.16 Nech A = {1, 2, 3} a B = {4, 8}. Nájdite prvky relácie R ⊂ A × B,ktorá je definovaná takto: aRb ⇔ a − 4 < b + 2, kde a ∈ A, b ∈ B. Nájditegrafickú a maticovú reprezentáciu inverznej relácie R−1.

1.17 Majme množiny A = {x ∈ Z : −1 ≤ x ≤ 3}, B = {y ∈ N : y ≤ 5}.Nájdite a graficky znázornite reláciu R ⊂ A × B, ktorá je definovaná takto:xRy ⇔ x + y ≤ 2.

1.18 Na množine A = {1, 2, 3, 4} sú dané relácie R = {(x, y) ∈ A × A :x|(2y)}, S = {(x, y) ∈ A×A : (2x)|(3y)}. Vypíšte prvky relácií R, S, R∪S,R∪ S.

1.19 Majme reláciu R na množine {1, 2, 3, 4, 5} definovanú takto:

a) (x, y) ∈ R ⇔ 3|(x − y),

b) (x, y) ∈ R ⇔ x + y ≤ 6.

Vymenujte prvky relácie R aj inverznej relácie R−1.

1.20 Je relácia R z predchádzajúcej úlohy reflexívna, symetrická, antisy-metrická, tranzitívna?

1.21 Zistite, či relácia R = {(x, y) ∈ A × A : x|(x + y)}, kde A ={1, 2, 3, 5, 6} je reflexívna, symetrická, tranzitívna.

1.22 Zistite, či existuje množina M a binárna relácia R na množine M ,ktorá je súčasne symetrická aj antisymetrická.


1.23 Zistite, ktoré z nasledujúcich relácii na množine A = {1, 2, 3} sú sinavzájom rovné?

a) R1 = {(x, y) ∈ A × A : x ≤ y},

b) R2 = {(a, b) ∈ A × A : a ≤ b},

c) R3 = {(y, x) ∈ A × A : y ≤ x},

d) R4 = {(y, x) ∈ A × A : x ≤ y}.

Nakreslite karteziánske grafy týchto relácii.

1.24 Na každom bite je buď 0 alebo 1. Nech X je množina všetkých 4-bitových reťazcov. Definujme reláciu R na X takto: r1Rr2 ⇔ ak nejakýpodreťazec z r1 dĺžky 2 je rovnaký ako nejaký podreťazec z r2 dĺžky 2. Napr.0111R1010, lebo 0111 aj 1010 obsahujú 01, ale napr. 1110R0001. Je tátorelácia reflexívna, symetrická, antisymetrická, tranzitívna?

1.25 Na množine M = {1, 2, 3, 4} sú dané relácie R1,R2,R3. Určte, ktoré znich sú reflexívne, symetrické, antisymetrické, tranzitívne. Nájdite najmen-šiu ekvivalenciu εi na množine M , ktorá obsahuje reláciu Ri. Určte rozkladM/εi, i = 1, 2, 3.

a) R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 4)},

b) R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)},

c) R3 = {(1, 2), (2, 3)}.

1.26 Nech X je neprázdna množina. Definujme na potenčnej množine P(X)reláciu R takto: (A,B) ∈ R ⇔ A ⊆ B. Je relácia R ekvivalenciou?

1.27 Určte, či daná relácia je ekvivalencia na množine {1, 2, 3, 4, 5}. Akáno, nájdite triedy ekvivalencie.

a) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 3), (3, 1)},

b) {(x, y); 2|(x − y)}.

1.28 Nájdite ekvivalenciu (ako množinu usporiadaných dvojíc) na množine{a, b, c, d, e}, ak triedy ekvivalencie sú {{a}, {b, d, e}, {c}}.


1.29 Zistite, či relácie α, β, γ sú ekvivalencie na množine R2:

a) (a, b)α(c, d) ⇔ a + 2b = c + 2d,

b) (a, b)β(c, d) ⇔ a + 2c = b + 2d,

c) (a, b)γ(c, d) ⇔ a + b = c + d.

1.30 Zistite, či nasledujúce binárne relácie sú reflexívne, symetrické, antisy-metrické, tranzitívne. Rozhodnite, ktoré z relácii R sú ekvivalencie a nájditepríslušné triedy ekvivalencie:

a) R = {(x, y) ∈ N × N : x|y ∨ y|x},

b) R = {(x, y) ∈ R × R : (∃k ∈ Z : x − y = kπ)},

c) R = {(x, y) ∈ R × R : y = x − 2},

d) R = {(x, y) ∈ R × R : y = x2},

e) R = {(x, y) ∈ N × N : x|y},

f) R = {(x, y) ∈ N × N : x.y ≡ 1( mod 2)},

g) R = {(x, y) ∈ R × R : x + y ≥ 2000},

h) R = {(x, y) ∈ R × R : x + 2y < 10},

i) R = {(x, y) ∈ Z × Z : x + y je párne },

j) R = {(x, y) ∈ N × N : x + y je nepárne },

k) R = {(x, y) ∈ Z × Z : 4x ≡ y( mod 3)},

l) R = {(x, y) ∈ N × N : nsd (x, y) = 1},

m) R = {(x, y) ∈ Z × Z : |x − y| ≥ 1},

n) R = {(x, y) ∈ R × R : |x − y| ≤ 1},

o) α = {((a, b), (c, d)) ∈ R2 × R2 : (a > c − 1) ∧ (b > d − 1)},

p) α = {((a, b), (c, d)) ∈ R2 × R2 : a + 2b = c + 2d},


q) α = {((a, b), (c, d)) ∈ R2 × R2 : a + b = −c − d},

r) α = {((a, b), (c, d)) ∈ R2 × Z2 : (a + b ≤ c) ∧ (b ≤ d)},

s) α = {((a, b), (c, d)) ∈ R2 × R2 : a + d = b + c}.

1.31 Zistite, ktoré z relácii R na množine N sú ekvivalencie:

a) xRy ⇔ x = y2,

b) xRy ⇔ x > y,

c) xRy ⇔ x ≥ y,

d) xRy ⇔ x = y,

e) xRy ⇔ 3|(x − y),

f) xRy ⇔ 3|(x + y),

g) xRy ⇔ x|(2 − y),

h) xRy ⇔ x ≡ y( mod 6).

1.32 Nech A je množina všetkých usporiadaných štvoríc z núl a jednotiek.Dve usporiadané štvorice sú v relácii R práve vtedy, ak sa zhodujú:

a) aspoň v dvoch zložkách,

b) v prvých dvoch zložkách.

Zistite, či relácia R je reláciou ekvivalencie. Ak áno, určte triedy ekvivalen-cie.

1.33 Nech P(A) je množina všetkých podmnožín n-prvkovej množiny A.Binárnu reláciu α definujeme nasledovne: AiαAj ⇔ existuje bijektívne zo-brazenie množiny Ai do množiny Aj. Je relácia α ekvivalencia na P(A)? Akáno, určte triedy ekvivalencie.

1.34 Nech m je pevne zvolené prirodzené číslo. Je α = {(i, j) ∈ N × N :∃k ∈ Z, i = j + km} ekvivalencia? Ak áno, určte triedy ekvivalencie.

1.35 Zistite, či binárna relácia f ⊂ N2 je funkcia:


a) f = {(x, x) : x ∈ N} ∪ {(x + 1, x) : x ∈ N},

b) f = {(x, x2 + x) : x ∈ N}.

1.36 Nájdite bijekcie f : N → Z, g : Z → N, ktoré:

a) sú navzájom inverzné,

b) nie sú navzájom inverzné.

1.37 Dané sú množiny A = {4, 5, 7, 9}, B = {−2,−1, 0, 1, 2} a relácieU1 = {(4,−1), (7, 0), (9, 0), (5, 2)}, U2 = {(5,−2), (4, 0), (7, 2), (9,−1)}. Roz-hodnite, ktorá z relácii je injektivnym a ktorá surjektívnym zobrazením mno-žiny A do množiny B.

1.38 Nech A = {1, 2, 3} a B = {1, 2, 3, 4}. Je fi funkcia množiny A domnožiny B (fi : A → B), ak:

a) f1 = {(1, 2), (2, 2), (3, 4)},

b) f2 = {(1, 2), (2, 3)},

c) f3 = {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (3, 3)}?

1.39 Zistite, či relácia R je funkcia množiny X = {1, 2, 3, 4} do množinyY = {a, b, c, d} (R : X → Y ). Ak áno, nájdite definičný obor, obor hodnôt aurčte, či je injektívna, surjektívna, bijektívna. Nájdite inverznú funkciu, akexistuje.

a) R = {(1, a), (2, a), (3, c), (4, b)},

b) R = {(1, c), (2, a), (3, b), (4, c), (2, d)},

c) R = {(1, c), (2, d), (3, a), (4, b)},

d) R = {(1, d), (2, d), (4, a)},

d) R = {(1, b), (2, b), (3, b), (4, b)}.

1.40 Nájdite zobrazenie f : N → N, ktoré:

a) nie je injektívne a je surjektívne,


b) je injektívne a nie je surjektívne,

c) nie je injektívne ani surjektívne,

d) je bijektívne, ale nie je to identita.

1.41 Majme f : A → B, g : B → C. Ak f, g sú injektívne (surjektívne,bijektívne), tak aj f ◦ g je injektívne (surjektívne, bijektívne). Dokážte to.

1.42 Koľko funkcii f : {1, 2} → {a, b} existuje?

1.43 Koľko injektívnych funkcií f : A → B existuje, pričom |A| = 3, |B| =4?

1.44 Koľko surjektívnych funkcií f : A → B existuje, pričom |A| = 3, |B| =2?

1.45 Zistite, či dané zobrazenie je injektívne, surjektívne, bijektívne:

a) f : N → N : f(n) = 2n,

b) g : Z → Z : g(x) = x − 1,

c) h : 〈−π2, π

2〉 → 〈−1, 1〉 : h(x) = sin x,

d) f : R → 〈−1, 1〉 : f(x) = cos x,

e) g : N × N → R : g(x, y) = xy,

f) h : N → N × N : f(n) = (2n, n),

g) f : Z × Z − {0} → Q : f(x, y) = xy,

h) g : M2(R) → R4 : f

(

a bc d

)

= (a, b, c, d).

1.46 Je množina párnych prirodzených čísel ekvivalentná s množinou ne-párnych prirodzených čísel?

1.47 Majú množiny A×B,B×A rovnaký počet prvkov pre ľubovoľné dvemnožiny A,B?


1.48 Ktoré z nasledujúcich množín N, N × N, Z − N, Z × {1, 2} sú ekviva-lentné?

1.49 Ktoré z nasledujúcich množín N, N ∪ {−1,−2}, Z sú ekvivalentné?

1.50 Zistite, či množiny Z a M = {2k : k ∈ N} majú rovnakú mohutnosť.

1.51 Zistite, či množiny A = {x ∈ Z : x ≡ 0( mod 3)} a B = { 1

3k : k ∈ N}majú rovnaký počet prvkov.


1.6 Výsledky neriešených úloh

1.1 a)c) áno, b) nie.

1.2 c)e)f)i)j)k)m)n) áno, ostatné nie.

1.3 a) {2}, b) ∅, c) N, d) {−3,−2,−1, 0, 1, 2}.

1.4 {1, 3, 5, 6}.

1.5 A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)},B × A = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)},A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)},B × B = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}.

1.6

a) {∅, {2}, {4}, {2, 4}},

b) {∅, {x}, {y}, {z}, {x, z}, {x, y}, {y, z}, {x, y, z}}.

1.7 {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ∅, U .

1.8 ∅, {a, e, i, o}, {a, e, i, o}, ∅.

1.9 Ponechávame na čitateľa.


1.11 Áno.

1.12 a)c) platia, b) neplatí.

1.13 1,1,2,3.

1.14

a) {{1}, {2}}, {{1, 2}},

b) {{a}, {b}, {c}}, {{a}, {b, c}}, {{b}, {a, c}}, {{c}, {a, b}}, {{a, b, c}}.

1.15 32.


1.16 R−1 = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (8, 1)}.(

1 1 11 0 0

)

Obrázok 3

-1

-1 2

1

x

y

4 6 8

2

3

1.17 R−1 = {(−1, 1), (−1, 2), (−1, 3), (0, 1), (0, 2), (1, 1)}.

1 1 1 0 01 1 0 0 01 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

.


Obrázok 4

-1

-1 1

1

x

y

2 3 4

2

3

4

5

1.18 R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (4, 2),(4, 4)},

S = {(1, 2), (1, 4), (2, 4), (3, 2), (3, 4)},R∪S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3),

(3, 4), (4, 2), (4, 4)},R ∪ S = {(3, 1), (4, 1), (4, 3)}.

1.19

a) R = {(1, 1), (1, 4), (2, 2), (2, 5), (3, 3), (4, 1), (4, 4), (5, 2), (5, 5)},R−1 = {(1, 1), (4, 1), (2, 2), (5, 2), (3, 3), (1, 4), (4, 4), (2, 5), (5.5)},

b) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)},R−1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)}.

1.20

a) je reflexívna, symetrická a tranzitívna,

b) nemá žiadnu z daných vlastností.


1.21 R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (5, 5), (6, 6)}.Je iba reflexívna.

1.22 Áno.

1.23 R1 = R2 = R3.

1.24 Je reflexívna a symetrická.

1.25

a) je reflexívna, antisymetrická a tranzitívna,ε1 = R1 ∪ {(1, 2)},

b) nemá žiadnu z daných vlastností,ε2 = R2 ∪ {(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)},

c) je antisymetrická,ε3 = R3 ∪ {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (3, 3), (4, 4)}.

1.26 Áno.

1.27 a) áno, {{1, 3}, {2}, {4}, {5}}, b) áno, {{1, 3, 5}, {2, 4}}.

1.28 ε{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (b, d), (d, b), (d, e), (e, d), (b, e), (e, b)}.

1.29 α, γ áno, β nie.

1.30

a) reflexívna, symetrická,

b) ekvivalencia, nekonečne veľa tried rozkladu, triedy obsahujú čísla, kto-rých rozdiel je násobkom čísla π,

c) antisymetrická,

d) antisymetrická,

e) reflexívna, antisymetrická, tranzitívna,


f) symetrická, tranzitívna,

g) symetrická,

h) nemá žiadnu z daných vlastností,

i) ekvivalencia, dve triedy rozkladu: párne a nepárne čísla,

j) symetrická,

k) ekvivalencia, triedy sú zvyškové triedy pri module 3,

l) symetrická,

m) symetrická,

n) reflexívna, symetrická, tranzitívna,

o) reflexívna,

p) reflexívna, symetrická, tranzitívna,

q) nemá žiadnu z daných vlastností,

r) nemá žiadnu z daných vlastností,

s) reflexívna, antisymetrická, tranzitívna.

1.31 d)e)h) sú ekvivalencie, ostatné nie sú.

1.32

a) nie, lebo nie je tranzitívna,

b) áno, štyri triedy, do jednej triedy patria usporiadané štvorice, ktorémajú rovnakú prvú a druhú zložku.

1.33 Áno. V jednej triede ekvivalencie sú množiny z P(A) s rovnakýmpočtom prvkov.

1.34 36.

1.35 a) nie, b) áno.



1.37 U1 nie je injektívná ani surjektívna, U2 je injektívná, ale nie je sur-jektívna.

1.38 f1 je funkcia , f2 a f3 nie sú funkcie.

1.39

a) je funkcia, nie je injektívna ani surjektívna,

b) nie je funkcia,

c) je funkcia, je bijektívna, teda existuje inverzné zobrazenie,

d) nie je funkcia,

e) je funkcia, nie je injektívna ani surjektívna.



1.42 4.

1.43 24.

1.44 12.

1.45 a)f) injektívne, b)c)h) bijektívne, d)g) surjektívne, e) nemá žiadnuz vlastností.

1.46 Áno.

1.47 Áno.

1.48 Všetky.

1.49 Všetky.

1.50 Áno.

1.51 Áno.

2 BOOLOVSKÁ ALGEBRA 27

2 Boolovská algebra

2.1 Čiastočne usporiadané množiny


Príklad 2.1.1 Je daná množina Dn všetkých nezáporných deliteľov priro-dzeného čísla n, n > 1. Nech S je binárna relácia na množine Dn definovanápredpisom: xSy ⇔ x|y. Zistite, či relácia S je čiastočné usporiadanie namnožine Dn. Ak áno, znázornite Haaseho diagram pre n=40. Nájdite všet-ky maximálne a minimálne prvky pre (D40,S).Riešenie:

Ak máme zistiť, či relácia S je reláciou čiastočného usporiadania, musímeoveriť vlastnosti reflexívnosť, antisymetrickosť a tranzitívnosť.Reflexívnosť:∀x ∈ Dn : x|x, čo platí, relácia je reflexívna.Antisymetrickosť:∀x, y ∈ Dn : x|y ∧ y|x ⇒ x = y. Z predpokladov vyplýva, že existujú celéčísla k, l také, že y = k.x a x = l.y. Dostávame y = k.l.y. To platí právevtedy, keď k.l = 1. A z toho dostávame k = l = 1 (k = l = −1 nemôženastať, keďže x, y musia byť kladné), teda x=y. Relácia je antisymetrická.Tranzitívnosť:∀x, y, z ∈ Dn : x|y ∧ y|z ⇒ x|z. Z predpokladov vyplýva, že existujú celéčísla k, l také, že y = k.x a z = l.y. Dostávame z = k.l.x. Teda x|z. Reláciaje tranzitívna.Keďže relácia má všetky požadované vlastnosti, je reláciou čiastočného uspo-roriadania. To znamená, že (Dn,S) je čiastočne usporiadaná množina.Teraz určme delitele čísla 40 z množiny prirodzených čísel. D40 = {1, 2, 4, 5, 8,10, 20, 40}. Hľadaný Haaseho diagram je na obrázku 5.Z tohto Haaseho diagramu vyčítame najväčší, najmenší prvok, maximálneaj minimálne prvky. Vidíme, že najväčší prvok je rovnaký ako maximálnyprvok, je to 40, najmenší prvok je ten istý ako minimálny prvok, je ním pr-vok 1. Zovšeobecnene platí, že čiastočne usporiadaná množina (Dn,S) mávždy jediný maximálny prvok (je to číslo n), ktorý je najväčší prvok tejtočiastočne usporiadanej množiny. V (Dn,S) existuje jediný minimálny prvok(je to číslo 1), ktorý je najmenším prvkom v (Dn,S).

√


Obrázok 5

1

5 2

10 4

20 8

40


2.2 Zväzy


Príklad 2.2.1 Zistite, či množina Dn (definovaná v predchádzajúcej úlohe)spolu s reláciou S (xSy ⇔ x|y) je zväz.Riešenie:

Usporiadaná dvojica (Dn,S) je zväz, ak sú splnené dve podmienky, a to:1. (Dn,S) je čiastočne usporiadaná množina2. ∀x, y ∈ Dn : existuje sup{x, y} a existuje inf{x, y}.V predchádzajúcej kapitole sme zistili, že (Dn,S) je čiastočne usporiada-ná množina. Potrebujeme ešte zistiť, či pre každé dva prvky z Dn existujeich supremum a infimum. Keďže množina Dn je množinou všetkých priro-dzených deliteľov čísla n, sup{x, y} ako najmenší prvok z množiny hornýchohraničení prvkov x, y v ktorej sú všetky spoločné násobky čísel x, y určímeako ich najmenší spoločný násobok, označme nsn{x, y}. Podobnou úvahoumôžme definovať inf{x, y} ako nsd{x, y} (najväčší spoločný deliteľ), keďže vmnožine dolných ohraničení sú spoločné delitele čísel x, y a jej najväčší prvokje nsd{x, y}. Teda (Dn,S) je zväz.

√

Príklad 2.2.2 Zistite, či zväz ({1, 2, 4, 8, 10, 40}, /) je distributívny, komple-mentárny, booleovský.Riešenie:

Najprv zakreslíme Haaseho diagram zadaného zväzu.Obrázok 6

1

2

10 4

8

40


Tento zväz nie je distributívny, lebo obsahuje podzväz s prvkami {2, 4, 10,8, 40}, ktorý je izomorfný s N5, resp. 4 ∨ (8 ∧ 10) 6= (4 ∨ 8) ∧ (4 ∨ 10).Daný zväz nie je ani komplementárny, lebo k prvku 8 neexistuje komplement(komplement k prvku 8 nemôže byť s ním v reťazci, do úvahy prichádza ibaprvok 10, ale inf{8, 10} je 2 a nie najmenší prvok 1). Teda zväz nie je anibooleovský.

√


2.3 Boolovské funkcie


Príklad 2.3.1 Zistite, či formuly sú ekvivalentné: x ⇔ y, x ∧ y ∧ (x ∨ y)Riešenie:

Označme f1, f2 booleovské funkcie zodpovedajúce zadaným formulám. Po-mocou tabuľky pravdivostných hodnôt určíme hodnoty týchto funkcií v jed-notlivých bodoch definičného oboru.

x y f1 x ∧ y x ∨ y f2

1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 1 1

Z tabuľky vidíme, že f1 = f2 a teda zadané formuly sú ekvivalentné.√

Príklad 2.3.2 Nájdite formuly ekvivalentné s formulou x ∧ y ⇒ z tak, abyobsahovali iba:

a) negáciu a disjunkciu,

b) negáciu a konjunkciu,

c) negáciu a implikáciu.

Riešenie:

Využitím základných ekvivalencií pre formuly upravíme zadanú formulu napožadovaný tvar.

a) x ∧ y ⇒ z ∼ x ∨ y ⇒ z ∼ x ∨ y ∨ z,

b) x ∧ y ⇒ z ∼ x ∧ y ∧ z,

c) x ∧ y ⇒ z ∼ x ⇒ y ⇒ z.√


Príklad 2.3.3 Nájdite normálny disjunktívny tvar a normálny konjunktív-ny tvar booleovskej funkcie f realizovanej formulou x∨y ⇒ z. Minimalizujteich.Riešenie:

Normálne tvary určíme pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt funkcie f .

x y z f(x,y,z)

1 1 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 0 1

Využitím riadkov, kde f(x, y, z) = 1, určíme normálny disjunktívny tvar fun-kcie f . Pre každý taký riadok nájdeme elementárnu konjunkciu. Hľadanýnormálny disjunktívny tvar je (x∧ y ∧ z)∨ (x∧ y ∧ z)∨ (x∧ y ∧ z)∨ (x∧ y ∧z) ∨ (x ∧ y ∧ z).Využitím riadkov, kde f(x, y, z) = 0, určíme normálny konjunktívny tvarfunkcie f . Pre každý taký riadok nájdeme elementárnu disjunkciu. Hľadanýnormálny konjunktívny tvar je (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z).Minimalizáciu urobíme najprv pomocou distributívneho zákona a potom po-mocou Karnaughovej mapy.(x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z)∼ (x∧ z)∨ (x∧ z)∨ (x∧y∧ z) ∼ z∨ (x∧y∧ z) ∼ z∨ (x∧y), čo je minimálnydisjunktívny tvar.(x∨y∨z)∧(x∨y∨z)∧(x∨y∨z) ∼ z∨(x∧(x∨y)) ∼ z∨(x∧y) ∼ (x∨z)∧(y∨z),čo je minimálny konjunktívny tvar.Použitím Karnaughovej mapy ihneď získame minimálne tvary. Najprv zapí-šeme zadanú funkciu f do Karnaughovej mapy. V Karnaughovej mape sa odstĺpca k stĺpcu a od riadka k riadku mení zakaždým len jedna premenná. Toplatí tiež pre okraje Karnaughovej mapy.


y = z = 0 y = 1z = 0 y = z = 1 y = 0z = 1100 110 111 101

x = 1 1 1 0 0000 010 011 001

x = 0 1 1 0 1

Keď chceme nájsť minimálny disjunktívny tvar, združíme jednotky (ak sadá) vždy po dvoch, štyroch, ôsmich,...V našom prípade môžeme spojiť štyrijednotky, ktoré sú v druhom, treťom riadku a súčasne v druhom, treťomstĺpci. Ich spoločnou časťou je z = 0, čomu odpovedá z. A tiež môžeme spojiťjednotku v poslednom riadku a poslednom stĺpci s jednotkou v druhom stĺpcia poslednom riadku. Ich spoločnou časťou je x = y = 0, čomu odpovedá x∧y.Teda hľadaný minimálny disjunktívny tvar je z ∨ (x ∧ y).Keď chceme nájsť minimálny konjunktívny tvar, združíme nuly (ak sa dá)vždy po dvoch, štyroch, ôsmich,...V našom prípade môžeme spojiť dve nuly,ktoré sú v druhom riadku. Ich spoločnou časťou je x = z = 1, čomu odpovedáz ∨ x. A tiež môžeme spojiť nuly v štvrtom stĺpci. Ich spoločnou časťou jey = z = 1, čomu odpovedá z ∨ y. Teda hľadaný minimálny konjunktívnytvar je (x ∨ z) ∧ (y ∨ z).

√

Príklad 2.3.4 Linka pozostáva z 3 strojov. Zostrojte kontaktnú sieť s mini-málnym počtom spínačov tak, aby signalizovala, že nastal prípad, keď prvýstroj nepracuje a z ostatných pracuje aspoň jeden.Riešenie:

V našom prípade má sieťou prechádzať prúd práve vtedy, ak nastane niekto-rý z nasledujúcich troch prípadov:1.druhý stroj pracuje, prvý a tretí nepracujú2.prvý a druhý stroj nepracujú, tretí pracuje3.prvý stroj nepracuje, druhý a tretí pracujú.Tieto prípady môžeme charakterizovať booleovskou funkciou f , ktorá budemať hodnotu 1 iba v prípadoch odpovedajúcim situáciam v 1,2,3.Zapíšme tieto hodnoty do Karnaughovej mapy.

y = z = 0 y = 1z = 0 y = z = 1 y = 0z = 1100 110 111 101

x = 1000 010 011 001

x = 0 1 1 1


Môžeme spojiť dve a dve jednotky v poslednom riadku, raz jednotky v treťoma štvrtom stĺpci a raz jednotky v poslednom a predposlednom stĺpci. Spo-ločnou časťou prvej dvojice je x = 0, y = 1, čomu odpovedá x∧y. Spoločnoučasťou druhej dvojice je x = 0, z = 1, čomu odpovedá x ∧ z. Minimálnydisjunktívny tvar našej funkcie je(x∧y)∨ (x∧z), čomu zodpovedá kontaktnásieť so štyrmi vypínačmi. Ak použijeme ešte distributívny zákon, našu fun-kciu môžeme upraviť na jednoduchší tvar x∧ (y ∨ z), ktorý sa už ďalej nedáupraviť. Takto zapísanej funkcii odpovedá kontaktná sieť s tromi spínačmi(pozri obrázok 7).

Obrázok 7:

x

yY

z√

Príklad 2.3.5 Štyria priatelia Martin, Noro, Ondrej a Peter sa rozhodli, žepôjdu na túru. Pretože boli trochu rozhádaní, začali si klásť podmienky naspoločníkov.

1) Martin: Pôjdem, ak nepôjde Ondrej a zároveň pôjde Noro a pôjdempráve vtedy, ak nepôjde Peter.

2) Noro: Pôjdem, ak nepôjde Peter alebo pôjdem, ak pôjde Martin.

3) Ondrej: Ak pôjdem, tak musí ísť Martin a Noro.

4) Peter: Ak nepôjde Noro, tak pôjdem, ak pôjde Ondrej.

Rozhodnite, v akom zložení sa môžu vybrať na výlet, aby podmienky každéhoboli splnené.Riešenie:

Označme m, n, o, p elementárne výroky: Martin pôjde na túru, ..., Peterpôjde na túru. Zostrojme logickú štruktúru jednotlivých zložených výrokov.


1) (o ∧ n ⇒ m) ∧ (m ⇔ p)

2) (p ⇒ n) ∨ (m ⇒ n)

3) o ⇒ m ∧ n

4) n ⇒ (o ⇒ p)

Teraz budeme hľadať také hodnoty premenných m, n, o, p, aby booleovskéfunkcie odpovedajúce formulám 1)-4) nadobúdali v nich hodnotu 1. Keďžemáme 4 premenné, potrebujeme zostrojiť tabuľku so 16 riadkami. Všimnimesi, že vo formule 3) dostaneme pravdivostnú hodnotu 1 prea) o=1, m=n=1, o-ľubovoľné,b) o=0, m,n,p-ľubovoľné,čomu odpovedá tabuľka pravdivostných hodnôt s 10 riadkami. Ak má for-mula 1) nadobúdať pravdivostnú hodnotu 1, tak m,p musia mať navzájomopačné pravdivostné hodnoty, a teda tabuľku pravdivostných hodnôt môžmeredukovať na 5 riadkov. Ďalej určíme hodnoty booleovských funkcií opísa-ných formulami 1)2)4). V prípade, keď niektorá formula nadobudne v riadkuhodnotu 0, riadok je pre ďalšie počítanie nezaujímavý.

m n o p 1) 2) 4)

1 1 1 0 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0

0 1 0 1 1 0

0 0 0 1 1 1 1

Po vyplnení tabuľky pravdivostných hodnôt vidíme, že všetky formuly nado-búdajú hodnotu 1 v 1.,2. a 5. riadku tabuľky, z čoho dostávame, že priateliasa môže vybrať na výlet v zložení:1. Martin, Noro, Ondrej.2. Martin, Noro.3. Peter

√



2.1 Nech A = {1, 3, 5, 6, 12, 15, 18, 20, 21}.Znázornite Haaseho diagram ČUM (A,|).Nájdite najväčší a najmenší, minimálny a maximálny prvok danej ČUM.Určte: inf{3, 6, 18}, inf{6, 12, 18}, inf{6, 15, 20}, inf{12, 15, 18},sup{3, 5}, sup{6, 21}, sup{3, 21}, sup{3, 6, 15}.

2.2 Nech T = {∅, {a}, {b}, {d}, {b, c}, {a, b}, {a, d}, {b, c, d}, {a, b, c},{a, e, d}, {a, b, c, d}, {b, c, d, e}, {a, b, d, e}, {a, b, c, d, e}}.Znázornite Haaseho diagram ČUM (T,⊆). Určte: inf{{a, b, c}, {a, d, e}},sup{{a, b}, {b, c}}, inf{{a, b, c, d}, {a, b, d, e}}, sup{{a, d, e}, {a}, {d}},inf{{a, b, c, d}, {b, c, d, e}, {a, b, d, e}}, sup{{a, b, c}, {b, c}, {a, b, c, d}}.

2.3 Zistite, či (A,R) je ČUM, ak A = R × R a relácia R je definovanánasledovne:

a) (a, b)R(c, d) ⇔ a + b ≤ c ∧ b ≤ d,

b) (a, b)R(c, d) ⇔ a ≤ c ∧ b ≤ d.

2.4 Pre neprázdnu množinu X zavedieme na množine RXreálnych funkcií

definovaných na X reláciu α takto: fαg ⇔ f(x) ≤ g(x) pre všetky x ∈ X (≤je bežné usporiadanie reálnych čísel podľa veľkosti). Je relácia α čiastočnéusporiadanie na R

X? Je (RX , α) zväz?

2.5 Nájdite najmenší, najväčší, minimálny a maximálny prvok ČUM ({5, 7,14, 35, 140}, |).

2.6 Nájdite najmenší, najväčší, minimálny a maximálny prvok ČUM ({2, 3,4, 6, 8, 12, 16, 18, 36, 48, 72}, |).

2.7 Zistite, či ({1, 2, 3, 12, 30, 60}, |) je zväz.

2.8 Zistite, či zväz (D45, |) je izomorfný so zväzom (D50, |).

2.9 Zistite, či niektorý zo zväzov (D30, |), (D20, |), (D105, |), (D125, |) je izo-morfný so zväzom (P(M),∪,∩), ak P(M) je potenčná množina množinyM = {a, b, c}.

2.10 Zistite, či zväz (D30, |) je distributívny, komplementárny, booleovský.


2.11 Zistite, či zväz L1 = ({0, 1}× {0, 1, 2, 3, 4, 5},R) , kde (a, b)R(c, d) ⇔a ≤ c ∧ b ≤ d je izomorfný so zväzom L2 = (D128, |).

2.12 Zistite, či usporiadaná dvojica (M, |) je distributívny zväz, ak M ={1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36}.

2.13 Zistite, či (P({a, b, c}),∪,∩) je zväz. Ak áno, zistite, či je distributív-ny, komplementárny.

2.14 Zistite, či (P(X),∪,∩), kde X je ľubovoľná neprázdna množina, jezväz. Ak áno, zistite, či je distributívny, komplementárny.

2.15 Zistite, či (A, |) tvorí zväz, ak A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 20, 30, 36, 45,90, 180}.

2.16 Zistite, či zväz (D60, |) je komplementárny.

2.17 Zistite, či (T,⊆) je zväz, ak T = {∅, {b}, {c}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c, e},{a, b, c, d}, {a, b, c, d, e}}.

2.18 Zistite, či zväz L = ({0, 1, 2}×{0, 1, 2, 3},≤) (≤ je usporiadanie dvojícpo zložkách) je izomorfný so zväzom (D72, |).

2.19 Dokážte, že zväz L = ({0, 1} × {0, 1} × {0, 1},≤) (≤ je usporiadaniedvojíc po zložkách) je izomorfný so zväzom (P(M),⊆), ak M = {a, b, c}.

2.20 Zistite, či (M,R) tvorí distributívny zväz, ak M = {2, 4, 8, 16, 64, 642}a relácia R je definovaná nasledovne: aRb ⇔ ∃n ∈ N : b = an.

2.21 Nech M = {a, b, c, d} a množina A je množina všetkých podmnožínmnožiny M , ktoré majú párny počet prvkov. Zistite, či (A,⊆) tvorí distri-butívny zväz.

2.22 Nech M = {a, b, c, d} a nech A je množina všetkých podmnožín mno-žiny M , ktoré majú nepárny počet prvkov. Zistite, či (A,⊆) tvorí zväz.

2.23 Zistite, či (A,⊆) je podzväz zväzu (P(X),⊆), ak A = {∅, {b}, {d},{a, b, d}, {b, c, d}, {b, d, e}, {a, b, c, d}, {a, b, c, d, e}} a X = {a, b, c, d, e}.

2.24 Nájdite všetky navzájom neizomorfné päťprvkové podzväzy zväzu (A, |),ak:


a) A = {1, 2, 3, 5, 6, 15, 30},

b) A = D30.

Zakreslite ich Hasseho diagramy.

2.25 Zistite, či zväz

a) ({1, 2, 3, 5, 6, 15, 30}, |),

b) (D30, |)

je komplementárny, distributívny, booleovský.

2.26 Ktoré zo zväzov (D30, |), (D60, |), (D100, |), (D40, |), (D36, |) sú izomorf-né? Popíšte izomorfizmus.

2.27 Ukážte, že v každom distributívnom zväze pre ľubovoľné tri prvkyx, y, z platí: (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (z ∧ x) = (x ∨ y) ∧ (y ∨ z) ∧ (z ∨ x).

2.28 Nech A = {∅, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}}. Ktoré zo zväzov(A,⊆), (D77, |), (D48, |), (D18, |), (D10, |) sú izomorfné?

2.29 Nech A = {2, 3, 12, 15, 18, 180}. Je (A, |) zväz?

2.30 Je daný zväz (A,⊆), kde A = {∅, {a, b}, {b, c}, {a, b, c, d}, {b, c, d, e},{a, b, c, d, e}}. Zistite, či platia nasledujúce tvrdenia:

a) Je distributívny.

b) Je komplementárny.

c) Je podzväzom zväzu (P(X),⊆), kde X = {a, b, c, d, e}.

2.31 Zistite, či zväz ({1, 2, 3, 4, 9, 36}, |) je komplementárny, distributívny,booleovský.

2.32 Zistite, či zväz ({1, 5, 7, 14, 35, 140}, |) je komplementárny, distributív-ny, booleovský.

2.33 Zistite, či formula je tautológia alebo kontradikcia:

a) [(x ⇒ y) ∧ x ∧ y] ∧ [(x ∨ y) ⇒ x ∧ y],


b) [(x ∨ y) ⇒ z] ⇔ x ∧ y ∧ z,

c) (x ⇔ y) ∧ (x ⇔ z) ∧ (y ⇔ z),

d) (x ⇒ (y ⇒ z)) ⇒ (x ⇒ y) ⇒ (x ⇒ z).

2.34 Zistite, či nasledujúce dvojice formúl sú ekvivalentné:

a) x ⇒ y, z ∧ (y ∨ (z ⇒ x)),

b) (x ⇒ y) ∨ (z ⇔ x), z ⇒ x ∨ y,

c) ((x ⇒ y) ⇒ z) ⇔ x ∧ z, x ∨ z ⇒ x ∧ y,

d) x ∧ z, y ∧ x,

e) x ⇔ y, (x ∨ y) ∧ (x ∨ y).

2.35 Nájdite formuly ekvivalentné s formulou x∨ y ⇒ x∧ z tak, aby obsa-hovali iba:

a) negáciu a disjunkciu,

b) negáciu a konjunkciu,

c) negáciu a implikáciu.

2.36 Použitím distributívneho zákona aj Karnaughovej mapy zjednodušte:

a) (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z),

b) (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z),

c) (x∧y∧z)∨(x∧y∧z)∨(x∧y∧z)∨(x∧y∧z)∨(x∧y∧z)∨(x∧y∧z)∨(x∧y∧z),

d) (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z).

2.37 Nájdite normálny disjunktívny tvar a normálny konjunktívny tvar bo-oleovskej funkcie realizovanej formulou:

a) (x ⇒ y) ∧ z,

b) (x ⇒ y) ∧ z,


c) (x ⇔ y) ⇒ (z ∧ x),

d) (x ⇒ y) ⇒ z.

2.38 Nájdite minimálny disjunktívny a minimálny konjunktívny tvar bo-oleovských funkcií z predchádzajúcej úlohy.

2.39 Nájdite minimálny disjunktívny tvar a minimálny konjunktívny tvarbooleovskej funkcie realizovanej formulou:

a) (x ⇔ y ∨ z) ⇒ (x ∨ y) ∧ z,

b) (x ⇒ z) ∧ y ⇔ x ∨ y,

c) [(x ∨ y) ∧ z ⇔ u] ⇒ x ∧ u.

2.40 Booleovskú funkciu f(x, y, z, u) = [x∧z ∧ y]∨u upravte na minimálnykonjunktívny tvat. Nájdite jej normálny konjunktívny tvar.

2.41 Nájdite normálny disjunktívny tvar a minimálny disjunktívny tvarbooleovskej funkcie, ktorej normálny konjunktívny tvar je (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨y ∨ z).

2.42 Nájdite minimálny disjunktívny tvar booleovskej funkcie, ktorá je re-alizovaná formulou (x ⇔ y ∨ z) ⇒ (x ∨ y ∧ z) a nakreslite príslušný logickýobvod.

2.43 Nech booleovská funkcia je daná tabuľkou. Nájdite normálny kon-junktívny tvar, minimalizujte ho a nakreslite príslušný logický obvod.

x y z F(x,y,z)

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 1

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1


2.44 Nech booleovská funkcia je daná tabuľkou. Nájdite normálny disjunk-tívny tvar a minimalizujte ho.

x y z F(x,y,z)

1 1 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 0 1

2.45 Dovolenkári Alfonz, Blažena, Cecilka, Dionýz, Emil sa rozhodujú, čipôjdu na fakultatívny výlet. Podmienky od ktorých závisí účasť jednotlivýchdovolenkárov na výlete, sú tieto:

a) Pani Blažena pôjde, ak sa na plavbe zúčastní jej manžel Alfonz.

b) Páni Alfonz a Dionýz pôjdu, ak pôjde pán Emil.

c) Pani Blažena so slečnou Cecilkou určite nepôjdu spolu, nemajú sa rady.

d) Slečna Cecilka a pán Dionýz naopak pôjdu iba spolu, alebo ani jedenz nich.

e) Aspoň jeden z pánov Dionýz alebo Emil si plavbu nenechá ujsť.

Zistite, v akom zložení sa dovolenkári môžu vybrať na výlet, aby všetkypodmienky boli splnené.

2.46 Linka pozostáva z 3 strojov. Zostrojte kontaktnú sieť a pomocou bo-oleovskej algebry ju maximálne zjednodušte tak, aby signalizovala, že nastalniektorý z nasledujúcich prípadov:

a) prvý stroj nepracuje, ostatné stroje pracujú,

b) prvý stroj pracuje a z ostatných dvoch iba jeden pracuje.


2.47 Linka pozostáva z 3 strojov. Zostrojte kontaktnú sieť s minimálnympočtom spínačov tak, aby signalizovala, že nastal niektorý z nasledujúcichprípadov:

a) len prvý stroj pracuje,

b) len tretí stroj nepracuje,

c) len tretí stroj pracuje,

d) len prvý stroj nepracuje.

2.48 Linka pozostáva zo 4 strojov. Zostrojte kontaktnú sieť s minimálnympočtom spínačov tak, aby signalizovala, že nastal niektorý z nasledujúcichprípadov:

a) len tretí stroj nepracuje,

b) len prvý a štvrtý stroj pracuje,

c) len prvý pracuje,

d) len prvý a druhý stroj pracuje,

e) len druhý nepracuje.



2.1

Obrázok 8

1

12 18

15 20

5

21

3

6

Najväčší prvok neexistuje.Najmenší prvok je 1.Minimálny prvok je 1.Maximálne prvky sú 21,20,18,12,15.3, 6, 1, 3, 15, neexistuje, 21, neexistuje.

2.2 {a}, {a, b, c}, neexistuje, {a, d, e}, {b}, {a, b, c, d}.


Obrázok 9

{ }

{a} {d}

{a, d}

{b}

{b, c} {a, b}

{a, b, c} {b, c, d} {a, e, d}

{a, b, c, d} {b, c, d, e} {a, b, e, d}

{a, b, c, d, e}

2.3 a) nie je ČUM, b) je ČUM.

2.4 Áno,áno.

2.5 Neexistuje, 140, 5 a 7, 140.

2.6 Neexistuje, neexistuje, 2 a 3, 48 a 72.

2.7 Nie.

2.8 Áno.

2.9 (D30, /), (D105, /).

2.10 Áno, áno, áno.

2.11 Nie.

2.12 Nie je ani zväz.




2.15 Nie.

2.16 Nie.

2.17 Nie.

2.18 Áno.

2.19 Hasseov diagram oboch je diagramom kocky.

2.20 Áno.

2.21 Nie je distributívny.

2.22 Nie je zväz.

2.23 Nie, lebo (A,⊆) nie je zväz.

2.24

a) {1, 2, 5, 6, 30}, {1, 2, 5, 15, 30}, {1, 2, 6, 15, 30}, {1, 5, 6, 15, 30}, {1, 3, 6, 15, 30},

b) {1, 2, 5, 10, 30}, {1, 3, 6, 15, 30}, {1, 3, 5, 15, 30}, {1, 2, 3, 6, 30}, {1, 2, 6, 10, 30},{1, 5, 10, 15, 30}.

2.25 a) nie, nie, nie, b) áno, áno, áno.

2.26 (D36, |) ∼= (D100, |).


2.28 (D10, |) ∼= (D77, |), (A,⊆) ∼= (D18, |).

2.29 Nie.

2.30 a) áno b)c) nie.

2.31 Áno, nie, nie.

2.32 Nie, áno, nie.


2.33 a) kontradikcia b) ani tautológia, ani kontradikcia c)d) tautológia.

2.34 a)c)d) nie sú ekvivalentné b)e) sú ekvivalentné.

2.35

a) x ∨ y ∨ x ∨ z,

b) x ∧ y ∧ x ∧ z,

c) (x ⇒ y) ⇒ x ⇒ z.

2.36

a) (x ∧ z) ∨ (y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z),

b) y ∨ (x ∧ z),

c) x ∨ y ∨ z,

d) (x ∧ z) ∨ y.

2.37

a) (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z),(x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z),

b) (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z),(x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z),

c) (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∨ (x ∨ y ∨ y),(x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z),

d) (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z),(x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z).

2.38

a) (x ∧ z) ∨ (y ∧ z),z ∧ (x ∨ y),

b) (x ∧ z) ∨ (y ∧ z),(x ∨ y) ∧ z,


c) (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (x ∧ y),(x ∨ y) ∧ (x ∨ y ∨ z),

d) (x ∧ y) ∨ z,(x ∨ y) ∧ (y ∨ z).

2.39

a) (x ∧ y) ∨ (x ∧ y) ∨ z,

b) (x ∧ y) ∨ (y ∧ z),

c) (x ∧ z) ∨ (x ∧ u) ∨ (y ∧ z ∧ u) ∨ (x ∧ y ∧ u) ∨ (x ∧ z ∧ u).

2.40 (x ∨ u) ∧ (y ∨ z ∨ u),(x ∨ y ∨ z ∨ u) ∧ (x ∨ y ∨ z ∨ u) ∧ (x ∨ y ∨ z ∨ u) ∧ (x ∨ y ∨ z ∨ u)∧,(x ∨ y ∨ z ∨ u) ∧ (x ∨ y ∨ z ∨ u).

2.41 (x∧y∧z)∨(x∧y∧z)∨(x∧y∧z)∨(x∧y∧z)∨(x∧y∧z)∨(x∧y∧z),z ∨ (x ∧ y) ∨ (x ∧ y).

2.42 (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (x ∧ y).Obrázok 10

x yY

x

y z

y

2.43 (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z),(x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ z).


Obrázok 11

x z Y

x

y X

z

2.44 (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z),z ∨ (y ∧ x).

2.45 Cecilka a Dionýz.

2.46 (x ∧ [(y ∧ z) ∨ (y ∧ z)]) ∨ (x ∧ y ∧ z).

2.47 (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z).

2.48 (x ∧ z) ∨ (x ∧ z).Obrázok 12

x z Y

x z

2.49 x ∧ [z ∨ (y ∧ z ∧ u)].Obrázok 13

y

z Y

z

x

u

3 ALGEBRAICKÉ ŠTRUKTÚRY 49

3 Algebraické štruktúry

3.1 Grupy


Príklad 3.1.1 Zistite, či množina Z spolu s binárnou operáciou ♦ tvoriagrupu, ak a♦b = a + b + 7.Riešenie:

Chceme ukázať, že (Z,♦) je grupa. Podľa definície musíme ukázať, že platianasledujúce vlastnosti:

– množina Z je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu ♦,– platí asociatívny zákon,– množina Z obsahuje neutrálny prvok vzhľadom na operáciu ♦,– ku každému prvku z množiny Z existuje inverzný prvok

vzhľadom na operáciu ♦.

Uzavretosť: Nech a, b ∈ Z a a♦b = a + b + 7. Platí: (a ∈ Z ∧ b ∈ Z) ⇒(a + b ∈ Z). (a + b ∈ Z ∧ 7 ∈ Z) ⇒ (a + b + 7 ∈ Z) ⇒ a♦b ∈ Z. Prvkya, b boli zvolené ľubovoľne z množiny Z, preto množina Z je vzhľadom nabinárnu operáciu ♦ uzavretá.Asociatívnosť: Nech a, b, c,∈ Z.

(a♦b)♦c = (a♦b) + c + 7 = (a + b + 7) + c + 7 = a + b + c + 14a♦(b♦c) = a♦(b + c + 7) = a + (b + c + 7) + 7 = a + b + c + 14.

Ukázali sme, že platí rovnosť: a♦(b♦c) = a + b + c + 14 = (a♦b)♦c. pretoplatí:

(∀a, b, c ∈ Z) : ((a♦b)♦c = a♦(b♦c)).

Odtiaľ dostávame, že pre množinu Z platí asociatívny zákon vzhľadom nabinárnu operáciu ♦.Neutrálny prvok: Chceme nájsť taký prvok ε, aby pre všetky prvky z množinyZ platila nasledujúca rovnosť:

a♦ε = ε♦a = a.

Vezmime si ľubovoľný prvok a ∈ Z. K tomuto prvku a hľadáme prvok ε ∈ Ztak, aby platila rovnosť a♦ε = ε♦a = a. Z rovnosti a♦ε = a + ε + 7 = a


dostávame, že ak za ε zvolime −7, tak je splnená vyššie uvedená rovnosť.Overme, či takto zvolené ε spĺňa podmienky neutrálneho prvku v grupe.

[(a♦ε = a + (−7) + 7 = a) ∧ (ε♦a = (−7) + a + 7 = a)] ⇒

⇒ (∃ε ∈ Z)(∀a ∈ Z) : (a♦ε = ε♦a = a).

Neutrálnym prvkom je ε = −7.Inverzný prvok: Ku každému prvku a z množiny Z hľadáme taký prvok a′

z množiny Z, aby platila nasledujúca rovnosť: a♦a′ = ε a′♦a. Vezmime siľubovoľný prvok a ∈ Z Nájdine k takto vybranému prvku inverzný prvok a′,ak taký v množine Z existuje. Pre inverzný prvok musí platiť:

a♦a′ = ε

a + a′ + 7 = ε ∧ ε = −7

a + a′ + 7 = −7

a + a′ = −14

a′ = −a − 14.

Stačí už len ukázať, že takto vytvorený prvok k ľubovoľnému prvku z mno-žiny Z je naozaj inverzným prvkom. Spočítajme:

a♦a′ = a + a′ + 7 = a + (−a − 14) + 7 = a − a − 14 + 7 = −7 = εa′♦a = a′ + a + 7 = (−a − 14) + a + 7 = −a + a − 14 + 7 = −7 = ε

Uvedeným postupom sme našli ku každému prvku z množiny Z inverznýprvok, a teda sú splnené všetky 4 vlastnosti z definície grupy, preto množinaZ s binárnou operáciou ♦ je grupa.

√

Príklad 3.1.2 Zistite, či množina Z spolu s binárnou operáciou z tvoriagrupu, ak a z b = (a + b)2.Riešenie:

Ak chceme ukázať, že (Z,z) je grupa, tak podľa definície musíme ukázať, žemnožina Z je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu z, platí asociatív-nosť, obsahuje neutrálny prvok vzhľadom na operáciu z a ku každémuprvku z množiny Z existuje inverzný prvok vzhľadom na operáciu z. Akby sme chceli ukázať, že (Z,z) nie je grupa, tak stačí ukázať, že jedna z vyššieuvedených vlastností nie je splnená. Overme asociatívnosť: Nech a, b, c,∈ Z:(a z b) z c = ((a z b) + c)2 ((a + b)2 + c)2 = (a + b)4 + 2(a + b)2c + c2. Ak


ukážeme, že výraz a z (b z c) sa rovná výrazu (a+ b)4 +2(a+ b)2c+ c2, taksme ukázali platnosť asociatívneho zákona. Platí: a z (b z c) = a z (b+ c)2

= (a + (b + c)2)2 a2 + 2a(b + c)2 + (b + c)4, z toho potom vyplýva, že

(a z b) z c 6= a z (b z c)

preto neplatí asociatívny zákon na množine Z vzhľadom na binárnu operáciuz, a preto množina Z spolu s binárnu operáciu z netvorí grupu.

√

Príklad 3.1.3 Zistite, či množina Z spolu s binárnou operáciou 2 tvoriagrupu, ak a 2 b = a + b + ab.Riešenie:

Podľa definície je (Z,2) grupou, ak množina celých čísel Z spĺňať uzavre-tosť, asociatívnosť, obsahuje neutrálny prvok vzhľadom na binárnu ope-ráciu 2 a ku každému prvku z množiny Z existuje inverzný prvok vzhľadomna operáciu 2.Uzavretosť: Pre a, b ∈ Z: a 2 b = a + b + ab.

[

[(a ∈ Z ∧ b ∈ Z) ⇒ (a + b) ∈ Z] ∧ ab /∈ Z]

1 ⇒(a + b + ab) /∈ Z ⇒(a 2 b) /∈ Z.

Keďže sme našli také prvky a, b z množiny Z, pre ktoré nie je splnená uzav-retosť množiny Z, preto množina Z nie je vzhľadom na binárnu operáciu 2

uzavretá, z čoho vyplýva, že (Z, 2) netvorí grupu.√

Príklad 3.1.4 Zistite, či množina A = {F, ~, }, ¨} spolu s binárnouoperáciou ¦ tvoria grupu, ak binárna operácia ¡ je daná Cayleyho tabuľkou:

¡ F ~ } ¨

F ¨ } ~ F

~ F } ~ ¨

} ¨ ~ } F

¨ ~ F ¨ }

Riešenie:

Chceme ukázať, že (A,¡) je grupa. Podľa definície musí byť množina Auzavretá vzhľadom na binárnu operáciu ¡, musí platiť asociatívnosť, ob-sahovať neutrálny prvok vzhľadom na operáciu ¡ a ku každému prvku z


množiny A musí existovať inverzný prvok vzhľadom na operáciu ¡.Nájdime neutrálny prvok množiny A vzhľadom na binárnu operáciu ¡. Má-me nájsť taký prvok ε ∈ A, pre ktorý platí:

∀a ∈ A: a¡ ε = ε¡ a = a.Vieme, že v každej grupe sa náchádza práve jeden neutrálny prvok a navyšemnožina A je konečná a obsahuje len 4 prvky, a preto môžme overiť neutrali-tu každého prvku množiny A samostatne. Nech ε = F, potom druhý riadokaj druhý stĺpec v Cayleyho tabuľke musí byť zhodný so vzorom (t.j. prvýmstĺpcom a prvým riadkom). Ľahko vidieť, že ε ¡ ¨ = F 6= ¨. Podobnouúvahou zistíme, že ani pre ε = ~, ε = } a ε = ¨ nie je splnená podmienkaneutrálneho prvku, preto množina A neobsahuje vzhľadom na binárnu ope-ráciu ¡ neutrálny prvok. Z vyššie uvedených tvrdení vyplýva, že (A,¡) nieje grupa.

√

Príklad 3.1.5 Zistite, či množina Z − {0} spolu s binárnou operáciou M

tvoria grupu, ak a M b = ab.Riešenie:

Úlohou je rozhodnúť, či (Z − {0},M) je grupa. Z definície vyplýva, že musiabyť splnené nasledujúce vlastnosti:

– množina Z − {0} je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu M,– platí asociatívny zákon,– množina Z − {0} obsahuje neutrálny prvok vzhľadom na operáciu M– ku každému prvku z množiny Z − {0} musí existovať inverzný prvok

vzhľadom na operáciu M.

Uzavretosť: Nech a, b ∈ Z − {0}: a M b = ab. Ak a ∈ Z − {0} a b ∈ Z − {0},potom ab ∈ Z−{0} (súčin je nenulový, lebo a 6= 0 aj b 6= 0, a teda aj ab 6= 0).Z toho potom dostávame, že a M b ∈ Z − {0}, pre ľubovoľné prvky a, b zmnožiny Z − {0}. Tým sme ukázali, že množina Z − {0} je vzhľadom nabinárnu operáciu M uzavretá.Asociatívnosť: Pre a, b, c,∈ Z − {0} platí:

(a M b) M c = (a M b)c = (ab)c = abca M (b M c) = a M (bc) a(bc) = abc

Z uvedených rovností vyplýva: ∀a, b, c ∈ Z− {0}: (a M b) M c = a M (b M c),preto pre množinu Z − {0} platí asociatívny zákon vzhľadom na binárnuoperáciu M.


Neutrálny prvok: Chceme nájsť taký prvok ε, aby pre všetky prvky z množinyZ−{0} platila nasledujúca rovnosť: a M ε ε M a = a. Vezmime si ľubovoľnýprvok a ∈ Z − {0}. K tomuto prvku a hľadáme prvok ε ∈ Z − {0} tak, abyplatila rovnosť a M ε = aε = a. Ak ε = 1, tak je splnená vyššie uvedenárovnosť. Overme, či takto zvolené ε spĺňa podmienky neutrálneho prvku.Pre ľubovoľné a z množiny Z − {0} platí: a M ε = a.1 = a, ε M a = 1.a= a. Teda (∃ε ∈ Z − {0})(∀ a ∈ Z − {0}): a M ε = ε M a = a. Neutrálnymprvkom je ε = 1.Inverzný prvok: Ku každému prvku a z množiny Z−{0} hľadáme taký prvoka′ z množiny Z − {0}, aby platila nasledujúca rovnosť: a M a′ ε = a′ M a.Vezmime si ľubovoľný prvok a ∈ Z−{0} Nájdine k takto vybranému prvkuinverzný prvok a′, ak taký v množine Z − {0} existuje. Pre inverzný prvokmusí platiť:

a M a′ = ε

aa′ = ε ∧ ε = 1

aa′ = 1

a′ =1

a, kde a 6= 0

Ukážeme, že takto vytvorený prvok k ľubovoľnému prvku z množiny Z−{0}nemusí byť prvkom z mnnožiny Z − {0}. Nech a = 2. Potom platí:

a M a′ = ε

aa′ = ε = 1

a′ =1

2

1

2/∈ Z − {0}, teda (@ a′ ∈ Z − {0}) (∀a ∈ Z − {0}): a M a′ = ε = 1. Ukázali

sme, že v množine Z − {0} neexistuje ku každému prvku inverzný prvok,preto množina Z − {0} s binárnou operáciou M nie je grupa. R

√

Príklad 3.1.6 Pomocou Cayleyho tabuľky popíšte grupu transformácií ge-nerovanú symetriami štvorca.Riešenie:

Vieme, že ak S je množina všetkých bodov v rovine, ktoré tvoria štvorec, takpermutácia π : S 7→ S sa nazýva symetria štvorca S, ak zachováva vzdia-lenosti. Inverzná funkcia π−1 je tiež symetriou štvorca, súčin dvoch symetriímnožiny S je tiež symetria množiny S a identická funkcia id : S 7→ S je tiež


symetria. Z toho vyplýva, že množina všetkých symetrií štvorca S vzhľadomna skladanie symetrií je grupa (grupa symetrií štvorca).

Nech S je množina všetkých bodov v rovine na obvode štvorca ABCD.Každá symetria štvorca je určená tým, ako preskupíme vrcholy ABCD. Po-píšme jednotlivé symetrie:

R1 = otočenie o 90◦ proti smeru hodinových ručičiek,R2 = otočenie o 180◦,R3 = otočenie o 270◦ aR4 = otočenie o 360◦ čo je vlastne identita id,D1 = osovo súmerné preklopenie štvorca S podľa priamky,

ktorá prechádza stredmi strán AB a CD,D2 = osovo súmerné preklopenie štvorca S podľa priamky,

ktorá prechádza stredmi strán AD a BC,D3 = osovo súmerné preklopenie štvorca S podľa priamky,

ktorá prechádza bodmi A a C,D4 = osovo súmerné preklopenie štvorca S podľa priamky,

ktorá prechádza bodmi B a D.

Štvorec S má poradie vrcholov ABCD. Zistime, ako sa zmení poradietýchto bodov po aplikovaní jednotlivých symetrií.

R1 : ABCD −→ DABCR2 : ABCD −→ CDABR3 : ABCD −→ BCDAR4 : ABCD −→ ABCDD1 : ABCD −→ BADCD2 : ABCD −→ DCBAD3 : ABCD −→ ADCBD4 : ABCD −→ CBAD

Vypočítajme, čomu sa rovnajú súčiny (skladanie zobrazení) týchto symetrií.Súčin R1 ◦ R1 znamená, že štvorec ABCD otočíme podľa R1 o 90◦ a do-staneme štvorec DABC, tento znovu otočíme podľa R1 o 90◦ a dostanemeštvorec CDAB, čo zodpovedá otočeniu R2. Môžme písať, že R1 ◦ R1 = R2.Podobne vypočítame aj R1 ◦ R2, štvorec ABCD najprv otočíme podľa R2 o180◦, dostanem štvorec CDAB a ten ešte otočíme podľa R1 o 90◦ a dostane-me šrvorec BCDA, čo zodpovedá použitiu R4. Týmto postupom spočítame


všetky súčiny otočení. Pozrime sa teraz na súčin R1 ◦ D1. Najprv musímeštvorec ABCD preklopiť podľa D1 a dostaneme BADC a ten ešte otočímepodľa R1 o 90◦ a dostávame štvorec CBAD, čo zodpovedá symetrii D4. Privýpočte jednotlivých súčinov zistíme, že súčiny otočení je komutatívna ope-rácia, ale súčiny so symetriami Di už komutatívne nie sú. Platí, že Di ◦ Di

id pre i = 1, 2, 3, 4, Všetky tieto výsledky môžme zhrnúť do prehľadnejCayleyho tabuľky:

◦ R1 R2 R3 R4 D1 D2 D3 D4

R1 R2 R3 R4 R1 D4 D3 D1 D2

R2 R3 R4 R1 R2 D2 D1 D4 D3

R3 R4 R1 R2 R3 D3 D4 D2 D1

R4 R1 R2 R3 R4 D1 D2 D3 D4

D1 D3 D2 D4 D1 R4 R2 R1 R3

D2 D4 D1 D3 D2 R2 R4 R3 R1

D3 D2 D4 D1 D3 R3 R1 R4 R2

D4 D1 D3 D2 D4 R1 R3 R2 R4

Táto tabuka je Cayleyho tabuľka grupy transformácií, ktorá je generovanásymetriami štvorca.

√

Poznámka 3.1.1 Vo všeobecnosti vieme, že každý rovnostranný n-uholník

má práve 2n symetrií, n rotácií a n osovo súmerných preklopení. Všetky

symetrie pravidelného n-uholníka tvoria grupu s 2n prvkami. Každej symet-

rii takéhoto rovnostranného n-uholníka prislúcha zodpovedajúca permutácia

vrcholov tohto n-uholníka.


3.2 Cyklické grupy


Príklad 3.2.1 Nájdite rády všetkých prvkov v grupe (Z10; ⊕), kde ⊕ jebinárna operácia sčítania zvyškových tried.Riešenie:

Množina Z10 je množina zvyškových tried {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Kukaždému prvku z tejto množiny vytvoríme ich mocniny (od prvej, až po tú,kde nenastane rovnosť s neutrálnym prvkom) vzhľadom na binárnu operáciu⊕.

01

= 0,rád(0) = 1.

11

= 1,1

2= 1 ⊕ 1 = 2,

13

= 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 3,1

4= 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 4,

15

= 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 5,1

6= 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 6,

17

= 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 7,1

8= 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 8,

19

= 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 9,1

10= 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 0,

rád(1) = 10.

21

= 2, 22

= 2 ⊕ 2 = 4, 23

= 4 ⊕ 2 = 6, 24

= 6 ⊕ 2 = 8,2

5= 8 ⊕ 2 = 0,

rád(2) = 5.

31

= 3, 32

= 3 ⊕ 3 = 6, 33

= 6 ⊕ 3 = 9, 34

= 9 ⊕ 3 = 2,3

5= 2 ⊕ 3 = 5, 3

6= 5 ⊕ 3 = 8, 3

7= 8 ⊕ 3 = 1, 3

8= 1 ⊕ 3 = 4,

39

= 4 ⊕ 3 = 7, 310

= 7 ⊕ 3 = 0,rád(3) = 10.


41

= 4, 42

= 4 ⊕ 4 = 8, 43

= 8 ⊕ 4 = 2, 44

= 2 ⊕ 4 = 6,4

5= 6 ⊕ 4 = 0,

rád(4) = 5.

51

= 5, 52

= 5 ⊕ 5 = 0,rád(5) = 2.

Podobným spôsobom ukážeme, rády ostatných prvkov množiny Z10. Rád(6)= 5, rád(7) 10, rád(8) = 5, rád(9) = 10.

√

Príklad 3.2.2 Zistite, či (Z7 − {0}; ⊗) je cyklická grupa.Riešenie:

Chceme zistiť, či (Z7 − {0}; ⊗) je cyklická grupa. Podľa definície musí vmnožine Z7−{0} existovať aspoň jeden taký prvok, ktorý je jej generátorom.Nejaký prvok g je generátorom množiny Z7 − {0}, ak ku každému prvkua ∈ Z7 − {0} existuje n ∈ N také, že gn = a. Postupne overme prvkya ∈ Z7 − {0} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Prvok 1 nemôže byť generátorom, lebopre všetky n ∈ N platí, že 1

n1. Pozrime sa, aké prvky generuje prvok 2.

21

= 2, 22

= 4, 23

= 1, 24

= 2, 25

= 4, 26

= 1..., ľahko je vidieť, že prvok 2generuje len prvky {1, 2, 4}. Prvok 3 generuje tieto prvky: 3

1= 3, 3

2= 2,

33

= 6, 34

= 4, 35

= 5, 36

= 1. Prvok 3 generuje prvky {1, 2, 3, 4, 5, 6}a teda je generátorom množiny Z7 − {0}. V množine Z7 − {0} sme našligenerátor, preto (Z7 − {0}; ⊗) je cyklická grupa.

√

Príklad 3.2.3 Rozhodnite, či grupa (Z5 − {0}; ⊗) je izomorfná s grupou(K4; ·).Riešenie:

Ak chceme ukázať, že tieto grupy sú izomorfné, tak musíme nájsť také bi-jektívne zobrazenie ϕ : Z5 − {0} −→ K4, že pre každú dvojicu prvkova, b ∈ Z5 −{0} platí rovnosť ϕ(a⊗ b) = ϕ(a) ·ϕ(b). Pomôckou pri určení zo-brazenia nám môžu byť Cayleyho tabuľky daných grúp a fakt, že izomorfnégrupy musia mať rovnaké všetky vlastnosti. Pozrime sa na Cayleyho tabuľkygrúp (Z5 − {0}; ⊗) a (K4; ·).


⊗ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

· 1 −1 i −i

1 1 −1 i −i

−1 −1 1 −i i

i i −i −1 1

−i −i i 1 −1

Ľahko zistíme, že obe grupy sú cyklické. Grupa (Z5−{0}; ⊗) má generátor 2a grupa (K4, ·) má generátor i. Počet prvkov v oboch množinách je rovnaký.Neutrálnym prvkom grupy (Z5 − {0}; ⊗) je 1 a grupy (K4, ·) je 1. Tiež jedobré poznať rády prvkov v grupe. Rád(1) = 1, rád(2) = 4, rád(3) = 4, rád(4)= 2, rád(1) = 1, rád(−1) = 2, rád(i) = 4, rád(−i) = 4. Ak máme dostatokinformácii o každej grupe, potom pri definovaní izomorfizmu stačí dodržiavaťjednoduché pravidlá. Neutrálny prvok sa má zobraziť na neutrálny prvok,prvok s rovnakým rádom, by sa mal zobraziť na prvok s rovnakým rádom apri cyklických grupách by mal byť aj rovnaký počet generátorov. Definujmezobrazenie ϕ nasledovne:

ϕ(1) = 1ϕ(2) = iϕ(3) = −iϕ(4) = −1

Ešte overíme, že takto definované zobrazenie ϕ je naozaj izomorfizmom da-ných grúp.

ϕ(1 ⊗ 1) = ϕ(1) = 1, ϕ(1) · ϕ(1) = 1 · 1 = 1ϕ(1 ⊗ 2) = ϕ(2) = i, ϕ(1) · ϕ(2) = 1 · i = i

ϕ(1 ⊗ 3) = ϕ(3) = −i, ϕ(1) · ϕ(3) = 1 · −i = −i

ϕ(1 ⊗ 4) = ϕ(4) = −1, ϕ(1) · ϕ(4) = 1 · −1 = −1ϕ(2 ⊗ 1) = ϕ(2) = i, ϕ(2) · ϕ(1) = i · 1 = i

ϕ(2 ⊗ 2) = ϕ(4) = −1, ϕ(2) · ϕ(2) = i · i = −1ϕ(2 ⊗ 3) = ϕ(1) = 1, ϕ(2) · ϕ(3) = i · −i = 1ϕ(2 ⊗ 4) = ϕ(3) = −i, ϕ(2) · ϕ(4) = i · −1 = −i

ϕ(3 ⊗ 1) = ϕ(3) = −i, ϕ(3) · ϕ(1) = −i · 1 = −i

ϕ(3 ⊗ 2) = ϕ(1) = 1, ϕ(3) · ϕ(2) = −i · i = 1


ϕ(3 ⊗ 3) = ϕ(4) = −1, ϕ(3) · ϕ(3) = −i · −i = −1ϕ(3 ⊗ 4) = ϕ(2) = i, ϕ(3) · ϕ(4) = −i · −1 = i

ϕ(4 ⊗ 1) = ϕ(4) = −1, ϕ(4) · ϕ(1) = −1 · 1 = −1ϕ(4 ⊗ 2) = ϕ(3) = −i, ϕ(4) · ϕ(2) = −1 · i = −i

ϕ(4 ⊗ 3) = ϕ(2) = i, ϕ(4) · ϕ(3) = −1 · −i = i

ϕ(4 ⊗ 4) = ϕ(1) = 1, ϕ(4) · ϕ(4) = −1 · −1 = 1

Zo zvýraznených stĺpcov je zrejmé, že takto definované zobrazenie ϕ : Z5 −{0} −→ K4 je izomorfizmom daných grúp, a preto grupy (Z5 − {0}; ⊗) a(K4; ·) sú izomorfné.

√


3.3 Podgrupy a rozklady grúp


Príklad 3.3.1 Nájdite všetky podgrupy grupy (Z6; ⊕).Riešenie:

Ak chceme k nejakej grupe nájsť všetky jej podgrupy, musíme o všetkýchjej podmnožinách rozhodnúť, či tvoria grupu. Pre jednoduchosť stačí lenrozhodnúť, či podmnožiny sú uzavreté vzhľadom na grupovú operáciu, a čiku každému prvku existuje inverzný prvok.

Pre cyklické grupy, je to ešte jednoduchšie. Vieme, že každá podgrupacyklickej grupy je cyklická a rád grupy je celočíselným násobkom rádu jejpodgrupy. Túto vlastnosť môžme využiť na určenie podmnožín, ktoré bymohli byť podgrupou danej grupy. Jednotlivé prvky cyklickej grupy nám vy-generujú podmnožiny a o týchto množinách rozhodneme, či sú podgrupamydanej grupy. Množina Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Prvky tejto množiny generujúnasledujúce podmnožiny množiny Z6.2

〈0〉 = {0}〈1〉 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}〈2〉 = {0, 2, 4}〈3〉 = {0, 3}〈4〉 = {0, 2, 4}〈5〉 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Týmto spôsobom sme získali štyri podmnožiny H1{0}, H2 = {0, 3}, H3 ={0, 2, 4} a H4{0, 1, 2, 3, 4, 5}. Ľahko sa ukáže, že (Hi; ⊕) pre i = 1, 2, 3, 4 súpodgrupami grupy (Z6; ⊕).

√

Príklad 3.3.2 Rozhodnite, či množina H =⟨(

1234

1324

)⟩

je podgrupou grupy(S4, ◦).Riešenie:

Ak chceme ukázať, že (H, ◦) je podgrupou grupy (S3, ◦), tak množina H musíbyť uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu ◦ a ku každému prvku z množinyH musí existovať inverzný prvok v množine H. Množina H

{(

1234

1234

)

,(

1234

1324

)}

.Uzavretosť ukážeme pomocou Caleyho tabuľky.

2Symbolom 〈〉 budeme označovať množinu, ktorá je generovaná prvkami, ktoré sú

umiestnené v týchto zátvorkách.


◦(

1234

1234

) (

1234

1324

)

(

1234

1234

) (

1234

1234

) (

1234

1324

)

(

1234

1324

) (

1234

1324

) (

1234

1234

)

Z tejto tabuľky je vidieť, že množina H je uzavretá vzhľadom na binárnuoperáciu ◦ a každý prvok z množiny H je zároveň aj sám k sebe inverznýmprvkom. Množina H spolu s grupovou operáciou ◦ tvoria podgrupu grupy(S4, ◦).

√

Príklad 3.3.3 Nájdite ľavý aj pravý rozklad grupy (Z8; ⊕) podľa podgrupy(H; ⊕) a určte index podgrupy (H; ⊕), ak H = {0, 4}.Riešenie:

Pravý rozklad grupy (Z8; ⊕) podľa podgrupy (H; ⊕) je množina G/HPR

= {xH; x ∈ G}, kde xH = {x ⊕ h; h ∈ H}. Ľavým rozkladom je množinaG/HLR = {Hx; x ∈ G}, kde Hx = {h ⊕ x; h ∈ H}. Indexom podgrupy(H; ⊕) v grupe (Z8; ⊕) rozumieme mohutnosť množiny G/H. Spočítajme,čomu sa rovnajú množiny xH a Hx.

0H = {0, 4} H0 = {0, 4}1H = {1, 5} H1 = {1, 5}2H = {2, 6} H2 = {2, 6}3H = {3, 7} H3 = {3, 7}4H = {4, 0} H4 = {4, 0}5H = {5, 1} H5 = {5, 1}6H = {6, 2} H6 = {6, 2}7H = {7, 3} H7 = {7, 3}

Keďže (Z8; ⊕) je abelovská grupa, tak ľavý a pravý rozklad sa rovná. Zvyššie uvedeného výpočtu je vidieť, že rozklad grupy (Z8; ⊕) podľa podgrupy(H; ⊕) je množina G/H = {{0, 4}, {1, 5}, {2, 6}, {3, 7}}. Index podgrupy(H; ⊕) je 4.

√


3.4 Okruhy, telesá a polia


Príklad 3.4.1 Zistite, či (A; +, ·) je okruh, ak A = {a+ b 3√

4; a, b ∈ Q}.Riešenie:

Algebraický systém (A; +, ·) je okruhom, ak sú splnené nasleduj[úce trivlastnosti:

1. (A; +) je komutatívna grupa2. (A; ·) je pologrupa3. binárna operácia · je distributívna vzhľadom na operáciu +.

1. Overme, či (A; +) je komutatívna grupa t.j.

– uzavretosť množiny A vzhľadom na binárnu operáciu +,– asociatívny zákon,– existenciu neutrálneho prvku,– existenciu inverzných prvkov,– komutatívny zákon.

Uzavretosť: Nech x1, x2 ∈ A: x1 = a1 + b13√

4 a x2 = a2 + b23√

4, kdea1, a2, b1, b2 ∈ Q.

x1 + x2 = a1 + b13√

4 + a2 + b23√

4 = a1 + a2 + b13√

4 + b23√

4 == (a1 + a2) + (b1 + b2)

3√

4 = a + b 3√

4 = x ∈ A, kde a = a1 + a2,b = b1 + b2 a a, b ∈ Q.

Keďže x1, x2 sme na začiatku zvolili ľubovoľné, tak množina A je uzavretávzhľadom na binárnu operáciu +.Asociatívnosť: Nech x1, x2, x3 ∈ A: x1 = a1 + b1

3√

4, x2 = a2 + b23√

4 ax3 = a3 + b3

3√

4, kde a1, a2, a3, b1, b2, b3 ∈ Q.

x1 + (x2 + x3) = a1 + b13√

4 + (a2 + b23√

4 + a3 + b33√

4) == a1 + a2 + a3 + (b1 + b2 + b3)

3√

4(x1 + x2) + x3 = (a1 + b1

3√

4 + a2 + b23√

4) + a3 + b33√

4 == a1 + a2 + a3 + (b1 + b2 + b3)

3√

4

Z uvedených úprav je zrejmé, že x1 + (x2 + x3) (x1 + x2) + x3. Teda preľubovoľné x1, x2, x3 platí asociatívny zákon.Neutrálny prvk: Nech x ∈ A a e = 0 + 0 3

√4, kde x = a + b 3

√4, a, b ∈ Q. Je

zrejmé, že prvok e je z množiny A. Stačí ukázať, že x + e = e + x = x.


x + e = (a + b 3√

4) + (0 + 0 3√

4) = (a + 0) + (b + 0) 3√

4 == a + b 3

√4 = x

e + x = (0 + 0 3√

4) + (a + b 3√

4) = (0 + a) + (0 + b) 3√

4 == a + b 3

√4 = x

Ukázali sme, že e je neutrálnym prvkom množiny A vzhľadom na binárnuoperáciu +.Inverzný prvok: Nech x, x′ ∈ A: x = a + b 3

√4 a x′ = −a− b 3

√4, kde a, b ∈ Q.

x + x′ = (a + b 3√

4) + (−a − b 3√

4) = (a − a) + (b − b) 3√

4 == 0 + 0 3

√4 = e

x′ + x = (−a − b 3√

4) + (a + b 3√

4) = (−a + a) + (−b + b) 3√

4 == 0 + 0 3

√4 = e

Ku každému prvku z množiny A existuje v množine A k nemu inverzný pr-vok. Zatiaľ sme ukázali, že (A; +) je grupa.Komutatívnosť: Nech x1, x2 ∈ A: x1a1 + b1

3√

4 a x2 = a2 + b23√

4, kdea1, a2, b1, b2 ∈ Q.

x1 +x2 = (a1 + b13√

4) + (a2 + b23√

4) = (a1 +a2) + (b1 + b2)3√

4 == (a2 +a1) + (b2 + b1)

3√

4 = (a2 + b23√

4) + (a1 + b13√

4) = x2 +x1

Platí komutatívny zákon, z čoho vyplýva, že (A; +) je komutatívna grupa.

2. Musíme ukázať, že (A; ·) je pologrupa t.j. musí platiť:

– uzavretosť,– asociatívnosť.

Uzavretosť: Nech x1, x2 ∈ A: x1 = a1 + b13√

4 a x2 = a2 + b23√

4, kdea1, a2, b1, b2 ∈ Q.

x1 · x2 = (a1 + b13√

4) · (a2 + b23√

4) == a1 · a2 + a1 · b2

3√

4 + b13√

4 · a2 + b13√

4 · b23√

4 == a1 · a2 + (a1 · b2 + b1 · a2 + b1 · b2

3√

4) 3√

4

Výraz (a1 · b2 + b1 · a2 + b1 · b23√

4) /∈ Q pre žiadne ai, bi ∈ Q, i = 1. 2,preto x1 · x2 /∈ A. Množina A nie je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu·, preto (A; ·) nie je pologrupa, z čoho vyplýva, že (A; +, ·) nie je okruh.

√


Príklad 3.4.2 Zistite, či (A; +, ·) je oborom integrity, ak A = {a +b√

5; a, b ∈ Q}.Riešenie:

Algebraický systém (A; +, ·) je oborom integrity, ak je okruhom s aspoňdvoma prvkami bez netriviálnych deliteľov nuly. Najprv musíme ukázať, žealgebraický systém (A; +, ·) je okruhom t.j.

1. (A; +) je komutatívna grupa2. (A; ·) je pologrupa3. binárna operácia · je distributívna vzhľadom na operáciu +.

1. Overme, či (A; +) je komutatívna grupa t.j.

– uzavretosť množiny A vzhľadom na binárnu operáciu +,– asociatívny zákon,– existenciu neutrálneho prvku,– existenciu inverzných prvkov,– komutatívny zákon.

Uzavretosť: Nech x1, x2 ∈ A: x1 = a1 + b1

√5 a x2 = a2 + b2

√5, kde

a1, a2, b1, b2 ∈ Q.

x1 + x2 = a1 + b1

√5 + a2 + b2

√5 = a1 + a2 + b1

√5 + b2

√5 =

= (a1 + a2) + (b1 + b2)√

5 = a + b√

5 x ∈ A,kde a = a1 + a2, b = b1 + b2 a a, b ∈ Q

Prvky x1, x2 sme na začiatku zvolili ľubovoľné, preto množina A je uzavretávzhľadom na binárnu operáciu +.Asociatívnosť: Nech x1, x2, x3 ∈ A: x1 = a1 + b1

√5, x2 = a2 + b2

√5 a

x3 = a3 + b3

√5, kde a1, a2, a3, b1, b2, b3 ∈ Q.

x1 + (x2 + x3) = a1 + b1

√5 + (a2 + b2

√5 + a3 + b3

√5) =

= a1 + a2 + a3 + (b1 + b2 + b3)√

5(x1 + x2) + x3 = (a1 + b1

√5 + (a2 + b2

√5) + a3 + b3

√5 =

= a1 + a2 + a3 + (b1 + b2 + b3)√

5

Z vyššie prevedeného výpočtu dostávame nasledujúcu rovnosť:

x1 + (x2 + x3) = (x1 + x2) + x3.

Ukázali sme, že pre ľubovoľnú trojicu prvkov x1, x2, x3 ∈ A platí asociatívnyzákon.


Neutrálny prvk: Nech x ∈ A a e = 0+0√

5, kde x = a+b√

5, a, b ∈ Q. Čitateľľahko overí, že prvok e je z množiny A. Stačí ukázať, že platí rovnosť:

x + e = e + x = x.

x + e = (a + b√

5) + (0 + 0√

5) = (a + 0) + (b + 0)√

5 == a + b

√5 = x

e + x = (0 + 0√

5) + (a + b√

5) = (0 + a) + (0 + b)√

5 == a + b

√5 = x

Prvok e je neutrálnym prvkom množiny A vzhľadom na binárnu operáciu +.Inverzný prvok: Nech x ∈ A: x = a + b

√5, kde a, b ∈ Q. Zvoľme prvok

x′ ∈ A takto: x′ = −a−b√

5. Overíme, či takto zvolený prvok x′ je inverznýmprvkom k prvku x.

x + x′ = (a + b√

5) + (−a − b√

5) = (a − a) + (b − b)√

5 == 0 + 0

√5 = e

x′ + x = (−a − b√

5) + (a + b√

5) = (−a + a) + (−b + b)√

5 == 0 + 0

√5 = e

Vzhľadom na to, ako sme zvolili prvok x′, vieme ku každému prvku z mno-žiny A nájsť v množine A k nemu inverzný prvok. Ukázali sme, že (A; +) jegrupa.Komutatívnosť: Nech x1, x2 ∈ A: x1a1 + b1

√5 a x2 = a2 + b2

√5, kde

a1, a2, b1, b2 ∈ Q.

x1 + x2 = (a1 + b1

√5) + (a2 + b2

√5) = (a1 + a2) + (b1+b2

)√

5 == (a2 + a1) + (b2 + b1)

√5 = (a2 + b2

√5) + (a1 + b1

√5) = x2 +x1

Pre ľubovoľnú dvojicu prvkov x1, x2 ∈ A platí rovnosť:

x1 + x2 = x2 + x1,

teda platí komutatívny zákon, z čoho vyplýva, že (A; +) je komutatívnagrupa.

2. Ukážeme, že (A; ·) je pologrupa t.j. platí:

– uzavretosť– asociatívnosť.


Uzavretosť: Nech x1, x2 ∈ A: x1 = a1 + b1

√5 a x2 = a2 + b2

√5, kde

a1, a2, b1, b2 ∈ Q.

x1 · x2 = (a1 + b1

√5) · (a2 + b2

√5) =

= a1 · a2 + a1 · b2

√5) + b1

√5) · a2 + b1

√5 · b2

√5 =

= (a1 · a2 + b1 · b2 · (√

5)2) + (a1 · b2 + b1 · a2)√

5 == (a + b

√5),

kde a = (a1 · a2 + 5 · b1 · b2), b(a1 · b2 + b1 · a2), a, b ∈ Q

Súčin x1 ·x2 = (a+ b√

5) ∈ A, preto (A; ·) je uzavretá vzhľadom na binárnuoperáciu ·.Asociatívnosť: Nech x1, x2, x3 ∈ A: x1 = a1 + b1

√5, x2 = a2 + b2

√5, x3 =

a3 + b3

√5, kde a1, a2, a3, b1, b2, b3 ∈ Q.

x1 · (x2 · x3) = (a1 + b1

√5) · ((a2 + b2

√5) · (a3 + b3

√5))=

= (a1 + b1

√5) · (a2 · a3 + b2 · b3(

√5)2 + a2 · b3

√5 + a3 · b2

√5) =

= a1 · a2 · a3 + a1 · b2 · b3(√

5)2 + a1 · a2 · b3

√5 + a1 · a3 · b2

√5 +

a1 · a3 · b1

√5 + b1 · b2 · b3(

√5)3 + a2 · b1 · b3(

√5)2 + a3 · b1 · b2(

√5)2

(x1 · x2) · x3 = ((a1 + b1

√5) · (a2 + b2

√5)) · (a3 + b3

√5) =

= (a1 · a2 + b1 · b2(√

5)2 + a1 · b2

√5 + a2 · b1

√5) · (a3 + b3

√5) =

= a1 · a2 · a3 + a1 · b2 · b3(√

5)2 + a1 · a2 · b3

√5 + a1 · a3 · b2

√5 +

a1 · a3 · b1

√5 + b1 · b2 · b3(

√5)3 + a2 · b1 · b3(

√5)2 + a3 · b1 · b2(

√5)2

Je vidieť, že platí asociatívny zákon a zároveň množina A je uzavretá vzhľa-dom na binárnu operáciu ·, z čoho dostávame, že (A; ·) je pologrupou.

3. Musíme ešte ukázať distributívnosť vzhľadom na binárnu operáciu +.Nech x1, x2, x3 ∈ A: x1 = a1 + b1

√5, x2 = a2 + b2

√5, x3 = a3 + b3

√5, kde

a1, a2, a3, b1, b2, b3 ∈ Q.

x1 · (x2 + x3) = (a1 + b1

√5)· ((a2 + b2

√5) + (a3 + b3

√5)) =

= (a1 · a2 + b1 · b2(√

5)2 + a1 · b2

√5 + a2 · b1

√5) +

+ (a1 · a3 + b1 · b3(√

5)2 + a1 · b3

√5 + a3 · b1

√5) =

= (a1 + b1

√5) · (a2 + b2

√5) + (a1 + b1

√5) · (a3 + b3

√5) =

= (x1 · x2) + (x1 · x3).

Ukázali sme, že binárna operácie · je distributívna vzhľadom na binárnuoperáciu +, teda platí aj posledná vlastnosť, z čoho vyplýva, že (A; +, ·) jeokruh.


To, či okruh (A; +, ·) je oborom integrity zistíme, až po overení, čimnožina A má alebo nemá netriviálne delitele nuly. Nech x1, x2 ∈ A: x1 =a1 + b1

√5, x2 = a2 + b2

√5, x1 6= e, x2 6= e, kde a1, a2, b1, b2 ∈ Q.

x1 · x2 = e

(a1 + b1

√5) · (a2 + b2

√5) = e

(a1 · a2 + b1 · b2(√

5)2 + a1 · b2

√5 + a2 · b1

√5) = e

(a1 · a2 + 5b1 · b2) + (a1 · b2 + a2 · b1)√

5 = 0 + 0√

5

Z tejto rovnosti dostávame nasledujúcu sústavu dvoch rovníc s neznámymia1, a2, b1, b2:

(a1 · a2 + 5b1 · b2) = 0

(a1 · b2 + a2 · b1) = 0

Po vyriešenítejto sústavy a po jednoduchých úvahách s ohľadom na vyššieuvedené podmienky, čiteteľ ľahko zistí, že v množine A sa nenachádzajúnetriviálne delitele nuly, preto (A; +, ·) je oborom integrity.

√



3.1 Zistite, či množiny spolu s danými binárnymi operáciami tvoria grupu:

a) (Z; 2 ) a2b = a + b + ab

b) (Z; ∇ ) a∇b = a + b + 3

c) (Z; ♥ ) a♥b = a + (−1)ab

d) (Z12; ⊕ )

e) (Z11 −{0}; ⊗ )

f) (Zn × Zm; ⊕ )

g) (S3, ◦ ); S3 je množina všetkých permutácii množiny {1, 2, 3}.

h) (Z; − )

i) ({x ∈ R: x = 7k, k ∈ Z }; + )

j) ({2n: n ∈ Z }; + )

k) ({x ∈ R: x = 7k, k ∈ Z }; · )

l) ({2n: n ∈ Z }; · )

m) (Z; + )

n) (Z; · )

o) (Q+; + )

p) (Z; ♣ ) a♣b = a2b2

q) (Z; ♠ ) a♠b = ab + 1

r) (R+; ♦ ) a♦b = ab

s) (R × R; 2 ) (a, b)2(c, d) = (a, b + d)

t) (R − {0} × R; ∇ ) (a, b)∇(c, d) = (ac, ad + b)

u) (Z × Z; • ) (a, b) • (c, d) = (ac, b)


3.2 Zistite, či množina A ⊆ Z11 spolu s binárnou operáciou ⊗ - násobeniemodulo 11, tvorí grupu:

a) A = {1̄, 3̄, 4̄, 5̄, 9̄}

b) A = {8̄, 7̄, 5̄, 3̄, 1̄}

c) A = {1̄, 8̄}

d) A = {1̄, 1̄0}

3.3 Zistite, či (A; ◦ ), je grupa, ak A {f1, f2, f3, . . . , f6}, fi : R − {0, 1} −→R − {0, 1} a fi sú dané predpisom:f1 = x, f2 = 1

x, f3 = 1 − x, f4 = 1

1−x, f5 = 1 − 1

x, f6 = x

x−1.

3.4 Nech Kn = {x ∈ C : xn = 1, n ∈ N}. Zistite, či množina Kn tvorígrupu vzhľadom na operáciu sčítania alebo násobenia.

3.5 Opíšte Cayleho tabuľkou grupu transformácii generovanú symetriami:

a) rovnostranného trojuholníka

b) obdĺžnika, ktorý nie je štvorec

3.6 Nájdite rády všetkých prvkov v grupe:

a) (Z12; ⊕)

b) (K8; ·)

c) (Z11 − {0̄}; ⊗)

d) (S3; ◦)

3.7 Nájdite rády prvkov:

a) 2̄, 3̄ v grupe (Z8; ⊕)

b) 2, 3 v grupe (Z; ♥), pričom a♥b = a + (−1)ab


3.8 Zistite, ktoré z nasledujúcich grúp sú cyklické:

(R; +) (Q; +) (K8; ·) (Z8; ⊕)(S3; ◦) (R − {0}; ·) (Z12; ⊕) (Z7 − {0̄}; ⊗)(Z11 − {0̄}; ⊗) (Z2 × Z2; ⊕) (Z2 × Z3; ⊕) (Z2 × Z4; ⊕)({2n : n ∈ N}; ·) ({x ∈ R : x = 7k, k ∈ Z}; ·)

3.9 Nájdite grupu, v ktorej každý prvok okrem neutrálneho je jej generá-torom.

3.10 Zistite, či zobrazenie f : A −→ B je homomorfizmom resp. izomorfiz-mom grúp (A; ◦), (B; •):

a) A = Z, B = Z, ◦ = +, • = +; f(x) = 4x

b) A = R − {0}, B = R, ◦ = ·, • = +; f(x) = ln x

c) A = R+, B = R+, ◦ = ·, • = ·; f(x) = 1√x

d) A = R × R, B = R, ◦ = +, • = +; f(x, y) = x − 2y

3.11 Zistite, ktoré z nasledujúcich grúp sú izomorfné:

(R; +) (K6; ·) (K8; ·) (Z8; ⊕)(S3; ◦) (R − {0}; ·) (Z7 − {0̄}; ⊕) (Z7 − {0̄}; ⊗)(Z; +) (Z2 × Z4; ⊕)

3.12 Nájdite všetky izomorfizmy f : (K8; ·) −→ (Z8; ⊕).

3.13 Nájdite všetky podgrupy grupy:

a) (K8; ·)

b) (Z8; ⊕)

c) (S3; ◦)


3.14 Je (H; ·) podgrupou grupy (G; ·), ak H = {−1, 1} a G = R−{0} ?

3.15 Zistite, či (Gi; ·) pre i = 1, 2, 3 sú podgrupy grupy (M ; ·), ak M ={X ∈ Mn(R) : det(X) ∈ R} 3:

a) G1 = {A ∈ M : det(A) > 0}

b) G2 = {A ∈ M : det(A) = 1}

c) G3 = {A ∈ M : | det(A)| = 1}

d) G4 = {A ∈ M : A je diagonálna}

3.16 Ktoré z nasledujúcich množín určujú podgrupy grupy (C−{0}, ·) resp.(C, +):

a) {a + bi : a, b ∈ Z}

b) {z ∈ C : |z| = 1}

c) {z ∈ C : |z| < 1}

3.17 Nájdite ľavý a pravý rozklad grupy G podľa podgrupy H:

a) (Z15; ⊕) a H = 〈12〉

b) (Z7 − {0̄}; ⊗) a H = 〈4̄〉

c) (S3; ◦) a H =⟨(

123

231

)⟩

d) (S3; ◦) a H =⟨(

123

213

)⟩

e) (Q − {0}; ·) a H = {−1, 1}

f) (K8; ·) a H = 〈i〉

3.18 Nájdite G/H a určte indexy podgrupy H v grupe G, ak:

a) (Z6; ⊕) a H = 〈4̄〉

b) (Z; +) a H = 〈3〉3Symbol Mn(R) označuje množinu všetkých štvorcových matíc typu n×n nas množinou

reálnych čísel R


c) (Z12; ⊕) a H = 〈9̄〉

3.19 Zistite, či množina spolu s dvomi binárnymi operáciami (A; +, ·) tvoríokruh, obor integrity, teleso alebo pole, ak:

a) A = {a + b√

2 + c 3√

2 : a, b, c ∈ Q}

b) A = {a + bi : a, b ∈ Z}

c) A = {a + bi : a, b ∈ Q}

d) A = {a + b 3√

2 : a, b ∈ Q}

e) A = {x ∈ R : x = 7k, k ∈ Z}

f) A je množina párnych prirodzených čísel

g) A je množina všetkých komplexných jednotiek

h) A je množina všetkých párnych celých čísel

3.20 Zistite, či (P(A); ÷,∩), A 6= ∅ je okruh resp. pole, ak X ÷ Y =(X − Y ) ∪ (Y − X).

3.21 Zistite, či (M ; +, ·) je pole, ak:

a) M = Mn(R)

b) M ={

(

a b2b a

)

∈ M2(R)}

3.22 Zistite, či dané zobrazenie f je homomorfizmom alebo izomorfizmomokruhov O1, O2:

a) f : C −→ R, f(a + bi) = a; ak O1 = (C; +, ·), O2 = (R; +, ·)

b) f : R −→ C, f(a) = a + 0i; ak O1 = (R; +, ·), O2 = (C; +, ·)

c) f : R2 −→ R, f(a, b) = a; ak O1 = (R2; +, ·), O2 = (R; +, ·)

3.23 Nech je daná množina A ={

(

a −bb a

)

∈ M2(R)}

a zobrazenie

ϕ : C −→ A, ϕ(a + bi) =

(

a −bb a

)

. Rozhodnite, či zobrazenie ϕ je

homomorfizmom resp. izomorfizmom okruhov (A; +, ·) a (C; +, ·).


3.24 Rozhodnite, či zobrazenie ϕ(a, b) = (b, 0, a) je homomorfizmus resp.izomorfizmus okruhov (R3; +, ·) a (R2; +, ·), ak + a · sú sčítanie a násobenien-tíc po jednotlivých zložkách.

3.25 Rozhodnite, či zobrazenie f : R3 −→ R2 je homomorfizmom resp.izomorfizmom okruhov (R3; +, ·) a (R2; +, ·), ak:

a) f : f(x, y, z) = (x, y)

b) f : f(x, y, z) = (y, y)



3.1 a) nie je grupa b) je grupa c) je grupa d) je grupa e) je grupa f) jegrupa g) je grupa h) nie je grupa i) nie je grupa j) nie je grupa k) je grupal) je grupa m) je grupa n) nie je grupa o) nie je grupa p) nie je grupa q)nie je grupa r) nie je grupa s) nie je grupa t) je grupa u) nie je grupa

3.2 a) áno b) nie c) nie d) áno

3.3 áno

3.4 Tvorí grupu vzhľadom na operáciu násobenia.

3.5 a) Ponechávame na čitateľa. b) Ponechávame na čitateľa.

3.6 a) rád(0̄) = 1, rád(1̄) = rád(5̄) = rád(7̄) = rád(11) = 12, rád(2̄) =rád(10) = 6, rád(3̄) = rád(9̄) = 4, rád(4̄) = rád(8̄) = 3 b) rád(1) = 1,rád(

√2

2+

√2

2i) = 8, rád(i) = 4, rád(−

√2

2+

√2

2i) = 8, rád(−1) = 2, rád(−

√2

2−

√2

2i) = 8, rád(−i) = 4, rád(

√2

2−

√2

2i) = 8 c) rád(1̄) = 1, rád(2̄) = rád(6̄) =

rád(7̄) = rád(8̄) =rád(9̄) = 10, rád(3̄) = rád(4̄) = rád(5̄) = 5, rád(10) = 2d) rád

(

123

123

)

= 1, rád(

123

213

)

= 2, rád(

123

132

)

= 2, rád(

123

321

)

= 2, rád(

123

312

)

= 3,rád(

123

213

)

= 3

3.7 a) rád(2̄) = 4, rád(3̄) = 8 b) rád(2)∞, rád(3) = 2

3.8 Cyklické sú grupy: (K8; ·), (Z8; ⊕), (Z12; ⊕), (Z7 − {0̄}; ⊗), (Z11 −{0̄}; ⊗), (Z2 × Z3; ⊕), ({2n : n ∈ N}; ·), ({x ∈ R : x = 7k, k ∈ Z}; ·)3.9 Napríklad grupa: (Z7; ⊕).

3.10 a) homomorfizmus b) izomorfizmus c) izomorfizmus d) homomorfiz-mus

3.11 (R; +) ∼= (R−{0}; ·), (K8; ·) ∼= (Z8; ⊕), (K6; ·) ∼= (Z7 −{0̄}; ⊕),

3.12 Tabuľka vzorov a obrazov jednotlivých izomorfizmov:

vzor a 1√

2

2+

√2

2i i −

√2

2+

√2

2i -1 −

√2

2−

√2

2i -i

√2

2−

√2

2i

obraz ϕ1(a) 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄ 6̄ 7̄

obraz ϕ2(a) 0̄ 3̄ 6̄ 1̄ 4̄ 7̄ 2̄ 5̄

obraz ϕ3(a) 0̄ 5̄ 2̄ 7̄ 4̄ 1̄ 6̄ 3̄

obraz ϕ4(a) 0̄ 7̄ 6̄ 5̄ 4̄ 3̄ 2̄ 1̄


3.13 a) K8, {1}, {−1, 1}, {−1, 1,−i, i} b) Z8, {0̄}, { ¯0, 4̄}, {0̄, 2̄, 4̄, 6̄} c)S3, {

(

123

123

)

}, {(

123

123

)

,(

123

132

)

}, {(

123

123

)

,(

123

321

)

}, {(

123

123

)

,(

123

213

)

}, {(

123

123

)

,(

123

312

)

,(

123

231

)

}3.14 Áno.

3.15 a) áno b) áno c) áno d) áno

3.16 a) podgrupa grupy (C; +) b) podgrupa grupy (C − {0}; ·) c) pod-grupa grupy (C − {0}; ·)3.17 Rozklady grupy G podľa podgrupy H:

a) ĽR = PR = {{0̄, 3̄, 6̄, 9̄, 12}, {1̄, 4̄, 7̄, 10, 13}, {2̄, 5̄, 8̄, 11, 14}}b) ĽR = PR = {{1̄, 2̄, 4̄}, {3̄, 5̄, 6̄}}c) ĽR = PR = {{

(

123

123

)

,(

123

231

)

,(

123

312

)

}, {(

123

132

)

,(

123

213

)

,(

123

321

)

}}

d) ĽR = {{(

123

123

)

,(

123

213

)

}, {(

123

231

)

,(

123

132

)

}, {(

123

321

)

,(

123

312

)

}}PR = {{

(

123

123

)

,(

123

213

)

}, {(

123

312

)

,(

123

132

)

}, {(

123

213

)

,(

123

321

)

}}

e) ĽR = PR = {{x,−x} : x ∈ Q − {0}}

f) ĽR = PR = {{−1, 1, i,−i}, {√

2

2+

√2

2i,

√2

2−

√2

2i,−

√2

2−

√2

2i,−

√2

2+

√2

2i}}

3.18 Rozklad grupy G podľa podgrupy H a index podgrupy H:

a) G/H = {{0̄, 2̄, 4̄}, {1̄, 3̄, 5̄}}, index je 2

b) G/H = {{3k : k ∈ Z}, {3k + 1 : k ∈ Z}, {3k + 2 : k ∈ Z}}, index je 3

c) G/H = {{0̄, 3̄, 6̄, 9̄}, {1̄, 4̄, 7̄, 10}, {2̄, 5̄, 8̄, 11}}, index je 3

3.19 a) nie je okruh b) je obor integrity c) je pole d) nie je okruh e) nieje okruh f) nie je okruh g) nie je okruh h) je obor integrity

3.20 (P ; ÷,∩) je okruh, ale nie je pole.

3.21 a) nie je pole b) je pole

3.22 a) nie je homomorfizmus b) je homomorfizmus, ale nie je izomorfiz-mus c) je homomorfizmus, ale nie je izomorfizmus

3.23 Zobrazenie ϕ je izomorfizmom.

3.24 Zobrazenie ϕ je homomorfizmus, ale nie je izomorfizmus.

3.25 a) zobrazenie f je homomorfizmus, ale nie je izomorfizmus b) zobra-zenie f je homomorfizmus, ale nie je izomorfizmus

4 NEORIENTOVANÉ GRAFY 76

4 Neorientované grafy 4.1 Definícia a základné typy grafov, izomorfizmus grafov Riešené príklady: Príklad 4.1.1 Zadané sú diagramy grafov G a H. Nakreslite diagramy

grafov HGHGG ∪∩ ,, , HG ⊕ . G H Riešenie: Graf G je komplementárnym grafom ku grafu G, bude teda obsahovať tie isté vrcholy ako graf G a všetky hrany chýbajúce v grafe G k tomu, aby bol kompletný, Graf sa nazýva prienikom grafov G a H. Obsahuje všetky tie vrcholy, ktoré sa vyskytujú súčasne v oboch grafoch a tiež všetky hrany vyskytujúce sa v oboch grafoch.

HG ∩

HG ∪ je graf, ktorý je zjednotením grafov G a H. Bude obsahovať všetky vrcholy aj hrany nachádzajúce sa aspoň v jednom z týchto grafov. Graf sa nazýva symetrickou diferenciou grafov G a H. Je definovaný vzťahom:

HG ⊕( ) ( )HGHGHG ∩−∪=⊕ . Teda zostrojíme si najprv graf

a a ich rozdiel je graf HG ∪ HG ∩ HG ⊕ . G HG ∩ HG ∪ HG ⊕ ™


Príklad 4.1.2 Nájdite všetky podgrafy grafu G, ktoré neobsahujú izolované

vrcholy. Koľko z nich je faktorov?

G Riešenie: Nakreslíme diagramy všetkých takýchto podgrafov (vrcholy na tej istej pozícii budeme považovať za rovnako označené). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Všetkých podgrafov grafu G, ktoré neobsahujú izolovaný vrchol je šestnásť, diagramy pätnástich sú nakreslené, šestnásty je prázdny graf. Faktor grafu je jeho podgraf, ktorý obsahuje všetky vrcholy ako graf. Z týchto podgrafov je teda 5 faktorov. Sú to: 1., 3., 4., 5., 6. ™ Príklad 4.1.3 Zistite, ktoré z diagramov znázornených na obrázku,

reprezentujú izomorfné grafy? Označte vrcholy a nájdite izomorfizmus, alebo zdôvodnite, prečo nie sú izomorfné.

G1 G4 G2 G3


Riešenie: Kvôli lepšiemu prehľadu a zdôvodňovaniu si najprv všetky vrcholy grafov označíme: a b c f k p o l u r g h i e d G1 j n m t G4 s G2 G3 Ako prvý krok urobíme to, že v každom grafe zistíme počet vrcholov a hrán. Pre dva izomorfné grafy totiž platí, že musia mať rovnaký počet vrcholov aj hrán. Nesmieme však zabúdať na to, že je to iba nutnou, nie postačujúcou podmienkou. V našom prípade je v každom grafe počet vrcholov 5 a počet hrán 6. Takže na základe toho nie je možné žiaden graf vylúčiť. Keď sa však pozrieme na G2, zistíme, že ide o multigraf, pretože z vrcholu f do vrcholu j máme dvojnásobnú hranu. To v ostatných grafoch nie je, preto G2 nie je izomorfný so žiadnym z ostatných grafov. Vo všetkých grafoch máme po dva vrcholy, ktoré incidujú s tromi hranami a po tri vrcholy, ktoré incidujú s dvomi hranami. No v grafe G1 hrany incidujúce s tromi vrcholmi (d, e) nemajú spoločnú hranu, kým v grafoch G3, G4 tieto vrcholy majú spoločnú hranu ({m,o};{r,u}). Preto ani graf G1 nie je incidentný so žiadnym iným grafom. V grafoch G3, G4 sú zhodné počty vrcholov, hrán, vzájomných incidencií, ale napríklad aj počty kružníc. Pokúsime sa teda nájsť izomorfizmus zobrazujúci tieto grafy navzájom:

f: G3→ G4 . Ľahko možeme

ukázať, že diagram grafu G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

tsurplkmon

f

4 sa dá prekresliť tak ako diagram grafu G3. k s o l r t n m p u G3 G4 Tento izomorfizmus nemusí byť jediný možný. Teda grafy G3, G4 sú izomorfné, čo zapisujeme aj G3 ≅G4. ™


4.2 Stupne vrcholov, súvislosť a vzdialenosť v grafe Riešené príklady: Príklad 4.2.1 Zistite, či dané postupnosti sú grafové. Zdôvodnite.

a) 6, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 1 b) 8, 5, 3, 3, 3, 3, 2, 1 c) 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1

Riešenie: a) Postupnosť nie je grafová, pretože v grafe musí byť počet vrcholov nepárneho stupňa párny, čo v tomto prípade neplatí. Tu je počet nepárnych čísel 3. b) Táto postupnosť tiež nie je grafová, lebo v grafe s n vrcholmi je maximálny možný stupeň vrcholu n-1. Pre 8 vrcholov je teda maximálny možný stupeň 7. c) Obidve predchádzajúce podmienky sú splnené, počet vrcholov nepárneho stupňa je 4, teda párny a maximálny možný stupeň je 7, čo nie je porušené. Platí, že pôvodná postupnosť je grafová práve vtedy, ak je grafová aj postupnosť, ktorú z nej dostaneme takto: Zoradíme čísla na nerastúcu postupnosť. Vynecháme prvé číslo k a od k nasledujúcich čísel odpočítame jednotku. Postupnosť znovu zoradíme a tento postup opakujeme dovtedy, pokiaľ nedostaneme postupnosť, o ktorej vieme ľahko rozhodnúť, či je, alebo nie je grafová. 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1 3, 3, 2, 2, 1, 2, 1 zoradíme 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1 2, 1, 1, 2, 1, 1 zoradíme 2, 2, 1, 1, 1, 1 -diagram takéhoto grafu už vieme nakresliť, teda postupnosť je grafová. Diagram pôvodného grafu môže vyzerať napríklad takto: ™ Príklad 4.2.2 V grafe G danom nasledujúcim diagramom nájdite všetky

vrcholy, ktorých vzdialenosť od vrcholu v1 je tri.


v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 G Riešenie: Vzdialenosť dvoch vrcholov v grafe je dĺžka najkratšej cesty spájajúcej tieto dva vrcholy. V nasledujúcej tabuľke sú zapísané vzdialenosti všetkých vrcholov od vrcholu v1:

vrchol v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10d(v1,vi) 0 1 2 3 1 1 2 3 2 3

Ako vidieť v tabuľke, vrcholy v4, v8, v10 majú z vrcholu v1 vzdialenosť 3. ™ Príklad 4.2.3 Určte excentricity všetkých vrcholov, polomer, priemer

a stred grafu G z predchádzajúceho príkladu. Riešenie: Excentricita vrcholu vi v grafe G e(vi,G) je číslo, ktoré sa rovná maximálnej vzdialenosti z daného vrcholu do iného vrcholu. Podľa toho je e(v1,G)=3, pretože maximálna vzdialenosť z vrcholu v1 v grafe G je 3 (viď tabuľku v predchádzajúcom príklade). Podobne určíme aj ostatné excentricity:

vrchol v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10e(vi,G) 3 3 3 4 4 2 3 3 3 3

Polomer grafu r(G) je číslo rovnajúce sa minimálnej hodnote excentricity v grafe G. V našom prípade r(G)=2. Priemer grafu P(G) je číslo rovnajúce sa maximálnej hodnote excentricity v danom grafe G. V tomto príklade je P(G)= 4. (Pozn.: Priemer grafu nemusí byť dvojnásobkom polomeru grafu.) Stred grafu S(G) je množina všetkých vrcholov grafu, ktorých excentricita je rovná polomeru. V tomto prípade S(G)={v6}. (Pozn.: Stred grafu nemusí byť jeden vrchol, môžu ho tvoriť aj všetky vrcholy, napríklad v kompletných grafoch.) ™


4.3 Maticové reprezentácie grafov Riešené príklady: Príklad 4.3.1 Zapíšte maticu incidencie a maticu susednosti grafu, ak je daný jeho diagram:

v1 h1 v2 h2 v3 h3 h4 h9 h5 h6 v4 h7 v5 h8 v6 Riešenie: Maticu incidencie označujeme A. Počet jej riadkov zodpovedá počtu vrcholov grafu, počet stĺpcov zase počtu hrán v grafe. Na príslušné miesto aij píšeme 1, ak i-tý vrchol inciduje s j-tou hranou. Ak nie, tak píšeme 0. Teda naša matica bude mať 6 riadkov a 9 stĺpcov a vyzerá takto:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

010010000011100100101001000100000010000111011000000101

A

Maticu susednosti označujeme B. Je to štvorcová matica, v ktorej počet riadkov aj stĺpcov zodpovedá počtu vrcholov v grafe. Na mieste bij píšeme 1, ak i-tý a j-tý vrchol incidujú. Ak nie, píšeme 0. V našom prípade to bude štvorcová matica rádu 6:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

010010101011010110001010111101010010

B .

™ Príklad 4.3.2 Bez kreslenia diagramu rozhodnite, či graf daný maticou susednosti je súvislý.


⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0010000011100000100101010

B

Riešenie: Na to, aby sme mohli overiť súvislosť grafu z matice susednosti, potrebujeme zostrojiť maticu B(1). Dostaneme ju z matice susednosti, ktorú sčítame s jednotkovou maticou B(1)=B+E. Z tejto matice ďalej zostrojíme maticu B(2)=B(1).B(1). Ide tu o klasické násobenie matíc, ale pre sčítanie a násobenie jednotlivých čísel bude platiť tzv. boolovské sčítavanie a násobenie, kde 0.0=0.1=1.0=0; 1.1=1; 0+0=0; 0+1=1+0=1+1=1. Ďalej maticu B(3)dostaneme takto: B(3)=B(2).B(1) (vo všeobecnosti B(k)=B(k-1).B(1)). Takto pokračujeme až po maticu B(n-1), čo je v našom prípade B(4). Ak táto matica obsahuje len jednotky, tak graf je súvislý, ak budú v nej aj nuly, nie je súvislý. (Pozn: Môže to skončiť jednotkami aj skôr.)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1010001011101000101101011

1000001000001000001000001

0010000011100000100101010

)1(B

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

1010001011101000101101011

.;

1010001011101000101101011

. )1()2()3()1()1()2( BBBBBB ;

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

1010001011101000101101011

. )1()3()4( BBB . Táto matica obsahuje ako prvky aj

nuly, to znamená, že graf nie je súvislý. ™


Príklad 4.3.3 Máme graf daný maticou susednosti

.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0100000101000001011000010001001001000001010001010

B

Bez kreslenia diagramu určte v tomto grafe polomer, priemer a nájdite stred grafu. Ďalej určte dvojice vrcholov daného grafu, ktorých vzdialenosť je tri. Riešenie: Postupujeme podobným spôsobom, ako v predchádzajúcom príklade. Nájdeme maticu B(1)=B+E. Potom vypočítame maticu B(2), B(3), ... Skončíme vtedy, keď dostaneme maticu, ktorá má ako prvky samé jednotky. Ak takú nedostaneme, skončíme po vypočítaní matice B(6), keďže náš graf má sedem vrcholov.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=+=

1110000111110011111110111111011111100111110011111

.

;

1100000111000001111000011001001011000001110001011

)1()1()2(

)1(

BBB

EBB


.

1111111111111111111111111111111111111111111111111

.

;

1111100111111111111111111111111111101111110111111

.

)1()3()4(

)1()2()3(

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

BBB

BBB

Hľadáme maticu, v ktorej sa prvý krát vyskytol jednotkový riadok (stĺpec). Je to matica B(2), takže polomer grafu r=2. Stredom grafu bude vrchol, ktorému prislúcha prvý jednotkový riadok v matici (ak je takých riadkov viac, stred grafu tvorí viac vrcholov), v našom prípade S ={ v5}. Priemer grafu odčítame ako mocninu matice, v ktorej sa prvý krát vyskytli všetky jednotkové riadky, teda P=4. Chceme nájsť dvojice vrcholov, ktoré majú vzdialenosť 3. Musíme hľadať tie pozície, na ktorých je v matici B(2) ešte 0, no v matici B(3) už 1. Sú to pozície b16, b26, b37, b47. Takže dvojice vrcholov, ktorých vzdialenosť je tri, sú tieto: {v1,v6}, {v2,v6}, {v3,v7}, {v4,v7}. ™


4.4 Eulerovskosť, hamiltonovskosť a planárnosť grafov Riešené príklady: Príklad 4.4.1 Dajú sa grafy zadané nasledujúcimi diagramami pokryť

jedným uzavretým ťahom?

G1 G2Riešenie: Graf G1 je eulerovský, pretože všetky jeho vrcholy majú párny stupeň. Keďže je eulerovský, dá sa pokryť jedným uzavretým ťahom. Samotné pokrytie (nakreslenie diagramu jedným ťahom) uzavretým ťahom nechávame na čitateľa. Graf G2 nie je eulerovský, keďže obsahuje dva vrcholy nepárneho stupňa. Nedá sa ani pokryť uzavretým ťahom, pretože eulerovskosť je nutnou podmienkou pokrytia grafu jedným uzavretým ťahom. No tento graf, keďže má práve dva vrcholy nepárneho stupňa, dá sa pokryť otvoreným ťahom. Musíme však začať v jednom z týchto vrcholov a skončiť v druhom. To nech čitateľ tiež vyskúša sám. ™ Príklad 4.4.2 Zistite, či grafy G1, G2 a G3 určené diagramami sú

hamiltonovské. Ak áno, vyznačte hamiltonovskú kružnicu, ak nie, zdôvodnite prečo.

G1 G2 G3Riešenie: V grafe G1 neplatí žiadna z nám známych postačujúcich podmienok pre hamiltonovskosť. To však neznamená, že graf nemôže byť hamiltonovský. Pokúsime sa tomto grafe očíslovať všetky vrcholy čo najmenším počtom čísel tak, aby susedné vrcholy mali rôzne číslo.


1 2 1 1 2 2 1 2 1

1 2 Daný graf sa nám podarilo očíslovať dvoma číslami. Počet vrcholov označených 1 je 6, počet vrcholov označených 2 je 5. Keďže susedné vrcholy majú vždy iné číslo, ak by existovala hamiltonovská kružnica, museli by sa v nej dvojky a jednotky striedať. No pretože jednotiek a dvoják nie je rovnaký počet, takáto kružnica nemôže existovať a graf nie je hamiltonovský. Jednou z možných postačujúcich podmienok na hamiltonovskosť grafov je, aby všetky vrcholy v grafe s n vrcholmi mali stupeň aspoň n/2. Graf G2 túto podmienku spĺňa. Má 8 vrcholov a každý vrchol má stupeň 4. Teda graf je hamiltonovský a existuje v ňom napríklad takáto hamiltonovská (obsahujúca všetky vrcholy) kružnica: V grafe G3 vieme odstrániť dva vrcholy tak, že nám vzniknú tri komponenty, preto tento graf nie je hamiltonovský. ™ Príklad 4.4.3 Je daný súvislý planárny graf G, ktorý má 11 vrcholov.

Vieme, že odobratím 5 hrán dostaneme jeho kostru. Koľko hrán má daný graf?

Riešenie: Vieme, že graf je súvislý a planárny, teda pre počet hrán H , počet

vrcholov V a počet oblastí r platí vzťah: rVH =+− 2 .


Ďalej vieme, že odstránením 5 hrán dostaneme kostru, teda je to minimálny počet hrán, ktoré musíme odstrániť, aby sme zrušili všetky kružnice v grafe, čo znamená, že 5 je vlastne cyklomatické číslo grafu: ( ) 5=Gµ . Z vlastností planárnych grafov tiež vieme, že platí: ( ) 1+= Gr µ , teda r = 5 + 1 = 6. Dosadením dostaneme: 6211 =+−H a teda počet hrán daného grafu

H =15. ™ Príklad 4.4.4 Overte planárnosť grafov daných nasledujúcimi diagramami: G1 G2Riešenie: Graf G1 je planárny, pretože jeho diagram sa dá prekresliť tak, aby sa hrany nepretínali. Najprv si označíme vrcholy v diagrame grafu:

a b c d e f g h i j k l m n o p Teraz ho prekreslíme tak, aby sa hrany nepretínali: a b c e d f h g j i k m l n o p Keď sa pozrieme na diagram grafu G2, vidíme, že máme tam len jeden priesečník hrán, no odstrániť ho nejde. Tento graf nie je planárny a dokážeme to použitím Kuratowského vety, ktorá hovorí o tom, že graf je planárny práve vtedy, ak neobsahuje podgraf homeomorfný s K5 ani s K3,3. My vieme z grafu G2 vybrať podgraf , ktorý je homeomorfný s K*

2G 5. Najprv v G2 označíme vrcholy, potom vyberieme . Nahradením hrán {a,e} a {a,b} hranou {e,b} a postupne nahradením hrán {b,c}; {c,d}; {d,h} hranou {b,h} dostaneme graf izomorfný s K

*2G

5, teda z grafu G2 sa dá vybrať podgraf homeomorfný s K5, čo znamená, že graf G2 nie je planárny.


a b a b b

e f e f e f h g h g h g d c d c G2 K*

2G 5

™


4.5 Stromy a kostry Riešené príklady: Príklad 4.5.1 Aký je súčet stupňov vrcholov v strome s 9 vrcholmi? Aký je súčet stupňov vrcholov, ak počet vrcholov je n? Riešenie: Jednou zo základných vlastnosti stromu je, že 1−= VH . Teda ak je počet vrcholov grafu 9, počet jeho hrán bude 8. A každá hrana sa do súčtu stupňov vrcholov započítava dvakrát (s obidvoma vrcholmi, ktoré s ňou incidujú), takže strom s 9 vrcholmi bude mať súčet stupňov 16. Analogicky, ak počet vrcholov je n, počet hrán bude n-1 a súčet stupňov vrcholov je 2(n-1). ™ Príklad 4.5.2 Nájdite polomer, priemer a stred stromu, ktorého diagram je

na obrázku: a b c d e

f g i j k l m n o p q r s t u Riešenie: V strome môžeme hľadať polomer, priemer a stred jednoduchšie ako u iných grafov. Najprv vynecháme vrcholy stupňa 1 aj s hranami, ktoré s nimi incidujú. Dostaneme opäť strom:

a b c e g i j 1. m n o s Tento postup zopakujeme znova, dovtedy, kým nám nezostane jeden vrchol, alebo dva vrcholy s incidentnou hranou:


b

2. g i j 3. g i 4. i n o n Vrchol i, ktorý nám ostal tvorí stred grafu (ak by ostali dva vrcholy, tvorili by oba vrcholy stred ). Polomer grafu je rovný počtu iterácii (odobratie hrán), ktoré sme vykonali, teda r=4 (ak by stred pozostával z dvoch vrcholov, polomer je počet iterácii plus jedna). Priemer grafu je P= 2.r, v našom prípade P=8 (v prípade dvoch stredových vrcholov je P=2.r-1). ™

Príklad 4.5.3 Je daný diagram grafu G. Určte počet kostier grafu 3vG −

a grafu 6vG − . v1 v2 v3

v4 v5 v6 Riešenie: Najprv si nakreslíme diagramy požadovaných grafov: v1 v2 v3 v1 v2 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v4 v5 v6 v4 v5

G G -v3 G -v6

Ako vidíme podľa diagramu, graf 3vG − nie je súvislý. Z definície vieme, že kostra grafu je taký jeho faktor, ktorý je stromom. Strom je neprázdny súvislý graf, ktorý neobsahuje kružnice. Dá sa teda povedať, že kostra grafu je jeho súvislý faktor, ktorý neobsahuje kružnice. Keďže graf nie je súvislý, nemôže byť súvislý ani žiaden jeho faktor. Z toho vyplýva, že graf

3vG − nemá kostru.

Iný je prípad grafu 6vG − . Ten je neprázdny, súvislý, a teda bude existovať aspoň jedna jeho kostra. Aby sme mohli určiť počet všetkých kostier, najprv napíšeme matice B a D a vypočítame maticu D-B.


⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−−

−−−−

=−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

211001210011411

0012100112

;

2000002000004000002000002

;

0110010100110110010100110

BD

DB

V matici D - B vynecháme i-tý stĺpec a i-tý riadok, je to jedno ktorý, no najvýhodnejšie je vynechať riadok a stĺpec tak, aby nám zostalo čo najviac núl, pretože zo zostávajúcej matice Di-Bi budeme počítať determinant, ktorý nám určuje počet kostier daného grafu. V našom prípade vynecháme tretí riadok a tretí stĺpec.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=−

21001200

00210012

33 BD

Z tejto matice vypočítame det(D3 - B3) = 9. Počet kostier grafu G - v6 je 9. ™



Definícia a základné typy grafov, izomorfizmus grafov

4.1 Majme množinu vrcholov grafu V={v1,v2,v3,v4}. Koľko rôznych grafov vieme na týchto vrcholoch zostrojiť? Koľko z nich bude navzájom neizomorfných?

4.2 Nájdite komplementárne grafy ku grafom, ktoré sú dané

nasledujúcimi diagramami.

a) b)

4.3 Znázornite graf vG − , ak graf G je daný diagramom.

a) b) v v

4.4 Pre dané dvojice grafov určené diagramami zostrojte:

212121 ;; GGGGGG ⊕∪∩ . a) G1 G2 b) G1 G2


c)

G1 G24.5 Určte počet faktorov v grafoch, ktoré sú zadané diagramami.

a) v1 b) v1 v2

v2 v3 v3 v4 v4 v5 v5 v6 4.6 Rozložte dané grafy na dva neizomorfné kvadratické faktory.

a) b)

c) d)

4.7 Aký najväčší počet hrán môže mať graf: a) s 20-timi vrcholmi b) s n vrcholmi?


4.8 Nasledujúce dvojice diagramov znázorňujú izomorfné grafy. Nájdite príslušné izomorfizmy.

a) v1 u1 u2 v2 v3 v4 u3 u4 v5 v6 u5 u6

b) 2 b 1 3 a c 5 4 e d

4.9 Ktoré z grafov, ktorých diagramy sú znázornené na obrázkoch, sú

izomorfné? Označte ich vrcholy a nájdite izomorfizmus, alebo zdôvodnite, prečo nie sú izomorfné.

a) G1 G2 b)

G1 G2 G3


c) G1 G2 G3 d) G1 G2 G3 e) G1 G2f) G1 G2


g)

G1 G2 G3 h) G1 G2 i) G1 G2 G3

4.10 Je možné grafy zadané diagramami zobraziť samé na seba tak, aby

zobrazenie nebolo identitou? Zdôvodnite.

a) 1 2 3 b) 1 2 5 3 5 4 4


c) 1 2 d) 1 6 2

7 3 7 5 3

6 4 5 4 4.11 Nech G1 je faktor grafu G.

a) Ak je G1 súvislý, musí byť súvislý aj G? b) Ak je G súvislý, musí byť súvislý aj G1? Zdôvodnite.

Stupne vrcholov, súvislosť a vzdialenosť v grafe

4.12 Nakreslite diagram ľubovoľného konečného grafu, ktorý má všetky

stupne vrcholov rovnaké. 4.13 Nakreslite diagram ľubovoľného konečného grafu, ktorý má všetky

stupne vrcholov rôzne. 4.14 Zistite, či dané postupnosti sú grafové. Ak nie, zdôvodnite prečo,

ak áno, nakreslite diagram príslušného grafu. a) 3,6,2,1,5,4,3 b) 7,6,6,6,3,3,3,2 c) 4,5,3,5,5,5,5,4 d) 6,6,5,5,4,4,3,3,2,2 e) 7,6,6,3,3,1,3,6 f) 4,7,3,3,5,5,4,7,7,4,4,3 g) 5,6,7,2,7,5,6,2 h) 11,10,4,5,7,7,7,8,3,3,1 i) 2,4,4,2,2,3,4,2,3,4,4,4 j) 12,6,8,2,11,3,7,14,11,9,7,2,2,2,5,4,3

4.15 Pre aké k je postupnosť grafová? Nakreslite diagram

zodpovedajúcich grafov. a) 5, 3, k, 2, 3, 1 b) 5, 3, k, 3, 3, 1 c) 4, 4, 2, 8, 1, 5, 7, 3, k

4.16 Nakreslite diagramy aspoň 3 grafov:

a) obsahujúce artikuláciu, ale neobsahujúce most b) obsahujúce aj artikuláciu aj most c) obsahujúce most, ale neobsahujúce artikuláciu


4.17 K daným grafom nájdite polomer, priemer a stred. a) v1 v2 v3 b) a b c d

v4

v7 v6 v5 h g f e c) a b d) a b c d e i

c d e f h

f g j g h i j k l m e) a b c d e f

4.18 Nájdite počet kružníc v grafoch daných diagramami.

a) b) v1 v2

v1 v2 v3 v6 v3 v4 v7 v6 v5 v5 v4


Maticové reprezentácie grafov 4.19 Zapíšte matice incidencie (A) a matice susednosti (B) grafov, ktoré

sú dané nasledujúcimi diagramami. a) v1 b) v1 h1 h2 h1 h2 v5 v2 v5 h3 h4 v2 h5 h6 h3 h4 h5 h7 v6 h8 h9

v3 h6 v4 v4 h10 v3 c) d) v1 v1 h1 v2 h1 h2 h3 v2 h2 v7 h4 v3 h3 h4 h5 h6 h5 h6 v3 h7 v5 v6 h7 v4 h8 h10 h9

v4 h11 v6 v5 4.20 Bez kreslenia diagramu zistite, či dvojice matíc sú maticami

susednosti toho istého grafu.

a) ;

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0101110011000101110011000

1B

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0111010110110001100100010

2B

b) ;

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0011100111110001100011000

1B

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0111110001100101010011000

2B


c) ;

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

010010100110000101011011110100001100

1B

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

011000100110100110011001011001000110

2B

d)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0101100010100100010100101010000110000101010010100010010100011010

1B

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0111000010001100100010101000011001100001010100010011000100001110

2B

4.21 Bez kreslenia diagramu zistite, či graf daný maticou susednosti je

súvislý. Ak áno, nájdite polomer, priemer a stred grafu.

a) ;b) ;c)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0100010100010110010000100

B

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0010000011100000100101010

B

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0110110100110100010010000

B


d) e)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

000001001100010111011010001101101010

B

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

011001101001110001000010000100111000

B

f) g)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0001010000110010010010011100111000110001100100000101000100101010

B

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0100100101010001011100010011111001000111010001010

B

4.22 Bez kreslenia diagramu zistite, ktoré dvojice vrcholov

v nasledujúcich grafoch zadaných maticami susednosti majú vzdialenosť menšiu ako 2.

a) b)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0010000001000011000110000110000101000111010010010

B

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0100000100100000010000110100000101000001010000010

B

c)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0100000110000001000101100010011000000100001110000011000011000000

B


4.23 Bez kreslenia diagramu zistite, ktoré dvojice vrcholov v grafoch z príkladu 5.18 daných maticami susednosti majú vzdialenosť aspoň 4.

4.24 Bez kreslenia diagramu zistite, ktoré dvojice vrcholov v grafoch

z príkladu 5.18 daných maticami susednosti majú vzdialenosť práve 3.

Eulerovskosť, hamiltonovskosť a planárnosť grafov

4.25 Ktoré z grafov, znázornených nasledujúcimi diagramami, sú

eulerovské? Ak sú, pokúste sa nakresliť ich diagramy jedným uzavretým ťahom. a) b) c)

4.26 Ktoré z grafov z predchádzajúcej úlohy sa dajú pokryť otvoreným

ťahom? 4.27 Zistite, ktoré z grafov daných nasledujúcimi diagramami, sú, resp.

nie sú hamiltonovské. Ak sú hamiltonovské, nájdite hamilt. kružnicu, ak nie sú hamiltonovské, zdôvodnite prečo.

a) b) c) d) e)


f) g) h) i) j) k)

4.28 Nájdite chromatické číslo a chromatický index grafov zadaných diagramami.

a) b)

c)


4.29 Ktoré z grafov určených nasledujúcimi diagramami sú planárne? Zdôvodnite.

a) b) c) d)

e) f)

Stromy a kostry 4.30 Koľko hrán má strom so siedmimi vrcholmi? 4.31 Znázornite diagramy všetkých neizomorfných stromov s piatimi

hranami.

4.32 Znázornite diagramy všetkých neizomorfných stromov s najviac piatimi hranami.

4.33 Nájdite polomer a priemer stromov daných nasledujúcimi

diagramami:

a) b)


c) d)

4.34 Koľko hrán treba odstrániť z grafu, aby vznikla kostra?

a) b)

4.35 Nájdite cyklomatické číslo nasledujúcich grafov daných diagramami:

a) b) c)

4.36 Zistite, či existuje konečný súvislý graf, v ktorom sa dajú nájsť dve rôzne kostry bez spoločnej hrany. Ak áno, uveďte príklad.

4.37 Určte počet kostier v grafoch určených diagramami:

a) b)

c) d)


4.38 Určte počet kostier v grafoch G , keď sú dané diagramy grafov G:

a) b) •



4.1 Vieme zostrojiť 64 rôznych grafov. Z nich bude 11 navzájom neizomorfných.

4.2 a) b)

4.3 a) b)

4.4 a) 21 GG ∩ 21 GG ∪ 21 GG ⊕ b)

21 GG ∩ 21 GG ∪ 21 GG ⊕ c)

21 GG ∩ 21 GG ∪ 21 GG ⊕


4.5 a) Počet faktorov je 512. b) Počet faktorov je 256. 4.6 a) c)

b) nedá sa rozložiť d) nedá sa rozložiť

4.7 a) 190; b) ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2n

4.8 a) b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

654321

654321

uuuuuuvvvvvv

f ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

cadbef

54321

4.9 a) ; b) 21 GG ≅ 21 GG ≅ ; c) 31 GG ≅ ; d) 21 GG ≅ ; e) nie sú izomorfné; f) 21 GG ≅ ; g) nie sú izomorfné; h) ; i)

21 GG ≅

32 GG ≅

4.10 a) existuje 11 takých zobrazení, napr.: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4512354321

f

b) existuje 7 takých zobrazení, napr.: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2543154321

f

c) existuje 34 takých zobrazení, napr.:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

57614327654321

f

d) neexistuje požadované zobrazenie

4.11 a) áno; b) nie 4.12 Napríklad hociktorý kompletný graf, ...


4.13 Taký graf neexistuje.

4.14 a) áno; b) nie; c) áno; d) áno; e) nie; f) áno; g) nie; h) nie; i) áno; j) áno

4.15 a) { 4,2 }∈k ; b) { }3,1∈k ; c) { }6,4,2∈k

4.16 a) ... ; b) ... ; c) nedá sa ani jeden 4.17 a) r = 2; P = 3; S={v2, v3, v5, v6}; b) r = 2; P = 4; S={b, f}; c)r = 2;

P = 4; S={e, h}; d) r = 3; P = 5; S={b,e}; e) r = 1; P = 1; S={a,b,c,d,e,f}

4.18 a) 12; b) 15

4.19

a) A= B=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

001101100100111000010010000011

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0110110100110100010110010

b)A= B=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

010011100000010100011101000000101000000000101000100000001111

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

011011101001110100001010100101110010

c)A= B=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

111000010000010110001010010000100010110100000000011000100000001111

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

011101100111100101011010010101111010


d) A= B=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0011000100001001100001000100010100000001010000011

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0010100000100110001000100010101000000010010100010

4.20 a) áno; b) nie; c) nie; d) áno 4.21 a) súvislý; r = 2; P = 3; S={v3, v4}; b) nesúvislý; c) súvislý; r = 2;

P = 3; S={v3, v4, v5}; d) súvislý; r = 2; P = 3; S={v1, v2, v4}; e) nesúvislý; f) súvislý; r = 2; P = 3; S={v2, v4, v5, v7}; g) súvislý; r = 2; P = 3; S={v2, v3, v5}.

4.22 a){1,2};{1,5};{2,3};{2,4};{2,5};{3,4};{5,6};{5,7};{1,1};{2,2};

{3,3};{4,4};{5,5}; {6,6};{7,7} b){1,1};{2,2};{3,3};{4,4};{5,5};{6,6};{7,7};{1,2};{2,3};{3,4}; {4,5};{4,6};{6,7} c){1,1};{2,2};{3,3};{4,4};{5,5};{6,6};{7,7};{8,8};{1,7};{1,8}; {2,5};{2,6};{3,4}; {3,5};{3,6};{5,6}; {7,8}

4.23 a) - - -

b) {1,5};{1,6};{1,7};{2,7} c) {i,2};{i,3};{i,4};{i,5};{i,6}, kde i∈{1,7,8}

4.24 a) {3,6};{3,7};{4,6};{4,7}

b) {1,4};{2,5};{2,6};{3,7};{5,7} c) {2,4}

4.25 a) nie je eulerovský; b) nie je eulerovský; c) je eulerovský 4.26 len graf a) sa dá pokryť otvoreným ťahom 4.27 sú hamiltonovské: a), b), c), d), g), h), j); nie sú hamiltonovské: e),

f), i), k)

4.28 a) 5;3 == χχ ; b) 4;2 == χχ ; c) 3;3 == χχ ;

4.29 sú planárne: a), c), d); nie sú planárne: b), e), f)

4.30 6 hrán


4.31

4.32 Sú to všetky stromy z predchádzajúcej úlohy, k nim je potrebné pridať nasledujúce:

4.33 a) r=3; P=5; b) r=3; P=5; c) r=4; P=8; d) r=3; P=6;

4.34 a) 4; b) 9;

4.35 a) µ=2; b) µ=1; c) µ=9

4.36 Áno, existuje, napríklad pre graf K4.

4.37 a) 21; b) 11;c) 0; d) 111;

4.38 a) 21; b) 0;

LITERATÚRA

112

Literatúra Bučko, M., Klešč, M.: Diskrétna matematika, Academic Press elfa, s.r.o., Košice 2002 (aj skoršie vydania). Chartrand, G., Oellermann, O.: Applied and algorithmic graph theory, McGraw – Hill, Hightstown, 1993. Matoušek, J., Nešetřil, J.: Kapitoly z diskrétní matematiky, MATFYZPRESS, UK-Praha, 1996. Plesník, J.: Grafové algoritmy, VEDA-vydavateľstvo SAV, Bratislava, 1983.

RNDr. Štefan BEREŽNÝ

RNDr. Emília DRAŽENSKÁ

a

RNDr. Daniela KRAVECOVÁ

ISBN

80-8073-364-3

zbierka Úloh - web.tuke.skweb.tuke.sk/fei-km/sites/default/files/prilohy/10/zbierka-dm.pdf ·...

Documents