zbirka tm

. .

.

Radna skripta zadataka iz

Uvoda u Teorijsku Mehaniku,za studente A i C smerova fizike, i za astrofizicare

verzija 3.4

pripremio: Vladimir Miljkovic

U slucaju da na(i) -dete (na) greske,

ili da imate opstiji komentar, posaljite pismo na

e-mail adresu: <[email protected]>

Beograd, april 2007.

Sadrzaj

Poglavlje 1. Kinematika 3

1. Uvod 3

2. Tekstovi zadataka 5

3. Resenja 6

Poglavlje 2. Slobodno kretanje 7


2. Resenja 11

Poglavlje 3. Lagrange-eve jednacine I vrste 12

1. Uvod 12


3. Resenja 15

Poglavlje 4. Lagrange-eve jednacine II vrste 17


2. Resenja 24

Poglavlje 5. Centralno kretanje 28


2. Resenja 28

Poglavlje 6. Kruto telo 30


2. Resenja 37

Poglavlje 7. Hamiltonove jednacine 44


1

2 SADRZAJ

Poglavlje 8. Hamiltonov princip 47


2. Resenja 47

Poglavlje 9. Poisson-ove zagrade 48


2. Resenja 48

Poglavlje 10. Osnovi relativisticke mehanike 49


2. Resenja 51

Poglavlje 11. Osnovi fizike kontinuuma 56


2. Resenja 58

POGLAVLJE 1

Kinematika

1. Uvod

Descartes-ov koordinatni sistem

Polozaj tacke u prostoru u Descartes-ovom koordinantnom sistemu je dat izrazom

~r = x~ex + y~ey + z~ez, (1)

dok je infitezimalno mali pomeraj u prostoru dat jednacinom

d~r = dx~ex + dy~ey + dz~ez, (2)

dok je vektor brzine predstavljen vektorom

~v =d~r

dt= x~ex + y~ey + z~ez, (3)

tako da je kvadrat brzine oblika

v2 = x2 + y2 + z2. (4)

Cilindricni koordinatni sistem

Jednacine transformacija iz Descartes-ovog koordinatnog sistema u cilindricni sistem je oblika

x = ρ cos ϕ,

y = ρ sin ϕ

z = z

gde su ρ, ϕ i z kooridnate cilindricnog koordinatnog sistema. Tako -de, postoji inverzna transformacija iz

cilindricnog u Descartes-ov koordinatni sistem:

ρ =p

x2 + y2,

ϕ = arctany

x,

z = z.

3

4 1. KINEMATIKA

Infitezimalno mali pomeraj prikazan u cilindricnom koordinantnom sistemu

d~r = ρ~eρ + ρϕ~eϕ + z~ez, (5)


~v =d~r

dt= ρ~eρ + ρϕ~eϕ + z~ez, (6)


v2 = ρ2 + ρ2ϕ2 + z2. (7)

Sferni koordinatni sistem

Jednacine transformacija iz Descartes-ovog koordinatnog sistema u sferni koordinatni sistem je oblika

x = r sin θ cos ϕ,

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ

gde su r, ϕ i θ kooridnate sfernog koordinatnog sistema. Tako -de, postoji inverzna transformacija iz sfernog

u Descartes-ov koordinatni sistem:

r =p

x2 + y2 + z2,

ϕ = arctany

x,

θ = arctan

px2 + y2

z.

Infitezimalno mali pomeraj prikazan u sfernom koordinantnom sistemu

d~r = dr~er + r sin θdϕ~eϕ + rdθ~eθ, (8)


~v =d~r

dt= r~er + r sin θϕ~eϕ + rθ~eθ, (9)


v2 = r2 + r2 sin2 θϕ2 + r2θ2. (10)

2. TEKSTOVI ZADATAKA 5

2. Tekstovi zadataka

1. Odrediti trajektoriju materijalne tacke cije su konacne jednacine kretanja date izrazima:

a. x(t) = 7t2 + 4, y(t) = 3t2 − 2, z(t) = 0,

b. x(t) = 4t− 2t2, y(t) = 3t− 1.5t2, z(t) = 0,

c. x(t) = a cos ωt, y(t) = b sin ωt, z(t) = 0,

d. x(t) = a cos ωt, y(t) = b sin ωt, z(t) = bt.

2. Materijalna tacka se krece po elipsi (xa )2 + (y

b )2 = 1.

a. U slucaju da je ubrzanje tela ~a u svakom trenutku paralelno y-osi. Odrediti ubrzanje kao

funkciju y-koordinate, ako su pocetni uslovi ~r(0) = (0, b) i ~v(0) = (vo, 0).

b. U slucaju da se krece konstantnom brzinom v. Odrediti vektor ubrzanja i brzine u funkciji

koordinata.

3. Tacka se krece po trajektoriji ρ = aekϕ, sa konstantnom sektorskom brzinom σ(t). Odrediti

brzinu tacke v(t) ako je u pocetnom trenutku ϕ(0) = 0.

4. Materijalna tacka se krece u ravni sektorskom brzinom σz = kρ2

2 , a ugao je izme -du ubrzanja i

radijus vektora je 45o. Odrediti jednacine kretanja i jednacine trajektorije, ako je ρo, ϕ(0) = 0 i

ρ(0) = ρo.

5. Materijalna tacka se krece u ravni. U vremenskom trenutku to, telo se krece brzinom vo po

putanji, ciji je trenutni poluprecnik ro. Odrediti tangencijalno ubrzanje i poluprecnik te trajek-

torije, ako su diferencijalne jednacine kretanja~r = a~r, gde je a poznata konstanta.

6. Tacka se krece po paraboli y = kx2, sa ubrzanjem, intenziteta a, koje je tokom kretanja uvek

paralelno y-osi. Odrediti tangencijalnu komponentu ubrzanja at, normalnu komponentu ubrzanja

an i r(t).

7. Materijalna tacka se krece po konusu θ = α tako da sece sve izvodnice konusa pod uglom γ.

Odredi trajektoriju, konacne jednacine kretanja te materijalne tacke i vreme koje je potrebno da

dostigne tacku na vrhu konusa.

8. Materijalna tacka se krece brzinom kontstantnog intenziteta vo po jednoj od tri koordinatne

ravni cilindricnog koordinatnog sistema, tako da se odnos projekcija brzine koje se menjaju pri

kretanju konstantne. Odrediti trajektorije i konacne jednacine kretanja.

9. Materijalna tacka se krece po kardoidi ρ = 2a cos2 ϕ2 , konstantnom brzinom. Napisati brzinu

materijalne tacke i njeno ubrzanje kao funkciju ρ-koordinate.

6 1. KINEMATIKA

3. Resenja

1. a. Jednacina trajektorije je jednacina linije koja reprezentuje tu putanju duz koje se krece to telo.

Ako jednacine kretanja razumemo kao parametarske jednacine, koje zavise od nezavisnog

parametra t, jednacinu trajektrije cemo dobiti ukoliko dobijemo izraze u kojima ne figurise

t. S tim ciljem, jednacine kretanja mozemo resiti po vremenu

t2 =x− 4

7,

t2 =y + 2

3.

Dalje, desne strane izraza mozemo izjednaiti, tako da dobijamo

y =37x− 26

7. (11)

b. y = 34x.

c. (xa )2 + (y

b )2 = 1.

d. z = bk arctan y

x .

2. a. y = − b4v2o

a2y3

b. x = − voay

b[( ayb )2+( bx

a )2]1/2 ;y = − bvox

a[( ayb )2+( bx

a )2]1/2

x = − v2ob2x

[( ayb )2+( bx

a )2]2;y = − v2

oa2y

[( ayb )2+( bx

a )2]2.

3. ~v =(

kσo

t+to

)1/2

(~ex + 1k~ey).

4. Jednacine kretanja su ρ = ρo

k√

2i ϕ = kt. Jednacine kretanja su ρ = ρo

k√

2eϕ sinh

√2ϕ.

5. .

6. at = t(

2ka3

1+2kat2

)1/2

, an = a(1+2kat2)1/2 i r(t) = 1

2k (1 + 2kat2)3/2.

7. Jednacine kretanja su r(t) = ro + tvo cos γ i ϕ(t) = − tan γsin α ln(1+ tvo

rocos γ). Jednacine trajektorije

je r = roe− sin α

tan γ ϕ. Vreme koje je potrebno da materijalna tacka do -de do vrha konusa se dobija

iz jednacine ρ(τ) = 0, odakle dobijamo da je τ = − ro

vo cos γ .

8. Ako je ρ = const = a, z(t) = ± vot√k2+1

+ C1 i ϕ(t) = ka

vot√k2+1

+ C2, gde je konstanta k = vϕ

vz.

Jednacina trajektorije aϕ = kz + C3. Ako je ϕ = const = α, z(t) = ± kvot√k2+1

+ C1 i r(t) =

± vot√k2+1

+ C2, gde je konstanta k = vz

vr. Jednacina trajektorije z = kr + C3.

9.

POGLAVLJE 2

Slobodno kretanje


1. U homogenom polju Zemljine teze materijalna tacka bacena je sa visine H , pocetnom brzi-

nom v = v0 navise. Naci konacne jednacine kretanja tacke, ako je sila otpora sredine jednaka

~F = −k~v, gde je k pozitivna konstanta, a promena gravitacionog ubrzanja sa visinom je zane-

marljiva. Iz dobijene zavisnosti odrediti jednacinu kretanja u slucaju kada nema otpora sredine

tj. kada k → 0.

2. Cestica, mase m lansira se sa povrsine Zemlje pocetnom brzinom vo i pod uglom α u odnosu

na horizont. Pored homogene sile Zemljine teze na cesticu deluje i sila otpora sredine direktno

proporcionalna vektoru brzine cestice (koeficijenta proporcionalnosti km).

a. Odrediti maksimalnu visinu koju dostize cestica.

b. Odrediti brzinu cestice (intenzitet, pravac i smer) na maksimalnoj visini.

c. Odrediti jednacinu trajektorije cestice.

3. Dva tela A i B su bacena istovremeno, iz iste tacke, u suprotnim smerovima, horizontalnim

brzinama v0A = v0 i v0B = 2v0. Tela se krecu u homogenom polju Zemljine teze pod dejstvom

otporne sile proporcionalne brzini (koeficijenta proporcionalnosti km).

a. Odrediti trenutak kada ce pravci kretanja ovih cestica zaklapati ugao π2 .

b. Na kom rastojanju ce biti tada cestice.

c. Odrediti maksimalno rastojanje izme -du tih cestica.

4. Dva tela A i B su bacena istovremeno, iz iste tacke. Telo A je baceno vertikalno nanize izvesnom

pocetnom brzinom, dok je telo B baceno u horizontalnom pravcu dvostruko vecom brzinom.

Tela se krecu u homogenom polju Zemljine teze pod dejstvom otporne sile proporcionalne

brzini (koeficijenta proporcionalnosti km). Tela su pala na horizontalnu povrsinu, tako da je

vreme leta tela A bila τ , dok je vreme leta tela B bilo 2τ .

a. Odrediti visinu sa koje su tela bacena.

b. Odrediti brzinu kojom su bacena tela.

7

8 2. SLOBODNO KRETANJE

c. Odrediti ugao izme -du pravaca vektora brzina u trenutku pada tela A.

d. Na kom rastojanju ce telo B pasti od cestice A.

5. Lopta je bacena sa visine H (u odnosu na horizontalnu povrs stola) pocetnom brzinom v0 pod

uglom od π/4 u odnosu na horizontalu. Loptica se krece u homogenom polju Zemljine teze,

pod dejstvom otpora sredine koji je proporcionalan brzini, koeficijenta proporcionalnosti km.

Lopta moze da se elasticno odbije o horizontalnu povrs stola.

a. Odredite brzinu lopte kojom udari o sto prilikom prvog i drugog udara o sto.

b. Odrediti ugao pod kojim udari lopta o sto, u prvom i drugom navratu.

c. Koliko je rastojanje izme -du tacaka gde su se desila ta dva udara.

6. Cestica mase m krece se u homogenom polju Zemljine teze. Njoj je u pocetnom trenutku

saopstena brzina v0 vertikalno navise. Otpor sredine je proporcionalan kvadratu brzine. Odred-

iti brzinu cestice kada se vrati u pocetni polozaj.

7. Telo, mase m, je baceno sa odre -dene visine, u homogenom polju Zemljine teze, pocetnom

brzinom v0 vertikalno nanize. Posle odre -denog vremena telo je udarilo o tlo i apsolutno se

elasticno odbilo, dostizuci maksimalnu visinu h1. Zatim se to isto telo baca, sa dvostruko

vece pocetne visine, istom pocetnom brzinom v0. Kretanje tela se odvija pod istim uslovima.

Odrediti koju ce maksimalnu visinu h2 sada dostici telo posle udara o tlo. Uzeti da je sila trenja

vazduha proporcionalna kvadratu brzine (koeficijenta proporcionalnost km).

8. Na visini H iznad Zemlje tacki mase m saopstava se pocetna brzina v0, usmerena vertikalno

navise. Naci brzinu tacke na visini h (h > H), ako na nju deluje sila otpora ‖F‖ = bv2, gde

je β pozitivna konstanta. Tako -de, promenu gravitacionog polja se mora uzeti u obzir. Resenje

izraziti u funkciji integrala

I[a, b, C] =∫ a

0

exp(−bz)(z + C)2

dz

gde su a, b i C pozitivne konstante.

9. Na materijalnu tacku mase m koja se nalazi u homogenom polju Zemljine teze deluje sila

~F = ~v × ~A,

gde je ~v brzina cestice, a ~A je konstantan vektor koji je normalan na pravac dejstva sile Zemljine

teze. Odrediti konacne jednacine kretanja, ako u pocetnom trenutku ~r(0) = ~r0, ~v(0) = ~v0.

10. U uslovima prethodnog zadatka, cestici koja se nalazi na povrsini Zemlje u Oxy saopstava se

brzina ~v0 = v0~ez . Naci maksimalnu visinu do koje ce se cestica popeti. Uzeti da je ~A = m~ω.


11. Tacka mase m krece se bez trenja po osi x pod dejstvom sile F = F (x). Naci u kvadraturama

zakon kretanja tacke, smatrajuci da je x(0) = x0 > 0 i F (x) > 0.

12. Tacka mase m krece se po osi x u sredini u kojoj je sila otpora proporcionalna kvadratu brzine

F = βv2. Naci zakon kretanja tacke (u kvadraturama) ako na nju osim sile otpora deluje i sila

F (x) > 0, a u pocetnom trenutku je x0 > 0.

13. Cestica, mase m, pada vertikalno, bez pocetne brzine. Cestica se nalazi u homogenom polju

Zemljine teze, a na cesticu deluje i sila otpora sredina koja F (v) = −αv − βv2, gde su α i β

pozitivne konstante. Odrediti zavisnost brzine od vremena, i vrednost brzine kada t →∞.

14. Dve cestice A i B masa mA i mB , ciji je me -dupolozaj dat vektorom rAB , nalaze se u homogenom

polju, koje deluje u svakoj tacki prostora identicnom silom ~F (na sve cestice koje se nalaze u

njemu). U pocetnom trenutku tacka A nema pocetnu brzinu, dok tacka B ima pocetnu brzinu

~v0 = v0~FF . Odrediti granicne brzine cestica A i B, (ona se odre -duje u limesu kada t → ∞).

Odrediti kako se menja me -dusobno rastojanje cestica, kao i njihovu granicnu vrednost.

15. Cestica, mase m = 0.1kg, krece se duz x- ose pod dejstvom sile, cija je projekcija duz te ose

jednaka Fx = ax − bx + ct, gde je a = 3 kg/s, b = 2 kg/s i c = 1 kg m/s. Odrediti zavisnost

brzine te cestice od vremena, ako se u pocetnom trenutku nalazila u koordinatnom pocetku.

16. Telo, mase m, se lansira iz tacke O u podnozju strme ravni, elevacionog ugla α (slika) pocetnom

brzinom intenziteta v0. Pored homogenog polja Zemljine teze na telo deluje i sila otpora sre-

dine proporcionalna trenutnoj brzini tela (koeficijent proporcionalnosti km, k > 0).

a. Odrediti ugao pod kojim se u odnosu na horizontalu, telo lansira, ako ono pada na strmu

ravan posle vremena t; od trenutka zapocinjanja kretanja.

b. Odrediti rastojanje d (duz strme ravni, mereno od tacke lansiranja) na kojem ce telo udariti

o tlo.

17. Telo, mase m se lansira iz tacke O u podnozju strme ravni, elevacionog ugla α (videti sliku). Na

telo deluje homogeno polje Zemljine teze i sila otpora sredine proporcionalna trenutnoj brzini

tela (koeficijent proporcionalnosti km , km > 0). Telo pada, pod uglom θ, na kosu ravan posle

vremena τ od zapocinjanja kretanja. Odrediti intenzitet pocetne brzine i ugao pod kojim se u

odnosu na horizontalu, telo lansira.

18. Telo mase m se lansira iz tacke O u podnozju strme ravni nagibnog ugla α (videti sliku). Na

telo deluje homogeno polje sile Zemljine teze i sila otpora sredine proporcionalna trenutnoj

brzini tela (koeficijent proporcionalnosti km, k > 0). Telo pada pod uglom π2 na kosu ravan

10 2. SLOBODNO KRETANJE

posle vremena t od pocetka kretanja. Odrediti intenzitet pocetne brzine i ugao pod kojim se, u

odnosu na horizontalu, telo lansira.

19. Potencijalna energija cestice, mase m, koja se krece duz x-ose iznosi U = Uo

cosh2 αx, gde su α i Uo

pozitivne konstante. Ukupna energija cestice je E.

a. Odrediti jednacinu kretanja cestice u slucaju da je njena energija cestice (I) E > 0 (II) E < 0.

b. Odrediti povratne tacke trajektorije.

20. Telo mase m krece se duz x-prave, tako da potenicjalna eneregija je oblika U(x) = A(exp(−2αx)−2 exp(−αx)) gde su α i A date pozitivne konstante. Pocetna brzina tela je v0~ex, a pocetni polozaj

je x0.

a. Odrediti povratne tacke tarjektorije tela u slucaju kada mu je ukupna energija a1. E > 0 a2.

E < 0.

b. Odrediti konacne jednacine kretanja i period kretanja u slucaju a2 (E > 0).

21. Teska cestica vezana je za hrapavu zicu poluprecnika a koja lezi u horizontalnoj ravni. Neka je

µ koeficijent trenja i neka je v0 pocetna brzina.

a. Naci pre -deni put posle koga ce se cestica zaustaviti.

b. Ako je v0 <<√

ag, naci vreme kretanja cestice.

22. Telo, mase m, se lansira iz tacke O u podnozju brda, pocetnom brzinom intenziteta v0. Padine

brda se mogu predstaviti strmim ravnima elevacionog ugla π6 (slika), dok je vrh visine h. Pored

homogenog polja Zemljine teze na telo deluje i sila otpora sredine proporcionalna trenutnoj

brzini tela (koeficijent proporcionalnosti km, k > 0).

a. Odrediti ugao α0 pod kojim se u odnosu na horizontalu telo lansira, u slucaju da ono padne

na vrh brda (jednacina koje se dobije bice u implicitnom obliku).

b. Odrediti rastojanje d (duz padine brda, koja se iz tacke O ne vidi(slika), mereno od vrha) na

kojem ce telo udariti o tlo, u slucaju da se telo baci vecom pocetnom brzinom v′0 od v0.

23. Telo, mase m, se lansira iz tacke O u podnozju brda, pocetnom brzinom intenziteta v0, pod

uglom α0 = π/3 u odnosu na horizontalu, tako da telo padne na vrh. Padine brda se mogu

predstaviti strmim ravnima elevacionog ugla π4 (slika). Pored homogenog polja Zemljine teze

na telo deluje i sila otpora sredine proporcionalna trenutnoj brzini tela (koeficijent propor-

cionalnosti km, k > 0).

a. Odrediti visinu brda h.

b. Odrediti rastojanje d (duz padine brda, koja se iz tacke O ne vidi(slika), mereno od vrha) na

kojem ce telo udariti o tlo, u slucaju da se telo baci vecom pocetnom brzinom v′0 > v0.

2. RESENJA 11

24. Cestice, mase m i energije E, za neko izvesno vreme duz x-ose predje iz x = −∞ u x = ∞.

Zatim se, ta cestica iste mase i iste energije, krece u polju potencijalne energije U = Uo

cosh2 αx,

gde su α i Uo pozitivne konstante. Ukupna energije te cestice je konstantna, i iznosi E > Uo.

Odrediti koliko je manje vremena potrebno toj cestici da se pomeri duz x-ose.

2. Resenja

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. v2 = gR2 exp( 2βhm )(I[H, 2β

m , R]− I[h, 2βm , R]) + 1

2v0 exp(− 2βm (H − h))

9. x(t) = x0t + x0; y(t) = (y0 − gmA + A2

m2 y0)t + ( gmA + A

m y0) sin Atm + mz0

A (1 − cos Atm ) + y0);

z(t) = z0 + ( gmA2 + A

m y0)(cos Atm − 1) + mz0

A (1− cos Atm ).

10. z(t) = gω2 (cos ωt− 1) + v0

ω sin ωt; y(t) = − gtω + g

ω2 − v0ω (cos ωt− 1).

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

POGLAVLJE 3

Lagrange-eve jednacine I vrste

1. Uvod

U ovom delu ce biti prikazani neki operatori koji se upotrebljavaju u teoriji polja. A tako -de i relacije

izme -du ortova krivolinijskih (sfernog i cilindricnog) i Descartes-ovog koordinatnog sistema.

Descartes-ov koordinatni sistem:

gradf(x, y, z) = ~ex∂f

∂x+ ~ey

∂f

∂y+ ~ez

∂f

∂z, (12)

Cilindricni koordinatni sistem:

gradf(ρ, ϕ, z) = ~eρ∂f

∂ρ+

~eϕ

ρ

∂f

∂ϕ+ ~ez

∂f

∂z. (13)

~eρ =1˛˛ ∂~r

∂ρ

˛˛∂~r

∂ρ= cos ϕ ~ex + sin ϕ ~ey, (14)

~eϕ =1˛˛ ∂~r

∂ϕ

˛˛

∂~r

∂ϕ= − sin ϕ ~ex + cos ϕ ~ey, (15)

~ez = ~ez. (16)

Sferni koordinatni sistem

gradf(r, ϕ, θ) = ~er∂f

∂r+

~eϕ

r sin θ

∂f

∂ϕ+

~eθ

r

∂f

∂θ, (17)

~er =1˛∂~r∂r

˛ ∂~r

∂r= sin θ cos ϕ ~ex + sin θ sin ϕ ~ey + cos θ ~ez, (18)

~eϕ =1˛˛ ∂~r

∂ϕ

˛˛

∂~r

∂ϕ= − sin ϕ~ex + cos ϕ~ey, (19)

~eθ =1˛∂~r∂θ

˛ ∂~r

∂θ= cos θ cos ϕ ~ex + cos θ sin ϕ ~ey − sin θ ~ez. (20)

12



1. Naci silu idealne reakcije kod matematickog klatna pomocu mnozitelja veza.

2. Teska tacka mase m krece se bez trenja u vertikalnoj ravni Oxz po krivoj z = f(x). Naci

silu idealne reakcije ravni pomocu Lagrange-ovih jednacina prve vrste, sastaviti diferencijalne

jednacine kretanja i naci njen prvi integral. (Uzeti u obzir homogeno polje Zemljine teze).

3. Tacka mase m krece se po povrsini strme ravni, elevacionog ugla π6 , koja osciluje po zakonu

z′ = a sin ωt, gde a i ω imaju poznate pozitivne konstantne vrednosti, u pravcu normalnom

na tu kosu ravan. Odrediti idealnu silu reakcije te podloge, i konacne jednacine kretanja, ako

pocetna brzina v0 zaklapa ugao π4 sa horizontalnom pravom koja se nalazi u toj strmoj ravni.

4. Teska tacka mase m moze da se krece u homogenom polju Zemljine teze po glatkom elipticnom

paraboloidu z = ax2 + by2 (a > 0, b > 0), osa Oz usmerena je vertikalno navise). Odrediti

reakciju parabolida pomocu jednacina sa mnoziteljima veze.

5. Cestica, mase m, se krece u homogenom polju Zemljine teze (~g = −g~ez) u vertikalnoj ravni,

na glatkoj nepokretnoj paraboli koja je data relacijom x = αz2, gde je x horizontalna osa, a z

vertikalna osa. U pocetnom trenutku se tacka nalazila u polozaju koji je odre -den koordinatom

z0, bez pocetne brzine. Koristeci Lagrange-eve jednacine I vrste, odrediti idealnu silu reakcije

parabole, i odrediti koordinatu u kojoj se cestica odvojila od parabole.

6. Cestica mase m krece se u homogenom polju Zemljine teze po glatkoj cilindricnoj povrsi cija

je osa vertikalna. Brzina promene poluprecnika cilindra je konstantna, i iznosi ρ0. Na osnovu

Lagrange-evih jednacina prve vrste odrediti konacne jednacine kretanja cestice u opstem ob-

liku i reakciju veze.

7. Cestica, mase m, krece se po kruznom prstenu, zanemarljive mase i poluprecnika R, koji rotira

oko nepokretne horizontalne ose, konstantnom ugaonom brzinom ω u polju Zemljine teze.

a. Napisati jednacine veza, i odrediti broj stepeni slobode.

b. Odrediti idealnu silu reakcije prstena.

8. Cestica se krece po vertikalno postavljenom prstenu, ciji se centar krece po zakonu y = a sin ωt

u vertikalnom pravcu. Lagrange-evim metodom I vrste odrediti silu idealne reakcije kao

funkciju φ i φ, gde je φ ugao otklona cestice od vertikale. Masu prstena zanemariti.

9. Centar kruznog prstena, radijusa R, krece se u horizontalnom pravcu, u homogenom polju

Zemljine teze, po zakonu x = a sin ωt, tako da prsten neprestano ostaje u vertikalnoj ravni.

Duz ovog prstena krece se bez trenja cestica mase m (slika).

14 3. LAGRANGE-EVE JEDNACINE I VRSTE

a. Napisati jednacine veza.

b. Sastaviti Lagrange-eve jednacine I vrste.

c. Koristeci dobijene jednacine, odrediti silu reakcije kao funkciju φ i φ, gde je φ ugao otklona

cestice od vertikale.

10. Tacka, mase m, vezana je za povrsinu glatkog nepokretnog kruznog konusa, ciji je vrh cen-

tar privlacne sile, obrnuto proporcionalne kubu rastojanja (koeficijenta proporcionalnosti km).

Ugao izme -du ose konusa i njegove izvodnice iznosi α, a osa konusa je vertikalno postavljena.

U pocetnom trenutku, polozaj tacke je odre -den vektorom ~r0.

a. Odrediti silu reakcije konusa, zanemarujuci silu Zemljine teze.

b. Odrediti pocetnu brzinu ~v0 koju treba saopstiti tacki da bi intenzitet sile reakcije konusa

ostao konstantan u toku kretanja.

11. Tacka, mase m, vezana je za povrsinu glatkog nepokretnog kruznog konusa, ciji je vrh centar

privlacne sile, obrnuto proporcionalne kvadratu rastojanja (koeficijenta prporcionalnosti km).

Ugao izmedju ose konusa i njegove izvodnice iznosi α, a osa konusa je vertikalno postavljena.

U pocetnom trenutku, polozaj tacke je odre -den vektorom ~ro.

a. Odrediti silu reakcije konusa, zanemarujuci silu Zemljine teze.

b. Odrediti pocetnu brzinu ~v0 koju treba saopstiti tacki da bi intenzitet sile reakcije konusa

ostao konstantan u toku kretanja.

12. Tacka mase m krece se po povrsini glatkog konusa. Ugao izme -du ose konusa i njegove izvod-

nice je α. Odrediti idealnu silu reakcije konusa u slucaju da osa simetrije zaklapa sa horizon-

talom ugao od π6 . U pocetnom trenutku tacka se nalazi na rastojanju R0 od vrha konusa.

13. Cestica mase m krece se po preseku nepokretne glatke horizontalne ravni z = 0 i sfere, kon-

stantnog poluprecnika a, ciji se centar krece u vertikalnom pravcu po zakonu z = a2 sin ωt, ω =const.

Koristeci Lagrange-eve jednacine I vrste, odrediti zavisnost sile reakcije veza i vektora brzine

od vremena. U pocetnom trenutku centar sfere se nalazi u ravni z = 0, i pocetna brzina je

~v0 = v0~eφ.

14. Cestica mase m krece se po preseku nepokretne glatke sfere poluprecnika a i glatke horizon-

talne ravni koja se krece u vertikalnom pravcu po zakonu z = a sin ωt =const. (vertikalni

pravac je odre -den pravcem delovanja homogenog polja Zemljine teze). Centar nepokretne

sfere se nalazi u tacki ( 0, 0, 0). Koristeci Lagrange-eve jednacine I vrste naci konacne jednacine

kretanja cestice, i reakcije veze.

3. RESENJA 15

15. Tacka, mase m, vezana je za povrsinu glatkog nepokretnog kruznog konusa, ciji je vrh cen-

tar privlacne sile, obrnuto proporcionalne kubu rastojanja (koeficijenta proporcionalnosti km).

Ugao izme -du ose konusa i njegove izvodnice iznosi α, dok je osa konusa postavljena pod

uglom β = π/4 u odnosu na horizontalu. U pocetnom trenutku, polozaj tacke je odre -den vek-

torom ~r0. Odrediti silu reakcije konusa, i diferencijalne jednacine kretanja cestice po konusu.

16. Cestica mase m krece se u homogenom polju Zemljine teze po glatkoj cilindricnoj povrsi cija

osa je postavljena pod uglom α = π/3 u odnosu na horizontalu. Brzina promene poluprecnika

cilindra je konstantna, i iznosi ρ0. Na osnovu Lagrange-evih jednacina prve vrste odrediti

konacne jednacine kretanja cestice u opstem obliku i reakciju veze.

17. Tacka, mase m, se krese po preseku glatkog nepokretnog kruznog konusa, i vertikalne ravni

koja rotira oko ose konusa konstantnom ugaonom brzinom ω. U vrhu konusa se nalazi centar

privlacne sile proporcionalne rastojanju (koeficijenta prporcionalnosti km). Ugao izmedju ose

konusa i njegove izvodnice iznosi α, a osa konusa je vertikalno postavljena, sa centrom konusa

navise. U pocetnom trenutku, polozaj tacke je odre -den vektorom ~ro. Odrediti silu reakcije, i

diferencijalne jednacine kretanja.

18. Cestica mase m krece se po preseku nepokretne glatke sfere poluprecnika a i glatke horizon-

talne ravni koja se krece u vertikalnom pravcu po zakonu z = a2 sin ωt, ω =const. Cestica se

krece pod dejstvom homogenog polja zemljine teze i centra privlacne sile, koji se nalazi na

vrhu sfere, tj tacki koja se nalazi na najvisoj visini. Centar nepokretne sfere se nalazi u tacki ( 0,

0, 0). Koristeci Lagrange-eve jednacine I vrste naci konacne jednacine kretanja cestice, i reakcije

veze.

3. Resenja

1. ~R = −m(g cosφ + lφ2)~er

2. R = gf + 12 x2(1 + f ′2)

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

16 3. LAGRANGE-EVE JEDNACINE I VRSTE

10. ~R = −mr3 (r0φ0)2 sin α cos α~eθ; v0 = k

r0

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

POGLAVLJE 4

Lagrange-eve jednacine II vrste


1. Dve cestice, jednakih masa m, spojene krutim stapom, zanemarljive mase i duzine l krecu se

u vertikalnoj ravni, koja rotira ugaonom brzinom ω oko vertikalne nepokretne ose, u polju

Zemljine teze.

a. Odrediti broj stepeni slobode sistema.

b. Napisati jednacine veza.

c. Odrediti Lagrange-evu funkciju sistema.

d. Napisati Lagrange-eve jednacine II vrste.

2. Cestica, mase m, je pricvrscena na bezmaseni stap (vidi sliku). Jedan kraj stapa moze da

se krece po horizontalnoj podlozi, dok drugi kraj stapa se krece po vertikalnom zidu u ho-

mogenom polju Zemljine teze.

a. Odrediti broj stepeni slobode i jednacine veza.

b. Odrediti Lagrange-evu funkciju sistema.

c. Odrediti Lagrange-eve jednacine.

d. Odrediti oblik Lagrange-evih jednacina u slucaju kada se stap nalazi u skoro vertikalnom

polozaju (tj. kada je skoro paralelan vertikalnom zidu), i tako -de u tom slucaju, odrediti

opste jednacine kretanja.

3. Cestica, mase m, moze da se krece po sferi, radijusa R, u polju potencijala V (θ) = V0 cos2(θ)

gde je V0 > 0.

a. Odrediti Lagrange-evu funkciju sistema.

b. Odrediti Lagrange-eve jednacine.

c. Odrediti tacke ravnoteze θ0.

d. Uzimajuci da su pocetni uslovi θ0 = 0 i θ0 = 0 izracunati vreme koje je potrebno cestici da

bi jednom obisla sferu.

17

18 4. LAGRANGE-EVE JEDNACINE II VRSTE

4. Kuglica, mase m, krece se u homogenom gravitacionom polju po zici, zanemarljive mase,

oblika parabole z = aρ2 (a je pozitivna konstanta, ρ je cilindricna koordinata (videti sliku).

Parabola moze da rotira, bez trenja, oko svoje vertikalne ose. Kuglica, se u pocetnom trenutku

nalazi na rastojanju od ose rotacije, a sistemu (kuglica-parabola) se saopsti pocetna ugaona

brzina ω.

a. Sastaviti Lagrange-evu funkciju sistema.

b. Odrediti Lagrange-eve jednacine sistema.

c. Odrediti brzinu kuglice u funkciju radijalne koordinate.

d. Odrediti povratne tacke trajektorije kuglice.

5. Cestice, masa m i M povezane su neistegljivom i bezmasenom niti, duzine l koja je provucena

kroz mali otvor na vrhu sfere, poluprecnika R. Cestica, mase m, krece se po glatkoj sferi, dok

se cestica, mase M krece po vertikali. U pocetnom trenutku cestica mase m je dobila pocetnu

brzinu φ0, dok se cetsica mase M nalazi na rastojanju l2 od otvora.


b. Sastaviti Lagrange-evu funkciju sistema, i odrediti Lagrange-eve jednacine sistema.

c. Odrediti vektore brzina cestica m i M u funkciji kordinate θ.

6. Vertikalno postavljen prsten radijusa R moze da rotira oko svoje vertikalne ose (videti sliku).

Na prstenu se nalazi teska kuglica mase m koja moze da klizi bez trenja u homogenom gravita-

cionom polju. Za kuglicu je ucvrscen elastican konac, (zanemarljive mase, koeficijenta elasticnosti

k i nominalne duzine a koji je drugim krajem provucen kroz najnizu tacku O na prstenu, i

ucvrscen u nepokretnoj tacki A Kada se kuglica nalazi u najnizem polozaju na prstenu konac je

neistegnut u tacki koja se nalazi na podjednakaom udaljenju od najnize i najvise tacke prstena)

bez pocetne brzine. Naci Lagrange-eve jednacine kretanja sistema, i odrediti prve inegrale

kretanja sistema.

7. Cestica se krece po cikloidi

x = a(φ + sin φ),

y = a(1− cosφ)

u homogenom polju Zemljine teze. Sastaviti Lagrange-eve jednacine uzimajuci za general-

isanu koordinatu duzinu luka.

8. Sipka mase m moze se obrtati bez trenja oko vertikalne ose; osovina prolazi kroz jedan kraj

sipke i normalna je na nju. Po ovoj sipki se moze kretati kuglica mase m koja je ucvrscena za


krajeve sipke oprugama jednakih duzina l u neistegnutom stanju i jednakih konstanti elasticnosti

km Naci na osnovu Lagrange-evih jednacina diferencijalnu jednacinu prvog reda koja opisuje

kako se rastojanje kuglice od ose obrtanja menja sa vremenom, ako je u pocetnom trenutku

ovo rastojanje bilo l (obe opruge su u nedeformisanom stanju), i ako je sistem imao pocetnu

ugaonu brzinu ω.

9. Vertikalno postavljen prsten radijusa R moze da rotira oko svoje vertikalne ose (videti sliku).

Na prstenu se nalazi teska kuglica mase m koja moze da klizi bez trenja u homogenom gravita-

cionom polju. Za kuglicu je ucvrscen elastican konac, (zanemarljive mase, koeficijenta elasticnosti

k, nominalne duzine a), koji je drugim krajem provucen kroz najnizu tacku O na prstenu, i

ucvrscen u nepokretnoj tacki A. Kada se kuglica nalazi u najnizem polozaju na prstenu konac

je neistegnut. U pocetnom trenutku kuglica se nalazi u tacki C (tacki koja se nalazi na pod-

jednakom udaljenju od najnize i najvise tacke prstena) bez pocetne brzine. Naci Lagrange-eve

jednacine kretanja sistema, i odrediti prve integrale kretanja sistema.

10. Kuglica mase m nalazi se unutar cevi zanemarljive mase koja u horizontalnoj ravni rotira kon-

stantnom ugaonom brzinom ω oko vertikalne ose. Kuglica je spojena za nepokretnu tacku na

osi rotacije oprugom konstante elasticnosti k i nominalne duzine l0. Napisati Langrange-evu

jednacinu kretanja i resiti je.

11. Veoma dug bezmaseni stap rotira u vertikalnoj ravni konstantnom ugaonom brzinom ω oko

fiksne horizontalne ose. Duz stapa moze da se krece bez trenja cestica mase m. U pocetnom

trenutku t = 0 stap je bio u horizontalnoj ravni, dok se cestica nalazila na rastojanju r(0) = g2ω2

od ose rotacije (g je ubrzanje Zemljine teze) i mirovala je u odnosu na stap.

a. Sastaviti Lagrange-evu funkciju sistema, i odrediti Lagrange-eve jednacine sistema.

b. Odrediti rastojanje cestice r(t) od ose rotacije u zavisnosti od proteklog vremena t.

c. Pokazati da je r(t) > r(0), za malo t.

12. Cestica mase m krece se po kruznom prstenu poluprecnika R, koji rotira konstantnom ugaonom

brzinom ω oko svoje vertikalne ose simetrije. Na cesticu deluje homogeno polje Zemljine teze,

i privlacna sila ciji se centar A nalazi na rastojanju a od centra prstena O, tako da duz AO

zaklapa ugao π3 sa horizontalom (slika).





13. Sistem se sastoji od dve kuglice jednakih masa m koje mogu da se krecu po vertikali, u polju

Zemljine teze, izme -du tacaka A i B cije je me -dusobno rastojanje L (videti sliku). Ove kuglice

su vezane jednakim oprugama za tacku A, tj. za tacku B (nominalne duzine opruga su a, a

konstante elasticnosti su k). Pored toga kuglice su spojene oprugom, konstante elasticnosti k i

nominalne duzine a.

a. Odrediti Lagrange-eve jednacine kretanja sistema.

b. Odrediti polozaje ravnoteze ovog sistema i njihovu stabilnost.

c. Odrediti normalne frekvence malih oscilacija oko ovih polozaja.

d. Odrediti normalne koordinate, i napisati Langrange-eve jednacine u funkciji normalnih ko-

ordinata.

14. Cestica, mase m, moze da se krece po vertikalnoj pravi u polju Zemljine teze. Na rastojanu

d od prave, na istoj visini, se nalaze dva izvora centralne privlacne sile (vidi sliku), obrnuto

proporcionalne kubu rastojanja (koeficijenata proporcionalnosti je km).

a. Napisati Lagrange-ovu funkciju.

b. Odrediti Lagrange-eve jednacine u aproksimaciji malih oscilacija.

c. Odrediti normalnu frekvencu malih oscilacija cestice.

15. Sistem se sastoji od dve kuglice jednakih masa m koje mogu da se krecu po horizontalnom

zljebu ukupne duzine 3a bez trenja. Ove kuglice su vezane jednakim oprugama za krajeve

zljeba (nominalne duzine opruga su a, a konstante elasticnosti km). Pored toga kuglice inter-

aguju odbojnom silom koja je obrnuto proporcionalna njihovom rastojanju (koeficijent propor-

cionalosti je km).

a. Odredite Lagrange-evu funkciju sistema.

b. Odrediti Lagrange-eve jednacine kretanja sistema.

c. Odrediti polozaje ravnoteze ovog sistema.

d. Odrediti normalne frekvence malih oscilacija oko stabinih polozaja ravnoteze.

e. Odrediti normalne koordinate, i napisati Langrange-eve jednacine u funkciji normalnih ko-

ordinata.

16. Cestica, mase m krece se po strmoj ravni, nagibnog ugla α, u homogenom polju Zemljine teze

i u polju privlacne centralne sile, obrnuto proporcionalne kubu rastojanja (koeficijenta propor-

cionalnosti 2km) od nepokretnog centra (tacka A, videti sliku) koji se nalazi na rastojanju d od

strme ravni (videti sliku).

a. Sastaviti Lagrange-eve funkciju sistema.


b. Odrediti Lagrange-eve jednacine.

c. Odrediti stabilne polozaje ravnoteze.

d. Odrediti normalne frekvence malih oscilacija oko prethodno odre -denih stabilnih polozaja

ravnoteze.

17. Cestica, mase m, pricvrscena je elasticnom oprugom, koeficijenta elasticnosti km i nominalne

duzine lo za tacku A (vidi sliku), i krece se po glatkom pravom bezmasenom stapu. Ovaj

bezmaseni stap rotira konstantnom ugaonom frekvencom ω, u vertikalnoj ravni oko jednog

svog kraja koji je pricvrscen u tacki O.




d. Odrediti konacne jednacine kretanja.

18. Dve cestice, jednakih masa m krecu se po glatkom kruznom bezmasenom prstenu, poluprecnika

R, u vertikalnoj ravni u homogenom polju Zemljine teze. Cestice su me -dusobno povezane

oprugom konstante elasticnosti km (m je masa pojedinacne cestice), i nominalne duzine l

(videti sliku).

a. Napisati jednacine veza i odrediti broj stepeni slobode.

b. Sastaviti Lagrange-evu funkciju sistema, i Lagrange-eve jednacine sistema.

c. Odrediti polozaje stabilne ravnoteze.

d. Odrediti normalne frekvence malih oscilacija.

19. Dve kuglice, jednakih masa m mogu da se krecu bez trenja po sipki zanemarljive mase. Sipka

rotira oko vertikalne osovine konstatnom ugaonom brzinom ω. Kuglice su me -dusobno povezane

oprugom koeficijenta elasicnosti k i nominalne duzine l0 dok je kuglica bliza osovini ucvrscena

za nju oprugom, koeficijenta elasticnosti k i nominalne duzine l0. Odrediti ravnotezni polozaj

sistema, i odrediti normalne frekvence malih oscilacija oko tog ravnoteznog polozaja.

20. Materijalna tacka mase m krece se van polja Zemljine teze po zavojnici cije su jednacine

x = a cosφ, y = a sin φ, z = bφ

gde su a i b konstante. Razmotriti dva slucaja kretanja ove cestice:

A. Paralelno osi zavojnice na rastojanju a2 od ose nalazi se beskonacna prava (uzeti da je prava

data jednacinom x = a2 , y = 0. Ova prava je izvor privlacne sile obrnuto proporcionalne kubu

rastojanja tacke od prave (koeficijenta proporcionalnosti km).




B. Na rastojanju a2 od ose zavojnice (u tacki (a

2 , 0, 0) nalazi se tackasti izvor privlacne sile. Sila

je obrnuto proporcionalne kubu rastojanja cestice od centra sile (koeficijenta proporcionalnosti

km).



Odrediti odnos normalnih frekvenci malih oscilacija kod kretanja opisanih pod A. i pod B. tj.

( ωA

ωB).

21. Cestica, mase m, moze da se krece, bez trenja, po vertikalnoj nepokretnoj kruznici, radijusa R.

Cestica se nalazi u homogenom polju Zemljine teze, i u polju privlacne centralne sile, obrnuto

proporcionalne kubu rastojanja (koeficijent proporcionalnosti 2k2m) od nepokretnog centra,

koji se nalazi u najvisoj tacki kruznice. Sastaviti Lagrange-eve jednacine druge vrste, i na os-

novu njih odrediti polozaje ravnoteze i frekvencu malih oscilacija cestice.

22. Cestica mase m i naelektrisanja q moze da se krece u homogenom polju Zemljine teze po ver-

tikalnoj kruznici radijusa R. U najnizoj tacki kruznice ucvrsceno je naelektrisanje q. Sastaviti

jednacine kretanja i na osnovu njih odrediti polozaje ravnoteze i frekvencu malih oscilacija

cestice.

23. Cestica, mase m, krece se po glatkoj nepokretnoj horizontalnoj kruznici poluprecnika R. Jedan

kraj opruge, koeficijenata elasticnosti k, je pricvrscena za tu cesticu, dok je drugi kraj pricvrscen

na rastojanju a (a > r) od centra kruznice. Odrediti frekvenciju malih oscilacija opruge.

24. Tacka, mase m, krece se po preseku cilindra, sa vertikalnom osom, poluprecnika R, i ravni koja

zaklapa ugao α sa horizontalom. Odrediti Lagrange-evu funkciju, i frekvenciju malih oscilacija

oko stabilnih polozaja ravnoteze.

25. Cestica, mase m, se krece po krivoj y = k sin x, gde je x-osa horizontalna, dok je Oxy-ravan

postavljen pod uglom α u odnosu na horizontalu. Odrediti frekvenciju malih oscilacija.

26. Cestica, mase m, moze da se krece po glatkoj kruznici, poluprecnika R, koja rotira, ugaonom

brzinom ω, oko vertikalnog poluprecnika R. Odrediti frekvenciju malih oscilacija u okolini

stabilnog polozaja ravnoteze.


27. Cestica, mase m, krece se u homogenom polju Zemljine teze duz zavojnice cije jednacine u

cilindricnim koordinatama imaju oblik

ρ = R; z = bφ

tako da je osa zavojnice vertikalna. Na rastojanju 2R od ose zavojnice nalazi se centar privlacne

sile, obrnuto proporcionalne trecem stepenu rastojanja i koeficijenta proporcionalnosti km.


b. Napisati Lagrange-eve jednacine sistema

c. Odrediti ravnoteznu konfiguraciji sistema.

28. Dva atoma me -dusobno interaguju u skladu sa Morzeovim potencijalom

U = U0(e−2a(r−r0) − 2e−a(r−r0)),

gde je r rastojanje izme -du atoma, a U0, a i r0 konstante. Sistem se stalno nalazi duz jedne

prave, tj zanemariti da rotira u prostoru.

a. Sastaviti Lagrange-evu funkciju sistema, i Lagrange-eve jednacine sistema.

b. Odrediti polozaje stabilne ravnoteze.

c. Odrediti normalne frekvence malih oscilacija.

29. Matematicko klatno, duzine l i mase m, je jednim svojim krajem pricvrscen za najvisu tacku

nepokretnog cilindra, poluprecnika R. Osa simetrije nepokretnog cilindra je postavljena hor-

izontalno. Matematicko klatno moze da osciluje u vertikalnoj ravni (koja je normalna na osu

cilindra) u polju Zemljine teze.




30. Kuglica, mase m, moze da se krece po glatkoj paraboli y = Ax2, tako da je koordinatna osa y

vertikalno usmerena navise. Kuglica je vezana dvema oprugama, koeficijenata elasticnosti km

i nominalnih duzina a, za tacke koje se nalaze na jednakom rastojanju a od vrha parabole duz

parabole (vidi sliku). Te dve opruge su navucene preko parabole, tako da je zapravo ravnotezni

polozaj kuglice u vrhu parabole, gde su te opruge istovremeno i neistegnute.


b. Odrediti normalne frekvence malih oscilacija.


31. Dve kuglice, jednakih masa m mogu da se krecu duz dve prave, koje se seku i koje su postavl-

jene pod uglom π/3. Kuglice su povezane oprugom, koeficijenta elasticnosti km i nominalne

duzine a. Tako -de su povezane oprugama, istog koeficijenta elasticnosti i nominalne duzine 2a,

za presecnu tacku ove dve prave.




32. Dva bezmasena stapa, duzina l,jednim svojim krajem su me -dusobno spojeni u zglob, u kome se

mogu pokretati. Preostala dva kraja su spojena elasticnom oprugom, koeficijenta elasticnosti

km i nominalne duzine l. Na krajevima stapova, koji su spojeni oprugama, su pricvrscene

cestice, masa m. Jedan od ta dva bezmasena stapa se nalazi na vertikalnoj osi, oko koga ovaj

sistem rotira, konstantnom ugaonom frekvencom Ω (u homogenom polju Zemljine teze).




33. Cestica se krece po Traktriksovoj krivi (slika), koja je data jednacinama u parametarskom ob-

liku:

x = t− tanh(t),

y = 1/ cosh(t),

u homogenom polju Zemljine teze u prvom kvadrantu Decartes-ovog koordinantog sistema.

a. Sastaviti Lagrange-eve jednacine uzimajuci za generalisanu koordinatu duzinu luka. (12)

b. Odrediti Lagrange-eve jednacine kretanja sistema. (6)

c. Odrediti konacne jednacine kretanja. (10)

2. Resenja

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2. RESENJA 25

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

Slika 1.


30. a. Kuglica se krece po paraboli y = Ax2, gde je y-osa usmerena navise. Posto je y-osa usmerena

navise, potencijalna gravitaciona energija te kuglice u trenutku kada se nalazila na mestu

sa koordinatama (x,Ax2) je Ug(x) = mgAx2. Nezavisna generalizana koordinata koja je

dovoljna za opis ovovg sistema je x. Kineticka energija je onda T (x, x) = m2 (x2 + y(x)2) =

m2 (x2 + 4A2x2x2).

Da bi napisali Lagrange-evu funkciju sistema, potrebno je jos odrediti i potencijalu energiju

elasticnosti. Potencijalna energija elsticnosti se dobija pomocu izraza Ue = k2 (∆l)2, gde

je sa ∆l obelezena deformacija opruge. U ovom zadatku deformacija opruge je jednaka

duzini luka (parabole), koji pre -de kuglice od ravnoteznog polozaja sistema (tj. najnize tacke

parabole) do mesta na kom se ta kuglica nalazi. To je moguce zakljuciti u ovom zadatku jer

su duzine opruge su jednake nominalnim duzinama u ravnoteznom polozaju sistema. Sto

znaci da u slucaju da se kuglica pomeri duz luka, duzine l, onda se jedna opruga sabila za

duzinu l, a druga se izduzila za tu istu duzinu.

Zbog toga mozemo zakljuciti da se deformacija obe opruge moze prikazati preko nezavisne

generalizane koordinate x kao

∆l =∫ x

0

√1 +

(dy

dx′

)2

dx′ =∫ x

0

√1 + 4A2x′2dx′. (21)

Prethodni integral mozemo resiti smenom 2Ax′ = sinh ϕ, odakle cemo dobiti integral koji

je oblika

∆l =1

4A

∫ Arsinh(4Ax)

0

cosh2 ϕdϕ =1

8AArsinh(4Ax) +

x

2

√1 + 16A2x2. (22)

Prethodni izraz mozemo iskoristiti za Lagrange-eve jednacine sistema:

L(x, x) =m

2(1 + 4A2x2)x2 −mgAx2 − km

2(

18A

Arsinh(4Ax) +x

2

√1 + 16A2x2)2 (23)

Posto je jedan stepen slobode, dobijamo samo jednu Lagrange-evu jednacinu:

m(1+4A2x2)x+8mA2xx2+2mgAx+km

64A2(

1√1 + x2

−4A− 128A2x2

√1 + 16A2x2

)(4Ax√

1 + 16A2x2−Arsinh(x)) = 0

(24)

b. Prethodno dobijenu jednacinu treba linearizovati, tj razviti je oko stabilnog polozaja ravnoteze.

Posto je stabilni polozaj ravnoteze xo = 0 (kao npr. x = 0 + ξ), onda mozemo dobiti da je

mξ +(

2mgA− km

64A2(1− 4A)2

)ξ = 0, (25)

2. RESENJA 27

odakle mozemo zakljuciti da je normalna frekvenca malih oscilacija

ω =

√2mgA− km

64A2(1− 4A)2. (26)

31.

32.

33.

POGLAVLJE 5

Centralno kretanje


1. Cestica, mase m, krece se u polju centralne sile, u kome deluje sila ~F = −k~r gde je k poznata

pozitivna konstanta. U pocetnom trenutku cestica se nalazi na rastojanju r0, od centra sile, i

poseduje ukupnu energiju E0 > 0 (vektor polozaja cestice pocinje u centru sile a zavrsava se

na samoj cestici).

a. Odrediti konacnu jednacinu kretanja cestice.

b. Odrediti minimalnu i maksimalnu vrednost rastojanja cestice od centra sile, i pokazati da

vazi relacija E0 = 12k(r2

max + r2min).

2. Cestica, mase m , krece se u centralnom polju, u kome ima potencijalnu energiju U = −αr + β

r2 .

U pocetnom trenutku energija cestice je bila E0 > 0, a polozaj vektora brzine je zaklapao ugao

od π6 sa vektorom polozaja cestice (vektor polozaja cestice pocinje u centru sile a zavrsava se

na samoj cestici). Rastojanje pocetnog polozaja cestice od centra privlacne sile je a. Odrediti

trajektoriju cestice.

3. Cestica, mase m, krece se u polju centralne sile, u kome deluje sila ~F = −kr~er, gde je k poznata

pozitivna konstanta. U pocetnom trenutku, cestica se nalazila na rastojanju r0 od centra sile, i

poseduje ukupnu energiju E0 < 0 (vektor polozaja cestice pocinje u centru sile a zavrsava se

na samoj cestici).

a. Odrediti konacnu jednacinu kretanja cestice.

b. Odrediti minimalnu i maksimalnu vrednost rastojanja cestice od centra sile.

2. Resenja

1.

28

2. RESENJA 29

2. Kretanje u polju centralne sile mozemo krace nazvati centralno kretanje. Za centralno kretanje

vaze zakoni odrzanja energije i momenta impulsa

E =m

2(r2 + r2ϕ2)− α

r+

β

r2,

l = mr2φ,

gde su E i l ukupna energija, i ukupni moment impulsa cestice (koje su, znaci, istovremeno i

konstante). U tekstu zadatka je zadato pocetno rastojanje od centra sile ro = a, zatim ukupna

energija E, u ugao izmedju vektora pocetne brzine i r-pravca (radijalnog pravca). Sto znaci da

tanπ

6=

vϕ,o

vr,o=

roφo

ro,

odakle mozemo zakljuciti da je φo =√

33

ra . As tim uslovom mozemo uci u zakon odrzanja

energije (tj relaciju koja je posledica tog zakona), koja vazi i za pocetni trenutak. Tako dobijamo

jedancinu

E =2m

3r2o −

α

a+

β

a2,

koja predstavlja jednacinu po r-komponenti pocetne brzine ro. Tako dobijamo da je

ro =

√3

2m(E +

α

a− β

a2),

ϕo =1a

√1

2m(E +

α

a− β

a2).

sto nam omogucuje da odredimo kolika je vrednost konstantnog momenta impulsa

l = ma

√1

2m(E +

α

a− β

a2).

Odredjujuci vrednost momenta impulsa, mozemo dobiti zavisnost komponente brzine po ko-

ordinati φ u zavisnosti od rastojanja cestice od centra privlacne sile

ϕ =a

r2

√1

2m(E +

α

a− β

a2). (27)

Zamenjujuci prethodni izraz u izraz za ukupnu energiju dobijamo

E =m

2r2 − α

r+ (β +

a2

4(E +

α

a− β

a2))

1r2

.

Prethodna relacija se moze shavatiti kao diferencijalna jednacina po drdt . Ako iskoristimo da je

drdt = dr

dϕdϕdt , mozemo dobiti diferencijalnu jednacinu po dr

dϕ , posto smo dϕdt zamenili jednacinom

(27).

3.

POGLAVLJE 6

Kruto telo


1.1. Tenzor inercije.

1. Homogeno kruto telo, gustine ρ, paraboloidnog je oblika, tako da su njegove granicne povrsi

z = ar2 (a je pozitivna konstanta) i z = H (videti sliku).

a. Odrediti tenzor inercije ovog tela u odnosu na teme paraboloida (tacku O).

b. Odrediti glavne pravce tenzora inercije.

c. Odrediti moment inercije u odnosu na na pravu OA, koja prolazi kroz telo, pri cemu se

tacka A nalazi na visini H paroboloida (videti sliku).

2. Kruzni cilindar, visine H i poluprecnika osnove R sastavljen je iz dva dela na nacin koji je

predstavljen na slici. Ovi delovi su homogeni, i njihove mase su odre -dene gustinama ρ1 i ρ2,

(ρ1/ρ2 = 2).

a. Odrediti tenzor inercije u tacki O.

b. Odrediti polozaj centra mase ovog tela.

c. Odrediti frekvencu malih oscilacija u odnosu na horizontalnu fiksnu ose koja se poklapa

sa geometrijskom osom simetrije cilindra (iskoristiti cinjenicu da se cilindar u ovom slucaju

moze razmatrati kao fizicko klatno).

3. Homogena kocka, mase m i duzine ivice a, rotira oko ose ugaonom brzinom ω. Osa prolazi

kroz jedno teme kocke A i tacku preseka B dijagonala naspramne stranice (vidi sliku).

a. Odrediti kineticku energiju kocke, ako pol A miruje.

b. Odrediti kineticku energiju kocke, ako se pol A krece brzinom ~v = v0~ez .

4. Homogeno kruto telo, gustine ρ, sastoji se od kupe poluprecnika osnove R i visine H na ciju

osnovicu je zalepljena polusfera poluprecnika R.

a. U slucaju da se telo postavi na horizontalnu podlogu, koju dodiruje svojim polusfernim

delom, pokazati da ovo telo ima polozaj ravnoteze, i odrediti odnos izmedju R i H , da bi

ravnoteza bila stabilna.

30


b. Odrediti tenzor inercije ovog tela u odnosu na tacku O (videti sliku).

Slika 1.

5. Kruzni disk, poluprecnika osnove R i mase m, sastavljen je iz dva dela na nacin koji je pred-

stavljen na slici. Ovi delovi su homogeni, i gustina dela diska ”A” (dela koji zauzima veci deo

povrsi diska (sl. (1))) je dva puta manja od gustine dela povrsi ”B”.

a. Odrediti tenzor inercije u tacki O. (12)

b. Odrediti polozaj centra mase ovog tela. (8)

c. Odredi kineticku energiju i moment impulsa diska u odnosu na osu koja je prikazana na

slici. (8)

6. a. Odrediti tenzor inercije homogenog krutog tela u obliku kupe, gustine ρ i poluprecnika

osnove R, u odnosu na tacku A koja se nalazi na osnovi kupe, na rastojanju a od centra

osnove kupe O (videti sliku).

b. Odrediti moment inercije, u donosu na pravu koja prolazi kroz tacku A i tacku B koja se

nalazi na osi simetrije kupe, na rastojanju H/3 od centra osnove kupe O.

7. Ravnostrani valjak poluprecnika osnove R i ukupne mase M nacinjen od homogenog ma-

terijala moze da osciluje bez trenja oko jedne horizontalne ose koja prolazi kroz centar jedne

njegove osnovice i zaklapa ugao γ sa osom cilindra. Izracunati period malih oscilacija ovako

obrazovanog fizickog klatna. Ispitati pri kom uglu γ ce period biti najmanji.

8. Kruto telo oblika homogenog konusa poluprecnika osnove R i visine H moze da rotira oko

horizontalne osovine koja je paralelna osi konusa i nalazi se na rastojanju R2 od nje. Naci

period malih oscilacija ovog fizickog klatna.

9. Kocka, mase m i duzine ivica a, je napravljena od dva materijala, ciji je zapreminski udeo (u

odnosu na zapreminu kocke) me -dusobno jednak. Gustine jednog od materijala je dva puta

veca od gustine drugog materijala. Ta kocka rotira, konstantnom ugaonom brzinom ω, oko

prave koja prolazi kroz sredinu jedne ivice kocke A i preseka dijagonala naspramne stranice

32 6. KRUTO TELO

kocke B (vidi sliku). Odrediti kineticku energiju kocke, ako se pol B krece u pravcu jedne svoje

dijagonale, konstantnom brzinom v.

10. Homogeno telo (slika), mase m, je sa spoljnje strane oblika kocke, duzine ivica 2R, a sa un-

utrasnje strane oblika sfere, poluprecnika R.

a. Odrediti tenzor inercije u odnosu na jedno teme kocke A.

b. Odrediti koliki je period malih oscilacija, ako osa prolazi kroz sredinu jedne ivice kocke M

i sredinu jedne od naspramnih ivica kocke N (vidi sliku).

11. Odredi glavne momente inercije homogenog kvadra, mase M i ivica duzina a, b i c, u odnosu

na tacku A koja se nalazi na preseka dijagonala stranice kvadra, cije su ivice a i b.

12. Odredi glavne momente inercije homogene prave cetvorostrane piramide, mase M i ivica os-

nove duzina a i b, i visine H , u odnosu na tacku A koja se nalazi na preseka dijagonala osnove

piramide.

13. Odredi glavne imomente inercije i glavne ose tenzora inercije homogene prave kruzne kupe,

mase M i poluprecnika osnove r i visine H , u odnosu na tacku A koja se nalazi na rastojanju

r/2 od centra osnove kupe.

14. Homogene ravne sipke, duzine a, su me -dusobno cvrsto povezane svojim krajevima, tako da

susedne sipke (tj. sipke koje su me -du sobno povezane) grade ugao od π/2 (slika). Oblik tog

slozenog tela koji je dobijen povezivanjem sipki ima izgled konture kocke. Masa pojedinacnih

sipki moze biti m, 2m ili 3m. Raspored sipki razlicitih masa je prikazan na slici.

a. Odrediti tenzor inercije u odnosu na tacku A, koja se nalazi na sredini sipke mase 2m (slika).

b. Odrediti vrednosti glavnih momenata inercije, i glavne ose tenzora inercije.

c. Odrediti centar mase ovog slozenog tela.

d. Odrediti koliki je period malih oscilacija, ako fiksna horizontalna osa prolazi kroz tacku A i

sredinu jedne od naspramnih stapova B(vidi sliku).

15. Homogeni disk, radijusa R i mase M , moze da rotira oko horizontalne ose, koja prolazi kroz

disk u tacki A (vidi sliku) na rastojanju R/3 od njegovog centra, i zaklapa ugao π/4 sa ravni

diska.

a. Odrediti tenzor inercije u tacki A. (12)

b. Odrediti period malih oscilacija diska u odnosu na horizontalnu osu rotacije. (8)

c. U slucaju da disk rotira oko te ose konstantnom ugaonom brzinom ω, odrediti monment

impulsa i kineticku energiju diska. (8)


1.2. Lagrange-eve jednacine II vrste primenjene na kruto telo.

1. Materijalna cestica, mase m, krece se po kruznom prstenu, poluprecnika R i mase M koji se

moze kretati u vertikalnoj ravni oko tacke A (videti sliku) u homogenom polju Zemljine teze.


b. Napisati Lagange-evu funkciju sistema.

c. Odrediti Lagrange-eve jednacine kretanja sistema.

d. Odrediti polozaje ravnoteze ovog sistema.

2. Homogeni kruzni disk mase M i poluprecnika R, se kotrlja bez klizanja po strmoj ravni, nag-

ibnog ugla α (u polju Zemljine teze). Na disku je urezan koncentrican kruzni zljeb radijusa r

(< R) po kome se krece cestica mase m.


b. Sastaviti Lagrange-evu funkciju sistema.


3. Homogen cilindar, poluprecnika r, visine h i mase m moze da se kotrlja bez klizanja po nepokret-

nom cilindru poluprecnika R. Za centar osnove (baze) cilindra je pricvrsceno matematicko

klatno duzine l i mase m. Sastaviti Lagrange-eve jednacine druge vrste.

4. Jedan kraj homogenog tankog stapa, duzine l i mase m, klizi po paraboli y = px2 poznata

pozitivna konacna konstanta). Stap se krece u vertikalnoj ravni xOy (slika) u homogenom

polju Zemljine teze.



c. Odrediti Lagrange-eve jednacine sistema.

5. Centar C homogenog kruznog diska poluprecnika 2a i mase m je pricvrscen tankim bez-

masenim stapom duzine 3a za tacku O na vertikalnoj osovini, oko koje taj sistem rotira kon-

stantnom ugaonom brzinom ω. Ugao izme -du stapa i ravni diska je konstantantan i iznosi π2 .

U tom sistemu ugao θ izme -du stapa i vertikale je jedina generalisana koordinata. Uvedimo

sistem S u kome je z osa usmerena vertikalno nanize (osa rotacije), i sistem S’ u kome osa z’

ima pravac OC, a osa y’ je ortogonalna na ravan z-z’.

a. Odrediti tenzor inercije u odnosu na sistem S’, ako se uzme da je pol ovog krutog tela u

tacki (i) O i (ii) C.

b. Odrediti komponente ugaone brzine krutog tela u odnosu na sistem S i S’.

34 6. KRUTO TELO

c. Odrediti Lagrange-ovu funkciju sistema.

d. Odrediti za koju ugaonu brzinu ω ovaj sistem ne osciluje u zz’ ravni.

6. Homogeni stap duzine l i mase m ciji je jedan kraj pricvrscen za elasticnu nit, nominalne duzine

l i konstante elasticnosti k, moze da se krece u vertikalnoj ravni u polju Zemljine teze. Nit je

drugim svojim krajem pricvrscena za nepokretni horizontalni zid u tacki O.



c. Odrediti Lagrange-eve jednacine sistema.


7. Cestica mase m je pricvrscena neistegljivom bezmasenom niti, duzine l za centar mase tankog

homogenog stapa, mase m i duzine l cija se dva kraja krecu po glatkom kruznom prstenu,

poluprecnika R u vertikalnoj ravni u homogenom polju Zemljine teze.





8. Dva jednaka homogena stapa A i B (masa m i duzina l) mogu se kretati u vertikalnoj ravni

u homogenom polju Zemljine teze. Dva njihova kraja su me -dusobno povezana pokretnim

zglobom, dok su preostali krajevi spojeni elasticnom oprugom koeficijenta elasticnosti km i

nominalne duzine l (vidi sliku). Ova opruga je navucena na nepokretni horizontalni stap i

fiksirana je jednim svojim krajem u tacki O (slika).



c. Koristeci Lagrange-ev formalizam odrediti polozaje stabilne ravnoteze.

d. Napisati Lagrange-eve jednacine sistema u aproksimaciji malih oscilacija.

e. Odrediti normalne frekvence malih oscilacija.

9. Jedan kraj homogenog stapa, duzine l i mase m, moze se kretati po nepokretnoj horizontalnoj

sipki bez trenja. Duz sipke je namotana opruga, koeficijenta elasticnosti k i nominalne duzine

lo Opruga je jednim krajem vezana za pokretni stap, a drugim za nepokretnu tacku A (slika).

Stap moze da rotira u vertikalnoj ravni. Napisati Lagrange-eve jednacine kretanja i odrediti

normalne frekvence malih oscilacija oko stabilnog polozaja ravnoteze.


10. Dva homogena stapa, jednakih masa m, i duzina l, pricvrscena su jednim svojim krajem za

tacku O, (vidi sliku), tako da mogu oscilovati u vertikalnoj ravni. Opruga, koeficijenta elasticnosti

km i nominalne duzine l, je pricvrscena za slobodne krajeve ova dva stapa.






11. Za kraj A homogene poluge AB, mase M = 2m i duzine 2l, okaceno je matematicko klatno,

mase m i duzine l. Tacka oslonca stapa je O, pri cemu je AO 13 AB. Za kraj B poluge pricvrscena

je opruga, koja je u neistegljivom stanju kada je poluga u horizontalnom polozaju. Koeficijent

elasticnosti opruge je k. Kretanje se vrsi u vertikalnoj ravni. Odrediti normalne frekvence

malih oscilacija oko polozaja stabilne ravnoteze ψ = 0 i φ = 0.

12. Homogen disk mase m i poluprecnika r kotrlja se bez klizanja po nepokretnom cilindru poluprec-

nika R = 3r u polju sile Zemljine teze (slika). Centar diska je oprugom koeficijenta elasticnosti

km i nominalne duzine 3r vezan za nepokretnu tacku A koja se nalazi na rastojanju 6r od ose

cilindra.

a. Odrediti broj stepeni slobode sistema i napisati jednacine veza.

b. Odrediti Lagrange-evu funkciju.

c. Odrediti Lagrange-eve jednacine u aproksimaciji malih oscilacija.

13. Opruga zanemarljive mase, nominalne duzine l i konstante elasticnosti k, koja je jednim svojim

krajem pricvrscena za jednu tacku, moze da se isteze duz vertikalnog pravca. Za drugi njen

kraj vezan je homogen stap duzine L i mase m, tako da se moze kretati u vertikalnoj ravni.



c. Odrediti Lagrange-eve jednacine u aproksimaciji malih oscilacija.

d. Odrediti normalne frekvence i normalne koordinate malih oscilacija.

14. Homogen cilindar, poluprecnika r i mase m moze da se kotrlja bez klizanja po cilindru poluprecnika

4r, koji rotira oko svoje ose simetrije konstantnom ugaonom brzino ω. Za centar osnove (baze)

cilindra je pricvrsceno matematicko klatno duzine l i mase m. Sastaviti Lagrange-eve jednacine

druge vrste.

36 6. KRUTO TELO

15. Kruto telo, oblika romba (koji se sastoji od homogenih stapova jednake duzine a) moze da se

krece u vertikalnoj ravni u homogenom polju Zemljine teze. Manji unutrasnji ugao u rombu je

jednak 60o. Stapovi AB i BC imaju masu m, dok su stapovi CD i AD bezmaseni, sem sto se

na sredini stapa AD nalazi kuglica, zanemarljivih dimenzija i mase 2m.

a. Napisati jednacine veze.

b. Napisati Langrange-evu funkciju.


b. Odrediti generalizane impulse, i hamiltonijan sistema.

16. Dva homogena stapa pricvrscena su jednim svojim krajem za tacku O, (vidi sliku), tako da

mogu oscilovati u vertikalnoj ravni. Stap A je mase 2m i duzine l, dok drugi stap B je mase 3m

i duzine 2l. Opruga, koeficijenta elasticnosti km i nominalne duzine l, je pricvrscena jednim

krajem za slobodni kraj stapa A, dok je svojim druim krajem pricvrscena za centar mase stapa

B.






Slika 2.

17. Kruzni bezmaseni prsten radijusa 14l moze da rotira bez trenja oko horizontalne ose (videti sl.

2), koja se nalazi u ravni prstena i prolazi kroz centar prstena. Duz prstena mogu da se krecu

krajevi stapa, mase m i duzine 3√

3l, u homogenom gravitacionom polju Zemljine teze.

a. Odrediti jednacine veza. (4)

b. Naci Lagrange-evu funkciju sistema. (12)

2. RESENJA 37

c. Naci Langrange-eve jednacine. (4)

d. Odrediti stabilne polozaje ravnoteze ovog sistema.(4)

e. Odrediti normalne frekvence malih oscilacija oko stabinih polozaja ravnoteze. (12)

18. Homogeni kruzni disk, mase M i poluprecnika R, moze da se kotrlja bez klizanja po mirujucem

horizontalnom supljem cilindru, poluprecnika 4R (u polju Zemljine teze). Centar diska je

povezan elasticnom bezmasenom oprugom sa tackom koja se nalazi na vertikali, na rastojanju

od 8R ispod centra nepokretnog cilindra (slika). Opruga je nominalne duzine 6R i elasticne

sile koja je proporacionalna kvadratu rastojanja

F = kM∆l2,

gde je kM koeficijent elasticnosti opruge.

a. Odrediti Lagrange-eve jednacine kretanja sistema.

b. Odrediti polozaje ravnoteze ovog sistema.

c. Odrediti normalne frekvence malih oscilacija oko stabinih polozaja ravnoteze.

2. Resenja

2.1. Tenzor inercije.

1.

2.

3.

4.

Slika 3.

5. a. Tenzor inercije treba odrediti u odnosu na pol krutog tela koji se nalazi u tacki ,,O”. Postavicemo

koordinatni sistem Oxyz kao na slici, i koordinate cemo prikazati preko koordinata u cilin-

dricnom kordinatnom sistemu koji odgovara Descartes-ovom kordinatnom sistem Ox′y′z′.

38 6. KRUTO TELO

Odogovarajuca transfmacija koordinata koordinatnog sistema Oxyz u Oρϕz je oblika:

x = x′ = ρ cos ϕ

y = y′ + R = ρ sin ϕ + R

z = z′.

Prethodni prelaz je potreban zbog odredjivanja matricnih elemenata tenzora inercije. Prvi

korak u nastupajucem nizu koraka se sastoji od odredjivanja povrsinske gustine dva ma-

terijala koji su upotrebljeni kao gradivne komponente diska (sl. (3)). Ukupnu masu diska

mozemo da napisemo

m =3R2π

4σA +

R2π

4σB ,

i ako zamenimo da je σB = 2σA, dobijamo da su povrsinske gustine odredjene izrzazima

σA =4m

5R2m, σB =

8m

5R2m.

Zato cemo prvo izracunati J1 =∫

dmx2, J2 =∫

dm y2 i na kraju J3 =∫

dm z2. Posto

je disk u ravni z = 0, dobijamo da je J3 = 0. Prva dva integrala se odredjuju koristeci

transformacije koordinata, koje su spomenute gore u tekstu, i gustine materijala, koje su

takodje prethodno odredjene. Znaci

J1 =∫

dmAx2 +∫

dmBx2

=4m

5R2m

∫ R

0

∫ 3π2

0

ρdρdϕ cos2 ϕ +8m

5R2m

∫ R

0

∫ 2π

3π2

ρdρdϕ cos2 ϕ

=4m

5R2m

R4

4ϕ + sin 2φ

2

2

3π2

0

+8m

5R2m

R4

4ϕ− sin 2φ

2

2

2π

3π2

=mR2

2,

2. RESENJA 39

slicno se dobija i druga vrednost

J2 =∫

dmA y2 +∫

dmB y2

=4m

5R2m[∫ R

0

∫ 3π2

0

ρdρdϕ sin2 ϕ + 2R sin ϕ +∫ R

0

∫ 3π2

0

ρdρdϕR2]

+8m

5R2m[∫ R

0

∫ 2π

3π2

ρdρdϕ sin2 ϕ +∫ R

0

∫ 2π

3π2

ρdρdϕ2R sin ϕ +∫ R

0

∫ 2π

3π2

ρdρdϕR2]

=5mR2

4.

Odakle mozemo zakljuciti da je Jxx = 5mR2

4 , dok je Jyy = mR2

2 i Jzz = 7mR2

4 . Vandijag-

onalne komponente tenzora inercije Jxz = Jzx = Jyz = Jzy = 0, posto je z = 0, dok je

komponenta Jxy = Jyx = − 4mR2

15π . Prethodni izraz se dobija na slicni nacin kao i kompo-

nente J1 i J2. I atko smo dobili tenzor inercije diska u odnosu na tacku 0, reprezentovanog

u koordinatnom sistemu koji je naznacen kao na slici:

J = mR2

54 − 4

15π 0

− 415π

12 0

0 0 74

.

b. Polozaj centra mase najlakse cemo odrediti, ako jednu od osa, npr. x-osu postavimo duz

ose simetrije diska, koji se sastoji od dva matreijala. Zbog ovkvog odabira koordinatnog

sistema, trebamo samo da nadjemo x koordinatu centra mase, possto smo sigurni da je

ycm = 0. Takodje, mozemo naci centar mase dela A, pa zatim centar mase dela B:

xcm,A =4

3R2π

∫ R

0

∫ 3π2

0

ρdρdϕρ

=4

3R2π

R3

3sin ϕ

3π2

0

=2√

2R

9π,

40 6. KRUTO TELO

i za deo B diska

xcm,B =4

R2π

∫ R

0

∫ 2π

3π2

ρdρdϕρ

=4

R2π

R3

3sin ϕ

2π

3π2

= −4√

2R

3π.

Koristeci prethodna dva rezultata, centar nehomogenog diska je

xcm =mAxcm,A + mBxcm,B

mA + mB

= −2√

2R

27π.

c. Ort ose kojaje prikazana na slici (3) je ~n =

(√

32

0

− 12

). Onda je ugaona brzina data vek-

torom ~ω = ω2

( √3

0

−1

). Kineticka energija krutog tela cija jedna tocka miruje se odred-

juje iz T = 12~ωJ ~ω, u nasem slucaju ako sikoristimo dobijeni tenzor inercije J , dboijamo

da je T = 114 mR2ω2. Na slican nacin odredjujemo i vektor ugaone brzine ~L = Jω =

mR2 ω120π

( 75√

3π

−4√

3

−105π

).

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

2. RESENJA 41

2.2. Lagrange-eve jednacine II vrste primenjene na kruto telo.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Slika 4.

17. a. Jednacine veza su

f1(r) = r − 13l = 0, f2(Ψ) = Ψ = 0,

f3(θ, Θ) = θ −Θ = 0, f4(ϕ, Φ) = ϕ− Φ = 0,

42 6. KRUTO TELO

gde su Ψ, Θ i Φ Euler-ovi uglovi, a r, θ i φ sferne koordinate koje odredjuju polozaj centra

mase u odnosu na tacku O.

b. U skladu sa delom zadatka pod a, mozemo uzeti nezavisne generailsane koordinate θ i ϕ.

Potencijalna energija stapa u gravitacionom polju je

U(θ, ϕ) = −13mgl sin θ sinϕ.

Ako uzmemo da je pol krutog tela u centru mase (videti sl. (2)), onda je kineticka energija

kretanja tela

Ttr = 169ml2

2(θ2 + sin2 θϕ2).

Da bi odredili kineticku energiju rotacije potrebno je prethodno odrediti tenzor inercije stapa

u odnosu na njegov sopstveni koordinatni sistem O′x′y′z′. U tako postavljenom koordinat-

nom sistemu, Jxx = Jyy = (6√

3l)2

12 = 9ml2, dok je Jzz = 0, tako da je tenzor inercije

J = 9ml2

1 0 0

0 1 0

0 0 0

.

Rotaciju stapa mozemo razloziti na dva nezavisna rotaciona kretanja. Jedno od njih se sas-

toji od rotacije stapa (zajedno sa prstenom) oko horizontalne fiksne ose, oko koje rotira stap.

Drugo kretanje se sastoji od rotacionog kretanja u ravni prstena oko centra prstena. Ugaona

brzina krutog tela je onda data kao

~ω =

( −ϕ cos θ

θ

ϕ sin θ

)u sopstvenom o′x′y′z′ koordinatnom sistemu. Tako dobijamo kineticku

rotacije kao T = 12~ωJ ~ω = 9ml2

2 (θ2 + cos2 θϕ2).Lagrange-eva funkcija je onda:

L =ml2

2(178θ2 + ϕ2(9 + 160 sin2 θ)) + 13mgl sin θ sin φ.

c. Dobijamo dve Lagrange-eve jednacine:

178θ − 160ϕ2 sin θ cos θ − 13g

lcos θ sin ϕ = 0

ϕ(9 + 160 sin2 θ)− 360ϕθ sin θ cos θ − 13g

lsin θ cos ϕ = 0.

2. RESENJA 43

d. Na osnovu prethodnog dela resenja ovog zadatka, jednacine iz kojih mozemo odrediti

ravnotezni polozaj su

cos θo sin ϕo = 0,

sin θo cos ϕo = 0,

odakle se dobijaju relevantni polozaji stabilne ravnoteze

ϕo =π

2, θo =

π

2.

e. Uvodimo nove generalisane koordinate η i ζ, tako da je ϕ = ϕo+η i θ = θo+ζ. Linearizujuci

jednacine oko ravnoteznog polozaja, koristeci prelaz na nove koordinate η i ζ dobijamo

Lagrange-eve jednacine

178ζ + 13g

lζ = 0

9η + 13g

lη = 0,

odakle se moze lako dobiti da je ω1 =√

13g178l i ω2 =

√13g9l .

18.

POGLAVLJE 7

Hamiltonove jednacine


1. (februar 2 1997.) Sastaviti Lagrange-eve jednacine za matematicko klatno uz prisustvo sile ot-

pora sredine proporcionalne brzini kretanja cestice (koeficijenta proporcionalnosti k ). Naci

Hamilton-ovu funkciju i odrediti kanonske jednacine.

2. Dat je sistem sa dva stepena slobode i Hamiltonijanom

H = Aq1p1 −Bq2p2 − aq21 + bq1q

22

gde su A,B, a i b konstante. Naci konacne kanonske jednacine kretanja u opstem obliku.

3. Neistegljiv konac ukupne duzine l provucen je kroz ucvrscenu alku i kroz nju moze da klizi

bez trenja. Za krajeve konca ucrscene su dve male kuglice (istih masa m) koje mogu da se krecu

u vertikalnoj ravni u polju Zemljine teze. Ove dve kuglice me -dusobno interaguju odbojnom

silom proporcionalnom rastojanju izmedju njih (konstante proporcionalnosti k).

a. Napisati Lagrange-evu funkciju sistema.

b. Odrediti generalisane impulse sistema.

c. Odrediti Hamilton-ovu funkciju i Hamilton-ove jednacine sistema.

4. Dat je sistem sa dva stepena slobode i Hamiltonijanom

H = aq1p1 − bq2p2 − aq21 + bq3

2

gde su a i b konstante. Naci konacne kanonske jednacine kretanja.

5. Cestica se krece u polju odbojne centralne sile obrnuto proporcionalne kubu rastojanja od

nepokretnog centra sile (koeficijent proporcionalnosti je km). U pocetnom trenutku cestica

se nalazila na rastojanju a od centra sile i imala je pocetnu brzinu jednaku nuli. Skicirati tra-

jektoriju ove cestice u a. faznom b. prosirenom konfiguracionom prostoru u toku kretanja do

kojeg dolazi pod navedenim uslovima.

44


6. Sastaviti Lagrange-eve jednacine za matematicko klatno uz prisustvo male sile otpora sredine,

proporcionalne brzini kretanja cestice (koeficijenta proporcijalnosti km). Naci Hamilton-ovu

funkciju i dobiti kanonske jednacine njenim diferenciranjem za ovaj sistem.

7. Jedan kraj homogenog tankog stapa, duzine l i mase m, klizi po paraboli y = px2 poznata

pozitivna konacna konstanta). Stap se krece u vertikalnoj ravni xOy (slika) u homogenom

polju Zemljine teze.



c. Definisati generalisane impulse, i izraziti generalisane brzine u funkciji generalisanih im-

pulsa.

8. Cestica mase m se krece duz jedne prave u polju odbojne sile obrnuto proporcionalne n-tom

stepenu rastojanja od nepokretnog centra sile koji se nalazi na toj pravi (koeficijent propor-

cionalnosti je k2m). U pocetnom trenutku cestica se nalazila na rastojanju a od centra sile i

imala je pocetnu brzinu jednaku nuli.


b. Odrediti Hamiltonijan i generalisani impuls sistema.

c. Skicirati trajektoriju cestice u faznom prostoru.

d. Skicirati trajektoriju u prosirenom konfiguracionom prostoru.

9. Cestica mase m je pricvrscena neistegljivom bezmasenom niti, duzine l za centar mase tankog

homogenog stapa, mase m i duzine l cija se dva kraja krecu po glatkom kruznom prstenu,

poluprecnika R u vertikalnoj ravni u homogenom polju Zemljine teze.



c. Definisati generalisane impulse, i izraziti generalisane brzine u funkciji generalisanih im-

pulsa.

10. Neistegljiv konac ukupne duzine 4l provucen je kroz ucvrscenu alku i kroz nju moze da kl-

izi bez trenja. Za krajeve konca ucrscene su dve male kuglice (istih masa m). Jedna kuglica

moze da se krece duz vertikalne prave, dok se druga krece u vertikalnoj ravni koja koja sadrzi

tu vertikalnu pravu. Normalno rastojanje te vertikalne prave od alke je l. Ove dve kuglice

me -dusobno interaguju odbojnom silom proporcionalnom rastojanju izmedju njih (konstante

proporcionalnosti k).

a. Napisati Lagrange-evu funkciju sistema.

46 7. HAMILTONOVE JEDNACINE

b. Odrediti generalisane impulse sistema.

c. Odrediti Hamilton-ovu funkciju i Hamilton-ove jednacine sistema.

POGLAVLJE 8

Hamiltonov princip


1. Cestica mase m pada sa visine h (iznad Zemljine povrsine) u homogenom gravitacionom polju

Zemlje. Odrediti Hamiltonovo dejstvo, duz pravog puta. Odrediti, takodje, Hamiltonovo de-

jstvo na okolnom putu, duz kojeg bi posmatrana cestica za isto vreme presla iz iste pocetne

konfiguracije u istu krajnju konfiguraciju, krecuci se brzinom konstantnog intenziteta. Skici-

rati obe trajektorije u prosirenom konfiguracionom prostoru.

2. Cestica se pomeri, u polju potencijala U = −kx za vreme τ iz tacke x0 = −a u tacku xτ = a.

Koristeci Hamiltonov princip, odrediti konacnu jednacinu kretanja cestice, pretpostavljajuci da

ta jednacina ima oblik trinoma x(t) = At2 + Bt + C.

2. Resenja

1.

2.

47

POGLAVLJE 9

Poisson-ove zagrade


1. Cestica mase m, krece se u homogenom polju Zemljine teze po nepokretnom kruznom glatkom

cilndru poluprecnika osnove R, sa horizontalnom geometrijskom osom.

a. Napisati Hamilton-ovu funkciju H sistema u nezavisnim generalisanim cilindricnim koor-

dinatama.

b. Izracunati Poisson-ovu zagradu [p,H] gde je p intenzitet mehanickog impulsa.

2. Resenja

1.

48

POGLAVLJE 10

Osnovi relativisticke mehanike


1. Osoba A sa Zemlje odasilje signale svakih 6 minuta. Osoba B je na svemirskoj stanici koja

je stacionarna u odnosu na Zemlju. Osoba C je na raketi koja putuje od osobe A do osobe B

konstantnom brzinom 0.6c u odnosu na osobu A. Ako osoba C odasilje svetlosne signale u

vremenskim intervalima u kojima prima signale od osobe A, u kojim vremenskim intervalima

osoba B prima pulsacije od osobe C?

2. Sranica piramide (u Egipatskoj pustinji) zaklapa ugao α u odnosu na horizontalnu ravan, i

ima duzinu lo. Arheolog se krece duz jedne stranice piramide, tako da mu je potreban vremen-

ski interval T da se popne do vrha (u sistemu vezanom za Zemlju). Svemirksi brod se krece

brzinom v u horiontalnom pravcu.

(a) Koliko je rastojanje presao arheolog mereno u sistemu posmatraca na svemirskom brodu?

Odrediti odgovarajuci vremenski interval (intervalu T na Zemlji) u sistemu vezanom za

svemirski brod?

(b) Odrediti prostorno vremenski interval 4s2 u sistemu vezanom za Zemlju, i u sistemu

vezanom za brod.

3. Stap AB se translaciono krece u sistemu reference S brzinom v = c2 ~ey . U trenutku t = 0,

koordinate krajnjih tacaka stapa u sistemu S su A(x = 0, y = 0) i B(x = lo, y = 0). Sistem

S′ krece se brzinom u = c3 ~ex u odnosu na sistem S. Ako se u trenutku t′ = 0 koordinate

tacke A(x′ = 0, y′ = 0), odrediti, u tom istom trenutku, koordinate tacke B. Odrediti ugao koji

zaklapa taj stap sa x′ osom u t′ = 0?

4. Cestica, sopstvene mase m, krece se brzinom v” = c4 pod uglom od α” = π

4 u odnosu na x”-

osu sistema S”. Sistem S” se krece brzinom ~u” = c8~ex + c

√3

8 ~ey u odnosu na sistem S, vidi

sliku. Odredi kolika je ukupna energija cestice u sistemu S′, koji se krece brzinom u′ = c3 duz

zajednicke y − y′ ose.

49

50 10. OSNOVI RELATIVISTICKE MEHANIKE

Slika 1.

5. Cestica, mase m, i intenziteta relativistickog impulsa p′ = mc2 , krece se u x′Oz′ ravni u sistemu

S′. Sistem S′ krece se brzinom ~u = c4 (√

3~ex + ~ey) u odnosu na sistem S. Ako relativisticki

impuls zaklapa ugao π3 sa z′-osom, u sistemu S′, odrediti relativisticke vektore impulsa ~p i ~p′ u

sistemima reference S i S′, kao i odgovarajuce energije E i E′ (vidi sl. 1).

6. Dva fotona, frekvence ν, su se rasejala na stacionarnim elektronima, mase me. Ugao rasejanja

fotona A je ηθ = 2 puta veci od ugla rasejanja fotona B, dok je frekvenca fotona A η = 32 puta

veca od frekvence fotona B. Odrditi koliki je ugao rasejanja fotona B.

7. Cestica mase m sudara se elasticno sa cesticom iste mase koje miruje. Oderdite kineticku en-

ergiju te prve cestice posle sudara, ako je njen ugao rasejanja π3 (u odnosu na pravac kretanja

prve cestice)

8. γ foton nalece na proton (p) koji miruje i pri tome nastaje jedan neutron (n) i jedan (π+):

γ + p → n + π+ (28)

Pion π+ se rasejava pod uglom π/2 u odnosu na pravac upadnog γ fotona, i ima energiju 50

MeV. Poznate su tako -de i mase cestica mπ+c2 = 140MeV i mpc2 = mnc2 = 940MeV

a. a. Odrediti energiju upadnog fotona. (6)

b. b. Odrediti ugao pod kojim se rasejao neutron n. (8)

c. c. Odrediti intenzitet impulsa neutrona n. (6)

9. U sudaru cestice, mase m i brzine ~vA = c5 ( 1

2~ex +√

32 ~ey), sa cesticom iste mase, koja se krece

brzinom ~vB = c4 (− 1

2~ex +√

32 ~ey) nastaje nova cestica.

2. RESENJA 51

a. Odredite kineticku energiju T ′ te cestice posle sudara.

b. Odrediti njenu masu M .

10. U sudaru nerelativisticke cestice A, sopstvene mase m i brzine ~vA = c2 (~ex + ~ez), sa cesticom B,

sopstvene mase 2m i brzine ~vB = c10 (3~ey + 4~ez), nastaje nova cestica.

a. Odrediti energiju E novonastale cestice. (5)

b. Odrediti relativisticki impuls nove cestice ~p. (5)

c. Odrediti brzinu cestice B u odnosu na inercijalni sistem reference koji je vezan za cesticu A.

(8)

11. Kvadrivektor brzine V odgovara troevktoru ~v. Uzeti da grcki indeksi odgoavarju elementu

skupa 0, 1, 2, 3, dok latinicni indeksi odgovaraju elementu skupa 1, 2, 3. Izraziti:

(a) V o preko vj .

(b) V j preko vj .

(c) V o preko V j .

(d) ddτ preko d

dt , i V j .

(e) vj preko V j .

(f) ‖~v‖ preko V o.

2. Resenja

1.

2.

3.

4.

5. Relativisticki impuls je ~p′ = mc4

( −1

0√

3

), posto pravac kretanja cestice zaklapa 30o sa x′-osom,

i intenzitet relativistickog impulsa je p′. Energija cestice u sistemu S′ je E′ = mc2√

54 . Time smo

odredili sve komponente kvadrivektora impulsa P ′ = mc4

√5

−1

0√

3

. Da bi odredili kvadrivek-

tor impulsaP u sistemu S, moramo uvesti kordinatni sistem S1, koji miruje u odnosu na sistem

S, a ose x1 i y1 su zarotirane za tacno odredjeni ugao, za koji ce se osa x1 po pravcu i smeru


Slika 2.

poklapati sa osom x′-osom (vidi sl. ??). Taj ugao se odredjuje iz nagiba vektora brzine ~u u

odnosu na x-osu sistema S

tan α =uy

ux=

14c√

34 c

=√

33

,

sto znaci da su sistemi S i sistem S1 zarotirani za ugao α = π6 , oko z-ose. Intenzitete brzine

kretanja sistema S′ u odnosu na sistem S (a sami tim i u odnosu na sistem S1) je u = c2 , sto je

potrebno da se odredi Lorentz-ova matrica transformacije je oblika

LS′→S1 =

2√

33

√3

3 0 0√

33

2√

33 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

,

kojom se mogu odrediti komponente kvadrivektora impulsa u sistemu S1

P1 = LS′→S1P ′ =mc

4

√3

3

2√

5− 1√

5− 2

0

3

.

Nulta komponenta dobijenog kvadrivektora je E1c , sto je istovremeno i E

c , tj energija cestica u

sistemu S. Relativisticki vektor ~p se dobija delovanjem operatora rotacije na vektor ~p1, koji je

2. RESENJA 53

dobijen kao prva, druga i treca komponeneta kvadrivektora impulsa:

~p = RS1→S ~p1 =

√3

212 0

− 12

√3

2 0

0 0 1

~p1 =

mc

4

√3

6

√3(√

5− 2)

−(√

5− 2)

3

.

6.

7.

8.

9. (a) U ovom zadatku vazi zakon odrzanja kvadrivektor impulsa

P = PA + PB , (29)

gde je P kvadrivektor impulsa novonastale cestice, dok su PA i PB kvadrivektori impulsa

cestica A tj B, respektivno. Ti kvadrivektori mogu da se zapisu preko komponentni, tako

da imaju oblik PA =( EA

c

~pA

), PB =

( EB

c

~pB

)i P =

( Ec

~p

). Da bi odredili energiju E nove

cestice, potrebno je odrediti energiju cestice A i cestice B.

EA = mc2γA, EB = 2mc2γB .

Koeficijenti γA i γB odredicemo na osnovu definicije, sto znaci da su njihove konkretne

vrednosti

γA =1√

1− ~vA~vA

c2

=√

2 γB =1√

1− ~vB~vB

c2

=2√

33

,

koristeci te vrednosti mozemo odrediti

EA =√

2mc2, EB =4√

33

mc2,

odakle dobijamo da je energija novonastale cestice:

E = (√

2 +4√

33

)mc2.


(b) Na slican nacin kao u prethodnom delu zadatka, s tom razlikom sto se ovde na osnovu

zakona odrzanja impulsa, odrdjujemo impuls novonastale cestice:

~p = mA~vAγA + mB~vBγB =mc

30

15√

2

12√

3

16√

3 + 15√

2

.

Slika 3.

(c) Posto se u xz ravni krece cestica A, i to pod uglom od π4 u odnosu na x-osu (vidi sl. 3), onda

moramo postaviti koordinatni sistem S1, cija x1-osa zaklapa 45o sa x osom, da bi mogli

Lorentz-ovim matricama transformacije preci iz tog sistema u sistem SA. Komponente

relativistickog impulsa c setice B u sistemu S1 dobicemo tako sto primenimo operator

rotacije RS→S1na vektor relativistickog impulsa ~pB u sistemu S:

~p1 = RS→S1

~pB =

√2

2 0√

22

0 1 0

−√

22 0

√2

2

~pB =

2mc√

330

2√

2

3

2√

2

.

Sada smo spremni da odredimo Kvadrivektor impulsa u sistemu SA, koji je vezan za

cesticu A, odredicemo koristeci Lorentz-ovu matricu transformacije

LS1→SA=

√2 −1 0 0

−1√

2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

,

2. RESENJA 55

koriscenjem sledece relacije

PB,SA= LS1→SA

PB,S1 =2mc

√3

30

8√

2

−6

3

2√

2

.

Nalazeci kvadrivektor impulsa odredili smo i energiju cestice B u sistemu vezanom za

cesticu A, a samim tim i koeficijent γB,A, tj. γ koeficijent cestice B u odnosu na sistem A,

i on iznosi γB,A = 8√

615 . Odakle mozemo odrediti intenzitet brzine cestice B u odnosu na

sistem vezan za cesticu A – vB,SA=

√10616 c.

10.

POGLAVLJE 11

Osnovi fizike kontinuuma


1. Konacne jedncine kretanja neprekidne sredine mogu se dati jednacinama:

x1(t) = X1(1 + α1t) + X2α2t;

x2(t) = X2(1 + β2t2) + X1β2t

2;

x3(t) = X3.

a. Odrediti polje brzina (u Euler-ovim promenljivima).

b. Odrediti polje ubrzanja (u Euler-ovim promenljivima).

c. Odrediti komponente ubrzanja u supstancijalnim (Lagrange-evim) promenljivima.

d. Odrediti jednacinu strujne linije koja prolazi kroz tacku sa koordinatama (1, 3,−2).

2. Polje brzine je opisano jednacinama

v1 = cx3t2 + bx2t + ax1, v2 = bx3t + ax2, v3 = ax3.

a. Odrediti polje gustine ρ.

b. Ispitati da li je polje vrtlozno.

c. Odrediti polje ubrzanja.

d. Odrediti konacne jednacine kretanja.

e. Odrediti jednacinu strujne linije koja prolazi kroz tacku sa koordinatama (1,−1, 2).

3. Polje brzine neprekidne sredine je oblika:

v1 = 2kx2; v2 = kx2 + kx3; v3 = kx2 − kx3,

gde je k poznata konstanta.

a. Odrediti konacne jednacine kretanja.

b. Odrediti polje ubrzanja.

c. Odrediti jednacinu strujne linije koja prolazi kroz tacku (2,−3, 4).

56


4. Polje brzine neprekidne sredine je oblika:

v1 = kx1; v2 = −kx3; v3 = kx3 + kx1,

gde je k poznata konstanta.

a. Odrediti konacne jednacine kretanja.

b. Odrediti polje ubrzanja, koriscenjem lokalnog izvoda.

c. Odrediti jednacinu strujne linije koja prolazi kroz tacku (−2, 3, 5).

d. Prodiskutovati da li je polje neprekidne sredine potencijalno, ili vrtlozno?

5. Tenzor napona neprekidne sredine je dat matricom

P =

0 −αx2 0

−αx2 0 βx3

0 βx3 0

,

gde su α i β date su konstante. Neprekidna sredina ispunjava oblast prostora unutar kupe

zadate jednacinom x21 + x2

3 = x223 .

a. Odredite vektor napona koji deluje na povrs te kupe.

b. Odrediti normalnu i tangencijalnu komponentu vektora napona.

c. Odrediti ukupnu povrsinsku silu koja deluje na tu sfernu povrs izme -du ravni x2 = 1 i

x2 = 4.

6. Tenzor napona neprekidne sredine je dat matricom

P =

0 −αx1 0

−αx1 0 βx3

0 βx3 0

,

gde su α i β date su konstante. Neprekidna sredina ispunjava oblast prostora unutar sferne

povrsi zadate jednacinom x21 + x2

2 + x23 = 9.

a. Odredite vektor napona koji deluje na povrs te sfere.

b. Odrediti normalnu i tangencijalnu komponentu vektora napona.

c. Odrediti ukupnu povrsinsku silu koja deluje na tu sfernu povrs izme -du ravni x3 = 0 i

x3 = 2.

d. Odrediti ukupnu povrsinsku silu koja deluje na povrs dela sfere za koju vazi da je x3 > x1

(to je zapravo polusfera).

58 11. OSNOVI FIZIKE KONTINUUMA

7. Tenzor napona dat je matricom

P =

0 β 0

β αx2 + β 0

0 0 0

,

gde su α i β konstante. Neprekidna sredina ispunjava beskonacni poluprostor x2 < 0. Odred-

iti vektor napona koji deluje na granicnu povrsinu x2 = 0. Odrediti, takodje, ukupnu silu

koja deluje na povrsinu kvadrata sa temenima u (1, 0, 1), (−1, 0, 1), (1, 0,−1) i (−1, 0,−1), kao

ukupni moment sile u odnosu na koordinatni pocetak.

8. Dato je polje pomeranja:

u1 = 2kX21 ; u2 = −kX2

1 ; u3 = 2kX23 ,

gde je k = 10−4. Odrediti odnos relativnih izduzenja supstancijalnih elemenata

d ~X1 = dX1~e2; d ~X2 =12dX2(~e1

√3 + ~e3),

u tacki sa vektorom polozaja ~X = 12 (~e1 + 3~e2), i promenu ugla izme -du njih usled dejstva polja

pomeranja.

9. Nestisljiva tecnost, gustine ρ i koeficijenta viskoznosti µ, protice kroz cev, poluprecnika R.

Ta tecnost je pod dejstvom konstantnog gradijenta pritiska P . Odrediti profil brzine, ako je

poznato da sistem nije pod dejstvom zapreminskih sila.

10. Nestisljiva tecnost, gustine ρ i koeficijenta viskoznosti µ, se nalazi izmedju dva beskonacna

koaksijalna cilindra, poluprecnika r1 i r2 van polja Zemljine teze. Cilindri rotiraju oko svoje

zajednicke ose konstantnim ugaonim brzinama ω1 i ω2. Odrediti profil brzine, ako je poznato

da sistem nije pod dejstvom zapreminskih sila.

2. Resenja

1.

2.

3.

4.

5.

2. RESENJA 59

Slika 1.

6. a. Jednacina povrsi koja ogranicava neprekidnu sredinu u implicitnom obliku je f(x1, x2, x3)−x2

1 + x22 + x2

3 − 9 = 0. Ort te povrsi je jedinicni vektor koji je normalan na povrs, i moze da

se nadje preko relacije

~n =gradf

‖gradf‖ =1√

x21 + x2

2 + x23

x1

x2

x3

=

13

x1

x2

x3

,

cime smo omogucili odredjivanje vektora napona

~p = P~n =13

−αx1x2

−αx21 + βx2

3

βx3x2

. (30)

b. Normalna komponenta vektora napona pn se odredjuje

pn = ~p~n =19(2βx2

3x2 − αx21x2),

dok je, onda, tangencijalna komponenta

pt =√

(~p)2 − (pn)2.

c. Sila ~F se izracunava pomocu relacije

~F =∫

~p dS.


Element povrsi, po kojoj integralimo, je na sferi, tako da bi trebali sa x1, x2, x3- koordinata

preci na sferne ρ, ϕ, z-koordinate. Element povrsi se u sfernom sistemu jednostavno moze

napisati dS = R2dθdϕ, gde je R-poluprecnik sfere, sto je u slucaju ovog zadatka R = 3.

Posto su granice izmedju x3 = 0 i x3 = 2, postavicemo sferni koordinatni sistem tako da je

z-osa duz x3-ose. Tako dobijam niz prelaza iz koordinatnih sistema u koordinatne sisteme

x3 = z = r cos θ,

x1 = x = r sin θ cosϕ,

x2 = y = r sin θ sin ϕ.

Dalje, potrebno je odrediti granice za integrale po promenljivima θ i ϕ. Granice integrala po

ϕ je izmedju 0 i 2π, dok granice integrala po θ se nalaze izmedju θmin = arccos 23 i θmax = 2π.

Ugao θmin je odredjen iz trougla koji se nalazi na osnom preseku sfere. Jedno teme se nalazi

u centru sfere, drugo teme se nalazi na kruznici koja predstavlja presek ravni x3 = 2 i ove

sfere, i trece teme ima koordinate (0, 0, 2).

Na kraju je potrebno odrediti integral po povrsi (vidi sl. (9)), i tako dobijamo

~F = 9∫ 2π

0

∫ π2

arccos 23

~p sinθdθdϕ =

0

3π(14α + 16β)

0

.

Slika 2.

2. RESENJA 61

d. Posto treba da integralimo po polusferi, moramo preci u novi koordinatni sistem Ox′1, x′2, x

′3

(vidi sl. (2)), u kome su jednacine polusfere jednostavnije prikazane. Osnovni razlog zbog

cega je potrebno preci u novi koordinatni sistem su jednostavnije granice povrvinskih inte-

grala, zapisanih u sfernom koordinatnom sistemu.

U delu zadatka pod [a] smo odredili vektor napona ~p reprezentovanog u Ox1, x2, x3 sis-

temu, da bi smo dobili vektor napona u zavisnosti od koordinata Ox′1, x′2, x

′3 sistema, moramo

naci funckijsku vezu izmedju tih koordinata. To mozemo naci primenjujuci opeator rotacije

na radijus vektor polozaja v cestice reprezentovanog u koordinatnom sistemu Ox′1, x′2, x

′3:

~r′ =

x1

x2

x3

=

cos π4 0 − sin π

4

0 1 0

− sin π4 0 cos π

4

x′1

x′2

x′3

,

tako da dobijamo da je

x1 =√

22

(x′1 + x′2),

x2 = x′2,

x3 =√

22

(−x′1 + x′2).

Zamenjujuci u relaciji (30) prethonde transformacije koordinata dobijamo da je

~p = P~n =13

−α√

22 (x′1 + x′3)x

′2

−α2 (x′1 + x′3)

2 + β2 (−x′1 + x′3)

2

β√

22 (−x′1 + x′3)x

′2

.

I na kraju koordinate Ox′1, x′2, x

′3 sistema transformisemo u sferni koordinatni sistem, u kome

jednostavno mozemo odrediti integral po povrsi (vidi sl. (2) )

~F = 9∫ 2π

0

∫ π2

0

~p sinθdθdϕ =

0916π(β − α)

0

.

7.

8.

9. Kretanje fluida u cevi je opisano Navier-Stokes-ovim jednacinama

∂~v

∂t+ (~v∇)~v = ~f − 1

ρgradp + µ4~v + (λ +

µ

3)grad(div~v).


Posto nema zapreminskih sila, onda je ~f = 0, i ako je u pitanju nestisljivi fluid, onda je

div~v = 0. Fluid stacionarno protice kroz cev, zbog toga polje brzina funkcijski ne zavisi od

vremena, sto znaci da je ∂v∂t = 0.

Na osnovu simetrije problema, tj oblika strujne cevi u kojoj tece fluida, mo’zemo zakljuciti

da se mogu upotrebiti cilindricne koordinate. Dalje, pmozemo primetiti da je u tekstu zadatka

receno da postoji konstantan gradijent pritiska

grad p =∂p

∂r~er +

1r

∂p

∂ϕ~eϕ +

∂p

∂z~ez = const

koji moze imati jedino nenultu komponentu u smeru z-ose, dok u ostala dva pravca nemamo

komponente gradijenta pritiska. Ako fluid tece u smeru ose z-ose, onda mozemo ovcekivati

da se pritisak u tom smeru smanjuje, sto znaci da je prvi izvod pritiska p po z-kooridnati ima

suprotan smer z-osi, sto na kraju implicira da je komponenta gradijenta pritiska negativna, ili

drugacije zapisano grad p = ∂p∂z~ez = −P~ez . Uzimajuci sve sto je receno u obzir, dobijamo

da je Navier-Stokes-ova jednacina oblika:

(~v∇)~v =1ρP~ez + µ4~v.

Za odredjivanje konvekcionog clana (~v∇)~v, iskoristicemo sledecu transformaciju:

(~v∇)~v =12∇v2 − ~v × (∇× ~v).

Prvo cemo izracunati drugi clan u prethodno jednacini:

~v × (∇× ~v) = ~v × [1r

~er r~eφ ~ez

∂∂r

∂∂ϕ

∂∂z

0 0 v(r)

]

= ~v × [−dv

dr~eϕ] =

~er ~eφ ~ez

0 0 v

0 −dvdr 0

= vdv

dr~er.

Prvi sabirak je lakse odrediti: 12∇v(r)2 = v dv

dr~er, sto znaci da je (~v∇)~v = 0. Na lsican nacin

moze se odrediti i laplasijan 4~v = ∇(∇~v) − ∇ × (∇ × ~v). Posto je fluid nestisljiv, onda je

∇~v = 0. Dakle, za nstisljive fluide laplasijan se izracunava koristeci relaciju4~v = −∇×(∇×~v).

2. RESENJA 63

Ako ovu relaciju primenimo kao u slucaju izracunavanja konvecionog clana dobicemo da je

4~v = 1r

ddr [r dv

dr ]~ez .

Slika 3.

Zamenjujuci dobijene izraze u Navier-Stokes-ovoj jednacini dobijamo

0 =1ρP~ez + µ

1r

ddr

[rdv

dr]~ez.

Od prethodne vektorske jednacine se moze lako dobiti jedna skalarna diferencijalna jednacina

drugog reda (projektujuci prethodno pomenutu vektorsku jednacinu duz z ose). Sledeci korak

je resavanje te diferencijalne jednacine po r-koordinati (sl.(??)), cime se dobija profil brzine

v(r) = − P

4µr2 + C1 ln r + C2,

gde su C1 i C2 konstante koje se odredjuju iz granicnih uslova. U slucaju da je r = R, brzina

fluida je jednaka brzini cevi, tj. 0, dok za r = 0, brzina fluida mora da ima konacnu vrednost.

Iz drugog uslova, da bi obezbedili konacnost brzine fluida, konstanta C1 = 0, dok iz prvog

uslova, tj. iz v(R) = 0, dobijamo da je C2 = P4µR2, sto znaci da je profil brzine dat funkcijom

v(r) =PR2

4µ(1− r2

R2).

10.

zbirka tm

Documents