zbirka_zadaci_od_jakost_na_materijalite_ii.pdf

8/20/2019 ZBIRKA_ZADACI_OD_JAKOST_NA_MATERIJALITE_II.pdf

1/256

Uni ver zi tet “ Sv. Kl i ment Ohr i dski ” Tehni ~ki f akul tet Bi tol a

D . Tr ajk o v s k i , Q . P op ov sk i

ZB I RKA ZADA^ I OD JAKOS T

NA MATERI JAL I TEII

Bi tol a, 2005


2/256

Dejan Tr a jkovski , Q up~o Popovski

2

So re{ eni e na dekanot na Tehni ~ki ot f akul tet vo Bi tol a br . HHH odHHHH godi na odobreno e i zdavawet o na u~ebnoto pomagal o pod nasl ov

Z B I RK A Z AD A^ I O D J AK OS T NA M ATERI JA L I TE II

Od red. pr of . D-r Dejan Tr ajkovski i ass. M-r . Q up~o Popovski

Recenzent : vonr . pr of . d-r . Bl agoj Pavl ov

Ureduva~ki odbor:

Lektor:

I zdava~:

Pe~ati :

Ti r a` :


3/256

Z bi r ka za da ~i od jak os t n a ma t e r i ja l i t e II

3

SODR@I NA

Pr edgovor ........................................................................................Upotr ebeni oznaki .........................................................................

1. Naponska i def ormaci ona sostojba vo to~ka ..................2. Sl o` eni napregawa ............................................................3. Odr eduvawa na pomestuvawa kaj stati ~ki opr edel eni

konst r ukci i ..........................................................................4. Stati ~ki neopr edel eni nosa~i .........................................5. Ramni nski osnosi metr i ~ni napregawa ............................6. Tenkoyi dni osnosi metr i ~ni r ezervoari .........................7. Di nami ~ki optovaruvawa ...................................................

P r i l oziI. Nekoi povà ni matemati ~ki obr asci .................................

II. J akosni hi potezi ....................................................................

III. Stati ~ki opr edel eni nosa~i ...............................................IV. Stati ~ki neopr edel eni nosa~i ...........................................V. Tabl i ci na vl i jatel ni koef i ci enti ..................................

VI. Dozvol eni napregawa ............................................................VII. Kr i t i ~na si l a pr i i zvi tkuvawe ..........................................

VIII. Moment i na i nerci ja i otporni moment i ............................IX. Tabl i ci za pr of i l i ..............................................................

Li teratur a ......................................................................................

57

1325

3979

147163179

193201

205213219225229235243253


4/256


4


5/256


5

PREDGOVOR

Zbi r kata sodr` i zada~i od pr edmetot J akost na mat er i jal i te II i e vo skl ad so nastavni te pl anovi na Tehni ~ki ot f akul tet vo Bi tol a.

Si te zada~i se cel osno re{ eni za student i te da mo` at na ovi e

pr i meri da go steknat i skustvo za r e{avawe na dr ugi sl i ~ni zada~iod ovaa obl ast . Ovaa zbi rka na zada~i mo` e kor i sno da posl ù i i nai n` ener i te koi se zani mavaat vo pr akti ka so ovaa probl emati kaporadi i zborot na zada~i koi se zemeni od praksata pr i { tomatemati ~ki te te{ kot i i pr i r e{ avaweto na zada~i te se svedeni nami ni mum.

Zbi r kata e podel ena vo sedumpogl avja: Naponska i def ormaci ona sostojba vo to~ka Sl o` eni napr egawa Odr eduvawa na pomestuvawa kaj stati ~ki opr edel eni

konstr ukci i St ati ~ki neopr edel eni nosa~i Ramni nski osnosi metr i ~ni napregawa Tenkoyi dni osnosi metr i ~ni r ezervoari Di nami ~ki optovar uvawa.

Pokr aj ovi e sedum pogl avja zbi rkata sodr ` i i pr i l ozi ,pozna~ajni matemat i ~ki obr azsci , obrazsci i tabel i koi se kor i snipr i r e{ avaweto na zada~i te od obl asta na jakosta na mater i jal i te.

Pogol emi ot del od ovi e zada~i r aboteni se na ve` bi sostudent i te i l i bi l e i spi tni zada~i od pr edmetot J akost namater i jal i te II na Tehni ~ki ot f akul tet vo Bi tol a.

1 J uni 2005 godi naBi tol a

Od avtor i te


6/256


6


7/256


7

UP O TREB ENI O ZNAKI


8/256


8


9/256


9

z y x , , nor mal ni napregawa

yz xz xy , , tangenci jal ni napr egawa

T tenzor na napregawata

321 , , gl avni napr egawa J 1 , J 2 , J 3 i nvar i jant i na napr egaweto

)( y),( x k k koef i ci ent i na pr avci na gl avni oski

xzk xyk xxk , , koef i ci ent i na pr avci na gl avni napr egawanormal no napregawe

dozvol eno nor mal no napr egawe M x moment na svi tkuvawe okol u x oska M y moment na svi tkuvawe okol u y oska I x moment na i nerci ja okol u x oska I y moment na i nerci ja okol u y oskaF si l a

A povr{ i na na popr e~en presektangenci jal no napr egawe

i x r adi us na i ner ci ja za x oskai y r adi us na i ner ci ja za y oskaW x otporen moment za x oskaW y otporen moment za yoska

M f moment na svi tkuvawe M t moment na torzi ja M e ekvi val enten moment

0z dozvol eno napregawe na zategawe

0p dozvol eno napr egawe na pr i t i sokQ popr e~na si l a N nadol ` na si l aS x stati ~ki momentb y debel i naq general i zi r ano pomestuvawe

Ad def or maci ona r abotaQ gener al i zi r ana si l a

E modul na el asti ~nost A povr{ i na na popr e~en presekG modul na l i zgawe

I 0 pol aren moment na i nerci ja I x moment na i nerci ja okol u x oska I y moment na i nerci ja okol u y oska N aksi jal na si l a M t moment na torzi ja M x moment na svi tkuvawe okol u x oska M y moment na svi tkuvawe okol u y oskaQ x popr e~na si l a vo x pr avecQ y popr e~na si l a vo y pr avecF 0 pomo{na si l a

q N si l a od dejstvo na tovar ot N si l a od dejstvo na pomo{nata edi ne~na si l a


10/256


10

qt M

moment na torzi ja od tovar

t M moment na torzi ja od pomo{nata edi ne~na si l aq

x M moment na svi tkuvawe okol u x oska od tovar

x M moment na svi tkuvawe okol u x oska od pomo{na si l a

q y M

moment na svi tkuvawe okol u y oska od tovar

y M moment na svi tkuvawe okol u y oska od pomo{na si l aq

xQpopr e~na si l a vo x pr avec od dejstvo na tovar

xQ popr e~na si l a vo x pravec od dejstvo na pomo{na si l aq

yQ popr e~na si l a vo y pr avec od dejstvo na tovar

yQ popr e~na si l a vo y pravec od dejstvo na pomo{na si l aqi A povr{ i na na di jagr amot na napadnata gol emi na od

zadadenoto opteretuvawe ( nadol ` na si l a, popr e~nasi l a, moment na svi tkuvawe, moment na torzi ja)i ordi nata na di jagr amot na napadnata gol emi na od

edi ne~noto opteretuvawe 1iS mer eno na mest oto na

te` i { teto na povr { i nata q A ij vl i jatel ni koef i ci enti na el asti ~nost

qi pomestuvawa na to~ki te poradi nadvor e{niopteretuvawa

jS pr ekubr ojni stati ~ki nepoznati E modul na el asti ~nost I moment na i nerci ja

) z( M mi moment na svi tkuvawe od dejstvo na edi ne~na si l a iS ) z( M m j moment na svi tkuvawe od dejstvo na edi ne~na si l a jS ) z( M mq moment na svi tkuvawe od dejstvo na tovar q

j A povr{ i na na di jagr amot na napadnata gol emi na odedi ne~noto opteretuvawe 1 jS

i A povr{ i na na di jagr amot na napadnata gol emi na odedi ne~noto opteretuvawe 1iS

qi A

povr{ i na na di jagr amot na napadnata gol emi na odzadadenoto opteretuvawe ( nadol ` na si l a, popr e~nasi l a, moment na svi tkuvawe, moment na torzi ja)

i ordi nata na di jagr amot na napadnata gol emi na odedi ne~noto opteretuvawe 1iS mer eno na mest oto na

te` i { teto na povr { i nata q A u(r) r adi jal no pomestuvawe

r (r) r adi jal na komponenta na napregaweto (r) ci r kul arna komponenta na napr egaweto

gusti na na mater i jal otpoasonov koef i ci entagol na br zi na


11/256


11

R N r adi us na nadore{en pr e~ni kbezdi menzi onal en odnos me|u vnatr e{ni ot inadvore{ ni ot r adi us na di skot

r pol ar no r astojani e E modul na el asti ~nost

pV vnatr e{ en pr i ti sok vo debel oyi dnata cevka p N nadvore{ en pr i t i sok t koef i ci ent na topl otno { i r ewe

t N nadvore{na temper atur at V vnatr e{na temperatur at 0 temper atur a

m napregawe vo mer i di janska ramni na odnosno vopr esekot na sadot so ramni na koja ja sodr` i oskata nasi metr i ja na sadot

c napr egawe vo ci r kul arna ramni na odnosno vo preseknormal en na meri di janskata r amni na

p pr i ti sok debel i na na yi dot na sadot

Rm r adi us na kr i vi na vo mer i di janski pr avec Rc r adi us na kri vi na vo ci rkul aren praveck d di nami ~ki koef i ci entF st stati ~ka si l aF d di nami ~ka si l a

st napr egawe od dejstvo na stati ~ka si l a d napr egawe od dejstvo na di nami ~ka si l a st stati ~ki ugi b

d di nami ~ki ugi b N d vkupna si l a vo ja` etoG tovarq te` i na na ja` e na edi ni ca dol ` i nag zabr zuvawe pr i sl obodno pa|awe

z i zmi nat pat na tovar ot z zabr zuvawe na tovar ot i jà eto H vi si na od koja tel oto pa|a

koef i ci ent na r edukci ja koj zavi si od na~i n napotpi r awe na gr edata i od vi dot na udar ot (nadol ` eni l i popr e~en)

Q0 te` i na na gr edataG te` i na na tel oto


12/256


12


13/256


13

1 . NAP ONS KA IDEF ORMACI ONA SOSTOJBA

VO TO^ KA


14/256


14


15/256


15

Naponskata sostojba vo to~ka podr azbi r a sevkupnost na napr egawatakoi dejstvuvaat na si te mo` ni povr{ i ni koi mi nuvaat ni z taa to~ka.I ma vkupno devet komponenti na napr egaweto koi mo` at da se sl o` atvo kvadr atna matr i ca i se odnesuvaat kako komponenti te na tenzor odvtor r ed, koj se nar ekuva tenzor na napregaweto

z zy zx

yz y yx

xz xy x

T

P r e sme t k a na gl a vn i n apr e ga w a i gl av ni o ski

Pr i prostorna sostojba na napr egawa so menuvawe na ori entaci jata naoski te na el ementarni ot paral el opi ped mo` e da se najde takva ni vnapol o` ba pr i koja si te tangenci jal ni napr egawa }e bi dat nul a.Povr { i ni te paral el ni na str ani ci te na par al el opi pedotor i ent i r ani na ovaj na~i n se narekuvaat gl avni povr{ i ni .Napr egawata koi dejstvuvaat na ni v 1 , 1 , 1 se narekuvaat gl avninapr egawa, a soodvetni te oski gl avni oski . Za ti e nasoki nor mal ni tenapr egawa dobi vaat ekstremni vr ednosti t .e. edno e najgol emo, edno enajmal o, a edno e po gol emi na pome|u ni v.

032213 J J J

Tr i te koreni na ovaa r avenka se sekoga{ r eal ni i pr etstavuvaat

gol emi ni na gl avni te napr egawa vo tr i me|usebno r azl i ~i t i pr avci .Gol emi ni te na gl avni te napr egawa ne zavi sat od i zborot nakoor di natni ot si stempa koef i ci enti te J 1 , J 2 , J 3 vo kubnata ravenka sei nvar i jantni gol emi ni . Ti e se nar ekuvaat i nvar i janti na napr egawetood pr v, vtor i t r et stepen.

3211 z y x J

313221222

2 yz xz xy z y z x y x J

3213

z zy zx

yz y yx

xz xy x

J

Nasoki te na gl avni te napr egawa se nao|aat od ravenkata nakompat i bi l nost

1

1

2

2

2

22

xz

xy

xz

xx

xz

Pr ethodno se odr eduvaat pr avci te na gl avni te oski


16/256


16

k y xy

xyk x

k y xz

xy xz

k )( x

k y xy

xyk x

yz xy

xzk x

k )( y

za 321 , ,k

1

122 )( y)( x k k

k xz

k xzk k xx )( x

k xzk k xy)( y za sekoja gl avna oska soodvetno.

kade { to se

z y x , , nor mal ni napregawa

yz xz xy , , tangenci jal ni napr egawa

T tenzor na napregawata

321 , , gl avni napr egawa J 1 , J 2 , J 3 i nvar i janti na napr egaweto

)( y),( x k k koef i ci ent i na pr avci na gl avni oski

xzk xyk xxk , , koef i ci ent i na pr avci na gl avni napr egawa


17/256


17

1.1. Naponskata sostoba na to~ka zadadena e so tenzor ot na

napr egawata401810

18155

10512

T N/mm2. Da se najdat gl avni te

napr egawa i gl avni te pr avci na tenzorot na napregawata.

Re{ eni e:

z zy zx

yz y yx

xz xy x

T

401810

18155

10512

I nvar i jant i na napr egaweto

434015121 z y x J N/mm 2.222


50918105401540121512 222 )()( (N/mm 2)2.

7612

401810

18155

10512

3 z zy zx

yz y yx

xz xy x

J

(N/mm 2)3.

Koef i ci ent i na kubnata r avenka (kar akter i sti ~nata r avenka)

023 d cba a = 1b = –J 1 = –43c = J 2 = –509d = –J 3 = 7612

0322

13 J J J

0761250943 23

33314

13

43

3

, y y

a

b y k k k k ; 321 , ,k

03 q y p y k k ;

33112513

4350913

3

32

2

2

2 ,

)()(

a

bca p

d acbaba

q 233

279227

1

074557376121275094319432127

1 233

,)()()(

73232

10502427

331125

4

0745573

274

,

) ,() ,( pq D


18/256


18

za D > 0 casus ireducibilis

0717265105024

2

0745573

2

722

, , ,(

Dq

r

1771

20745573105024

2

7 ,

) ,( ,

tanaq

Dtana zarg

3 zk

Diq

z 2

3

2

3

23 k

sinik

cosr k

k

3k 3

p z

k k k y 7911362151 ,i ,

21953422 ,i , 479173 ,i ,

7911362151 ,i , 21953422 ,i ,

479173 ,i , 724301 , y

06852 , y 792353 , y

Gl avni napregawa

39161 , N/mm2

26592 , N/mm2

125503 , N/mm2

Pr over ka na i nvar i jati na napr egaweto

43125502659724303211 , ,) ,( J N/mm 2 12550307241255026592659724303132212 ,)( , , ,) ,( J

509 (N/mm 2)2

7612125502659724303213 , ,) ,( J (N/mm 2)3

Koef i ci ent i te na pr avci te na gl avni te oski


19/256


19

k y xy

xyk x

k y xz

xy xz

k )( x

k y xy

xyk x

yz xy

xzk x

k )( y

; 321 , ,k

1

122 )( y)( x k k

k xz

k xzk k xx )( x

k xzk k xy )( y ;

Pr va gl avna oska

92101 , xx 9932211 ,)arccos( xx 2940

1 , xy 10210711 ,)arccos( xy

25701 , xz 1017511 ,)arccos( xz

Vtora gl avna oska

3702 , xx 0511222 ,)arccos( xx 8480

2 , xy 9814722 ,)arccos( xy

37402 , xz 0126822 ,)arccos( xz

Tr eta gl avna oska

10803 , xx 29633 ,)arccos( xx 4410

3 , xy 826333 ,)arccos( xy

89103 , xz 0012733 ,)arccos( xz

matr i cata na tr ansf or maci jata e:

891044101080

374084803750

257029409210

333

222

111

, , ,

, , ,

, , ,

aaa

aaa

aaa

xz xy xx

xz xy xx

xz xy xx


20/256


20

komponenti te na tenzor ot na napr egaweto za si stemot od gl avni oski}e bi dat :

1255000

026590

003916

00

00

00

3

2

1

,

,

,

T

1.2. Sostojbata na napr egawata vo to~ka e dadena so tenzorot na

napr egawata20552

51557

525710

,

,

, ,

T MPa. Da se pr over i cvr sti nata so

pr i mena na hi potezata za najgol ema speci f i ~na speci f i ~nadef ormaci ona rabota za pr omena na f or mata ako ekvi val entnotonapregawe e= 90 MPa.

Re{ eni e:

z zy zx

yz y yx

xz xy x

,

,

, ,

T

20552

51557

525710

I nvar i jant i na napr egaweto

452015101 z y x J MPa.222


556255257201520101510 222 , , , (MPa) 2.

751718

401810

18155

10512

3 , J

z zy zx

yz y yx

xz xy x

(MPa) 3.

Koef i ci ent i na kubnata r avenka (kar akter i sti ~nata ravenka)

023 d cba a = 1b = –J 1 = –45c = J 2 = 562,5d = –J 3 = –1718,75

0322

13 J J J

0751718556245 23 , ,

1513

453 k k k k

y ya

b y ; 321 , ,k


21/256


21

03 q y p y k k ; 321 , ,k

511213

45556213

3

32

2

2

2 ,

)( ,

a

bca p

d acbabaq23

3 279227

1

253175171812755624519452

127

1 233

,) ,( ,)()(

2345249027

511242531

274

3232 ,

) ,() ,( pq D

za D < 0 kubnata ravenka i ma t r i r eal ni kor eni

6151067112 , , pr

58861510

253133

,) ,(

,cosa

r

qcosa

483183

588618102

321 ,

,cos) ,(cosr y

298183

58860618102

36022 ,

,cos) ,(cosr y

18503

58860618102

36023 ,

,cos) ,(cosr y

Gl avni napregawa

1513

453 k k k k

y ya

b y ; 321 , ,k

483331 , MPa29832 , MPa815143 , MPa

Pr over ka na i nvar i jati na napr egaweto

45815142983483333211 ,) ,( , J MPa 81514483338151429832983483333132212 , , ,) ,() ,( , J

509 (MPa) 2

7612125502659724303213 , ,) ,( J (MPa) 3

Hi poteza za najgol ema speci f i ~na def ormaci ona rabota

313221232221 e


22/256


22

298343833298343833298343833483334833348333 222 , , , , , ,) ,() ,() ,(3718 , MPa < 90 MPa.

1.3. Pr ostornata sostojba na napr egawata vo to~ka pr etstavena e so

pomo{ na tenzor na napr egaweto50050

010050

5050100

T N/mm2. Da

se opr edel i ekvi val entnoto napr egawe spored hi potezata zanajgol ema di storzi ska energi ja (hi poteza na Huber -Mi zes-Henki ).

Re{ eni e:

z zy zx

yz y yx

xz xy x

T

50050

0100505050100

N/mm 2

100 x N/mm2

100 y N/mm2

50 z N/mm2

50 yx xy N/mm2

0 zy yz N/mm2

50 zx xz N/mm2

Spored hi potezata za najgol ema di storzi ska energi ja

222222 3 xz yz xy z x z y y x z y xe 100505010010010050100100 222 )(

9217500503 222 , N/mm 2

1.4. Komponenti te na napregaweto pr i r amni nska sostojba nanapregaweto vo dadena to~ka i znesuvaat x=80 N/mm 2 , y= – 40 N/mm 2 ,

xy=40 N/mm 2. Da se opr edel at ekvi val entni te napr egawa sporedhi potezata za najgol ema dol ` i nska di l ataci ja (hi poteza naMar i ot) kako i spor ed hi potezata za najgol ema speci f i ~nadef ormaci ona rabota za pr omena na f or mata (hi poteza na Huber -Mi zes-Henki ). Poasonovi ot koef i ci ent e = 0,3.


23/256


23

x x xy

yx

y

y

xy

yx

Sl . 1.4

Re{ eni e:

Gi odreduvame gl avni te napr egawa

222221 404408021

24080

421

2 xy y x y x

,

1921 , N/mm2

1522 , N/mm2

03 N/mm 2

gi sor t i r ame

1921 , N/mm2

02 N/mm 2 1523 , N/mm

2

Ekvi val entnoto napr egawe spor ed hi potezata za najgol ema dol ` i nskadi l ataci ja (hi poteza na Mar i ot)

7107631573107192323121 , ,; ,; ,max;;maxe N/mm 2

dodeka spored hi potezata za najgol ema speci f i ~na def ormaci onar abota za promena na f ormata (hi poteza na Huber -Mi zes-Henki )

51262

1 232

231

221 ,e N/mm 2


24/256


24

x

y

1 2

OS

A

B

1 2

Sl . 1.4 a


25/256


25

2 . SL O@ENI NAPREGAWA


26/256


26


27/256


27

Pr i odr eduvaweto na napr egawata pr i sl o` eni napregawa gikor i sti me sl edni ve postapki

Pr esmet ka na koso sv i t kuvawe

Napr egaweto e

x I

M y

I M

y

y

x

x

zF M y x ; zF M x y sinF F x ; cosF F y

Ravenkata na neutral nata oska e

N x y

y x N x M

M

I I y

Ugi bi te pr i koso svi tkuvawe

x

x x I E

lF u

3

3

; y

y y I E

lF u

3

3

; 22 y x uuu

kade { to se

normal no napregawe dozvol eno normal no napr egawe

M x moment na svi tkuvawe okol u x oska M y moment na svi tkuvawe okol u y oska I x moment na i nerci ja okol u x oska I y moment na i nerci ja okol u y oska

P r es met ka na i s t ov r emeno d ejs t v o na sv i t kuv aw e i nad ol ` na s i l a

Napr egaweto e

x I

M y

I M

AF

y

y

x

x

kade { to se

F si l a A povr { i na na popr e~en presek

P r es met ka na eks c ent r i ~no dejs t v o na nad ol ` na s i l a

Napr egaweto e


28/256


28

x I

M y

I M

AF

y

y

x

x

F x yF M ; F y xF M

Ravenka na neutr al nata oska

0122

N y

F N

x

F xi

x y

i

y kade 2 x x i A I ; 2 y

y i A

I

Otse~ki te koi neutr al nata oska gi gi otsekuva od koor di natni te oski

F

y x

x

ia

2

;F

x y

y

ia

2

Pr esmet ka na i s t ovr emeno de js t vo na sv i t kuvawe i usukuvawe

22

21 21

z x x x

, M M M W

Spor ed hi potezata za najgol emo normal no napregawe

x

ee

W

M kade 22

2

1

2

1 z x xe M M M M

Spor ed hi potezata za najgol ema dol ` i nska di l ataci ja

22

21

21

z x xe M M M M

spor ed hi potezata za najgol emo tangenci jal no napr egawe

22 z xe M M M

Spored hi potezata za najgol ema speci f i ~na def or maci ona rabota zapromena na f ormata

22 z xe M M M

Spored hi potezata na Mor

22

21

21

z x xe M M M M kade

p

zK 0

0


29/256


29

Ako se r aboti za vrati l o so kr ù en popr e~en pr esek

22 y x f M M M r ezul tanten moment na svi tkuvawe

x

f

W

M ;

x

z z

W

M

W

M

20

kade { to se

tangenci jal no napr egawei x r adi us na i ner ci ja za x oskai y r adi us na i ner ci ja za y oskaW x otporen moment za x oskaW y otporen moment za yoska

M f moment na svi tkuvawe

M t moment na torzi ja M e ekvi val enten moment 0z dozvol eno napregawe na zategawe 0p dozvol eno napr egawe na pr i t i sok

I s t o v r e me no d e js t v o n a s v i t k uv a w e i s mo l kn uv a w e

y I

M

x

x z ;

x y

x y zy I b

S Q

kade { to se

Q popr e~na si l a N nadol ` na si l aS x stati ~ki momentb y debel i na


30/256


30

2.1. Si l ata F dejstvuva na kr ajot od l ostot CD i go doveduva vodvi ` ewe tr kal oto T na koe dejst vuva momentot M= 1 kNm. Dol ` i ni te na l ostovi te se sl edni l AC =l BC = 1 m . Vr ati l oto i makr ù en pr stenast pr esek so debel i na yi dot = 3 mm. Odnosot me|unadvore{ ni ot i vnatr e{ ni ot pr e~ni k e = 0,9. Dozvol enotnapregawe i znesuva 0= 160 N/mm 2 , Poasonovi ot koef i ci ent e = 0,3 .Da se opr edel i i ntenzi tetot na si l ata F. Da se konstr ui r aatdi jagr ami te na napadni te momenti , na svi tkuvawe i na usukuvawena dadeni ot nosa~. Da se di menzi oni ra vr ati l oto so ogl ed nasl o` enata sostojba na napr egawa. Da se pr i meni hi potezata nanajgol ema dol ` i nska di l ataci ja (hi poteza na Mar i ot ).

Sl . 2.1.Re{ eni e:

0 B M ;

050 M ,F sl edi 250

150 , ,

M F kN

A BC

F

M=1 kNm

F 0,5 kNm

Y = 1 kN Y = 1 kN B A

Sl . 2.1. a


31/256


31

Mf

1 kNm

Sl . 2.1. b

Mt

1 kNm

Sl . 2.1. v

Spor ed hi potezata na Mar i ot

2691112

30112

30142

12

1 2222 , , , M M M M t f f e kN

x

e

W

M 0

7510160

102691 6

0

, M W e x

mm 3

7510164

d

2

d 64

d 64

d

W 43n

n

4v

4n

x

mm 3

Od t uka se odreduva deka 376 ,d n mm.

2.2. Dadena e konzol a ABCD pr i { to dol ` i na na l ostot AC=CD=a= 2 m. Rastojani eto AB=a/ 2=1 m. Del ot od l ostot CD optereten e sokonti nui ran tovar q= 1 kN/m nor mal no na konzol ata. Vo to~kata Bdejstvuva si l a F= 2000 N . Konzol ata e i zrabotena od kr ù na cevkaso odnos me|u vnatr e{ni ot i nadvor e{ ni ot di jametar od =d v /d n=0,9 . Dozvol enoto napr egawe e 0= 200 N/mm 2. Poasonovi ot koef i ci ent

= 0,3. Da se di menzi oni r a presekot na cevkata vr z osnova nahi potezata za najgol ema dol ` i nska di l ataci ja.


32/256


32

Sl . 2.2.

Re{ eni e:

0 x M

0aaq M Ax sl edi2aq M Ax

0 y M

02a

F M Ay sl edi 2a

F M Ay

0 z M

0

2

aaq M Az sl edi

2

2aq M Az

Rezul tanten moment na svi tkuvawe

447222

2000210002

222

22222

aF aq M M M Ay Ax Af Nm

Moment na torzi ja

20002

21000

2

22aq M M

Azt Nm

x

f f W

M ;

x

t t t W

M

W

M

20

2

0

222 4

21

21

42

12

1

W M

W

M

W

M t

x

f

x

f t f f e

x

e

W

M 0

22 42

1

2

1t f f e

M M M M


33/256


33

47502000444722

3014472

2301 22 , , Nm

23750200

4750000

0 e

x M

W mm 3

23750164

2

6464 43

44

n

n

vn

xd

d

d d

W mm 3

9889012375032

3 4 ,

,d n

mm

Usvoeno d n = 90 mm

819090 ,d d nv

mm

2.3. Da se opr edel i maksi mal no dozvol enata si l a so koja mo` e da seoptovar i l i meni ot nosa~ pr i { to optovar uvaweto od sopstvenate` i na da se zeme vo pr edvi d. Da se pr i meni hi potezata na Treskapr i odreduvaweto na sl o` eni te napr egawa. Da se razgl edapresekot vo sredi nata na gr edata i toa mestoto na spojot na pojasotso rebr oto. Dozvol enot napr egawe i znesuva = 160 N/mm 2. Gusti natana materi jal ot od koj e i zraboten nosa~ot i znesuva 7800 kg/m 3.

7 m 7 m

A B

C

F

250

5 0 0

2 0

10

Sl . 2.3.

Re{ eni e:


34/256


34

7 m 7 m

A BC

F q

Y Y A B

Sl . 2.3 a.

Povr{ i na na popre~en presek na nosa~ot

6101460010460250202 A m2

sopstvena te` i na na nosa~ot

111710146008197800 6 , Agq N/m'

moment na i nerci ja na popre~ni ot presek

83

23

106461246010

2402502012

202502

, I x mm

4

22F lq

Y A

22

F lqY B

F ,F lF lq

M c 350010742414000

8140001117

487

22

M C Sl . 2.3 b.

0cQ

22222F lqF lqlqY Q Ac

QC

AY

BY

Sl . 2.3 v.


35/256


35

k k

2 0

2 3 0

250

Sl . 2.3 g.

napregawe vo presekot k–k

F , , ,

F , I M

x

38

7102159

10646

230350010742230 N/mm 2

F

F

I bS Q x

x 58

1091066410

240250202 N/mm 2

Spored hi potezata na Tr eska

16010941021594 0252322 F F , ,u N/mm 2 0255101082210471 326 F ,F ,

F max = 123979 N

2.4. Da se pr overi jakosta na dadeno vr at i l o so krù en pr stenastpopr e~en pr esek. Vnatr e{ ni ot di jametar na vrati l oto e d V = 40 mm , adebel i nata na yi dot = 4 mm. Vrati l oto e optovareno so moment nasvi tkuvawe M f = 2 kNm i moment na usukuvawe M t = 0,5 kNm . Dozvol enoto napr egawe e doz= 160 N/mm 2. Da se kor i sti hi potezatana Huber-Mi zes-Henki .

d v

Sl . 2.4.

Re{ eni e:

Nadvor e{ ni ot di jametar e 482 vn d d mmotpor ni ot i pol arni ot moment za popr e~ni ot pr esek e


36/256


36

4

44

10625

2

64 ,d

d d W

n

vn

x

mm4.

4

44

0 1024112

2

32 ,W d

d d W x

n

vn

mm 4.

Napr egawata na svi tkuvawe i torzi ja se

635 ,W

M

x

f f N/mm 2 i 44

0 ,

W

M t t N/mm 2

Ekvi val entnata jakost sprema hi potezata na Huber Mi zes Henki

4363 22 ,t f u N/mm 2 < 160doz N/mm2

2.5.. Da se opr edel i jadr oto na pr esek daden na sl i kata.

1 0 c m

6 0 c m

10 cm40 cm

A B

C

D

E

F

x

y

Sl . 2.5.

Re{ eni e:

Povr { i nata na popr e~ni ot presek e

1000401060102211 hbhb A cm2


37/256


37

Te` i { teto na prof i l ot go presmetuvame na sl edni ot na~i n

441000

65400306002211 A

y A y A y T T T cm

Moment na i nerci ja za xc –xc oskata

222

3222

11

311

21 1212e A

hbe A

hb I I I x x x

477333446540012

10404430600

126010 2

32

3 cm 4

Moment na i nerci ja za yc –yc oskata

5833312

401012

10601212

33322

31121 bhbh I I I y y y cm4

Radi usi na el i psa na i ner ci ja

637100058333

, A

I i y y cm

84211000

477333 ,

A I

i x x cm

1 0 c m

6 0 c m

10 cm40 cm

A B

C

D

E

F

2 6

4 4

xT

yT

iy

i x

T

Sl . 2.5 a.

Koor di nati te na to~ki te od prof i l ot vo odnos na koor di natni otsi stem xT T yT se dadeni vo tabel ata podol u


38/256


38

Tabel a 2.5.

e xi , cm e yi , cm x0i , cm y0i , cm A –5 –44 92,28 1,32

B 5 –44 –92,28 1,32C 20 16 –23,07 –3,64

D 20 26 –23,07 –2,24 E –20 26 23,07 –2,24F –20 16 23,07 –3,64

Koor di nati te na to~ki te od jadroto na pr esekot vo odnos nakoor di natni ot si stem xT T yT se opr edel uvaat na sl edni ot na~i n, a sepr etstaveni vo tabel ata pogore

xi yi e

i x

2

0 ; yi xi ei y

2

0

1 0 c m

6 0 c m

10 cm40 cm

A B

C

D

E

F

2 6

4 4

xT

yT

xoA

xoE

y o A

y 0 D

y o C

T

Sl . 2.5 b.


39/256


39

3 . OP REDEL EUV AWE NAP O MES TUVAWA KAJ S TATI ^ KI

OP REDEL ENI KONS TRUKCI I


40/256


40


41/256


41

Pr i odr eduvawe na pomestuvawata na oddel ni to~ki od stati ~kiopr edel eni konstr ukci i se kor i stat sl edni ve postapki

Kas t i q anov a t eor ema

Dokol ku e potr ebno da se opr edel i generi l i zi r anoto pomestuvawe nanekoja to~ka i vo koja ne dejstvuva gener al i zi rana si l a Q, toga{ vonabq uduvanata to~ka se dodava f i kti vna gener al i zi r ana si l a koja eednakva na nul a Q0=0 i se pr i menuva vtorata Kast i q anova teor ema

Pomestuvaweto e

000 QQ A

q d

dodeka def ormaci onata r abota e

dz) z( I E ) z( M

dz) z( I G

) z( M dz

) z( A E

) z( N A

n

m

b

a x

xn

m

b

a

t n

m

b

ad

m

m

m

m

m

m 1

2

1 0

2

1

2

21

21

21

dz) z( AG

) z(Qdz

) z( AG

) z(Qdz

) z( I E

) z( M n

m

b

a y

xn

m

b

a x

yn

m

b

a y

ym

m

m

m

m

m

12

1

2

1

2

21

21

21

pa pomestuvaweto e

dzQ M

I E

Q M

dzQ

M

I G

Q M

dzQ N

A E

Q N

QQ

Aq x

n

m

b

a x

xt

n

m

b

a

t n

m

b

a

d m

m

m

m

m

m01

0

01 0

0

01

0

00

000

0

dzQ

Q

AG

QQ

dzQ

Q

AG

QQ

dzQ

M

I E

Q M

yn

m

b

a x

y x

n

m

b

a y

x y

n

m

b

a y

y m

m

m

m

m

m01

0

01

0

01

0 000

kade { to se

q general i zi r ano pomestuvawe Ad def or maci ona r abotaQ gener al i zi r ana si l a

E modul na el asti ~nost A povr { i na na popr e~en presekG modul na l i zgawe

I 0 pol aren moment na i nerci ja I x moment na i nerci ja okol u x oska I y moment na i nerci ja okol u y oska

N aksi jal na si l a M t moment na torzi ja


42/256


42

M x moment na svi tkuvawe okol u x oska M y moment na svi tkuvawe okol u y oskaQ x popr e~na si l a vo x pr avecQ y popr e~na si l a vo y pr avec

Mor ova met oda za pr esmet uvawe na pomest uvawat a

Pr i opredel uvaweto na general i zi r anoto pomestuvawe na nekojato~ka od dadena konstr ukci ja ako na nea ne dejstvuva nadvore{na si l ase dodava f i kti vna edi ne~na gener al i zi r ana si l a Q0 vo nasokatakade {to se bara pomestuvaweto. Na pr i mer ako se bara l i ni skopomestuvawe se dodava pomo{na si l a F 0, a ako se bara agol nopomest uvawe se dodava pomo{ en spreg M 0.

Def ormaci onata rabota e

dz I E M F M

dz I G

M F M dz

A E N F N

An

m

b

a x

xoq

xn

m

b

a

t oqt

n

m

b

a

oq

d

m

m

m

m

m

m 11 0121

21

21

dz A E

QF Qk dz

AG

QF Qk dz

I E

M F M n

m

b

a

xoq

x xn

m

b

a

xoq

x yn

m

b

a y

yoq

ym

m

m

m

m

m

111 21

21

21

pomestuvaweto e

dz I E M M

dz I G M M

dz A E N N

F F A

qn

m

b

a x

xq

xn

m

b

a

t qt

n

m

b

a

qd

m

m

m

m

m

m 11 01001

dz AG

QQk dz

AG

QQk dz

I E

M M n

m

b

a

yq

y xn

m

b

a

xq

x yn

m

b

a y

yq

ym

m

m

m

m

m

111

kade { to se

F 0 pomo{na si l aq N si l a od dejstvo na tovar ot

N si l a od dejstvo na pomo{nata edi ne~na si l aqt M moment na torzi ja od tovar

t M moment na torzi ja od pomo{nata edi ne~na si l aq

x M moment na svi tkuvawe okol u x oska od tovar

x M moment na svi tkuvawe okol u x oska od pomo{na si l aq

y M moment na svi tkuvawe okol u y oska od tovar

y M moment na svi tkuvawe okol u y oska od pomo{na si l a


43/256


43

q xQ popr e~na si l a vo x pravec od dejstvo na tovar

xQ popr e~na si l a vo x pravec od dejstvo na pomo{na si l aq

yQ popr e~na si l a vo y pravec od dejstvo na tovar

yQ popr e~na si l a vo y pravec od dejstvo na pomo{na si l a

P r av i l o na Ver e{ ~agi n

I ntegr al ot na proi zvodot od dve f unkci i od koi ednata mor a da bi del i nearna e ednakov na pr oi zvodot na povr{ i nata ( A ) pod kri vata napr oi zvol nata f unkci ja (f 2) i vr ednosta na l i near nata f unkci ja (f 1) namestoto koe {to soodvetsvuva na pol o` bata na te` i { teto napovr { i nata pod kri vata na pr oi zvol nata f unkci ja zT.

A) z( f dz) z( f ) z( f I T l

10

21

b za) z( f T T 1

so kor i stewe na ova pravi l o kaj konstr ukci i napr egnati i stovr emenona svi tkuvawe i torzi ja sl edi deka pomestuvaweto e

m

t tmm

qt

m y

ymm

q y

m x

xmm

q x

I E A

I E

A

I E A

q

mt

*qt

m y

*q y

m x

*q x A A A

xmm

q x*q

x I E

A A ;

ymm

q y*q

y I E

A A ;

tmm

qt *q

t I E

A A

kade { to se

qi A povr { i na na di jagr amot na napadnata gol emi na odzadadenoto opteretuvawe ( nadol ` na si l a, popr e~na si l a,

moment na svi tkuvawe, moment na torzi ja)i ordi nata na di jagr amot na napadnata gol emi na od

edi ne~noto opteretuvawe 1iS mer eno na mestoto na

te` i { teto na povr { i nata q A


44/256


44

3.1. Pr osta gr eda so pr epust optovar ena e so ramnomeren konti nui r antovar q spr ema sl i kata vo srednoto pol e AB. Modul ot nael asti ~nost e E, a momentot na i ner ci ja na presekot na gr edata e I.Da se opr edel i ver t i kal noto pomestuvawe na kr ajot od pr epustotvo to~kata C.

A B C EI

q

a a/2

Sl . 3.1.

Re{ eni e:

J a kori sti me metodata na Maksvel so dodavawe na edi ne~na si l a vopravec na baranoto pomestuvawe

A B C EI

q

a a/2

Y Aq Y Bq z1 z2

Sl . 3.1 a.

Reakci i te vo potpor i te od dejstvoto na tovar ot se opr edel uvaat odusl ovi te za r amnot è a

2

aqY

Aq;

2

aqY

Bq

dodeka moment i te od dejstvoto na tovarot dadeni se vo tabel atapodol u

Mqq a / 8 2

Sl . 3.1 b.


45/256


45

Reakci i te vo potpor i te od dejstvoto na edi ne~nata si l a se

21

AY ; 23

BY

dodeka momenti te od dejstvoto na edi ne~nata si l a dadeni se votabel ata podol u

A B C EI

a a/2

Y A Y B

z1 z2

S = 1

Sl . 3.1 v.

M

- a / 2

Sl . 3.1 g.

Tabel a 3.1.

m m z ) z( M mq ) z( M m 1 a z 10

22

21

1 zq

zaq

121

z

2

20

2

a z 0 2 z

Pomestuvaweto vo pr avec na edi ne~nata si l a e

I E aq

z M z M z M z M I E

dz I E

z M z M / aq

a

q

n

m

b

am

mmqC

m

m

481 42

022

011

1


46/256


46

3.2. Da se opr edel i hori zontal noto pomestuvawe na to~kata C oddadeni ot nosa~ ABC so f orma i di menzi i spr ema ski cata. Nosa~ote optovar en so hor i zontal na si l a F koja dejstvuva vo podvi ` natapotpora C. K r utosta na svi tkuvawe na cel i ot nosa~e E I.

A B

C F

E,I

E,I

a a

a

Sl . 3.2.

Re{ eni e:

Reakci i te vo potpor i te A i C gi odr eduvame od usl ovi te za ramnote` a

A B

C F

E,I

E,I

a a

a

Y

Y

X A

A

C

Sl . 3.2 a.

0 A M

02 aY aF C sl edi F Y C 21

0i X 0F X A sl edi F X A

0iY

0C A Y Y sl edi F Y A 21


47/256


47

Gi odr eduvame moment i te po soodvetni segmenti od nosa~ot

-1/2 F a

M

Sl . 3.2 b.

a z 10

111 21

zF zY ) z( M A

20 2 a z

2222 42

22

22

zF

zF zY ) z( M C

Tabel a 3.2.

m zm M q(zm)1 a z 10 12

1 zF

2 20 2 a z 24

2 z

F

Bi dej}i vo pr avec na baranoto pomestuvawe ve}e dejstvuvanadvore{na si l a ja odreduvame def ormaci onata r abota

mn

m

b

a m

mq

d dz I E

) z( M

A

m

m1

2

21

I E

aF dz z

F dz zF

I E

aa

2421

42

21

21 322

02

2

20

1

2

1

Pomestuvaweto vo to~kata C

I E

aF F

Ad C 12

213


48/256


48

3.3. Daden e nosa~so konstantna kr utost . Da se opr edel i ver ti kal notopomestuvawet o vo to~kata C.

A

B C Dq

a a a

a

Sl . 3.3.

Re{ eni e:

Za da go opr edel i me pomestuvaweto ja kor i sti me Kasi q anovatateor ema i dodavame si l a F 0= 0 vo to~kata C vo pravec kade tr eba da goodredi me pomestuvaweto pa gi odreduvame r ekaci i te vo potpori te odusl ovi te za r amnot è a

A

B C D

q

a a a

a

X

Y

z1

F = 0 z2

z3

A

Y A

D

0

Sl . 3.3 a.


49/256


49

0 A M

0322 0

aY aF aaq D sl edi 032

61

F aqY D

0iY

00 D A Y F aqY sl edi 031

65 F aqY A

Momenti te po segmenti se sl edni ve

20 1 a z 2110

2111 4

122

31

65

4521

45 zq zF aq) z(cosqcos zY ) z( M A

a z 20

2022 32

61 zF aq zY ) z( M D

a za 23

aF zF aqa zF zY ) z( M D

0303033 31

61

20 1 a z

10

1

62

zF

) z( M

a z 20

20

2

32

zF

) z( M

a za 23

a zF

) z( M 3

0

3

31

20 1 a z 21101 4

112

250 zq zaq)F , z( M

a z 20 202 6

10 zaq)F , z( M

a za 23

303 61

0 zaq)F , z( M


50/256


50

Tabel a 3.3.

m zm M(zm) )F , z( M m 00 0F

) z( M m

120 1 a z

2110 41

22

31

65 zq zF aq

211 41

1225 zq zaq

162 z

2 a z 20 203

261

zF aq

261

zaq 232

z

3 a za 23 aF zF aq

03031

61

361

zaq a z 331

pomestuvaweto na to~kat a C se pr esmetuva na sl edni ov na~i n

mi

mi

b

am

mm

n

mC dzF

) z( M )F , z( M

I E F F Ad

00

1000

10

22

0211

2

0

211 3

261

62

41

12251

dz z zaqdz z zq zaq I E

aa

I E aq

dza z zaqa

a

4

33

2

3 1922

10811

31

61

3.4. Da se opr edel i hori zontal noto pomestuvawe na potpor ata C oddadeni ot nosa~pr i kà an na ski cata.

a a

a

A

B C

q

E,I

Sl . 3.4. Re{ eni e:

Gi oder eduvame reakci i te vo potpor i te od dejstvo na tovar


51/256


51

a a

a

A

B

Cq

q

E,I

Y

z1 z2

Y

Aq

Sl . 3.4 a.

0 A M

031

22

aaaq

aY Cq sl edi aqY Cq 31

0iY

02 Cq Aq Y aq

Y sl edi aqY Aq 61

0i X

0 Aq X

Mq

q a / 6

2 q a / 27 2

2

Sl . 3.4 b.

Gi odreduvame momenti te od tovar ot po poodel ni segmenti od nosa~ot

20 1 a z

111 122

22

zaq

zY ) z( M Aqq


52/256


52

a z 20 2222

222 6

131

31

2 zq zaq z

zq zY ) z( M Cqq

Dodavame edi ne~na si l a vo pravec na bar anoto pomestuvawe i giodereduvame reakci i te vo potpor i te od dejstvoto na edi ne~nata si l a

a a

a

A

B

C E,I

Y

z1 z2

Y

A

X A

S = 1

Sl . 3.4 v.

0 A M

02 aY a X C sl edi 21

C Y 0iY

sl edi21

AY

0i X 0S X A sl edi 1 A X

Gi odreduvame momenti te od edi ne~na si l a po soodvetni segment i odnosa~ot

20 1 a z

1111 42

22

22

z z X zY ) z( M A A

a z 20

222 21

z zY ) z( M C


53/256


53

M

- a / 2- a / 2

Sl . 3.4 g.

Tabel a 3.4.

m zm ) z( M mq ) z( M m 1 20 1 a z

1122

zaq

142

z

2 a z 20 222 6

131

zq zaq 221

z

Pomestuvawet o go odr eduvame so pomo{ na metodot na Maksvel

nm

m

b

a mm

mmq D dz I E

) z( M ) z( M m

m1

2

02

2221

2

011 2

161

31

42

1221

dz z zq zaqdz z zaq

I E

aa

I E aq

,3

083130


54/256


54

3.5. Da se opr edel i hor i zontal noto pomestuvawe vo to~kata D odnosa~ot pr i ka` an na sl i kata. Nosa~ot e asi metr i ~no optovaren sor amnomeren konti nui r an tovar q, a l ostot CD e kruto povr r zan zagr edata vo sredi nata.

3 a / 4

a

A

D

C

q

a

E,I B

E,I

Sl . 3.5.

Re{ eni e:

Pr vo go odreduvame di jagr amot na momenti te pr edi zvi kani odtovar i te

3 a / 4

a

Y

A

q A

D

C E,I

1 z

q

a

E,I

3 z BqY

B

2 z

Sl . 3.5 a.

Mq

q a / 42

Sl . 3.5 b.

Reakci i te vo potpor i te se

0 A M


55/256


55

02

2 aaqaY Bq sl edi aqY Bq 41

0iY

04

1aqaqY Aq sl edi aqY Aq

4

3

a z 10

243 1

11 z

aq zaq) z( M q

a z 20

22 41

zaq) z( M q

a z43

0 3

03 ) z( M q

Potoa go odreduvame di jagr amot na moment i te pr edi zvi kani odedi ne~nata si l a

E,I 3 a / 4

a

Y A

A X

A

D

C

1 z

aS = 1

3 z E,I

BY

B

2 z

Sl . 3.5 v.

3 a/8

- 3 a/4

M

- 3 a/8

Sl . 3.5. g.


56/256


56


0 A M

02

4

3aY aS B sl edi

8

3 BY

0iY

0 B A Y Y sl edi 83

A A Y Y

0i X 0 X X A sl edi 1S X A

a z 10

11

8

3 z) z( M

a z 20

22 83

z) z( M

a z43

0 3

33 43

z) z( M

Tabel a 3.5.

m zm ) z( M mq ) z( M m

1 a z 10 24

3 11

zaq zaq 18

3 z

2 a z 20 24

1 zaq 28

3 z

3a z

43

0 3 0

343

z

Pomestuvaweto vo to~kata D

1

01

11

1 83

2431

dz z z

aq zaq I E

dz I E

) z( M ) z( M an

mm

b

a mm

mimq D

m

m

I E aq

dz zadz z zaq

aa

6443

083

41 4

3

43

032

022


57/256


57

3.6. Da se opr edel i hori zontal noto pomestuvawe na to~kata C zar amkata pr etstavena na sl i kata. Da se opr edel i def or maci onatar abota. Momentot na i ner ci ja na gr edata BD e dvojno pogol emodmomentot na i ner ci ja na na stol bovi te.

A

B

C

D

H

I

2I

q

F

I I

a

a

a

Sl . 3.6.

Re{ eni e:

Bi dej}i ve}e postoi si l a koja dejstvuva vo pr avec na bar anotopomestuvwe ja opr edel uvame def ormaci onata rabota.Pr vo go odreduvame di jagr amot na momenti te pr edi zvi kani odtovar i te


58/256


58

A

B

C

D

H

I

2I

q

F

I I

a

a

a

1

2

3

4 z z

z

z

Y Y

X

A

A

H

Sl . 3.6. a.


0 A M

022

aF aaqaY H sl edi aqF Y H 212

0iY

0 H A Y aqY sl edi F aqY A 221

0i X 0F X A sl edi F X A

a z 10 11 zF ) z( M

a z 20

aan

m

b

am

mqd dz

I

zF dz

I

zF

E dz

I E

z M A

m

m 02

22

01

21

1

2

2

1

2

1

a z 30

221

2 3333 z

zq zaqF ) z( M

a z 40 04 ) z( M


59/256


59

Tabel a 3.6.

i zm ) z( M mq

1 a z 1

0 1

zF 2 a z 20 2 zF 3 a z 30

221

2 333 z

zq zaqF

4 a z 40 0


aan

m

b

a

m

mm

mqd dz I

zF dz

I zF

E dz

I E

z M A

m

m 0

2

22

0

1

21

1

2

21

21

aa

dz I

dz I

z zq zaqF

04

2

03

23

330

222

12

I E aq

I E aqF

I E aF 52432

4801

241

32


I E aq

I E aF

F Ad

C

43

121

34

3.7. Dadena e konstr ukci ja so pr omenl i va kr utost sprema cr te` ot. AkoF 1=F 2=F i F=q·a da se opr edel i ver t i kal noto pomestuvawe voto~kata V.

A B

H V

q

F

1

2

EI

2EI

F

a EI

a

a a Sl . 3.7.


60/256


60

Re{ eni e:

Gi odreduvame reakci i te vo potpor i te pr i kà ani na sl . 3.7 a, odusl ovi te za r amnot è a

A BC

H V EI

2EI

a EI

a a AY BY

A X

F 1

q

2F

Sl . 3.7. a

F X A

F Y A 23

F Y B 21

Za da se opredel i ver t i kal noto pomestuvawe vo to~kata V , dodavameedi ne~na ver t i kal na si l a 11 S . P otoa gi odr eduvame di jagr ami te namoment i te od tovar i te i od edi ne~nata si l a pr i kà ani na sl . 3.7 b isl . 3.7 v.


61/256


61

M q

- F aF a / 2

1 / 2 q a 2

- F a / 2

- F a / 2

Sl . 3.7 b.

A BC

H V EI

2EI

a EI

a a AY BY

A X

S V

Sl . 3.7 v.

So kori stewe na metodot na Vere{~agi n za mnò ewe na di jagr ami te godobi vame pomestuvawet o vo t o~kata V.


62/256


62

M

a

a

a

a

Sl . 3.7 g.

aaF aaaaF I E aa

aF I E

A I E

n

mm

qmV 3

2222

131

21

211

1

3

24224

323

1 22 aaqaa

aqa

aaqa I E

I E aF

V 24

3


63/256


63

3.8. Dadena e stati ~ki odredena ramka so pr omenl i va krutost spremaski cata. Da se nacr taat stat i ~ki te di jagr ami na popre~ni te si l i imomenti na svi tkuvawe ako e M=q·a 2 i so metodot na edi ne~nioptovaruvawa (Maksvel –Mor ovi i ntegr al i ) da se opredel ivert i kal noto pomestuvawe vo to~kata V.

2a

a

a

A B

C V

M

q

2EI

EI

EI

Sl . 3.8.

Re{ eni e:

Za da go opredel i me ver t i kal noto pomestuvawe vo to~ka V t r eba dadodademe edi ne~na ver t i kal na si l a vo to~kata V koja }e dejstvuva vopr avec na verti kal noto pomestuvawe. Potoa gi opr edel uvamemoment i te od tovar i te i od edi ne~nata si l a pr i kà ani vo tabel ata ina sl i ki te sl . 3.8 a i sl . 3.8 b.Od usl ovi te za ramnote` a gi odreduvame reakci i te vo potpor i te

2a

a

a

A B

C

V M

q

2EI

EI

EI

X A

Y A Y B

z1

3 z 2 z

Sl . 3.8. a.


64/256


64

2aq

Y A ; 23 aq

Y B i

q a / 8 2

2- q a

Mq

2- q a

2- q a

Sl . 3.8 b.

2a

a

a

A B

C

V

2EI

EI

EI

X A

Y A Y B

1S = 1

z1

3 z 2 z

Sl . 3.8 v.

21

AY ; 23

BY


65/256


65

- a

- z/2

- z

M

Sl . 3.8 g.

Tabel a 3.8.

m m z M q(zm) ) z( M m1

1 a zi 0 –M –z2 a z 20 –M –a3 a z 20 3

22

za

M ) za(q

2 z

I E aq

I E a M dz

I E ) z( M ) z( M

m

b

am

mmqV 66

11 423

1

1

3.9. Za ramkata dadena na sl i kata so pr omenl i va kr utost nasvi tkuvawe da se opredel i hori zontal noto pomestuvawe nato~kata C .

A B

C

EI

2EI

F

EI EI

a a

a

Sl . 3.9.


66/256


66

Re{ eni e:

A B

C

EI

2EI

F

EI EI

a a

a

Y M

X

qA

qA

qA

Sl . 3.9 a.

Od usl ovi te za r amnote` a gi opr edel uvame reakci i te vo potpor i te

0 A X ; 0 AY ; aF M A 2

- F a

Mq

- F a

- F a

- 2 F a

Sl . 3.9 b.

Za da go opr edel i me hor i zontal noto pomestuvawe gi kori sti meKast i q anovi te teor emi odnosno dodavame si l a 00 F vo pravec napomestuvaweto pa sl edi


67/256


67

A B

C

EI

2EI

F

EI EI

a a

a

F = 00

13

4

z

z

z

z

2

Sl . 3.9 v.

Tabel a 3.9.

m m z m z M )F , z( M m 00 H

m

F

) z( M

1 a z 10 zF H 0 -z2 a z 20 zF aF H zF -a3 a z 30 aF zF H aF -z

4 a z 40 zaF zaF 0

m

m

b

am

mm

m mF

d C dzF

) z( M )F , z( M

I E F A

00

4

1000

1

0

I E aF

dz zaF I E

dza zF I E

aa 3

00

11

Hor i zontal noto pomestuvawe mo` eme da go opr edel i me i so pomo{ na

pravi l oto na Ver e{~agi n odnosno dodavame edi ne~na si l a vo to~kataC vo pravec na baranoto pomestuvawe. Ot kako }e gi nacr tamedi jagr ami te na momenti te od edi ne~nata si l a pr i stapuvame konmnò ewe na di jagr ami te


68/256


68

A B

C

EI

2EI

EI EI

a a

a

S = 11

Sl . 3.9. g.

M

- a

- a

- a

- a

Sl . 3.9. d.

4

1

1

mm

qm

mC A I E

I E aF a

aF a I E

aaF a

I E

3

21

21


69/256


69

3.10. Konstr ukci jata na sl i kata e sostavena od gr edata AB so momentna i ner ci ja na pr esekot I i nosa~ot BCD so moment na i ner ci ja napr esekot 2I. Gredata i nosa~ot zgl obno se povr zani vo to~ki te A, Bi D. Konstr ukci jata e optovar ena so si l a G vo to~kata H. Da senacr ta di jagr amot na napadni te momenti na nosa~ot, da se opredel i

def ormaci onata r abota i da se najde ugi bot vo to~kata H.

a a

2a

A B

C D

F

H I

2I

2I

Sl . 3.10.

Re{ eni e:

Konstr ukci jata ja del i me na dva del a vo to~kata B i vl i jani eto nadel ot { to go otstr anuvame go zamenuvame so soodvetni si l i kako { toe pr i ka` ano na sl i ki te podol u

a

A B

F

H I

a

Y B

B X

X A

Y A

Sl . 3.10 a.


70/256


70

a

2a

B

C D

2I

2I

X

Y

X

Y

D

D

B

B

Sl . 3.10 b.

Od usl ovi te za r amnote` a gi odreduvame r eakci i te

od 0 D M sl edi02 aY a X B B ; B B Y X 2

od 0 A M sl edi

02 aF aY B ; 2F

Y B ; F X B

od 01 )( X sl edi0 B A X X ; F X X B A

od 01 )(Y sl edi

0 B A Y F Y ; 2F

Y A

od 02 )( X sl edi0 B D X X ; F X D

od 02 )(Y sl edi

0 B D Y Y ; 2F Y D

Di jagr ami te na moment i te se


71/256


71

1/2 F a

F a

F a

Mq

Sl . 3.10 v.

Def ormaci onata rabota ja presmetuvame so metodata na Vere{~agi n

aF aaF aF aaF I E

aF aaF

I E A A

m

b

am

qmd

m

m32

223

2222

123

22

222

121

I E aF 32

127

Pomestuvaweto vo mestoto kade dejstvuva si l ata F e

I E aF

F Ad

H

3

67


72/256


72

3.11. Vo to~kata na vrzuvawe na na dvata stapa AB i BC dejstvuvahor i zontal na si l a F . St apovi te se i zr aboteni od i st mater i jal somodul na el ast i ~nost E . Povr { i nata na popre~ni ot pr esek nastapot AB e A, dodeka na stapot BC povr { i nata na popr e~ni otpr esek e 2A. St apovi te se so dol ` i na l i se zgl obno povr zani na

svoi te kraevi . Da se najde verti kal noto pomestuvawe na to~kata B.

l

A

B

C

F

E,A E,2A a

a a

Sl . 3.11.

Re{ eni e:

Si l i te vo stapovi te od dejstvo na si l ata i od dejstvo na edi ne~natasi l a { to se dodava vo pr avec na baranoto pomestuvawe dadeni se votabel ata { to sl eduva

A

B

C

F

Nq1 Nq2

Sl . 3.11 a.


73/256


73

A

B

C

S = 1

N 1 N 2

Sl . 3.11 b.

Tabel a 3.11.i qi N i N il

1

2

F

2

1

l

2

2

F

2

1

l

Verti kal noto pomestuvawe na to~kata B e

A E lF

lF

A E l

F A E

dz A E

l N N n

ii

l

ii

iiqi B

41

2

1

221

2

1

2

1

1 0


74/256


74

3.12. Na r e{etkata pretstavena na cr te` ot vo to~kata H dejstvuvasi l a F= 6 kN, povr{ i nata na popr e~ni ot pr esek na stapovi te e A= 2cm2 , a modul ot na el asti ~nost E= 2,1 104 kN/cm 2. Rastojani eto a= 2 m. Da se opr edel i ver t i kal noto pomestuvawe na to~kata E ivert i kal noto pomestuvawe na to~kata H.

a a a

a

A

B

C

D

E

G H

F

Sl . 3.12.

Re{ eni e:

Reakci i vo potpor i te od dejstvo na si l ata F

a a a

a

A

B

C

D

E

G H

F

Y qA

X qA

X qB 1

2

3

45

6 7

8 9

10

11

Sl . 3.12 a.

0 A M 026 Bq X F sl edi 18 Bq X kN

0i X

0 Bq Aq X X sl edi 18 Bq Aq X X kN


75/256


75

0iY 0F Y Aq sl edi 18F Y Aq kN

Gi odreduvame si l i te vo stapovi te koi se zapi { ani vo tabel ata

Reakci i vo potpor i te od dejsvo na edi ne~na si l a 1S

a a a

a

A

B

C

D

E

G H

S = 1Y A

X A

X B 1

2

3

45

6 7

8 9

10

11

Sl . 3.12 b.

0 A

M 024 B X S sl edi 2 B X kN

0i X 0 B A X X sl edi 2 B A X X kN

0iY 0S Y A sl edi 1S Y A kN



76/256


76

Tabel a 3.12.

i N qi i N li

1 6 0 22 -8,5 0 2,83 6 0 24 0 0 25 8,5 1,41 2,86 -12 -1 27 -12 -1 28 0 0 29 -8,5 -1,41 2,8

10 18 2 211 0 0 2


82221

21 11

1

211

1 0

2

, A E

l N dz

A E

N A

i ii

iqi

ii

l

ii

qid J

pomestuvaweto vo to~kata H

H d F A 21 sl edi 67

682222

, ,

F Ad

H mm

pomestuvaweto vo to~kata E

411

1

11

1 0

10544 , A E l N N

dz A E

N N

i ii

iiqi

ii

l

ii

iqi E m

3.13. Da se opr edel i ver t i kal noto pomestuvawe na to~kata C odr e{ etkastata konstr ukci ja pr i kà ana na sl i kat a.

A

B

C

2A F A

2A

a

a

Sl . 3.13.


77/256


77

Re{ eni e:

Reakci i te vo potpor i te gi opr edel uvame od usl ovi te za ramnote` a

A

B

C

1 F 2

3

a

a

X AY A

X B

Sl . 3.13 a.

0 A M 0a X aF Bq sl edi F X Bq

0i X 0 Bq A X X sl edi F X X Bq A

0iY 0F Y A sl edi F Y A


Tabel a 3.13.

i l i Ai N i 1 A 2A –F2 2a A 2F

3 A 2A –F

Def ormaci onata r abota e

AaF

AaF

AaF

E A E

l N dz

A E

N A

i i

iii

i

l

i

id 2

222

121

21 2

223

1

23

1 0

2

22121 2

AaF

E


A E aF

F Ad

C 221


78/256


78


79/256


79

4 . S TATI ^ KI NEOP REDEL ENIKONS TRUKCI I


80/256


80


81/256


81

Pr i pr esmetka na stati ~ki neopr edel eni te konstr ukci i se kor i statsl edni ve postapki

P r e sme t k a po me t o d at a na s i l i

Kanons ki r av enki po met od ot na s i l i

Kanonski te r avenki na metodot na si l i go i maat sl edni ov obl i k

01

qi

k

j jij S

kade { to se

ij vl i jatel ni koef i ci enti na el asti ~nost

qi pomestuvawa na to~ki te poradi nadvor e{ni opteretuvawa

jS pr ekubr ojni stati ~ki nepoznati

P r esmet ka na v l i jat e l ni koef i c i ent i na el as t i ~nos t ipomes t uv aw at a na t o ~ki t e so pomo{ na Maks v el M or ov i t e i nt egr al i

jimmim jm m

ij dz) z( M ) z( M I E 1

mmimqm m

qj dz) z( M ) z( M I E 1

kade { to se

E modul na el asti ~nost I moment na i nerci ja

) z( M mi moment na svi tkuvawe od dejstvo na edi ne~na si l a iS ) z( M m j moment na svi tkuvawe od dejstvo na edi ne~na si l a jS

) z( M mq moment na svi tkuvawe od dejstvo na tovar q

P r esmet ka na v l i jat e l ni koef i c i ent i na el as t i ~nos t ip ome s t uv a w at a na t o ~k i t e s o po mo { n a p os t a pka t a na Ver e{ ~a gi n

ji jim m

i jm m

ij A I E A

I E 11

iqm m

qj A I E 1


82/256


82

kade { to se

j A povr { i na na di jagr amot na napadnata gol emi na odedi ne~noto opteretuvawe 1 jS

i A povr { i na na di jagr amot na napadnata gol emi na od

edi ne~noto opteretuvawe 1iS qi A povr { i na na di jagr amot na napadnata gol emi na odzadadenoto opteretuvawe ( nadol ` na si l a, popr e~na si l a,

moment na svi tkuvawe, moment na torzi ja)i ordi nata na di jagr amot na napadnata gol emi na od

edi ne~noto opteretuvawe 1iS mer eno na mestoto na

te` i { teto na povr { i nata q A

S o pr es met ki t e s e opf at eni s l ed ni v e s l u~ai :

P r es met ka na na s t at i ~ki neopr ed el eni gr ed i pr i s vi t kuv aw e

P r es met ka na kont i nui r ani nos a~i

Pr esmet ka na r amni nska r amka

P r e sme t k a na r a mn i n ska r e{ e t k a

P r e sme t k a na gr e da so el a st i ~no po t p i r aw e

P r es met ka na vkr s t eni gr ed i

Kor i s t e w e na si met r i ja kaj kons t r ukc i i t e

Kanons ki r av enki pr i pr es met ka na t emper at ur ni v l i jani ja

K an on s ki r a v en ki p r i p r e sme t ka na po me s t uv a w e n a p ot p or i

P r e s me t ka na p ome s t uv a w e ka j s t a t i ~k i ne op r ed e l e ni n os a ~i

P r e sme t k a po me t o d ot n a d ef o r ma ci i


83/256


83

4.1. Da se konstr ui r aat di jagr ami te na prese~ni te si l i i momenti M, Q, N na dadeni ot stati ~ki neopr edel en nosa~.

a a

A B C

q

E,I

Sl . 4.1.

Re{ eni e:

Ekvi val entni ot si stem e pr i ka` an podol u. Se dobi va sootst r anuvawe na odvi {ni te vr ski i zamena na ni vnoto dejstvo sonepoznat i si l i pr i { to gr edata pr emi nuva vo stati ~ki opr edel ennosa~.

a a

A B C E,I

S 1

Sl . 4.1 a.Pr vo gi odreduvame di jagr ami te na moment i te od dejstvo na tovarot q.Reakci i vo potpor i te .

a a

A B C

q

E,I

Y BqY Aq

z2

1 z

Sl . 4.1 b.

Mq

Sl . 4.1 v.


84/256


84

0 A M

02

aY a

aq Bq sl edi 2aq

Y Bq

0Y

0 Bq Aq Y aqY sl edi 2aqY Aq

a z 10

2221

111

111 z

zq zaq z

zq zY z M Aqq

a z 20 02 z M q

Potoa gi odreduvame di jagr ami te na momenti te od dejstvo naedi ne~nata si l a . Reakci i te vo potpor i te se opr edel uvaat od usl ovi teza ramnote` a .

a a

A B C E,I

Y BY A

1S = 1

z21 z

Sl . 4.1 g.

M 1

Sl . 4.1 d.

0 A M

021 aS aY B sl edi 2 BY 0Y

01 S Y Y B A sl edi 1 AY

a z 10 111 z z M

a z 20 221 z z M


85/256


85

Tabel a 4.1.

m zm mq z M m z M 1 1 a z

10

221

11 z

zq zaq

z1

2 a z 20 0 z2

01111 qS

I E a

dz z I E

dz I E

) z( M an

m

b

am

mm

m

322 3

10

21

1

21

11

I E aq

dz) z(

zq

zaq

I E dz I E

) z( M ) z( M an

m

b

am

mmq

q

m

m

24221 4

10

1

21

11

1

1

0243

2 41

3

I E aq

S I E

a sl edi161

aqS

Reakci i vo potpor i te .

0 A M

022 1

aS aY aaq B sl edi 85 aq

Y B

0Y

01 S Y aqY B A sl edi 167 aq

Y A ; aqY C 161

2

51263

aq M max ; Q= 0 za a x 167

2

161

aq M B

aqQ A 167

aqQ B 85

aqQC 161

M Mmax

M B

Sl . 4.1 |.


86/256


86

Q Bl

Q A

Q Bd QC

Q

Sl . 4.1 e.

4.2. Da se konstr ui r aat di jagr ami te na stat i ~ki te gol emi ni (napadni otmoment na svi tkuvawe M, popr e~nata si l a Q i nadol ` nata si l a N )na nosa~ot pr i ka` an na ski cata.

3 a / 4

a

A

D

C

q

a

E,I

E,I B

Sl . 4.2.

Re{ eni e:

Osnovni ot stat i ~ki odreden si steme sl edni ot

3 a / 4

a

A

D

C

q

a

E,I

E,I B

S 1

Sl . 4.2 a.


87/256


87

Gi odr eduvame r eakci i te vo potpor i te od dejstvo na tovarot imomenti te po segmenti od nosa~ot

3 a / 4

a

A

D

C

q

a

E,I E,I

B

z3

1 z 2 z

Sl . 4.2 b.

Mq

Sl . 4.2 v.

0 A M

022

aY a

aq Bq

sl edi

aqY Bq

4

1

0iY

0 Bq Aq Y aqY sl edi aqY Aq 43

a z 10

2111111 21

43

2 zq zaq

z zq zY z M Aq

a z 20

222 41

zaq zY z M Bq

a z43

0 3

03 z M q

Gi odr eduvame reakci i te vo potpor i te i momenti te po segment i odnosa~ot od edi ne~na si l a 11 S


88/256


88

3 a / 4

a

A

D

C

a

E,I

E,I B

z3

1 z

2 z

S = 11

Sl . 4.2 g.

M

- 3/4

3/8

- 3/8

Sl . 4.2 d.

0 A M 0

43

2 1 aS aY B sl edi 83

BY

0iY

0 B A Y Y sl edi 83

AY

0i X 01 S X A sl edi 1 A X

Momenti po segmenti od nosa~ot

a z 10

111 83

z z M

a z 20

221 83

z z M

a z43

0 3

331 z z M


89/256


89

Tabel a 4.2.

m zm m z M 1 mq z M1 a z

10

183 z

211 2

143

zq zaq 2 a z 20

283

z 241

zaq

3a z

43

0 3 3 z 0

Pomestuvawe od tovar q

1

01

211

1

11

8

3

2

1

4

31 zd z zq zaq

I E dz

I E

) z( M ) z( M an

m

b

am

mmqq

I E

aq zd z zd z zaq

aa

640

83

41 4

3

43

032

022

Pomestuvawe od edi ne~na si l a 11 S

I E a zd z zd z zd z

I E dz

I E ) z( M

aaa

n

m

b

am

m

6415

83

831 3

34

3

0

232

0

2

210

2

11

2111

01111 qS

06415

64

3

1

4

I E a

S I E

aq sl edi aqS 151

1

Reakci i vo potpor i te

0 A M

0432

2 1 aS aY aaq B sl edi aqY B 40

9

0iY

0 B A Y aqY sl edi aqY A 4049

0i X

01 S X A sl edi aq X A 151


90/256


90

M

Sl . 4.2 |.

Q

Sl . 4.2 e.

N

Sl . 4.2 ̀ .

4.3. Dadena e stati ~ki neopr edel ena ramka so pr omenl i va krutostspr ema ski cata. So metodot na si l i da se opr edel i stati ~kinepoznatata gol emi na vo op{ t i br oevi vo f unkci ja odopteretuvaweto q i dol ` i nata a . Vl i jatel ni te koef i ci enti da sepresmetaat preku Maksvel – Mor ovi te i ntegr al i i za a= 1 m i q= 11kN/m da se nacr taat stat i ~ki te di jagr ami .


91/256


91

a

a

a a

A B

C D

EI

2EI

q

EI

EI

Sl . 4.3.

Re{ eni e:

Bi dej}i r amkata e edna{ stati ~ki neopr edel ena go f or mi r ameekvi val entni ot si stemso zamena na potporata vo to~kata A so si l a S 1.Kanonskata ravenka e sl ednata

a

a

a a

A B

C D

EI

2EI

q

EI

EI

S 1

Sl . 4.3 a.

01111 S

Gi odr eduvame momenti te od edi ne~nata si l a i od tovar i te dadeni votabel ata { to sl eduva


92/256


92

a

a

a a

A B

C D

EI

2EI

q

EI

EI

DY

D X

D M

Sl . 4.3 b.

Mq

3/2 q a1/2 a 2

2

Sl . 4.3 v.


93/256


93

a

a

a a

A B

C D

EI

2EI

EI

EI

S = 11

DY

D X

D M

Sl . 4.3 g.

M 1

a

a

- a

- a

- a

Sl . 4.3 d.

Tabel a 4.3.

m zm ) z( M mq ) z( M m1 1 a z 10 0 –z2 a z 20 0 –a3 a z 30

2

2 zq

–(a–z)

4 a z 40

zaaq2

z

4

1

32

111 611

m

b

amm I E

adz I E

) z( M


94/256


94

I E aq

dz I E

) z( M ) z( M m

m

lmqm

q 44

10

11 4

1 zamenuvame vo kanonskat a

r avenka i dobi vame

04611 4

1

3

I E

aqS I E

a sl edi aqS 22

31 od usl ovi te za r amnote` a

dobi vameod 0i Z sl edi 0 D Z

od 0iY sl edi 0aqY Y D A ; aqY D 2219

od 0 D M sl edi 023

D A M aqaY ; aq M D 2230

za a= 1 m i q= 11 kN/m Y A= 1,5 kN ; Y D= 9,5 kN ; M D= 15 kNm . Pa stati ~ki te di jagr ami se sl edni tepr i ka` ani na sl edni te sl i ki

Q

- 9,5 kN

1,5 kN

- 1,5 kN - 1,5 kN

Sl . 4.3 |.

N

1,5 kN

1,5 kN

Sl . 4.3 e.


95/256


95

M

- 1,5 kNm

1,5 kNm

- 15 kNm

Sl . 4.3 ̀ .

4.4. Za dadenata stati ~ki neopr edel ena ramka so pr omenl i va kr utostspr ema cr te` ot , da se nacr taat stat i ~ki te di jagr ami ako q·a= 2F;F= 10 kN ; a= 1 m.

A

B C

D

G

H

q

EI

2EI

F

EI EI

EI

a a

a

a

a

Sl . 4.4.

Re{ eni e:


96/256


96

Bi dej}i se r aboti za si stem{ to e 2 pati stati ~ki neopredel en, i menoi mame { est nepoznati gol emi ni i ~eti r i r avenki od usl ovi te zar amnote` a.

A

B C

D

G

H

q

EI

2EI

F

EI EI

EI

a

a

a

a

a

S S

S

S

G 2

1

2

1

1

2

3

4

5

Sl . 4.4 a.

Go odreduvame ekvi val entni ot si stempr i kà an na sl i ka sl . 4.4 a.Kanonski te ravenki potr ebni za odreduvawe na nepoznat i te gol emi nise sl edni te

01212111 qS S 02222121 qS S


97/256


97

A

B C

D

G

H

EI

2EI

EI EI

EI

a

a

a

a

a

S = 1

S = 1

G

1

1

1 z

2 z

z3

z4

z5

Sl . 4.4 b.

A

B C

D

G

H

EI

2EI

EI EI

EI

a

a

a

a

a

S = 1

S = 1G 2

2

5 z

1 z

2 z

3 z

4 z

Sl . 4.4 v.


98/256


98

A

B C

D

G

H

q

EI

2EI

F

EI EI

EI

a

a

a

a

a

G

5 z

1 z

2 z

3 z

4 z

Sl . 4.4 g.

Vo sl ednata tabel a dadeni se momenti te na svi tkuvawe pr edi zvi kaniod edi ne~ni te si l i 1S , 2S i tovarot q.

Tabel a 4.4.

m m z m I E ) z( M m1 ) z( M m2 ) z( M mq 1 a z 10 I E –z 0 02 a z 20 I E –a z 03 a z 30 I E 2 –a a+z zF 4 a z 40 I E z 0

2

2 zq

5 a z 50 I E a z2

2aq

aaa

dza I E

dza I E

dz z I E

00

2

0

211

111

I E

adza

I E dz z

I E

aa 3

0

2

0

2

61911

I E

adz z

I E dz za

I E dz z

I E

aaa 3

0

2

0

2

0

222 6

1110

110


99/256

Z bi r ka za da ~i od jak

zbirka_zadaci_od_jakost_na_materijalite_ii.pdf

Documents