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Zielsetzung von Modellierung
• Prozessverständnis (konzeptionelle Modelle)
• Quantifizierung und Vorhersagen (realitätsnahe
Modelle)
• Real nicht durchführbare Experimente
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Grundprinzip der Modellierung dynamischer Systeme
Aus der Kenntnis
– der Änderungsrate eines Systems und
– seines gegenwärtigen Zustandes
kann durch Integration der Differentialgleichung der zukünftige Systemzustand berechnet werden
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Dynamische Modelle
Speziell: Reservoir- oder Box-Modelle
Fazies, Klima, Paläozeanographie und Modellierung – M. Schulz
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Ein einfaches Reservoir-Modell
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Reservoir- oder Box-Modelle
• Reservoir = Materialmenge, die sich durch
bestimmte physikalische, chemische oder
biologische Eigenschaften auszeichnet und unter
den speziellen Annahmen eines Modells als
homogen betrachtet werden kann.
(z. B: CO2 in der Atmosphäre, Wassermenge in einem Stausee)
• Fluss = Materialmenge, die pro Zeiteinheit von
einem Reservoir zu einem anderen transferiert wird.
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Ein einfaches Reservoir-Modell
Reservoir (Masse M)
Fluss hinein Fluss heraus
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Gleichungen für das Box-Modell
(Änderungsrate der Wassermasse im Reservoir) =
(Fluss hinein) – (Fluss heraus)
i o
dMF F
dt
…oder für das Wasservolumen, V im Reservoir
w i o w i o
dVF F Q Q
dt
(NB: Massenerhaltung ist nicht notwendigerweisegleichbedeutend mit Volumenerhaltung.)
Massenfluss [kg/s]
Volumenfluss [m3/s]
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Ein einfaches Reservoir-Modell
a [Liter/min]
V (Liter)
k [1/min] * V [Liter]
i odV
Q Q a kVdt
• konstanter Einstrom: Qi = a
• Ausstrom proportional zum Wasserstand im Reservoir ( Druck): Qo ~ V = k· V
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Numerische Lösung der Reservoir-Modell Gleichungen
1 0
1 0
2 1
1
1 0
( )
( )
( )n n
t ti o
t t i o
t t i o
t t i o
V VdV VQ Q
dt t t t
V V t Q Q
V V t Q Q
V V t Q Q
Lösung mittels sog. “finiter Differenzen” (Näherungs-lösung!)
“Euler Methode”
Anfangsbedingung
Zeit
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Numerisches Reservoir-Modell
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D:\Fazies_Klima\Reservoir_1.gsp
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„Kontroll“-Experiment mit dem Reservoir-Modell
• Modell „Reservoir_1“ via Desktop starten
• Wie groß ist das Volumen am Ende der
Integration für:
– a = 2,0 Liter/min
– k = 0,5 min-1
– Initiales Volumen = 0.0 Liter
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„Sensitivitäts“-Experimente mit dem Reservoir-Modell 1
• Wie ändert sich das Volumen und dessen zeitliche Entwicklung
für die initialen Volumina V0 = 2 und 10 Liter?
• Wie beeinflusst die Einstromrate das finale Volumen?
• Wie ändert sich das Volumen und dessen zeitliche Entwicklung
für k = 0.0 und 2.0 min-1?
• Allgemeine Fragen:
– Wieso wird der Zustand am Ende der Rechnung als
„Gleichgewichtszustand“ bezeichnet?
– Wie lange verbleibt ein Wassermolekül durchschnittlich im
Reservoir?
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• Gleichgewichtszustand heißt der Zustand, bei dem sich das Volumen im Reservoir nicht mehr ändert, d. h.,
Im Gleichgewichtszustand ist der Einstrom genauso groß wie der Ausstrom. (NB: Der Gleichgewichts-zustand ist nicht notwendigerweise ein „statischer“ Zustand!)
• Für das Volumen im Gleichgewichtszustand gilt:
0i o i odV
Q Q Q Qdt
0dV a
a kV Vdt k
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Verweilzeit ist die Zeit, die das Wasser im
Gleichgewichtszustand durchschnittlich im
Reservoir verbleibt:
42
2 /i
V lmin
Q l min Charakteristische Kenngröße
eines Reservoirs
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Sensitivitäts-Experimente mit dem Reservoir-Modell 2
• Was passiert, wenn nach 15 Minuten die Einstromrate
verdoppelt wird?
Modell Reservoir_2_doubleinflow“ vom Desktop starten
• Wie beeinflusst der Zeitpunkt der Verdopplung das Volumen im
Gleichgewichtszustand?
• Wieso läuft das Reservoir nicht über?
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D:\Fazies_Klima\Reservoir_2_doubleinflow.gsp