Univerzita v Karlova v PrazeMatematicko-fyzikalnı fakulta

DIPLOMOVA PRACE

Tomas Salac

Zobecnene Cartanovy geometrie a invariantnıdiferencialnı operatory

Matematicky ustav Univerzity Karlovy

Vedoucı diplomove prace: Prof. RNDr. Vladimır Soucek, DrSc..

Studijnı program: obecna matematika, matematicke struktury

2008

Muj dık patrı predevsım memu skoliteli profesoru Souckovi. Vazım si jeho casu aenergie, ktery vlozil do tohoto textu. Jeho intuice a prehled v tematice byli klıcovepro smerovanı teto prace.

Prohlasuji, ze jsem svou diplomovou praci napsal samostatne a vyhradne s pouzitımcitovanych pramenu. Souhlasım se zapujcovanım prace a jejım zverejnovanım.

V Praze dne

2

Obsah

1 Uvod 6

2 Lieovy grupy 9

3 Fıbrovane bandly 143.1 Konexe na fıbrovanych bandlech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Lieovy algebry 204.1 Klasifikace komplexnıch Lieovych algeber . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Kleinovy geometrie 29

6 Cartanovy Geometrie 33

7 Parabolicke geometrie 387.1 Gradovane polojednoduche algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.2 Parabolicke geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8 Traktorovy bandl 47

9 Zakriveny Casimıruv operator 50

10 Invariantnı diferencialnı operatory na parabolickych geometriıch 5710.1 Charakterizace invariantnıch operatoru na parabolickych geometriıch 6010.2 Maximalnı podalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.3 Odvozenı podmınky pro invarianci operatoru pomocı zakriveneho

Casimırova operatoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

11 Konformnı geometrie 6711.1 Cartanuv model pro konformnı geometrii. . . . . . . . . . . . . . 67

3

11.2 Lieovy algebry Mobiova paru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.3 Konformnı variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.4 Traktorovy bandl na variete s konformnı strukturou . . . . . . . . 7211.5 Akce zakriveneho Casimırova operatoru C na standartnım trakto-

rovem bandlu T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7411.6 Akce C na Λ2T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611.7 Konformne invariantnı operatory prvnıho radu . . . . . . . . . . . 7811.8 Operatory druheho radu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Literatura 84

4

Nazev prace: Zobecnene Cartanovy geometrie a invariantnı diferencialnı operatoryAutor: Tomas SalacKatedra (ustav): Matematicky ustav Univerzity KarlovyVedoucı diplomove prace: Prof. RNDr. Vladimır Soucek, DrSc.e-mail vedoucıho: soucek@karlin.mff.cuni.cz

Abstrakt: Seznamujeme se s problematikou invariantnıch diferencialnıch operatoruna obecnych parabolickych geometriıch a uplne charakterizujeme operatory prvnıhoradu. Definujeme diferencialnı operator, tzv. zakriveny Casimıruv operator. Jednase o invariantnı operator zobecnujıcı Casimıruv operator z teorie reprezentacı. Po-mocı zakriveneho Casimırova operatoru poskytujeme novy dukaz pro charakteri-zaci invariantnıch operatoru prvnıho radu. Hloubeji zkoumame akci zakrivenehona sekcıch traktoroveho bandlu v konformnı geometrii a uvadıme ruzna pouzitı.Klıcova slova: parabolicka geometrie, ivariantnı diferencialnı operatory. zakrivenyCasimıruv operator, traktorovy bandl, konformnı geometrie.

Title: Generalized Cartan geometries and invariant differential operatorsAuthor: Tomas SalacDepartment: Mathematical Institute of Charles UniversitySupervisor: Prof. RNDr. Vladimır Soucek, DrSc.Supervisor’s e-mail address: soucek@karlin.mff.cuni.cz

Abstract: We are getting familiar with difficulties with invariance of differentialoperators in case of parabolic geometries and fully characterize first order invari-ant operators. We define, so called curved Casimir operator. It is generalization ofCasimir operator from representation theory. We give a new prove of characteri-zation of first order invariant operators. We investigate more thoroughly behaviorof curved Casimir operator on section of tractor bandle in conformal case and givelist of various apllications.Keywords: parabolic geometry, invariant differential operators, curved Casimiroperator, tractor bundle, conformal geometry.

5

Kapitola 1

Uvod

Hlavnı tema predkladane diplomove prace patrı do oblasti studia invariantnıchdiferencialnıch operatoru na varietach se zadanou geometrickou strukturou. Tetooblasti je tradicne venovana velka pozornost. Klasickym objektem studia (jiz oddob zacatku matematicke fyziky) jsou diferencialnı operatory invariantnı vzhle-dem k rotacnı grupe, jejichz typickym predstavitelem je Laplaceuv operator, nebopozdeji Diracuv operator. Tyto oba operatory majı smysl a jsou invariantnı nakazde Riemannove variete (v druhem prıpade se zadanou spin strukturou). Vkazdem typu geometricke stuktury tvorı studium invariantnıch diferencialnıchoperatoru a vlastnostı resenı odpovıdajıcı diferencialnıch rovnic dulezity problem.Klıcovou roli hrajı take v harmonicke analyze na polojednoduchych grupach a nasymetrickych (pseudo)-Riemannovych prostorech (viz naprıklad [Van den Ban] acitace v teto knize).

Zajımavou trıdu geometrickych struktur tvorı tak zvane parabolicke geometrie.Modelovym prıkladem tohoto typu geometrie jsou variety se zadanou konformnıstrukturou. Z klasickych geometriı patrı do teto trıdy naprıklad take projektivnıgeometrie, CR-geometrie, kvaternionove geometrie, projektivnı kontaktnı geome-trie, a dalsı (viz [Sharpe]). Konstrukce invariantnıch diferenialnıch operatoru navarietach se zadanou parabolickou strukturou je zajımavy a obtızny problem,kteremu byla v poslednım stoletı venovana v geometrii stale rostoucı pozornost.Zakladnı prace v teto oblasti patrı E. Cartanovi ze zacatku 20. stoletı. Studovalprıpad konformnı geometrie a sestrojil vyznacnou konexi, ktere se dnes rıka Car-tanova konexe pro danou konformı varietu. Tato konexe hraje stejne vyznacnouroli pri konstrukci invariantnıch diferencialnıch operatoru na konformnıch va-rietach jako hraje Levi=Civitova konexe v prıpade Riemanovych variet. Kon-strukce konformne invariantnıch operatoru je slozity problem (naprıklad kon-

6

formne invariantnı verze Laplaceova operatoru - tzv. Yamabeho operator, ma vesve definici netrivialnı clen se skalarnı krivostı s presne urcenym koeficientem). Narozdıl od prıpadu Riemannovy geometrie, konformne invariantnıch diferencialnıchoperatoru existuje relativne malo (tvorı spocetnou mnozinu) a je mozna jejichuplna klasifikace. Tato klasifikace byla nejdrıve podana v prıpade homogennıchmodelu pomocı silnych modernıch metod teorie reprezentacı (teorie zobecnenychVerma modulu a jejich homomorfismu) v 70. a 80 letech minuleho stoletı (vizprace [BGG],[Lepowsky]).

Rozsırenı techto konformne invariantnıch operatoru na prıpad obecne vari-ety s konformnı strukturou bylo studovano intenzivne v poslednıch desetiletıch.Ukazalo se, ze presto ze pro vetsinu z nich prıslusne rozsırenı existuje, pro jis-tou trıdu (napr. mocniny Laplaceova operatoru pro dost vysokou mocninu) totorozsırenı neexistuje (viz [GJMS]). Nejvıce informacı je v soucasne dobe znamo oexistenci invariantnıch diferencialnıch operatoru pro prıpad konformnıch variet,cela oblast je predmetem intenzivnıho vyzkumu. Obecna konstrukce velke trıdyinvariantnıch operatoru pro parabolicke geometrie byla podana v [CSS-BGG] apozdeji byla zjednodusena a rozsırena v [Calderbank-Diemer]. Pro konstrukci in-variantnıch operatoru byla pouzita rada metod (napr. metody teorie reprezentacı[Eastwood-Slovak], traktorovy kalkulus [TAMS], ambientnı konstrukce [Graham]).V clanku A. Capa a V. Soucka ([CS]) byla rozsırena klasicka definice Casimirovaoperatoru z homogennıho modelu na prıpad obecne parabolicke geometrie. Cılemteto prace je ukazat, ze Casimiruv operator je velmi ucinny nastroj pro konstrukciinvariantnıch diferencialnıch operatoru. Pouzitı Casimirova operatoru umoznujejednoduse dokazat existenci invariantnıch operatoru prvnıch radu (viz klasifikace v[CS]) na obecnych parabolickych varietach (Veta 10.4) a podat snadnou konstrukciinvariantnıch operatoru druheho radu (mezi stejnymi fıbrovanymi prostory), kterejiz vyzadujı korekce nizsıch radu (Veta 9.4). Pro tyto aplikace bylo treba rozsıritexplicitnı popis Casimirova operatoru pro sirsı trıdu fıbrovanych prostoru (Veta9.2). Uvodnı kapitoly (Kap. 2-7) shrnujı material potrebny v zaverecnych kapi-tolach, kde jsou obsazeny nove vysledky. Nynı podrobeji popıseme obsah jednot-livych kapitol prace.

Druha kapitola je venovana Lieovym grupam. V tretı se seznamujeme s kate-goriı fıbrovanych prostoru, ctvrta pak navazuje castecne na druhou, kdyz rozvıjımeteorii polojednoduchych Lieovych algeber. Pata a sesta kapitola je ryze geomet-ricka. Ve pate kapitole zacıname s homogennımi modely geometrie tak, jak jejichstudium zapocal na konci 19. stoletı nemecky matematik Felix Klein, po kteremhomogennı modely modely dodnes nesou sve jmeno. V seste kapitole prımo nava-zujeme Cartanovymi geometriemi, ktere zobecnujı Kleinovy geometrie.

7

V sedme kapitole navazujeme na kapitolu ctvrtou. Zajımame se zde nejprveo gradovane polojednoduche Lieovy algebry a pote definujeme parabolicke ge-ometrie, coz je podkategorie Cartanovych geometriı. V osme kapitole zavadımea precizujeme pojem traktoroveho bandlu. Traktorovy bandl ma vysostne posta-venı mezi vsemi vektorovymi bandly na parabolickych geometriıch dıky kanonickekonexi. Vetsina z techto dvou kapitol je k nalezenı ve velice zajımave knize [4].

V devate kapitole definujeme klıcovy objekt teto prace. A sice operator C,ktery nazyvame zakriveny Casimıruv operator. Vetsina z teto kapitoly je prevzataz clanku [7]. Nektere tvrzenı a lemmata jsme vsak pro nasi potrebu prepracovalia nektera nova tvrzenı dodali.

V desate kapitole charakterizujeme invariatnı diferencialnı operatory prvnıhoradu na obecne parabolicke geometrii. Jedna se vıcemene o vytah z clanku [15].V druhe casti kapitoly pak charakterizaci znovu dokazujeme pomocı zakrivenehoCasimırova operatoru. Jak se zda, jedna se o novy dukaz, ktery Casimıruv operatorprımo nabızel.

V poslednı jedenacte kapitole se venujeme zrejme nejznamejsımu modelu para-bolicke geometrie a to sice konformnı geometrii. Pracujeme zde s prostredky, kterejsme zavedli predevsım v kapitole 7,8 a 9. Zkoumame akci zakriveneho Casimırovaoperatoru na traktorovych bandlech na konformnı veriete.

Na zaver tohoto uvodu bych chtel poznamenat, ze potencial, ktery zakrivenyCasimıruv operator v sobe ma, nebyl zdaleka v teto praci vycerpan.

Zaroven bych se chtel ctenarum predem omluvit za nekdy kostrbate prekladypojmu z anglictiny. Ceska terminologie nenı zcela ustalena. Preji hezke ctenı.

8

Kapitola 2

Lieovy grupy

Vetsina dukazu v teto kapitole bude jen naznacena nebo upne vynechana. Preciznıdukazy jsou k nalezenı v [14].

Definice 2.1. Necht’ G je grupa, ktera je soucasne varietou s hladkym atlasem.Pak G nazyvame Lieovou grupou, pokud nasobenı a inverze jsou hladka zobra-zenı.

Tecny prostor jednotkoveho prvku e Lieovy grupy budeme znacit prıslusnymmalym gotickym pısmem, tj. pro grupu G to bude g. Postupne zadefinujemeprirozenou algebraickou strukturu na g.

Kazda Lieova grupa Gma prirozenou g-formu, tzv. Maurer-Cartanovu formuω : TG→ g, ktera je definovana pro g ∈ G, u ∈ TgG predpisem:

ωg(u) := lg−1∗(u), (2.1)

kde lg−1 je leve nasobenı na grupe G, ktere je dle predpokladu hladke.Symbolicky ma MC-forma ω tvar g−1dg, kde dg znacı identicku na TgG. Je-li

v ∈ TgG, potom g−1dg(g, v) = g−1(g, v) = (e, g−1v).MC-forma je G-invariatnı, tj. pro kazde h ∈ G platı

rh∗ω = Ad(h−1)ω, (2.2)

kde rh je prava akce na G. Transformaci 2.2 lze snadno overit. Pro g, h ∈ G, u ∈TgG mame:

rh∗ω(g, u) = ω(gh, uh) = (e, h−1g−1uh)

Ad(h−1)ω(g, u) = Ad(h−1)(e, g−1u) = (e, h−1g−1uh)

9

Definice 2.2. Necht’ G je hladka varieta. Vektorovy prostor vektorovych polı naG budeme znacit X(G). Jsou-li ξ, µ∈ X(G), pak definujeme jejich komutator

[ , ] : X(G)×X(G)→ X(G)

predpisem[ξ, η] := ξ η − η ξ

Je-li navıc G Lieova grupa, pak vektorove pole ξ oznacıme za levoinvariantnı,pokud lg∗(ξ) = ξ pro kazde g ∈ G.

Dukaz: Musıme overit, ze komutator dvou vektorovych polı je opet vektorovepole. K tomu stacı overit Leibnitzovu vlastnost, tj. [ξ, η]f.g = ([ξ, η]f).g+f.[ξ, η]gpro hladke funkce f, g na variete M .

[ξ, η]f.g = ξη(f.g)− ηξ(f.g) = ξ(g.ηf + f.ηg)− η(g.ξf + f.ξg) == ξg.ηf+g.ξ(ηf)+ηf.ξg+f.η(ξg)−ηg.ξf−g.η(ξf)−ηf.ξg−f.η(ξg) = g.[ξ, η]f+f.[ξ, η]g

Veta 2.1. Necht’ G je Lieova grupa. Vektorovy prostor levoinvariantnıch polı naG je prirozene isomorfnı g.

Necht’X ∈ g, potom vektorove pole ξX naG dane predpisem ξX(g) := lg∗X prokazde g ∈ G je zrejme levoinvariantnı a vsechna levoinvariantnı pole jsou tohototvaru. Levoinvariantnı pole je tedy jednoznacne urceno svou hodnotou v jednotcegrupy. Komutator dvou levoinvariantnıch polı je opet levoinvariantnı vektorovepole, jak lze snadno overit. Pro g ∈ G mame

lg∗[ξX , ξY ] = lg∗(ξXξY )− lg∗(ξY ξX) =

= lg∗ξX lg∗ξY − lg∗ξY lg∗ξX = ξXξY − ξY ξX = [ξX , ξY ]. (2.3)

Definice 2.3. Necht’ V je vektorovy prostor nad telesem K opatreny operacı [ , ] :V × V → V , ktera splnuje:

1. [ , ] je linearnı v obou slozkach

2. [X, Y ] = −[Y,X]

3. [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X,Z]]

pro kazde X,Y, Z ∈ V . Pak dvojici (V, [ , ]) nazyvame Lieovou algebrou.

Poznamka 2.1. 1. Vlastnost 3. z definice 2.3 se nazyva Jacobiho identita.

10

2. Je-li (A, ·) vektorovy prostor s asociativnı operacı ·, pak (A, [ , ]) je Lieovaalgebra, kde polozıme

[a, b] := a · b− b · a; a, b ∈ A. (2.4)

Dukaz: Necht’ a, b, c ∈ A. Potom mame: [a, b] = ab− ba = −ba+ab = −[b, a]2.3.3 je ekvivalentnı [a, [b, c]]+[b, [c, a]]+[c, [a, b]] = 0, coz je videt z nasledujıcıchtrı radku.

[a[b, c]] = a(bc− cb)− (bc− cb)a = abc− acb− bca+ cba[b, [c, a]] = b(ca− ac)− (ca− ac)b = bca− bac− cab+ acb[c, [a, b]] = c(ab− ba)− (ab− ba)c = cab− cba− abc+ bac

Definice 2.4. Necht’ g je Lieova algebra Lieovy grupy G a X,Y ∈ g. Necht’

ξX , ξY jsou prıslusna levoinvariantnı pole z isomorfismy 2.1. Pak definujeme Lie-ovu zavorku na g:

[X,Y ]g := [ξX , ξY ].

Dukaz: Uzavrenost levoinvariantnıch polı na komutator jsme dokazali v 2.3.Dukaz vlastnostı 1,2,3 z definice 2.3 je analogicky dukazu 2.1.2.

Veta 2.2. Necht’ G je Lieova grupa. Potom (X(G), [ , ]) a tudız i (g, [ , ]g) jsouLieovy algebry.

Prıklad 2.1. 1. Klasickym prıkladem Lieovych grup jsou maticove grupy, tedypodgrupy grupy Gl(V ), kde V je vektorovy prostor dimenze n nad telesem K.Gl(V ) jsou prave invertibilnı zobrazenı v okruhu matic Mn(V ). ZobrazenıA ∈Mn(V ) je invertibilnı prave, kdyz je regularnı, coz je prave tehdy, kdyzdet(A) 6= 0. Mame tedy Gl(V ) := det−1(K − 0). Protoze det je hladkyregularnı homomorfismus Mn(V )→ K mame, ze Gl(V ) je otevrena varietav Mn(V ), specialne dimenze dim(Gl(V )) = dim(Mn(V )) = n2.

2. Protoze Gl(V ) je otevrena v Mn(V ), muzeme tecny prostor gl(V ) identifi-kovat s Mn(V ). Lieova zavorka je [A,B] = AB −BA.

3. Spocıtejme nynı tecne zobrazenı k det v jednotce. Necht’ B ∈Mn(V ). Potom

d

dt|0det(I + tB) =

d

dt|0(1 + tTr(B) + t2 . . .) = Tr(B), (2.5)

kde Tr je stopa matice. Oznacme jako Sl(V ) := det−1(1). Podle predchozıhoje SL(V ) uzavrena podgrupa Gl(V ) kodimenze jedna. Tecny prostor sl(V )muzeme identifikovat s vektorovym prostorem bezestopych matic, tj.

sl(V ) = A ∈Mn(V )|Tr(A) = 0. (2.6)

11

Pro V = C2 je algebra sl2C tridimenzionalnı. Zvolme tyto generatory

X =

(0 10 0

);Y =

(0 01 0

);H =

(1 00 −1

). (2.7)

Potom komutacnı relace jsou nasledujıcı:

[X,Y ] = H; [H,X] = 2X; [H, Y ] = −2Y. (2.8)

4. Predpokladejme, ze jsme na vektorovem prostoru V zvolili nejakou souradnicovousoustavu. Necht’ g ∈ Gl(V ) ma v teto soustave vyjadrenı g = (xij). Po-tom dg = (dxij) a g−1dg = (xij)

−1(dxij). Necht’ V = C2, potom Maurer-Cartanova forma ω ma tvar

ω =

(x11 x12

x21 x22

)−1(dx11 dx12

dx21 dx22

)=

(x22/∆ −x12/∆−x21/∆ x11/∆

)(dx11 dx12

dx21 dx22

),

kde ∆ = det(g). To muzeme dale upravit na

ω =

((x22dx11 − x12dx21)/∆ (x22dx12 − x12dx22)/∆

(−x21dx11 + x11dx21)/∆ (−x21dx12 + x11dx22)/∆

). (2.9)

Necht’ M je hladka varieta a necht’ (g, [ , ]g) je Lieova algebra. Vektorovyprostor vsech hladkych g-forem na M stupne p oznacıme Ωp(M, g) a definujemeΩ(M, g) :=

⊕p≥0 Ωp(M, g).

Na Ω(M, g) mame operaci vnejsıho soucinu definovanou na homogennıch formach:

∧ : Ωp(M, g)× Ωq(M, g) −→ Ωp+q(M, g⊗ g)

(α ∧ β)(x1, . . . , xp, xp+1 . . . , xp+q) =

=∑

σ∈Shuffle(p,q)

(−1)sgn(σ)α(xσ(1), . . . , xσ(p))⊗ β(xσ(p+1), . . . , xσ(p+q)),

kde Shuffle(p, q) ⊆ Sp+q, (Sn je permutacnı grupa na n prvcıch), σ ∈ Shuf-fle(p, q)↔ σ(i) < σ(j), 1 ≤ i < j ≤ p, p+ 1 ≤ i < j ≤ p+ q.

12

Definice 2.5. Slozenım operace vnejsıho nasobenı s Lieovou zavorkou na g do-staneme bilinearnı operaci na formach, kterou budeme znacit [ , ]:

[ , ] : Ωp(M, g)× Ωq(M, g) ∧ // Ωp+q(M, g⊗ g)[ , ]g // Ωp+q(M, g)

Lemma 2.1. Operace [ , ] na Ω(M, g) splnuje nasledujıcı identity:

1. d[ωp, ωq] = [dωp, ωq] + (−1)p[ωp, dωq]

2. [ωq, ωp] = (−1)pq[ωp, ωq]

3. (−1)rp[[ωp, ωq], ωr] + (−1)pq[[ωq, ωr], ωp] + (−1)qr[[ωr, ωp], ωq] = 0,

kde index u formy ω znacı jejı stupen a d je de Rhamuv diferencial.

Poznamka 2.2. 1. Algebra (A, [ , ], d) s bilinearnı operacı splnujıcı podmınky1,2,3 z lemmatu 2.1 a d2 = 0 se nazyva (diferencialnı) gradovana komuta-tivnı algebra.

2. Specialne pro Maurer-Cartanovu 1-formu ω platı:

1

2[ω, ω](X, Y ) = [ωX, ωY ].

Maurer-Cartanova forma splnuje tzv. Maurer-Cartanovu rovnici:

dω +1

2[ω, ω] = 0 (2.10)

To lze nahlednout naprıklad takto. Protoze ω je forma, nezalezı na rozsırenıvektoru X, Y ∈ TgG do vektorovych polı na G. Muzeme je rozsırit naprıklad dolevoinvariantnıch polı. Pak dostaneme:

dω(X, Y ) = Xω(Y )− Y ω(X)− ω([X, Y ])

[ω, ω](X, Y ) = 2[ω(X), ω(Y )],

kde prvnı rovnost je pouze definice diferencialu libovolne formy a nynı si jen stacıuvedomit, ze ω komutuje se zavorkou dvou levoinvariatnıch polı a ω(X), ω(Y )jsou konstantnı.

Uzitecnost a dulezitost Maurer-Cartanovy rovnice muzeme ilustrovat na nasledujıcıchtvrzenı.

Veta 2.3. Necht’ M je hladka varieta a necht’ g je Lieova algebra s grupou G.Necht’ α je g-forma na M . Pak lokalne α = f ∗ωG, pro nejake f : M → G pravetehdy, kdyz α splnuje MC rovnici, tedy dα+ 1

2[α, α] = 0.

13

Kapitola 3

Fıbrovane bandly

Definice 3.1. Necht’ P , F, B jsou hladke variety a π : P → B je hladke zob-razenı. Hladky lokalne trivialnı fıbrovany bandl je ctverice ξ = (P , B, π, F ) sfıbrem F , pokud pro kazdy bod b ∈ B existuje otevrene okolı b ∈ Ub ⊆ B spolu sdifeomorfismem ϕb : Ub × F → π−1(Ub), ze πϕb = idUb

.

Definice 3.2. Hladka sekce1 na fıbrovanem bandlu (P , B, π, F ) je hladke zobra-zenı σ : B → P takove, ze πσ = idB. Prostor vsech hladkych sekcı oznacujemejako Γ(P → B) nebo jen Γ(P).

Fıbrovanym bandlem budeme dale rozumet lokalne fibrovany bandl.

Prıklad 3.1. 1. Necht’ B, S jsou hladke variety. Projekce π : B × S → Bje fibrovany bandl s fıbrem S. Bandly, ktere jsou tohoto tvaru, nazyvametrivialnı.

2. Hladke funkce na variete M muzeme chapat jako rezy trivialnıho bandluM × R→M . Prostor hladkych funkcı na M budeme znacit C∞(M).

3. Tecny bandl na hladke variete M dimenze n je fıbrovany bandl TM →M sfıbrem isomorfnım Rn. Tento bandl lze ekvivalentne definovat jako derivaceprostoru hladkych funkcı na M . Rezy TM jsou prave vektorova pole.

Necht’ M,N jsou hladke variety a f : M → N hladke zobrazenı. Standartnebudeme znacit tecne zobrazenı jako Tf : TM → TN .

Definice 3.3. Necht’ π : P →M je fibrovany bandl. Vertikalnı distribucı nabandlu P rozumıme jadro zobrazenı Tπ :TP → TM . Distribuci TH ⊆ TP tako-vou, ze TP = TH⊕ TV nazyvame horizontalnı distribucı.

1Budeme pouzıvat i termın rez.

14

Necht’ (p : P → M), (q : Q → N ) jsou fıbrovane bandly. Je-li f : P → Qhladke zobrazenı, pak budeme automaticky predpokladat, ze f zachovava fıbry2,tj. nasledujıcı diagram dobre definuje hladke zobrazenı f ′ : M → N

f ′ := q f p−1

Pf //

p

Qq

M

f ′ // N

.

Je-li h : M → N hladka immerse,3 pak liftem zobrazenı h rozumıme zobrazenıH : P → Q, pro ktere nasledujıcı diagram komutuje

P H //

p

Qq

M

h // N

. (3.1)

Definice 3.4. Necht’ H je Lieova grupa. Pak hlavnı H-bandl je hladky lokalnetrivialnı fıbrovany prostor ξ = (P , B, π, F ) spolu s hladkou pravou akcı P ×H →P, ktera zachovava fıbry a ktera je na kazdem fıbru transitivnı. Symbolicky takovybandl budeme znacit H → P → M . Grupu H budeme oznacovat jako strukturnıgrupu.

Akci H budeme standartne oznacovat jako r a jako rh pak akci h ∈ H na P .

Definice 3.5. Necht’ H je Lieova grupa s Lieovou algebrou h a necht’ P je hlavnıH-bandl. Derivacı akce H na P podle X ∈ h dostaneme vertikalnı pole na P,jedna se o tzv. fundamentalnı pole, ktere budeme znacit X†.

Hladke sekce na hlavnım H-bandlu P s fıbrem F jsou v jednoznacne kore-spondenci s hladkymi funkcemi f :P → F , ktere jsou H-ekvivariantnı, tj.f(uh) =ρ(h−1)f(u), h ∈ H, u ∈ P . Prostor vsech hladkych H-ekvivariantnıch funkcına bandlu P budeme znacit C∞(P , F )H . Tento isomorfismus budeme dale castopouzıvat.

Definice 3.6. Necht’ H je Lieova grupa a necht’ K je jejı Lieova podgrupa. Necht’

H → P → B je hlavnı H-bandl. Potom redukcı bandlu P na strukturnı grupuK rozumıme podvarietu Q ⊆ P takovou, ze K → Q → B je hlavnı K-bandl, kdeakce K je dana restrikcı akce H na Q.

2V anglictine se pouzıva termın bundle-map.3Jacobiho matice tecneho zobrazenı ma vsude maximalnı hodnost a dim(M) ≤ dim(N).

15

Necht’ H je Lieova grupa a necht’ S je hladka varieta s levou akcı ρ grupy H anecht’ P je hlavnı H-bandl. Na hladke variete P ×S definujme akci H predpisem:(p × v).h := (p.h × ρ(h).v). Na P × S zaved’me relaci ekvivalence (u ∼ v) ←→∃h ∈ H : u.h = v. Tedy zrejme (uh, v) ∼ (u, ρ(h−1)v).

Definice 3.7. Kvocient P × S/∼ nazyvame bandl s fıbrem S asociovany kakci ρ a budeme jej znacit P×H S. Akci ρ budeme nekdy oznacovat jako svazujıcıpro dany bandl.

Prıklad 3.2. Nejcasteji se budeme potkavat s prıpadem, kdy hladka varieta s akcıgrupy H je vektorovy prostor V . Bandl P ×H V pak nazyvame vektorovy bandl.

Oznacme jako C hladkou varietu bazı vektoroveho prostoru V . Akce H na Vindukuje akci na C. Sekce na bandlu P ×H C nazyvame framem, uvazujeme-lisekci pouze nad nejakou otevrenou mnozinou, pak mluvıme o lokalnım framu.

Speciane pro tecny bandl TM na variete dimenze n, oznacıme jako P1M =TM ×Gl(V ) Gl(V ). Bandl P1M je Gl(V )-hlavnı bandl.

Definice 3.8. Necht’ M,N jsou hladke variety a f, g : M → N dve hladka zob-razenı. Rekneme, ze v bode x ∈ M majı f a g stejny jet az do radu p, jestlizese jejich vsechny parcialnı derivace do radu≤ r v bode x shodujı. Jrx(M,N)y de-finujeme kvocient vsech zobrazenı f : M → N ; f(x) = y, x ∈ M, y ∈ N podleekvivalence mıti stejny r-jet. Jr(M,N) =

⊔rx∈M,y∈N Jx(M,N)y.

Specialne pro fıbrovany bandl p : E → M znacı Jr(E → M) nebo jen Jr(E)prostor vsech r-jetu hladkych sekcı na p : E →M .

3.1 Konexe na fıbrovanych bandlech

Definice 3.9. Necht’ P → M je hlavnı H-bandl. Invariantnı konexe je danahladkou horizontalnı distribucı H v TP, ktera je navıc kompatibilnı s H-akcı:Rh∗(Hy) = Hy.h pro kazde y ∈ P , h ∈ H.

Je-li ξ vektorove pole na M , pak horizontalnım liftem ξhor rozumıme vektorovepole na P takove, ze

1. ξhor lezı v kazdem bode p ∈ P v horizontalnı distribuci H.

2. π(ξhor) = ξ

Je-li s ∈ Γ(P) a ξ je vektorove pole na M , pak kovariantnı derivaci defi-nujeme vzorcem:

∇ξs := Ts ξ − ξhor s. (3.2)

16

Je-li distribuce H invariantnı vuci akci H, pak libovolny horizontalnı lift jeH-invariantnı, tj. pro kazde ξ ∈ X(M) platı, ze (rh)∗ξ

hor = ξhor.Distribuce H urcuje formu γ : TP → TV definovanou jednoduse jako projekci

na vertikalnı distribuci TV s jadrem rovnym distribuciH. Protoze vertikalnı bandlnaH-hlavnım bandlu je urcen fundamentalnımi poli, muzeme formu γ chapat jakoh-formu, tedy γ ∈ Ω1(P , h). Specialne pro X ∈ h a fundamentalnı pole X† ∈ X(P)musı v kazdem bode u ∈ P platit γu(X

†) = X. H-invariance distribuce se pakpromıtne do transformace γ vztahem (rh∗)γ = Ad(h−1) γ4. Formu γ nazyvameformou hlavnı konexe nebo zkracene hlavnı konexı.

Hlavnı konexe na H-hlavnım bandlu P pak jednoznacne urcuje konexi nalibovolnem asociovanem bandlu. Konstrukce indukovane konexe je prımocara. Dledefinice mame urcit H-invariantnı distribuci na asociovanem bandlu P ×H V .Oznacme jako q : P × V → P ×H V prirozenou projekci a oznacme jako ‖(u, s)‖trıdy ekvivalence na P×H V . Je-li H distribuce na P urcujıcı konexi, pak restrikceTq : TP × TV → T (P ×H V ) na distribuci H×0 ⊂ P × V dava H-invariantnıhorizontalnı distribuci na P ×H V . Oznacme jako γV indukovanou konexi. Vsezformulujeme do vety.

Veta 3.1. Necht’ p : P →M je H-hlavnı bandl a necht’ (V, λ) je reprezentace H.Necht’ γ je forma hlavnı konexe na P a γV indukovana konexe na VM := P×H V .Potom

1. γV je linearnı konexe na VM s horizontalnım liftem danym pro ξ ∈ XM, ξ 7→Tq (ξhor, 0) = ‖ξhor, 0‖, kde ξhor je horizontalnı lift ξ na P.

2. Reprezentujme sekci s ∈ Γ(VM) ekvivariantnı funkcı f ∈ C∞(P , V )H . Necht’

ξ ∈ X(M) je vektorove pole. Potom kovariantnı derivace ∇ξs ∈ Γ(VM)odpovıda funkci ξhor.f : P → V .

3. V lokalnı trivializaci Rn ×H → P s γ = ωγ − γidxi a v odpovıdajıcı trivia-lizaci Rn × V → VM pak mame

∇ξs = ξi∂s

∂xi− λ′(ξiγi) s

kde λ′ : h→ gl(V ) je odpovıdajıcı reprezentace Lieovy algebry h grupy H.

Dukaz: viz. [4]

4Porovnejte s 2.2

17

Uvazujme nynı hlavnı konexi γ na bandlu π : P1M → M , kde M je varietadimenze m. Na P1M mame navıc kanonickou solder formu θ ∈ Ω(P1M,Rm).Je-li sice u ∈ P1M , ze π(u) = x, pak u identifikuje TxM a Rm a definujemeθu(ξ) := u−1Tuπ(ξ). Forma θ je navıc Gl(n)-invariantnı, tj. (rg∗)θ = Ad(g−1)θ ajadro θ je prave vertikalnı podbandl. Konexi ω = γ + θ nazyvame afinnı konexına P1M . Vse zformulujeme do vety, nejdrıve ale zadefinujeme nasledujıcı.

Definice 3.10. Afinnı extenze Lieovy grupy K ≤ Gl(Rn) s algebrou k je semidi-rektnı produkt A(m,K) := Rn oK, ktery realizujeme jako:(

1 0v A

):= (v, A);A ∈ K, v ∈ Rn (3.3)

a s nasobenım tvaru (v, A).(u,B) = (v + uA,A.B)Lieova algebra am(K) je pak tvaru(

0 0v a

), (3.4)

kde a ∈ k, v ∈ Rn.Oznacme jako A(m) := A(m,Gl(m,R)), am = am(Gl(m,R))

Definice 3.11. Necht’ M je varieta dimenze m a necht’ γ je hlavnı konexe naP1M a θ kanonicka solder forma. Pak formu ω : P1M → a(m), kde ω = γ + θnazyvame formou afinnı konexe na M . Forma ω splnuje

1. ω je Gl(n,R) ekvivariantı, tj. (rg)∗Ω = Ad(g−1) Ω, g ∈ Gl(n,R) 5

2. ω zachovava fudamentalnı pole, ω(X†) = X,X ∈ glnR

3. pro kazdy u ∈ P1M je ω(u) : P1uM → a(m) linearnı isomorfismus.

Afinnı konexi lze ekvivalentne chapat jako linearnı konexi6 na TM . Linearnıkonexe na variete M je hladke zobrazenı ∇ : TM ×TM → TM , ktere zapisujeme∇(X, Y ) = ∇XY a ktere splnuje:

1. ∇ je linearnı v obou slozkach.

2. ∇fXY = f∇XY

3. ∇XhY = X(h)Y + h∇XY

pro X,Y ∈ X(M) a f, h ∈ C∞(M).

5kde adjugovana akce A ∈ Gl(n,R) na am je dana konjugacı elementem(

1 00 A

)6Casto se take pouzıva termınem kovariantnı derivace.

18

Necht’ e1, . . . , em jsou souradnicova vektorova pole v nejake lokalnı mape naU ⊆M . V teto lokanı trivializaci jsou Christoffelovy slozky γkij afinnı konexe danypredpisem

∇eiej = γkijek; i, j = 1, . . . ,m.

Definice 3.12. Necht’ H ⊆ Gl(n,R) je uzavrena podgrupa a M je hladke varietadimenze n. Potom G-strukturou prvnıho radu se strukturnı grupou H-rozumımeredukci i : P → P1M na strukturnı grupu H.

G-strukturu prvnıho radu muzeme ekvivalentne popsat jako globalnı sekci σ :M → P1M/H. Skutecne vzor σ pri projekci π : P1M → P1M/H je hlavnıH-bandl a je redukcı P1M na strukturnı grupu H.

Prıklad 3.3. Pro H = SO(n) dostaneme Riemannovu metriku na varite M ,nebot’ kvocient Gl(n)/SO(n) je varieta skalarnıch soucinu a vsude nenulova sekcena P1M/SO(n) je pak Riemannova metrika.

Definice 3.13. Konexe na G-strukture se strukturnı grupou H je hlavnı konexena H-hlavnım bandlu P.

Poznamka 3.1. Konexi na G-strukture se strukturnı grupou H lze definovat jakokonexi ω : P → am(H), ktera splnuje vsechny tri podmınky pro afinnı konexi zdefinice 3.11. Proto budeme i tyto konexe oznacovat jako afinnı.

19

Kapitola 4

Lieovy algebry

Obsah teto kapitoly se vıcemene totozny se zakladnım kurzem teorie Lieovychalgeber. Budeme se soutredit predevsım na komplexnı polojednoduche algebry.Mnoho tvrzenı je uvedeno bez dukazu. Ty jsou k nalezenı napr. v [12] nebo [9].

Zacneme s motivacı studia Lieovych algeber.

Veta 4.1. Necht’ G,H jsou Lieovy grupy s algebrami g, h a G necht’ G je navıcsouvisla. Pak kazdy hladky homomorfismus ϕ : G → H je jednoznacne urcentecnym zobrazenım ϕ∗ : g→ h.

Definice 4.1. Necht’ G je maticova grupa s Lieovou algebrou g. Potom definujemezobrazenı exp : g −→ G

exp(X) =∞∑i=0

1

i!X i. (4.1)

Veta 4.2. Zobrazenı exp : g −→ G je hladke zobrazenı na komponentu identitygrupy G.

Poznamka 4.1. Lieovou algebrou budeme rozumet komplexnı nebo realnou Lie-ovu algebru. Dale budeme uvazovat jen reprezentace na vektorovem prostoru nadtelesem realnych nebo komplexnıch cısel konecne dimenze.

Definice 4.2. Necht’ G je Lieova grupa a necht’ V je vektorovy prostor. Pak re-prezentacı G na V rozumıme hladky homomorfismus ϕ : G→ Gl(V ).

Je-li W ⊆ V podprostor ve V takovy, ze ϕ(W ) ⊆ W , pak W nazveme invari-antnı pro reprezentaci ϕ.

Nema-li V zadne netrivialnı G-invariantnı vektorove podprostory, pak V nazyvameireducibilnı modul.

20

Reprezentaci nazyvame kompletne reducibilnı nebo rozlozitelnou, pokudse rozklada na direktnı soucet ireducibilnıch podmodulu.

Definice 4.3. Necht’ V,W jsou dve reprezentace grupy G. Linearnı zobrazenıψ : V → W , ktere je G-ekvivariantnı tj. pro kazde g ∈ G diagram komutuje

V

g.

ψ // V

g.

W

ψ // W

(4.2)

nazyvame spletajıcı.

Uved’me jeste zakladnı Schurovo lemma z teorie reprezentacı.

Lemma 4.1. Necht’ V,W jsou ireducibilnı komplexnı reprezentace grupy G a ψ :V → W spletajıcı zobrazenı. Potom ψ je nasobek identity nebo ψ = 0.

Definice 4.4. Necht’ g je Lieova algebra a necht’ V je vektorovy prostor. Repre-zentacı algebry g na V rozumıme homomorfismus Lieovych algeber

ψ : g→ gl(V )

ψ([X, Y ]) = ψ(X) ψ(Y )− ψ(Y ) ψ(X).

Definice 4.5. Necht’ ϕ : g→ V je reprezentace algebry g. Jsou-li v ∈ V a formaλ ∈ g∗ takove, ze pro kazde X ∈ g platı

ϕ(X)v = λ(X)v, (4.3)

pak λ oznacıme jako vahu ϕ a vektor v jako vahovy s vahou λ.

Prıklad 4.1. Necht’ G je Lieova grupa s algebrou g.

1. Ad :G→ Gl(g), Ad(g)(X) = gXg−1;X ∈ g, g ∈ G je adjungovana reprezen-tace G na g.

2. ad := TeAd; ad :g→ gl(g) je tecne zobrazenı k reprezentaci Ad. Pro X,Z ∈ g

mame

ad(Z)(X) =d

dt|0 exp(tZ)X exp(−tZ) = ZX −XZ. (4.4)

[Z,X] := ad(Z)(X) je ekvivalentnı definice Lieovy zavorky na g.

21

Prıklad 4.2. Pro Lieovu algebru sl2C a r ∈ N oznacıme jako Pn reprezentacina vektorovem prostoru homogennıch polynomu ve dvou promennych stupne n.Polynomy chapeme jako zobrazenı C2 → C. Baze tohoto prostoru je naprıkladzn1 , zn−1

1 z12 , . . . , z

n2 a tedy dimenze je rovna n + 1. Akce na polynomech je dana

derivacı akce Sl2(C) na C2. Pouzijme oznacenı z prıkladu 2.1. Potom akce jatvaru

X(f)(z) =d

dt|0f(exp−tX z) = −z2

∂

∂z1

fz

Y (f)(z) =d

dt|0f(exp−tY z) = −z1

∂

∂z2

fz

H(f)(z) =d

dt|0f(exp−tH z) = −z1

∂

∂z1

fz + z2∂

∂z2

fz (4.5)

Oznacme jako pj = zj1zn−j2 . Potom

X(pj) = −jpj−1, Y (pj) = (j − n)pj+1, H(pj) = (n− 2j)pj (4.6)

Speciale polynom pj je vlastnı hodnotou operatoru H s vlastnım cıslem n − 2ja ze vsechna vlastnı cısla jsou tvaru n, n − 2, . . . ,−n. Vidıme take, ze tatoreprezentace je ireducibilnı.

Veta 4.3. Kazda konecnedimenzionalnı reprezentace sl2C je rozlozitelna a kazdaireducibilnı reprezentace je isomorfnı Pn pro nejake prirozene n.

4.1 Klasifikace komplexnıch Lieovych algeber

Definice 4.6. Centrem Lieovy algebry g rozumıme podalgebru

Z(g) = X ∈ g, [X,Y ] = 0,∀Y ∈ g

Podalgebru a ⊆ g nazveme ideal, pokud platı [a, g] ⊆ a.Je-li h podalgebra g, pak normalizator g je maximalnı podalgebra k ⊆ g

takova, ze [k, h] ⊆ h.Dale definujeme g(0) = g, gk = [gk−1, gk−1]. Posloupnost g(0), g(1), . . . , g(k), . . .

nazyvame derivovanou posloupnostı podlageber v g.Necht’ g(0) = g, gk = [g, gk−1], pak g(0), g(1), . . . , g(k), . . . nazyvame dolnı centralnı

posloupnost v g

Definice 4.7. Lieovu algebru g nazveme

22

1. nilpotentnı, pokud g(k) = 0 pro nejake k prirozene.

2. resitelnou, pokud g(k) = 0 pro nejake k prirozene.

3. jednoduchou, pokud neobsahuje zadne netrivialnı idaly a dim(g) > 1.

4. polojednoducha, pokud je direktnım souctem jednoduchych.

5. reduktivnı je-li direktnım souctem centra a polojednoduche podlagebry.

Lemma 4.2. V kazde Lieove algebre g existuje nejvetsı resitelny ideal r (tzv.radikal) a nejvetsı nilpotentnı ideal n (tzv. nilradikal). Faktorova algebra g/r jepolojednoducha.

Definice 4.8. Poloprımy soucin

Necht’ je dana exaktnı posloupnost Lieovych algeber:

0 // Ai // B

j // Cs

ii // 0 .

Pak C ∼= A⊕

C jako vektorove prostory via isomorfismus

b ∈ B 7→ (i−1(b− j(s(b))), j(b))(a, c) ∈ A

⊕C 7→ i(a) + s(b)

Dale mame homorfismus Lieovych algeber ϕ : C → Hom(A,A) dany predpisem

ϕ(c)(a) = [s(c), i(a)].

Lieova zavorka na B je dana rovnicı

[i(a) + s(c), i(a′) + s(c′)] = i([a, a′]) + s([c, c′])− ϕ(c′)(a) + ϕ(c)(a′) (4.7)

Direktnı soucet B = A⊕

C s takto definovanou zavorkou nazyvame poloprımysoucin algeber.

Naopak, jsou-li A,C Lieovy algebry a je-li dan homomorfismus Lieovych alge-ber ϕ : C → Hom(A,A) potom formule 4.7 definuje Lieovu zavorku na A

⊕C.

Veta 4.4. Necht’ g je Lieova algebra s radikalem r. Pak existuje podalgebra l

takova, ze Lieova zavorka je dana vlozenım v exaktnı posloupnosti

0 −→ r −→ r⊕ l −→ l −→ 0.

23

Podalgebra l je urcena jednoznacne az na konjugaci vnitrnım automorfismem.Kazda Lieova algebra je tedy poloprımym soucinem resitelne a polojednoduchealgebry.

Podlagebru l nazyvame Leviho faktorem algebry g a casto ji budeme znacitjako gss.

Prıklad 4.3. gln(C) = sln(C)⊕ C je rozklad na stopovou cast, coz jsou skalarnınasobky identity, ktere tvorı centrum a Leviho faktor je pak sln(C).

Definice 4.9. Na Lieove algebre g definujeme Killingovu formu B predpisem

B(X, Y ) := Tr(ad(X) ad(Y )),

kde Tr znacı stopu.

Veta 4.5. Killingova forma B je symetricka a g-invariatnı, tj. B([X, Y ], Z) =−B(Y, [X,Z]),∀X, Y, Z ∈ g.

Definice 4.10. Nilpotentnı podalgebru, ktera je rovna svemu normalizatoru, bu-deme nazyvat Cartanovou podalgebrou.

Poznamka 4.2. Dale budeme predpokladat, ze Lieova algebra je komplexnı.

Uvazujme reprezentaci ad polojednoduche algebry g. Necht’ h je Cartanovapodalgebra g a h∗ jejı dual. Element α ∈ h∗ nazveme koren, jestlize existujenenulovy vektor X ∈ g, ze

[H,X] = α(H)X (4.8)

pro kazdy H ∈ h. Vektorovy podprostor vahovych vektoru prıslusnych korenuα oznacıme jako gα. Mnozinu vsech nenulovych korenu znacıme jako ∆ ⊆ h∗ anakonec ∆0 = ∆ ∪ 0.

Veta 4.6. Necht’ g je polojednoducha a h ⊆ g jejı Cartanova podlagebra. Potom

1. h = g0 a g = h⊕⊕

α∈∆ gα

2. Je-li α, β, α+ β ∈ ∆0, potom [gα, gβ] ⊆ gα+β.

3. Koreny generujı h∗, tj. h∗ = 〈∆〉.

4. Cartanova podalgebra h je maximalnı abelovska podlagebra a kazde dve Car-tanovy podlagebry jsou konjugovany vnitrnım automorfismem1.

1Vnitrnı automorfismus algebry g je komponenta souvislosti jednotkoveho prvku grupyAut(g).

24

5. Restrikce Killingovy formy B|h na h je nedegenerovana forma.

6. Pro kazde α ∈ ∆ je −α ∈ ∆.

Rozklad polojednoduche algebry g = h⊕⊕

α∈∆ gα se nazyva korenovy roz-klad.

Veta 4.7. Necht’ g je polojednoducha s Cartanovou algebrou h. Potom pro korenovyrozklad platı:

1. Pro vsechna α∈∆ ma vektorovy podprostor [gα, g−α] dimenzi jedna a zuzenıα∈ h∗ je na nem nenulove.

2. Pro vsechny koreny α ∈∆ je dim(gα) = 1 a nasobek tα je nenulovy korenprave, kdyz t = ±1.

Pro koren α∈∆ vybereme dvojici vektoruX∈ gα, Y ∈ g−α splnujıcıchB(X, Y ) =1. Pro hα := [X, Y ] a Z ∈ h pak mame

B(hα, Z) = B([X, Y ], Z) = −B(Y, [X,Z]) = α(Z)B(Y,X) = α(Z), .

Prvek Hα := 2B(hα,hα)

hα nazyvame kokoren ke korenu α. Trojice Hα, X, Y generuje podalgebru isomorfnı sl2C.

Pro dva koreny α, β definujeme α-retızek korenu β jako podprostor gαβ :=⊕t∈Z gβ+tα a pro α = β oznacıme gαβ jako g(α). Protoze gαβ je vektorovy podprostor

ireducibilnı a invariantnı vuci adjungovane akci g(α) ∼= sl2C, musı byt isomorfnınejake reprezentaci Pn pro vhodne n, viz. prıklad 4.2. Vsechny vlastnı hodnotyoperatoru adHα jsou celocıselne a specialne tedy i β(Hα) ∈ Z a vsechny ostatnıvlastnı hodnoty jsou tvaru β(Hα) + t, t ∈ Z.

Pro dva koreny definujme α, β Cartanovo cıslo aα,β := β(Hα) = 2B(hα,hβ)

B(hα,hα).

Definice 4.11. Definujeme h0 = 〈Hα;α ∈ ∆〉R = 〈hα;α ∈ ∆〉R realny vektorovypodprostor generovany kokoreny.

Vıme, ze B indukuje isomorfimus h ∼= h∗. Dual pri tomto isomorfismu h0

je realny vektorovy podprostor v h∗, budeme jej znacit h∗0. Zuzenı B na h0 jenedegenerovana realna symetricka forma a tudız i zuzenı na h∗0 je takove. Projednoduchost budeme toto zuzenı na h∗0 stejne tak symetrickou formu na dualuznacit: 〈 , 〉. Potom lze vyjadrit Cartanova cısla jako:

aβα = 2〈α, β〉〈α, α〉

(4.9)

Vsechny koreny tedy lezı v realne casti, tj. v h∗0. Zformulujme vse do vety.

25

Veta 4.8. Mnozina ∆ ⊆ h∗0 vsech nenulovych korenu splnuje nasledujıcı:

1. Pro α, β ∈ ∆ je aβα = 2 〈α,β〉〈α,α〉 je cele cıslo

2. Pro vsechna α, β ∈ ∆ je take β − aβαα ∈ ∆

3. Jsou-li α, tα ∈ ∆, pak t = ±1

Necht’ V je vektorovy prostor se skalarnım soucinem ( , ). Potom pro vektorv ∈ V je zobrazenı Sv : V → V definovane:

Sv(u) = u− 2(u, v)

(v, v)v (4.10)

reflexe vuci nadrovine kolme k vektoru v, tedy specialne je to isometrie V vuciskalarnımu soucinu. Bod 2 z vety 4.8 rıka, ze pro kazde α ∈ ∆ je mnozina korenu∆ invariantnı vuci reflexi Sα. Grupu generovanou Sα ∈ ∆ nazyvame Weylovougrupou.

Pokracujme dale v klasifikaci komplexnıch polojednoduchych algeber. Volbouformy L na g∗ takove, ze ∀α ∈ ∆, L(α) 6= 0 dostaneme rozklad ∆ na

∆+ := α ∈ ∆;L(α) > 0,∆− := α ∈ ∆;L(α) < 0.

Prvky z ∆+ nazyvame kladne koreny, prvky z ∆− jako zaporne koreny.

V dalsım budeme predpokladat, v g jsme pevne zvolili Cartanovu podalgebrua kladne koreny.

Definice 4.12. Kladny koren nazyvame jednoduchy, nenı-li souctem dvou kladnychkorenu. Mnozinu jednoduchych korenu budeme znacit ∆0.

Lemma 4.3. Jednoduche koreny tvorı bazi h∗0.

Definice 4.13. Necht’ g je polojednoducha komplexnı algebra. Necht’ α1, . . . , αk,kde k=dim(h), je vycet vsech jednoduchych korenu. Necht’ H1, . . . , Hk jsou kokorenyjednoduchych korenu. Vahy λ ∈ h∗0 splnujıcı λ(Hα) ∈ Z tvorı tzv. vahovou mrızW. Prvek φ ∈ W splnujıcı (φ, αi) ≥ 0 pro vsechna i = 1, . . . , k nazyvame domi-nantnı vahou algebry g.

Dominantnı vahy ωi dualnı k jednoduchym kokorenum, tj. ωi(Hj) = δij, senazyvajı fundamentalnı. Nejmensı vahu δ definujeme jako δ = 1

2

∑α∈∆+ α.

26

Lemma 4.4. Pro nejmensı vahu δ platı δ = 12

∑α∈∆+ α =

∑i ωi.

Definice 4.14. Pro dva jednoduche koreny αi, αj definujme ηij = aαiαjaαjαi

.

Podle definice mame

ηij = 4〈αi, αj〉〈αj, αi〉〈αi, αi〉〈αj, αj〉

= 4 cos2 θij, (4.11)

kde θij je uhel, ktery svırajı vektory αi a αj. Protoze pro kazde i, j je aαiαjkladne

cele cıslo a αj,αi jsou linearne nezavisle, je ηij ∈ 0, 1, 2, 3.

Definice 4.15. Pro polojednoduchou Lieovu algebru s volbou jednoduchych korenuα1, . . . , αk definujeme Dynkinuv diagram jako rovinny graf s k vrcholy α1, . . . , αk,kde vrcholy αi, αj jsou spojeny hranou nasobnosti ηij. Je-li nasobnost hrany vetsınez jedna, pak hranu orientujeme sipkou smerujıcı od korenu s mensı normou.

Dynkinuv diagram polojednoduche algebry nezalezı na vyberu Cartanovy pod-lagebry ani na volbe kladnych korenu. Platı dokonce mnohem vıc, a sice kazdakomplexnı polojednoducha algebra je jednoznacne urcena svym Dynkinovym di-agramem.

Z Dynkinova diagramu muzeme ihned neco rıci o samotne algebre. Algebra jejednoducha prave tehdy, kdyz jejı Dynkinuv diagram je souvisly a Dynkinuv dia-gram polojednoduche algebry je disjunktnım sjednocenım Dynkinovych diagramusvych jednoduchych idealu.

Uvazujme nynı neorientovane grafy, ktere jsou potencionalnımi adepty na Dyn-kinuv diagram polojednoduche algebry, tedy na konecne grafy s hranami na-sobnostı 0, 1, 2, 3. Grafu s vrcholy x1, . . . , xm priradıme kvadratickou formu Qpredpisem:

Q(x1, . . . , xm) = 2∑i

x2i −

∑ij

√ηijxixj, (4.12)

kde ηij je nasobnost hrany spojujıcı vrcholy xi, xj. Platı, ze forma Q Dynki-nova diagramu jednoduche algebry je vzdy pozitivne definitnı. Tato podmınka jepomerne restriktivnı. Konkretne dostaneme ctyri serie Dynkinovych diagramu anekolik vyjimecnych diagramu.

Mısto komplexnı polojednoduche algebry lze kazdemu diagramu ze seznamupriradit jednoznacne realnou kompaktnı algebry, kde kompaktnost realne algebryse definuje pomocı Killingovy formy. Klasifikace samotnych realnych algeber jevsak slozitejsı. Realnou algebru r nazveme realnou formou komplexnı algebry g,

27

pokud komplexifikace r je isomorfnı g. Obecne ale ke komplexnı algebre existujevıce realych forem. Jejich klasifikace je mozna naprıklad pres Satakeho diagramy.Viz. napr [4].

Definice 4.16. Necht’ V je reprezentace Lieovy algebry g. Je-li v ∈ V takovy,ze X.v = 0 pro kazdy kladny koren X algebry g, pak vektro v nazyvame vektornejvyssı vahy.

Veta 4.9. Necht’ ϕ : g→ V je reprezentace polojednoduche algebry g. Potom:

1. Pro kazdou vahu λ reprezentace λ a kazdy kokoren Hα platı λ(Hα) ∈ Z.

2. V =⊕

λ Vλ, kde Vλ je podprostor vahovych vektoru s vahou λ.

3. Kazdy ireducibilnı podprostor ma invariantnı doplnek. Tedy kazda reprezen-tace je kompletne reducibilnı.

4. Je-li reprezentace ireducibilnı, pak existuje az na nasobek prave jeden vektornejvyssı vahy. Vaha vektoru nejvyssı vahy je dominantnı vaha.

5. Kazda ireducibilnı reprezentace polojednoduche algebry je tenzorovym soucinemireducibilnıch reprezentacı svych jednoduchych faktoru.

6. Jsou-li V a W dve ireducibnı reprezentace g se stejnou nejvyssı vahou, pakjsou isomorfnı jako g-moduly.

28

Kapitola 5

Kleinovy geometrie

Behem 19. stoletı se objevilo nepreberne mnozstvı geometrickych modelu. Jme-nujme alespon prace Lobacevskeho a Poincareho. Bylo zrejme, ze bude zapotrebıucelenejsı prıstup. Felix Klein (1849-1925) si povsiml, ze k mnoha modelum sevaze grupa, ktera zachovava geometricke vlastnosti modelu. Naprıklad pro Euk-leidovu geometrii to jsou posunutı a rotace. Pusobı-li grupa transitivne na modelu,pak model muzeme chapat jako kvocient podle stabilizatoru nejakeho bodu. Toho vedlo k nasledujıcı definici.

Definice 5.1. Necht’ G je Lieova grupa, necht’ H je uzavrena podgrupa v G. Pakhomogennı prostor G/H nazveme Kleinovou geometriı typu (G,H).

Definice 5.2. Kleinovu geometrii (G,H) nazveme efektivnı, neobsahuje-li Hzadne netrivialnı normalnı podgrupy, a lokalne efektivnı, je-li nejvetsı normalnıpodgrupa K podgrupy H diskretnı.

Necht’ g, h jsou prıslusne Lieovy algebry. Kleinovu geometrii nazveme stepicı,pokud existuje podalgebra n, ze g = h⊕ n.

Kleinovu geometrii nazveme reduktivnı, pokud existuje Ad(H) -invariantnıdoplnek n k h, tedy: n⊕ h = g.

Poznamka 5.1. Je uzitecne si uvedomit, ze s Kleinovou geometriı (G,H) jespojeno nasledujıcı:

1. hladka varieta M = G/H.

2. hlavnı H-bandl H → G→ G/H.

3. MC-forma ωG : T (G)→ g splnujıcı:

29

a ωG je v kazdem bode g ∈ G isomorfismus vektorovych prostoru TgG a g.

b rh∗ωG = Ad(h−1)ωG1 pro kazde h ∈ H.

c ωG(X†) = X pro X ∈ h, kde X† je fundamentalnı pole, viz 3.5.

Definice 5.3. 2-formu Ω = dω + 12[ω, ω] nazyvame formou krivosti konexe ω.

Vıme, ze pro Lieovu grupu G a jejı MC-formu ω platı dω+ 12[ω, ω] = 0. Na ho-

mogennım modelu to jiz platit nemusı. Prıklad homogennıho modelu s nenulovoukrivostı si ukazeme na konci kapitoly.

Prıklad 5.1. Modelem Eukleidovy geometrie dimenze n je dvojice Lieovych grupG =

(1 0v A

), H =

(1 00 A

);A ∈ SO(n), v ∈ Rn

(5.1)

s Lieovymi algebramig =

(1 0v a

), h =

(1 00 a

); a ∈ son, v ∈ Rn

(5.2)

Eukleidovuv model je reduktivnı s rozkladem g = n ⊕ h, kde podalgebra n je(2, 1)-blok v g. Akce G na G/H ∼= Rn jsou prave eukleidovske transformace, tj.rotace a posunutı.

Prıklad 5.2. Dalsım prıkladem je Riemannova sfera dimenze n, coz je homogennıprostor SO(n+1)/SO(n) ∼= Sn. SO(n) je ortogonalnı grupa zachovavajıcı skalarnısoucin na Rn, tj. matice splnujıcı AtA = 1.

Lieovy algebry jsou tvarug = son+1, h =

(0 −vtv a

); a ∈ son, v ∈ Rn

(5.3)

Opet se jedna o reduktivnı geometrii, kde H-invariantnı komplement k h jsoumatice tvaru

n =

(0 −vtv 0

). (5.4)

Definice 5.4. Necht’ (G,H) je Kleinova geometrie. Potom gaugem rozumımesekci σ : G/H → G. Pullback MC formy σ∗ω nazyvame jako infinitesimalnıgauge.

1Viz. 2.3

30

Veta 5.1. Necht’ (G,H) je Kleinova geometrie. Pak T (G/H) ∼= G ×Ad(H) g/hjsou isomorfnı jako vektorove bandly.

Dukaz: viz. [14].

Definice 5.5. 1. Homogennı bandl nad M = G/H je fibrovany bandl π :E → M spolu s levou akcı l : G × E → E, ktera splnuje π(l(g, e)) =l(g, π(e)), kde l je kanonicka leva akce G na G/H.

2. Homogennı vektorovy bandl nad M je homogennı bandl asociovany kreprezentaci H na vektorovem prostoru V .

Vıme, ze hladke sekce na homogennım bandlu jsou v jednoznacne korespon-denci s H-ekvivariantnımi funkcemi (G → V )H . Na funkcıch (G → V )H definu-jeme levou akci G jako g.f(g) := f(g−1g), g, g ∈ G, f ∈ (G, V )H .

Definice 5.6. Konexi γ na K-hlavnım homogennım prostoru P → (G/H) nazyvamehlavnı invariantnı pokud pro kazde g ∈ G platı l∗gγ = γ.

Nasledujıcı vety charakteritujı hlavnı invariantnı konexe na homogenım ban-dlech. Dukazy jsou k nalezenı v [4].

Veta 5.2. Necht’ je dan homomorfismus i : H → K Lieovych grup s algebramih, k a necht’ P := G×iK je asociovany homogennı bandl, kde ekvivalence je danavztahem (gh, k) ∼ (g, i(h−1)k) pro g ∈ G, h ∈ H, k ∈ K. Hlavnı invariantnıkonexe na bandlu P jsou v jednoznacne korespondenci s linearnımi zobrazenımiα : g→ k pro ktera:

1. α|h = i′, kde i′ je derivace i.

2. α Ad(h) = Ad(i(h)) α pro kazde h ∈ H.

Necht’ γ je hlavnı invariantnı konexe indukovana zobrazenım α na bandlu P :=G×i K jako ve vete 5.2. Definujme zobrazenı ψ : g× g→ k predpisem

ψ(X,Y ) 7→ [α(X), α(Y )]− α([X, Y ]). (5.5)

ψ je H-ekvivariantnı a je ψ(X, Y ) = 0, je-li X nebo Y elementem h. Zobrazenıψ je zrejme antisymetricke a redukuje se na zobrazenı ψ : g/h × g/h → k. DıkyH-ekvivarianci tj. rh∗ψ = Ad(h−1)ψ, je ψ dobre definovane na bandlu a konecneψ je krivost konexe γ. Mimojine krivost na homogennım bandlu ma vertikalnıhodnoty.

Specialnım prıpadem je K = H. Potom mame nasledujıcı tvrzenı.

31

Veta 5.3. Na H-hlavnım homogennım bandlu (G→ G/H) existuje G-invariatnıkonexe konexe prave tehdy, kdyz je Kleinova geometrie typu (G,H) reduktivnı.Je-li reduktivnı a n ⊂ g je nejaky pevny H-invariantnı doplnek h, pak vsechnytakove konexe tvorı afinnı podprostor ve vektorovem prostoru HomH(n, h).

Krivost konexe je dana zobrazenım Λ2n→ h

(X,Y ) 7→ −[X, Y ]h, (5.6)

kde subskript znacı h komponentu v rozkladu g = h⊕ n

Jak jsme poznameli drıve, Eukleidova geometrie i Riemannova sfera jsou re-duktivnı modely. Protoze Rn i son jsou dva neisomorfnı ireducibilnı SO(n)-modulymame z Schurova lemmatu, ze jedine H-ekvivariantnı zobrazenı n → h je nulovezobrazenı.

V Eukleidove modelu je n abelovska, tj [n, n] = 0 a dle vety 5.3 se jednalokalne plochy model. V prıpade Riemannovy sfery je [n, n] ⊆ h. Protoze zavorkaje obecne nenulova, mame nenulovou krivost.

Nynı si podobnou charakterizaci zformulujeme pro konexi na vektorovych ban-dlech.

Veta 5.4. Necht’ G je Lieova grupa a H jejı Lieova podgrupa. Necht’ ρ : H →GL(V ) je reprezentace a E = G ×H V homogennı vektorovy bandl adjungovanyk teto reprezentaci. Pak G-invariantnı konexe na E jsou v jednoznacne korespon-denci s linearnımi zobrazenımi α : g→ Lin(V, V ), ktere splnujı:

1. α|h = ρ′, kde ρ′ je derivace ρ.

2. α(Ad(h)(X)) = ρ(h) α(X) ρ(h−1) pro kazde X ∈ g, h ∈ H.

Definice 5.7. Necht’ E a F jsou dva homogennı vektorove bandly nad G/H aso-ciovane k reprezentacım podgrupy H. Diferencialnı operator D : Γ(E) → Γ(F)na sekcıch homogennıch bandlu nazveme invariantnı, pokud nasledujıcı diagramkomutuje

Γ(E) D //

G

Γ(F)

G

Γ(E) D // Γ(F)

(5.7)

.

32

Kapitola 6

Cartanovy Geometrie

Definice 6.1. Necht’ M je hladka varieta s nedegenerovanou pozitivne definitnımetrikou g na tecnem prostoru TM . Dvojici (M, g) nazyvame Riemannovou va-rietou.

Riemannovou geometriı rozumıme nejakou Riemannovu varietu. Riemannovaa Kleinovy geometrie byli dlouhou dobu dva oddelene svety geometrie. Spojit je, sepodarilo francouzskemu matematikovi Elie Cartanovi (1869-1951), jehoz prıstupke geometrii se pouzıva dodnes.

Definice 6.2. Modelem Cartanovy geometrie rozumıme nasledujıcı:

1. Lieovy algebry g, h, kde h je podalgebra g.

2. Lieovu grupu H realizujıcı h a reprezentaci, kterou oznacme Ad : H → Gl(g)rozsırujıcı Adh : H → Gl(h).

Jadro reprezentace Ad se nazyva jadro modelu geometrie. Je-li jadro trivialnı,mluvıme o efektivnım modelu geometrie, je-li diskretnı, pak mluvıme o lokalneefektivnım modelu. Model se nazyva primitivnı, je-li h maximalnı podalgebrag. Pokud existuje H-modul p tak, ze g = h⊕ p, pak model oznacıme jako reduk-tivnı.

Definice 6.3. Necht’ G je Lieova grupa a H jejı uzavrena Lieova podgrupa, sLieovymi algebrami g, respektive h. Cartanova geometrie ξ = (P , ω) na hladkevariete M typu (G,H) je hlavnı H-bandl P spolu s Cartanovou g-formou (nebotez budeme pouzıvat termın konexe) ω na P, ktera splnuje:

1. v kazdem bode p ∈ P, linearnı zobrazenı ωp : TpP → g je isomorfismusvektorovych prostoru.

33

2. (rh∗ω = Ad(h−1)ω pro kazde h ∈ H.

3. ω(X†) = X pro kazde X ∈ h.

Oznacme jako π : P → M projekci na bandlu P . Z 6.3.3 plyne, ze ω−1h jevertikalnı smer na bandlu P . Z podmınky 6.3.1 plyne, ze dimenze M je rovnadim(g/h).

Definice 6.4. Definujme formu Ω = dω + 12[ω, ω]. Forma Ω se nazyva formu

krivosti. Je-li ρ : g → g/h prirozena projekce, pak ρ(Ω) je forma torze. Je-liforma torze nulova, pak mluvıme o beztorznı konexi. Je-li forma krivosti vsudenulova, pak hovorıme o lokalne ploche konexi nebo geometrii.

Cartanovu geometrii oznacıme efektivnı, primitivnı nebo reduktivnı, je-litakovy model geometrie.

Definice 6.5. Necht’ (P1, ω1), (P2, ω2) jsou dve Cartanovy geometrie na varietachM1,M2 modelovane na (G/H). Necht’ f : M1 → M2 je immerse s liftem f :P1 → P2 takovym, ze f ∗ω2 = ω1. Potom f nazyvame lokalnım isomorfismemgeometriı. Je-li navıc f difeomorfismus, pak jej nazyvame isomorfismem ge-ometriı.

Prıklad 6.1. Kleinovy geometrie tvorı podtrıdu Cartanovych geometriı.Cartanovy geometrie modelovane na afinnıch extenzıch podgrup Gl(n).Takova je i Riemmanova geometrie, coz je beztorznı Cartanova geometrie mo-

delovana na Eukleidovskem modelu.

Nasledujıcı veta charakterizuje lokalne Kleinovy geometrie.

Veta 6.1. Necht’ (P → M,ω) je plocha, efektivnı Cartanova geometrie typu(G/H). Potom kazdy bod M ma otevrene okolı, ktere je kanonicky isomorfnıotevrene mnozine Kleinovy geometrie (G/H).

Dukaz: viz. [14]

Veta 6.2. Necht’ (p : G →M) je Cartanova geometrie typu (G/H). PakT (M) ∼= G ×Ad(H) g/h jsou isomorfnı jako vektorove bandly.

Dukaz: viz. [14]

34

Necht’ M je hladka varieta. K zadefinovanı Cartanovy geometrie typu (G/H),tj. H-hlavnıho bandlu H → P →M , nam stacı kolekce (θα,Uα);α ∈ A, kde θαjsou g-formy definovane na otevrenych mnozinach Uα ⊆M , ktera splnuje:

1. kolekce Uα;α ∈ A je otevrene pokrytı variety M .

2.

θα(x) : TxMθα // g

projekce // g/h

je v kazdem bode x ∈ Uα linearnı isomorfismus.

3. kazde dve formy jsou kompatibilnı na pruniku svych definicnıch oboru, tj.pro kazde α, β ∈ A, na Uα∩Uβ platı, ze θα = Ad(k−1)θβ +k∗ωH pro nejakouhladkou funkci k : Uα ∩ Uβ → H.

Pomocı techto lokalnıch forem jsme jiz schopni hlavnı bandl poslepovat. Kolekci(θα,Uα);α ∈ A spnujıcı tyto tri podmınky nazyvame Cartanovym atlasem.

Cartanovu geometrii muzeme chapat jako krivou verzi Kleinovych geometriı,ale tato krivost se projevuje jen v horizontalnım smeru, jak plyne z nasledujıcıhotvrzenı.

Veta 6.3. Necht’ (P , ω) je Cartanova geometrie a Ω je forma krivosti. Necht’ dalep ∈ P a u, v ∈ TpP. Potom Ω(u, v) = 0 je-li u nebo v vertikanı smer.

Dukaz: viz. [14]

Lemma 6.1. Necht’ V ⊆ g je vektorovy podprostor genererovany obrazem formykrivosti Ω : Λ2g/h→ g, potom V je H-podmudul.

Dukaz: viz. [14]

H-modul Λ2g/h∗ ⊗ g se casto rozklada na sumu ireducibilnıch H-podmodulu.Cartanovy geometrie (G, ω) muzeme klasifikovat podle toho, jak v jake casti Ω ∈Λ2g/h∗ ⊗ g lezı.

Naprıklad v Riemannove geometrii se Λ2Rn∗⊗son rozklada jako SO(n)-modulna Weyluv modul a Ricciho modul. Ricciho modul se dal rozklada na symetrickybezestopy modul a cistou stopu. Podrobnosti jsou napr. v knize [14].

Pro Kleinovu geometrii (G/H) jsme ve vete 5.3 ukazali, ze G-invariantnı ko-nexe na (G/H) existuje prave tehdy, kdyz je reduktivnı. Podobne tvrzenı muzeme

35

zformulovat i pro prıpad Cartanovi geometrie (P , ω). Predpokladejme, ze modelje reduktivnı, tj. existuje H-invariantnı doplnek n k podlagebre h. Rozlozme Car-tanovu konexi na ω = ωn + ωh. Potom ωh je podle definice H-hlavnı konexe na Pa tudız indukuje hlavnı konexi na libovolnem asociovanem bandlu.

Definice 6.6. Necht’ h je Lieova podalgebra glnR. Definujeme zobrazenı

∂ : Lin(Rn, h) −→ Lin(Λ2Rn ⊗ Rn)

jako

Rn ⊗ h → Rn∗ ⊗ Rn∗ ⊗ Rn −→ Λ2Rn∗ ⊗ Rn , (6.1)

kde druhe zobrazenı je antisymetrizace v prvnıch dvou slozkach. Jadro ∂ nazyvameprvnı prolongacı a znacıme h1.

Poznamka 6.1. Ekvivalentne lze ∂ zapsat jako ∂ψ(X, Y ) = ψ(X)(Y )−ψ(Y )(X), ψ ∈Lin(Rn, h), X, Y ∈ Rn.

Necht’ ω = θ + γ je rozklad Cartanovy konexe na solder formu θ ∈ Ω1(P ,Rn)a γ ∈ Ω1(P , h). Uvazujme zobrazenı ψ : Rn → h. Oznacme jako ω = θ + γ, kdeγ = γ + ψ θ. Forma ω splnuje vsechny axiomy Cartanovy konexe a je to jedinamoznost, jak muzeme Cartanovu konexi menit. Chceme spocıtat, jak se takovazmena projevı na torzi T Cartanovy konexe.

Veta 6.4. Necht’ M je varieta s afinnı konexı ω modelovane na afinnı extenziH ⊆ Gl(nR) s torzı T . Necht’ ω = θ + γ, kde γ = γ + ψ θ, pro ψ ∈ Lin(Rn, h).Potom ω je Cartanova konexe s torzı T = T + ∂ψ.

Dukaz: viz. [4]

Pro ψ ∈ Ker(∂) majı pak konexe ω a ω stejnou torzi a torze afinnıch konexıtvorı afinnı prostor modelovany na Lin(Rn, h).

Veta 6.5. Necht’ j : H → Gl(n,R) je hladky lokalne injektivnı homomorfismusLieovych grup a necht’ A(m,H) je afinnı extenze H.

1. Predpokadejme, ze N ⊆ Λ2Rm∗⊗Rm je H-invariantnı doplnek k im(∂) a zeKer(∂) ma H-invariantnı doplnek. Potom kazda G-struktura prvnıho radu(P → M,ω) se strukturnı grupou H pripoustı afinnı konexi, ktera ma torziv podmodulu N.

36

2. Je-li h1 = 0, potom kazda afinnı konexe na G-strukture prvnıho radu(P →M,ω) se strukturnı grupou H je jednoznacne urcena svou torzı.

Dukaz: viz. [4]

Prıklad 6.2. Necht’ h = son. Pro jednoduchost pisme tenzory z Rn⊗ son s indexydole. Pro tijk ∈ Rn ⊗ son mame antisymetrii v poslednıch svou indexech, ma-litijk ∈ so1

n, pak tijk = tjik. Potom ale

tijk = −tikj = tkij = −tkji = tjki = −tjik = −tijk.

Vidıme tedy, ze h1 = 0. Protoze navıc ∂ je epimorfismus a jsou splneny vsechnypredpoklady vety 6.5, dostavame jednoznacnost a existenci beztorznı konexe, kterazachovava Riemannovu strukturu. Teto konexi se rıka Levi-Civitova konexe.

Definice 6.7. Necht’ (VM) a (WM) jsou dva vektorove bandly na Cartanovegeometrii (p : P → M) typu (G,H) asociovane k reprezentacım podgrupy H.Diferencialnı operator na sekcıch D : Γ(VM)→ Γ(WM) nazveme invariantnı,pokud komutuje s akcı strukturnı grupy H.

37

Kapitola 7

Parabolicke geometrie

7.1 Gradovane polojednoduche algebry

Definice 7.1. Necht’ g je polojednoducha Lieova algebra a necht’ k je nenuloveprirozene cıslo. k-gradace na g je rozklad g = g−k ⊕ . . . ⊕ gk na direktnı sumupodprostoru takovych, ze [gi, gj] ⊆ gi+j, kde definujeme gl = 0 pro |l| > k, a navıcg− := g−k ⊕ . . .⊕ g−1 je generovana jako Lieova algebra g−1.

Definice 7.2. Necht’ g je polojednoducha realna nebo komplexnı algebra. Ma-ximalnı resitelnou podalgebru nazyvame Borelovou.

Pro volbu Cartanovy algebry h a kladnych korenu nazyvame podalgebru ge-nerovanou h ∪ ∆+ standartnı Borelovou podalgebrou. (Standartnı) parabolickapodalgebra p ⊆ g je podalgebra, ktera obsahuje (standartnı) Borelovu podalgebru.

Protoze kazda Cartanova podalgebra, stejne jako volba kladnych korenu, jepro komplexnı polojednoduchou algebru unikatnı az na konjugaci vnitrnım auto-morfismem, stacı kdyz se omezıme na standartnı Borelovy podalgebry.

Standartnı parabolicke podalgebry jsou v jednoznacne korespondenci spodmnozinami kladnych korenu. Parabolicka podalgebra p urcuje mnozinu

Σp := α ∈ ∆0; g−α p. (7.1)

Naopak podlagebra generovana standartnı Borelovou a doplnkem k∑⊆ ∆0

urcuje standartnı parabolickou.Necht’ g je komplexnı polojednoducha Lieova algebra s Cartanovou podalge-

brou h, s mnozinou korenu ∆ a volbou positivnıch korenu ∆0. Necht’ p je parabo-licka podalgebra urcena Σ jako v 7.1. Necht’ α ∈ ∆. Definujme htΣ(α) jako soucet

38

koeficientu v jednoznacnem vyjadrenı α pomocı jednoduchych korenu ze Σ. Necht’

gi := ⊕α;htΣ(α)=igα pro 0 6= i a g0 := h ⊕α;htΣ(α)=0 gα. Necht’ k je nejvetsı cıslo

takove, ze gk 6= 0. Potom g =⊕k

i=−k gi.

Veta 7.1. Necht’ g je komplexnı polojednoducha Lieova algebra s Cartanovoupodalgebrou h a s mnozinou korenu ∆ a volbou positivnıch korenu ∆0. Necht’

Σ ⊆ ∆0.

1. Necht’ p je standartnı parabolicka podalgebra odpovıdajıcı Σ ⊆ ∆0. Pak de-kompozice g = g−k⊕ . . .⊕gk podle htΣ dava k-gradaci. Navıc g0 je reduktivnıa dimenze z(g) je rovna mohutnosti Σ.

2. Necht’ naopak g = g−k ⊕ . . . ⊕ gk je k-gradovana, pak g0 = g0 ⊕ . . . ⊕gk je parabolicka. Pak gradace je dana htΣ pro vhodnou volbu Cartanovypodalgebry a kladnych korenu, ze g0 je standartnı parabolicka.

3. Dynkinuv diagram Leviho faktoru g0 lze pak jednoduse obdrzet odstranenımskrtnutych korenu a hran, ktere z nej vychazejı.

Dukaz: viz. [4]

Nazorne si vse muzeme popsat na prıkladu sln+1C. Pripomenme, ze se jedna oalgebru bezestopych matic. Skrtnutı j-teho korenu v diagramu An je zachycenona diagramu nıze:

j

n+ 1− j

0 1

-1 0(7.2)

Gradace pri skrtnutı trı korenu se dostane jako superpozice prıslusnych trıdiagramu.

0 1

-1 00 1-1 0

0 1

-1 0

0 1 2 3-1 0 1 2-2 -1 0 1-3 -2 -1 0

(7.3)

Z techto diagramu je zrejme, jak by vypadala gradace pri skrtnutı libovolnepodmnoziny jednoduchych korenu. Je-li I = i1, . . . , ij mnozina skrtnutych jed-noduchych korenu diagramu An, potom Leviho faktor gss0 je suma Ai1−1 ⊕ . . . ⊕An−ij a g1 = g1

1 ⊕ . . .⊕ gj1.

39

Centrum muzeme reprezentovat naprıklad diagonalnımi maticemi, jejichz prvkyna diagonale jsou konstantnı v kazdem jednoduchem scıtanci gss0 . Naprıklad prosl5C se skrtnutym prvnım a tretım korenem je dimenze centra rovna dvema a jakobazi muzeme zvolit naprıklad matice A,B

A =

2 0 0 0 00 -1 0 0 00 0 -1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

B =

2 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 -1 00 0 0 0 -1

. (7.4)

Oznacme dale jako p := g0 ⊕ . . .⊕ gk a p+ := g1 ⊕ . . .⊕ gk. Pak zrejme p a g0

jsou podalgebry a p+ je nilpotentnı podalgebra.Dale oznacme jako gi := gi ⊕ . . .⊕ gk filtraci asociovanou ke gradaci.

Veta 7.2. Necht’ g je k-gradovana polojednoducha Lieova algebra nad R nebo Ca B bud’ Killingova forma. Potom:

1. Existuje prave jeden prvek E ∈ g takovy, ze [E,X] = jX pro kazde j aX ∈ gj. E navıc lezı v centru podalgebry g0 ∈ g. Tento prvek budeme dalenazyvat gradovacı element.

2. Isomorfismus g a dualu g∗ zprostredkovany Killingovou formou B indukujedualitu mezi gi a g−i jako g0-modulu.

Dukaz: viz. [4]

Veta 7.3. Necht’ g je k-gradovana realna nebo komplexnı polojednoducha Lieovaalgebra.

1. Potom kazda kompletne reducibilnı reprezentace p je dana kompletne redu-cibilnı reprezentacı g0, na ktera je akce p+ rozsırena trivialne.

2. Necht’ V je konecne dimenzionalnı reprezentace p takova, ze z(g)0 pusobıdiagonalizovatelne. Potom na V existuje p-invariantnı filtrace V = V 0 ⊃V 1 . . . ⊃ V n ⊃ V n+1 = 0 takova, ze kvocienty V i/V i+1 jsou kompletnereducibilnı reprezentace p. Je-li VC komplexifikace reprezentace V , pak akcecentra na VC je vzdy diagonalizovatelna.

3. Kazda ireducibilnı reprezentace g0 je tensorovym soucinem ireducibilnı re-prezentace centra a ireducibilnı reprezentace polojednoduche casti.

40

Dukaz: viz. [4]

Definice 7.3. Necht’ g = g−k ⊕ . . . ⊕ gk je k-gradovana polojednoducha Lieovaalgebra. Necht’ G je Lieova grupa s algebrou g. Pak definujeme podgrupy G0 ⊆P ⊆ G takto:

G0 := g ∈ G : Ad(g)(gi) ⊆ gi,∀i = −k, . . . , k

P := g ∈ G : Ad(g)(gi) ⊆ gi,∀i = −k, . . . , k.

Tohoto oznacenı se budeme drzet, pokud nebude receno jinak, po zbytek tetoprace.

Veta 7.4. Necht’ g = g−k⊕ . . .⊕gk je k-gradovana polojednoducha Lieova algebraa necht’ G je Lieova grupa s algebrou g. Potom:

1. G0 ⊆ P ⊆ G jsou uzavrene podgrupy s algebrami g0, resp. p.

2. Zobrazenı g0 7→ g0 exp(Z) je difeomorfismus G0 × p+ a P. Zobrazenı(g0, Z1, . . . , Zk) 7→ g0 exp(Z1) . . . exp(Zk) je difeomorfismus G0×g1× . . .×gka P.

Dukaz: viz. [4]Obraz exp p+ budeme znacit P+. Pak P = G0 n P+ a P+ je nilpotentnı pod-

grupa.

7.2 Parabolicke geometrie

Definice 7.4. Lieovu grupu G nazveme polojednoduchou, je-li soucinem jedno-duchych Lieovych grup.

Definice 7.5. Necht’ G je polojednoducha Lieova grupa s k-gradovanou polojed-noduchou Lieovou algebrou g a s maximalnı podgrupou P , ktera zachovava filtraci.Parabolicka geometrie typu (G,P ) je Cartanova geometrie modelovana na modelu(g, p) s adjungovanou reprezentacı grupy P na Gl(g).

Podıvejme se na parabolickou Kleinovu geometrii (G/P ) a na G-invariantnıkonexe na tecnem bandlu T (G/P ). Z vety 5.2 vıme, ze takova konexe je danaP -ekvivariantnım zobrazenım

Φ : g→ Lin(g/p, g/p), (7.5)

41

ktere navıc splnuje Φ(X) = Ad(X) pro vsechna X ∈ p. Veta 7.5 rıka, ze existenceΦ je ekvivalentnı reduktivnosti Kleinovy geometrie, tedy existenci p-invariatnıhodoplnku k p. Lze vsak jednoduse ukazat, ze takovy doplnek existovat nemuze.Nasledujıcı veta shrnuje nekolik zakladnıch poznatku.

Veta 7.5. Necht’ (G/P ) je Kleinova parabolicka geometrie a g k-gradovana Lieovaalgebra G. Potom

1. Kleinova geometrie (G/P ) je lokalne efektivnı prave tehdy, kdyz zadny jed-noduchy ideal g nenı obsazen v g0. Pokud je lokalne efektivnı, pak jadromodelu K je diskretnı podgrupa G0 a vsechny lokalnı isomorfismy parabo-lickych geometriı typu (G,P ) jsou jednoznacne urceny immersı podkladovychvariet az na nasobek lokalne konstatnı funkcı s hodnatmi v K.

2. Kleinova geometrie (G/P ) se stepı na g = g−⊕g, ale nenı reduktivnı, nebot’

je-li n libovolny doplnek k p, pak p-modul generovany n je direktnım souctemvsech jednoduchych idealu g, ktere nejsou obsazeny v g0.

3. Na tecnych bandlech parabolickych geometriıch typu (G/P ) neexistuje zadnaprirozena konexe a zadna prirozena Riemannova metrika.

Dukaz: viz. [4]

Prirozena konexe je termın z teorie kategoriı. Cartanovy geometrie (pevnehotypu (G/H)) a lokalnı isomorfimy tvorı kategorii. Pro reprezentaci (V, ρ) grupyP mame funktor, ktery kazde Cartanove geometrii priradı asociovany vektorovybandl. Je-li model reduktivnı potom, jak jsme poznamenali v predesle kapitole,h-komponenta Cartanovy konexe ω je H-hlavnı a indukuje konexi na asocio-vanem bandlu. V prıpade, ze model reduktivnı nenı, pak takovou konexi nemame.Tento problem muzeme obejıt naprıklad pres traktorove bandly, jak uvidıme vnasledujıcı kapitole.

Parabolicka geometrie na variete M muze byt po normalizacnıch podmınkachjednoznacne urcena slabsı podkladovou strukturou na variete. Tyto podstrukturyvsak mohou byt velice zajımave a nazornejsı nez samotna parabolicka struktura.Jako prıklad muze poslouzit konformnı struktura, ktere je venovana poslednı ka-pitola. Nynı si popıseme nejjednodussı obecny prıklad takove podstruktury.

Necht’ (p : G → M) je parabolicka geometrie. Faktrorizujme G na orbitypodle akce P+ a oznacme jej G0 := G/P+ spolu s kanonickou projekcı π : G → G0.

42

Projekce p se faktorizuje na projekci p0 : G0 →M . G0 je hlavnı bandl se sktrukturnıgrupou G0

∼= P/P+. Potom π : G → G0 je hlavnı bandl se strukturnı grupou P+.Cartanova konexe indukuje isomorfimus bandlu TG ∼= G ×P g. Filtraci na

Lieove algebre g muzeme prenest i na TG a definovat T iG jako G×P gi. Dostavametak filtraci podbadlu T−kG ⊃ T−k+1G ⊃ . . . ⊃ T kG. Stabilita filtrace g vuci akciP zarucuje stabilitu podbadlu T iG vuci akci strukturnı grupy P .

Filtrace podbandlu T iG muzeme projektovat na bandl G0. Protoze T 1G jejadro projekce π, dostaneme filtaci TG0 = T−kG ⊇ . . . ⊇ T 0G a TM = T−kM ⊇. . . ⊇ T−1M . Definujme zrejmym zpusobem gradaci na TM jako gri(TM) :=T iM/T i+1M .

Veta 7.6. Necht’ (p : G → M,ω) je parabolicka geometrie. Necht’ G0 := G/P+

je G0-hlavnı bandl popsany vyse. Potom pro kazde i = −k, . . . ,−1 Cartanovakonexe ω urcuje sekci ω0

i bandlu Lin(T iG0, gi). Pro kazde i = −k, . . . ,−1 je jadrozobrazenı ω0

i rovne T i+1M a ω0i je G0-ekvivariantnı: (rg)∗ω0

i = Ad(g−1)ω0i .

Dukaz: viz. [4]

Nynı se dostavame k definici podkladove podstruktury pro parabolickou geo-metrii.

Definice 7.6. Infinitesimalnı vlajkova struktura typu (G,P ) na hladke va-riete M je zadana nasledujıcım:

1. Filtracı TM = T−kM ⊇ . . . ⊇ T−1M takovou, ze pro kazde i = −k, . . . ,−1je dimenze T iM rovna dimenzi gi/p.

2. Hlavnım G0-bandlem p : E →M .

3. Kolekcı Θ = (Θ−k, . . .Θ−1) hladkych sekcı Θi ∈ Γ(L(T iM), gi), ktere jsouG0-ekvivariantnı: (rg)∗ω0

i = Ad(g−1)ω0i , g ∈ G0 a jadro Θi je rovno T i+1M .

Definice 7.7. Weylova struktura pro parabolickou geometrii typu (p : G →M,ω)je globalnı hladka G0-ekvivariantnı sekce σ : G0 → G vuci projekci π : G → G0.

Veta 7.7. Necht’ (p : G → M,ω) je libovolna parabolicka geometrie. Pak bandlπ : G → G0 je trivianı, specialne Weylova struktura vzdy existuje.

Je-li σ jedna takova struktura, pak vsechny ostatnı Weylovy struktury tvorıafinnı prostor na hladkych sekcıch Γ(gr(T ∗M)). Explicitne, kazda dalsı strukturaje tvaru σ(u) = σ(u)exp(Υ1(u)) . . . exp(Υk(u)) pro Υi ∈ Γ(gri(T

∗M)).

Dukaz: viz. [4]

43

Veta 7.8. Necht’ σ : G0 → G je Weylova struktura na parabolicke geometriip : G →M . Potom:

1. Komponenta σ∗ω0 ∈ Ω1(G0, g0) urcuje hlavnı konexi na bandlu(p0 : G0 →M).

2. Komponenty σ∗ω−k + . . .+ σ∗ω−1 urcujı isomorfismus

TM → gr(TM) = T−kM/T−k+1 ⊕ . . .⊕ T−1M.

3. Komponenty urcujı σ∗ω1 + . . .+ σ∗ωk jedna formu P ∈ Ω1(M, gr(T ∗M)).

Dukaz: viz. [4]

Definice 7.8. 1. Hlavnı konexe σ∗ω0 na G0 → M se nazyva Weylova ko-nexe.

2. Gr(TM)-forma urcena negativnımi komponentami σ∗ω se nazyva solderforma asociovana k Weylove strukture.

3. Forma P se nazyva Rho-tensor asociovay k σ.

Z vety 3.1 vıme, ze Weylova konexe na G0 indukuje konexi i na asociovanychbandlech k G0.

Veta 7.9. Necht’ (p : G → M,ω) je parabolicka geometrie a S hladka varieta sakcı P . Weylova struktura σ dava isomorfismus G×P S ∼= G0×P S a tudız indukujekonexi na asociovanem bandlu G ×P S

Dukaz: viz. [4]

Poznamka 7.1. Necht’ V je reprezentace P , ktera je jako reprezentace G0 uplnereducibilnı. Na V definujeme induktivne filtraci V 0 := V a V i+1 := p+.V

i. Kazdypodprostor V i je P -ireducibilnı a mame tedy P -invariantnı filtraci V 0 ⊇ V 1 ⊇. . . ⊇ V n+1 = 0.

Na asociovanem gradovanem prostoru gri(V ) := V i/V i je reprezentace p+

trivialnı nebot’ dle definice p+.Vi ⊆ V i+1. Protoze V je jako reprezentace G0

kompletne reducibilnı, muzeme pro kazde i > 0 najıt G0-ireducibilnı podmodulVi ⊂ V i takovy, ze V i = V i+1 ⊕ Vi. Specialne gri(V ) = V i/V i+1 ∼= Vi a jako G0-modul je V = V0 ⊕ . . .⊕ Vn, tedy V je prirozene isomorfnı gr(V ) jako G0-modul.

Necht’ π : G → G0 je prirozena projekce. Potom zobrazenı π× id : G×gr(V)→G0 × gr(V) indukuje difeomorfismus G ×P gr(V)→ G0 ×G0 gr(V) a pomocı iden-tifikace vyse, druhy bandl je prirozene isomorfnı s G0 ×G0 V.

44

Turo konstrukci muzeme zobecnit i na bandly a to sice nasledujıcım zpusobem.Necht’ VM je asociovany vektorovy bandl k reprezentaci V . Pripomenme, ze Killin-gova forma indukuje isomorfismu p+

∼= g∗− a tudız isomorfismus bandlu G×P p+∼=

T ∗M . Akci p na V muzeme dıky P -ekvivarianci rozsırit na zobrazenı(T ∗M)× (VM)→ VM ,

(u, Z) • (u, v) := (u, Z.v) (7.6)

pro u ∈ G, Z ∈ p+, v ∈ V , ale zkracene to budeme zapisovat jen Z • v. BandlVM je tedy modul nad T ∗M a filtrace na VM je dana V0M := VM,V i+1M :=T ∗M •V iM . Asociovany gradovany bandl je gri(VM) = V iM/V i+1M a gr(VM) =gr0(VM),⊕ . . . ⊕ grn(VM). Weylova struktura σ indukuje isomorfismus VM ∼=gr(VM). Tento isomorfismus nenı kanonicky, ale zavisı na volbe Weylovy struk-tury.

OznacenıJe-li v ∈ Γ(gr(VM)), pak v budeme zapisovat do homogennıch komponent

jako vσ = (v0, . . . , vk). Necht’ i = (i1, . . . , ik), ij ≥ 0, j = 1, . . . , k je multiindex.Potom definujeme i! = i1!, . . . , ik!, ‖i‖ = i1 + 2i2 + · · ·+ kik, (−1)i = (−1)i1+...+ik .

Veta 7.10. Necht’ σ = σ exp(Υ1(u)) . . . exp(Υk(u)) jsou dve Weylovy strukturys Υi ∈ Γ(gri(T

∗M)). Necht’ V je reprezentace P , ktera je kompletne reducibilnıjako reprezentace G0. Potom isomorfismy VM → gr(VM) indukovane σ a σ jsouv relaci

vl =∑

‖i‖+j=l

(−1)iΥi11 • . . . •Υik

k • (vj).

Dukaz: viz. [4]

Veta 7.11. Necht’ σ = σ exp(Υ1(u)) . . . exp(Υk(u)) jsou dve Weylovy strukturys Υi ∈ Γ(gri(T

∗M)). Necht’ V je reprezentace P , ktera je kompletne reducibilnıjako reprezentace P . Potom asociovane Weylovy konexe ∇ a ∇ jsou v relaci:

∇ξs = ∇ξs+∑

‖i‖+j=0

(−1)i

i!

(ad(Υik

k ) . . . ad(Υi11 )(ξj)

)• s,

kde s ∈ Γ(VM) a (ξσ) = (ξ−k, . . . , ξ−1).

Dukaz: viz. [4]

Definice 7.9. Necht’ σ : G0 → G je Weylova struktura.

45

1. Forma hlavnı konexe γσ ∈ Ω1(G, p) na G asociovana k σ je definovana jako

γσ(σ(u).g)(ξ) := ωp(σ(u))(Trg−1

.ξ),

u ∈ G0, g ∈ P+ a ωp je p komponenta Cartanovy konexe na G.

2. Pro libovolny vektorovy bandl kovariantnı derivovanı indukovane konexı γσ

nazyvame Rho-corrected derivacı asociovanou k Weylove strukture σ a znacıme∇P.

Veta 7.12. Necht’ σ : G0 → G je Weylova struktura s Weylovou konexı ∇ a Rho-corrected derivacı ∇P . Potom pro vektorovy bandl VM = G ×P V je ∇P danavzorcem

(∇Pξ s)i = ∇ξs+

k∑j=1

Pj(ξ) • si−j,

s ∈ Γ(VM), ξ ∈ X(M), sσ = (s0, . . . , sn) a (∇Pξ s)σ = ((∇P

ξ s)0, . . . , (∇Pξ s)n). Tento

vzorec budeme zkracene zapisovat jako ∇Pξ = ∇ξs+ P(ξ) • s

Dukaz: viz. [4]

46

Kapitola 8

Traktorovy bandl

Veta 8.1. Necht’ G a K jsou Lieovy grupy, H Lieova podrgupa v G, i : H → Khomomorfismus. Necht’ P je Cartanova geometrie typu (G,H) a

j : P → P ×i K, j(p) = [p, e],

kde [p, e] je trıda obsahujıcı prvek (p, e). α : g → k mapa splnujıcı predpoklady zvety 5.2. Pak na P ×i K existuje prave jedna hlavnı konexe γα, ze j∗γα = α ω.

Dukaz: viz. [4]

Necht’ (P → M,ω) je Cartanova geometrie typu (G,P ). Zaved’me rozsıreny

hlavnı G-bandl P := (P ×H G → M). Na tomto rozsırenem bandlu a k nemuasociovanym bandlum vzdy existuje prirozena G-invariantnı konexe, ktera je danaidentickym zobrazenım id : g→ g.

Definice 8.1. Necht’ P je Cartanova geometrie typu (G,P ). Uvazujme vekto-rovy bandl P ×P V asociovany k reprezentaci P na vektorovem prostoru V , kteraje restrikcı reprezentace G na V . Takovy vektorovy bandl nazyvame traktorovybandl.

Specialnı prıpad traktoroveho bandlu je bandl asociovany k adjunkovane re-prezentaci P na g. Tento bandl nazyvame adjungovany traktorovy bandl aoznacovat dale jako AM . P -invariantnı filtrace gi dobre definuje filtraci i na AiM ,kde AiM ∼= P ×P gi.

Z kratke exaktnı posloupnosti P -modulu 0 → h → g → g/p → 0 dostav8mekratkou exaktnı posloupnost vektorovych bandlu:

0→ P ×p p→ AM → TM → 0

47

Oznacme jako Π : AM → TM kanonickou projekci.

Veta 8.2. Necht’ (P →M, ω) je Cartanova geometrie typu (G,P ). Necht’ P×P Vje traktorovy vektorovy bandl a necht’ AM →M je adjungovany traktorovy bandl.Potom:

1. Zobrazenı

, : AM ×AM → AM, X,Y := ω−1[ω(X), ω(Y )],

X, Y ∈ AxM je P -ekvivariantnı a pro kazde x ∈ AM indukuje isomorfismusLieovych algeber (AxM, , ) ∼= (g, [ , ]).

2. Hladke sekce Γ(AM) odpovıdajı P -ekvivariantnım vektorovym polım na P.Tento isomorfismus indukuju Lieovu zavorku na Γ(AM). Pro s1, s2 ∈ Γ(AM)navıc platı

Π([s1, s2]

)= [Π(s1),Π(s2)],

kde zavorka vpravo je komutator dvou polı na TM .

3. Pro kanonicke traktorove konexe ∇A a ∇V na AM , respektive VM , platınasledujıcı identity:

∇Aξ s1, s2 = ∇A

ξ s1, s2+ s1,∇Aξ s2

∇Vξ (s • t) = (∇A

ξ s) • t+ s • (∇Vξ t),

pro s1, s2 ∈ Γ(AM), t ∈ Γ(VM), ξ ∈ X(M) a operace • viz. 7.6.

Dukaz: viz. [4]

Poznamka 8.1. Uvazujme adjungovany traktorovy bandl AM a asociovany gra-dovany gr(AM) = gr−k(AM)⊕ . . .⊕grk(AM). Pro kazdy x ∈M existuje ve fıbrugr(AxM) prave jeden element E(x) takovy, ze E(x), je nasobenı cıslem j nakazde gradavane komponente grj(AxM). Tyto elementy dohromady tvorı hladkousekci E ∈ Γ(gr0(AM)) zvanou gradovacı sekci. Pokud nahlızıme na gr(AM) jakona G0×G0 g (viz.7.1), pak gradovacı sekce odpovıda konstantnı sekci Eσ = (σ,E).

Pri volbe Weylovy struktury σ dostaneme isomorfismus AM → gr(AM) atudız i sekci Eσ ∈ Γ(AM) odpovıdajıcı gradovacı sekci. Sekce Eσ je sekce A0M ,ktera se pri projekci A0M → gr0(AM) zobrazı na E.

48

Definice 8.2. Necht’ (P →M) je parabolicka Cartanova geometrie a necht’ VM jevektorovy bandl asociovany k reprezentaci P na V . Pro s ∈ Γ(AM), σ ∈ Γ(VM)mame odpovıdajıcı P -ekvivariantnı funkce ξ ∈ X(P)P , f ∈ C∞(VM)P . Pomocıteto identifikace definujeme operator D : Γ(AM)× Γ(VM)→ Γ(VM)

Dsσ := ξ.f. (8.1)

Veta 8.3. Necht’ VM je traktorovy bandl, potom pro operator D platı:

Dst+ s • t = ∇VΠ(s)t,

kde s ∈ Γ(AM), t ∈ Γ(VM) a ∇V je kanonicka traktorova konexe. Tedyspecialne Dst = −s • t pro s vertikalnı sekci na AM .

Dukaz: viz. [4]

Veta 8.4. Necht’ σ : G0 → G je Weylova struktura, VM = G ×P V je vektorovybandl asociovany k reprezentaci P na V . Potom

1. Operator D je dan vzorcem

(Dst)i = (∇PΠ(s)t)i −

k∑j=0

sj • ti−j = ∇Π(s)ti − s0 • ti +k∑j=1

(Pj(Π(s))− sj) • ti−j,

kde s ∈ Γ(AM), sσ = (s−k, . . . , sk) a t ∈ Γ(VM), tσ = (t0, . . . , sn).

2. Specialne je-li VM traktorovy bandl, potom traktorova konexe ∇V je danavzorcem

(∇Vξ t)i = (∇P

ξ t)i +k∑j=1

ξ−j • ti+j = ∇ξti +k∑j=1

(Pj(ξ)) • ti−j +k∑j=1

ξ−j • ti+j

pro (ξ)σ ∈ Γ(gr(TM)).

Dukaz: viz. [4]

49

Kapitola 9

Zakriveny Casimıruv operator

Necht’ G je polojednoducha Lieova grupa s algebrou g a necht’ V je reprezentaceG. Protoze g je polojednoducha Killingova forma B je nedegenerovana. B davaisomorfismus g ∼= g∗ jako G-modulu. Uvazujme nejakou bazi ξl algebry g ak nı dualnı bazi ξl, tedy B(ξl, ξk) = δlk. Pak definujeme Casim9ruv operatorC : V → V predpisem C(v) :=

∑l ξl.ξl.v. Operator C nezavisı na volbe baze ξl

a navıc je G-ekvivariantnı.Uvazujme homogennı vektorovy bandl (G ×P V → M). Vıme, ze hladke

sekce na takovem bandlu jsou v jednoznacne korespondenci s P -ekvivariantnımifunkcemi (G, V )P . Pripomenme, ze leva akce G na (G, V )P je dana predpisemg.f(q) = f(g−1q). Derivacı teto akce dostaneme akci g. Je-li RX pravoinvariantnıvektorove pole na G, pak akce g je dana X.f = RX .f,X ∈ g.

Na Γ(G, V )P definujeme operator, ktery budeme znacit C, predpisem

C(f) =∑l

Rξl .Rξl .f.

Operator C nazyvame Casimiruv operator1. Operator C budeme chtıt vyjadritpomocı operatoruD. V nasledujıcı vete pouzıvameG-invariantnı Killingovu formuB2 na bandlu A∗M , kde opet uzıvame duality A∗M ∼= AM .

Veta 9.1. Necht’ G je polojednoducha Lieova grupa a P parabolicka podgrupa.Necht’ V je reprezentace P a necht’ C je Casimıruv operator C : Γ(G ×P V ) →Γ(G×P V ). Potom C je kompozice:

Γ(V (G/P )) DD // Γ(⊗2A∗(G/P )⊗ V (G/P ))B⊗idV // Γ(V (G/P )) .(9.1)

1Termın Casimıruv operator pouzıvame pro dva ruzne operatory. Z kontextu vsak bude vzdyzrejme, ktery operator mame na mysli

2Tedy B je dobre definovana po fıbrech na bandlu AM

50

Operator (B⊗id)D2 je zobecnenı Casimırova operatoru. Operator (B⊗id)D2 jeinvariantnı diferencialnı operator s akcı na sekcıch vektorovych bandlu na obecneparabolicke geometrie typu (G,P ).

Dukaz: viz. [7].

Nahradıme-li vektorove pole Rξl odpovıdajıcı sekcı sξl ∈ Γ(AM), pak pronejakou bazi ξl algebry g a k nı dualnı ξl mame

C(f) =∑l

Dsξl.Ds

ξl.f =

∑l

D2σ(ξl, ξl), (9.2)

pro f ∈ (V (G/P )).

Definice 9.1. Operator C := (B ⊗ idV ) D2 na obecne parabolicke geometriinazyvame zakriveny Casimıruv operator.

Necht’ AM = G ×P g je adjungovany traktorovy bandl s filtracı AM =A−kM ⊇ . . . ⊇ AkM jako v 8. kapitole a necht’ σ : G0 → G je Weylova struktura.Pripomenme poznamku 7.1. Bandly gr(AM) ∼= G0×G0 g jsou prirozene isomorfnı,dale Weylova struktura identifikuje G0 ×G0 g → AM a mame tedy isomorfis-mus gr(AM) → AM . Dıky teto identifikaci zvolme G0-invariantnı podbandlyAiM ⊂ AiM tak, aby AiM = Ai+1M⊕AiM . Tedy grAM ∼= A−kM⊕. . .⊕AkM .Dale budeme predpokladat, ze jsme nejakou Weylovu struktury zvolili a identifi-kovali AM ∼= A−kM ⊕ . . .⊕AkM .

Lemma 9.1. Necht’ U ⊆ M je otevrena podmnozina takova, ze AM je trivialnınad U . Pak na U existujı sekce X i, Zi, Ar; i = 1, . . . , dim(p+), r = 1, . . . , dim(g0)takove, ze

1. Zi ∈ Γ(⊕k

i=1AiM) pro kazde i.

2. Ar ∈ Γ(A0M) pro kazde r.

3. X i ∈ Γ⊕−1

i=−k(AiM).

4. B(X i, Xj) = B(X i, Ar) = 0, B(X i, Zj) = δij pro kazde i, j, r.

5. Tyto sekce tvorı lokalnı frame na U .

Dualnı baze k X i, Ar, Zi vzhledem k B je pak tvaru Zi, Ar, X i pro nejakehladke sekce Ar ∈ A0M .

51

Dukaz: Obdobne jako dukaz lemma z 3.2 z [4].

Veta 9.2. Necht’ (p : G → M,ω) je parabolicka geometrie typu (G,P ) a necht’

V je reprezentace P . Necht’ σ : G0 → G je Weylova struktura. Necht’ VM =G0 ×G0 V je vektorovy bandl asociovany k σ. Necht’ C : VM → VM je zakrivenyCasimiruv operator. Necht’ U ⊆ M je otevrena s lokalnım framem Xi, Ar, Z

ijako v lemmatu 9.1. Pak na U je akce C dana ρ ∈ Γ(VM)

C|U(ρ) = −2∑i

Zi • ∇PXiρ+ cg0ρ = −2

∑i

(Zi • ∇Xi

ρ+ Zi • P(X i) • ρ)

+ cg0ρ,(9.3)

kde akce cg0 je akce C, ktera zachovava gradaci.

Dukaz:Z definice mame C|U(ρ) =

∑i(DXiDZi

+ DZiDXi)ρ +

∑rDArDArρ. Protoze

Ar, Ar, Zi ∈ Γ(

⊕ki=0AiM) a Dsρ = −s • ρ pro s ∈ Γ(

⊕ki=0AiM) mame

C|U(ρ) =∑i

(−DXi(Zi • ρ)− Zi • (DXiρ)) +∑r

Ar • Ar • ρ. (9.4)

Pouzijeme-li Leibnitzovo pravidlo a uvedomıme-li si, ze • :⊕k

i=0AiM × AM →AM je rovno , , pak muzeme prvnı sumu v 9.4 rozepsat jako∑

i

(−DXi(Zi • ρ) + (DXi

Zi) • ρ− Zi •DXiρ− Zi, Xi • ρ)

prvnı dva vyrazy se sectou na −Zi •DXiρ a konecne

Ar • Ar • ρ− Ar, Ar • ρ = Ar • Ar • ρ

coz dava

C|U(ρ) = −2∑i

Zi •DXiρ−

∑i

Zi, X i • ρ+∑r

Ar • Ar • ρ.

Uzijeme-li dale vzorecD z vety 8.4 a protoze π(X i) = X i nebot’X i ∈ Γ(⊕−1

i=−k gri(AM)),

pak mame DXiρ = ∇PXiρ = ∇Xiρ + P(X i)ρ, kde vsechny vyrazy chapame v

prıslusne gradaci danou σ. Dosazenım mame

C(ρ) = −2∑i

(Zi • ∇Xiρ+ Zi • P(X i) • ρ) +

−∑i

Zi, X i • ρ+∑r

Ar • Ar • ρ

a protoze Zi, X i, Ar, Ar ∈ g0 je dukaz u konce.

52

Pripomenme poznamku 8.1. Pri volbe Weylovy struktury σ mame hladkou gra-dovacı sekci Eσ ∈ Γ(A0M) tvaru Eσ = (σ,E), kde je E gradovacı element g. Tatosekce urcuje gradaci gr(AM).

Necht’ V je reprezentace P , ktera se jako G0-modul rozklada na sumu V =⊕i=1,...,m Vi a kazdy Vi je ireducibilnıG0-modul. Potom na V existuje P -invariantnı

filtrace V = V 0 ⊆ . . . ⊆ V n+1 = 0.Po vyberu Weylovy struktury pro kazde i = 0, . . . , n zvolme opetG0-ireducibilnı

podbandly ViM tak, aby V iM = V i+1M ⊕ ViM a mame gr(VM) ∼= V0M ⊕. . .⊕ VnM . Akce gradovacı sekce Eσ na sekcıch Γ(ViM) je nasobenı konstantnımcıslem, ktere oznacme jako αi. Akce A0M tuto gradaci musı respektovat, tj. prov ∈ Γ(ViM) a s ∈ (AjM) mame

Eσ.X.v = [E,X]v +X.E.v = jX.v + αi.X.v = (αi + j)X.v. (9.5)

Specialne vidıme, ze akce sekcı s ∈ Γ(A0M) zachovava kazde ViM a zemnozina vlastnıch cısel akce Eσ na VM je diskretnı a ze rozdıl kazdych dvouvlastnıch cısel Eσ je cele cıslo.

Sekce podbandlu se stejnym vlastnım cısem Eσ pıseme pıseme do jednohoradku, sekce s vlastnım cıslem o jednicku vetsım o radek vys atd. Naprıklad proV = ⊕i=1,2,3,4Vi jako G0-modul s vlastnımi cısly Eσ po rade α, α+ 1, α+ 1, α+ 2budeme zapisovat gradaci takto:

G0 ×G0

V4

V2 V3

V1

(9.6)

Protoze Zi, P (X i) jsou sekce Γ(⊕k

i=1AiM), pak pro ρ ∈ Γ(ViM) jeZi • P (Xi) • ρ sekce podbandlu

⊕nj=i+2 VjM . Tento argument budeme pozdeji

pouzıvat a proto ho zaznamenejme do lemmatu.

Lemma 9.2. Pro kazde i = 0, . . . , n je akce C : Γ(ViM)→ Γ(Vi+1M) zakrivenehoCasimırova operatoru tvaru:

C(ρ) = −2∑i

Zi • ∇Xiρ (9.7)

pro X i ∈ Γ(A−1M), Zi ∈ Γ(A1M).

Dukaz: viz. predchozı argumentace.

53

Predpokladejme dale, ze U0 := V0/V1 je ireducibilnı G0-modul a ze V1/V2 =⊕mr=1 Ur je suma ireducibilnıch G0-modulu. Tedy bandl VM/V2M by vypadal

takto:

G0 ×G0

(U1 . . . Um

U0

). (9.8)

Oznacme akci cg0 na Uj jako cj. Potom pro (C − cj) je akce na sekcıch rovna

(C − cj)(∗ ρ ∗

φ

)=

(∗ πj(F (φ)) ∗

(c0 − cj)φ

), (9.9)

kde φ ∈ Γ(U0M), ρ ∈ Γ(UjM), F (φ) = −2∑

i Zi • ∇Xiφ,Xi ∈ Γ(A−1M), Zi ∈Γ(A1M) a πj : VM → UjM je prirozena projekce.

Protoze⊕r

i=1,i6=j UiM je P -invariantnı podbandl, muzeme VM faktorizovatpodle toho podbandlu. Specialne pro c0 = ci mame invariantanı diferencialnıoperator Γ(U0M)→ Γ(UiM) prvnıho radu. Obdobu tohoto tvrzenı budeme pouzıvatv nasledujıcıch kapitolach. Proto ho jeste zformulujeme do lemmatu.

Lemma 9.3. Necht’ V je reprezentace P s P -invariantnı filtracı V := V 0 ⊇. . . ⊇ V n+1 = 0, ze U0 := V0/V1 je ireducibilnı G0-modul a V1/V2 =

⊕mr=1 Ur

je suma ireducibilnıch G0-modulu. Oznacme akci cg0 na Γ(UiM) jako ci a necht’

πi : VM → UiM je prirozena projekce. Je-li c0 = ci, pak operator

πi(C − ci) : Γ(U0M)→ Γ(UiM) (9.10)

je P -invariantnı operator prvnıho radu.

Dukaz: viz. predchozı pasaz.

Poznamka 9.1. Nynı ucinıme umluvu ohledne ireducibilnı reprezentace W grupyP . V prıpade, ze algebra g je komplexnı, pak muzeme aplikovat teorii vybudovanouv kapitole 4 a 7.

V prıpade, ze g je realna polojednoducha algebra, pak gradace g = ⊕ki=−kgi seprenası na gradaci komplexifikace gC = ⊕ki=−kgCi a pC je parabolicka podlagebra gC.Vzdy je mozne najıt Cartanovu algebru h ⊆ g tak, ze hC ⊆ pC a pC je standartnıparabolicka. Pak muzeme interpretovat vahy gC a gC

0 jako linearnı funkcionaly nag. Jestlize W je komplexnı ireducibilnı reprezentace g0, pak je automaticky ireduci-bilnı reprezentacı gC

0 a ma nejmensı a nejvetsı vahu. Jestlize W je ireducibilnı bezinvariantnı komplexnı struktury3, pak komplexifikace WC je ireducibilnı komplexnıreprezentace g0 a nejmensı vahou W budeme mınit nejmensı vahu WC.

3Invariantnı komplexnı struktura na reprezentaci W je linearnı zobrazenı J : W → W,J2 =−idW a J komutuje s akcı g.

54

Veta 9.3. 1. Zakriveny Casimıruv operator je diferencialnı operator radu nejvysejedna.

2. Necht’ W je ireducibilnı reprezentace P s nejmensı vahou −ν. Potom akceC na Γ(WM) je nasobenı skalarem c, kde c = 〈ν, ν + 2δ〉, kde δ a nejmensıvaha g.

3. Je-li W ireducibilnı reprezentace P s nejvyssı vahou ν. Potom akce C naΓ(WM) je nasobenı skalarem c = 〈ν, ν + 2ρss0 − 2ρ+〉, kde ρss0 je nejmensıvaha g0 a ρ+ je polovina sumy vsech kladnych korenu p+.

Dukaz:

1. Zrejme.

2. S ohledem na poznamku 9.1 muzeme predpokladat, zeW i g jsou komplexnı.Dale vyberme vhodnou Cartanovu algebru, tak aby p byla standartnı para-bolicka. Oznacme jako ∆+ mnozinu kladnych korenu g. Mnozina kladnychkorenu ∆+ je disjunktnım sjedocenım kladnych korenu p+ a g0. Pro vsechnaα ∈ ∆+ vyberme Xα ∈ gα, Yα ∈ g−α takove, ze B(Xα, Yα) = 1. Necht’

Hl, l = 1, . . . , r je ortogonalnı baze dualu Cartanovy algebry h vuci Killin-gove forme. Potom akci C muzeme na Γ(WM) pocıtat jako akci na vektoruv nejmensı vahy. Mame

−∑

α∈∆+(p+)

[Xα, Yα].v +∑

α∈∆+(g0)

(XαYα + YαXα).v +r∑l=1

HlHl.v. (9.11)

Prepısme druhou sumu v 9.11 jako∑α∈∆+(g0)

(XαYα + YαXα).v =∑

α∈∆+(g0)

(2XαYα − [Xα, Yα]).v

a protoze Yα.v = 0 mame

−∑α∈∆+

Hα.v +r∑l=1

HlHl.v (9.12)

Prvnı suma je rovna 2〈δ, ν〉.v, druha pak 〈ν, ν〉.v.

55

3. Uzijeme opet vzorec 9.11. Potom pro vektor nejvyssı vahy w mame:

−∑

α∈∆+(p+)

[Xα, Yα].w = −2〈ρ+, ν〉.w

∑α∈∆+(g0)

(XαYα + YαXα)w =∑

α∈∆+(g0)

(2YαXα + [Xα, Yα]).w = 2〈ρss0 , ν〉.w

r∑l=1

HlHl.v = 〈ν, ν〉.w

Uved’me jeste jednu aplikaci.

Definice 9.2. Splitting operator L : VM → VM je operator inverznı k injekci,tj. jeli ψ : V ′M → VM vlozenı podbandlu, π : VM → V ′M projekce, pak slozenıπ L ψ je nasobek identity na V ′M .

Veta 9.4. Necht’ V je reprezentace P s P -invariantnı filtracı V = V 0 ⊇ V 1 ⊇. . . ⊇ V n ⊇ V n+1 = 0 takovou, ze V i/V i+1 jsou kompletne reducibilnı P-moduly.Necht’ j ∈ 0, . . . , n a necht’ V ′ ⊆ V j/V j+1 je ireducibilnı P -modul a necht’ µ′

je vlastnı hodnota, kterou Casimiruv operator pusobı na bandlu V ′M . Necht’ dalepro kazde k > j je µk1, . . . , µ

kkl

vycet hodnot, kterymi C pusobı na vsech sekcıchΓ(VkM/Vk+1M).

Necht’ (p : G →M,ω) je parabolicka geometrie. Potom operator

L := Πnk=j+1Π

mkm=1(C − µkm)

na Γ(VM) dava operator Γ(V ′M) → Γ(VM). Necht’ π je projekce Γ(V iM) →Γ(V ′M), potom

π(L(σ)) = (Πnk=j+1Π

mkm=1(µ

′ − µkm))σ

pro σ ∈ Γ(V ′M). Specialne, pokud µkm 6= µ′ pro kazde k,m, pak L je splittingoperator.

56

Kapitola 10

Invariantnı diferencialnıoperatory na parabolickychgeometriıch

Necht’ G0 je infinitesimalnı vlajkova struktura na parabolicke geometrii (G →M,ω). Pripomenme, ze G0 je hlavnı G0-bandl. Necht’ σ : G0 → G je Weylovastruktura. Pullback Cartanovy konexe se rozpada na tri casti

σ∗ω = σ∗ω− + σ∗ω0 + σ∗ω+.

σ∗ω0 je forma hlavnı Weylovy konexe ∇σ na bandlu G0. Tato konexe indukujuhlavnı konexi i na libovolnem asociovanem bandlu G0 ×G0 V = VM . Definujeme

∇ω : C∞(G, V )P → C∞(G, g∗− ⊗ V )

(∇ωs) σ : (u,X) 7→ Lω−1(X)s(σ(u)). (10.1)

Kovariantnı derivace ∇ω slozena s projekcı na nejaky P -modul W ⊆ g∗−⊗V davaP -invariantnı diferencialnı operator prvnıho radu Γ(VM)→ Γ(WM).

Dale definujme kovariantnı derivaci Weylovy konexe

∇σ(s σ) : (u,X) 7→ Lσ∗(ω−+ω0)−1X(s σ)(u). (10.2)

Predpokladejme navıc, ze V je ireducibilnı P -modul, tj. V je ireducibinı G0-moduls trivialnı akcı P+. Z triviality akce P+ na V vidıme, ze vzorce 10.1 a 10.2 se shodujıpodel sekce σ.

Kovariantnı derivace Weylovy konexe nenı P -invariatnı, ale pouzeG0-invariatnı.Predokladejme, ze V ⊗ g∗− = V1 ⊕ . . . ⊕ Vj, kde pro kazde i = 1, . . . , j je Vj ire-ducibilnı g0-podmodul a oznacme jako πj prıslusnou projekci. Potom pro kazde j

57

je πj ∇σ G0-invariantnı diferencialnı operator. Kazdy takovy operator odpovıdaG0-homomorfismu J1V → Vi.

Ma-li byt diferencialnı operator P -invariantnı, pak musı byt dan P -homomorfismemJ1V → Vi, tedy nesmı zaviset na volbe Weylovy konexe. Je-li naopak operatorprvnıho radu invariantnı vuci zmene Weylovy konexe, pak indukuje P -homomorfimusJ1V → Vi. Musıme tedy stanovit podmınky, za kterych bude G0-homomorfimusJ1V → Vi i P -homomorfismus.

Pripomenme, ze J1VM je prvnı jetove prodlouzenı bandlu VM. Pro libovolnouparabolickou geometrii G a V reprezentaci P platı, ze J1VM ∼= G ×P J1V jsouisomorfnı jako bandly, viz napr. clanek [15].

Akce p na vektorovem prostoru J1V = V ⊕ g∗− ⊗ V je dana

Z.(v, ϕ) = (λ(Z)v, λ(Z) ϕ− ϕ ad−(Z) + λ(adpZ)( )(v)). (10.3)

pro Z ∈ p, v ∈ V, ϕ ∈ g∗− ⊗ V . Odvozenı formule 10.3 je napr. v clanku [5].

Jednotlive cleny ve formuli 10.3 dale upravıme. Pripomenme, ze Killingovaforma B dava dualitu p+

∼= g∗−. Necht’ Y ⊗ v ∈ p+ ⊗ V,X ∈ g−, Z ∈ p pak

(Y ⊗ v)((ad−(Y ))(X)) = B(ad−(Z)(X), Y )v =

= B([Z,X], Y )v = −B(X, [Z, Y ])v = −([Z, Y ]⊗ v)(X) (10.4)

Pro pevne zvolenou bazi ξα ∈ g−; ηα ∈ p+ muzeme poslednı clen v 10.3 prepsatjako

λ(adp(Z)( ))(v) =∑α

ηα ⊗ [Z, ξα]p.v (10.5)

Necht’ p2+ znacı vektorovy podprostor [p+, p+]. 0 ⊕ (p2

+ ⊗ V ) ⊆ J1V je p-invariantnı podprostor a definujme p modul

J1RV = J1V/(0 ⊕ (p2

+ ⊗ V )) ∼= V ⊕ (p1 ⊗ V )

Nynı jiz muzeme zformulovat zakladnı lemma.

Lemma 10.1. Necht’ V a W jsou ireducibilnı P -moduly. Pak G0 homomorfismusΨ : J1V → W je P -homomorfismus prave, kdyz Ψ se faktoruje pres J1

RV → W apro kazde Z ∈ g1 platı

Ψ(∑

α

ηα ⊗ [Z, ξα].v)

= 0, (10.6)

kde ξα, ηα je nejaka dualnı baze g1, g−1.

58

V dukazu lemmatu je podstatny predpoklad P -ireducibility modulu V,W . Ziredubility W plyne, ze jadro G0-homomorfismu Ψ musı obsahovat obraz akce p+

na J1V , coz jsou presne dve podmnıky implikace zleva doprava. V lemmatu seobjevil endomorfismus Φ : g1 ⊗ V → g1 ⊗ V definovany

Φ(Z ⊗ v) :=∑α

ηα ⊗ [Z, ξα].v (10.7)

Z Schurova lemmatu plyne, ze Φ je nasobek identity na kazde ireducibilnıkomponente v J1V . Urcit tyto vlastnı cısla Φ na J1V bude klıcove k stanovenıpodmınek pro invariantnı operator.

Kompozice Ψ ∇σ Weylovy konexe ∇σ a P -homomorfismu Ψ pak dava P -invariatnı operator prvnıho radu. Protoze tento operator nezavisı na volbe Wey-lovy struktury je roven Ψ ∇ω.

Nejdrıve urcıme vlastnı cısla operatoru Φ.

Veta 10.1. Necht’ V je ireducibilnı reprezentace polojednoduche komplexnı Lieovyalgebry g0 s nejvyssı vahou λ a necht’ g1 =

∑ji=1 gi1 je rozklad g1 na sumu ireduci-

bilnıch g0 modulu s vahami αi. Necht’ pro kazde i = 1, . . . , j je gi1 ⊗ V =∑mi

k=1 Vik

rozklad na sumu po dvou neisomorfnıch1 ireducibilnıch g0-podmodulu s nejvyssımivahami µik a necht’ πik jsou prıslusne projekce. Necht’ ρ0 je fundamentalnı vaha propolojednoduchou cast gss0 .

Pak pro kazdou v ∈ V platı

Ψ(Z ⊗ v)(X) = [Z,X].v =

j∑i=1

mi∑k=1

cikπik(Z ⊗ v)(X)

,kde

cik =1

2[〈µik, µik + 2ρ0〉 − 〈λ, λ+ 2ρ0〉 − 〈αi, αi + 2ρ0〉]

Dukaz: viz. [15]

Nynı jiz muzeme uplne charakterizovat invariantnı operatory prvnıho raduna obecnych parabolickych geometriıch. Reprezentace budeme uvazovat jako vpoznamce 9.1.

1Ve skutecnosti je tento predpoklad vzdy splnen, viz. [15]

59

10.1 Charakterizace invariantnıch operatoru na

parabolickych geometriıch

Veta 10.2. Necht’ g je realna parabolicka polojednoducha algebra a necht’ gC jejejı komplexifikace. Necht’ V je komplexnı ireducibilnı reprezentace g0 s nejvyssıvahou λ a necht’ gC

1 =∑j

i=1 gi,C1 je rozklad gC1 na sumu ireducibilnıch g0-podmodulu

s nejvyssımi vahami αj. Predpokladejme, ze pro kazde i = 1, . . . , j

gi1 ⊗R V = gi,C1 ⊗C V =

mi∑k=1

V ik

je dekompozice na sumu ireducibilnıch g0-podmodulu s nejvyssımi vahami µik anecht’ πik jsou prıslusne projekce. Necht’ ρ0 je fundamentalnı vaha pro polojedno-duchou cast gss0 a definujme cik jako

cik =1

2[〈µik, µik + 2ρ0〉 − 〈λ, λ+ 2ρ0〉 − 〈αi, αi + 2ρ0〉]. (10.8)

Potom operator Dik := πik ∇ω je diferencialnı operator prvnıho radu prave tehdy,

kdyz cik = 0.

Dukaz: viz. [15]

10.2 Maximalnı podalgebra

Uvazujme nynı prıpad maximalnı parabolicke podlagebry, coz odpovıda jednomuskrtnutemu korenu v Dynkinove diagramu. Pak centrum k je jednodimezionalnı agenerovane gradovacım elementem E. Cartanovu podlagebru algebry g muzemevuci Killingove forme ortogonalne rozlozit na h = z(g)⊕ hss, kde hss je Cartanovapodalgebra Leviho faktoru. Kazdou vahu p lze psat ve tvaru λ = wλE⊕λ′, w ∈ C,kde λE je dualnı ke gradovacımu elementu a λ′ je vaha Leviho faktoru.

Veta 10.3. Necht’ p je maximalnı parabolicka podlagebra. Necht’ V je ireduci-bilnı reprezentace g0 s nejvyssı vahou λ ∈ h∗. Necht’ g1 =

∑ii=1 gi1 je rozklad

g1 na sumu ireducibilnıch g0 modulu s vahami αi. Necht’ pro kazde i = 1, . . . , jje gi1 ⊗ V =

∑mi

k=1 Vik rozklad na sumu po dvou neisomorfnıch ireducibilnıch g0-

podmodulu s nejvyssımi vahami µk,i a necht’ πik jsou prıslusne projekce. Necht’ ρss0je fundamentalnı vaha pro polojednoduchou cast.

Predpokladejme dale, ze λ = wλE + λ′, αi = λE + α′i, µk,i = (w + 1)λE + µ′i,k.

60

Potom pro vsechna v ∈ V, Z ∈ g1

Ψ(Z ⊗ v)(X) = [Z,X].v =

j∑i=1

mi∑k=1

(w − c′i,k)πik(Z ⊗ v)(X),

kde

c′i,k = −1

2[〈µ′i,k, µ′i,k + 2ρ0〉 − 〈λ′, λ′ + 2ρ0〉 − 〈α′i, α′i + 2ρ0〉] (10.9)

Operator Dik = πik ∇ω je invariantnı operator prvnıho radu prave tehdy, kdyz

w = c′i,k.

Dukaz: viz. [15]

10.3 Odvozenı podmınky pro invarianci operatoru

pomocı zakriveneho Casimırova operatoru

V teto sekci odvodıme pomocı zakriveneho Casimırova operatoru podmınku proinvarianci diferencialnıho operatoru pro obecnou parabolicke geometrii (P →M,ω). Budeme chtıt stejne jako v predchozı kapitole stanovit podmıky pro P -homomorfimus V −→ V ⊗ g′, kde V je ireducibilnı g0-modul a g′ je ireducibilnıg0-podmodul g1. Vsechny uvahy bereme s ohledem na poznamku 9.1.

Uvazujme parabolickou geometrii (P → M,ω). Necht’ je dan ireducibilnı G0-modul V . Spocıtejme akci zakriveneho Casimırova operatoru C na J1

RV . Pripomenme,ze J1

RV je isomorfnı G ×P J1RV a J1

RV je isomorfnı V ⊕ g1⊗V . Pri volbe Weylovystruktury σ : G0 → G, mame isomorfismus G×P J1

RV∼= G0×G0 J

1RV . Zformulujme

vse do lemmatu.

Lemma 10.2. Necht’ V je ireducibilnı reprezentace Lieovy algebry g0. Potom privolbe Weylovy struktury σ : G0 → G, mame isomorfismus G×P J1

RV∼= G0×G0J

1RV .

Bandl G0 ×G0 J1RV je 1-gradovany a s gradacı

G0 ×G0

(g1 ⊗ VV

)Stejne jako v predchozım textu nas bude zajımat prumet na nejaky g0-ireducibilnı

podmodul V ′ ⊆ g1 ⊗ V . Z predchozı sekce vıme, ze V ′ je podmodul g′1 ⊗ V , kdeg′1 je ireducibilnı g0-podmodul g1. Necht’ V ⊗ g1 = V ′ ⊕

⊕i Vi je rozklad na g0-

ireducibilnı podmoduly modulu V ⊗ g1. Potom⊕

i Vi je P -podmodul a uvazujme

61

kvocient J1RV/

⊕i Vi. Je zrejme, ze J1

RV/⊕

i Vi∼= V ⊕ V ′. Stejne muzeme fakto-

rizovat sekce bandlu J1RV a podobne jako v lemmatu 10.2 dostaneme pri volbe

Weylovy struktury bandl isomorfnı

G0 ×G0

(V ′

V

). (10.10)

Spocteme akci zakriveneho Casimırova operatoru C na tomto bandlu. Opet privolbe Weylovy struktury mame z lemmat 9.2 a 9.3 nasledujıcı:

C :

(ϕφ

)=

(c1ϕc0φ

)− 2

∑i

Zi •(∇Xiϕ∇Xiφ

). (10.11)

Prvnı clen urcıme jednoduse podle lemmatu 9.3. Musıme vsak jeste spocıstdruhy clen. Pripomenme si vzorecek 10.3, pro Y ∈ p+, v ∈ V, ϕ ∈ p+ ⊗ V

Z.(v, ϕ) = (λ(Z)v, λ(Z) ϕ− ϕ ad−(Z) + λ(adpZ)( )(v)).

Zajıma nas clen Z(v, ∗) = (∗, ∗+ λ(adpZ)( )(v)).To je rovnice 10.5:

λ(adp(Z)( ))(v) =∑α

ηα ⊗ [Z, ξα]p.v

a dale jsme oznacili jako Φ : g1 ⊗ V → g1 ⊗ V

Φ(Z ⊗ v) :=∑α

ηα ⊗ [Z, ξα].v

a konstatovali jsme, ze Φ je G0-homomorfismus, tedy z Schurova lemmatumame, ze Φ je nasobek identity na kazdem g1 ⊗ V .

Z toho plyne, ze

−2∑i

Zi •(∇Xiϕ∇Xiφ

)= 2

∑i

•(cZi ⊗∇Xiφ

0

)=

(2c∇φ

0

)(10.12)

pro nejakou konstantu c.

Lemma 10.3. Akce zakriveneho Casimırova operatoru na sekcıch Γ(G0×G0

(V ′

V

))

je rovna

C(ϕφ

)=

(2c∇φ+ c1ϕ

c0φ

)(10.13)

Dukaz: Viz. predchozı radky.

62

Specialne

(C − c1)(ϕφ

)=

(2c∇φ

(c0 − c1)φ

)(10.14)

a tedy pro c0 − c1 mame P -homomorfismus V → V1 a tedy invariantnı dife-rencialnı operator. Zbyva tedy spocıst tuto podmınku.

Necht’ ρss0 , ρ+ je soucet vsech kladnych korenu g0, resp. p+ vynasobeny 1

2.

Oznacme jako λ nejvyssı vahu V a jako µ nejvyssı vahu V ′. Potom z vety 9.3vıme, ze

c0 = 〈λ, λ+ 2ρss0 − 2ρ+〉c1 = 〈µ, µ+ 2ρss0 − 2ρ+〉

Tedy

c0−c1 = 〈λ, λ+2ρss0 −2ρ+〉−〈µ, µ+2ρss0 −2ρ+〉 = 〈λ, λ+2ρss0 〉−〈µ, µ+2ρss0 〉+〈λ−µ,−2ρ+〉.(10.15)

Predpokladejme, ze〈λ− µ,−2ρ+〉 = 〈β, 2ρ+〉, (10.16)

kde β je nejvyssı vaha g′. Potom k overenı ekvivalance rovnice 10.15 a 10.8 mameukazat, ze platı 〈β, 2ρ+〉 = 〈β, β+2ρss0 〉. To znamena, ze 〈β,−2ρ+ +β+2ρss0 〉 = 0nebo ekvivalentne pro −α nejmensı vahu g′ a δ nejmensı vahu g

〈α, α+ 2δ〉 = 0. (10.17)

Zformulujme vse do vety.

Veta 10.4. Ponechme oznacenı z teto sekce. Predpokladejme, ze platı rovnice10.16. Jeslize je splneno 10.17, pak charakterizace invariantnıch operatoru prvnıhoradu z vety 10.2 a lemmatu 9.3 je ekvivalentnı.

Gradace na polojednoduche Lieove algebre g je dana gradacı na jednotlivychjednoduchych idealech g. Stacı nam tedy studovat gradaci na jednoduchych Lieovychalgebrach. Z vety 7.1 vıme, ze gradace odpovıda skrtnutı jednoduchych korenu.

Lemma 10.4. Necht’ g je polojednoducha Lieova algebra s mozinou jednoduchychkorenu α1, . . . , αs. Necht’ Σ = αi1 , . . . , αij je mnozina skrtnutych jednoduchych

korenu. Potom g1 = g11 ⊕ . . .⊕ gj1 je rozklad g1 na sumu ireducibilnıch g0-modulu

a pro kazde m = 1, . . . , j je αim nejmensı vaha gi1.

63

Dukaz: Pro kazde m = 1, . . . , j ma αm vysku rovnou jedne a oznacmu pod-modul g1, do ktereho αm patrı jako gm1 . Pro kazdy zaporny koren β ∈ g platı, zeβ+αim nenı kladny, nebot’ pokud by β+αim = γ a γ byl kladny, pak αim = γ−βa tedy αim se da napsat jako soucet dvou kladnych korenu, coz je spor s jednodu-chostı αim . Protoze g1 ma jen kladne koreny, je αim nejmensı vaha, jak jsme meliukazat.

Lemma 10.5. Necht’ g je polojednoducha a h jejı Cartanova podlagebra. Necht’

∆0 je mnozina jednoduchych korenu a necht’ α ∈ ∆0. Oznacme jako δ nejmensıvahu g. Potom

〈−α,−α+ 2δ〉 = 0 (10.18)

Dukaz: Pouzijeme δ =∑

ν∈∆0 ων , kde ων je fundamentalnı vaha dualnı kekokorenu Hν . Potom mame:

〈−α,−α+ 2δ〉 = 〈α, α〉+ 2∑ν∈∆0

〈−α, ων〉 (10.19)

Pro α, ν ∈ ∆0 mame

〈α, ων〉 = B(hα, ων) = ων(hα), (10.20)

kde pripomenme, ze hα, ων je dualnı k α, resp. ων vuci Killingove forme, tj.B(hα, ) = α( ).

Pritom z definice (viz. kapitola 3.)

δαν = ων(Hα) = ων( 2hαB(hα, hα)

)a tedy

ων(hα) =B(hα, hα)

2δαν , (10.21)

kde δαν je Kroneckeruv symbol. Tedy druha suma v rovnici 10.19 se redukuje na

2∑ν∈∆0

〈−α, ων〉 = −B(hα, hα) = −〈α, α〉 (10.22)

coz uz dava dokazovanou rovnost.

64

Zbyva jeste overit spravnost predpokladu 10.16 : 〈λ − µ,−2ρ+〉 = 〈β, 2ρ+〉.Pripomenme, ze jsme si zvolili pevne ireducibilnı g0-modul g′1 s nejvyssı vahou βa Vi ireducibilnı g0-podmodul ⊆ V ⊗ g′1 s nejvyssı vahou µ. λ je nejvyssı vaha V .

Dale budeme potrebovat nasledujıcı lemma z teorie reprezentacı.

Lemma 10.6. Necht’ V ⊗W je tensorovy soucin dvou ireducibilnıch g0-modulua necht’ λ je nejvyssı vaha V . Potom V ⊗ W =

⊕µ∈A Vµ je rozklad na sumu

ireducibinıch g0-modulu, kde

A = µ = λ+ γ, (10.23)

ze γ je vaha W ,λ+ γ je dominantnı pro g0.

Dukaz: viz. [12]

Aplikujme lemma pro W = g′1. Pak z 10.23 mame µ−λ = γ. Potom dosazenımdo 10.16 : 〈λ− µ,−2ρ+〉 = 〈β, 2ρ+〉 mame ukazat, ze pro β nejvyssı vahu g′1 a γlibovolnou vahu g′1 platı

〈β, 2ρ+〉 = 〈γ, 2ρ+〉. (10.24)

Vıme, ze kazdy kladny koren γ ma jednoznacne vyjadrenı pomocı kladnych korenu,pisme

γ =∑ν∈∆0

nνν, (10.25)

kde nν ∈ N ∪ 0. Pripomenme si charakterizaci gradace z vety 7.1 a lemma10.4. Ma-li γ lezet v g′1, pak ve vyjadrenı 10.25 musı byt z mnoziny skrtnutychjednoduchych korenu Σ pouzita pouze nejmensı vaha g′1, kterou jsme oznacili jakoα. Tedy kazda vaha g′1 je tvaru

γ =∑

ν∈∆0\Σ

nνν + α. (10.26)

Tvrzenı 10.24 snadno plyne z nasledujıcıho tvrzenı.

Lemma 10.7. Necht’ ρ+ = 12

∑ν∈∆+(p) ν je polovina sumy vsech jednoduchych

korenu lezıcıch v p. Pak (ρ+, ζ) = 0 pro kazdy jednoduchy koren ζ ∈ ∆0(gss0 ).

Dukaz: Je-li Σ mnozina skrtnutych korenu z mnoziny jednoduchych korenu∆0 algebry g, potom mnozina jednoduchych korenu gss0 je ∆0(gss0 ) = ∆0\Σ. Tedy

65

oznacme tradicne jako ων fundamentanı vahu dualnı ke kokorenuHν . Opet uzijemelemma 4.4. Mame

δ =∑ν∈∆0

ων , ρss0 =∑

ν∈∆0(gss0 )

ων . (10.27)

Pocıtame dale

〈ρ+, ζ〉 = 〈δ − ρss0 , ζ〉 = 〈∑ν∈∆0

ων −∑

ν∈∆0(gss0 )

ων , ζ〉 =∑ν∈∆0

〈ων , ζ〉 −∑

ν∈∆0(gss0 )

〈ων , ζ〉.

(10.28)

Opet pouzijeme 10.20 〈α, ων〉 = B(hα, ων) = ων(hα) a 10.21 ων(hα) = B(hα,hα)2

δαν .Protoze ζ ∈ ∆0(gss0 ) a ∆0 = ∆0(gss0 ) ] Σ je disjunktnı sjednocenı, mame pro

10.28 nasledujıcı∑ν∈∆0

〈ων , ζ〉 −∑

ν∈∆0〈gss0 )

〈ων , ζ〉 = 〈ωζ , ζ〉 − 〈ωζ , ζ〉 = 0. (10.29)

Dukaz lemmatu je u konce.

Potom je jiz tvrzenı 10.24 zrejme, nebot’ mame nasledujıcı.

Lemma 10.8. Necht’ γ ∈ g′1 je libovolny koren, pak 〈γ, ρ+〉 = 〈α, ρ+〉.

Dukaz: Ukazali jsme, ze kazdy koren γ ∈ g′1 ma jednoznacne vyjadrenı tvaru10.26 γ =

∑ν∈∆0\Σ nνν + α. Potom uz jednoduse mame

〈γ, ρ+〉 = 〈∑

ν∈∆0\Σ

nνν + α, ρ+〉 = 〈α, ρ+〉, (10.30)

kde poslednı rovnost je lemma 10.7. Rovnice 10.30 platı pro libovolny koren g′1,tedy platı i pro β.

Tım je overenı 10.16 a tudız i 10.17 u konce.

66

Kapitola 11

Konformnı geometrie

Definice 11.1. Necht’ M je hladka varieta. Rekneme, ze dve riemannovske me-triky g, g jsou konformne ekvivalentnı, pokud g = f 2g, kde f je hladka vsudenenulova funkce na variete M . Konformnı strukturou na M rozumıme nejakoutrıdu konformne ekvivalentnıch metrik.

Konformnı struktura nam neumoznuje pracovat s pojmy jako delka tecnehovektoru jako riemannovsky model, ale pojem uhlu dvou tecnych vektoru stale masmysl.

11.1 Cartanuv model pro konformnı geometrii.

Definice 11.2. Homogennı model, Mobiuv model

Uvazujme Lorentzuv prostor L = Rn+2 se sklalarnım soucinem signatury (n+1, 1) a oznacme jako G(n + 1, 1) Lorentzovu grupu zachovavajıcı tento skalarnısoucin a jako SO(n + 1, 1) komponentu identity v G(n + 1, 1). Zvolme skalarnısoucin, ktery ma maticovou reprezentaci vuci standartnı bazi Rn+2 nasledujıcı:

Q :=

0 0 10 I(n) 01 0 0

,

kde I(n) je jednotkova matice radu n.Oznacme jako C mnozinu vsech nenulovych vektoru s nulovou normou. Je-li

v ∈ C pak zrejme i λv ∈ C, λ ∈ R. Zaved’me ekvivalenci na C danou u ∼ v pokudu = λv pro nejake λ ∈ R. Oznacme kvocient C/ ∼ jako M0.

67

Lemma 11.1. Necht’ ψ : Rn+1 → L je dane predpisem

ψ(x0, . . . , xn+1) = (x0

1 +√

2, x1, . . . ,

x0

1 +√

2).

ψ je isometrie a ψ|Sn = M0 je difeomorfismus.

Dukaz: viz.[14]SO(n+ 1, 1) zachovava C, navıc tato akce je transitivnı a verna.

Definice 11.3. Definujeme podgrupu P jako stabilizator prımky [e0], tj. P :=g ∈ SO(n + 1, 1); g[e0] = [e0], kde [e0] je prımka urcena bazovym vektorem e0.Dvojici (SO(n+ 1, 1), P ) nazveme Mobiovym modelem v dimenzi n.

Veta 11.1. Kazdy prvek p podgrupy P ma jednoznacne vyjadrenı tvaru

p =

z 0 00 A 00 0 z−1

.

1 q −12qqt

0 I −qt0 0 1

,

kde z ∈ R+, A ∈ SO(n), q ∈ Rn.

Dukaz: viz.[14]

Definice 11.4. Difeomorfismus φ : Sn → Sn se nazyva konformnı transformacesfery dimenze n, pokud v kazdem bode x sfery, φ∗x : TxS

n → Tφ(x)Sn zachovava az

na nasobek kanonickou Riemannovu metriku.

Veta 11.2. (Liouville) Grupa vsech konformnıch transformacı na Sn je isomorfnıSO(n+ 1, 1).

Dukaz: viz.[14]

11.2 Lieovy algebry Mobiova paru

Dvojice (G,P ) ma Lieovy algebry (g, p) : g =

z p 0q S −pt0 −qt −z

p =

z p 00 S −pt0 0 −z

, (11.1)

kde S ∈ son; p, q ∈ Rn, z ∈ R+.

68

Snadno lze overit, ze oznacıme-li jako

g0 =

z 0 00 S 00 0 −z

, g−1 :=

0 0 0q 0 00 −qt 0

∈ TM

g1 :=

0 p 00 0 −pt0 0 0

∈ T ∗M,

pak dostaneme 1-gradaci na g.Parabolicka podgrupa zachovavajıcı filtraci je pak podgrupa P z definice 11.3,

kterou jsme jiz definovali vyse. Grupa G0 je pak tvaru: λ 0 00 A 00 0 λ−1

;λ ∈ R+, A ∈ SO(n)

Adjungovana akce G0 na g−1 identifikuje G0 a CO(g−1). Adjungovana akce g0

na g1 identifikuje g1 s dualem g−1 jako g0 modul.

11.3 Konformnı variety

Uvazujme varietu M dimenze n s konformnı strukturou. Polarnı baze konformnıstruktury v nejakem bode variety urcuje isomorfismus tecneho prostoru a Rn ∼=g−1. Bandl vsech polarnıch bazı je pak hlavnı CO(n)-bandl. Oznacme jej G0.

Prirozeny problem je popsat beztorznı konexe, ktere konformnı strukturu za-chovavajı. V dalsım budeme takove konexe nazyvat Weylovy konexe.

Hlavnı veta Riemannovy geometrie rıka, ze ke kazde Riemannove metrice exis-tuje prave jedna konexe, ktera metriku zachovava a je bez torze. V konformnımprıpade toto pochopitelne neplatı, nebot’ konexı, ktere zachovavajı konformnıstrukturu je mnoho, je tedy zrejme, ze k jednoznacnosti konexe budou zapotrebıdodatecne normalizacnı podmınky.

Spocteme nejprve prvnı prolongaci ∂ : Rn ⊗ con → Λ2Rn∗ ⊗ Rn. Protoze conje isomorfnı R ⊕ on, ∂ bude stejne jako v Riemannove prıpade epimorfismus,ale tentokrat jiz nebude injektivnı a jeho jadro bude n-dimenzionalnı. Vıme, zead : g1 → g∗−1 ⊗ g0. Navıc pro X, Y ∈ g−1, Z ∈ g1 z Jacobiho identity mame, ze

0 = [Z, [X, Y ]] = [[Z,X], Y ]− [[Z, Y ], X], (11.2)

69

coz je dle poznamky 6.1 znamena, ze ad : g1 → co1n. Navıc toto zobrazenı

je injektivnı, porovnanım dimenzı mame, ze g1∼= co1

n. Overili jsme, ze existujebeztorznı konexe zachovavajıcı konformnı strukturu, ale ze nenı dana jednoznacne.

Ukazali jsme ale, ze je-li θ−1 + θ0 Weylova konexe rozepsana do kompenentpodle gradace g, pak vsechny ostatnı konexe jsou tvaru θ−1 + θ0 + ψ θ−1, kdeψ : g−1 → g0 je hladka 1-forma.

Definujme nynı bandl π : G → G0, kde fıbry nad kazdym bodem u ∈ G0 jsouvsechny mozne hodnoty Weylovy konexe chapane jako zobrazenı θu : G0(u) →g−1 ⊕ g0 pro u ∈ G0.

Veta 11.3. Bandl G je hlavnı P -bandl na konformnı variete M , akce P je tran-sitivnı a verna. Bandl π : G → G0 je pak hlavnı P+ := P/G0-bandl.

Prelozeno do termınu z kapitoly 6. je parabolicka geometrie na konformnı va-riete G bandl vsech Weylovych konexı, zatımco infinitesimalnı vlajkova strukturaG0 je konformnı struktura.

Z konstrukce G vidıme, ze hladkou G0-sekcı σ : G0 → G dostaneme Weylovukonexi. Navıc σ trivializuje bandl G → G0, takze vsechny ostatnı sekce jsou tvaruσ = σ.exp(Υ), pro Υ hladkou G0-ekvivariantnı sekci G0×G0 g1. Jako uz standartnemuzeme Υ identifikovat jako 1-formu.

Uvazujme dve konexe ∇,∇ asociovane k sekcım σ = σ exp(Υ),Υ ∈. Pak podlevety 7.11 je zmena tvaru ∇ξη = ∇ξη − Υ, ξ • η; η, ξ,∈ X(M). Rozepıseme-lizavorku pak dostaneme:

∇aξb = ∇aξ

b + Υaξb −Υbξa + Υcξ

cδba. (11.3)

Poznamka 11.1. G0-ekvivariance Weylovy struktury F chapane jako zobrazenıF : [g]→ Ω1(M) je tvaru: F (eλg) = F (g)− dλ.

Uvazujme nynı dve metriky g = h2g. Zmenu metriky muzeme zachytit jakozmenu gauge tvaru

ρ = ρ

h−1 ∗ ∗0 ∗ ∗0 0 h

(11.4)

pro h : M → P , kde hvezdicky znacı libovolne vstupy.Pomocı poznamky 11.1 prepisme trasformaci 11.4 jako transformaci gauge

takto (h−1u, η) ∼ (u, η+ Υ), kde u ∈ G0Υ = d log(h). Pokud si vse prepıseme prosekci σ = exp(η), pak mame.

70

(h−1u, exp(η)) ∼ (u, exp(η + Υ)) = (u, exp(η). exp(Υ)) (11.5)

Tedy zmenu metriky g = h2g muzeme prepsat jako zmenu sekce σ = σ. exp(Υ).Je-li ∇ Levi-Civitova konexe asociovana k metrice g, pak Levi-Civitova konexeasociovana k g se transformuje podle vzorce 11.3, kde Υ = d(log h) = h−1dh.

Nenı pravda, ze kazda Weylova konexe je Levi-Civitova pro nejakou vhodnouvolbu metriky v konformnı trıde. To je patrne uz z toho, ze pokud forma Υ, ktereodpovıda zmene sekce σ = σ. exp(Υ) nenı exaktnı, pak pokud k nejake Levi-Civitove konexi pricteme formu Υ podle vzorecku 11.3, pak nemuzeme dostatopet Levi-Civitovu konexi.

Zbyva jeste pridat dodatecne normalizacnı podmınky k urcenı jednoznacnostiCartanovy konexe na bandlu G. Pozadavek na konexi bez torze uz jednoznacneurcuje g−1 ⊕ g0 komponentu Cartanovy konexe na bandlu G. Oznacme je θ−1, θ0.Zbyva uz jen stanovit normalizacnı podmınku pro g1-komponentu konexe.

Necht’ φ1, φ1 jsou g1-koponenty konexe na G. Protoze tyto formy se musı sho-dovat na vertikalnım bandlu, je jejich rozdıl dan zobrazenım ψ : g−1 → g1,φ1(ξ) = φ1(ξ) + ψ(θ−1)(ξ).

Pro φ = θ−1, θ0 + φ1 definujme zobrazenı κφ : Λ2g−1 → g0 jako κφ(X, Y ) =dθ0(φ

−1(X), φ−1(Y )). Pak zmena κφ κφ je tvaru

κφ(X,Y ) = κφ(X, Y ) + ∂ψ(X, Y ); ∂ψ(X, Y ) = [ψ(X), Y ] + [X,ψ(Y )] (11.6)

Zbyva najıt komplement k ∂. Pokud existuje, pak pro kazde κ existuje pravejeden element κ, ze κ ∈ im∂ a κ− κ ∈ im∂. Rozresenı prinası nasledujıcı lemma.

Lemma 11.2. Necht’ κkij l je libovolny element Λ2Rn∗⊗ con. Potom existuje prave

jeden element Pij ∈ Rn∗⊗Rn∗ takovy, ze L := κ+∂P splnuje L iij l = 0. Explicitne

P je tvaru:

Pij =−1

m− 2

(κkkj i +

1

n(κkki j − κkkj i)−

1

2(n− 1)gabκkka bgij

)(11.7)

kde gab znacı metriku z koformnı trıdy a je gij jejı invers.

Dukaz: viz. [4]

71

Komplement k im∂ je jadro kontrakce, coz je presne Ricciho homomorfismus1.Rho-tensor P je pak

Pab =−1

m− 2

(Rab −

1

2(m− 1)Rgab

), (11.8)

kde Rab je Ricciho tensor. Podrobnosti jsou v knize [14] nebo[4]. Upozornujeme,ze v dalsı sekci je zvolena jina konvence a Rho-tensor je definovan s opacnymznamenkem nez v 11.8.

Definice 11.5. Mobiovu geometrii nazveme normalnı, ma-li tensor krivosti κ hod-noty v bloku s

⊕g1 a κs ∈ Ker(Ricci), kde s je blok (2,2) v g0, nebo ekvivalentne

∂∗κ = 0.

Podrobnosti jsou v [14] nebo [4]

Veta 11.4. Necht’ dimenze variety M s konformnı strukturou je rovna vetsı trema.Pak existuje prave jedna normalnı Mobiova geometrie, ktera indukuje konformnıstrukturu.

Dukaz: viz. [14]

11.4 Traktorovy bandl na variete s konformnı

strukturou

Necht’ (M, [g]) je varieta s konformnı strukturou. Na teto variete zavedeme prımkovybandl E [1] nasledujıcım zpusobem. Pri volbe Riemannovy metriky g z trıdy [g] setento bandl trivializuje, tedy je-li φ sekce E [1], pak se φ identifikuje s funkcı, kte-rou oznacme napr. f . Pri volbe jine metriky g = h2g se sekce φ identifikuje sfunkcı hf = f . w-tou mocninu E [1] oznacıme E [w] a jejı sekce nazyvame funkcekonfromnı vahy w. Zmena metriky se na reprezentantech takovem badlu se pro-jevı jako f = hwf , pokud metriky zmenu provedeme stejne jako v predchozımprıpade.

Tecny a kotecny bandl budeme znacit jako Ea, respektive Ea. Obecna tensorovapole pak prıslusnym poctem indexu nahore a dole, napr. ζabc znacı 2-vektorovya 1-kovektorovy tensor. Kulata zavorka u indexu znacı symetrizaci a hranataantisymetrizaci.

1Viz. [14]

72

Casto budeme pracovat v situaci, kdy budeme fixovat metriku. Dıky teto volbepak muzeme zvedat a snizovat indexy u tensoru, napr. ξa = gabξ

b.Tenzorovou mocninu tecneho resp. kotecneho bandlu s E [w] pak jako Ea[w],

respektive Ea[w].Standartnı traktorovy bandl na konformnı variete zadefinujeme nasledovne.

Pri volbe metriky g ho identifikujeme jako:

E [−1]⊕ Ea[1]⊕ E [1].

Je-li g nahrazena h2g = g pak se sekce (%, µa, σ)g transformuje nasledovne ρµa

σ

g

=

ρ−Υbµb − 1

2ΥbΥ

bσµa + Υaσ

σ

g

, (11.9)

kde Υa := h−1∇ah = d(log h).

Na traktorovem bandlu se zavedeme konexi nasledujıcım predpisem. Je-li zvo-lena Riemmanova metrika v konformnı trıde pak definujeme

∇a

ρub

σ

=

∇aρ− Pabub

∇aub + σgbcPac + ρδba∇aσ − gabub

, (11.10)

kde konexe na prave strane definice je Levi-Civitova konexe asociovana ke zvolenemetrice. Tato konexe je konformne invariantnı.

Necht’ Υa ∈ Ω1(M), ξa ∈ X(M). Jestlize je ztotoznıme s elementy v g1, resp.g−1 jako v 10.1, potom je akce • na standartnım traktorovem bandlu tvaru:

Υa •

ρub

σ

=

Υaua

−σΥb

0

; ξa •

ρub

σ

=

0ρξa

−ub

(11.11)

Porovnanım 11.9 a vety 11.1 vidıme, ze transformace odpovıda zmene Weylovystruktury σ = σ. exp(Υ). Skutecne, jedna se o jedna gradovanou geometrii, tedy

mame

ρµa

σ

−Υb •

ρµa

σ

+ 12Υb •Υb •

ρµa

σ

=

ρ−Υbµb − 1

2ΥbΥ

bσµa + Υaσ

σ

Konexe na konformnım traktorovem bandlu je ve shode s drıve definovanou

konexı na obecnem traktorovem bandlu s volbou Weylovy struktury z vety 8.4.

73

Standartnı traktorovy bandl na Mobiove modelu je homogennı vektorovy bandlasociovany k restirkci reprezentace SO(n + 1, 1) na P na vektorovem prostoruRn+2, tj. SO(n+ 1, 1)×P Rn+2 a budeme jej znacit T.

Kazda ireducibilnı reprezentace G0∼= SO(n) ⊕ R je dana dominantnı vahou

pro SO(n) a konformnı vahou pro cetrum. Vahu budeme standartne zapisovat vetvaru (w|λ), kde w je konformnı vaha a λ je dominantnı vaha pro SO(n).

Jako G0 modul se Rn+2 rozpada na tri komponenty R ⊕ Rn ⊕ R s vahami(−1|, 0, . . . , 0), (0|1, 0, . . . , 0), (1|0. . . .). Protoze reprezentace Rn a R∗n jsou iso-mofnı jako SO(n)-moduly, muzeme prostrednı cast traktoroveho bandlu povazovatbud’ za vektory nebo 1-formy.T⊗R[w − 1] se pak rozpada na komponenty o vahach (w − 2|, 0, . . .), (w −

1|1, 0, . . .), (w|0, . . .). Je dobre jeste poznamenat, ze prımkovy bandl R[w] s kon-formnı vahou w ma vahu −wλE, kde λE je vaha dualnı ke gradovacımu elementuE. Jedna se pouze o konvenci.

11.5 Akce zakriveneho Casimırova operatoru Cna standartnım traktorovem bandlu T

Akci Casimırova elementu muzeme rozepsat pri volbe lokalnı baze na dva cleny ato sice na ∑

i

(Xi • Zi • σ − Zi •Xi • σ) +∑r

Ar • Ar • σ (11.12)

a na

−2∑i

(Zi • ∇Xiσ + Zi • P(Xi) • σ). (11.13)

Prvnı vyraz muzeme spocıtat pouzitım vety 9.3. Druhy vyraz je pak tvaru

−2∑i

Zi • ∇PXi

ρµb

σ

= −2∑i

Zi •

∇Xiρ− P(X i, u)∇Xiub + σg−1P(X i)

∇Xiσ

=

= 2

−∇aua − σPa

∇bσ0

(11.14)

74

Prvnı clen 11.12 pocıtame zvlast’ pro kazdou komponentu. Oznacme je

cg0

ρµb

σ

=

c2ρc1µ

b

c0σ

Musıme pocıtat zvlast’ prıpad, kdy dimenze variety je suda a zvlast’ prıpad,

kdy je licha.Necht’ dimenze je rovna 2n. Potom nejmensı vaha so2nC je (n−1, n−2, . . . , 0).

Necht’ pro jednoduchost m = 2(n − 1). Tedy napr. pro c0 mame nejmensı vahu(−w|0, . . .) a dostaneme:

c0 = 〈(w, 0, . . .), (w +m, 0 . . .)〉 = (w)(w +m)

Vsechny vahy jsou pak tvaru: c0 = (w)(w+m), c1 = (w−1)(w−1+m)+m−1 =w(w− 2 +m), c2 = (w− 2)(w− 2 +m). Pocıtame podle predpisu z vety 9.4. Pakmame:

(C − c2)(C − c1)

ρµb

σ

=

−4∇a∇aσ − 2(c0 − c1)σPaa

(c0 − c2)2∇bσ(c0 − c1)(c0 − c2)σ

. (11.15)

Pokud dosadıme hodnoty, pak mame nasledujıcı.

Lemma 11.3. Akce operator z vety 9.4 na sekcıch standartnıho traktroveho ban-dlu je tvaru:

1

4(C − c2)(C − c1)

ρµb

σ

=

−∇aua − wσPa

a

(m+ 2w − 2)∇bσw(m+ 2w − 2)σ

. (11.16)

Dukaz: viz. predchozı radky.

Pokud chceme prıpad pro lichou dimenzi, je nejmensı vaha rovna (n − 12, n −

32, . . . , 1

2). Substitucı m = 2(n− 1

2) dostaneme stejny vzorecek jako v 11.3.

Lemma 11.4. Pro w = 0 je

∇ : R[0]→ TM [0]

konformne invariantnı operator.

Lemma 11.5. Pro 2w +m− 2 = 0 je operator

F : R[2−m

2]→ R[

−2−m2

], F (f) 7→ −∇aua − 2−m

2σPa

a

konformne invariantnı Laplaceuv operator.

Dukazy obou lemmat plynou prımo z lemmatu 11.3.

75

11.6 Akce C na Λ2TSpocteme akci jeste na druhe antisymetricke mocnine Λ2T. ρ

µa

σ

∧ ψ

νb

ϕ

∼=

ρνb − ψµaµa ∧ µb ⊕ ρϕ− σψ

ϕµa − σνb

Vidıme, ze Λ2T ma tri patra a ctyri ireducibilnı G0-podmoduly s vahami (−1|1, 0, . . .)(0|, 1, 1, 0, . . .)⊕ (0|0, . . .)

(1|1, 0, . . .)

. Prvnı a tretı patro jsou 1-formy nebo vektory,

prostrednı patro pak 2-formy a poslednı ve vyctu je trivialnı reprezentace SO(2n),ktere odpovıda stopove casti druhe symetricke mocniny. Po vynasobenı konformnıvahou pak mame

R[w−1]⊗ (−1|1, 0, . . .)

(0|, 1, 1, 0, . . .)⊕ (0|0, . . .)(1|1, 0, . . .)

=

(w − 2|1, 0, . . .)(w − 1|, 1, 1, 0, . . .)⊕ (w − 1|0, . . .)

(w|1, 0, . . .)

Akce −2

∑i Zi∇P

Xi je tvaru:

−2∑i

Zi∇PXi

ϕa

µ[ab] ⊕ fΦa

=

2(PbbΦ

a + PabΦ

b) + 2∇aη[ab] + 2∇bf

2∇[bΦa]⊕−2∇aΦa

0

(11.17)

Nynı spocıtame vlastnı cısla akce cg0 . Oznacme je jako

c3c1 ⊕ c2c0

. Pak

c0 = (w)(w +m) +m− 1c1 = (w − 1)(w − 1 +m) + (m− 1) + (m− 3) = w(w +m)− 2w − 3 +mc2 = (w − 1)(w − 1 +m) = (w)(w +m)− 2w −m+ 1c3 = (w − 2)(w − 2 +m) +m− 1 = (w)(w +m)− 4w + 3− 1.

Mame tedy nasledujıcı tvrzenı.

Lemma 11.6. Akce operatoru z vety 9.4 je tvaru:

(C − c3)(C − c2)(C − c1)

ϕa

µ[ab] ⊕ fΦa

=

76

=

(c0 − c2)[2(c0 − c1)(Pb

bΦa + 2Pa

bΦb) + 4∇b∇[bΦa]

]− (c0 − c1)4∇b∇aΦ

a

(c0 − c3)(c0 − c2)2∇[bΦa] ⊕−(c0 − c3)(c0 − c1)2∇aΦa

(c0 − c3)(c0 − c2)(c0 − c1)Φa

.

Dukaz: viz. predchozı pocty.

Nynı si ukazme aplikace. Dukazy vsech techto tvrzenı jsou prımym dusledkemlemmatu 11.6. Presto nektere vysledky overıme.

Lemma 11.7. Pro c0 − c2 = 0↔ −w −m+ 1 = 0 je

∇ : T ∗M [1−m]→ E [m], φa 7→ ∇aφa

konformne invariantnı divergence.

Vypocet overıme i prımo. Protoze kotecny bandl je asociovany k adjungovanereprezentaci G0 na g1, ktera ma vahu (1|1, 0, . . .) a tedy nesmıme zapomenoutpricıst jednicku. Mame:∇aφa = ∇a(h2−mφa)−Υah2−mφa −Υah2−mφa +mΥah2−mφa =

= (2−m)h1−m(∇ah)φa + h2−m∇a(φa)− (2 +m)Υah2−mφa = h2−m(∇aφa).

Lemma 11.8. Pro c0 − c1 = 0↔ w = −1 je operator

T ∗M [−1]→ Λ2T ∗M [−2], φa 7→ ∇[bφa]

konformne invariantnı.

Skutecne:∇bφa − ∇aφa = ∇bφa −Υbφa −Υbφa + Υcφcgab −

− (∇aφb −Υaφb −Υbφa + Υcφcgba) = ∇bφa −∇aφb

Nynı aplikujme vysledky jeste pro vypocet konformne invariantnıch operatoruna tecnem bandlu.

Nejdrıv upravme pro TM [w + 1]:

∇aµb = ∇a(h

wµb) + hwΥaµb − hwΥbµa + hwΥcµcδ

ba =

= hw(∇aη

b + (w + 1)Υaµb −Υbµa + Υcµ

cδba

)(11.18)

Pokud provedem kontrakci dostaneme ∇aηa+(w−m)Υaµ

a. Mame nasledujıcı.

77

Lemma 11.9. Pro w = −m je operator

∇ : TM [1−m]→ E [−m], µa 7→ ∇bµb.

konformne invariantnı.

To odpovıda nasemu vypoctu z lemmatu 11.6 pro w = 1 −m. Posun je opetzpusoben vahou TM , ta je rovna (−1|, 1, 0 . . .).

11.7 Konformne invariantnı operatory prvnıho

radu

Zopakujeme postup z kapitoly 9. v konformnı situaci. Reprezentace bereme sohledem na poznamku 9.1. Necht’ V je ireducibilnı reprezentace P s nejvyssı vahouλ = (λn−1, λn−2, . . . , λ0). Tensorovy soucin V ⊗T⊗R[w− 1− λn−1] ma tri patra,pritom prvnı je isomorfnı V ⊗R[w] a tretı V ⊗R[w− 2]. Druhe patro je isomorfnıV ⊗ Rn. Predpokladejme, ze se rozklada na sumu ireducibinıch G0-podmodulu⊕

i=1...,k Vi a oznacme prıslusne vahy jako µi = (w − 1|µ′i), kde µ′i je vaha Levihofaktoru.

(w − 2|λ′)(w − 1|µ′1)

⊕(w − 1|µ′2)

⊕. . .

⊕(w − 1|µ′k)

(w|λ′)

(11.19)

Oznacme dale prıslusne vlastnı cısla akce cg0 jako ck+1

c1 c2 . . . ckc0

(11.20)

Pro kazde i = 1 . . . , k je Vi ireducibilnı G0 podmodul s prıslusnou vlastnıhodnotou ci a oznacme dale jako Vi :=

⊕j,j 6=0,i Vj. Faktor modul Vi := V/Vi je

rovnez P -modul s dvema komponentama, ktere jsou isomorfnı Vµ0 a Vµi. Mame

2-gradovany bandl V := G ×P Vi.

Lemma 11.10. Akce (C − ci) : Γ(V)→ Γ(V) je tvaru:

(C − ci)(ϕφ

)=

(2∇aφ

(c0 − ci)φ

). (11.21)

Specialne pro c0 = ci je ∇ : Γ(V0)→ Γ(Vi) invariantnı diferencialnı operator.

78

Dukaz: Analogicke lemmatu 11.3. Druha cast tvrzenı pak z 9.3.

Lemma 11.11. Necht’ platı predpoklady lemmatu 11.10. Oznacme jako −λ nejmensıvahu V0 a jako −µ nejmensı vahu Vi. Potom

c0 = ci ↔ w = −1

2[(µ′i,k, µ

′i,k + 2ρ0)− (λ′, λ′ + 2ρ0)− (α′i, α

′i + 2ρ0). (11.22)

Tedy lemma 11.10 a veta 10.3 jsou ekvivalentnı.

Dukaz: Necht’ δ je nejmensı vaha g a δ′ nejmensı vaha gss0 . Pro sudou dimenzi,tedy pro g = so2nC mame δ = (n− 1, n− 2, . . . , 0) a δ′ = (n− 2, . . . , 0). Oznacmejeste pro pohodlı m = 2(n − 1). Protoze reprezentace so2nC jsou selfdualnı, tj.nejvyssı vaha je nejmensı vaha s opacnym znamenkem, mame:

0 = c0 − ci = (w)(w +m) + 〈λ′, λ′ + 2δ′〉 − (w − 1)(w − 1 +m)− 〈µ′i, µ′i + 2δ′〉 =

= 2w − 1 +m+ 〈λ′, λ′ + 2δ′〉 − 〈µ′i, µ′i + 2δ′〉.

Tedy mame

w = −1

2

[− 1 +m+ 〈λ′, λ′ + 2δ′〉 − 〈µ′i, µ′i + 2δ′〉

].

Nynı g1 ma nejmensı vahu α = (1|−1, 0 . . .) a tedy 〈−α,−α+2δ′〉 = 1(1+m−2) =m− 1. Coz dava

w =1

2

[〈µ′i, µ′i + 2δ′〉 − 〈λ′λ′ + 2δ′〉 − 〈α, α+ 2δ′〉

](11.23)

Pro lichou dimenzi by vypocet probıhal obdobne. Tento vysledek se lisı se vzoreckem10.9 o znamenko. To je zpusobeno rozlisnou definicı vahy, na kterou jsme upozor-nili na konci sekce 11.4.

11.8 Operatory druheho radu

Opet bereme v uvahu poznamku 9.1. Uvazujme akci Casimırova operatoru natensorovem soucinu standartnıho traktoroveho bandlu a libovolne ireducibilnı re-prezentace V s nejmensı vahou −λ grupy P vynasobene libovolnou konformnıvahou R[w], tedy bandl V

⊗T[w]. Prvnı patro je isomorfnı V [w− 2] a tretı patro

je isomorfnı V [w] a predpokladejme, ze druhe patro se obecne rozklada na soucetSO(n)-ireducibilnıch podmudulu V1 ⊕ . . . ⊕ Vk. Oznacme komponentu v prvnımpatre jako Vk+1 a v tretım jako V0. Oznacme dale nejmensı vahy prıslusnych

79

scıtancu jako−λ1, . . . ,−λk, prıslusna vlastnı cısla akce cg0 standartne jako c1, . . . , cka jako π1, . . . , πk projekce πi : V → Vi. Oznacme jeste jako c0, ck+1 vlastnı cıslana V0, Vk+1. Potom mame:

−∑i

Zi∇PXi

ΨξbΨΨ

=

−∇bξbΨ−PΨ∇bΨ

0

(11.24)

Tento vzorecek se odvodı stejne jako v prıpade standartnıho traktoroveho ban-dlu. Pouzijeme formuli z vety 9.4 pro splitting operator

Lemma 11.12. Akce operatoru z vety 9.4 je rovna:

∏i=1,...,k+1(C − ci)

ΨξbΨΨ

= (11.25)

=

−4∑k

i=1

∏kj=1;j 6=i(c0 − cj)∇bπi(∇bΨ)− 2

∏ki=1(c0 − ci)PΨ⊕k

i=1

∏k+1j=1;j 6=i(c0 − cj)2∇bΨ∏k+1i=1 (c0 − ci)Ψ

Specialne pro c0 = ck+1 mame invariantnı diferencialnı operator druheho raduΓ(V [w])→ Γ(V [w − 2]).

Dukaz: Vzorec 11.25 budeme dokazovat indukcı. Pro m = 1, . . . , k + 1 apliku-jeme v m-tem kroku operator C−cm. Zrejme (C−cm)φ = 0 pro φ sekci podbandlus vlastnım cıslem cm, tedy v m-tem kroku nas zajımajı sekce, ktere jsme zıskali ite-rovanım Casimıra, lezıcı v podbandlu⊕j≤mVj. Zformulujme jeste pomocne lemma.

Lemma 11.13. Indukcı dle 1 < m < k+1. Predpokladejme, ze pro i ≤ m < k+1platı, ze koeficient u sekce Vi se v m-tem kroku rovna 2

∏mj=1,j 6=i(c0 − cj), pak pro

i < k + 1 koeficient u sekce Vi v m+ 1-kroku se rovna 2∏m+1

j=1,j 6=i(c0 − cj).

Dukaz: Pisme pro jednoduchost jen koeficienty. Dle predpokladu mame prom < k + 1

m∏i=1

(C − ck)

ΨξbΨΨ

=

∗2∏m

j=1;j 6=1(c0 − cj)⊕ . . .⊕ 2∏m

j=1,j 6=m(c0 − ci)⊕ ∗∏mj=1(c0 − cj)

80

Aplikujme nynı C − cm+1. Tvrzenı platı zrejme pro V0. Pro i ≤ m mame

(ci − cm+1)2m∏

j=1,j 6=i

(c0 − cj) + 2m∏j=1

(c0 − ci) = 2m∏

j=1,j 6=i

(c0 − cj)(c0 − ci + ci − cm+1)

= 2m∏

j=1,j 6=i

(c0 − cj)(c0 − cm+1) = 2m+1∏

j=1,j 6=i

(c0 − cj)

Pro i = m+ 1 mame koeficient rovny 2∏m

j=1(c0 − cj) = 2∏m+1

j=1,j 6=i(c0 − cj).Zbyva jeste overit prvnı krok v indukci pro m = 2. Lehce overıme, ze

(C − c2)(C − c1)

ΨξbΨΨ

=

∗2(c0 − c2)∇bΨ⊕ 2(c0 − c1)∇bΨ⊕ . . .

(c0 − c1)(c0 − c2)Ψ

.

Overili jsme tedy vzorec 11.25 pro druhy a tretı radek. Prvnı radek pak plyneze vzorce 11.24 pro akci Casimırova operatoru z prvnıho a druheho radku dotretıho. Dukaz vzorce 11.25 je hotov.

Ukazme si vse na prıklade reprezentace V = Rm∗. Pak

Rm∗⊗

T =

Rm∗2

0Rm⊕∧2Rm

⊕Tr

Rm∗

. (11.26)

Vynasobenım konformnı vahou R[w − 1] mame G0-podmoduly s vahami c4c1 ⊕ c2 ⊕ c3

c0

=

w2 − 6w +mw + 8− 2mw2 − 4w +mw + 4⊕ w2 − 4w + wm− 4⊕ w2 − 4w + wm+ 4− 2m

w2 − 2w +mw

.

Opet postupujeme podle vety 9.4.

116

(C − c4)(C − c3)(C − c2)(C − c1)

φaξbφagφa

=

−(m+ w − 2)((w − 1)∇b∇bφa + (w − 2)wφaPφa

)− (m+ w − 2)∇b∇aφ

b − w∇b∇cφc(m+ w − 4)

((w − 1)(m+ w − 2)∇bφa + (m+ w − 2)∇aφ

b − wδba∇cφc)

(m+ w − 4)(m+ w − 2)(w − 2)wφa

,

81

kde prvnı a druhy vyraz ve druhem radku vznikl sectenım symetricke bezestope

w(m+ w − 2)(∇bφa +∇aφb − 2

m∇cφcδ

ba)

a antisymetricke

(w − 2)(m+ w − 2)(∇bφa −∇aφb)

casti. Tretı vyraz ve druhem radku pak sectenım stopy

w(w − 2)2

mδba∇cφ

c

a symetricke bezestope. Po upravach dostaneme vzorec nahore. Tretı radek upravımepomocı nasledujıcıch vztahu:

Rabφb +∇a∇bφ

b = ∇b∇aφb

Rabφb = (m− 2)Pabφ

b − R

2(1−m)φa

P =R

2(m− 1)

Mame tedy nasledujıcı vzorec.

Lemma 11.14.

116

(C − c4)(C − c3)(C − c2)(C − c1)

φaξbφafφa

=

−(m+ w − 2)(w − 1)(∇b∇bφa + (w − 1)Pφa

)− (m− 2)

(∇a∇bφ

b + (m+ w − 2)Pabφb)

(m+ w − 4)((w − 1)(m+ w − 2)∇bφa + (m+ w − 2)∇aφ

b − wδba∇cφc)

(m+ w − 4)(m+ w − 2)(w − 2)wφa

.

Vypocet jeste overıme transformacı pri zmene Weylovy struktury. Proφa ∈ T ∗M [w] a zmenu metriky g = h2g oznacme jakowba := ∇bφa = ∇bφa + (w − 1)Υbφa −Υaφb + Υcφcgab.

Pak mame:

∇c∇bφa = ∇cwba = ∇cwba + (w − 2)Υcwba −Υawbc −Υbwca + Υdwbdgca + Υdwdagbc.

Kontrakcı indexu b, c pak dostaneme∇bwba + (w +m− 3)Υbwba −Υaw

bb + Υbwab =

82

∇b(∇bφa + (w − 1)Υbφa −Υaφb + Υcφcgab

)+

+ (w +m− 3)Υb(∇bφa + (w − 1)Υbφa −Υaφb + Υcφcgab

)−

−Υa

(∇bφb + (m+ w − 2)Υbφb

)+ Υb

(∇bφa + (w − 1)Υbφa −Υaφb + Υcφcgab

)=

= ∇b∇bφa + (w − 1)∇bΥbφa −∇bΥaφb +∇aΥcφc +

+ (w +m− 3)(Υb∇bφa + (w − 1)ΥbΥbφa −ΥbΥaφb + ΥaΥ

cφc)−

−Υa∇bφb− (m+w− 2)ΥaΥbφb−Υb∇bφa + (w− 1)ΥbΥbφa−ΥbΥaφb + ΥaΥ

cφc.

Dale:Pφa = Pφa − (∇bΥb)φa + (1− m

2)ΥbΥbφa.

Mame tedy:∇b∇bφa + (w − 1)Pφa =

= ∇b∇bφa+(w−1)Pφa+(m−4+2w)Υb∇bφa+(w2 + wm2−3w− m

2+1)ΥbΥbφa−

(m− 2)ΥaΥbφb + 2Υb∇aφ

b + (∇aΥb)φb − 2Υa∇bφb − φb∇bΥa.

Navıc:(∇aΥb)φ

b − φb∇bΥa = ∇a(h−1∇φh)−∇φ(h

−1∇ah) == −h−2(∇ah)(∇φh) + h−1∇a∇φh+ h−2(∇φh)(∇ah)− h−1∇φ∇ah = 0.

Nynı upravıme druhou zavorku.Pabφ

b = Pabφb − (∇aΥb)φ

b + ΥaΥbφb + 1

2ΥbΥ

bφa

∇a∇bφb = ∇a∇bφ

b+(w+m−2)∇aΥbφb+(w−2)Υa∇bφ

b+(w−2)(w+m+2)ΥaΥbφb

Coz dava:(w +m− 2)Pabφ

b + ∇a∇bφb =

= (w +m− 2)(Pabφ

b + Υb∇aφb + (w − 1)ΥaΥbφ

b + 12ΥbΥ

bφa)

+ (w − 2)Υa∇bφb.

Secteme vse dohromady.−(m+ w − 2)(w − 1)

(∇b∇bφa + (w − 1)Pφa

)−

− (m− 2)((w +m− 2)Pabφ

b + ∇a∇bφb)

== −(m+ w − 2)(w − 1)

(∇b∇bφa + (w − 1)Pφa

)−

−(m−2)((w+m−2)Pabφ

b+∇a∇bφb)−(m+w−2)(w−1)(m+2w−4)Υb∇bφa−

− 12(m+w−2)(w−1)(m+2w−4)wΥbΥ

bφa− (m+w−2)(m+2w−4)Υb∇aφb+

+ w(2w +m− 4)Υa∇bφb

Coz jsou presne traktorove transformace pri zmene Weylovy struktury. Overittransformaci na druhem radku je prımocare.

Z techto vypoctu je zrejme, jak se formule komplikujı, kdyz uvazujeme slozitejsıreprezentace a operatory vyssıch radu.

83

Literatura

[1] E.P. van den Ban, The Plancherel theorem for a reductive symmetric space.pp. 1- 97 in: Lie Theory Harmonic Analysis on Symmetric Spaces – GeneralPlancherel Theorems, J-P. Anker, B. Orsted, eds., Progress in Math. 230,Birkhauser, Boston, 2005.

[2] Bernstein I.N., Gelfand I.M., Gelfand S.I., Differential operators on the baseaffine space and a study of g–modules, in “Lie Groups and their Represen-tations” (ed. I.M. Gelfand) Adam Hilger 1975, 21–64.

[3] Cap A., Gover A.R., Tractor Calculi for Parabolic Geometries, Trans. Amer.Math. Soc. 354 (2002), 1511-1548.

[4] Chap A., Slovak J.: Parabolic geometries.

[5] Chap A., Slovak J., Soucek V.: Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences,Ann.Math., 154, 2001, 97-113;

[6] Cap A., Slovak J., Soucek V., Bernstein–Gelfand–Gelfand sequences,Ann. of Math. 154 no. 1 (2001), 97–113. preprint version (45 pages)math.DG/0001164.

[7] Chap A., Soucek V.: Curved Casimir operators and BGG machinery, preprint,http://www.emis.de/journals/SIGMA/2007/, 2007.

[8] Calderbank D.M.J., Diemer T., Differential invariants and curved Bernstein-Gelfand-Gelfand sequences, J. Reine Angew. Math. 537 (2001) 67–103.

[9] Fulton W., Harris J.: Representation theory: a first course, Springer-Verlag,New York, 1991.

[10] Graham C.R., Conformally invariant powers of the Laplacian, II: Nonexis-tence, J. London Math. Soc. 46 (1992) 566–576.

84

[11] Graham C.R., Jenne R., Mason L.J., Sparling G.A., Conformally invariantpowers of the Laplacian, I: Existence, J. London Math. Soc. 46 (1992) 557–565.

[12] Humpreys J. E.: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory,Springer-Verlag, New York, 1975.

[13] Lepowsky J., A generalization of the Bernstein–Gelfand–Gelfand resolution,J. of Algebra 49 (1977), 496–511.

[14] Sharpe R.W., “Differential Geometry”, Graduate Texts in Mathematics 166,Springer–Verlag 1997.

[15] Slovak J., Soucek V.: Invariant Operators of the First Order on Manifoldswith a Given Parabolic Structure, Societe Mathematique de France, Paris,2001, 251-276;

85