Verbindungsgerade (Join) , Schnittpunkt (Meet) Projektive Transformation det (M) 6= 0

Affine Transformation(a b cd e f0 0 1

) Rotation

(cos sin 0sin cos 0

0 0 1

) Translation

( 1 0 tx0 1 ty0 0 1

) Verschiebung, Scherung, Spiegelung Erhalten Parallelitt (l l) P und Lngen-verhltnis

Perspektivische Verzerrung

Kollineation : erhlt KollinearittRPd Projektive Transformation

((

100

),(

010

),(

001

),(

111

))M7 (A,B,C,D) in allgemeiner La-

ge

; M =( | | |A B C| | |

), , , aus

(|A|

|B|

|C|

|D|

) Gerade: l 7MT l MT l (bei Dualitt zu beachten) KS: AMTAM1 MTAM

Projektive Gerade RP 1

Punkte auf Verbindungsgerade: PIA B P A+B

() := Hom. Koord. von P bzgl. Basis (A,B) (Ach-tung: Reprsentanten von A,B nicht whlbar)

Basiswechsel: (A(A,B) B(A,B) ) : P(A,B) 7 P(A,B) Projektion (X): ( 00 1 ) : P(A,B) 7 P (A,B), =

[ABX][BAX]

Doppelverhltnis (A,B;C,D) := [AC][BD][AD][BC] Invariant unter proj. Trafos (BA;CD) = 1 , (AC;BD) = 1 , (AC;DB) =

11 , (AD;BC) = 1 1 , (AD;CB) = 1

= 1 A = B oder C = D (0,;x, 1) = x = 1

Quadrik/Kegelschnitt Q (p) = pTAp = aiip2i +(aij + aji) pipj = 0

Spezialfall 2 Geraden AB,CD: Q (p) = [ABp] [CDp]

Kreis:(

1 xM1 yM

xM yM x2M+y2Mr2

) Eindeutig durch 5 Pkt., keine 3 auf Gerade:

Q (p) = [ADE] [BCE]

[ACP ] [BDP ]

[ACE] [BDE]

[ADP ] [BCP ]

(Plckers , = ET (AD) (B C)T =M2

E)

(AB,CD)P = (AB,CD)E Typisierung(

11

1

) (1

1 1

) (1

10

) (1 1

0

) (1

00

)x2 + y2 + z2 = 0 x2 + y2 z2 = 0 x2 + y2 = 0 x2 y2 = 0 x2 = 0hat nur komplexe

Lsungen EinheitskreisNullpunkt

2 komplexe Geraden(1i

),

(1i

) 2 reelle Geraden(11

),

(11

) relle Doppelgerade(0

)

CP 1

C : x y xy R, x y xy iR, x, y, z koll. xyxz R.

nur ein : (10) A,B,C,D kozirkular oder kollinear (A,B;C,D) R Proj. Trafo: Kreis/Gerade 7 Kreis/Gerade

Euklidische Geometrie im RP 2

I =(i

10

), J =

(i10

), I J = l

Kreis/Gerade im RP 2: A,B,C,D koz./kol.

(A,B;C,D)I = (A,B;C,D)J (A,B;C,D)I R KS durch I, J : A,B,C,D, I, J auf einem KS

Laguerre: l,m = 12i ln (M,L; I, J) , L = l l,M =m l l m (L,M ; I, J) = 1 mehrdeutig modpi, da ln mehrdeutig mod2pii. lm = ml (DV1) lm + mg lgmodpi (Mult. DV)

Spiegle P an l: gA/B = ((I/J P ) l) J/I, P =gA gb

Kreismittelpunkt M = A I A J Abstand (relativ |AB|)

|XY | =

|XY | [XY I] [XY J ]

2i [AIJ ]

2i [BIJ ]

[ABI] [ABJ ] |AB|=1

[XIJ ] 2i

[Y IJ ] 2i

RP d (Plcker-Koordinaten)

Rang r = d+ 1

Koordinaten Rang k: k-el. Teilsequenzen von (1, ..., r) =:[r] =k k-Unterdet.; Vektoren in R(rk), nur k(r k)+1 Eintrge relevant.

Join: Prk k

Qrkm

= Rrk k+md+1

: R =(,);= sgn

(,

) P Q Meet: P

rk k

Qrkm

= Rrk k+mr0

: R =

(,);= sgn

([r]\

\,\) P Q

Grassmann-Plcker-Relation

RP 1 r = 2, n = 4 :[ab] [cd] [ac] [bd] + [ad] [bc] = 0 RP d r = d + 1, = (a1, ..., ar1) , = (b1, ..., br+1):r+1

i=1 (1)i+1[a1...ar1bi

][b1... 6 bi...br+1] = 0