5. Modeliranje 5.1 Matrice i vektori 1

5.1.1 Matrične operacije 2 5.1.2 Sustav linearnih jednadžbi, matrice i tablice 4 5.1.3 Blok dijagrami informacija 5

5.2 Matematički modeli 8 5.2.1 Postavljanje matematičkih modela 8 5.2.2 Matematički model grede 9 5.2.3 Matematički model izmjenjivača topline 11

5.3 Statistički modeli 12 5.3.1 Postavljanje statističkih modela 12 5.3.2 Statistički model crpke 14

Model – imitacija originala.

Analizom modela dolazi se lakše i/ili brže do potrebnih informacija o stanjima i/ili procesima originala.

Misaoni je model slika originala formirana u našim mislima i s njim se počinje modelira-

nje. Blok dijagram informacija je sažetak skica i/ili tehničkih nacrta s pratećim tekstualnim pojašnjenjima o stanjima i procesima. Matematički modeli obuhvaćaju skupine matematičkih izraza i podataka o vrijednostima veličina stanja kojima se opisuju stanja i procesi. Svojstva fizičkih modela originala su analogna svojstvima originala.

5.1 Matrice i vektori Matrica, A = [aij], organizirani je skup brojčanih iznosa (npr. tablica ispunjena podacima)

s kojima se provode matematičke operacije po formaliziranim (dogovorom utvrđenim) pos-tupcima. Matrice mogu biti jedno-, dvo- , tro- i višedimenzijske.

Rang je matrice: m × n × … = broj redova × broj kolona × …

2 Kvantitativne metode

Element matrice Matrica (dvodimenzijska)

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a aa a aA

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦

⎣

Identifikatori elemenata:

• Red u kojem se nalazi element matrice:

i = 1, 2, …, m • Kolona u kojoj se nalazi element

matrice: j = 1, 2, …, n

PRIMJER P-5.1 Odrediti elemente a12 , a32 , a23 i a34 zadate matrice A ranga 3 × 4.

2 9 1 47 16 3 8

15 5 11 14

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

a12 = 9 a32 = 5 a23 = 3 a34 = 14

A

Vektor je jednodimenzijska matrica sa samo: 1. jednim redom – vektor red, u = [ui], 2. jednom kolonom – vektor kolona, v = [vj].

Broj brojčanih iznosa (kolona) u vektor redu, n, te broj brojčanih iznosa (redova) u vektor ko-loni, m, nazivaju se dimenzijama vektora.

vektor red vektor kolona

u = [ui] = [u1 u2 un] u = [7 6 13]

trodimenzijski vektor red

v = [vj] = 1

2

m

vv

v

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦

482

⎡ ⎤

⎢ ⎥−⎣ ⎦ v = ⎢ ⎥

trodi

men

zij

ski v

ekto

r ko

lona

⎣

Korištenje oznaka za vektore i matrice (A, i, j, m, n, u, v) je potpuno proizvoljno, s tim što je uobičajeno označavanje matrica velikim slovima, a vektore podebljanim malim slovima. Vektori se mogu usporediti s tablicama koje sadrže samo jedan red (vektor red) ili samo jednu kolonu (vektor kolona) – za određivanje vektora je potrebno više brojčanih iznosa (i jedna je-dinica).

5.1.1 Matrične operacije Jednakost matrica – dvije matrice su jednake, samo ako su im jednake vrijednosti svih

odgovarajućih elemenata, A = [aij] = [bij] = B.

PRIMJER P-5.2 Odrediti matricu B jednaku zadatoj matrici A ranga 2 × 3.

05. Modeliranje 3

2 9 1A 7 16 3⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

B = A B 2 9 17 16 3⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Transponirana matrica, AT – dobiva se zamjenom elemenata redova s odgovarajućim elementima kolona:

A = [aij] ⇒ AT = [aji].

PRIMJER P-5.3 Odrediti matrice B jednaku zadatoj matrici A ranga 2 × 3.

2 9 1A 7 16 3⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

T2 7⎡

A 9 161 3

⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎦

⎣

Skalarni umnožak vektora: u v = u1 v1 + u2 v2 + + un vm

Uvjeti su: (a) jedan je vektor red, drugi vektor kolona i (b) vektori su istih dimenzija. Rezultat množenja dva vektora je skalar – samo jedan brojčani iznos (i jedinica).

PRIMJER P-5.4 Izračunati skalarni umnožak zadatih trodimenzijskih vektora.

u = [7 6 12] v = 482

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

u v = 7 4 + 6 8 + 12 (–2) = 28 + 48 – 24 = 52

Umnožak matrice i skalara: B = c A ⇒ b11 = c a11 , b12 = c a12 , , bmn = c amn

Rang dobivene matrice B jednak je rangu matrice A.

Zbrajanje matrica: C = A + B ⇒ c11 = b11 + a11 , c12 = b12 + a12 , , cmn= bmn + amn

Sve tri matrice (A, B, C) su istog ranga.

Zbrajanje vektora: w = u + v ⇒ w1 = u1 + v1 , w2 = u2 + v2 , , wn = bn + an

Rezultat ovakvog zbrajanje vektora je isti s rezultatom grafičkog zbrajanja vektora po pravilu paralelograma.

PRIMJER P-5.5 Numerički i grafički zbrojiti vektore: u = [1 2] i v = [2 1].

u = [1 2] v = [2 1]

w = u + v w = [1 2] + [2 1]

w = [1+2 2+1] w = [3 3]

4 Kvantitativne metode

Množenje matrice: C = A B ⇒ cij = ai bj

Element ij matrice C je skalarni proizvod vektora i-tog reda matrice A sa j-tom kolona matrice B. Uvjet je: broj kolona matrice A (n) jednak broju redova matrice A (m).

PRIMJER P-5.6 Izračunati umnožak zadatih matrica.

2 4 1A 3 1 2⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

4 2

B 1 33 2

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎦

C 15 1819 13⎡ ⎤=

⎣⎢ ⎥⎦

⎣

5.1.2 Sustav linearnih jednadžbi, matrice i tablice Sustav linearnih jednadžbi:

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

m1 1 m2 2 mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + =

ako se podrazumijeva:

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a aa a aA

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2

m

xx

x

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x b 1

2

m

bb

b

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

može se opisati sa: A x = b ili u skraćenom obliku sa: A ⎢b

PRIMJER P-5.7 Zapisati u skraćenom obliku sustav linearnih jednadžbi.

1 2 3

2 3

1 2 2

x 2x 3x 2x 2x 3

x 2x 2x 1

+ + =+ =

+ + = ⎡1 2 3 20 1 2 31 2 2 1

⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi se može riješiti na više različitih načina, na primjer, vrlo često se koristi Gaussova eliminacija:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

(1) x1 = (b1 – a12x2 – a13x3)/a11 (2) x2 = (b2' – a23'x3)/a22' (3) x3 = b3''/a22''

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a22'x2 + a23'x3 = b2' a33''x3 = b3''

Prema tome, moraju se prvo izračunati vrijednosti „novih“ brojčanih iznosa koeficijenata: a22' , a23' , b2' , a33'' , b3''. Na primjer, kada se x1 , određen na temelju prve jednadžbe u ko-raku (1), uvrsti u drugu jednadžbu dobiva se:

a21 1 12 2 13 3

11

b a x a xa

− − + a22x2 + a23x3 = b2

05. Modeliranje 5

2122 12

11

aa aa

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ x2 + 21

23 1311

aa aa

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠x3 = 21

2 111

ab ba

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

a22' = 2122 12

11

aaa

− a a23' = 2123 13

11

aaa

− a b2' = 212 1

11

aa

−b b

U skraćenom matričnom zapisu:

11 12 13 1

21 22 23 2

331 32 33

a a a ba a a b

ba a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡11 12 13 1

21 21 2122 12 23 13 2 1

11 11 11

31 32 33 3

a a a ba a a0 a a a a b ba a a

a a a b

⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− − − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Konačno, u tabličnom zapisu:

Tablica T-7.1 Prvi korak

a11 a12 a13 b1 a21 a22 a23 b2 a31 a32 a33 b3

Tablica T-7.2 Drugi korak

a11 a12 a13 b1

21

11

aa

K = a = 0 21 11Ka− a22 12Ka− 23 13a Ka− 2 1b Kb−

a31 a32 a33 b3

Tablicu prati pseudo kod: • na temelju sustava linearnih jednadžbi formirati T-7.1 • izračunati koeficijent K u nultoj koloni T-7.2 dijeljenjem brojčanih iznosa u prvom

polju drugog reda i prvom polju prvog reda T-7.1 (a21/a11) • izračunati „nove“ brojčane iznose polja drugog reda T-7.2 oduzimajući od brojčanih

iznosa u odgovarajućim poljima (ista kolona) drugog reda T-7.1 umnoške koefici-jenta K s odgovarajućim poljima (ista kolona) prvog reda T-7.1 (a2j – Ka1j)

Prethodno opisanim postupkom samo počinje rješavanje sustava linearnih jednadžbi meto-dom Gaussove eliminacije – postupak nije dovršen. Opisom je samo ilustriran tablični pristup koji se u sljedećim poglavljima koristi za rješavanje problema optimalizacije umjesto matrič-nog računa. Matrice će nadalje biti korištene samo za skraćivanje zapisa.

5.1.3 Blok dijagrami informacija Jedan je od oblika modela originala je blok dijagram informacija (BDI), čije je formiranje

najjednostavnije pojasniti na primjerima.

Greda PRIMJER P-5.8 Modelirati opterećeni nosač prikazan na slici. Zadano je: F1 = 5 kN, F2 = 3 kN, α = 45 °,

6 Kvantitativne metode

x1 = 2 m, x2 = 4 m, x3 = 5 m, σdop = 120 N/mm2

Nosač se izrađuje od čeličnih I profila (HRN C.B3.131) ili zavarenih traka (HRN C.B3.025).

Oznake: M – mehanika G1 – greda 1 3 – 3 komponente (jedna greda i dva nosača) Op – opterećenje Os – oslonac Np – naprezanje Df – deformacija [] – matrica podataka

Op1 = [5 kN 90 st 2 m] (st je kratica za °) Op2 = [3 kN 45 st 4 m] G1_1 = [Cl I b h d mm 5 m 120 N/mm^2] (Cl je kratica za čelik) ili G1_2 = [Cl Tr a b mm 5 m 120 N/mm^2] (Tr je kratica za traku) OpOs = [2 FAx FAy FB kN]

Prethodni su zapisi u „tekst modu“ – korišteni su sam ASCII znakovi.

Za konvencionalni strojarski proračun grede nije potrebno razraditi BDI (dovoljna je i ski-ca grede sa zapisom traženih i zadatih podataka), ali je BDI neophodni prvi korak simulacije i/ili optimalizacije.

Izmjenjivač topline

Tokarenje PRIMJER P-5.9

Zavarivanje PRIMJER P-5.10

05. Modeliranje 7

Crpka PRIMJER P-5.11

Modelirati centrifugalnu crpku za otpadne vode, prikazanu na slici.

Oznake: CS – fluidi CC1 – centrifugalna crpka 1 4 – 4 komponente (radno kolo, elektromotor, ulaz/izlaz) OV1 – ulaz otpadne vode OV2 – izlaz otpadne vode EE – električna energija SA – signal automatike G – gubici

CC1 = [Q1 H1 Q2 H2 … m3/h mVS] (mVS – metara vodenog stupca – prijepis iz originala)

Izmjenjivač topline PRIMJER P-5.12 Modelirati protivustrujni izmjenjivač topline cijev u cijevi voda/voda, prikazan na slici.

Zadano je: w1 = w2 = w = 0,5 kg/s , cp,voda = 4,19 kJ/(kg◦K), t1 = 30 °C , t3 = 65 °C , U◦A = 4 kW/K.

8 Kvantitativne metode

Oznake: T – toplina TI1 – toplinski izmjenjivač 1 5 – 5 komponenti (plašt, cijev, dva × ulaz/izaz) HV1 – ulaz hladne vode (koja se grije toplom) HV2 – izlaz hladne vode TV3 – ulaz tople vode (kojom se grije hladna) TV4 – izlaz tople vode EE – električna energija GT – gubici topline

HV1 = [30 65 st 0,5 kg/s 4,19 kJ/(kgK)]

Oganizacija PRIMJER P-5.13

Ekonomija PRIMJER P-5.14

5.2 Matematički modeli Matematički model – skupinu formula, odnosno matematičkih izraza, kojima se u dovolj-

noj mjeri opisuju fizička i/ili kemijska i/ili ekonomska stanja, te promjene i procesi aktualnog originala.

5.2.1 Postavljanje matematičkih modela U literaturi se navode deset načela formiranja matematičkih modela: • ne postavljati komplicirane matematičke modele ako se original može u potrebnoj

mjeri opisati jednostavnim (model pojednostavljivati dok ne postane matematički obradiv, pa ga obogaćivati sve dok je matematički obradiv)

• ne prilagođavati original usvojenom postupku obrade (često se sreće svjesna ili pod-svjesna nasilna i besmislena prilagodba originala matematičkom modelu, obradivom savla-danim postupkom ili dobavljenim softverom)

05. Modeliranje 9

• logička analiza originala mora biti rigorozna (logičke pogreške u analizi originala oteža-vaju kasnije utvrđivanje izvora pogrešnih rezultata – je li izvor u netočnosti prikupljenih po-dataka ili u korištenju neodgovarajućeg postupka njihove obrade)

• matematički model se prije praktične primjene mora provjeriti (testirati matematički model sa starim ili generiranim podacima, te ga eventualno poboljšavati do granice određe-ne potrebnom točnošću ili točnošću ulaznih informacija – S-1.6)

• bez obzira na temeljitost analiza, postavljeni matematički model ne shvaćati nepobi-tno vjernim (ako se rezultati proračuna i/ili simulacije i/ili optimalizacije ne slažu s iskus-tvima iz prakse provesti detaljniju analizu i korigirati matematički model)

• ne očekivati proširenje granica matematičkog modela na druge originale (ako se promjeni original ne moraju biti dovoljne zakonitosti usvojene kao značajne)

• ne pretjerati s korištenjem istog matematičkog modela (model se može prilagođavati novim originalima, ali je uvijek prisutna opasnost ne uočavanja bitnih razlika)

• značajne su koristi već od samog formiranja matematičkog modela (temeljita inženjer-ska analiza pomaže u otkrivanju nelogičnosti – na primjer, prodajna cijena na tržištu izuzet-no konkurentnog proizvoda je manja od troškova proizvodnje)

• matematički model ne može biti bolji od granica koje određuje kvaliteta ulaznih in-formacija (kako kvaliteta izlaznih informacija ne može biti bolja od kvalitete ulaznih treba povećati kvalitetu ulaznih informacija dodatnim prikupljanjem podataka)

• matematički modeli ne zamjenjuju inženjere donosioce odluka (matematički model samo pomaže u donošenju odluka jer je sva značajna svojstva i zakonitosti rijetko moguće obuhvatiti matematičkim modelom – na primjer, svi problemi koje izaziva sumporom u si-rovoj nafti u naftnoj industriji)

5.2.2 Matematički model grede PRIMJER P-5.15 Postaviti matematički model opterećenog nosača.

Zadano F1 = 5 kN F2 = 3 kN α = 45 °

x1 = 2 m x2 = 4 m x3 = 5 m σdop = 120 N/mm2

Matematički model: Na temelju skice se postavljaju statički uvjeti ravnoteže:

ΣFx = 0 FAx – F2◦cos α = 0 J1

ΣFy = 0 FAy– F1 – F2◦sin α + FB = 0 J2

ΣMA = 0 FB◦ x3 – F2◦sin α ◦ x2 – F1◦ x1 = 0 J3 Prema tome, sile su u osloncima: iz J1: FAx = F2◦cos α J4

2 2 1 1B

3

sinF x F xFx

α += iz J3: J5

iz J2: FAy = F1 + F2◦sin α – FB J6 Na temelju skice su momenti savijanja: M1 = FAy ◦ x1 J7

10 Kvantitativne metode

M2 = FB ◦(x3 – x2) J8 Maksimalno normalno naprezanje:

σmax = maxMW

≤ σdop J9

Matematički model obuhvaća jednadžbe:

iz J7, J6 i J5: 2 2 1 11 1 2

3

sinsin F x F xM F Fx

⎛ ⎞α += + α −⎜⎝ ⎠

1x⎟ J10

iz J8 i J5: ( )2 2 1 12 3

3

sinF x F xM xx

α += 2x− J11

iz J2: max

dopnos

MW ≥σ

J12

kao i informacije: 1. zadane vrijednosti 2. datoteku: HRN C.B3.131 – I profil 3. datoteku: HRN C.B3.025 – plosnati čelik 4. formulu za izračunavanje momenta otpora nosača formiranog zavarivanjem

plosnatih profila:

( )3 32

6 2a b a bW

a b+

=+

Proračun:

2 2 1 11 1 2

3

sinsin F x F xM F Fx

⎛ ⎞α += + α −⎜ ⎟⎝ ⎠

1x = 3,42◦2 = 6,84 Nm

(2 2 1 12 3

3

sinF x F xM xx

α += − )2x 3,70◦1= 3,70 Nm

M1 > M2

max

dop

MW ≥σ

= 6 2

6,84 N m10 N / m120

= 0,057◦10–6 m3 = 57,0◦10–9 m3

W ≥ 57,0 mm3 = 0,057◦103 mm3 Prva varijanta je izrada nosača od I profila:

Iz datoteke HRN C.B3.131

Oznaka h, mm b, mm d, mm Wx , 103 mm3 m, kg/m I 8 80 42 3,9 19,5 5,95

I 10 100 50 4,5 34,2 8,32

Ako se usvoji I 8 (nema manjeg):

σmax = 6 36,84 N m

19,5 10 m− = 0,35◦106 N/m2 = 0,35 N mm2

m = mI◦L = 5,95 kg/m ◦ 5 m = 29,75 kg Druga varijanta je izraditi profil zavarivanjem od traka.

05. Modeliranje 11

Iz datoteke HRN C.B3.131: a = 20 mm, b = 5 mm, m = 0,78 kg/m:

W = 5000 40000180+ = 250 mm3 = 250◦10–9 m3

σmax = 9 3

6,84Nm250 10 m− = 0,0274◦10–9 N/m2 = 27,4◦10–6 N/m2 = 27,4 N/mm2

m = 3◦mtr◦L = 3◦0,78◦5 = 11,7 kg Iz datoteke HRN C.B3.131: a = 10 mm, b = 5 mm, m = 0,39 kg/m:

W = 2500 5000120+ = 62,5 mm3 = 62,5◦10–9 m3

σmax = 9 36,84Nm

62,5 10 m− = 0,109◦10–9 N/m2 = 109◦10–6 N/m2 = 109 N/mm2

mu = 3◦m◦c = 3◦0,39◦5 = 5,85 kg Usvaja se plosnati čelik po HRN C.B3.131, a = 10 mm, b = 5 mm, od koga se nosač iz-

rađuje zavarivanjem.

5.2.3 Matematički model izmjenjivača topline PRIMJER P-5.16 Postaviti matematički model za izmjenjivač topline.

w1 = w2 = w = 0,5 kg/s , cp = 4,19 kJ/(kg◦K), t1 = 30 °C , t3 = 65 °C , U◦A = 4 kW/K

Matematički model: Iz jednadžbi:

Q = m cp Δt w = m/τ q = Q/τ W = w cp

slijedi: q = W Δt J1

Razmjena je topline u izmjenjivaču topline, s površinom razmjene topline A i ukupnim koefi-cijentom razmjene topline U , W/(m2 K) , pri srednjoj razlici temperatura Δtm :

q = U A Δtm J2

gdje je za protivustrujni izmjenjivač topline voda/voda, cijev u cijevi:

( ) ( )( ) ( )ln1 4 2 3

m1 4 2 3/

t t t tt

t t t t− − −

Δ =⎡ ⎤− −

J3 ⎣ ⎦

Na temelju J1, J2 i J3, dobivju se za skicirani izmjenjivač topline jednadžbe: hladna voda – grijanje: ( )1 2 1q W t t− J4 =

12 Kvantitativne metode

topla voda – hlađenje: ( )2 4 3q W t t− J5 =

izmjena topline: ( ) ( )( ) ( )ln1 4 2 3

1 4 2 3/t t t t

q U At t t t− − −

=⎡ ⎤− −

J6 ⎣ ⎦

Izjednačavanjem izmjena topline određenih jednadžbama J4 i J5 te J4 i J6 dobiva se: ( ) ( )1 2 1 2 4 3W t t W t t− = − J7

( ) ( )( ) ( )( )

ln1 4 2 3

1 2 11 4 2 3/

t t t tW t t U A

t t t t− − −

− =⎡ ⎤− −

J8 ⎣ ⎦

Rješavanjem J7 po t4 , smjenom t4 u J8 i sređivanjem dobiva se:

( ) ( )( )

ln 1 3 1 2 1 2

2 3 1 2

/ 1 1t t W W t tU A

t t W W⎡ ⎤− + − ⎛ ⎞⎣ ⎦ = −⎜ ⎟− ⎝ ⎠

a kako je:

( ) ( )( )1 2

1 1D U AW W⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ 1 3 1 2 1 2

2 3

/eDt t W W t t

t t⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ =

−

to se iz J7 i J8 dobiva:

( )2 1 1 31

2

1 D

D

et t t t W eW

−= − −

− J9

Po razvoju eD u red (1 + D + D2/2 + …) i sređivanja konačno se iz J9 dobiva jednadžba za izračunavanje temperature hladne vode na izlazu iz izmjenjivača topline:

1 32 1

1

t tt t WU A

−= − J10

+

Proračun: W = w cp = 0,5 (kg/s) 4,19 [kJ/(kg◦K)] = 2,095 kW/K

1 32 1

30 65 3530 302,095 1,523751 14

t tt t WU A

− −= − = − = +

+ + = 53 °C

5.3 Statistički modeli

5.3.1 Postavljanje statističkih modela

Metoda najmanjih kvadrata Polinom n-tog stupnja:

j j 0, 1, .., j, ..., n( , ) y y x k ==

Minimum odstupanja točaka od krivulje:

05. Modeliranje 13

{ ( ) }m 2

i j ii 1

n ( , )y x k y=

−∑mi

( )( )

( )( ) ( )( )m 2

i j i i j ii 1i j i

i 1j j

, ,2 , 0

my x k y y x k yy x k y

k k=

=

∂ − ⎡ ⎤∂ −⎢ ⎥= − =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∑∑

( )( )

( )

2 n i0i i i

2 3 n+1 i i1i i i i

22 3 4 n+2i i 0 1 22i i i i

n n+1 n+2 2 n nni i i i i i

m ......

, , , ......... ...... ... ... ... ...

...

ykx x xx ykx x x xx y k k kkx x x x

kx x x x x y

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⇒⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

[ ]n, k

Mjera odstupanja točaka od krivulje:

sv R

sv

S SS−

= ( )R 2m

sv i j ii 1

,S y x k y=

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∑ ( )2m

R i j ii 1

,x k y=

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∑ S y

Splajn Rezultati mjerenja (točnost rezultata je provjerena višekratnim ponavljanjem mjerenja):

0 0

1 1

2 2

3 3

3,0 2,54,5 1,07,0 2,59,0 0,5

x yx yx yx y

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

linearni splajn

kvadratni splajn kubični splajn

Linearni splajn Nagib duži koja spaja dvije točke između kojih se određuje vrijednost y:

i i-1i

i i-1

b −=

−y y x x

Između točaka 1 i 2:

2 12

2 1

b y y− ( )1 2 1by x x= + − ⇒ = y−x x

Kubični splajn Krivulja prolazi kroz prvu i zadnju točku ⇒ 2 uvjeta:

14 Kvantitativne metode

3 2

0 1 0 1 0 1 0 13 2

m m m m m m m m

y a x b x c x d

y a x b x c x d

= + + +

= + + +

U svim točkama osim prve i zadnje krivulja do točke (prvi uvjet) i krivulja od točke (drugi uv-jet) imaju istu vrijednost ⇒ 2m – 2 uvjeta:

3 2 2 3 2 2i i-1 i i-1 i i-1 i i-1 i i i i i i iy a x b x c x d a x b x c x d= + + + = + + +

U svim točkama osim prve i zadnje prve derivacije krivulje do točke i krivulje od točke imaju istu vrijednost ⇒ m – 1 uvjet:

2 2i-1 i-1 i-1 i-1 i-1 i-1 i i i i i i3 2 3 2y a x b x c y a x b x c′ ′= + + = = + +

U svim točkama osim prve i zadnje druge derivacije krivulje do točke i krivulje od točke ima-ju istu vrijednost ⇒ m – 1 uvjet:

i i-1 i-1 i-1 i i i6 2 6 2y a x b a x b′′= + = +

U prvoj i zadnjoj točki su druge derivacije jednake nuli ⇒ 2 uvjeta:

0 1 0 1

m m m m

6 2 06 2 0

y a x by a x b′′ = + =′′ + =

=

5.3.2 Statistički model crpke PRIMJER P-5.17

Odrediti ovisnost H = f(Q) za pet crpki CC1_1 ÷ CC1_5. Rezultati mjerenja su dati tablično:

1 1

2 2

10 10

Q HQ H

Q H

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

CC1_1 CC1_2 CC1_3 CC1_4 CC1_5 Q, m3/h H, mVS Q, m3/h H, mVS Q, m3/h H, mVS Q, m3/h H, mVS Q, m3/h H, mVS

0,00 2,24 0,00 3,47 0,00 4,49 0,00 5,92 0,00 6,83 21,60 2,35 36,00 3,47 54,00 4,08 54,00 5,92 54,00 6,94 43,20 2,35 72,00 3,37 108,00 4,08 108,00 5,61 108,00 6,73 72,00 2,14 108,00 2,86 144,00 3,57 162,00 5,00 144,00 6,43 93,60 1,94 144,00 2,35 180,00 3,06 216,00 4,28 180,00 5,92

122,40 1,53 180,00 1,84 216,00 2,55 252,00 3,77 216,00 5,41 144,00 1,33 207,00 1,43 252,00 2,14 288,00 3,26 252,00 5,00 165,60 1,02 234,00 1,02 288,00 1,63 324,00 2,65 288,00 4,49 207,00 0,71 252,00 0,81 324,00 1,12 360,00 2,04 324,00 3,98 432,00 0,40 264,60 0,61 341,28 0,81 417,60 1,12 432,00 2,35

Statističkom obradom dobivaju se rezultati: • polinom drugog stupnja: Q = a + b H + c H2

• polinom trećeg stupnja: Q = a + b H + c H2 + c H3

05. Modeliranje 15

Polinom drugog stupnja Polinom trećeg stupnja

[a b c] [R]

5

5

5

5

5

2,586 0,0105 1,224 103,605 0,0042 2,833 104,502 0,0041 1,991 106,086 0,0039 2,000 107,057 0,0030 1,905 10

−

−

−

−

−

⎡ ⎤− +⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

0,9480,9860,9890,9890,978

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

[a b c d] [R]

⎣

5 7

4 7

5 8

5 8

5 8

2,318 0,0019 8,130 10 1,541 103,471 0,0047 1,000 10 2,188 104,432 0,0004 4,867 10 5,570 105,941 0,0020 5,611 10 5,699 106,858 0,0045 6,429 10 6,929 10

− −

− −

− −

− −

− −

⎡ ⎤−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎦

0,9810,9890,9920,9930,982

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

⎣